高中数学解题方法范文1
【关键词】高中；数学；解题方法
【中图分类号】G632.479【文献标识码】A【文章编号】1005-1074(2009)05-0202-01
任何学问都包括知识和能力这两方面，对于数学，能力比起仅仅具有知识更加重要。而数学中的能力指的就是解决问题的能力。一个数学教师，如果把他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼杀了学生的学习兴趣。因而中学数学的首要任务是培养学生具备解决问题的才智、独特见解及创造精神，把“解题”作为培养数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。对于数学题，其求解过程可总结为以下四个阶段：①必须弄清问题，清楚地看到要求的是什么？②必须了解各个项之间有何联系？未知数与已知条件之间有什么关系？③实现所制定的计划，④回顾能完成的解答，对它进行检验和反思。上述每一个阶段都有其重要性，下面通过实例对每一个阶段进行具体的分析。
第一阶段：弄清问题。回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的，首先必须了解问题的文字叙述，教师在某种程度上可检查学生这一点，同时不要错过这样的问题：未知数是什么？已知条件是什么？求什么？满足条件是否可能？
例1、若x、y、z∈R，且x＋y＋z=1，求证：x2＋y2＋z2≥13
要证明这一道题目，要求做题者必须掌握证明不等式的方法与技巧，明确要证的结论是什么？已知条件是什么？条件与结论之间有何关系？此题的已知条件是三个实数的和为1，根据此条件要证明它们的平方和不小于13。
第二阶段：拟定计划。我们知道，求解一个问题的主要成绩是构想出一个解题计划的思路，看着未知数，试想起一个具有相同或相似未知数的熟悉问题来，你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？你能否利用它？为了解利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？因而我们需要拟定一个计划。
例2、继续考察例1
例1中需证的不等式，左边是条件中三个实数的平方和，因此对此不等式的证明，一般地，我们的做法是先对条件等式两边平方。对x＋y＋z=1两边平方得：x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz=1
观察平方后的等式：此式中已经得到待证式左边的式子x2＋y2＋z2，而其余三个式子2xy,2xz，2yz可通重要不等式的变形2ab≤a2＋b2进一步转化为含有x2、y2、z2的式子，于是平方后等式左边的式子全都可转化为x2、y2、z2之间的关系式，从而可使不等式得到证明，此时计划已拟定。
第三阶段：实现计划。想出一个计划，产生一个求解念头是不容易的，要成功，需要有许多条件，比如：已有的知识，良好的思维习惯，目标集中，还要有好运气。但实现计划则容易得多，我们需要的主要是耐心地处理好计划中的每一个细节。
例3、我们继续考察例2
x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz=1
而2xy≤x2＋y2,2xz≤x2＋z2,2yz≤y2＋z2,x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz≤3（x2＋y2＋z2）即3（x2＋y2＋z2）≥1x2＋y2＋z2≥13
这样就实现了我们的求解计划。
第四阶段：回顾、反思。这一阶段是我们最缺乏的，即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且干净利落的写下结论后，通常就会合上书本，找点别的事来干。对于这一阶段，很多做题者都容易忽略，其实通过回顾能完成的解答，可巩固基础知识和发展解题思维。
例4、再考察例1
仔细观察例1，易知本例所证不等式取等号的条件是x=y=z=13,此时x2=y2=z2=132。活用二元均值不等式的关键在于创设条件，进行检查的分拆和配凑，于是有如下证法：
证明：13＝132＋132＋132
x2 ＋ y2 ＋ z2 ＝（x2＋132）＋ (y2＋132)＋(z2＋132)－13≥2×13x＋2 ×13y＋2×13z－13= 23(x＋y＋z)－13= 23－ 13= 13
故x2＋ y2＋ z2≥ 13
此外，还可采用增量换元法：x＋ y＋z = 1
可设x =13＋t1，y =13＋t2，z = 13＋t3
则有t1 ＋t2＋t3= 0x2＋y2＋z2
=（13＋t1）2＋（13＋t2）2＋（13＋t3）2
= 13＋23（t1＋t2＋t3）＋（t12＋t22＋t32）
= 13＋（t12＋t22＋t32）
而t12＋t22＋t32≥0x2＋y2＋z 2= 13＋（t12＋t22＋t32）≥ 13即x2＋y2＋z2 ≥13
通过对例1的回顾，我们得出了几种不同的证明方法，并且还可进一步对例1从多个角度去探索、研究，对题目进行引申和发展。
例如：1、从指数方向推广，题目可作如下变形： （1）若x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z=1，求证：x3＋y3＋z3≥19（2）若x,y,z∈R且x＋y＋z=1，求证：x4＋y4＋z4≥122、从项数方向推广：（1）若a，b，c，d∈R，且a＋b＋c＋d=1，求证：a2＋b2＋c2＋d2 ≥ 14（2）若ai∈R（i=1，2，…，n），且a1＋a2＋…＋an = 1，
求证：a12＋a22＋…＋an2≥ 1n，3、从指数和项数两方面进行推广：若a，b，c，d＞0，且a＋b＋c＋d=1，求证：a3＋b3＋c3＋d3≥ 116
由此可见，第四阶段的作用是很大的，通过对题目的回顾反思，让我们养成探究性学习的好习惯，注意发散思维和聚敛思维的训练，学以致用，脱离题海。
下面我们再举例说明一下，上述四个阶段在解题中的应用。
例5，中央电视台创办“城市之间”栏目以增进各国交流，本期有伦敦、上海等10个不同国家的城市报名参赛，需将10个城市分成两组，每组5个城市，且每组前两名晋级总决赛，求伦敦、上海分在同一组的概率.
分析：
第一阶段：弄清问题。1、已知条件：10个队平均分成2组进行比赛；2、待求结论：伦敦、上海分在同一组的概率；
第二阶段：拟定计划。先用排列组合知识求出10支队伍平均分成两组的分法及伦敦、上海分在同一组的分法，再利用等可能性事件概率公式求解。
第三阶段：实现计划。解:将10支队伍平均分成两组的分法有：C105•C552!=126种，伦敦、上海分在同一组的分法有C83= 56种，故伦敦、上海分在同一组的概率为P = 56126= 49
第四阶段：回顾、反思。对于分组问题，不同理解，就有不同的分法，因而也就有不同解法。上面的解法是平均分组，因而这两个组是没有顺序的，下面我们来看有序分法所求出的结果。
法二：若将两组看作有顺序，不妨设为A、B两组，则10个队分成A、B两组共有C105•C55=252种分法，而伦敦、上海分在A组的方法有C83=56种,分在B组的分法有C83= 56种于是伦敦、上海分在同一组的概率：
P=2C83C105•C55=49
可见，用有序分组和无序分组求出的结果完全相同，说明只要抓住实质，不论任何方法都能解决问题。下面我们还有其它方法。
法三：设有编号为1, 2, 3, … ,10十根鉴，十支队各抽一根，抽到1―5号签的为A组，抽到6～10号签的为B组，显然抽签是等可能的，伦敦、上海两队在十支鉴中任意抽得两签有C102种方法，伦敦、上海两从1至5号签中抽得两签有C52种抽法，从6至10号签中抽得两签有C52种抽法，于是它们分在同一组的抽法共有2C52=20种，
所求概率P =2C52C102=49
法四：10支队伍分成两组，每组5支，可视为5个空位，上海队先任选一组的一个位置，这组还剩4个空位，此时伦敦队可在余下9个位置中任选一个，但要与上海队同组就只能在上海队这一组剩余4个位置选一个，于是伦敦、上海队分在同一组的概率P =49
高中数学解题方法范文2
一、代数问题
一般通过考察常见函数的单调性，或者能够利用导数问题研究其单调性，在定义域内求最值，或者通过方程思想，得到不等式再求最值.
【例1】（2008·江西·第9题）若0
A.3y
C.log4x
简析：本题直接利用指数函数、对数函数的单调性，但对于B选项，真数相同，底数不同的情况，通过数形结合，可排除，选C.
【例2】求二次函数在[0，a]上的最值.
解析：=+2
结合图像，需对a进行分类讨论：
①若0≤a≤1，==3，=；
②若1
③若a>2，=，==2.
评注：求在有限闭区间上的二次函数的最值问题，关键抓住两点：①二次函数图像的开口方向；②二次函数图像的对称轴与所给闭区间的相对位置关系.
此类型最值必然在区间端点或图像顶点处取得.
【例3】（2005·全国卷Ⅱ·文21题改编）
设a为实数，函数，求的最值.
解析：令=3x2-2x-1=0得=-，=1
，≥0，
函数在上是增函数，
==a+
显然不存在最小值.
与本题类似，2008全国卷I第19题、全国卷Ⅱ第22题（文）都出现了与导数有关的判断函数单调性的问题.
评注：导数知识放在高中阶段学习，为高中数学增添了许多亮点，同时也为高考数学的考查方向和难度提供了许多有利的条件.
【例4】已知，，求的最小值.
解法1：==5+≥5+=9
（当且仅当且x+y=1，即时取“=”号）
的最小值等于9.
说明：此法符合均值不等式的条件“一正二定三相等”.
解法2：x+y=1，令，（）
=
=
=
=≥=9
说明：此解法运用了三角换元，最后又运用了重要不等式，与法1实质相同.
解法3：利用柯西不等式
==
≥==9
说明：实质上令，，是的应用.
解法4：令=t，由，消去y可得：
转化为上述方程在内有解，故有，可得到t≥9.
所以最小值等于9.
说明：本解法体现了转化思想、方程思想.
评注：对本题的四种解法中，我们可看到解法1、解法2是较为简洁的.我们提倡一题多解，善于发现、总结，从中找出最优解法，逐步提高分析问题、解决问题的能力.
二、三角函数问题
三角函数作为一种重要的函数，也是高考考查的重点.三角函数常借助三角函数的有界性或利用换元转化为代数的最值问题.
【例5】（2008·全国卷Ⅱ·第8题）若动直线与函数与的图像分别相交于M、N两点，则的最大值为（ ）.
A.1 B. C. D.2
分析：画图像，数形结合是很难得到答案的.
易得，，则，利用正弦函数的有界性易知最大值为.
【例6】（2004全国卷）求函数的最大值.
解析：，
而，
评注：令，则，这样转化为区间或其子集上的二次函数的值域问题.类似的结构还有：，，等.
【例7】（2008重庆·第10题）
函数的值域为（ ）.
A. B. C. D.
分析：观察式子结构，若化为
，
但最小值不能直接观察出.因为分子取最小值时，分母取不到最小正数.
变形为另一种形式：，观察结构，
再配凑，会发现什么？
令，，问题转化为求的最值问题，数形结合，易知的范围是[]，从而选B.
高中数学解题方法范文3
【关键词】高中数学；解题；化归方法；
一、分析高中数学解题教学中存在的教法问题
为了更好地开展高中数学解题教学，作为高中数学教师，必须在教学过程中对自身的教学方法存在的问题进行反思，才能更好地采取有效对策开展解题教学，提高学生的问题分析与解决能力.就笔者多年的工作实践来看，目前存在的较为普遍的教法问题主要体现在以下几个方面：
（1）是采用题海战术进行解题教学，即在教学过程中将大量的习题给学生做，再统一讲解，这种解题教法具有较强的单一性，学生所掌握的问题分析与解决方法主要来源于大量的做题，往往只是一招一式的讲解，而缺乏对实质性的图片和理论的提高，导致学生的课业负担极重，学生在书山题海中得不到解脱.
（2）采用对号入座的方式进行教学，即在解题过程中，教师将收集的各种教学资源进行梳理，并将这些问题的类型进行归纳，再详尽地将每个类型的解题方法一一告诉学生，因而在解题课中学生往往只能采取某种方法对号入座地解决相应的问题，当学生遇到新的问题时就不会融会贯通、举一反三.
（3）采取学案的方式进行解题教学，即在上课过程中给学生发学案，往往学生只是一味地做题，而教师则是在上课即将结束时将答案摆在学生面前，学生对于解题的思路和过程往往难以全面深入地了解.
二、简单化归目标法
1、简单化归目标法是将复杂的数学思想方法转化成简单的数学化归思想，从而得出的方法。
（1）标准形式化
标准形式化的化归方法就是将原始的数学问题通过标准的方法形式转化成简单易上手操作的问题，从而形成一种数学模式。数学里有诸多公式，比如，工作效率×工作时间=工作总量，工作总量÷工作效率=工作时间，工作总量÷工作时间=工作效率等等。而高中随着知识的累计，数学公式也相对复杂，相关的数学问题，只有化归成符合此公式的形式后，才可以解决相应的数学问题，得到最终答案。这在数学的解题思维中，也是一种最基本的原则所在。
（2）和谐统一性
数学中的和谐统一，一般是指一个部分与另一部分，一个部分与一个整体之间存在的内在或外在的联系的统一性。这个特征在数学中有其涵盖意义，这种和谐统一性不仅可以使事物与数学内部间实现联系性，还要实现其统一性。
（3）数学与其他学科之间的联系
例如，在解析平面几何的椭圆、圆锥曲线等这个类型的问题方面，这两者之间可以转化“与定点和定直线距离的比是常数e（e≥0）的点的集合”这个数学定义方面，两种曲线可以将其看作在不同的横截面但却是同一个圆锥上所得出的，他们都始终要化归到二元二次方程，得到这一结果。
三、在高中数学解题教学中，化归法使用策略
（1）充分挖掘教材，展现化归方法
化归思想方法在数学知识中得到完整的表达，主要的限制因素是教材逻辑体系本身，所以，在数学教学中，更有利于学生学习和教师的教学方法是将具体知识利用化归思想方法清晰明朗化，更能让学生对化归思想的和知识的掌控。而在教学中利用化归思想方法进行教学并非简单的知识定义化、定理化，公式化。这需要不断总结经验，将化归思想发挥最大的优势。
在中学数学教学中，化归方法渗透到了整个中学阶段的代数、几何教学当中，可见其在中学教材中出现的频率相当大。在几何中，化归方法在教材中往往采用平移、作截面、旋转、侧面展开等手段实现，将复杂的空间问题转化为简单的几何平面内问题加以解决。而在代数教材中，对于方程式问题，例如，无理方程、对数方程，指数方程等等，基本都是将方程先转变为一元一次方程是或者一元二次方程式再解决问题；不等式方程、复数间的运算问题处理方式基本相似。
（2）改善学生的认知结构，重视过程教学
在我国的基础教学中，实行的是数字教学，对学生的能力的培养是比较重要的方面，而在数学教学中，对学生的数学能力的培养就同样是个十分重要的方面。教师需要在教学的方方面面注重对学生能力的培养，使学生获得更多的学习的能力，而不是单纯的知识点，或者知识面，让学生更加重视对学习知识发生、获得的过程的了解，教师在过程教学中，充分的运用教学策略，吸引学生学习的积极性和学习的热情，调动学生学习的主动性，从而在学习中，使得学生对于知识和认知同步前进，形成良好的数学思维。
在高中数学解题教学中，化归法是一个不错的教学方法，也是学生需要学习的一个重要的解题方法，因此教学在过程教学中，教师需要以学生的学习能力为重，具体的展现化归法在数学解题中的重要性和诸多好处，慢慢的引导、改善学生的认知结构，让他们积极、主动的去发现、了解相关知识，在整个教学活动中，积极主动的参与。
（3）加强解题训练，提高学生在数学方面的语言应用能力
在学生的数学素质教学中，其中一个很重要的方面是加强学生在数学方面的语言应用能力。只有在平时的教学或者解题训练中，加强学生对化归思想、化归方法的运用，强化学生在解题认识中，对数学语言的理解形成一个正确的认识，懂得规范语言的灵活运用，形成对语言应用能力的慢慢培养，更好的运用化归法。 例如：设a，b是方程x2-2kx+k+6=0的两个实根，则（a-1）2+（b-1）2的最小值是（ ）.这种题目要根据平时的内容发散开来，首先就该想到一元二次方程根与系数的关系，容易得到a+b=2k，ab=k+6.通过整理可以得到，（a-1）2+（b-1）2=（a+b）2-2ab-2（a+b）+2=4k-342-494，再根据Δ=4k2-24>0可以求出k的取值范围，从而进一步确定最小值，从而解决问题.在解决一元二次方程的时候，就要想到运用Δ和根与系数的关系来解决.
高中数学解题方法范文4
问题一：重数学知识技能学习，轻数学文化教育。片面强调知识技能掌握，片面强调大量的习题训练，片面强调对考试分数的争取，这种“教育”把数学曲解为习题，把学生当作解题机器，学习是为了考试，培养出来的学生的人格是变态的，在学生眼中，学数学是痛苦的、枯燥的，数学文化至多被当作“调味剂”。这样培养的学生必然是有知识而无文化的。缺乏文化的民族是不会站在世界之巅的。
问题二：重数学解题技能训练教学，轻概念形成教学。不重视章节起始课的教学、概念教学，以解题教学代替概念教学的现象比较普遍。课堂上概念教学常常是分析定义的几个要点、归纳几项注意，然后就是题型的归类训练、变式训练，在概念的背景引入上着墨不多，对概念本质特征的揭示不够，而是让学生多做几道题，重视结论，或重视结论的思维过程，忽视概念的背景特征、生成过程。
2 教学形式层面的问题
问题：课堂上问的多代替思维量大，问的难代替思维深。在现代教育理念和新模式的学习探索中，有时我们的数学课堂，教师问题不断，学生发言积极而热烈。课后练习与作业反馈并不好。有时问题一提，课堂肃然，学生木然，探究问题过难，探究学习受挫。
3 初高中知识内容的衔接存在脱节现象
初中所学知识是高中知识的基础，高中知识则是初中知识的扩展和延伸。如果初中知识和高中知识存在着知识的脱节，学习高中知识就会有一定的困难。根据一年多的新教材的教学来看，我发现北师大版高中数学存在着初高中知识内容衔接脱节的现象。主要表现在：
3.1 部分应用知识要求降低。如：乘法公式只有两个（即平方差，完全平方公式），没有立方和立方差公式；在多项式相乘方面仅指一次式相乘，会影响到今后二项式定理及其相关内容的教学；因式分解的要求降低，初中只要求提公因式法、公式法，而十字相乘法、分组分解法新课标不作要求，但高中要经常用到这两种方法；反证法：课标只要求通过实例，体会反证法的含义，要求不高；但在高中遇到“至多”、“最多”、“至少”、“唯一”等字词的证明题，需要用反证法。
3.2 知识衔接方面。例如：可化为一元二次方程的分式方程、无理方程、二元二次方程都已不作要求，会影响到今后学习数列的有关计算（往往用方程的思想解决问题）；根式的运算明显淡化，如不加强根式运算，以后求圆锥曲线标准方程会受到影响；初中没有“轨迹”概念，高中讲解析几何时会讲到，学生对有关求轨迹的问题很困惑，有无从下手之感；一元二次方程根的判别式在初中新课标不作要求，在高中教直线与圆锥曲线综合应用时常常要用到，在涉及到函数图象交点问题时也常用到，这无疑是一个障碍。
4 关于“小组学习”的困惑
我从教学实践中感悟到：小组合作的学习方式看似简单易学，但稍有不慎就会使课堂气氛得不到较好的调控，达不到预期的目的。很多时候“合作”都只是流于形式，盲目跟从，学生没有得到真正发展。小组合作学习确实增加了学生参与的机会，但是常常是好学生机会更多，扮演着一种帮助的角色；学困生成了听众，得不到独立思考的机会而直接从好学生那获得信息，致使学困生在小组合作学习中的获益比在班级教学中的获益还少。在小组活动中好学生发言的机会多，代表小组汇报的现象多；小组活动中出现了一些放任自流的现象……这些问题，不能不引起我们的思考。
5 解决问题的几点建议
5.1 了解、重视数学文化的教育价值、数学教育中的数学文化、数学文化与数学学习。数学向我们展示的不仅是一门知识，一种科学语言，一种技术工具，而且还是一种理性化的思维方式，一种充满人类创造力和想象力的文化境界。数学文化具有重要的教育价值，数学文化教育不单是传播数学知识，还传播数学思想、方法、精神和文化。
高中数学解题方法范文5
一、换元法的应用
数学思想方法有很多种.教师要培养学生在面对具体问题时准确做出判断，选取合适的思想方法使问题得以解答.这是学生解题能力的一种体现.换元思想方法在很多实际问题的解答中都能够发挥成效.换元法的应用有着很多实际的优越性，能够让问题得到简化，并且能够挖掘出题目中隐含的一些条件.这些都是对于实际解题过程的有效促进.针对不同的问题类型，换元的方法也不一样，教师要透过大量的实例的剖析，让学生熟悉这一思想方法，并且懂得根据具体的问题选取合适的换元模式，从而让问题解答更加高效.
例1已知a>2，b>2，求证：a+b
证明：设a=2+m，b=2+n，显然m>0，n>0.
则a+b-ab=2+m+2+n-（2+m）（2+n）
=4+m+n-4-2m-2n-mn
=-m-n-mn
故a+b
引进新变量并把题目中的隐含条件显现出来，从而让条件与结论能够有效联系，这就是换元法的意义所在.数学思想方法应用的实质在于，让复杂问题简单化，让不知道如何突破的问题有一个有效的切入点.这些都是让解题过程更加轻松高效的模式，也是要加强数学思想方法在课堂上渗透的原因.
二、数形结合法的应用
在高中数学教学中，几何内容的比重明显增多，各种代数知识和几何知识相互融合的试题类型越来越普遍.这种问题往往有着一定的综合性，是对于学生知识掌握程度的一种有效考查.在处理这类问题时，数形结合思想是一种必备方法.构建数和形之间的联系，能够让问题立刻变得清晰直观，问题解答的突破口非常明显.不仅如此，在一些典型的函数问题、数值问题等的求解上，数形结合的功效也能够得到发挥.有效利用这一教学方法，能够让复杂问题变得清晰直观，问题解答起来也就更加简便.
数形结合是一种很好的数学思想方法，不仅直观地构建了数与形之间的桥梁，而且能够让抽象问题变得具体，复杂问题变得简单.
三、等价转化法的应用
等价转化法在很多问题中也经常用到.这一数学思想方法值得学生熟悉与掌握.不少学生反应，经常遇到一些完全不知道如何突破的问题，问题给出的条件似乎完全不能够为问题的解答带来帮助.这类简单抽象的问题学生经常碰到，成为困扰学生的一个难关.对于上述问题类型，等价转化法往往能够有实际的帮助.学生要善于灵活地将问题朝着一些合适的方向进行转化，结合题目给出的条件作出一些合理的替换，让抽象复杂的问题变得具体而清晰，问题解答的突破口更加明显.让学生学会用等价转化法来处理各种实际问题是习题教学中非常重要的一点，也是深化学生的解题能力的一种方式所在.
例2已知x、y、z∈R+且x+y+z=1，求（1x-1）（1y-1）（1z-1）的最小值.
高中数学解题方法范文6
高考中常用的数学思想方法有：函数与方程；数形结合；分类讨论；化归与转化等等。下面就高中常用的几种数学思想方法作一介绍。
关键词：高考、数学思想方法、策略
一、函数与方程思想
函数与方程是高中数学内容之重点,应用广泛,是解决数学问题的有力工具,在高考中占据非常重要的地位。函数是对某一变化过程中相互关联的量之间的制约关系的刻画，运用函数思想解题，就是从研究变量的变化趋势的角度打开思路。而方程思想则是动中求静，注重变化过程中保持不变的等量关系。函数思想与方程思想是相辅相成的。若变量的关系用解析式表示,则这个解析式又可视为一个过程。或者说，函数能反映的变化在某一特定状态时（如量值相等），可以由一个方程来描述。通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得以解决，这就是方程思想。
例题1一抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，以抛物线上各点到直线x+y-4=0的距离的最小值为，求此抛物线的方程。
分析：由直线方程x+y-4=0可以设抛物线方程为x2=-2py(p>0)，考虑抛物线上任意一点M(x,-)，由点到直线的距离公式得：
此题我们利用点到直线的距离公式建立起变量间的函数关系，把解析几何问题转化为求二次函数的最值问题，解法具有通性、共性。
二、数形结合思想
数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观，形缺数时难入微”,“数形结合百般好，隔裂分家万事非”。形与数相比较，有着直观上的优势。学生相对于抽象思维，普遍更喜欢形象思维，对图形的记忆也总强于对文字、数式的记忆。教师应注意到学生思维方式上的这些特点，在讲授有关的数学知识时，尽可能数形结合、形数对照，使学生对所学内容更易于理解和记忆。而在解决实际问题时，同样应教给学生数形结合的思想方法，启发他们学会对一些数量关系作出“形”的解释，发掘其中“形”的因素，以增加解决问题的有效途径。
例题2使log2(-x)
分析：与指数、对数、幂函数有关的不等式的解集问题，可以画出对应的函数图像，借助数形结合思想求解。在同一坐标系内画出函数y1=log2(-x)和y2=x+1的图像（如右图所示），可知不等式的解集为[-1,0]
变式：已知：0≤α
解：(cosα+cosβ+cosy)+i(sinα+sinβ+siny)=0，
即(cosα+isinα)+(cosβ+isinβ)+(cosy+isiny)=0
令z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，z3=cosy+isiny，由复数的几何意义得，|z1|=|z2|=|z3|=1，z1+z2+z3=0，画
图可以知道Z1Z2Z3是正三角形，又0
三、分类讨论思想
根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性，使所学知识条理化。例如数学问题中常含有变量或参数，这些变量或参数取不同的值会导致不同的结果，或者由于参数的不同值要运用不同推算方法，因此要对参数分类讨论。
再如数学中的某些定理、公式和性质在不同条件下有不同的结论,在运用时要分类讨论,分类的依据是公式中的条件。
例题3已知f(x)=1nx-ax(a∈R)，求函数在f(x)上[1，2]的最大值。
分析：导数是为解决有关函数性质提供了一种新的手段，同时也是衔接高等数学的一个切入点，在单调性、极值方面与分类讨论息息相关，要引起高度重视。
四、化归转化思想
在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，解题过程就是不断转化的过程，其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解。实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。例如在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常量（或参数），将其看做“主元”，而把其他的变元看做常量，从而达到减少变元简化运算的策略。
例题4设不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m都成立，求实数x的取值范围。
分析：根据已知条件，建立以参数为主元的不等式是一个转化的数学思想，通过转化就可以用一次函数f(m)的单调性解决问题，体现了函数与不等式之间的转化关系。
解：令f(m)=(x2-1)m+2x-1,m∈[-2,2]，则原不等式等价于当m∈[-2,2]时f(m)>0恒成立。由于f(m)是关于m的一次函数或常数函数，故有f(2)>0f(-2)>0解得
