高中数学向量基础知识范文1
关键词：向量法；高中数学；例题运用
向量法作为如今高中数学教学中的重要组成部分，利用其可快速进行高中空间几何、代数等具有较高解答难度的问题分析与解决，可促使学生有效深入向量知识之中，更好地掌握其实际运用，也可全面提升学生进行数学问题的解题思维与技巧。对此，就需要针对高中数学向量知识进行更加全面的了解，重点分析向量法在高中空间几何、平面几何与三角函数等知识与问题的实际运用，借此提升学生对高中数学题目的解答与向量知识的掌握。
一、高中数学向量的基本内容和作用
向量知识在过去数百年间一直为无数物理学家与数学家的主要研究项目，到了全新的时代中，向量已经成为一项必须的数学知识，在我国的数学教育历史中，向量知识的引入已有数十年的历史，这不仅作为高中数学知识的难点与重点，也是高考知识中的一项重要组成部分。
向量可以表示物体之间的位置所在，而包括立体几何、空间几何等知识的主要内容都是针对物体的位置与形状进行探讨，所以，向量知识也可从几何学的角度进行思考与学习。向量本身是用于描述长度的存在，可通过其进行物体的了解，包括其面积、体积、高度、宽度等，这是一项重要的几何知识基础。向量具有方向特性，可利用其表示平面、直线等内容的位置关系。在进行代数知识的学习中，涉及加、减、乘、除的运算，也可将向量融入代数运算的过程中，所以向量运算可以解决代数问题。向量本身代表一段具有方向的线段，通过其可进行实际位置的确定。在进行几何问题的解答时，几何图形所具备的性质、长度与角度的计算都需要具有方向的线段作为解题基础，同时，针对角度、直角与三角函数等内容的解答也需要使用向量知识作为运算基础。因此，使用向量法可以有效提升学生的解题效率与学习兴趣，加强高中数学知识的掌握，所以，只有真正掌握向量知识与其实际应用，才能真正帮助学生更好地提升数学解题能力，不会在视数学为愁苦的科目，而是真正地喜欢上，并愿意为自主学习。
二、向量法在立体几何中的实际运用
向量法在立体几何中的实际运用，与平面几何中的实际运用方法是相同的，不过需要增加立体几何的形态想象，也就是空间想象。这种想象会促使学生在进行过去的几何问题解决时产生一定难度与偏差，对此，需要通过向量法将立体几何问题进行简化，降低难度，以便于快速找到问题解决方案。
举例：如下图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E作为DD1的中点，而C1D1中是否存在F，可以促使B1F//A1BE，并进行相应的证明及解答。利用向量法进行问题的解决。
三、向量法在三角函数中的实际运用
通过向量法在三角函数中的实际运用，可用其证明三角函数中正余弦的两角和与差。
举例：假设cos（？琢-？茁）=cos？琢cos？茁+sin？琢sin？茁。
证明：假设（e1，e2）作为平面中的标准正交基，A、B作为平面中的单位向量，A与e1的夹角为？琢，B与e2的夹角为？茁，并且？琢>A向量位于（e1，e2）中的坐标为（cos？琢，sin？茁），向量B则位于（e1，e2）中的坐标为（cos？琢，sin？茁），则可说明|A|=|B|=1，因此，|A|・|B|・cos（？琢-？茁）=cos（？琢-？茁）=cos？琢cos？茁+sin？琢sin？茁可证明，在三角函数的题目中运用向量法进行问题的解决，可以令问题更加直观与简洁，促使学生更快更高效地完成题目的解决。
利用向量法进行解题，可增强解题思维与视角多元化，促使题目更加简洁直观，令学生可以在解题中简化思维过程、最大限度地减少运算量，可以说，这正是新课程改革的需要所在，也作为学生提升自身的重要基础。同时，向量法可以实际运用的类型不仅限于上述内容，也包括三角函数的正余弦定理、函数公式等内容，都可利用向量法作为解题基础进行证明与解析，对此，教师更应当在日常教学中不断活用向量法，进行更多类型的题目讲解与训练，令学生可以以最佳的状态面对高考，也可减轻平日里学生的学习负担，是一件真正有益于学生的学习方法。
参考文献：
[1]黄丹妹.构造向量解一类几何问题[J].广西轻工业，2007（6）：130，139.
[2]李绍波，覃罗江.浅议向量在高考数学中的应用[J].河池学院学报，2007（S1）：103-106.
[3]刘八芝.向量在中学数学教学中的应用[J].镇江市高等专科学校学报，2003（2）：93-95.
高中数学向量基础知识范文2
1 从运算的角度来讲，向量可分为三种运算
1.1 几何运算
本章教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，从中去体会数形结合的数学思想。
1.2 代数运算
1、加法、减法的运算法则；2、实数与向量乘法法则；3、向量数量积运算法则。
1.3 坐标运算
在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用"解析法"来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。
2 本章的特点
教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其它章节。
2.1 教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。 首先教材通过求小船由A地到B地的位移来引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了图形，并安排了较多的作图练习、看图练习及作图验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。其次，本章各节的例题、练习、习题等配备量适中，可以使教学有较充分的自主空间，为学生提供了探究、发现与归纳的机会, 也为教师根据教学目标，对教材进行再加工提供了可能。
2.2 利用"向量法"解决实际问题是本章的显著特点之一。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法――向量法； 向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。
2.3 强化数学能力是本章的另一显著特点。由于本章的向量法的精髓就是将技巧性解题思路化成算法性解题思路；利用所学知识解决实际问题的能力作为本章的重要教学要求；为了更好地培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力， 教材还安排了"实习作业", 通过实际测量, 使学生能运用正、余弦定理来解决实际问题，既体现了数学的工具作用和应用性，又从另一个方面促进了学生对知识的理解与掌握。 以此来强化学生根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算，即运算能力。以此来强化学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。
3 教学体会
依据教学内容、要求及本章的特点，根据学生认知水平和近几年的教学实践，对"平面向量"教学有如下的教学体会：
3.1 认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。
3.2 在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。
3.3 抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高"向量法"的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。
高中数学向量基础知识范文3
一、我国社会发展对数学课程的要求
促进数学课程发展的众多动力中，没有比社会发展这一动力更大的了，社会发展的需要主要包括：社会生产力发展的需要，经济和科学技术发展的需要和政治方面的要求。
我国社会发展对数学课程提出了以下要求。
（一）目的性教育必须为社会主义经济建设服务。这就要求数学课程要有明确的目的性，即要为社会主义经济建设培养各级人才奠定基础，为提高广大劳动者的素质做出贡献。当今社会正由工业社会向信息社会过渡，在信息社会里多数人将从事信息管理和生产工作；社会财富增加要更多地依靠知识；知识更新、技术进步周期和人的职业寿命都在日益缩短，要适应日新月异的社会，必须把劳动者的素质、才能提到极重要的位置，而且要使他们具备终身学习的能力。
（二）实用性数学课程的内容应具有应用的广泛性，可以运用于解决社会生产、社会生活以及其他学科中的大量实际问题；运用于训练人的思维。应该精选现代社会生产和生活中广泛应用的数学知识作为数学课程的内容。另外，还要考虑其他学科对数学的要求。数学课程还应满足现代科学技术发展的需要，加进其中广泛应用的数学知识，如计算机初步知识、统计初步知识离散概率空间、二项分布等概率初步知识。
数学不仅是解决实际问题的工具，而且也广泛用来训练人的思维，培养有数学素养的社会成员，要使学生懂得数学的价值，对自己的数学能力有信心，有解决数学问题的能力，学会数学交流，学会数学思想方法。
（三）思想性和教育性我们培养的人应该有理想、有道德、有文化、有纪律、热爱社会主义祖国和社会主义事业，具有国家兴旺发达而艰苦奋斗的精神；应当不断追求新知、实事求是、独立思考、勇于创新，具有辩证唯物主义观点。这就要求数学课程适当介绍中国数学史，以激发学生的民族自豪感。用辩证唯物主义观点来阐述课程内容，有意识地体现数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点。体现运动、变化、相互联系的观点。
《实验教材》用“精简实用”的选材标准来满足这些要求。
二、数学的发展对数学课程的要求
（一）中学数学课程应当是代数、几何、分析和概率这四科的基础部分恰当配合的整体数学研究对象是现实世界的数量关系和空间形式。基础数学的对象是数、空间、函数，相应的是代数、几何、分析等学科，它们是各成体系但又密切联系的。现代数学中出现了许多综合性数学分支，都是在它们的基础上产生并发展起来的，研究的思想方法也是它们的思想方法的综合运用。代数、几何、分析在相邻学科和解决各种实际问题中都有广泛应用，所以中学数学课程应当是它们恰当配合的整体。曾经出现过的把中学课程代数结构化（如“新数”）的设计方案。“以函数为纲”使中学数学课程分析化的设计方案都不成功，正是没有满足这一要求。
（二）适当增加应用数学的内容应用数学近年来蓬勃发展，出现了许多新的分支和领域，应用范围也在日益扩大，这种形势也要求在中学数学课程中有所反映。从“新数运动”开始，各国数学课程内容中陆续增加了概率统计和计算机的初步知识。这一方面说明概率统计和计算机知识在社会生产和社会生活中的广泛应用，另一方面也说明数学的发展扩大了它的基础，对中学数学课程提出了新的要求。
由于计算机科学研究的需要，“离散数学”越来越显得重要。因此，中学数学课程中应当增加离散数学的比重。
（三）系统性基础数学，包括代数、几何、分析到19世纪末都相继奠定了严格的逻辑基础。到本世纪30年代法国布尔巴基学派用公理化方法，使整个数学结构化。任何一个数学系统都可以归结为代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构的复合。经过用公理化方法的整理，使数学成为一个逻辑严密、系统的整体结构。因此，作为符合数学知识结构要求的中学数学课程就必须具有一定的系统性和逻辑严密性。
（四）突出数学思想和数学方法现代数学进行着不同领域的思想、方法的相互渗透。许多曾经认为没有任何共同之处的数学分支，现在已建立在共同的统一的思想基础上了。
数学思想和方法把数学科学联结成一个统一的有结构的整体。所以，我们应该体现突出数学思想和数学方法。
《实验教材》以“返朴归真”的指导思想来满足数学学科发展的要求。
三、教育、心理学发展对数学课程的要求
教育、心理学的发展，对教学规律和学生的心理规律有了更深入的认识。数学课程的设计要符合学生认知发展的规律。认知发展，要经历多种水平，多种阶段。认知的发展呈现一定的规律。基于这些规律，要求数学课程具有：
（一）可接受性教学内容、方法都要适合学生的认知发展水平。获得新的数学知识的过程，主要依赖于数学认知结构中原有的适当概念，通过新旧知识的相互作用，使新旧意义同化，从而形成更为高度同化的数学认知结构的过程，它包括输入、同化、操作三个阶段。因此，作为数学课程内容要同学生已有的数学基础有密切联系。其抽象性与概括性不能过低或过高，要处于同级发展水平。这样才能使数学课程内容被学生理解，被他们接受，才能产生新旧知识有意义的同化作用，改造和分化出新的数学认知结构。
（二）直观性皮亚杰的认知发展阶段的理论认为，中学生的认知发展水平已由具体运算进入了抽象运算阶段，但是即使他们在整体上认知水平已经达到了抽象运算的水平，在每个新数学概念的学习过程中仍然要经历从具体到抽象的转化，他们在学习新的数学概念时仍采用具体或直观的方式去探索新概念。因此，数学课程应向学生提供丰富的直观背景材料。不拘泥于抽象的形式，着重于向学生提示抽象概念的来龙去脉和其本质。也就是要“返朴归真”。
（三）启发性苏联心理学家维果斯基认为儿童心理机能“最近发展区”的水平。现为发展程序尚未成熟，正处于形成状态。儿童还不能独立地解决一定的靠智力解决的任务，但只要有一定的帮助和自己的努力，就有可能完成任务。数学课程的启发性就在于激发、诱导那些正待成熟的心理机能的发展，不断地使“最近发展区”的矛盾得到转化，而进入更高一级的数学认知水平。
要使数学课程真正具有启发性，需要克服两种偏向：第一，内容过于简单，缺乏思考余地。没有挑战性，不能激发学生思维，甚至不能满足学生学习愿望。第二，内容过于复杂、抽象。超过了学生数学认知结构中“最近发展区”的水平，学生将会由于不能理解它，产生畏惧心理，最后厌恶学习数学。
布鲁纳曾指出，向成长中的儿童提出难题，激励他们向下一阶段发展，这样的努力是值得的。在这种思想的指导下，他的数学课程采用螺旋式上升的原则，这是课程内容启发性的体现。
《实验教材》用“顺理成章、深入浅出”的指导思想来体现以上诸要求。
四、三方面需求的和谐统一
上面分别考查了三个方面对数学课程提出的要求，这些要求有时互为前题，互相补充，而有时却是彼此矛盾的。这导致了数学课程设计的复杂性和艰巨性。如何才能使这三方面的要求和谐统一呢？从《实验教材》11年的实验中形成了16字指导数学课程设计的思想，比较恰当的统一了以上三方面的需求。这16字的指导思想是“精简实用、返扑归真、顺理成章、深入浅出”。
“精简实用”是个基本的指导思想，它恰当地表现了理论和实际的正确关系。由实际到理论，就是由繁到简，把实际中多样的事物、现象，经过分析、综合，归纳出简单而又具有普遍性的道理，这就是理论。而只有精而简的理论才能用来“以简驭繁”。所以“精简实用”在科学上的意义就是要寻求真正具有普遍性、简明扼要的理论。要做到精简，必须抓住重点。教材中普遍实用的最基础部分，那些具有普遍意义的通性、通法就是重点。中学数学课程内容应是代数、几何、分析和概率这四科的基础部分恰当配合的整体，这样做既可满足社会的需要、数学知识结构的要求，又可满足可接受性的要求。其中普遍实用的最基础部分是代数中的数系，最普遍有用的是数系的运算律（“数系通性”）；解代数方程；多项式运算；待定系数法。几何中的重要内容是教导学生研习演绎法，要点在于让学生逐步体会空间基本性质的本质与用法。平行四边形定理、相似三角形定理、勾股定理可以说是欧氏平面几何的三大支柱，它们也就是把空间结构全面代数化的理论基础。用向量把几何学全面代数化，讲向量身体、解析几何及其原理，这些就是几何课的重点。分析的重要内容除函数、极限、连续等分析学的基本概念之外，变化率是要紧的概念。分析中最基本的方法是逼近法。
“返朴归真”就是着重于教学生以基础数学的本质，而不拘泥于抽象的形式。初等代数最基本的思想、最重要的本质就是那些非常简单的数的运算律，它们是整个代数学的根本所在。把它形式化，也就是多项式的运算和理论。传统的代数教学从多项式的形式理论开始，学生不解其义，感到枯燥。《实验教材》返朴归真，先讲代数的基本原理就是灵活运用运算律，首先用以解决一次方程的实际问题，学生自然地觉得应该有一个多项式理论，然后再讲多项式，这样学生易于理解多项式的来源与本质。“这就是返扑归真”的一个实例。
基本的数学思想与数学方法是基础数学的本质，突出其教学是把知识教学与能力训练统一起来的重要一环。把知识看作一个过程，弄清它的来龙去脉，掌握思想脉络，学生的数学才能才发展起来，要学生“会学”数学，就必须让学生掌握基本的数学思想和方法，会“数学地”提出问题，思考问题、解决问题。
《实验教材》一开始就突出了用符号（字母）表示数的基本思想和方法。
集合的思考方法，在几何和代数中都十分重视。经常训练学生从考虑具体的数学对象到考虑对象的集合，进而考虑分类等问题。
函数的思考方法，考虑对应，考虑运动的变化、相依关系，由研究状态过渡到研究过程。分解和组合的方法。对数学问题的分析与综合、转化、推广与限定（一般化与特殊化）、类比、递推、归纳等基本的数学思想与方法都分别得到强调。
“顺理成章”就是要从历史发展程序和认识规律出发，“顺理成章”地设计数学课程。数学是一种演绎体系，有时甚至本末倒置。这正是数学本身的要求和学生心理发展的要求相矛盾的所在。正确处理这个矛盾，使这两方面的要求和谐统一，课程设计就既不能违背逻辑次序。更要符合认识程序。因此，要参照数学发展历史，用数学概念的逐步进化演变过程作为明镜，用基础数学的层次与脉络作为依据来设计数学课程。数学的历史发展经历过若干重要转折。学生的认识过程和数学的历史发展过程（人类认识数学的过程）有一致性。数学教材的设计要着力于采取措施引导学生合乎规律地实现那些重大转折，使学生的数学学习顺理成章地由一个高度发展到另一个新的高度。在基础数学范围内，主要经历过五个大的转折。
由算术到代数是一个重大的转折。实现这个转折，重要的是要向学生讲清代数的基本精神是灵活运用运算律谋求问题的统一解法。由实验几何到论证几何是第二个重大转折。要对空间的基本概念与基本性质加以系统的观察、分析与实验，建立“空间通性”的一个明确体系，达到“探源、奠基与启蒙”三个目的，然后引进集合术语并以集合作工具，讲清一些基本逻辑关系、推理格式，再转入欧几里得推理几何。第三个转折是从定性几何到定量几何，即从综合几何到解析几何。要对几何问题谋求统一解法，出路在代数化，首先要把一个基本几何量代数化，就得到向量的概念，然后运用欧氏空间特有的平移、相似与勾股定理等基本性质引起向量的加法、倍积与内积这三种向量运算。这样就把窨的结构转化为向量和向量运算。这样就把空间的结构转化为向量和向量运算这种代数体系，因而空间的基本性质也就转化成向量运算的运算律。换句话说，向量的运算律也就是代数化的几何公理。这样就实现定性几何到定量几何的转折。向量是这个转折的枢纽。第四个转折是从常量数学到变量数学，这在概念和方法论方面都有相当大幅度的飞跃，需要早作准备。初中二年级已引入三角函数的初步概念，初三正式研究各种函数，到高一、高二的代数与解析几何中，就逐步讲座到连续性、实数完备性、切线等概念。数列、逼近的思想也早有渗透，到高三进一步突出逼近法研究极限、连续、微分、积分等变量数学问题。第五个转折是由确定性数学到随机性数学。在代数之后引起概率论初步。
上述数学课程设计，既遵循历史发展的规律，又突出了几个转折关头，缩短了认识过程。有利于学生掌握数学思想发展的脉络，提高数学教学的思想性。
“深入浅出”就是要学到应有的深度，才能浅出。许多事物和现象表面上各不相连，但是把它们提高到适当的高度来看，这些事物和现象就会有一种统一的理论串连其间。因此，如果没有掌握到这种枢纽性的理论，就无法回头用理论来统一一系列繁复多样的实际。所以数学课程的设计要用学生易于接受的形式引导学生去掌握枢纽性的理论。“占领制高点”，才能居高临下，一目了然。把数学课程搞得浅薄，砍掉具有枢纽地位的基础理论，把数学课程变成一本支离破碎的流水帐，一来难懂，二来无用，所以深入浅出的要点在于教好那些具有枢纽地位的基础理论。
高中数学向量基础知识范文4
【关键词】平面向量；数形结合；向量法；教学体会
现行高中第五章"平面向量"是高中数学新增内容之一。该内容的引入既丰富了高中数学的内容，又体现了向量作为数学工具的重要性。通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高中数学奠定了良好的基础。向量的基础知识较多，且与其他很多部分知识都有联系，如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系、向量与立体几何的联系、向量与解析几何的联系等。因此，有必要加强对向量这一章节的进一步研究和总结。
一、从运算的角度来讲，向量可分为三种运算
（一）、几何运算
本章教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，从中去体会数形结合的数学思想。
（二）、代数运算
1、加法、减法的运算法则；2、实数与向量乘法法则；3、向量数量积运算法则。
（三）、坐标运算
在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用"解析法"来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。
二、教学内容、要求、重点与难点
（一）、本章教学内容可分成两块：第一向量及其运算，第二解斜三角形。
1、平面向量基本知识，向量运算。具体教学内容有:向量(5.1节)、向量的加法与减法(5.2节)、实数与向量的积(5.3节)、平面向量的数量积及运算律(5.6节)。
2、平面向量的坐标运算,联结几何运算与数量运算的桥梁。具体教学内容体有:平面向量的坐标运算(5.4节),向量加减运算、实数与向量的积运算、平面向量的数量积的坐标表示(5.4节、5.7节)。
3、平面向量的应用,具体教学内容有:线段的定比分点(5.5节)，平移(5.8节)，正弦定理,余弦定理(5.9节)，解斜三角形应用举例(5.10节)，实习作业。
（二）、教学要求：
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
（三）、教学重点
向量的几何表示，向量的加、减运算及实数与向量的积的运算，平面向量的数量积，向量的坐标运算，向量垂直的条件，平面两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，正、余弦定理。
（四）、教学难点
向量的概念，向量运算法则及几何意义的理解和应用，解斜三角形等。
三、本章的特点
教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其它章节。
1、教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。首先教材通过求小船由A地到B地的位移来引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了图形，并安排了较多的作图练习、看图练习及作图验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。其次，本章各节的例题、练习、习题等配备量适中，可以使教学有较充分的自主空间，为教学提供了师生互动的空间，为学生提供了探究、发现与归纳的机会,也为教师根据教学目标，对教材进行再加工提供了可能。
2、利用"向量法"解决实际问题是本章的显著特点之一。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法；向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。
4、强化数学能力是本章的另一显著特点。由于本章的向量法的精髓就是将技巧性解题思路化成算法性解题思路；利用所学知识解决实际问题的能力作为本章的重要教学要求；为了更好地培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力，教材还安排了"实习作业",通过实际测量,使学生能运用正、余弦定理来解决实际问题，既体现了数学的工具作用和应用性，又从另一个方面促进了学生对知识的理解与掌握。以此来强化学生根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算，即运算能力。以此来强化学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。
四、教学体会
依据教学内容、要求及本章的特点，根据学生认知水平和近几年的教学实践，对"平面向量"教学有如下的教学体会：
1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。
2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。
3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高"向量法"的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。
4、利用解三角形的应用问题，结合教学过程进行数学建模的训练，要引导学生识记、区分和理解正、余弦定理的应用范围，会对公式进行变形；在运用公式解三角形时，会分类讨论三角形类型；指导学生在解三角形时掌握正、余弦定理的选用与寻找合理、简捷的运算途径的关系，总结出解与三角形有关的应用问题
5、强化数形结合的思想，化归的思想，分类与讨论的思想，方程的思想等；加强学生运算能力的培养和提高。引导学生理解本章平移知识与函数图像平移的联系和区别；理解解三角形与三角函数的联系；注意区分两向量的夹角与直线的夹角概念。
【参考文献】
高中数学向量基础知识范文5
关键词：平面向量；数形结合；向量法；教学体会
现行高中第五章"平面向量"是高中数学新增内容之一。 该内容的引入既丰富了高中数学的内容，又体现了向量作为数学工具的重要性。通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高中数学奠定了良好的基础。向量的基础知识较多，且与其他很多部分知识都有联系，如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系、向量与立体几何的联系、向量与解析几何的联系等。因此，有必要加强对向量这一章节的进一步研究和总结。
一、从运算的角度来讲，向量可分为三种运算
（一）、几何运算
本章教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，从中去体会数形结合的数学思想。
（二）、代数运算
1、加法、减法的运算法则；2、实数与向量乘法法则；3、向量数量积运算法则。
（三）、坐标运算
在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用"解析法"来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。
二、教学内容 、要求、重点与难点
（一）、本章教学内容可分成两块：第一向量及其运算，第二解斜三角形。
1、 平面向量基本知识，向量运算。具体教学内容有: 向量(5.1节)、向量的加法与减法(5.2节)、实数与向量的积(5.3节)、平面向量的数量积及运算律(5.6节)。
2、 平面向量的坐标运算, 联结几何运算与数量运算的桥梁。具体教学内容体有: 平面向量的坐标运算(5.4节), 向量加减运算、实数与向量的积运算、平面向量的数量积的坐标表示(5.4节、5.7节)。
3、 平面向量的应用, 具体教学内容有:线段的定比分点(5.5节)，平移(5.8节)，正弦定理, 余弦定理(5.9节)，解斜三角形应用举例(5.10节)，实习作业。
（二）、教学要求：
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
（三）、教学重点
向量的几何表示，向量的加、减运算及实数与向量的积的运算，平面向量的数量积，向量的坐标运算，向量垂直的条件，平面两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，正、余弦定理。
（四）、教学难点
向量的概念，向量运算法则及几何意义的理解和应用，解斜三角形等。
三、本章的特点
教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其它章节。
1、教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。 首先教材通过求小船由a地到b地的位移来引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了图形，并安排了较多的作图练习、看图练习及作图验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。其次，本章各节的例题、练习、习题等配备量适中，可以使教学有较充分的自主空间，为教学提供了师生互动的空间，为学生提供了探究、发现与归纳的机会, 也为教师根据教学目标，对教材进行再加工提供了可能。
2、利用"向量法"解决实际问题是本章的显著特点之一。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法； 向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。
4、强化数学能力是本章的另一显著特点。由于本章的向量法的精髓就是将技巧性解题思路化成算法性解题思路；利用所学知识解决实际问题的能力作为本章的重要教学要求；为了更好地培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力， 教材还安排了"实习作业", 通过实际测量, 使学生能运用正、余弦定理来解决实际问题，既体现了数学的工具作用和应用性，又从另一个方面促进了学生对知识的理解与掌握。 以此来强化学生根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算，即运算能力。以此来强化学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。
四、教学体会
依据教学内容、要求及本章的特点，根据学生认知水平和近几年的教学实践，对"平面向量"教学有如下的教学体会：
1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。
2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。
3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高"向量法"的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。
4、利用解三角形的应用问题，结合教学过程进行数学建模的训练，要引导学生识记、区分和理解正、余弦定理的应用范围，会对公式进行变形；在运用公式解三角形时，会分类讨论三角形类型；指导学生在解三角形时掌握正、余弦定
理的选用与寻找合理、简捷的运算途径的关系，总结出解与三角形有关的应用问题
5、强化数形结合的思想，化归的思想，分类与讨论的思想，方程的思想等；加强学生运算能力的培养和提高。引导学生理解本章平移知识与函数图像平移的联系和区别；理解解三角形与三角函数的联系；注意区分两向量的夹角与直线的夹角概念。
【参考文献】
高中数学向量基础知识范文6
关键词：高考数学；试题导向；高考备考；主干知识
现在高考备考，很多师生认为数学成绩不好是题目做少了，依然是题海大战，试卷满天飞，盲目、重复的训练，以致师生苦不堪言。高考过后，师生反映一年的复习效果甚微，做的多是无用功，这确实令人痛心。寻找高效的复习方法，减少无用功，提高效率，是一线教师复习备考值得思考的问题。
高考题是命题专家的呕心沥血之作，对来年高考具有一定的导向和示范作用，教学中以高考题为例，让学生了解高考题，对他们高考成绩的提高有很大的作用。研究近几年特别是上一年的高考题，探寻高考命题趋势，是有效、针对复习的前提。研的内容、深度、广度，对师生的备考效率、效果产生巨大的影响，所以对教师来说，首先应该将高考题研究清楚，寻找正确的试题导向。
导向性的好题就是以考纲为纲，以课本为源，题目灵活新颖，不难不怪，考查基础知识的同时，注重考查能力。从高考试题的内容来看，基础知识和基本方法、思想不会有大的改变，改变的只是题目的背景，试题呈现的方式，着重考查能力，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。下面我们从六个方面研究试题，体会高考导向，以利提高复习效率。
一、紧扣课程标准，突出基础
突出基础，紧扣“标准”，既是命题的核心，也是教学的核心。这样的试题也最能体现考查学生的数学素养。
例1 若正实数x， y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）
A [245] B [285] C 5 D 6
本题是2012年高考数学浙江卷文科一道选择题，答案为C，虽然是小题，但内涵丰富，入手较宽，解法灵活。考生可以从两个方面入手解答本题，一方面从已知条件入手。思路1：消元，使目标变为一元函数。由x+3y=5xy得y=[x5x-3] ，又x>0，y>0，故x>[35]，3x+4y=3x+[4x5x-3] 。设f（x）= 3x+[4x5x-3]（ x>[35]）， （也可以消去x保留y）到此学生很容易会用导数法或基本不等式法求解易得答案。思路2：变成和为定值。因为x+3y=5xy，所以[3x]+[1y]=5（x>0，y>0 ）。基本不等式法就会想到，3x+4y=[15]（[3x]+[1y]）（3x+4y）= [15]（[3xy+12yx+13]），因为[xy]>0，所以3x+4y[≥] [15（3×2][xy・4yx] +13）=5。当且仅当 [xy=4yx]且[3x]+[1y]=5，即当x=1，y=[12]时等号成立。另一方面，从所求目标入手。设3x+4y=t，（ x>0，y>0，t>0 ）。可以整体代换法求解，因为x+3y=5xy，所以[3x]+[1y]=5，又3x+4y=t.两式相加得t+5=3x+4y+[3x]+[1y]=3（x+[1x]）+（4y+[1y]）[≥]3[×2]+2[×2]=10，所以t[≥5]，当且仅当x=1，y=[12]时等号成立。（当然也可以相乘解答）
此题有多种解法，可以从多方面考查学生的基础知识和基本技能是值得研究的一道好题。对此类题目分析研究不仅使学生掌握基础知识，还可以增强学生的发散思维能力，达到举一反三、触类旁通的目的。
二、突出主干知识
高中数学课程中，主干知识仍然是数列，三角、统计与概率、立体几何、解析几何和函数、导数、不等式；高考试题与教材联系紧密，注重基础，突出主干，强调思维，反复强调“函数”、“运算”、“图形”、“算法”等等思想。它们的作用不能等同于知识点，不能等同于技能，也不能等同于一般的思想方法，他们始终贯穿高中数学课程，构成高中数学的基本脉络。高考试题强化考查考生对主干知识的认识和理解，他们反映了数学中更为丰富的东西，最终影响了学生将来的学习和工作。近几年安徽自主命题风格基本保持不变，下面以主干知识之一数列考查为例来看近几年安徽高考题。
① 2011年安徽理科第18题：在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T[n]，再令a[n]=lg T[n]， n[≥1].
（Ⅰ）求数列{ a[n]}的通项公式；
（Ⅱ）设b[n]=tana[n][・]tana[n+1]，求数列{ b[n]}的前n项和S[n].
本题考查等比数列通项公式以及数列与三角函数的综合 。
② 2012年安徽理科第21题：数列{x[n]}满足x[1]=0，x[n+1]=-x[2n]+x[n]+c（n[∈]N[*]） .
（Ⅰ）证明：{x[n]}是单调递减数列的充分必要条件是c
（Ⅱ）求c的取值范围，使{x[n]}是递增数列.
考查数列概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，着重考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解的能力，推理能力不是数列递推，这一点值得注意。
③ 2013年安徽理科20题：设函数f[n]（x）=-1+x+[x222]+[x332]+…+[xnn2]（x[∈]R， n[∈]N[*]），证明：（Ⅰ）对每个n[∈]N[*]，存在唯一的x[n][∈][[23]，1] ，满足f[n]（x[n]）=0；
（Ⅱ）对任意p[∈]N[*]，由（Ⅰ）中x[n]构成的数列{ x[n]}满足0
考查导数及应用，函数零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，同时考查推理论证和运算求解的能力，属于难题。
④ 2014年安徽理科21题：设实数c>0，整数p>1，n[∈]N[*].
（Ⅰ）证明：当x>-1且x[≠]0时，（1+x）[p]>1+px；
（Ⅱ）数列{a[n]}满足a[1]>c[1p]，a[n+1]=[p-1p] a[n]+[cp] a[n][1-p] .
证明：a[n]> a[n+1]> c[1p] .
本题第（Ⅰ）问，来源于课本选修2-2数学归纳法一节的例题，是大学数学中最常见的贝努力不等式，用数学归纳法简单证明。体现试题入口宽、面向全体考生的特点。第（Ⅱ）问，对考生的推理、证明能力，运算求解能力，分析解决问题的能力要求很高，绝大多数考生感到束手无策，但是此题并没有超纲。本题对于引导学生回归课本，改变死做题的学习方式，倡导理性思维、强化探究能力的数学教学与学习同样有很好的导向作用。同时与2012年安徽数学高考21题的解题思路基本一致，具有高等数学背景，是衔接初等数学和高等数学的一个极好题目，感知这种变化，在复习时加以重视。
三、突出几何直观
[?] 课程标准[?] 要求注重图形语言，多画一些几何图形，给我们带来的不仅是逻辑严密更是直观。在选择题中，图像问题常用到函数单调性、奇偶性、极值、特殊点处的函数值等。好的高考题通常都蕴含着丰富的几何背景。
例2 （2012年高考数学重庆卷理科第10题）设平面点集A={（x， y）颍y-x）（y-[1x]）[≥]0}，B={（x， y）颍x-1）[2]+（y-1）[2][≤]1}，则A[?]B所表示的平面图形面积为（ ）.
A [3π4] B [3π5] C [4π7] D [π2]
题中有考生熟悉的三个图形，圆（x-1）[2]+（y-1）[2]=1与y=[1x]均关于y=x对称，图中有美，美不胜收，题目把三个如此优美的曲线放在一起，让人喜欢上数学的图形美。即使不画出图形，按美学原理，从对称出发，只看选项就能选出正确答案D，这样的试题，能激起学生对数学学习的热爱。三个几何图形在课本中经常看到，体现高考源于课本，高于课本的命题思路。这样的考查对于教与学中重视基本几何图形的掌握有好的引导作用，要求我们对基本初等函数的图像和性质熟练掌握。
四、能正确体现基础与本质的关系
基础知识的概念与本质是两个不同的概念。做习题是为了更好地把握概念、定义、定理及性质的本质，若是只做题而不去思考把握问题本质，只会浪费复习时间，增加学习负担，若能重视对问题背后的数学本质的追溯，无疑能有效提高教与学的效率，培养学生的数学意识与数学能力。
例3 设[α]为锐角，若cos （[α] +[π6]）=[45]，则sin （2[α] +[π12]）的值为
这是江苏2012年高考理科第11题，很多教师认为这道题考查的是三角恒等变角技巧，并且强调角的变换是最重要的三角恒等变换之一。要注意将已知角与所求角，特殊角与一般角之间建立联系，然后选择恰当的三角公式，是解答此题的关键。由于技巧性太强对学生来说有一定的难度。这些看似强调基础知识和基本技能，但不是三角函数的本质。本题可以深入思考找到解题思路，由cos（[α]+[π6]）=[45]说明[α]+[π6]也是已知的，当然求值时要把目标角2[α] +[π12]转化为已知角，即2（[α]+[π6]）+[π12]-[π3]=2（[α]+[π6]）-[π4]。这样化未知角为两个已知角的思考，就抓住了问题的本质，三角函数是以角为自变量的特殊函数，是函数值与自变量之间的对应关系，而不是变角技巧。由此出发才能化未知为已知，找到解决问题最基本的思维方法。
五、重视阅读能力，处理新信息能力的考查
学生进入高校或者社会，能否继续发展，很大程度上取决于他们的学习能力，特别是阅读理解能力则是继续学习的前提。数学是一种语言，由于其高度抽象，符号众多，成了学生进入高校继续学习数学的障碍。近年高考对阅读能力的考查加大了力度，考点集中在符号语言，图形语言、文字语言、图表语言上。
例4 （ 2014年安徽高考理科数学15题）已知两个不相等的非零向量a， b，两组向量x[1]，x[2]，x[3]，x[4]，x[5]和y[1]，y[2]，y[3]，y[4]， y[5]均由2个a和3个b排列而成。记S= x[1][・] y[1]+ x[2][・] y[2]+ x[3][・] y[3]+ x[4][・] y[4]+x[5][・] y[5]，S[min]表示S所有取值中的最小值。则下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。
①S有5个不同的值；
②若a b ，则S[min]与OaO无关 ；
③若a∥b ，则S[min]与Ob O无关；
④若Ob O>4OaO，则S[min]>0；
⑤若Ob O=2Oa O，S[min]=8OaO[2] ，则a 与b 的夹角为[π4]。
此题是填空题的压轴题，要求学生对每个问题都能正确做出判断，一错则错，并且此题更是复合型题与信息题两者的完美结合，试题新颖且有创造性，对数学知识、数学方法的考查全面、深入。信息题它可以有效考查学生即时阅读、理解信息的能力，以及抽象概括信息与运用信息的能力；同时本题对数学思想方法的考查也很深入，主要考查分类讨论的数学思想方法和函数方程思想，属于难题。对于①讨论a ，b 有0、2、4组对应数量积，得到S最多有三个不同的值，①错；因为a ，b 是不等向量，所以S[1]-S[3]=2（a - b）[2]0， S[1]-S[2]=（ a - b）[2]0 ， S[2]- S[3]=（a - b）[2]0， 所以S[3]S[2]S[1]，故S[min]= S[3]= b [2]+4 a[・]b ，对于②，当ab 时，S[min]= b [2]，与OaO无关，②正确；对于③显然S[min]与ObO有关，③错误；对于④设a ，b 的夹角为[θ]，则S[min]= b [2]+4 a[・]b16OaO[2]+16OaOcos[θ]=16OaO[2]（1+ cos[θ]）≥0，故S[min]0， ④正确；对于⑤，ObO=2OaO，S[min]=8OaO[2]，所以cos[θ]=[12]，又[θ][∈][0，[π]]，所以[θ=π3]，⑤错误。
安徽省近几年的15题都是复合型填空题，阅读能力的考查要求很高，所以教学中要多多强调。本题是向量运算综合问题，主要考查向量的数量积运算、夹角公式、不等式性质。安徽高考在向量这个地方一直想创新，本题是个很新颖别致的问题，为2015年的高考提供了一个范例。
六、强调应用意识，体现数学文化价值，引导学生积极主动的学习
