摘要：拓展性课程是国内学校课程的重要建设内容之一，教材编写是影响学生拓展性课程“学习机会”的重要因素．研究选取浙教版《义务教育拓展性课程数学新探索》七~九年级上册3本教材，借鉴数学教材探究活动分析框架，从学习进度、内容特征、呈现方式、探究活动特征等方面分析教材编写得失．研究表明，选取的3本拓展性课程教材对基础性课程进行了拓展延伸；教材设计体现“学为中心”理念；多样化拓展课题凸显课程层次性；但活动形式以个人解答为主，突出数学运算与推理．建议在数学拓展性课程中提高对数学基础性知识的应用与整合，加强数学建模素养在课程中的渗透，均衡不同类型拓展活动的比例，设计开展STEAM教育，以提高课程实践性及综合性．
关键词：初中数学；拓展性课程；教材研究；STEAM
1研究背景
21世纪初，为适应社会发展对多样化人才的需求，拓展性课程作为国内学校课程的重要建设内容之一应运而生．它属于普通中小学课程，面向全体学生，是在基础性课程的基础上，为拓展学生知识并发展其潜能而开设的课程[1]．虽然拓展性课程在国内开发与实施已历时十余年[2]；但已有的课程实践研究表明，大部分学校把由学校提供的拓展性课程等同于教师自行开发拓展性课程，因此出现了课程质量不高[2]、散乱无序等问题，特别是开发的学科类拓展性课程易演变成基础性课程内容的练习巩固与延伸，这些都有悖拓展性课程建设初衷．2015年浙江省教育厅颁发的《关于深化义务教育课程改革的指导意见》首次明确提出将义务教育课程分成基础性课程和拓展性课程，并对拓展性课程开发与实施要求予以说明，掀起了浙江省中小学拓展性课程开发与实施热潮．与此同时，在“立德树人”背景下，数学核心素养已成为数学课程改革的新指向[3]．虽然《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《义务课标》）与浙江省教育厅的《关于建设义务教育拓展性课程的指导意见》（以下简称《指导意见》）都未对学科核心素养内涵进行界定，但初中数学课程仍承担着落实学生数学核心素养的重任[4]，《指导意见》更明确指出以培养学科核心素养为导向建设知识类拓展性课程[5]．因此，如何以培养数学核心素养为导向，选择与组织拓展性课程教学内容成为影响课程开发与实施效果的关键因素[6–7]，同时这也是学校开展拓展性课程建设的薄弱环节．为此，浙江省教研室组织省内各地数学教研员、特级教师，联合高校数学教育学者编写了初中数学拓展性课程教材《义务教育拓展性课程数学新探索》（以下简称《数学新探索》）．教材编写是影响学生拓展性课程“学习机会”的重要因素[8]，研究结合拓展性课程建设要求，构建研究框架分析《数学新探索》编写特征，以期对提高学校学科类拓展性课程的开发与实施提供启示．
2研究设计
2.1研究对象
研究对象为《数学新探索》七~九年级上册共3本教材，该套教材依据浙江省教育厅《关于深化义务教育课程改革的指导意见》和浙江省教育厅办公室《指导意见》编写，与浙教版初中数学教材同步．
2.2研究问题
《数学新探索》是初中数学拓展性课程的潜在实施课程．《指导意见》中明确提出[8]，拓展性课程是基础性课程的延伸、应用与整合，要以培养学生核心素养为导向，遵循多样性、综合性、实践性等课程建设原则，为不同层次的学生提供适合的课程．研究主要分析《数学新探索》七~九年级上册3本教材是否按课程指导文件要求进行设计编写，并将研究问题确定如下．（1）数学拓展性课程与基础性课程的教学内容有何联系？是否实现了对数学基础性课程的延伸、应用与整合？（2）初中数学拓展性课程教材是否满足拓展性课程建设要求，即教材是否具备多样性、层次性、自主性、综合性、实践性？（3）数学核心素养在拓展性课程教材中渗透情况如何？数学核心素养目前没有统一的界定，部分学者将数学核心素养界定为学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键数学能力，且主要讨论定义中的数学关键能力[3，9-10]．高中数学课程标准修订组[11]提出的6个数学核心素养本质上也是6种数学关键能力，它们提炼自《义务课标》的十大核心概念，不仅较好地凸显了数学学科的本质，且从逻辑上较为完整[10]，因此研究借鉴高中课标对数学核心素养的分类，并对“逻辑推理”稍作修改[12]，聚焦数学抽象、数学推理、数学建模、直观想象、数学运算与数据分析这6个数学核心素养，分析其在初中数学拓展性课程教材中的渗透情况．
2.3研究框架
研究的拓展性课程教材在前言中指出通过设计数学主题式、探究式学习活动，为学生提供动手操作及实践体验的机会，数学核心素养亦是在数学活动中通过对数学知识的亲自探索和创造而发展起来[13]，结合上述研究问题，确定从探究活动视角出发设计分析框架．首先，明确拓展性课程教材中探究活动“学习进度”“内容特征”“呈现方式”分析维度．“学习进度”指通过每个课题导引处学习时间段建议，分析拓展性课程与基础性课程的联系；活动“内容特征”则根据教材前言中提出的6类活动特点进行分析，即趣味数学与游戏、数学史话与欣赏、数学实验与探究、生活数学与应用、数学思想与方法、知识延伸与拓展．“呈现方式”指教材设计的导引、问题、例题、练习及拓展阅读5种呈现方式．其次，为了更好地揭示拓展性课程教材内容探究特征，借鉴已有的数学教材探究活动分析框架[14]，对每个课题下每一类呈现方式从情境表述、问题表述、活动类型及活动组织形式进行深度分析。
3研究结果
3.1两类课程教学内容显著正相关实现了对基础性课程内容的延伸
拓展性课程教材在基础性课程的基础上，以拓展课题的形式呈现教学内容，3册拓展性课程教材共设计了78个拓展课题，每一课题都围绕一个主题性的问题解决展开，拓展课题出现的位置则主要依据基础性课程教材的编排顺序．拓展性课程教材在每个课题的导引处，明确了该拓展课题的学习进度，即建议在基础性课程教材的某一章或节后学习．统计表明，教材编者针对基础性课程教材的每一章内容都设计了相应的拓展课题，其中84.62%的拓展课题更明确到基础性课程某一节教学后出现，其余明确为某一章后出现．拓展性课程教材内容较好地体现对基础性课程内容的拓展延伸．具体而言，将七~九上3册基础性及拓展性课程教材在不同年级、不同内容领域的章节数量及其百分比进行统计，3册基础性课程教材总的章节数为84节，拓展性课程教材中学习课题数为78个．两类教材在不同年级、不同内容领域的分布百分比（各章节数/总章节数）如表1所示．将上述两类教材内容所占百分比作为两个变量，用SPSS软件分析其相关性时发现两个变量Pearson相关系数为0.949，显著性系数为0.000，即为显著正相关性，该教材实现了与基础性课程同步开设的需求。
3.2课题式设计体现“学为中心”理念注重结果性知识与过程性知识融合
拓展性课程教材设计栏目清晰，每个拓展课题下设计了导引、问题、例题、练习及拓展阅读5个栏目，其中例题与练习分别有2~3题．为便于教师更好地安排教学及学生自学，在导引、问题及例题栏目中都设计了不同的引导性环节．如图2所示，在“导引”处设计与主题相关的情境性引言，激发学生的学习兴趣，更明确课题的学习目标与学习进度，即建议在基础性课程教材某一章节之后再学习该拓展课题；在拓展性课程教材正文（“正文”皆指拓展性课程教材中的正文，下同）中探究“问题”栏目，以“问题—思考—问题解决—归纳”4个环节呈现探究过程，每个例题下又设计“例题—想一想—问题求解—方法提炼”4个环节．拓展性课程教材设计体现了“学为中心”的教学理念，引导学生自主经历问题分析、解决、归纳提炼的过程，注重结果性知识与过程性知识的融合，以培养学生自主探索，分析、解决问题的能力．不同内容领域下每个拓展课题均按上述栏目设计，拓展性课程教材在设计数学拓展课题活动中渗透数学核心素养．核心素养成分中的数学抽象、数学运算、数学推理、直观想象贯穿于整个数学学习过程，但如表1所示，基础性课程教材与拓展性课程教材在概率统计领域出现教学内容都较少．数据分析素养是统计的核心，主要由学生在经历调查研究、数据收集分析的过程中逐渐形成，概率统计内容出现比例低，使数据分析素养在课程中的渗透机会低于上述素养成分．
3.3挖掘课程资源设计
6类拓展主题不同年级各有侧重凸显课程层次性为满足不同学生的学习需求，编者充分挖掘的是数学学科知识相关的课程资源，设计了数学趣味与游戏、数学史话与欣赏、数学实验与探究、生活数学与应用、数学思想与方法、知识延伸与拓展6类不同内容特征的拓展课题．如七上2.4“24点游戏”引导学生借助生活经验、实物在玩中学，学中玩，激发学生的学习兴趣；七上5.6“名题欣赏：古诗中的方程”借助数学文化拓宽学生数学视野；八上4.1“生活中的定位方法：寻找目的地”引导学生体验数学的应用价值；九上1.5“用技术学数学：用函数图象估计方程、不等式的解”为基础扎实的学生做好初高衔接的准备，5.1“由数思形：从汉书表达式中‘读’出角度”在方法论层面引导学生掌握数学思想方法．拓展性课程教材层次性还体现于不同年级拓展课题各有侧重，即在七、八年级分别注重数学思想方法、知识拓展的基础上，于九年级加强数学在生活中的应用．从整体上看，78个拓展课题中“数学思想方法”“知识拓展与延伸”“生活数学与应用”类拓展课题出现比例较高，依次为26.92%、25.64%、23.08%，其它3类课题出现比例较少．若分年级看，如图3所示上述3类高比例的拓展课题依次在七、八、九年级出现比例最高，均高于15%，而各自在其它年段出现比例较低，为5%左右．“趣味与数学”“数学史话与欣赏”“数学实验与探究”则在3个年段教材中出现比例均不超过5%，特别是“趣味与数学”“数学史话与欣赏”均在九年级出现比例最低．
3.4多样化学习活动以信息完整的个人解题为主重视数学运算与推理
对拓展课题中导引、问题、例题、练习及拓展阅读这5个栏目的活动类型进行分类统计，发现导引与拓展阅读皆以个人阅读活动的形式呈现，且都以纯数学情境和真实情境为主，两类情境均占40%以上，其中70%的拓展阅读有关数学问题解答．问题、例题及练习中则以解答活动为主，均占93%以上（正文中探究问题、例题及练习题中，皆有近10%的题设计了2~3个小题，考虑小题之间的衔接与指向性，分析时以最后一个小题的活动类型作为分析对象进行分析）．拓展性课程教材正文中的问题栏目出现个别“提问”“信息技术和日常生活类实验活动”“文本类的项目活动”，例题与练习栏目中则除解答活动，只出现个别信息技术和日常生活类实验活动．具体而言，正文问题的解答活动中“推测解释”占58.9%，其次计算证明为32.88%；例题与练习中解答活动比例相似，皆以“计算证明”为主（约68%），其次是“推测解释”（约27%）；3个栏目的解答活动中，“验证反思”出现比例最少，约占5%。从问题情境设计上看，虚设情境在上述解答活动中出现比例较高，均为30%左右．拓展性课程教材正文探究问题中3类情境出现比例较为接近；例题与练习则以纯数学情境为主，其次为虚设情境，真实情境比例较低．上述解答活动中，除了一个正文探究问题数学信息不完整，其余所有活动中的数学信息皆完整．且从活动组织特点上看，除了正文问题中出现一次日常生活类实验活动建议同伴合作完成，一次文本类项目活动建议团队完成，其余皆为学习者的个人活动．（情境表述分类见图4）
3.5解题活动以开放题为主坚持数学基础和数学创新并举
由上述分析可知，拓展性课程教材正文中的探究问题、例习题以解题为主，优质的数学教育应当坚持扎实的数学基础和不断的数学创新相结合，开放题是加快双基教学进行的有效途径[15]．虽然正文3个栏目以数学信息完整的个人解题为主，但这些栏目的问题90%以上为开放式问题．如图5所示，正文问题、例题、练习题中问题类型分布十分接近，90%为过程开放式问题，封闭式问题约占8%，在正文问题有近4%为结论开放式问题，其问题过程与结论皆开放．从教材内容问题表述的句式上看，上述解答活动的正文探究问题以询问式的过程开放题为主，约为80%，例题与练习则以指令式过程开放题为主．如拓展性课程教材八上1.1“列举法解决问题：能搭几个三角形”中正文探究问题：学生可以把符合条件的三角形一个一个写出来，也可以利用三角形三边长关系进行推导，并基于自身解题能力，最后摆出不同三角形的种数，可能出现不同的答案，该内容属于过程开放、结局开放的探究内容．开放性问题由于其问题本身解决方法的多样性，答案的不确定性、发散性等特点，有利于培养学生主体意识，利于学生积极参与，培养其探索能力和创新精神等功能[16]．
4研究启示
4.1提高对基础性知识的应用与整合加强渗透数学建模素养
研究表明拓展性与基础性课程教材内容联系紧密，多样化拓展性课题活动满足了不同层次学生的学习需求．整体而言，拓展性课程教材正文更注重在拓展基础知识与提炼思想方法的基础上加强数学应用于生活，引导学生应用所学知识解决生活中相对简单又实际且已经明确的问题，建立数学与生活之间的联系．这在一定程度上体现了课程对数学建模素养的渗透，但仍有待加强．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养[11]，学生的数学建模素养在数学活动中通过对数学知识亲自探索和创造发展起来．数学建模素养的落实，需引导学生应用、整合已学的基础性知识，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、求解并最终解决实际问题．而研究中的教材一方面对基础性课程学科内部之间、不同学科之间的应用、整合有所欠缺；另一方面，对于实际情境，问题明确，没有给学生发现、提出问题的机会．事实上，目前数学拓展性课程开发与实施过程中，仍有很大部分一线教师对拓展性课程与基础性课程认识存在误区，认为拓展性课程是基础性课程的拓展、深化，但应用、整合意识较弱，在开发与实施时，常将拓展性课程教学融入到日常基础性课程教学中．因此，加强对基础性课程的应用与整合，切实渗透数学素养于课程，是今后数学拓展性课程开发值得关注的地方．
4.2均衡不同类型拓展活动的比例提高活动协作性及实践性
作为学生可自主选择的课程，拓展性课程教材以明确的教学目标为导向，在主问题引领下配以例题、练习与拓展阅读，以促进学生对数学本质的深入理解．各栏目设置清晰，结合“思考”“提炼”等子栏目，教学引导性强．不仅有利于教师合理安排教学内容，也有助于促进学生自由反思、自主探究能力的形成．但这些学习活动大部分是个体解答活动，例题与练习中所占比例更高．培养学生创新意识的“提问”活动，培养学生数学应用意识与能力、动手实践能力、合作探索能力的“实验活动”“项目活动”，则出现比例很低，没有出现培养学生数学表达能力的“写作活动”，教材中的拓展课题对学生学习过程的协作性与实践性要求不高．在数学拓展性课程开发与实施时，需避免拓展内容成为自主的练习巩固，均衡不同类型拓展活动的比例，特别是适当提高除解题、阅读活动之外的其它拓展活动比例，为学生提供更多的动手操作、实践体验、合作学习的机会，丰富学生的学习经历．引导学生从数学视角发现、提出、分析、解决问题[17]，提高其创新意识、应用意识及协作实践能力．如上述分析中提及的数据分析素养的渗透，可尝试在拓展课程中设计真实情境驱动下的调查统计活动，引导学生相互协作分析现实问题，以调查报告的形式呈现问题解决过程与结果．
4.3将STEAM教育融入数学拓展性课程中提高活动综合性与探究性
《指导意见》[8]中明确提出拓展性课程建设的基本原则之一是“综合性”，即为增强学生探究精神与综合素质体，创设有意义的真实学习情境，设计如项目活动、探究式等类型的活动．研究表明拓展性课程教材在基础性课程教学内容的基础上，设计了多样化的拓展课题，但其正文中探究问题真实情境出现比例并不高，数学学科内在、学科之间的应用与整合，活动的实践性与综合性都有待提高．为更好地实现拓展性课程教学目标，建议在数学拓展性课程中增设STEAM教育．STEAM是科学（science）、技术（technology）、工程（engineering）、艺术（arts）及数学（mathematics）的缩写．STEAM教育强调5门学科的融合，本质上是以学为中心、使用跨学科方法，让学生在动手实践、合作学习的过程中，习得认识和改造世界综合性知识的创新教育[18–19]．在数学拓展性课程中增设STEAM教育，是寻求学科之间的协同增效之路，通过探索不同学科与数学之间的相关性，建立相关知识间的逻辑关系，为解决现实问题提出解决方案，能弥补上述课程活动实践性与综合性存在的不足．在开发与实施时，需注意基于各学科基础知识与内容标准；通过真实性问题，以项目活动的方式，探索学科之间不确定的相关性[20–25]．
5结束语
浙教版初中数学拓展性课程教材在基础性课程的基础上进行拓展延伸，主题式的拓展课题栏目清晰、引导性强，体现了“学为中心”的课程理念，多样化的拓展课题在不同年级各有侧重，凸显课程层次性；但应用整合性、实践性、综合性，以及数学建模素养在课程中的渗透有待提高．为此，加强学科内部、不同学科之间的联系，均衡不同类型拓展活动的比例，以项目活动的方式，在数学拓展性课程中涉及开展STEAM教育，是今后中学数学及其它学科类拓展性课程的开发与实施值得尝试的方向。
作者:斯海霞 叶立军 单位:杭州师范大学
