初中数学求最值的方法范文1
【关键词】循环程序设计；迭代法；高次方根
循环结构是结构化程序设计中三大基本结构之一，也是计算机程序设计语言教学的重点和难点之一[1]。循环结构通过重复执行一组操作，能够把复杂的、不易直接求解的问题变换为操作简单，易于处理的迭代求解问题。这也体现了解决数学问题时常常采用的化归思想。
本文基于数值计算中采用迭代法求解二次方根的实例，对相应的问题和求解方法进行拓展，并通过理论分析和C语言编程实现，让学生从深度和广度上对迭代方法及其应用有更加深刻的理解和认识。
1、基本案例
为了求解 的值（2的算术平方根），数值计算[2]中采用经典的迭代方法：
令x= ，则有，
. （1）
由式（1）知，x的值可通过迭代方式求解，即
. （2）
经过多次迭代，可以计算出 的值。
计算科学的基本问题是能行性问题[3]。上述迭代方法具有可行性吗？分析如下：
首先，式（2）中x的计算需要一个初值，通过不断地迭代更新x的值。为了便于处理，不妨设初值为任意的正值。
情况1：当初值0
. （3）
不等式（3）说明，当0
进一步地，由代数不等式 知，
. （4）
等号成立当且仅当x= 。这说明小于 的初值经一次迭代后，产生的新x必然大于 。
情况2：当初值0 时，由式（1）的推导过程知，
. （5）
不等式（5）说明，当x> 时，式（2）的计算过程，即由 更新x，会产生比初值更小的新的x值。再由式（4）知，当x> 时，更新过程产生的x值不会小于 ；由于新的x值在逐渐缩小，说明最终会收敛至 。
上述分析说明，当初值0 时，更新过程使得x值逐渐变小，最终收敛于 。
上述过程也可由图1进行可视化证明。当初值x< 时，由于 。假设 ，通过移项知，须 。由图1知，此时曲线y=1/x的值大于直线y=x/2的上值。所以，假设成立，且产生了大于 的新值。当初值x> 时，类似的推导知，假设 ，须 。由图1知，假设亦成立，且更新过程x总是不小于 。当x= 时，1/x+x/2=1/ + /2= ，得到最终的解x。证毕。
图1 直线y=x/2和曲线y=1/x.
上述的证明过程说明，式（2）的迭代方法具有能行性，能够计算 的值。
事实上，对于任意的正数p，令x= ，由式（1）的推导过程知，
. （6）
通过与求解 类似的推导过程知，式（7）能够计算任意正数p的算术平方根，方法同样具有能行性。
. （7）
教学意义：本节能够让学生加深理解由循环结构形成的迭代方法。采用迭代方法求解复杂的问题时，通过把问题分解为若干步骤，每步完成一个相对简单的问题。由于这种化归思想广泛存在于数值计算或者科学计算之中，通过引导，能够加深学生对迭代法的理解。
2、案例拓展
进一步地，对任意正数p的任意m（ 且为自然数）次方根，能够通过上述方式求解 吗？
首先，可考虑m=3时的情况。令x= ，则有x3=p。与式（1）类似，
. （8）
如何对式（8）进行类似于式（1）的改造，且使得产生的更新过程会收敛至 ，是构造相应迭代过程的关键。
事实上，代数不等式 是式（9）的特例，
. （9）
求解 的迭代过程最终会收敛到 本身，这是由于式（9）（n=2时）中不等式右端产生的最小值正好为 （也可参考图1）。因此，在构造求解 的过程中，式（9）的右端需要直接产生 。由式（9）知，此时需要构造式（10）的形式，
. （10）
进一步地，由式（8）知，
. （11）
显然，
. （12）
所以，式（13）可以用于迭代求解 ，
. （13）
相应的收敛性证明与 的情况类似，不再累赘。
进而，对任意不小于2的自然数m，对应的问题是求解x= ，则有xm=p。与式（1）和式（8）类似，
. （14）
由不等式（9）知，式（14）右端，即 ，具有最小值 。在实际的更新过程中，可采用式（15）的简化形式，
. （15）
式（15）的收敛性证明如下：
情况1：当初值0
. （16）
说明经一次迭代更新，产生的新值x大于 。
情况2：当初值0 时，由式（14），（15）和式（16）知， ，说明此时由式（15）产生的新值x在逐渐变小，但不会小于 。该更新过程使得x趋向于 ，当x= 时，式（15）的迭代过程收敛。证毕。
上述推导过程说明，式（15）能够用于迭代计算 。而且，平方根和立方根的求解是m=2和m=3时的特例。
教学意义：把求解平方根的问题，泛化到求解任意高次方根的问题，有助于引导学生深化思维。上节和本节的收敛性证明也能够锻炼学生运用数学知识解决问题的能力，提高理论水平；这一理论推导过程，也可以让学生更加清楚上述迭代过程能够求解高次方根的原因，有助于加深对计算科学中可行性问题的认识；本案例通过最基本的加减乘除运算解决了求高次方根的问题，从运算角度同样体现了化归思想；而且，该案例能够让学生更好地理解和运用循环结构解决实际问题。
在实际教学中，把求解平方根和立方根的情况推广至任意高次方根的问题，可以作为课外作业，让学生自行完成，以培养数学思维和动手能力。
3、程序实现
基于对 ， 和 的求解说明，本节给出相应的C语言算法（程序）描述。
求根的过程，不管p值大于1，或者小于1，根总有向1靠近的趋势。这说明x的值可以简单地初始化为1。为了加速程序的运行，我们也可以考虑其它的初始化方法。如，论文[4]给出了初始化的一个上界。
教学意义：通过程序实现，对于任意的正数p，Program 1 和Program 2分别能够求解平方根和立方根，Program 3能够直接求解任意的高次方根。对问题的深化思考有助于拓展学生的视野，激发学生的学习兴趣，培养通过编程解决问题的能力和成就感。
4、小结
本文把迭代法求解平方根的案例，拓展到求解任意正数的不小于2的正整数次方根问题，分析了迭代求解的理论基础，证明了迭代方法的收敛性，最终给出了C语言程序代码。本文设计的教学案例在提升学生的学习能力，拓展学生的知识面，丰富教学内容方面具有多个优点：1）理解和掌握循环结构，2） 理解和运用数学不等式求解极值问题，3）锻炼数学思维能力，培养科研型人才，4） 加深理解计算科学中的能行性问题。
参考文献：
[1] 孙英，徐顺琼，李兴美. C 语言中循环结构程序课的教学设计与探讨.计算机教育 [J]， 2009，12：186-187.
[2] F. 施依德[美]著， 罗亮生 包雪松 王国英 译. 数值分析 [M]， 第二版. 第1章第1页. 北京：科学出版社， 2002.
[3] 赵致琢.计算科学导论 [M]. 第3章第69页. 北京： 科学出版社， 2004.
[4] 刘红超， 陈惠汝.用迭代法计算预定精确度下的算术平方根 [J]. 黄冈师范学院学报， 2004， 24（3）： 24-26.
基金项目：
中国博士后科学基金（2011M501189）。
初中数学求最值的方法范文2
关键词：气动参数辨识；残差平方和最小；遗传算法
引言
许多学者在气动参数辨识的方法上进行了深入的研究，获得的许多成果已广泛应用于工程实际中，其中基于灵敏度的极大似然法和广义Kalman滤波法应用最广泛。但在工程实际应用中，这两种方法在求解辨识参数时都存在矩阵求逆的过程，经常存在因为矩阵求逆而引起的不稳定问题，参数辨识结果很容易发散。本文针对基于灵敏度的极大似然法和广义Kalman滤波法存在的不足，在残差平方和最小准则下提出最小二乘法与遗传算法结合的算法进行气动参数辨识。下面给出辨识实现的步骤，采用最小二乘算法确定气动参数初值、遗传算法调整气动参数，最后，运用纵向运动的三自由度仿真证明了该方法的有效性和可行性。
1. 在残差平方和最小准则下最小二乘算法与遗传算法相结合的气动力参数辨识方法
导弹气动力参数辨识过程是根据辨识准则和试验数据求取模型中的待定参数的过程，因此一般气动参数辨识的过程主要分成七个步骤：
步骤一：弹道重构数据输入；
步骤二：确定气动参数初值；
步骤三：计算弹道数据；
步骤四：计算目标函数；
步骤五：判断目标函数是否最小，是转到步骤七，否转到步骤六；
步骤六：调整气动参数，回到步骤三；
步骤七：输出气动参数辨识结果。
上述的气动参数辨识过程中步骤一、三、五对不同的辨识算法而言是基本一致的，就如前面所说辨识算法的不同主要体现在步骤二、四、六上，辨识算法的辨识结果的有效性和收敛性主要取决于这三个步骤。本文针对广义Kalman滤波算法和极大似然法的缺陷，提出了在残差平方和最小准则下应用最小二乘法与遗传算法结合的算法进行气动参数辨识，这个算法主要特点在于：步骤二：气动参数初值的确定采用最小二乘算法；步骤四：目标函数的选取采用残差平方和最小准则；步骤六：气动参数的调整采用遗传算法。
2. 最小二乘法确定气动参数初值
在气动参数寻优的过程中需要各待估参数的取值范围，所以在辨识之前需要事先估计参数的初值，根据经验按照初值给定范围。
其中
（2）
解上面方程组，即可得出回归系数。
3. 残差平方和最小准则选取目标函数
为了避免矩阵求逆的问题，本文选择残差平方和最小作为目标函数：
（3）
4. 遗传算法调整气动参数
遗传算法直接以目标函数作为搜索信息。遗传算法仅使用由目标函数值变换来的适应度函数值，就可以确定进一步的搜索方向和搜索范围。
下面是遗传算法调整气动参数的流程图（如图1所示），及遗传算法调整气动参数的具体过程：
5. 纵向运动的三自由度仿真
为了验证在残差平方和最小准则下最小二乘算法与遗传算法相结合的算法在导弹气动参数辨识中的有效行和可行性，本文给定了导弹的一组理论气动参数，在给定理论气动参数的基础上进行导弹三自由度的仿真计算导弹的理论航迹，以导弹的理论航迹作为辨识算法的输入，辨识导弹的气动参数。
选取气动模型状态方程组：
由上面的辨识结果表1可知，气动参数的辨识值与真值之间的相对误差最大为1.9%。该算法的目标函数逐渐趋近于零，即观测量与其在积分程序中的计算值的残差的平方和趋近于零。由图4、图5可知，vx、vy的拟合效果非常好，几乎重合。说明，在残差平方和最小准则下，应用该算法进行气动力参数辨识是有效的。
初中数学求最值的方法范文3
【关键词】多项式方程的根；二分法；狼群算法；最优解
【Abstract】For often encountered in engineering and scientific computing polynomial equation root of the problem， traditional methods have a dichotomy， Newton's method and so on. However，they are not the best way to engineering because the convergence is slow and low inefficient. As for these shortcomings， this paper had been proposed Wolves Algorithm to make out polynomial equation roots of the problem. It use the advantages of Wolves Algorithm computational robustness and global convergence of multiple iterations of the equation to find the optimal solution. Compared with other algorithms， there was relatively better stability and global optimization. Finally， a numerical simulation results show that the algorithm can effectively find the roots of a polynomial equation. What’s more， it can work accurately and quickly.
【Key words】Polynomial equation roots； Dichotomy； Wolves Algorithm； Optimality solution
0 引言
求解多项式方程的历史可以说成是一部代数学史，人们很早就开始探索高次方程的数值求解法的问题。随着计算机的不断发展，求解多项式方程的方法研究也有了飞速的发展，传统求解多项式方程根的方法有牛顿法、二分法等以上方法，但也受到一些条件限制如对初始值的选取是否恰当。针对以上的问题，现提出一种模拟狼群分工协作式捕猎行为的群体智能算法――狼群算法求解多项式方程根，该算法具有较好的计算鲁棒性和全局搜索能力，并通过数值仿真实验的结果优于其他迭代法所求结果，是一种求解多项式方程根的数值解的方法。
1 狼群算法
1.1 狼群算法[1]简介
在自然界中，众所周知狼是群居动物，每匹狼都在狼群中扮演者重要的角色，狼的成功是狼与狼之间的默契配合，它们总能依靠团体的力量去完成每一件事。因此许多狼研究者对于狼的捕食行为提出了一种仿生智能优化算法――狼群算法（Wolf algorithm，简称WA）。2011年，华北电力大学的鄢小虎和柳长安等学者提出了将狼群算法应用在移动机器人路径规划上，主要过程如下：
1）游猎过程：狼个体用爬山法搜索当前所在位置附近的局部最优值；
2）围攻过程：狼个体利用群体中最优狼个体的信息搜索全局最优值；
3）食物的分配过程：按“优胜劣汰”的分食原则，最壮的狼更容易得到食物，而最弱小的狼只能被饿死。新狼代替死狼，狼群得到更新，使狼群多样化。
这些步骤如图1[2]所示。
1.2 狼群算法的原理[2]
以迭代的方式不断地寻找最优值，狼群的位置及优化问题的解。狼群通过初始化狼群、竞争领导者狼、向领导者狼移动、包围猎物以及分配食物五个步骤来实现求解最优化问题。
1.2.5 分配食物
根据狼群的事物分配的原则，精壮的狼将优先获取食物，而接着在分配给较为弱小的狼。这样分配食物可能会导致最为弱小的狼会饿死。但是能确保精壮的狼能够继续生存下去，使得种群有着更好的适应能力。据优胜劣汰原则，移除最差的m匹狼，然后随机生成m匹狼。这样种群不易陷入局部最优，且使得种群具有多样性。
1.3 狼群算法的步骤
Step1. 初始化。狼群中有n个狼，最差的有m个狼，首领狼有q匹，搜索h个方向得到最大的搜索次数是max dh，搜索步长和移动步长分别为stepa和stepb，ra和ra分别为围攻步长的最大值最小值，max t是最大迭代次数。初始化每匹狼的位置用公式（1）；
Step2.选最优的q匹狼通过搜索来竞争首领狼，第i匹竞争狼通过式（2）不断向前搜索到最优的位置；
Step3.众多的竞争狼中选出最厉害的狼作为领导者，剩下的狼向着领导者靠近移动，位置按（3）式更新；
Step4.首领狼搜索到猎物。其他狼包围猎物，通过式（4）对其位置进行更新，并对更新后的位置依照公式（5）进行越界处理；
Step5.对狼群的更新是按照狼群分配食物的原则，除掉最差的m匹狼，同时 m匹狼通过（1）随机产生。
Step6.一次迭代结束，进行下一次迭代，判断是否满足结束的条件，满足条件退出循环，记录结果；不满足条件，转到step2。
1.4 狼群算法的流程图[4]
2 狼群算法求解多项式方程的步骤
Step1.初始化狼群，包括各初始化仿真参数，狼群的个数N_num、最大的迭代次数Max_iter，探狼比例因α，最大游走次数T_max，距离判定因子w，步长因子S等等；
Step2.初始化头狼，通过迭代计数剔除最次狼个数，同时初始化出除头狼外的最佳人工狼为探狼，并执行游走行为，直到某只探狼比头狼感知猎物的气味浓度大或者达到最大游走次数。
Step3.狼个体的游猎过程，旨在寻找多项式方程的局部最优值，是求解多项式方程根的算法的中间力量。根据侦查出的气味浓度，更新头狼及其位置，并发起召唤行为，实现了多项式方程根的多样性，避免算法陷入局部极值。
Step4.统计狼群信息选出探狼和猛狼，如果猛狼离猎物更近，置为头狼，然后发起召唤，执行围攻行为，不断更新头狼，并记录当前位置；
Step5.判断算法是否合理，如果达到优化精度要求或者最大迭代次数T_max，说明算法合理，则输出头狼的位置，即为多项式方程的最优根，同时结束迭代，否则转向步骤4；
Step6.采用多次迭代的方式降低狼群算法求解多项式方程根的随机性，通过人为设定循环次数来终止算法，从而得出多项式方程的最优解。
3 仿真实验
仿真实验在以下硬件环境中进行：CPU：Intel（R） Core（TM）i5-2520M CPU @ 2.50GHz2.50 GHz 内存：4.00GB 操作系统：Windows8 系统类型：64位程序 执行软件：matlab R2010a。
以下二个例子都是在固定的参数条件下进行运算，其中狼群个数 N_num=30，1b=-4，ub=3，x=1b：0.05：ub；未知量个数dim=1；仿真参数 Alpha=4，Beta=6，w=1000，S=2000，h=20，T_max=20。
例1 求解多项式方程[5] x2-3=0在区间x∈[0，4]的一个根。
例2 求解多项式方程[6]：x3-x-1=0在区间[1.0，1.5]内的一个实根。
4 结束语
根据狼群算法的捕食原理，将其与求解多项式方程根相结合，提出了一种基于狼群算法求解多项式方程根的算法。利用狼群为了生存，不断在头狼的带领下搜寻、围捕猎物的过程，一步步的接近多项式方程的最优值，从而最终找到全局的最优解。通过仿真实验，与其他多种算法的比较，证明了同等条件下狼群算法对于数值问题的求解，是一种收敛更快速，结果更精确的有效方法。
【参考文献】
[1]王传伟.基于狼群算法的三维传感器优化布置研究[J].大连理工大学，2014（6）：13-17.
[2]Seyedali Mirjalili，Seyed Mohammad Mirjalili，Andrew Lewis. Grey Wolf Optimizer[J]. School of Information and Communication Technology， Griffith University， Nathan， Brisbane， QLD 4111.
[3].狼群算法与萤火虫群优化算法及其应用研究[D].广西民族大学，2014， 44：4-7
[4]，周永权.一种基于领导者策略的狼群搜索算法[J].广西民族大学，信息科学与工程学院，2013，9（30）：2630-2632.
初中数学求最值的方法范文4
论文关键词：例谈不等式恒成立中参数范围的确定
确定恒成立不等式中参数的取值范围，常需灵活应用函数与不等式的基础知识在两者间进行合理的交汇，因此此类问题属学习的重点；然而，怎样确定恒成立不等式中参数的取值范围？课本中从未论及，但它却成为近年来命题测试中的常见题型，因此此类问题又属学习的热点；在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想与数形结合思想指引下，灵活地进行代数变换、综合地运用所学知识初中数学论文，方可取得较好的解题效果，因此此类问题的求解当属学习的难点．笔者试对此类问题的求解策略与方法作一提炼总结．
一、不等式解集法
不等式在集合A中恒成立等价于集合A是不等式解集B的子集；通过求不等式的解集并研究集合间的关系便可求出参数的取值范围．
例1 已知时，不等式|x2－5|<4恒成立，求正数a的取值范围．
解 由得；由| x2－5 | < 4得1< x2< 9，－3 < x <－1或1 < x < 3．记A =， B = (－3,－1)∪(1, 3)， 则AB．∴－3 ≤<≤－1（无解）或1≤<≤3，∴0< a≤，故正数a的取值范围(0, ]．
二、函数最值法
已知函数f(x)的值域为 [m, n]，则f (x)≥a恒成立f (x)min≥a，即m > a；f (x) ≤a恒成立n≤a．据此，可将恒成立的不等式问题，转化为求函数的最大、最小值问题．
例2 若不等式2x－1 > m (x2－1)对满足－2≤m≤2的一切m都成立，求实数x的取值范围．
分析 若将原问题转化为集合[－2, 2 ]是关于m的不等式(x2－1) m<2x－1的解集的子集，则解不等式需分类讨论．若今f (m) = (x2－1) m－ (2x－1)，则可将问题转化为f (m)在[－2, 2 ]上的最大值小于零，而f (m)是“线性”函数初中数学论文，则最值在区间端点处取得，便有如下简解．
解 令 f(m) = (x2－1) m－(2x－1)， 则 f (m) < 0 恒成立 f (m)max< 0
，解之得<x<，即x 的取值范围为(,)．
例3 若不等式x2－m(4xy－y2) + 4m2y2≥0对一切非负的x, y值恒成立，试求实数m的取值范围．
解 若y = 0，则原不等式恒成立；若y≠0，则原不等式可化为
≥0；令t =，则t≥0且g(t) = t2－4mt + m + 4m2≥0．问题转化为二次函数g(t)在区间[0,+∞)上的最小值非负．
故有 或 ．解得m的范围为(－∞, －] ∪[0,+∞) ．
说明 二次函数的图象与性质是中学数学中的重点内容，利用二次函数在区间上的最值来研究恒成立问题，可使原本复杂的问题变得易于解决．
三、参数分离法
将参变元与主变元从恒不等式中分离，则在求函数最值时可避免繁冗的分类讨论，从而更好地实施“函数最值法”．
例4 若不等式2x + 2≤a (x + y) 对一切正数x, y恒成立，求正数a的最小值．
解 参数分离，得a≥= f (x, y)．x +3y≥2，∴3 (x+y)≥2x + 2，∴f(x, y) ≤3初中数学论文，∴a≥f (x, y)max=3，∴a的最小值为3．
例5 奇函数 f(x)是R上的增函数，若不等式f (m·3x) + f (3x－9x－2) < 0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解 f(x)为奇函数，∴原不等式等价于：f (m·3x)< f(3x－9x－2)，又f(x)在R上为增函数，∴m·3x<3x－9x－2，不等式两边同除以3x，得m<3 x +－1= f (x)．
3 x +≥2，当且仅当3 x =时取“=”，∴f (x)min =2－1，故所求m的取值范围为(－∞, 2－1)．
说明 （1）在求解本例时，若无分离参数的求简意识，则必转化为含参二次函数在区间上的最值问题，不可避免地要进行分类讨论．
（2）诸多数学问题在通过代数变形后均可转化为形如f (x) = ax+型函数的最值问题，其最值的求解通常用重要不等式或函数单调性来完成．
四、数形结合法
将恒成立的不等式问题，合理转化为一函数图像恒在另一函数图象的上（下）方初中数学论文，进而利用图形直观给出问题的巧解．
例6 若不等式 3 | x + a |－2x + 6 > 0 在R中恒成立，求实数a的取值范围．
解 尝试前述方法均较麻烦，而将原不等式变为
| x + a | >x－2，令f (x) = | x + a |，g(x) =x－2，作
出它们的图象如右图所示，便有－a < 3即a >－3，所
求范围为(－3,+∞) ．
初中数学求最值的方法范文5
【关键词】初高中；二次函数；教学衔接
二次函数本是初中数学学习的重点和难点，但由于初中教学要求仅限于根据具体的表达式作图、确定函数解析式和理解函数的基本性质等，且受初中学生认知水平的限制，很难从本质上深入理解。而高中教材又没有设计独立的章节引导学生对二次函数的升级学习，教学预期中都认定学生已经对此熟练了。于是，随着函数概念、性质的深入学习，看似熟悉的二次函数，学生却不能很好的借此内化新知识，反而成为高一新生的第一个难路虎。能否顺利消灭这第一个难路虎，决定着高中数学学习的成败和信心。
函数在高中数学的学习中起着主导作用，从函数的核心概念及呈现方式可以发现二次函数在其中扮演着非常重要的角色，很多数学问题因二次函数的介入和转化变得朴实而简单。因此，以二次函数的升级教学为重要切入口，从函数与方程、不等式、数形结合、分类讨论等几个方面做好初高中数学的衔接教学，尤为有效。
一、借助二次函数和一元二次方程的关系衔接函数与方程的思想
二次函数是初中阶段最后一次研究函数的内容，对二次函数与一元二次方程的教学，许多教师感到难以把握，主要原因之一是本节教学内容牵扯到的知识点较多，有大部分学生对旧知识点的掌握本身就不是特别牢固，教师对教学的深浅度不太容易把握；原因之二是本节中运用了各种数学思想方法，都是初中数学中对学生所要培养的重要思想。可以说本节内容是初中代数各种知识与思想的集体展现，是初中代数的一个总结。
本节教学可采取先通过对一次函数与一元一次方程关系的简单回顾，再通过观察二次函数y=x+3x+2的图象与x轴有几个交点，交点的横坐标与一元二次方程x+3x+2=0的根有何关系，进而总结得出一元二次方程ax+bx+c=0，当=b-4ac时该方程的实数根与对应的二次函数y=ax+bx+c的关系。内容安排看似简单，实际却内涵丰富，需要教师大力挖掘，方能使学生充分掌握，并从中深切体会到其中数学思想与方法运用。怎样才能使学生更好的学好知识领会思想呢？我将从以下几个方面对本节教学进行探讨。
（1）理解概念，抓住实质
使一元二次方程两边相等的未知数的值是一元二次方程根，使一元二次不等式成立的未知数的所有的值是一元二次不等式的解集；利用根的判别式可判断出一元二次方程根的情况，当=b-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，当=b-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当=b-4ac
（2）类比一次函数与一元一次方程关系攻破难点
类比一次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元一次方程的解，那么抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解，由于抛物线与x轴可能会有两个交点、一个交点或没有交点，那么对应一元二次方程相应的就有两个不相等的实数根、两个相等的实数根或者没有解；类比一次函数位于x轴上方则对应的一元一次不等式大于0，自变量的取值范围就是对应的一元一次不等式的解集，那么抛物线位于x轴上方对应的一元二次不等式大于0，自变量的取值范围就是对应的一元二次不等式的解集，其余类推。类比用一次函数的图象求解一元一次方程的近似解理解用二次函数图象求解一元二次方程的近似解，等等。
二、借助二次函数的图象与性质衔接数形结合思想
对二次函数图象，在初中主要以描点法画出其“精确”图象，但是这种做法缺乏“参数意识”，即系数与图象特征的联系，就是要明确二次函数y=ax+bx+c中确定图象开口大小及方向的参数是什么？以及确定图象位置的参数是什么？学生还要清楚的知道二次函数y=ax+bx+c的图象可以怎样快速的画出，并要理解完成这种过程的依据。对于此过程教师可以用几何画板向学生展示，使学生可以从直观感受上升到理论认知。比如，图象与x轴的交点情况，定义域有限制的图象画法与应用，图象随着参数怎么改变等，这些都是如何将初中二次函数过渡到高中的根本。
例1.若函数 的定义域为R，求实数a的取值范围
对于该题， 鉴于学生对图象画法的熟悉即可轻而易举解决，如果没有对二次函数图象的“升级”认知过程，自然解题方法就难以确定了。
三、借助二次函数的单调性与最值衔接分类讨论思想
教材是以y=x为对象来学习函数的单调性的。学生从其图象的直观判断就很容易求出某一函数的最值，但教学中往往忽略了让学生对二次函数y=ax+bx+c在区间（-∞，-]及[-，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，特别是结合函数图象的直观性，利用单调性解释函数的最值的意义。
例2.已知函数 ，求f（x）在[0，m]上的最小值。
分析：向这种含有参数又与二次函数的图象和单调性有关的问题就要考察学生有没有深入地了解二次函数的单调性了。让学生独立完成后，并说说理由，今后才可能灵活地运用图象与二次函数有关的一些数学问题。
四、借助判别式和根与系数关系衔接函数与不等式思想
因一元二次方程的根与系数关系在初中新课标中要求不高，常被淡化，但高中数学学习中却经常用到。若不熟练一元二次方程的根与系数关系，这对学生来说学习高中数学就是难上加难了。所以有必要对此作进一步的认识和学习，同时利用二次函数根的个数以及根与系数关系来解决一类几何问题就轻而易举了。这样一来引导学生进一步理解用代数方法解决几何问题的思想，从而使学生对二次函数的认识有一个升华。
纵观整个高中数学内容，二次函数问题的综合性强，因为它与实践阶段的很多知识都可以有机地结合起来。根据我的实习经验和对教材的研读发现它可以与一次函数、反比例函数整合出新的问题，也可以与几何中的圆、三角形、四边形等加以整合，还可以与一元二次方程等知识联系起来，一道题也可能包含以上所有知识。所以，在教学过程中就要求教师有意识地参透这方面的思想。提高二次函数综合问题的解题能力、解题技巧是一个真正的教学难点，只要学生能够把这方面的知识真正掌握了，并且能够做到灵活熟练地运用起来，这将对整个高中数学学习提供强有力的武器。
总之，从思维发展特征看，初中学生正处在以形象思维为主，逐步向经验型的抽象思维过度阶段，而高中学生处于以经验型为主的抽象思维想理论抽象思维过渡阶段。通过对二次函数的深入学习使学生认识到同样的二次函数问题，到了高中就必须从更深层次、更广角度，以更严密的推理、更灵活的方法去分析、解决。
【参考文献】
[1]郭银.初高中数学教学的有效衔接[J].数学教学通讯（教师版），2010.03
初中数学求最值的方法范文6
关键词自动微分切线性模式数据相关分析统计准确率
1.引言
计算微分大致经历了从商微分，符号微分，手写代码到自动微分几个阶段。与其它几种微分方法相比，自动微分具有代码简练、计算精度高及投入人力少等优点。自动微分实现的基本出发点是：一个数据相对独立的程序对象（模式、过程、程序段、数值语句乃至数值表达式），无论多么复杂，总可以分解为一系列有限数目的基本函数（如sin、exp、log）和基本运算操作（加、减、乘、除、乘方）的有序复合；对所有这些基本函数及基本运算操作，重复使用链式求导法则，将得到的中间结果自上而下地做正向积分就可以建立起对应的切线性模式，而自下而上地做反向积分就可以建立起对应的伴随模式[1]。基于自动微分方法得到的切线性模式和伴随模式，在变分资料同化[2]、系统建模与参数辨识[3]、参数的敏感性分析[4]、非线性最优化以及数值模式的可预测性分析[5]等问题中有着十分广泛的应用。
迄今为止，已有数十所大学和研究所各自开发了能够用于求解切线性模式的自动微分系统，比较典型的有TAMC系统[6]、ADJIFOR系统[7]和ODYSSEE系统[8]。在一些特定的运用中，它们都是比较成功的，但在通用性和复杂问题的处理效率上还存在许多不足。通常，自动生成切线性模式的关键难题在于对象自身的强相关性，这给系统全局分析（如数据IO相关分析和数据依赖相关分析）和微分代码的整体优化都带来了很多困难。同时，对于程序对象不可导处的准确识别和微分处理，至今仍还没有一个统一而有效的算法。另外，最优或有效求解稀疏雅可比矩阵一直是衡量一个自动微分系统有效性的重要尺度。
统计准确率被我们视为评价一类自动微分工具及其微分模式代码可靠性与有效性的重要尺度。其基本假设是：如果对于定义域空间内随机抽样获得的至多有限个n维初始场（或网格点），微分模式输出的差分和微分逼近是成功的；那么对于定义域空间内所有可能初始场（或网格点），微分模式输出的差分和微分逼近都是成功的。微分模式统计准确率评价的具体方法是：在所有随机抽样得到的初始场（或网格点）附近，当输入扰动逐渐趋向于机器有效精度所能表示的最小正值时，模式输出的差分和微分之间应该有足够精度有效位数上的逼近。
DFT系统具有许多优点，它能够完全接受用FORTRAN77语言编写的源代码，微分代码结构清晰，其微分处理能力与问题和对象的规模及复杂性无关。它基于YACC实现，具有很强的可扩展性。DFT系统具有四个重要特色。它通过对象全局依赖相关分析，准确求解雅可比矩阵的稀疏结构，自动计算有效初始输入矩阵，从而可以用较小的代价求得整个雅可比矩阵。同时，它可以自动生成客观评价微分模式效率与可靠性的测试程序，对奇异函数做等价微分处理，并采用二元归约的方法，在语句级层次上实现微分代码优化。
2.系统概况
DFT系统主要由两部分组成：微分代码转换和微分代码评价，图2.1。微分代码转换部分接受用户输入指令并自动分析对象模式，生成切线性模式代码及其相关测试代码，后者直接构成微分代码评价系统的主体。微分代码评价是DFT系统的一个重要特色。DFT系统的开发小组认为，一个微分模式如果在可靠性、时间和存储效率上没有得到充分的验证，至少对实际应用而言，它将是毫无意义的。
微分代码转换部分从功能上分为四个部分：词法分析，语义分析，对象复杂性及数据相关分析和微分代码转换。对于一组具有复杂数据相关的程序模式对象，通常需要系统运行两遍才能得到有效而可靠的微分代码。这主要有两方面的考虑：其一，根据对象的复杂性（如最大语句长度、最大变量维数、子过程或函数数目、子过程或函数内最大变量数目等对象特征）选择合适的系统参数以求最优的运行代价；其二，模式内各子过程或函数之间以及一个子过程或函数内往往具有很强的数据相关性，需要事先保存对象的相关信息并且在考虑当前对象的属性之前必须做上下文相关分析。
2.2微分代码评价
通常，评价一个编译系统的性能有很多方面，如处理速度、结果代码可靠性及质量、出错诊断、可扩展和可维护性等。对于一类自动微分系统来说，由于软件开发人力的局限以及对象模式的复杂多样性,通过自动转换得到的微分模式并非常常是有效而可靠的（即无论是在数学意义上还是在程序逻辑上应与期待的理想结果一致），因而在微分模式被投入实际应用前，往往需要投入一定的人力来对其做严格的分析测试。
对切线性模式做统计评价测试的主要内容可以简单叙述为：在网格化的模式定义域空间内，选择所有可能的网格点形成微分模式计算的初始场；在不同的网格点附近，随机选取至少个线性无关的初始扰动，对每个扰动输入分别进行网格点逼近，统计考察模式输出差分和微分在有效位数上的逼近程度。图2.5描述了整个测试过程，它包含网格点数据随机采样（1）和网格点数据逼近（2）两级循环。
3.系统主要特色
DFT系统并不是一个完整的FORTRAN编译器，但它几乎可以接受和处理所有FORTRAN77编写的源模式代码，并且可以很方便地扩展并接受FORTRAN90编写的源模式代码。本节将着重介绍DFT系统（版本3.0）的以下几个重要特色。
3.1结构化的微分实现
DFT系统采用标准化的代码实现，切线性模式的扰动变量和基态值变量、微分计算语句和基态值计算语句总是成对出现，并具有清晰的程序结构。微分代码保持了原模式本身的结构和风格（如并行和向量特性、数据精度等），即语句到语句、结构到结构的微分实现。在奇异点或不可导处，DFT系统对微分扰动采取简单的清零处理，实践证明这对抑制扰动计算溢出具有重要意义，但并不影响评价测试结果。
3.2全局数据相关分析
DFT系统具有较强的数据相关分析能力，它包括全局数据IO相关分析、全局数据依赖相关分析、全局过程相关分析以及数据迭代相关分析几个不同方面。数据依赖相关与数据IO相关关系密切，但又存在根本不同。前者强调每个变量在数学关系上的依赖性；而后者描述了一个对象的输入输出特性，且具有相对性，即任何一个变量参数，无论它是独立变量还是依赖变量，在数学意义上都可等价为一个既是输入又是输出的参数来处理。
DFT系统记录所有过程参数的IO属性表，通过深度递归相关计算，准确计算每个过程参数的最终IO属性。DFT系统通过对数据相关矩阵做模二和及自乘迭代计算（An+1=AnAn2）来完成数据的依赖相关分析，这种算法具有很好的对数收敛特性。DFT系统通过全局过程相关分析的结果，自动生成模式的局部或整体相关引用树结构（如图3.1），这对用户分析复杂数值模式和微分评价测试都具有很好的指导作用。DFT系统还具有分析局部数据迭代相关和函数迭代相关的能力，这两种形式的数据迭代相关是自动微分实现颇具挑战的难题之一。
3.3自动生成测试程序
基于IO相关分析的结果，DFT系统自动生成微分测试代码，分别对切线性模式的可靠性和运行代价做统计评价测试。特别地，DFT系统还可将任何模式参数都视为输入输出参数，生成在数学意义上等价的测试代码，这样处理的不利之处在于往往需要极高的存储开销。
3.4基于语句级的代码优化
目前，DFT系统仅仅具备局地优化能力。在语句级微分实现上采用二元归约的方法对微分代码进行优化是DFT系统的一个重要特色。根据右端表达式的乘法复杂性及含变元数目的不同，DFT系统采取不同的分解策略。二元归约的方法避免了微分计算中的许多冗余计算，在一些复杂的非线性表达式的微分计算中具有最小的计算代价，同时也非常适合于微分系统的软件实现。同时，对于某些特殊的运算操作（除法、乘方）和特殊函数（如sqrt、exp），DFT系统较好地利用了基态值计算得到的中间结果，避免了微分实现中的冗余计算。
4.系统应用
运用自动微分工具得到的切线性模式，可以在无截断误差意义下求解函数的数值微分和导数、稀疏雅可比矩阵。同时这些结果在数值参数敏感性分析、非线性最优化以及其它数值理论分析中有着非常重要的应用。这里简单介绍切线性模式的几个基本应用。
4.1符号导数和微分
如果输入为数学关系式，DFT系统可以自动生成对应的微分表达式和梯度，而与数学关系式的复杂程度无关。例如我们输入关系式：，（1）
DFT系统将自动生成其符号微分形式及其梯度形式分别为，（2）
4.2数值导数和微分
切线性模式最基本的应用就是在一定扰动输入下求解输出变量的扰动（响应）。表4.1给出了DFT系统在对IAP9L模式、GPSRayshooting模式和GPSRaytrace模式三个数值模式做切线性化的具体应用中，一些不同计算粒度、不同引用深度和不同程序风格的核心子过程，以及它们的切线性模式在SGI2000上运行的统计评价测试结果，其中切线性模式的可靠性指标都准确到六个有效数字以上，在运行时间、存储开销和代码复杂性方面分别是原模式的两倍左右，比较接近于理想的微分代价结果（1.5倍）。除了IAP9L模式由于过于复杂仅做粗略统计外，其余模式都用非注释语句行数来表示各自的代码复杂性。
适当设置输入扰动的初值，运用切线性模式可以简单求解输出变量对输入的偏导数。例如，对于一个含有个输入参数的实型函数（3）
这里设，。运用DFT系统，可以得到对应的切线性模式（4）
其中，为切线性模式的扰动输入参数。可以通过以下办法来求得偏导数：（5）
其中。如果对于某个既是输入参数又是输出参数，可以类似以下过程引用的办法来处理。对于过程引用的情形，例如一个含有个输入参数的子过程（6）
其中，为输入参数；，为输出参数；，既为输入参数又为输出参数。运用DFT系统，可以得到对应的切线性模式为（7）
其中，，，分别为切线性模式的微分扰动输入、输出和输入输出参数。可以通过以下输入扰动设置并引用切线性模式（7）来求得偏导数：a)设置；（，）；（）可以同时求得（）和（），其中。
b)设置（）；；（，）可以同时求得（）和（），其中。
4.3稀疏雅可比矩阵
运用上节讨论的方法来求解稀疏雅可比矩阵,具有极高的计算代价。例如，一个含个独立和个依赖参数的子过程，为求解整个雅可比矩阵就需要反复调用次切线性模式，当相当大时，这对许多实际的数值计算问题是不能接受的。事实上，如果雅可比矩阵的任意两列（行）相互正交，那么可以通过适当设置扰动输入值，这两列（行）的元素就可以通过一次引用切线性模式（伴随模式）完全得到。设和分别为雅可比矩阵的行宽度和列宽度，即各行和各列非零元素数目的最大值，显然有，。这里介绍几种常用的求解方法。
正向积分当时，通常采用切线性模式来计算雅可比矩阵。根据雅可比矩阵的稀疏结构，适当选择右乘初始输入矩阵，可以获得接近的计算时间代价。DFT系统采用一种逐列（行）求解的方法，来有效求解右（左）乘初始输入矩阵。其基本思路是：按照某种列次序考察雅可比矩阵的各列；考察当前列中所有非零元素，并对这些非零元素所在行的行向量做类似模二和累加运算（即将非零元素视为逻辑“1”，零元素视为逻辑“0”），从而得到一个描述当前列与各行存在“某种”相关的标志向量（其元素都是“1”或“0”）；依据此标志向量，就很容易得到一个与之正交的列初始向量，其中与当前列序号对应的元素设置为“1”，而与标志向量中非零元素序号对应的元素设置为“0”，与标志向量中非零元素序号对应的元素设置为“-1”，显然，该列初始向量是唯一的，并且对应着当前右乘初始输入矩阵的最后一列；逐一考察已求解得到的列初始向量，如果某列初始向量与当前求解得到的列初始向量按下面定义的乘法（见过程4）正交，那么这两列就可以合并，即将当前列初始向量中非“-1”的元素按照对应关系分别赋值给该初始向量，并从记录中删除当前列初始向量；重复以上过程，继续按照给定列次序考察雅可比矩阵的“下一列”。不难说明，按照不同列次序求解得到的右乘初始输入矩阵可能不同。其中逐列求解右乘初始输入矩阵的过程可以简单叙述为：
1）将右乘初始输入矩阵所有元素的初值均设置为，，。。
2）如果，转6）。否则，如果雅可比矩阵的第列中的所有元素均为，，重复2）的判断。否则转3）。
3）计算标志向量。令，做如下计算：，;
4）设为的列向量。在上定义乘法，对任意的，我们有：a）；b)如果，必有和。然后，做如下计算：,;，6);2);
5）令，并做如下计算：，;令,。如果，转6）；否则，重复2）的判断。
6）对，，如果，则。取的前列，这样，我们就得到了一个维右乘初始输入矩阵。
这里需要说明的是，运用上面的方法求得的右乘初始输入矩阵不仅与求解雅可比矩阵的列序有关，而且与过程4）中的合并顺序也有关系。至于如何最优求解右乘初始输入矩阵，目前还很难讨论清楚。但是，大量模拟试验结果表明，运用上面自然次序求得的右乘初始输入矩阵宽度已经非常接近于其下界值。
反向积分当和时，通常采用伴随模式来计算雅可比矩阵。根据雅可比矩阵的稀疏结构，适当选择左乘初始输入矩阵，可以获得接近的计算时间代价。其中左乘初始输入矩阵的求解过程完全可以按照上面的方法进行，但是在处理前必须先将雅可比矩阵转置，最后还需将得到的初始输入矩阵转置才能最终得到左乘初始输入矩阵。同时，其行宽度也已经非常接近于其下界值。
混合积分如果将切线性模式和伴随模式相结合，往往可以避免梯度向量运算中的诸多冗余计算。例如，ADJIFOR系统在求解雅可比矩阵时，在语句级微分实现中首先用伴随方法求得所有偏导数，然后做梯度向量积分；其计算时间代价与和模式的语句数目有关，而其存储代价为。具体讨论可参考文献[7]。
5．结论
切线性模式在无截断误差意义上计算函数的方向导数、梯度或雅可比矩阵，以及在模式的可预测性及参数敏感性分析、伴随模式构造等相关问题中有着广泛应用。DFT系统主要用于求解FORTRAN77语言编写的切线性模式，具有很强的全局数据相关分析能力。此外，DFT系统还具有其它几个重要特色，如结构化的微分实现、自动生成微分测试程序以及基于语句级的微分代码优化。本文简单给出了DFT系统在求解数值和符号导数和微分、稀疏雅可比矩阵中的应用。为评价一类自动微分系统，本文初步提出了统计准确率的概念。
参考文献
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