高等数学范例6篇

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高等数学

高等数学范文1

关键词:简洁美 对称美 统一美 奇异美

数学美蕴藏在数学学科的每一个分支里,高等数学也不例外。在高等数学中,它的概念、公式、理论、结构等,对称和谐,简单新奇,统一协调,构成美学的内容和形式,充满了美的色彩,给人以美的感受。同时,高等数学思维与方法的新颖性、独特性和奇异性等等,都是数学美的具体内容和表现形式。在数学解题过程中,运用数学美的基本形式―――简洁美、统一美、对称美、奇异美,利用数学美的思想方法去发现问题的内在联系,使其与数学问题条件和结论的特点结合,能够取得事半功倍的效果。

1 简洁美。数学的简洁性,是数学美的重要特征之一。一方面,数学以高度抽象、简洁的形式表现了复杂的内容。在高等数学中,我们总能看到符号、定义、公式、定理的简明扼要的叙述。例如:极限定义有简洁美:用简洁的符号?坌ε>0,?埚δ>0,当0<|x-x |<δ时,恒有|f(x)-A|<δ成立,从而清楚地描述了极限这一概念;牛顿-莱布尼茨公式f(x)dx=F(b)-F(a)形式也很简单,却深刻揭示了微分与积分内在联系的。另一方面,数学又以简洁、清晰的方式处理和解决了复杂的问题。正如数学家荻德罗所说:“数学中所谓美的问题是指一个难于解决的问题, 所谓美的解答则是指一个困难、复杂问题的简单回答。”在高等数学中,“化繁为简”的思想随处可见。例如:定积分概念的引入,采用了众所周知的“微元法”,其中,在计算曲边梯形面积时,在每个小区间内“以直代曲”;在处理变速直线运动时,在小的时间段内以匀速代替变速;在引入二重积分概念时,在曲顶柱体体积计算中,在每个小区域中以平面代替曲面;在三重积分、曲线积分、曲面积分等问题中都贯彻了“微元法”的运用,都以“线性”的线、面、体去代替非线性的线、面、体,从而使问题的求解变得简单了,可操作了,达到化繁为简的效果。再如,等价无穷小代换在求极限中的应用,也充分体现了化繁为简的理念。又如,在求极限、求积分(一元函数积分、多元函数积分)、求微分方程的解等运算中,常常利用作变量变换来简化运算。

从上面的解题中我们也可以看到简洁的方法带来的美感。

2 对称美。对称性是最能给人以美感的一种形式,从古希腊时代起,对称性就一直被数学家看成是数学美的一个基本内容。对称对于我们来说并不陌生,它是指整体事物中各部分之间的相称、平衡或相适应。同时,对称美在数学研究中有重要作用,它是数学创造与发现的美学方法之一。正如韦尔所说:“对称是一种思想,多少世纪以来,人们希望借助它来解释和创造秩序、美和完善。”在高等数学中,也处处渗透着圆满和自然的对称美。如:线性方程组的克莱姆法则x ;从运算关系角度看:微分与积分,矩阵与逆矩阵……这些互逆运算也可视为“对称”关系。对称美在高等数学里更多地体现在微分、积分、线性代数的运算中。下面将一一举例说明。

(1)在微分中

(2)在积分中

在高等数学中,一些函数图形关于某坐标轴或坐标面对称,求定积分、重积分及线面积分时,根据积分的几何意义,利用被积函数的对称性可简化积分运算。

如:利用函数图像的对称性,简化定积分的计算;

对于三重积分、第一型曲线和曲面积分也有类似结论。

(3)在线性代数中,行列式与它的转置行列式具有对称性,而某些行列式本身就是对称的。在行列式的计算中,利用对称性,也可以起到简化的作用。

3 统一美。数学中的统一性是指部分与部分、部分与整体之间的协调一致,这是一种美的重要特征。数学中一些表面看来不相同的概念、定理、法则,在一定的条件下可以处在一个统一体中。笛卡尔通过解析几何把几何学、代数学、逻辑学统一起来;高斯从曲率的观点把欧几里得几何、罗巴契夫斯基几何和黎曼几何统一起来了;克莱因(C.F.Klein)用变换群的观点统一了19世纪发展起来的各种几何学(该理论认为:不同的几何只不过是在相应的变换群下的一种不变量);拓扑学在分析学、代数学、几何学中的渗透,特别是在微分几何种种空间,产生了所谓拓扑空间的统一流形。统一美表现在数学结构上,成为数学美的基本源泉。值得一提的是世界上公认的最优美的公式e +1=0,这个式子将算术中的“1”、“0”,代数中的“i”,几何中的“π”,分析中的“e”神奇地统一在了一起,即它们相会于天桥:e =cosθ+isinθ(在该式中令θ=π就可得到上式),它沟通了三角函数与指数函数之间的内在联系,充分体现了数学的统一美。同时,高等数学中的统一美也随处可见。比如:牛顿―莱布尼兹公式就具有统一美:将微分、不定积分和定积分之间建立了联系;矩阵乘积求逆与转置,则是数学运算所表现的统一的“脱衣规则”;行列式 表示了平面上过点 的直线方程,也体现点、直线方程与行列式的统一美。 在一元积分中,不定积分、变上限积分、定积分这三个数学量之间是对立统一的:变上限积分是不定积分所表示的原函数中的一个,而定积分则是变上限积分中的上限x在给定区间中的某一点的函数值。多元函数的二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分,尽管这些积分运算由于其积分域不同,但可以将其统一表示为∫f(M)dΩ,其表示f(M)在Ω上的黎曼积分;而格林公式建立了平面曲线积分与二重积分的联系,高斯公式建立了曲面积分与三重积分的联系,斯托克斯公式建立了空间曲线积分与曲面积分的联系,它们体现了各种积分运算之间的统一美。

在解决数学问题时,最关键的是把原问题转化为一个更易解决的问题,而实现转化的依据就在于原问题及其转化后的问题在本质上的统一,数学美的统一与和谐能透露出这方面的信息,为实现这种统一指引方向, 为发现解题方法奠定基础。在不定积分的计算题中,凑微分法就是还原思想的运用,也是数学统一性的体现;在证明“在某个区间上,至少存在一点使某式成立”的命题中,对学生来说往往感到比较困难,解此类题的难点在于如何构造辅助函数, 应用微分中值定理求解,当学生学习了积分以后,从微分与积分的关系上来设计辅助函数,即通过寻求原函数来构造辅助函数就显得比较简单。通过做题,学生能体会到微分与积分之间隐蔽而深刻的内在联系,使两个截然对立的概念达到和谐统一,从而感受到数学的统一美。

4 奇异美。数学中的奇异美是指数学研究的形式、表述的结果,无法用任何现有理论给予解释,它表现了数学形式、数学结论的奇异,同样也表现了人们对数学成果所感到的奇异。在高等数学中,曲线上的奇点,微分方程的奇解,线性代数中的奇异矩阵,分析中的奇异积分等所带给我们的美学思考,很值得研究,其中不少奇异之处恰好是最值得注意的地方。数学的奇异性还常常与数学的反例紧密地联系在一起。例如18世纪后期的一些数学家认为,连续函数至少在某些点处可以微分,然而德国数学家魏尔斯特拉斯却在1874年找到了一个处处连续而又处处不可微的函数f(x 其中a是奇数,0<b<1,ab>1 π,这就给人以奇异感; 狄里克莱函数D(x)=1,x为有理数时0,x为无理数时 在实轴上处处有定义,但在实轴上却处处不连续, 这使原有的积分失灵了。这种奇异现象给积分带来了新的生机, 于是就出现了勒贝格积分等。数学中许多新的分支的诞生,往往都是人们对于数学奇异性探讨的结果。由此可见,数学中的奇异现象, 可以使人们的认识深入,思想变得精细、严谨,亦可以使人们冲破旧的数学理论框架,对空间形式和量的关系的认识产生质的飞跃。奇异也往往伴随数学方法的出现而出现。数学解题方法的奇异性,与文学中那种奇峰突起的“神来之笔”相似,想法奇巧、怪异,却令人拍案叫绝,体会到一种奇特的美感。例如:在计算行列式

把第一列的元素看成两项的和,然后把行列式拆成两个行列式的和,问题就迎刃而解了。

因此,在数学解题教学中注入数学美的观点,通过数学问题的解决来点拨深蕴于其中的美的因素和美的思想,可以增强学生学习数学的情趣;同时,在教学中注重美学思想的渗透,能够帮助学生形成正确的思想方法,为解决数学问题提供依据和指导。

参考文献:

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2]课程教材研究所数学课程教材研究开发中心.数学文化[M].北京:人民教育出版社,2003.

[3]王宪昌.数学思维方法[M].北京:人民教育出版社,2002.

[4]张玉峰,孟爱红.数学美的本质[J].数学教育学报,2006,(8).

高等数学范文2

关键词: 高等数学 概念 教学法

高等数学是高职院校多数专业的重要基础理论课之一,其教学质量的好坏将直接影响人才培养的目标能否达成,特别是现阶段我国高等教育工作重心转向更加注重提高教育质量上来,各高校也越来越重视基础课程的教学质量。在高职高等数学现行教材的基础下,要提高教学质量,其有效途径就是改进教学方法与教学手段。笔者结合多年的教学实践就课堂教学方面谈一点体会,以供探讨。

一、创设情境,结合史实

高职高等数学课程一般在一年级开设,其教学内容主要是微积分,由于高等数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性,再加上学生的思维大多还停留在中学阶段,所以学生一开始会很不适应,容易产生畏难情绪。因此,高等数学的教学开头很重要,尤其对极限概念的教学要多做探讨,多下工夫。

极限概念是微积分学的重要基础,微积分中很多理论的形成与发展都应用了极限的思想和方法,同时极限概念的教学又是高等数学教学中的一个难点。那么在课堂教学中如何上好极限概念这一环节呢?本人结合实践,采取“创设情境,结合史实”的方法,收到了很好的效果。具体是这样的,开篇不以通过观察几个数列的趋势概括出极限的描述性定义,更不是直接提出极限的严格的、形式化语言的“ε-N”或“ε-δ”定义,而是通过经典的悖论,比如芝诺悖论之二的阿基里斯追赶不上比他先跑一段距离的乌龟,又或者用我们更熟悉的“龟兔赛跑”的故事,当然在这里讲的是兔子追不上乌龟,这个追赶的过程可以用课件演示,也可以用板书刻画,因为整个追赶过程追赶者必须跑到被追者的出发点,而当他到达被追者的出发点时,又有新的出发点在等着他,所以就会给人追赶不上的错觉。在整个演示过程中引起了学生激烈争论,甚至有些学生认可了这个悖论。当然,还有部分学生其思维形式还停留在初等数学阶段,利用初等数学方法算出追赶所花时间t= (这里设初始距离为d,追赶者速度为v ,被追者速度为v ,显然v >v ), 这其实有个前提,那就是假设已经追上了,所以还是解决不了“是否能”追上这个问题,这样连这部分学生也陷入了沉思中,如此课堂效果就出来了,学生就急于想知道问题该怎么解决,通过什么方法来解决,这样就调动了学生学习数学的积极性、主动性,使学生对学习极限概念产生浓厚的兴趣。根据前面假设,可选择地构造出两个有背景的数列,比如:d, ,d( ) ,…,d( ) ,…(这是追赶者与被追者间距离数列)、 , , ,…, ,…(追赶者每一阶段所用时间数列),再配合直观形象的图示法或观察法,可以看出当n无限增大时,上述两个数列的一般项的值是越来越小,不妨用具体的值代替v 和v ,这样更容易说明,如果再对上面两等比数列求和就可以得出结论,追赶的距离是有限的,追赶的时间也是有限的,这样大体上就解决了芝诺的阿基里斯悖论,当然更深层次的讨论这里不再进行。到此为止教师可顺理成章地引入极限思想和极限概念。

创设情境,在情境中提出问题能激发学生的好奇心,而好奇心是产生兴趣的先导,因此在课堂教学中要多创设情境引导学生主动探索。此外,笔者还简要介绍了极限发展的历史,常见的例子如《庄子•天下篇》中提出的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”和中国古代数学家刘徽的“割圆术”等,通过平均速度求瞬时速度、割线斜率求切线的斜率这些思想也可以放在这里简单介绍,这样学生不仅能够理解“无穷逼近”的思想,掌握极限概念,而且认识到数学的概念也是有血有有丰富内容的,这些对于提高学生学习数学的兴趣是很有帮助的。

总之,极限概念在高等数学中是非常重要的,关于其教学方法也是多种多样的,具体到严格的、形式化的定义,许多作者做过详细讨论,虽然对高职学生极限的严格定义大都不做要求,但是经过前面的充分准备,要使我们的学生掌握“ε-N”和“ε-δ”定义其实不难,这里就不再讨论了。

二、通过实例,讲清本质

在数学教学中适当融入实例教学,可以使本来生硬的、难懂的数学概念生动起来,易于理解和掌握,使课堂教学达到事半功倍的效果。例如,高等数学开篇函数部分讲到复合函数定义,我们的教材通常采用定量性的、形式化的语言进行描述,既要讲清对应关系,还要讲到内层函数的值域与外层函数的定义域,不仅定义很长,符号也一大堆,我们的学生看到这样的定义能不头痛吗?因此笔者借鉴了如下实例:如果石油从一艘油轮中泄出,那么,泄出的石油表面积将随时间的增加不断扩大。假定油面始终保持圆形(事实上并非如此)。油的表面积是半径的函数A=f(r)=πr ,半径也是时间的函数,因为半径是随油的不断泄出而增加的。因此,作为半径函数的油面积也是时间的函数,如果半径函数是r=g(t)=1+t,那么,油的表面积可表示成A=πr =π(1+t) ,是时间的函数。我们就说A是一个复合函数,或是一个“函数的函数”,记作A=f(g(t))=π(g(t)) =π(1+t) 。

这样通过实例进行定性描述解释复合函数为“函数的函数”不仅易于理解,也不失概念的本质。然后结合例题和练习分析复合函数的定义域与复合过程加以巩固加深,再讲明复合函数与函数四则运算的区别。实践证明,这样的教学适合高职数学教学。

三、从易到难,循序渐进

定积分是积分学的一个重要问题,它主要解决一类“和数极限”的计算问题。定义叙述较长,包含的思想方法较多,不易理解,因此在高等数学教学中定积分概念是个难点。同时,定积分及其方法是解决实际问题的有力工具,所以它又是一个重点概念。上好定积分概念,应先从规则的几何图形入手,如矩形、三角形、梯形等复习它们的求解方法,再给出曲边梯形,让学生思考该怎么求这类图形面积,进而叙述求曲边梯形面积的具体步骤:“分割、代替、求和、求极限”。这里要讲清楚两个“任意”即任意分割、任意取点,对于取极限必须讲清楚最大子区间“λ0”与子区间数n的关系,在连续曲线下,有些特殊分割如等分,“λ0”与子区间数“n∞”是等价的,再配合特殊取点,这样就可以将极限f(ξ )x 转化成求“n∞”的某个和式极限。

定义阐述之后,学生对这种求曲边梯形面积的思想和方法尚存疑问,这种方法是否可行?所求的面积与实际是否相符?笔者通过简单的例题,如:求函数y=x在区间[0,1]上的定积分,图像上它是一个直角边为1的等腰直角三角形,面积为 ,即此定积分为 。然后介绍采取积分定义的求法:将[0,1]区间n等分,得:x = ,λ=max{x }= (i=1,2,…,n),取特殊点ξ = (i=1,2,…,n),此时,“λ0”与“n∞”等价,则:f(ξ )x =f( ) = == ,与实际相符,说明“无限分割、取近似值、求和、求极限”的这种方法求面积是可行的。疑虑消除了,紧接着就是探讨某些曲边梯形面积的具体求解过程,如:利用定义计算定积分?蘩x dx,进行对概念的加深和巩固,对具体操作过程的熟悉与掌握。这样由易到难、循序渐进讲授定积分概念是比较容易让学生接受的,课堂教学也是比较成功的。

当学生理解了定积分的定义后,重点要放在详细介绍定积分的思想与方法的具体应用,比如求面积、体积、变速直线运动的路程及连续曲线的弧长等。此外,我们的教材在应用方面的内容比较欠缺,这一点需要改进,应配置些针对学生专业的、生产实践中应用到数学方法的例题或案例。

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四、典型例题,设疑精讲

在现行的高职高等数学教材中,单纯计算类型的习题比较多。关于积分部分的计算问题,对于高职学生一般要求掌握一些基本的运算公式和常见的运算技巧,重点是对换元积分法的介绍,其它类型的积分计算强调能够通过查积分表所得就行了。另外实际教学中发现学生对各种导数的运算掌握得比较好,只是在隐函数求导上会遇到困难,而对于极限部分的运算,由于类型较多,变化无穷,技巧性要求比较高,所以有些学生对极限的运算掌握得不是很好。

极限运算难学,主要在于其运算的法则多,尤其不定式极限、两个重要极限、无穷小等价替换、泰勒展开式等的应用,需要细致分析、认真审核各种方法的条件是否成立。课堂教学中应结合一些典型的例题,进行精心讲解,通过比较与分析,进而让学生掌握求极限的常用方法。现给出一例进行讨论分析:

例:求极限 xsin 。

解法一:利用重要极限, xsin ==1。

解法二:利用乘法法则, xsin = x sin =0。

解法三:利用等价无穷小替换, xsin = x =1(sin ~ )。

解法四:利用无穷小性质,因为x是x0时的无穷小量,而sin (x≠0)是有界函数,所以根据无穷小性质,xsin 是x0时的无穷小量,故, xsin =0。

在课堂上可以让学生先讨论,然后进行分析如下:

本题正确解法是根据无穷小性质的有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小,即解法四正确。因为当x0时, ∞,第一重要极限要求这里的 要趋向于0,所以解法一不正确,同样,解法三前提是sin 为无穷小量,而这里sin 和 都不是x0时的无穷小量。解法二的错误在于极限 sin 不存在,故不能用乘法法则。通过几种方法的比较分析,不仅传授了无穷小量的性质,还对求极限的其它方法进行了复习巩固,告诉学生求极限时有些式子是形似而神不似,所以在方法应用时要认真审核条件是否符合。

一个简单、基本的例题如果处理得好,同样能够发挥较大的功效。本例要是直接给出解法四,那么课堂教学效果就没这么明显。因此,在教学中要充分发挥典型例题的作用,尽量做到少讲精讲。

五、结语

要上好高职高等数学并不是一件容易的事,需要大家共同探讨,积极探索适合高职教育特点的科学的教学方法和手段,使高等数学真正起到基础性学科的作用。

参考文献:

[1]孔亚仙.应用高等数学[M].杭州:浙江科学技术出版社,2005.9.

[2]李广全.美国教材《微积分》给我们的启示[J].天津职业院校联合学报,2006,8(5):135-139.

高等数学范文3

关键词 高等数学 初等数学 教材内容 比对 衔接

中图分类号:G642 文献标识码:A

Comparison between the Content of Higher

Mathematics and Elementary Mathematics

DU Huijuan

(School of Software, East China Normal University, Shanghai 200062)

Abstract Effective convergence of higher mathematics and elementary mathematics teaching materials, is one of the key issues to effectively improve the quality of teaching of higher mathematics courses learning. Content and teaching requirements of the higher mathematics and elementary mathematics textbooks "function and limit", "derivative and differential", and gives some suggestions to solve these problems.

Key words higher mathematics; elementary mathematics; teaching materials; comparison

经过调研了解到,2003年3月教育部颁发的《普通高级中学数学课程标准》出台之后,新出版的高中教材与以前的教材相比,一个重要的特点是新教材进一步加强了高中数学与大学数学的联系,高中教材中安排了大学数学课程里的一些基本概念、基础知识和思维方法。试图从教学内容方面解决高中数学与大学数学的衔接问题。但是,大学数学与高中数学教材内容的衔接上还存在不少问题。这些问题影响了大学数学课程的教学质量,对大学新生尽快适应大学数学学习形成了障碍。高等数学与初等数学教材内容的有效衔接亟待解决。

1 “函数与极限”的衔接

函数,是高中数学的重点内容,高考要求较高,学生掌握也比较牢固。高等数学教材中的这部分内容基本相同,但内涵更丰富,难度也提高了。

(1)函数概念:在原有内容中,增加了几个在高等数学中经常用到的实例,如取整函数、狄利克雷函数、黎曼函数、符号函数等。因此,在学习中,函数概念部分可以简略,重点学习这几个特殊函数即可。

(2)初等函数:反三角函数要求提高,新增加了“双曲函数”和“反双曲函数”等内容。反三角函数的概念在高中已学过,但高中对此内容要求较低,只要求学生会用反三角函数表示“非特殊角”即可。而高等函数中要求较高,此处在学习中应补充有关内容:在复习概念的基础上,要求学生熟悉其图像和性质,以达到灵活应用的目的。新增加的“双曲函数”和“反双曲函数”在高等数学中经常用到,故应特别注意。

(3)函数极限:“数列极限的定义”,高中教材用的是描述性定义,而高等数学重用的是“”定义,此处是学生在高等数学的学习中遇到的第一个比较难理解的概念,因此在教学中应注意加强引导,避免影响函数极限后面内容的学习。新增内容“收敛数列的性质”虽是新增内容,但比较容易理解和掌握,教学正常安排即可。“极限四则运算”处增加了“两个重要极限”,要加强有关内容的学习。

2 “导数与微分” 的衔接

高中新教材中的一元函数微积分的部分内容,是根据高等数学内容学习需要所添加,目的是加强高中数学与高等数学的联系,让中学生初步了解微积分的思想。

(1)导数的定义:高中数学和高等数学教材中,这一内容是相同的,不同的是学习要求。高中数学要求:了解导数概念的某些实际背景(例如瞬时速度,加速度,光滑曲线的切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的概念和导数的几何意义;理解导函数的概念。也就是说,尽管极限与导数在高中已经学过,但主要是介绍概念和求法,对概念的深入理解不作要求。到了大学,概念上似懂非懂、不会灵活运用,成了夹生饭。但高等数学要求学生掌握并熟练应用,这是高等数学的一个重要内容,在此处应用举例增加了利用“两个重要极限”解题的例题,在教学中应给与足够的重视。

(2)导数的运算:高中新课标教材要求较低:根据导数的定义会求简单函数的导数;能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,会求简单的复合函数导数。重点考察利用导数的几何意义分析问题、解决问题的综合能力。

高等数学教学大纲对这部分内容要求:掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法;掌握初等函数的一、二阶导数的求法,会求分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数;了解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数;了解微分的概念与四则运算。

建议:高中学过的仅仅是该内容的基础,因此需重新学习已学过的内容,为本节后面更深更难的内容打好基础。

(3)导数的应用:高中新教材中仅是借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系,并通过实际的背景和具体应用事例引导学生经历由函数增长到函数减少的过程,使学生了解函数的单调性,极值与导数的关系,要求结合函数图像,知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求不超过三次的多项式函数的最大最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性;通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的应用。

高等数学对这部分内容的处理是:先介绍三个微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式,然后严格证明函数的单调性和曲线的凹凸性,给出函数的极值、最值的严格定义,及函数在一点取得极值的必要条件和充分条件。在此基础上,讨论求最大最小值的应用问题,以及用导数描绘函数图形的方法步骤。

建议:由以上分析比较可知,高中数学所涉及的一元微分学虽然内容差别不大,但内容体系框架有很大差异,高等数学知识更系统,逻辑更严谨。学习要求上,对于导数的几何意义,导数的四则运算法则及简单函数的一阶导数,利用导数判断函数单调性和求函数极值都是高中数学课程标准中要求的重点,是重点强化训练的知识点。而在高等数学教学中建议一点而过,教学重点应放在用微分中值定理证明函数单调性的判定定理、函数极值点的第一、二充分条件定理以及曲线的凹凸性、拐点等内容上。

以上主要分析比较了高中数学与高等数学的重复知识点。除此之外,二者之间以及高等数学与后继课程之间还存在着知识“断裂带”。

3 高中数学与高等数学知识的“断裂带”

高考对平面解析几何中的极坐标内容不做要求,鉴于此这部分知识在高中大多是不讲的;而在大学教材中,极坐标知识是作为已知知识直接应用的,如在一元函数微分学的应用中求曲率,以及定积分的应用中求平面图形的面积等。建议在相应的地方补充讲解极坐标知识。

初等数学与高等数学除了在教材内容上的衔接外,在学习思想和方法等方面的衔接也都是值得研究的课题。学生刚开始学习高等数学,不能很好地衔接,教师在教学中要注意放慢速度,帮助学生熟悉高等数学教与学的方法,搞好接轨。首先要正确处理新与旧的关系,在备课时,了解中学有关知识的地位与作用及与高等数学知识内在的密切联系,对教材做恰当的处理;上课时教师要经常注意联旧引新,运用类比,使学生在旧知识的基础上获得新知识。

总之,努力探索搞好初等数学和高等数学学习衔接问题,是学好高等数学的关键之一。

参考文献

高等数学范文4

[关键词]高等数学 数学思维 数学思想

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437(2013)24-0076-02

高等数学教学主要的特点在于它是数学思维的教学。高等数学教学中应该注意数学思想的运用和渗透。

一、高等数学教学是数学思维的教学

高等数学教学时应该一切从思路出发,力图让每个学生搞清知识点间的联系。比较重要的是抓住思维的直观性、合理性和层次性这三个方面:

(一)数学思维的直观性

高等数学教学一般有四种类型:浅入浅出、浅入深出、深入深出、深入浅出。最高境界是深入浅出,高等数学中不少内容较为抽象,教学中应该能把深奥的道理用非常通俗的语言来叙述,让人一听就懂。

(二)思维的合理性

知识的呈现应该是水到渠成的结果,而不是像变魔术那样让学生感到不可捉摸,更不能故作高深来显示自己。而要做到这一点,关键是要知道你为什么要教这个知识?要尽可能按照人类认识事物的一般顺序来启发学生思考。

(三)思维的层次性

首先,要理清知识的层次关系。

其次,要注意启发的层次性。启发一般采用由远及近的方法来进行,一开始问题可以提得比较宏观一点,这样可以更好地拓展学生的思维,如果学生思考有困难,可以将问题提得更具体一点,如果学生还有困难,问题还可以提得再具体一点,……,这样逐步深入,直到学生真正理解为止。

二、用数学思想将数学知识统一起来

教师在高等数学教学中应充分渗透数学思想方法,充分发挥数学思想方法在数学教学中的指导作用、统摄作用,要用数学思想这一线索将零散的知识统一起来。让学生学会从数学思想方法这一高度居高临下认识高等数学的本质。

下面介绍两种比较重要的数学思想:模式思想和转化思想:

(一)模式思想

著名数学家、数学哲学家A.N.怀特海曾经指出:“数学是在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究的科学。人们正是通过模式这种有限的东西而达到对无限的宇宙的认识的。”

下面通过■(1+■)x=e这一重要极限(模型)的教学来具体说明高等数学教学中如何体现模型思想。

众所周知,■(1+x)■=e,■(1+■)■=e与■(1+■)x=1这三个极限之间的区别与联系也是很多学生常常出现混淆的地方。为了避免学生产生混淆,在教材中可以按照以下步骤来分析和掌握这三个极限的共同本质并在此基础上建构■(1+■)x=e这一重要极限模型。

首先,提示并引导学生探究重要极限的本质特征。引导学生归纳出前两个极限所具有的共同特征,即不管加数是x还是■,其本质都是无穷小。换句话说,就是应将学生的注意力引向判断与1相加的到底是不是无穷小这一本质,而不应该让学生只是无谓地纠缠,到底是x还是■这一表面现象。然后再进一步归纳出指数不管是x还是■,它始终等于这个无穷小的倒数。那么就不仅可以将公式■(1+x)■=e,■(1+■)■=e有机地统一在一起,避免犯■(1+x)■=e,■(1+■)■=e,而且可以与极限■(1+■)■=1更好地区别开来。当然,为了使学生更好地理解极限■(1+x)■=e的本质,在教学中还可以提出一些问题,如求■(1+x)■,■(1+x)■等更一般的情形来让学生通过比较和辨别来更好的认识极限■(1+x)■=e的本质特征。

其次,在探究基础上归纳极限特征。在学生进行探究的基础上让学生归纳出极限■(1+x)■=e的三个重要特征:底数与指数中都有变量;底数为1和无穷小之和;指数刚好是底数中无穷小这一加数的倒数。

最后,列出运用重要极限解题的一般步骤。首先识别所求极限是否适用于这一公式(即底数与指数中都有变量);如果适用,则将底数化为1和无穷小之和的形式(把底数变成“1+X”的形式);通过乘或加的方法使指数中出现的倒数■(需要注意的是如果用乘法,必须有一因式为常数);运用公式求极限。其它有关运算。

(二)转化思想

匈牙利著名数学家路莎·彼得在她的名著《无穷的玩艺》一书中对“化归方法”作过描述:“数学家往往不对问题进行正面的攻击,而是不断地将它变形,直至把它转化为已经能够解决的问题。”高等数学教学中应该注意培养学生的转化思想,并尽可能让他们养成运用转化思想解决问题的习惯。

下面以罗必塔法则的教学为例来进行说明:

我们知道,除了“■”型和“■”型的未定式外,还有“0·∞”型、“∞±∞”型、“00”型、“1∞”型、“∞0”型等类型的未定式。求解这类未定式极限的基本思想是采用转化的数学思想方法,先将它们转化为“■”型和“■”型这两种基本的未定式。

例:求■xx。

在解决这道问题时,教师可以这样启发学生:“前面我们已经学过‘■’型和‘■’型的未定式,现在又出现了‘00’ 这是一未定式,如何来求这类未定式的极限呢?”如果学生不能想到将其转化为“■”型或“■”型的未定式,教师可以进一步启发学生:“可不可以将其转化为‘■’型或‘■’型的未定式呢?”,如果学生认为可以,那么可以进一步启发学生:“怎样才能将‘00’型未定式转化为‘■’型或‘■’型的未定式?”通过这样的启发学生应该不难想到:必须将乘方运算转化为乘除运算,而将乘方运算转化乘除运算的基本方法是取对数。

解:方法一:设y=xx,取对数得

lny=xlnx,

■lny=■xlnx=■■=■■=-■x=0,

然后再根据复合函数的连续性得:ln(■y)=■(lny)=0。

从而有■y=1,即■xx=1。

方法二:利用公式x=elnx将乘方运算转化为乘除运算。

■xx=■exlnx=e■=e■=e■=e■=e0=1。

高等数学是高等教育中重要且基础的课程之一,对高等数学理解的深入程度对大学生今后的发展常常起着至关重要的作用。同时高等数学又往往是不少大学生深感头痛并且难以掌握的课程之一。作为高校教师,我们在考虑高等数学整体教学方案,或者考虑具体知识点的讲授的合理性时,我们始终注意数学思维的教学,并且注意模式思想和转化思想的灵活运用,则往往有事半功倍的效果。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 陈琦,刘儒德.当代教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社,1997.

[2] [美]约翰·布兰斯福特,等.程可拉等,译.人是如何学习的[M].上海:华东师范大学出版社,2003.

高等数学范文5

关键词:高中数学;等差数列;等比数列;教学

高中数学在整个数学教育范畴中属于初等教育这一教育教学范畴. 而在高中数学教育过程中,数列作为离散函数的类型出现,它不仅在高中数学中占有重要位置,而且在现实生活中也具有十分广泛的作用. 而在整个高中数列的教学实践中,等差数列和等比数列的教学又显得十分重要,本文就高中数列中等差数列和等比数列这两种特殊的数列进行教学实践探讨

高中数学等差和等比数列在教学实践中存在的问题及对策

现在高中数学教育教学过程中,很多高中学校存在着教学方式与学生学习方式两方面不能完美结合的通病. 在高中数学教学过程中出现诸多问题,例如填鸭式和满堂灌的教学方法的问题在当前很多高中学校中还普遍存在,高中数学等差和等比数列教学实践告诉我们,填鸭式或满堂灌的教学模式将无法使教师的教和学生的学有机地联系在一起,从而导致教学效果没有明显的提高.

针对高中数学教学中等差等比数列教学实践中存在的这些实质性的问题,如何进行相应的解决对策,在此我们介绍异步式教学方法,以期更好地实现教与学的双向互动,达到更好的教学目标,从而使教学效果更上一层楼. 异步式教学法在很多高中教学实践中效果显著,教学成绩斐然.它是这样的一种教学方式,在课堂教学过程中,教师和学生自动建立起一种同等的学习关系,在相互学习和交流中把教材知识融会贯通,从要我学慢慢发展到我要学的一种教学模式.

异步教学模式是这样的一种教学模式:在一节课的教学中,教师先让学生用20分钟把教材中数学的概念、数学例子、数学中的一些问题读懂看懂,在这过程中学生不懂和没有了解的地方可以问老师,老师起到在一旁随时辅导的作用,学生形成自主学习的主体. 然后教师用10分钟左右再提出这一课时中最具有典型的一些问题,并让学生及时解题,之后老师再把这些问题一一讲解给学生,45分钟的课堂教学就很轻松地过去了,学生在自己实践的学习过程中形成自己自主学习的习惯,从而把生硬的数学概念、原理、方法变成生动的学习和解题工具,这对于具有实际理解案例的等差等比数列是具有很大的教学帮助的.

灵活运用异步式教学模式来推动高中数学中的教学向前发展,特别是具有函数特点的教学内容,更需要异步式教学模式来进行教学,在教学实践中告诉我们,异步式教学模式可以使学生和老师互动起来,自觉地形成一种学习的伙伴关系,从而灵活的运用书本和教学实践中的原理和学习方法,去解决教学和学习过程中的实际难题.

高中数学等差和等比数列的性质在教学实践中的应用举例

1. 用等差数列性质解决等差数列的实际问题

在等差数列教学实践中,要灵活运用等差数列的性质来解决一些数学问题达到浅显易懂,方便解题,达到节约解题时间的效果.下面具体列出一些简便的解题实例,以供参考.

(1)运用性质解决通项方面问题

对于等差数列{an},任意两项an、am的关系是:an=am+(n-m)d或am=an+(m-n)d.

例题:{an}为等差数列,已知a4=16,a2=8,求通项an.

解法一:因为an=a1+(n-1)d,a1为首项,d为公差

所以a4=a1+3d=16①,a2=a1+d=8②.

由①-②解得a1=4,d=4,所以an=a1+(n-1)d=4n,所以an=4n.

解法二:由等差数列性质an=am+(n-m)d,d为公差得:

a4=a2+2d,而a4=16,a2=8,所以2d=8,d=4,所以an=a4+(n-4)d=16+4(n-4)=4n,所以an=4n.

由上面两种解题方法可以看出,第二种解题方法简便明了、直截了当,所以灵活运用等差数列性质来解决等差数列相关的问题能达到事半功倍的效果.

(2)运用等差数列性质解决求和方面的问题

对于等差数列{an}来说,如果m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数),那么就有am+an=ap+aq.

例题:{an}为等差数列,已知a3=5,a17=33,求S19.

解法一:依题意得:

a3=a1+2d=5①,a17=a1+16d=33②,②-①得14d=28,d=2,a1=1. 因为Sn=na1+(d为公差),所以S19=19a1+=19+=361.

解法二:因为{an}为等差数列,所以Sn=,所以S19===361.

很显然,运用解法二来解这道题非常快捷,而且计算量很小,从而节省了不少计算时间.

2. 用等比数列性质解决等比数列的实际问题

在等比数列教学实践中,能够灵活运用等比数列的性质来解决一些数学问题,使学生能很好地掌握这些性质并且学会运用这些性质去降低问题的难度,减少运算量,从而节省运算时间.

性质:{an}为等比数列,Sn为其前n项和,则有:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等比数列.

例题:已知等比数列{an}的前m项和Sm=10,前2m的和S2m=30,求S3m.

解法一:假设公比q=1时,Sm=ma1=10,S2m=2ma1=20. 显然是矛盾的,因此公比q=1是错误的. 公比q≠1,Sm==10①,S2m==30②.

②÷①得:1+qm=3,qm=2,由①和qm=2可得=-10.

因此S3m== -10×(1-8)=70.

高等数学范文6

[关键词]高职数学教学;数学实验;数学建模

一、高等数学在高职教学中的地位

高等职业教育(以下简称高职教育)是高等教育的重要组成部分,是以培养具有一定理论知识和较强实践能力,面向基层、面向生产、面向服务和管理第一线职业岗位的实用型、技能型专门人才为目的的职业技术教育,是职业技术教育的高等阶段[1]。

高等数学是高职教育必不可少的基础课程。一方面它为学生后继课程的学习做好铺垫,另一方面它对学生科学思维的培养和形成具有重要意义。因此,它既是一门重要的公共必修课,又是一门重要的基础课。在本着“必需、够用”的前提下,确立高等数学教学的任务——对人的素质要求的变化,不仅是知识、技能的提高,更重要的是能应变、生存、发展。针对这种形势,下面是笔者对高等数学教学的几点思考。

二、对高职高等数学教学的几点思考

1.做好新生“磨合期”工作

“好的开头,是成功的一半”。从中学刚刚升入大学,由于生活环境、学习特点、人际关系等因素的改变、许多学生表现出不适应,出现了不同程度的心理问题,这属于新生的大学心理“磨合期”,势所必然。在大学心理“磨合期”,尤其突出的矛盾是由应试教育造成的不良学习习惯使学生无法适应大学的教学。没有了中学里老师的耳提面命,许多大学新生面对知识的海洋,不知从何学起,难免会产生困惑、迷茫和无所适从的感觉。

高等数学较初等数学有着很大的不同,高等数学中的概念实例是精心挑选的,对于问题的解决是朝着既定的方向步步深入的,学习中要有很强的目标意识,提出的问题更为深刻、复杂,概念更为抽象,必须要有明确的思维方向。初等数学研究对象基本上是不变量,而高等数学是以变量为研究对象,初等函数是连接初等数学与高等数学的纽带,极限则是高等数学研究函数重要思想方法,因此学生学好第一章“函数与极限”是做好新生“磨合期”数学教学工作的关键所在。

在第一章“函数与极限”教学过程中,对于函数的教学,有些教师认为是学生在中学学过的内容,为了压缩课时,在教学中常常是被一带而过。殊不知,大多数高职学生对中学数学知识掌握并不牢固,这种一带而过的做法,使本来不会的仍然不会,这样会严重挫伤学生对数学学习的积极性。关于极限的教学,教材中极限定义同中学极限定义相同,没有给出函数极限的严格定义,只给出直观描述,如果教师在讲授极限定义时,没有进行必要的铺垫和展开,势必影响对极限概念的理解,造成学生学习后续知识的障碍。

如何做好第一章“函数与极限”教学,重塑学生学好数学的信心,从心理上留住学生,我认为,首先教师应适当地放慢教学进度,帮助学生梳理函数有关知识,使已有的知识和方法条理化,形成良好的知识结构,并对如何学习高等数学,在学习方法和策略上作必要的指导——“授之以鱼,不如授之以渔”,增加学生数学学习信心,拉近高等数学同学生的心理距离。其次,高等数学是许多初等数学存疑的答案,初等数学的知识,在高等数学中是特例。例如:利用无穷递缩等比数列的各项和将循环小数化为分数等,教师可以通过这些知识的教学,提高学生的学习兴趣。第三,极限的概念和思想在高等数学中占有重要的地位,它的思想、方法贯穿在整个高等数学的始终。极限也是人们研究许多问题的工具,这些问题涉及到从有限中认识无限、从近似中认识精确、从量变中认识质变的过程。因此,教师应该在学生已有极限知识的前提下,使学生认识有所提高。教师可以结合具体例子,通过比较数值的变化及图像解释“无限趋近”,并将“ε-N语言”和“ε-δ语言”介绍给学生,教学的重点是让学生理解基本概念和基本思想、掌握基本极限运算

2.注重学生对高等数学的基本数学思想方法的领悟,培养学生的可持续发展能力和终身学习能力

现代职业教育新理念认为,职业教育项目不能狭隘地对应某个特定工作进行设计,应该培养学生相应的文化理论基础和知识迁移能力,具有适应职业群中多种岗位所要求的知识、能力和素质基础。因此,职业教育不仅要重视实践能力,而且要重视基础理论学习。

数学思想方法是数学的灵魂,它是从具体的数学内容和对数学的认识中提炼上升的数学观点,在数学认识活动中被反复应用,带有普遍的指导意义,是用数学解决问题的指导思想。例如,微积分中的许多思想方法对于学生思维方式的形成和思维能力的训练都起着十分重要的作用,无论将来学生毕业后从事何种工作,微积分的数学思想方法都是不可或缺的。

在教学中,应充分挖掘和揭示教材中蕴含的数学思想方法,如微元法、化归法、极限法、以直代曲等方法,并引导学生将这些思想方法作为一种思维工具应用于专业知识和其他学科,并在以后专业课的学习中自觉地运用数学方法去思考,站在数学的角度去思考。例如,对软件专业的学生,教师在讲到一阶导数时,可重点介绍一阶导数在C语言编程中的“迭代法”中的应用,并且由此让学生体会到:对于软件专业最重要的是编程能力的培养,核心的应该是编程思想,也就是说数学思想是解决问题的核心,计算机语言只是构建这个核心的工具。

3.数学实验是提升学生能力的有效途径

当今知识经济时代,数学正在从幕后走向台前,数学和计算机技术的结合使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值,同时,也为数学发展开拓了广阔的前景。现代信息技术的广泛应用也对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。我国已在1995年国家数学高等教育面向21世纪教学内容课程体系改革计划中把“数学实验”列为高校非数学类专业的数学基础课之一。数学实验是使用数学软件用数学的方法来学习掌握数学知识和解决数学问题的数学教学形式。

设立数学实验课,首先是改变了数学课程中仅仅依赖“一支笔,一张纸”,由教师单向传输知识的教学模式。数学实验是指以学生动手为主,在教师指导下用学到的数学知识和计算机技术,选择合适的数学软件,分析、解决一些经过简化的实际问题。好的数学实验会引起学生学习数学知识和方法的强烈兴趣并激发他们自己去解决相关实际问题的欲望,因此数学实验有助于促进独立思考和创新意识的培养。

其次,数学实验是从实际问题做起,完整地完成一个学数学、做数学、用数学的过程。实验的结果不仅仅是公式定理的推导、套用和手工计算的结论,它还反映了学生对数学原理、数学方法、建模方法、计算机操作和软件使用等多方面内容的掌握程度和应用的能力。因此,数学实验有助于促进实际工作中所需要的综合应用能力的培养。

第三,数学实验必须使用计算机及应用软件,将先进技术工具引进了教学过程,它不止是一种教学辅助手段,而且是解决实验中问题的主要途径。因此,数学实验有助于促进数学教学手段现代化和让学生掌握先进的数学工具。

另外,数学实验以计算机为工具,功能强大的数学软件包使求解数学问题变得快捷方便,这不仅大大增强与扩展了运用高等数学求解数学问题的途径,也大大减轻人们用传统方法进行计算的负担,提高学生学习数学的兴趣和信心。

4.开展数学建模活动,提高学生的实践能力和创新精神

当人们解决经济、社会生活中遇到的一些实际问题时,需要将研究对象的内在规律用数学的语言和方法表述出来,然后对该数学问题进行分析与计算,并将求解得到的数量结果返回到实际对象的问题中去,这样的一个全过程称为建立数学模型,简称数学建模。

英国著名数学家、哲学家怀特海(1861~1947)曾预言:“如果文明继续进步,今后两千年内,在人类思想领域里具有压倒性的新情况,将是数学地理解问题占统治地位。”[2]所谓数学地理解问题,是指首先用简洁的语言把实际问题提炼成数学模型,然后把这个数学模型叙述成能够定量或定性求解的问题。

开展“数学建模”学习活动,设立体现数学应用的专题活动,能使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系。例如,把一把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只需稍挪动几次,就可以使四只脚同时着地,放稳了[3]。这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言进行表述,并能用一元函数连续性来证明。学生面对这种有较强实际背景,特别是直接针对某个实际问题的数学问题有强烈的兴趣。数学建模就是通过对现实对象的信息表述——建立数学模型,求解数学模型,解释现实问题,验证结果等建立数学模型的全过程,并以此促进学生逐步形成和发展数学应用意识,提高实践能力。

近几年来,我国大学数学建模的实践已充分证明,开展数学应用的教学活动符合社会需要,有利于激发学生学习数学的兴趣,有利于增强学生的应用意识,有利于扩展学生的视野。

[参考文献]

[1]朱懿心.高职高专教师必读[M].上海:上海交通大学出版社,2004:1.

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