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初中数学求动点最值的方法范文1
一、利用对称性
利用轴对称性求最短距离是近几年中考数学中的热点考题，因此成为我们研究的重点。下面，就初中数学中利用轴对称性来解决最值问题作归纳、分析。基本模型：如图1，点A、B分别表示两个居民小区，若直线 L 表示燃气管道，欲在其旁建一个泵站，使从该站向两个小区输气的管道总长最短，应如何确定泵站的位置？请在图中画出。
如图2，作点A 关于直线L 的对称点A'，连接A'B与直线L 交于点C，则点C为求泵站位置。
例1：如图3，已知点P是边长为2的正三角形ABC的中线AD上的动点，E是AC边的中点，则PC+PE的最小值是____。分析与解：根据基本模型，点C、点E是定点，点P是动点，而C点关于直线AD对称点就是B点，连结BE交AD于P'，则PC+PE的最小值为BE的长，而BE是正三角形的高。BE= ，PC+PE的最小值为 。
例2：如图4，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若圆 O的半径为2，则AP+BP的最小值是____。
图4 图5 图6
分析与解：根据基本模型，先找出其中一个定点关于定直线的对称点，然后该对称点与另一定点的连线与定直线的交点就是所要确定的点，这样问题就解决了。由题意知： ∠AON=60O，∠BON=30O，取点B关于ON的对称点B'则∠B'ON=30O，则AP+BP的最小值为AB'，∠AOB'=90O，AOB为等腰直角三角形，AB' =2 ，AP+BP的最小值2 。
从上面不难看出，利用轴对称性求线段之和的最小值时，常把某些定点进行适当轴对称变换，根据两点之间线段最短或三角形三边的关系，将问题归类，举一反三、触类旁通，问题就迎刃而解了。
二、运用基本不等式a+b≥2 （a，b均为正实数）
常利用基本不等式：a+b≥2 ，ab≤（ ）2，a2+b2≥2ab， + ≥2。
例3：在凸四边形ABCD 中，对角线AC、BD 交于O 点，若
SOAD = 9，SOBC = 25，则凸四边形ABCD 面积的最小值是多少？
分析与解法： 如图5，设SOAB=a，SOCD=b，因为高相同的两个三角形的面积之比等于底之比， = = ， = ，ab=225，a+b≥2 =2 =30，凸四边形ABCD 面积的最小值是9+25+30=64。
分析与解法二：如图6，作AEBD，CFBD垂足为E、F，设AE=x，CF=y，SOAD=9，SOBC=25， OD・x=9， OB・y=25， OD= ， OB= ，SOAB+SOCD= OB・x+ OD・y≥2 =30，凸四边形ABCD 面积的最小值是9+25+30=64。
上面例题中的两种解法虽说设法不同，但都离不开基本不等式a+b≥2 的应用。
三、利用圆中弦心距的性质
经过一点的弦中，弦心距越大，弦长越小，弓形面积越小；弦心距越小，弦长越大，弓形面积越大。求弓形面积的最值。
例4：如图7，在半径为2的圆中，圆内的一点P到圆心O的距离为1，过P点的弦AB与劣弧AB 组成弓形面积的最小值为多少？
分析与解：作OQAB垂足为Q，若点Q与点P不重合，连接OP， 过点P作弦A'B'OP，在RtOQP中，弦心距OQ
四、利用一元二次方程的根的判别式
在求与一元二次方程有关的问题时，常利用一元二次方程根的判别式求最值。下面举例分析：
例5：实数x，y满足x2-2x-4y=5，则x-3y的最大值是多少？
分析与解：设t=x-3y得y= ，代入x2-2x-4y=5中有x2-2x-
4× =5， 整理有：3x2-10x+4t-15=0。方程3x2-10x+4t-15=0有实数根，=102-4×3×（4t-15）≥0，t≤ ，即t=x-3y的最大值为 。
在代数中利用一元二次方程的判别式求最值是初中数学常用的方法，化成所含未知数的一元二次方程，用判别式来求是解决这类问题的基本思路。
初中数学求动点最值的方法范文2
一﹑由数想形
1.借助数轴引导学生合理理解数学概念法则.
数轴是重要的数学学习工具，借助其可直观表示较多数学问题，令数形有机结合，因此在初中数学教学中我们应合理应用数轴帮助学生整理绝对值的几何意义，掌握数轴上任意两点间的距离等于两点所表示数的差的绝对值.
理解：|x-1|，|x+2|分别表示数轴上表示x与1、x与-2之间的距离，则本题就可借助数轴找x到1和-2的距离和等于3的点在-2和1之间，所以答案为-2≤x≤1.
由上题可知，x到1和-2的距离差等于3，因此本题要找的是x到1和-2的距离差等于3，借助数轴发现x只能在-2的左边，或1的右边，所以答案为x≤-2或x≥1.
2.借助数轴引导学生分析不等式中部分解求范围问题.
解不等式得：x≤m.通过画数轴可知正整数解为1、2、3，m的大致范围在3和4之间，再讨论m=3和m=4的情况，当m=3时符合题意，当m=4时，不等式有4个正整数解为1、2、3、4.所以本题的答案为3≤m
3.借助抛物线图像给定自变量取值范围求因变量范围.
分析：由自变量范围可知二次函数有意义图像在ACB这段曲线上，经过图像的最高点，所以函数在自变量范围内有最大值.当x=-2时，函数最小值为-4；当x=1时，函数最大值为5，所以y的取值范围为-4
4.由数结构想到构造直角三角形利用勾股定理求最值.
例4：已知：a，b均为正数，a+b=2，求+的最小值.
解：如图，作线段AB=2，在AB上截取AE=a，BE=b，过A作ACAB且AC=2，过B作BDAB且AB=1，则由勾股定理得+，即CE+DE.本题就转化为在AB上找一点使CE+DE最小，作C，G关于AB对称，连接DG交AB于E，此时G，D，E三点共线.过G作GFDB交DB延长线于F，最小值即为DG.
DG===.
所以+的最小值为.
从上文已经知道，以形助数是根据代数问题所蕴含的几何意义，将代数问题转化成几何问题并加以解决，使得代数问题变几何化，借助于几何图形直观地得到问题的结论，使得原本抽象而复杂的问题变得更形象化、简易化.
二、由形知数
1.初中数学教学中应利用数形结合，引导学生用代数方式有效解决识图问题.
例5：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着ABCD的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知PAD的面积S（单位：cm）与点P移动的时间分析：在教学时让学生结合图像和图形分析出点P在线段AB上运动时S的面积在不断增大，对应自变量0≤t≤2在函数图像上，当自变量t=2时点P恰好与B点重合，此时线段AB=2cm，S的面积为3cm，过B作BEAD可求得BE=cm，AE=1cm，AD=6cm，点P在线段BC上运动时面积不变，对应自变量2≤t≤4根据函数图像可得BC=2，点P在CD上运动时面积不断减小对应函数图像剩下的部分.则要求点P从开始移动到停止移动一共用了多少秒，只需求出CD得长.转化为梯形中已知三边求第四边问题，过C作CFAD可得矩形CFEB，CF=BE=cm，CD=2cm，从而求出路程为（2+4）cm，时间为（2+4）s.
2.用代数的方法有效地解决几何图形中的翻折问题.
例6：如图，已知直角梯形纸片OABC中，两底边AO=5，BC=4，垂直于底的腰CO=.点T在线段AO上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设OT=t，折叠后纸片重叠部分（图中阴影部分）的面积为S.
（1）求∠OAB的度数；
（2）求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
（3）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
（4）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.
（1）过点B作BEOA，垂足为E，可得AE=OA-OE=1，tanA=，
∠OAB=60°.
（2）当点A′在线段AB上时，
∠OAB=60°，TA=TA′，
A′TA是等边三角形，且TPAB，TA=5-t，
S=S=·（5-t）=（5-t）（3≤t
（3）当纸片重叠部分的图形是四边形时，因A′TA是等边三角形，所以2
（4）S存在最大值.
①当3≤t
②当1≤t
当t=1时，S的最大值为；
③当0
四边形ETAB是等腰梯形，EF=ET=AB=2，S=×2×=.
综上所述，S有最大值为，此时0
初中数学求动点最值的方法范文3
一、求值
例1已知直线y=kx与圆
C：x2+y2-8x-6y+21=0
相交于
A、B两点，O为坐标原点，求OA·OB的值
解： 圆C的方程化为（x-4）2+（y-3）2=22，可知圆心
方法1：如图1，由
O作圆的切线OT，T为切点，则
由切割线定理，
方法2：设直线
OC与圆
C交于D、E，由割线定理可知
二、比较大小
例2如图2，设AB是抛物线y2=2px（p>0）的过焦点F的弦，延长后交抛物线的准线于D，准线与
x轴交于E，那么必有（ ）
解：以AB为直径作圆
C，那么由抛物线的定义可知该圆与准线必相切，设切点为T由圆心
C在x轴上方，知
T在E的上方，则有
由圆的切割线定理知|DA||DB|=|DT|2>|DE|2，故选
点评：本题中原本没有圆，而恰当构造出圆后，就为巧用切割线定理创造了得天独厚的条件
三、求轨迹
例3如图3，设M是圆
C：x2+y2-6x-8y=0上的动点，O是原点，P是射线
OM上的点，且满足|OM||OP|=150，求点P的轨迹方程
解：圆C：（x-3）2+（y-4）2=52，作切线PT，T为切点由切割线定理有：
化简得点P的轨迹方程为
3x+4y-75=0
点评：直线与圆相交的问题，要注意平面几何知识的运用，如切线长、垂径、勾股定理、割线、切割线、相交弦定理
四、求最值
例4在平面直角坐标系中，在y轴上给定两点A（0，a），B（0，b）（a>b>0），试在
x轴的正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值
解：过A、B两点作一个圆，使该圆与
x轴的正半轴相切，那么切点即是所求的点C理由如下：在x轴上另取异于点
C的任意一点C′，则C′在圆外记
AC′与圆交于D，则∠AC′B
由切割线定理知OC2=OA·OB=ab，从而点C坐标是
（ab，0）
点评：本题是
初中数学求动点最值的方法范文4
一、中考数学复习应以“双基”为主线,注重复习方法
数学经历了由重“双基”(基本概念和基本技能)到重“四基”(增加发展与创新)的过程,在现阶段还没有比考试更好的选拔人才方法的情况下,忽略“双基”的培养是非常可怕的。教学实践证明“双基”的好坏直接关系到学生数学成绩的好坏,数学成绩好的学生基本功扎实是显而易见的。
1.中考复习要重视课堂学习、课本学习。
学生大量的学习时间是在课堂教学学习中度过的。教师以现行课程标准为依据,注重对基础知识、基本技能的训练、考查,而且目前课本知识内容的连贯性、权威性,是其他任何参考资料都无法与之比拟的。学生复习时虽然可以在教师的指导下选择一两种参考资料作为课本的补充,但不可盲目使用和迷信考试辅导资料,而必须以课本为复习依据,吃透课本,强化“双基”,避免舍本求末。总之,课本是最好的复习资料。
2.弥补学习中的不足。
教师应加强学生计算能力的培养,使学生养成勤动手、算到底和一次性做对题的习惯。学生对立方和、立方差公式的推导过程、公式的结构特点要熟悉、掌握,对“根与系数的关系”、根的判别式的应用不能忽视低。教师应加强“配方法”的训练,使学生学会利用“配方法”构造二次函数的顶点式,从而作抛物线的图像,求最值,等等。
3.重视数学思想方法的学习。
数学思想方法大体上可分为三类:第一类是宏观型思想方法,包括抽象概括、化归、数学模型、数形结合、归纳猜想等。第二类是逻辑型思想方法,包括分类、完全归纳法、反证法、演绎法、特殊化方法等。第三类是技巧型思想方法,包括换元法、配方法、待定系数法等。学生应对其中一些基本的思想方法要熟悉掌握,在复习备考中更应纳入到自身知识结构之中,在中考中充分地展现出来。
二、综合运用知识,提高自身各种能力
初中数学基本能力有运算能力、思维能力、空间想象能力,以及体现数学与生产、生活相关学科相联系的能力,等等。
1.提高综合运用数学知识解题的能力。
学生必须做到能把各个章节中的知识联系起来,并能综合运用,做到触类旁通。目前阶段,学生应根据自身实际,有针对性地复习,查漏补缺,做好知识归纳、解题方法的归纳。
中考中对能力的考查大致可分成两个阶段:一是考查运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力、解决纯数学问题的能力;二是强调阅读能力、创新探索能力和数学应用能力。平时做题时应做到以下几点。
(1)学生深刻理解知识本质,平时加强自己审题能力的锻炼,才能做到变更命题的表达形式后不慌不忙,得心应手。
(2)寻求不同的解题途径与变通思维方式。学生应注重自己思维的广阔性,对于同一题目,寻找不同的方法,做到一题多解,这样才有利于打破思维定势,开拓思路,优化解题方法。
(3)学生应变换几何图形的位置、形状、大小后能找到图形之间的联系,知道哪些量没变、哪些量已改变。例如:折叠问题中折叠前后图形全等是解决问题的关键。
2.狠抓重点内容,适当练习热点题型。
多年来,初中数学的“方程”、“函数”、“直线型”一直是中考重点内容。“方程思想”、“函数思想”贯穿于试卷始终。另外,“开放题”、“探索题”、“阅读理解题”、“方案设计”、“动手操作”等问题也是近几年中考的热点题型,这些中考题大部分来源于课本,有的对知识性要求不同,但题型新颖,背景复杂,文字冗长,不易梳理。所以学生应重视这方面的学习和训练,以熟悉、适应这类题型。
三、从自身出发,调整心态,有的放矢地复习
学生应从自身实际出发,强化薄弱知识的方法、能力环节的复习训练,分析清楚哪些是自己的强项,哪些是自己的弱项,要以强项带弱项,根治知识的盲区、死角。在本学科的重点、难点知识、技能上多下功夫,这些位置也是考试命题的热点、焦点,学生应加大“投入”,切忌不分主次,眉毛胡子一把抓。不同阶段复习学生应各有侧重,把知识技能的“点”和“线”结成网,形成知识的有机整体,将思想方法形成整体框架。
四、广泛收集资料,精心选制题目
中考复习的后半期,来自各方面的不同途径的复习资料、模拟试题排山倒海而至,压得学生喘不过气来。学生就是有三头六臂,不吃饭、不睡觉,也难以完成。这种题海战术,不利于学生的进一步提高,对于学生能力的培养并没有多大帮助,甚至阻碍学生思维、束缚学生思维,浪费了学生宝贵的复习时间不算,且收效甚微,陷学生于深潭迷雾中。因此,对于每一份资料、每一张试卷,教师都先全面通读,“取其精华,剔其糟粕”,筛选典型的、有价值的题目给学生做。对于学生已经掌握的或大纲不要求学生掌握的,以及重复训练的题目,教师要考虑将其删去;对于涉及教材重点知识又有必要重复训练的,教师也要注意题量,而不能不管试题好坏,不管资料质量,不管学生是否已掌握,一见题目就拿给学生练,此是劳命伤神之举。当然,精选典型性、代表性的资料,对教师提出了更高的要求,教师要加强自身学习,了解、分析、掌握中考命题的发展趋势,发展动向,研究大纲、钻研教材,才能在精选题目时看得准,抓得稳。
五、灵活进行变式,培养学生变试能力
素质教育要求学生有创新精神和实践能力。教材中的许多题目稍加改动,便可得到一种创新型的题目。比如,将已知和结论交换一下,把定点改为动点,把结论设置成猜想,等等,都能点燃学生创新的火花,都能发展学生的创新能力。在复习教学中,教师有计划、有目的、有步骤地通过变式教学,培养学生的分析判断能力、推理演绎能力、解决实际问题能力,既能锻炼学生的逆向思维、多元思维、发散性思维,拓展解题思路,又能提高学生解题的灵活性、熟练性、实践性。教师每节课都能依据教学原则引导学生去发现、去创新,久而久之,就能使学生根据要求自己编写数学题目,运用数学方法解决生活中的实际问题。教师要做的,就是教给学生学习的方法,培养学习型的学生,这也是教师作为教育工作者最终的出发点和归宿。
参考文献:
[1]初中数学教育.
初中数学求动点最值的方法范文5
关键词： 初中数学教学 函数 复习课 教学策略
初中数学的特点是：知识面广、量大，内容十分繁杂.要让学生在短短的时间内，系统有效地复习所学的知识，精选一定量的例、习题是十分必要的.而这些例、习题要求教师经过认真筛选和精心设计，不仅要具有概念性、代表性、典型性、针对性、综合性，而且要具有启发性、思考性、灵活性、创造性等特点，使之具有较强的指导作用，从而促进学生思维发展，全面完成教学任务.现在中考命题仍然以基础题为主，有些基础题是课本上的原题或改造题，即使是后面的压轴题，虽是“高于教材”，但原型一般还是教材中的例题或习题，是教材中题目的引申、变形或组合，因此在数学的总复习教学中，如何制订合理的复习计划、选用合适的复习材料、激发学生的学习兴趣、开拓学生的解题思路、提高数学课堂教学的效率就显得至关重要.本文结合近几年中考函数问题考情，谈谈数学高效复习的教学策略.
一、回顾梳理，夯实基础
要想有效地提高课堂的复习效率，就必须克服“眼高手低”的毛病.很多同学上课时处于一种混沌状态，一听就懂，一做就错；一听就会，一到自己做就不会了.为避免这样的情况，必须让学生更好地了解自己掌握知识的情况.
教师可采用不同的复习形式，整理阶段的基础知识，使内容条理化、清晰化地呈现在学生面前，从而完成由厚到薄的过程，对重难点和关键点进行有针对性的讲解.配以适当的练习，促进学生对基本知识和基本方法的深刻性和准确性的理解掌握，促进学生科学合理的知识结构的形成，使知识系统化和网络化.
讲解之后的适当训练是对已讲内容的掌握情况的检测，有利于我们再次对所复习的知识进行查漏补缺.教师可用15分钟的时间当堂测试，通过解答的过程让学生“自知自明”，激发兴趣，有效地提高复习效率.
例如，函数复习选题的基本思路有两个，一是以函数的知识点和考点为主线，着眼于基础知识和基本方法，围绕“三基”和提高解题技能进行策划选题.教师要对该内容的知识点和能力要求做到心中有数，结合学生对重点内容的消化理解程度，有针对性地选题，可以对课本的例题、习题进行加工整合，可以对一些典型中考题吸取其思想方法引申而成.但应控制运算量，尽量避免繁琐的运算.二是以数学思想方法为主线，把知识与方法有机地结合起来，促进能力的形成.函数的最值问题、函数的图像与性质的应用、利用函数解决实际问题等更多地渗透数学思想方法，如配方法、数形结合法、方程函数思想、迁移化归思想等，这些思想方法的掌握情况体现考生处理各类数学问题的能力.
二、精选精讲，举一反三
精心选择适量的典型例题，分析解决这些问题是一堂复习课的核心内容.解题的目的绝不仅仅是解决这个问题本身，而是要给出通性通法，揭示解决问题的一般规律，熟练掌握数学思想方法，提高学生分析、解决问题的能力.一般要做好以下几个方面。
1.小题大做
小题往往比较灵活，形式新颖，学生比较喜欢.如果我们能小题大做，那小题往往就会收到大题没有的效果，通过深刻地开发和适当地变化，小题可以涵盖丰富的基本知识、基本技能，进一步突出转化思想、建模思想、运动思想、分类讨论的思想等的培养，使学生能够从数学的角度思考问题，用比较规范的逻辑推理形式表达自己的演绎推理过程.
我们可增加第二步：设点P是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB′的面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值.
该类题在解答上“宽入窄出，缓步提升”，既关注了不同数学水平学生的解题需要，又突出了题目应有的选拔作用.解这类题的关键是：领会和理解题中的问题背景、操作过程，运用数学眼光审视、分析、概括在操作中出现的现象，揭示其数学本质及内在联系，并将过程和结论转化成数学的探究过程，挖掘其中所蕴涵的数学思想方法，从而发现、肯定其结论，进而解决有关现实问题，并运用发散思维、数学分类思想等进行操作与探究.复习过程中，碰到动态操作（如剪、拼、翻、转、移）问题最好自己动手按照题意操作一下，增强自己的空间观念，帮助自己加深对问题情境的理解力，同时也是用实际操作强化自己的逻辑思维与空间想象力.在操作的过程中还要注意培养自己手脑并用的思维习惯，并注重在动态的操作过程中进一步培养自己探究数学问题的本质，发现变量之间的互相依存关系和内在联系，从而找到解决问题的途径、方法与策略，体验发现与探究的乐趣.
2.类化整合
一个阶段后，我们在练习中会碰到很多问题，如果我们不加分析，一个一个地解决，就难免陷入题海而不能自拔.假设把这些问题在复习中加以类化，只要讲一个题目，就完全可以解决一类问题.
例如，在复习运动变化专题时，举例：已知：正方形ABCD的边长是12，点P在BC上，BP=5，PEAP，交CD于点E，求DE的长.
变式题1：已知：正方形ABCD的边长是12，点P在BC上运动，BP=x，PEAP，交CD于点E，CE=y，求y与x的函数关系式.
3.一题多讲
一题多变，对一个问题的内涵和外延进行适当的延伸和拓展，可以有效地开发问题的潜在资源，发散学生思维.从而帮助学生跳出题海，迅速提高学生的成绩.
根据考查同一知识点的需要，可以从不同角度、结合不同的数学模型作出多种命题.因此在大量的习题中，有不少题目存在共同的解题规律.我在处理这类习题时，不仅仅满足于具体的方法，而是运用层层递进的问题式教学，让更多的学生甚至基础较差的学生都能参与专题复习，培养学生的思维能力.
例如，在复习应用题专题时：
问题1：奇隆超市准备进一批季节性小家电，单价40元.经市场预测，每个定价为52元时，可售出180个；定价每涨价1元，销售量将减少10个.超市若准备获利2000元，每个涨价多少元？
问题2：奇隆超市经销一种季节性小家电，如果每个盈利10元，每天可售出500个，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每个涨价1元，日销售量将减少20个，现该超市要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每个应涨价多少元？
问题3：奇隆超市将每件进价80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.
（1）直接写出奇隆超市经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，奇隆超市一天可获利润y元.
①若奇隆超市经营该商品一天要获利润2160元，而且要让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？
②若奇隆超市经营该商品一天要获得最大利润，则每件商品应降价多少元？并求出最大利润.
分析：问题1只要直接假设，再利用“销售利润=销售数量×（售价—成本）”解方程就能得答案；问题2不告诉售价与成本，改成“每个盈利10元”，并增加“顾客得到实惠”的要求；问题3将涨价改为降价，并增加求“最大利润”的问题.
解决这类问题的关键就是要让学生透过现象抓住问题的本质：“销售利润=销售数量×每件利润”；需求“最大利润”时通常要用到“配方法”，再利用二次函数图像与性质解决.讲一个例题得一种方法，达到解一题、得一法、明一类的目的，从而培养学生思维的深刻性.
三、树立信心，迎难而上
1.要注重规范解题，步步为营，稳扎稳打.如先看清题意，再画好图形，进而寻求突破途径.
2.注重阅读理解等获取信息的方法，在信息的获取中寻求解题的突破口.要十分关注“加括号的说明”和“加着重号的标注”，因为它们往往就是解题的突破口.
3.综合题的复习要让学生经历“做听改反思顿悟”几个环节.做题要求精、求透、不求多、求全，要求以点带面，不求面面俱到，要严禁“题题都做（全而不对）、题题都未做完（对而不全）”、“只听不做”、“只做不听”、“只做不改”等不良现象的出现，以提升复习实效.
4.分层教学，因材施教，让学生在原有的基础上有所发展.
总之，“要给学生一碗水，教师必须有一桶水”，数学复习课需要教师全面把握中学数学教材的知识体系，深挖教材，精心组织，使课堂总结在整节课的教学中起到画龙点睛的作用.在精心选材的基础上，课堂教学还应抓好知识方法的落实，有针对性、有重点地进行训练，评讲，让学生有足够的思考时间，训练到位，让优秀生自主发展，尽善尽美；让中等生目标明确，追求进步；让后进生量力选择，达到更好的复习效果.
参考文献：
[1]吴跃华.浅谈初中数学总复习练习题的设计.中学教研，1988，Z1.
[2]郭冰.如何打造一个高效的数学复习课堂.中国校园导刊，2012，1.
初中数学求动点最值的方法范文6
关键词： 中等生 关注策略 农村初中数学教学
一、研究的缘起
随着新课程的实施，“以人为本，面向全体”的理念已深入每个数学教师心中.可在日常教学中，老师们习惯于“抓两头”，注重培优辅差，忽视了对中等生的重视和发展.不难发现这样一种普遍现象：课堂中，优等生思维敏捷，成绩优异，表现突出，理所当然成为课堂宠儿；后进生也会因不足明显赢得老师的关注和帮助；中等生品学一般则显得平淡无光，最容易被教师的遗忘和忽略.而在一个班级中，中等生的人数最多，成绩波动也较大，既可上升到优等生队伍，又可下滑到后进生行列.因此中等生的激活与进步是整体提高班级教学质量的关键.教学中，应加大关注力度，抓准关注点，寻找有效关注中等生的策略.
二、中等生缺乏关注的成因分析
（一）家庭教育无法为中等生保驾护航
农村初中学生家长大部分文化水平比较低，家庭教育对小孩学习的帮扶不够，而中等生在学习上是最需要帮扶的一个群体，但受制于家庭教育的环境和质量，家庭教育无法为中等生保驾护航，中等生较少得到父母的关注，前进的步伐较慢.
（二）应试教育阻碍了中等生的发展
农村学校校园小，硬件设施比较落后，优秀的学生容易流向城里，为了要留住这部分孩子，提高学校的知名度，只有提高教学质量.在教学中教师把注意力集中在优等生和后进生身上，搞提优补差，推行“抓两头”的做法.让优等生更好，以应付各种竞赛考试，向高一级学校输送尖端人才，为学校争光；帮助后进生，积极推行转差工作，以免影响学校教育教学质量的考核评估.中等生既没有学习上的优势，又大都安分守己，自然就难以引起学校和教师的关注.
（三）自身不良心理因素的干扰
有些中等生意志薄弱，一遇到计算量比较大、计算步骤比较繁琐的习题，或者是一次尝试失败，甚至一听是难题或一看题目较长就会产生畏难情绪，缺乏克服困难、战胜自我的坚韧意志和信心，从而影响学习质量的提高.据调查：72%的中等生对自己的性格缺乏全面分析和正确认识，忽视自身优势，只为自己的不足或短处自怨自艾，“自卑心理、抑郁心理、闭锁心理、焦虑心理”等在中等生中普遍存在.由于自身不良心理因素的干扰，中等生往往感觉到老师对他们不够重视和关心，对老师的“情感偏移”也会感到不满，老师的教育成效就会大打折扣，反过来也会影响教师对中等生的关注.
三、关注中等生策略的实施
那么，在数学教学过程中，如何加强对中等生的关注，如何让中等生向优等生转化呢？什么是我们的突破口呢？
（一）唤醒沉睡的心灵——关注中等生的内心世界
中等生就像一座沉睡的火山，需要老师去关注，我们在关注他们时，首先需要关注其内心世界.
1.让中等生知道：自己很重要——消除配角意识.
一所学校，中等生占约40%，他们是教学中不能忽视的一个群体，我们在教学中不仅要“抓两头”，更要“促中间”，中间学生成绩的提升，对学校教育教学整体水平的提高至关重要.我们要把这一想法告诉中等生，让他们知道：他们不是被老师遗忘的学生，老师不仅关注他们，而且很重视他们；同时，教师要引导中等生正确认识自己与其他群体的差异，特别是要看到自己身上的长处，以此悦纳自己，不再活在优等生的光环的阴影下，消除配角意识.
2.让中等生懂得：成功不拒绝失败——唤醒成功意识.
中等生的性格往往比较内向，这种性格在学校教育上就表现为：上课不愿举手发言、不愿参加集体活动和各种竞赛活动等，究其原因，无非就是怕失败、怕同学嘲笑.那么在课堂中，可以用微笑、点头、眼神等方式与中等生在课堂中交流，向中等生传达我在关注你的信息.教师对中等生尤其需要及时地激励、表扬，如“你的回答太精彩了”、“你的解题思路十分有创意”、“你的补充很不错”等；对中等生课堂教学中思路有错误的，也不要“一棍子打死”，可说“你对课堂的贡献是很大的，你可以启发大家朝另一个方向走”，教师要想尽办法唤醒中等生的成功意识.
3.让中等生坚信：凡事还得靠自己——增强自主意识.
“解铃还须系铃人”，问题的解决关键在学生自己.不管老师告诉他们多少大道理，最后都必须强调：在他们的学习过程中，老师只是引路人，起引导作用，有时甚至可以与他们同行，但是要想真正有所提高，向前迈一步，还得靠自己.尤其是数学学科，碰到难题，不要轻易地放放弃，让他们坚信“跳一跳，就能摘到果实”.数学老师还要经常性地指导中等生自我设定数学学习目标，要求他们确定追赶的对象，榜样人物.课堂教学目标的设定，也要体现中等生必须“跳一跳”才能实现的预设，用较高的目标和要求来增强他们的进取意识.
（二）聚焦课堂——关注学习的主阵地
课堂是中等生学习的主阵地，对中等生的关注，教师应该做到：
1.思维模糊处，点拨.
数学其实是概念相当细化的一门学科，它具有的严谨性与科学性决定了其学习时必须思维清晰.而思维的模糊处，就是思维还处于混沌状态，对词语、句子的理解还很模糊.中等生在学习时，有一个显著的特征，就是解题往往就题论题，思维发散能力较弱，容易形成思维定势.解决新问题时，无法找出问题与方法的交接点，思维呈现模糊状态，此时就需要教师的指导.课堂教学中通过教师一定的思路点拨和方法指导，把学生的思维从模糊处引向光明处，从而形成正确的思路.
例如：下列函数在自变量的取值范围内，自变量越大，函数值越小的函数有哪几个？
当k>0时，在图像所在的每一象限内，函数值y随自变量x值的增大而减小.当k
对于函数性质中“在图像所在的每一象限内”理解模糊，导致思路不清.
【教师点拨】
（点拨：问题的关键在于自变量x≠0，符合反比例函数的性质必须是在图像所在的每一象限内.）
（2）引导学生画出草图（由图像可知在每个象限内y是随着x的增大而减小，并不是整个取值范围内）加深印象.
【正解】③⑤
2.思维受阻处，引问.
中等生的知识理解能力相对薄弱，缺乏思维的严谨性和深刻性.学生在学习过程中，思维的方向选择往往跟着感觉走，当思维遇到障碍而不能进一步进行深层次的思考时.教师要善于洞悉学生的数学思维，分析受阻原因，在学生原有知识和经验的基础上，在关键处有意识地进行引导和提问，为学生架一座桥，促使学生产生“顿悟”.引问的关键在于激发学生的思维，为学生指明思维的方向，打破思维定势，开拓思路，突破难点，让学生在更高层次上继续思考.最重要的是让中等生有继续做下去的勇气和希望.
例如：如图，直线m∥n，m、n之间的距离为3，A为直线m上的一个动点，B、C为直线n上的两个动点，连接AB、AC，满足AB+AC=12.
（1）请就图中的情形用尺规作出ABC的外接圆O；
（2）设O的半径为y，AB的长为x，求y与x的函数关系式；
（3）当AB的长度等于多少时，O的面积最大，并求出最大面积，试判断此时ABC的形状.
【分析】此题为九年级复习阶段综合性较强的代数与几何一体的实例.考点：外接圆；圆周角定理；相似判定定理；二次函数最值问题等.笔者对此题采用两种研究方式，其一是在课堂中作为典型的综合性例题来讲；其二是给学生足够的时间，课外留做题.但无论哪种形式，通过观察学生做题轨迹及倾听学生做题思路，都表现出中等生思维受阻这一问题.尤其是问题2，大部分学生都会受阻，束手无策.但是只要步步为营，只要理清思路，一步一步落实知识点，笔者认为此题对与中等生来讲还是具有很好的研究价值，具有可做性的.要鼓励中等生研究，让他们品尝获得成功的喜悦.
【学生思维受阻表现】
（1）不到半径与AB，AC有何联系？茫然，产生畏惧心理；
（2）对圆周角定理及相关的推论理解程度不够，导致无从下手；
（3）半径y在图中的定位，辅助线的添加成为难点.
许多同学解题思维受阻，常常由于没有认真审题造成的，这时如果再仔细重审一下题意，挖掘出隐含信息，对信息进行筛选、加工，就有可能打开思路，排除障碍.
【引问】
引问1：请重新审题，题目中的条件用完了吗？
引问2：直线m∥n，m、n之间的距离为3，可以得到什么小结论呢？
（学生思考容易得到ADBC，AD=3，但思维还是受阻，看不到突破口.）
引问3：ABC的外接圆O，能做条件用吗？圆有很多定理推论，对此题有说什么帮助？
引问4：（突破口）挖掘已知条件中隐含的信息，进行加工处理.
（1）整理以上问题条件我们发现：有一个RtADB，AB=x，AD=3，那么能不能构造另一个相似直角三角形，有一条边AC=12-x，另一条边和y有关；
（2）直径所对的圆周角是90°可以构造RtAEC，那么问题就迎刃而解了.
另外学生思维受阻的原因还可能是因为思考的角度不对，此时若能转换一下思维的角度，就可使思路顺畅起来，从而找到解题突破口.比如：正面解题受阻，可逆向思考；定量处理遇到困难时，不妨从定性的角度想想；一般情形受阻时，可试试特殊情形.有时解题思维受阻是由于数形分离原因造成的，那么，此时若分析题目的数形特征，从形觅数，数中思形，把抽象的“数”转化成直观的“形”，往往能找到解题的切入点，解除受阻思维.
再如：以下这例题是非常典型的一例从“数”“形”解题思路：
【分析】此题主要考查了利用二次函数的图像解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图像找交点的问题.
从学生实际的课堂表现看来，大部分学生觉得此题很难，一时间无从着手，思维受阻，甚至呈空白状态.
【引问】教师的引问很简单：“同学们！你们用了什么方法去解题？如果没有头绪的话，可能是角度不对，不妨换个思维角度，用图像法试一试呢？”
通过引问之后，学生的思维出现“顿悟”状态，一下子有了感觉，思路打开了.当然我觉得我们的目的不是教学生怎么做这个题目，毕竟题是做不完的.但通过这个题目，通过这样的引导，却打开了学生的解题思维.
3.思维错误处，纠正.
错误是正确的先导，是成功的开始.学生所犯错误及其对错误的认识，是学生获取知识的重要组成部分.错误不过是学生在数学学习中所做的某种尝试，它只能反映在数学学习的某个阶段的水平，而不能代表其最终的实际水平.正是由于这些假设的不断提出与论证，才使学生的能力不断提高，因此，揭示错误是为了最后消除错误.
例如：分式复习课中的一个例题计算：
【思维错误表现】
此题对中等生来说容易出现张冠李戴，原式=2（x-2）+5（x+2）-4（x+3）=3x-6，这是一种把方程变形（去分母）搬到解计算题上的错误.
【分析】分式这章的重点是分式的四则运算，它是整式四则运算的进一步发展，是代数式恒等变形的重要内容之一.在进行分式四则运算时，实质是分式基本性质的运用.因此，学生正确理解分式的概念并能灵活运用分式的基本性质是掌握分式运算的关键.所此在上课时教师要反复强调.教学中，在学习完分式方程之后，很多学生在进行分式四则运算时出现去分母的情况，究其原因，我认为有以下两种.
（1）对算理的不清楚.
分式四则运算运用的是分式的基本性质进行约分与通分，而“去分母”是在分式方程中利用等式的基本性质完成的.很多同学在学习时知识混淆，造成失误.
（2）知识的惯性思维严重.
复习课之前刚学习完分式方程及分式方程的应用，复习课上分式四则运算的复习，学生还没有完全反应过来，还依然后受分式方程的运算步骤影响，或者说是学生在学习时的一种思维惯性.
四、对实践效果的分析
在实践中，笔者欣喜地发现在教师的精心教育与培养下，中等生有了很大的改变，具体体现在以下几个方面.
（一）中等生的学习积极性得到了增强
学生改变了过去的“老师讲，我听，老师写（板书），我抄（笔记）：老师布置作业，我完成；老师要考的内容，我就背，我就记”的被动学习、被动思维、封闭式的单一吸纳和传承知识的学习方式，真正认识到学习是自己的责任，学习的效果取决于自己的学习热情.学生对于学习的积极性增强了，在课堂上不再是“听众”，而是积极的学习参与者和思考者.
（二）中等生的主体地位得到较好的发挥
通过对学生细致的心理辅导，由“要我学”变成了“我要学”，这种学习的内驱力又变为“我能学好”的自信心，从而使学生的心理品质、需要、自信心、意志、情绪、情感等这些个性中最活跃、最核心的因素得到充分调动，进一步促使他们以更大的热情和决心投入到学习中.此时，学生不再是知识的奴隶，而是学习的主人，遇到困难时已有初步的解决策略，进行调控的意识和能力，从而在学生身上初步构建了有利于他们积极、自主、持久地学习的内部动力系统.
（三）中等生的学习成绩进步显著
经过一年的教学，中等生的成绩有了明显的转变，和原来比学生在对基础知识、基本技能的掌握方面呈现较为明显的差异.正是中等生这股中坚力量的加大，使我任教班的平均分，前三分之一的成绩均远远高出区常模，在优等生的发展上也远远超过了平行班，在期末考试中，优秀（90分）以上的学生两个班有20人，占年级的三分之一还多（实际应是五分之一），这其中归功于有三分之一的中等生转化为优等生.
在数学教学中，抓住关注点，有效地激活中等生，不仅让“沉睡的火山爆发”，激活无穷的潜能，而且形成“长江后浪推前浪”的学习数学良好形势，中等生推动着优等生的前进，也带动后进生的发展，从而提高数学教学质量.
参考文献：
[1]张绪培，伊红.初中数学教学案例专题研究.浙江大学出版社，2005.
[2]季求来.初中数学课堂教学研究.湖南大学出版社，1999.
