一、关于数学文化 在平常学习的时候，我们很难把数学与文化结合在一起，总认为数学是一门单纯的科学体系，它与文化相去甚远。当我们说“数学与文化”的时候，总先把它们分开来谈，然后再去讨论它们的关系;当我们说“数学的文化”的时候，充其量不过意味着数学中存在有文化成分或文化因素等东西;但当我们说“数学文化”的时候，则是把数学本身当作一种文化来对待，这似乎不可想象。下面我们通过一个例子来说明。 数学式子俨+1=o在这个式子中，我们看到有5个数字:o、1、i、e、二和两个运算符:“+”、“二”。按历史的顺序来说，符号1是最早出现的，O的出现则要晚得多，关于i所代表的数的合理性讨论则是16世纪以后的事;至于e与二，则更为神秘，直到19世纪，它们神秘的面纱才被揭开。因此，从这个式子我们可以看到一部历史，一部什么样的历史?文明的历史，文化的历史。 这样5个不同时期出现而又在性质上相去很远的不同数字，却统一在一个如此简洁的式子里:e‘+1二0。它的美学价值从它的内涵、历史、外观都可以看出来。 这只是一个简单的例子，如果从数学的全部历史去看，文明存在于历史之中，辨证法存在于历史之中，从数学的历史可以看到数学文明与数学辨证法，可以看到数学本身就是文化，而不存在我们是否把它看做文化的问题。 从一般的道理看，文化即指人类创造的物质文明和精神文明。数学既是人类精神文明又是人类物质文明的产物，尤其要注意到，数学是人类精神文明的硕果。数学不仅闪耀着人类智慧的光芒，而lfl.，数学也最充分体现了人类为真理而孜孜不倦地追求乃至奋不顾身的精神，以及对美和善的崇高追求。 人们误以为数学只是求真的科学，其实，它是真、善、美的统一体。正是由于有这样一种误解，数学就只被认为是给人提供一种工具，提供某种计算的技术，或者充其量是从这种工具或计算技术中附带的获得了什么。我们说数学文化，即不仅把数学视为一门科学体系，而且把它置身于真实的历史情景中以及迅猛变革的现实社会文化背景之中。数学文化研究冷在从宏观角度探讨数学自身作为人类整体文化的有机组成部分的内在本质和发展规律，并进而考察数学与其它文化间的相互关系，这种广泛意义下的数学观念对全面、准确、深刻地理解数学教育问题有着亚要的价值。 二、数学文化观念下的数学美 数学既然是一门文化，就必然具备一种美。数学本身作为一门文化，拥有丰富多彩的内容，拥有无限的美。数学的世界是奇妙的世界。当你对数学所揭示的规律浮想联翩、对数学本身的简洁与和谐回味无穷、对数学家的成就拍案叫绝、对复杂深奥的数学问题豁然开朗时，你的内心会有说不出来的惊奇、喜悦和陶醉，你也就领悟到了数学的美。裴特尔说:“我热衷于数学，不仅数学可以应用于技术，而是由于数学的美。”一般来说，对被动学习数学的学生来说，是很难体会到数学的美感的。那么什么叫数学美呢? (一)数学美的含义 数学美不同于艺术美，艺术美主要是通过形象和感觉唤起人们情感的愉快和共鸣，而数学美则是通过抽象和深思给予人们以理智的满足和神往，是一种理性的美。法国数学家庞加莱在其名著《科学与方法》中写道:“我所指的(指数学)是一种内存美，它来自各部分的和谐、秩序，并为纯粹的理智所领会”。 数学是打开科学大门的钥匙，它以其丰富多彩、绚丽多姿的内容展示出它的美。如数学中令人着迷的二，神通广大的e，“虚无飘渺”的i，千奇百怪的悖论，“来路不正”的概率论，维妙维肖的摸拟方法，美妙的黄金分割……引你进人一个眼花潦乱的奇彩世界。 数学中充满着无限的美，数学美具有科学美的一切特性，数学不仅具有逻辑美，更具有奇异美;不仅形式美，而且内容美;不仅思想美，而且方法美、技巧美，简洁、匀称、和谐处处可见，“哪里有数学，哪里就有美”。 (二)数学美的体现 1.数学符号公式蕴含着绝对的美 周义澄在《谈科学美》中说:“在数学中，优美的公式如同但丁神曲中的诗句;黎曼几何和普兰克的钢琴协奏曲一样美。”e.i==coso+isine被人们称为美的典范，公式T(n+l)二nT(n)二n!r(。+，)二。r(。)二J0’xs一*二•!宛如美的乐章。怀德黑说:“作为人类精神的创造，只有音乐堪与数学媲美。” 2.和谐、有序的结构美和图形美 我们中华民族远古文化的“河图、洛书”(传说五、六千年以前，大禹治水时在洛水一带发现一只神龟背上托了一张图称为河图，也叫洛书或九宫图了，至今仍象明珠一样闪烁着光辉，堪称为数学史上一绝。 它在西方叫做魔方阵或三阶幻方。这个方阵中，数的大小分布与奇偶分布十分匀称，其每行、每列及对角线上三数之和均为15;祀形两分支及听形两分支上每五数之和都为25。从2出发按逆时针方向可依次得到2，、22、23、24，从3出发按顺时针方向又可依次得到3’、3，、3，、3‘。美妙图形，奥妙无穷。 我国古代《易经》中的八卦(图3)不仅结构和谐对称，而且寓意深刻、莫测高深，它是世界上最早的二进制记数法。当二进制的发明人莱布尼兹看到中国的《易经》时非常激动，他说:“易图是流传于宇宙科学中最古的纪念物。”有些书甚至认为，八封中蕴含了解释宇宙统一场哲学的最深奥之理论。 数学中黄金分割在艺术及科学中具有重要价值。德国天文学家开普勒曾把黄金分割与勾股定理并列，誉为古希腊几何学的两颗明珠。#p#分页标题#e# 达.芬奇认为:“黄金分割是美的原则”。一切符合黄金分割律的图形都是最美的图形。厅+l二1.618黄金分割比x二-粤二二0.618(内分点)，(外分点)。当椭圆的长、短轴之比为黄金比时，椭圆与圆面积相等。这时椭圆为黄金椭圆，椭圆与圆相交组成一幅美丽的图案，让人感到匀称、优美。 数学的对称、统一美“对称”在数学内在美的概念中，扮演了重要角色。如对称图形、对称多项式、对称变换、奇偶函数、向量内积、等价关系等等，都直接与对称有关;数学上的许多成对相反的概念，如奇与偶、正与负、实与虚、有限与无限、常量与变量、连续与间断、收敛与发散，互为可逆运算的加与减、乘与除、乘方与开方、变换与逆变换等等。它们不论在形式上，还是在内容上，就象花边图案一样，给人以美的享受。代数中函数与反函数的图象关于x=y对称，偶次方根成对出现，实系数方程虚根共扼成双，都具有对称的美感。解析几何中，椭圆、双曲线、抛物线都具有对称性‘与极坐标出现之后，这些曲线又简单地统一于极坐标方程:p二不瓮丽。当e二‘时，是抛物线方程;当O<e<l时，是椭圆方程;当e>l时是双曲线方程。 这三种曲线又统称为圆锥曲线，是形数结合的典型。这些科学的统一性能增强学生的审美意识。正如波莱尔所说:“简化与统一总是无休止的发展与扩充保持平衡，一再表现出引人注目的完整性”。 4.数学的奇异美数学中的悖论，有的似非而是，有的似是而非，它们向学生展示了一片怪石磋峨，蛮荒神奇的美景。数学中的悖论有如生活中的“病态美”。 5.数学的简洁美简洁是一条重要的美学标准，同时也是一条重要的科学标准，正如一句古老的拉丁格言:“简单是真理的标志”。简单、严密、精确的数学语言，意义深远，独具一格，既不允许与本质无关的咬文嚼字，褒贬与夸张，也不可对概念的内涵与外延似是而非的模糊表达。 数学语言，不比文学中精工巧编的文字语言逊色，正如“红妆”是美，“素裹”也是美一样。数学语言不但是最简单和最易理解的语言，而且也是最精炼的语言，而数学概念则是数学语言的精髓。正是凭借简洁的数学概念所组成的精炼的数学语言，才使得我们仅用寥寥数语，就能刻划出复杂现象的规律。 数学符号的简洁美是令许多东西所无法比拟的。e认+l二0如此简单的等式就把数学上重要的常量O、1、i、:、e简洁而巧妙地联系在一起。当我们看到爱因斯坦公式:E=MC把茫茫宇宙中的质能互换这样深奥复杂的关系如此简洁地揭示出来时，我们都会不由自主地赞叹:简洁的数学语言帮助我们把人类智慧的精华凝炼成了光芒四射的美丽的结晶。 数学语言、符号、公式、概念、问题、证明组成了数学理论。数学理论是纷繁复杂的物质世界的变化规律的反映和概括。数学理论的简洁美正是物质世界自然简洁美的表现，深刻地揭示出宇宙万物多样性的统一，令人神往和深思。 6.数学的逻辑美、方法美数学不仅是逻辑的、实用的，也是极其美妙的。从每一个逻辑推理中均可领略到美的韵律。庞加莱说:“数学的优美感就是问题的解答，适合我们的心灵需要而产生的一种满足”。千姿百态优美的数学方法和技巧是揭开数学实质的钥匙，每种数学方法都具有独特美和灵活美。如综合法采用顺推格式由因导果，有利于发展正向思维，分析法采用逆推格式执果索因，有利于发展逆向思维。当直接证明困难时，往往采用间接证法，化繁为简，化难为易，从而使问题顺利而巧妙地得到解决。方法之美令人寻味，思路开阔令人倾心。 如果说数学的真表征着数学的科学价值，数学的善表征着数学的社会价值，那么数学的美则表征着数学的艺术价值。数学的美是一种理性的美，数学的美作为科学美的有机组成部分和典范，开创了美学新的园地和维度，数学美学具有在语言、体系、结构、模式、形式、思维、方法、创新、理论等各方面的丰富表现形式。数学的美学性质是其真理品质的一种特殊表现形式，或者说数学的美是由其真理性衍生出来的。正如钱学森所主张的，美即与宇宙真理相和谐。对于数学的美，我们要避免抛开数学的真谈美的科学唯美主义倾向，而研究数学美与数学审美的主要目的，是从数学文化的角度出发，进一步探索数学自身的科学结构和规律。 三、数学文化的审美教育 以前，我们在教育中只强调德、智、体教育，而忽视了美育的作用。事实上，从人的心理结构来看，人的心灵是知、情、意的统一，是理智感、审美感、道德感的统一。数学教育对人的整体教育功能，也体现在审美教育功能上。 (一)对数学文化中的美育的认识 对于美育问题，存在着各种不同的看法。其一，美育即情感教育。这种情感教育的提法有其合理的部分，因为艺术凝注着情感，作用于情感，各种审美活动无不表现为情感活动，审美本身就兴发于情感。但仅把美育看作是情感教育的提法是有片面性的，因为人的情感并非完全是审美情感，而审美也并非只具有情感，还有理性判断。其二，美育即艺术教育。这种提法把美育与艺术教育作为同义词来对待。无疑艺术教育是美育不可缺少的重要组成部分，也是美育实施所依靠的主要内容、途径、方式和手段。但是，艺术教育不能包括美育的全部内容，它不能包容大量的经常涉及的非艺术的审美方面，如自然的、社会现实的，人本身的审美方面。其三，美育即美感教育。这种提法基于美感是对美的反映，也是一种愉悦情感的传统美学观。这种提法的合理性在于情感教育是通过美感教育来实现美育的。只有在受教育者那里唤起相对应的美感时，才能实现为教育。但是，由于坚持美感是对美的反映的美学原则，就会导致用单纯的来自美的美感反映取代更为丰富的审美感受，对美育不利。事实上，除了来自美的美感之外，审美感受还包括丑感、崇高感等多元审美感受内容。缺乏这些内容的美育就会造成学生审美情感的单一和贫乏。其四，美育即审美教育。这种提法是我国现在美育界大体一致的看法，它在体现现代美学观的揭示美育的本质特点上，都是比较合理的，它既包括现实美(自然美和社会美)的审美教育，也包括艺术美的审美教育。综述以上观点，数学美育即为数学审美教育，它以培养数学美感、市美睛感为主，是将美学原理应用于数学教育中的一种体现。#p#分页标题#e# (二)数学审美教育在数学教育中的作用 1.可以帮助全面贯彻数学教育目标 数学教育的目标应以普通教育的目标为依据，而美育是普通教育目标的重要组成部分。因此，进行数学审美教育是全面贯彻教育目标的一个重要方面。数学教育应该让学生获得对数学美的鉴赏分析能力，从而激发他们对数学科学的爱好，培养他们的创造能力。 2.可培养学生的直觉思维 在数学教学中，教师应注意数学的审美教育。进行数学审美教育，可以培养学生的直觉思维。直觉思维是主体在一定知识经验基础上，从感性形象材料直接获取、迅速领悟事物本质的思维能力。进行数学审美教育，就是唤起学生对数学客体中对称、均匀、秩序、统一等美的活动模式的审美感知，使数的美、式的美、形的美、方法美、结构美等审美信息在头脑中会聚，产生情绪激动，感情愉悦，然后通过大脑神经网络对信息进行归纳、类比、猜想等思维功能的处理，使学生敏感地调动已有的经验知识进行重新组合，激发出心灵上的灵感，迸发出新的思想火花—直觉。因此，它颇适合青少年的思维活动习惯。 3.可以促进学生思维全面发展 数学教育中的审美教育，能促进学生逻辑思维与非逻辑思维的全面发展。因为审美教育是一种给人以自由感的教育，自由有助于学习者摆脱思维定势的影响，特别有助于学习者非逻辑思维活动的展开。如果教师根据学生的知识水平，有计划地训练学生从整体出发，根据数学的对称美、简洁美、和谐美的特征，用猜测、跳跃的方式直接而迅速地找到答案，这无疑会促进学生思维的全面发展。 4.可以帮助学生开发非智力因素 非智力因素主要指动机、兴趣、情感、意志和性格等。在当前广泛要求发展学生智力和提高学生能力的时代，仅从知识本身着手解决这一问题是不够的，还应把眼光放到未开发而蕴藏着极大潜能的非智力因素领域。数学审美教育则为我们开发非智力因素开辟了广阔的途径。进行数学审美教育，能培养学生的学习兴趣，激发学习动机。通过形象、生动、趣味性的数学内容，艺术、新颖的教学形式，使师生双方息息相应，感情共鸣，使学习信息传递达到最佳状态，形成引人人胜的学习情境。 四、在数学教育中进行审美教育的途径和方法 在数学教育中进行审美教育的途径和方法应该从以下几方面进行: (一)在数学教学中充分揭示数学美的特征，进行审美教育 数学教学活动是进行数学审美教育的重要方面。在数学教学中充分展现数学美的特征，不仅可使学生加深对数学知识的理解，同进也可以使学生获得美的感受，并激发他们学习数学的兴趣，改善他们的思维品质。 (二)在教学活动中积极创设思维情境，激发数学美感，进行审美教育 在教学活动中，教师可以从审美的角度为学生设置思维情境，激发学生的数学美感，让学生沉授在数学美的享受之中，自发产生求知欲，轻松愉快的从感性向理性过渡，达到审美教育的目的。 (三)贯彻美学原则，讲究教学艺术美，进行审美教育 在引导学生进行教学活动时，除尽可能挖掘数学内容中美的因素外，还应进行“美化处理”，即采川审美手段对教学内容作分、合、增、删与调整，使其精美化，从而提高数学材料的启发性、趣味性，使学生乐于接受、乐于思考。 (四)加强形象思维训练，开发右脑功能，进行市美教育 传统教育偏重于给学生传授知识，解释疑难问题，学生只能围着教师转，这实际上只是一种继承型的教育方式。这种教育往往只注重学生的记忆力、理解力和逻辑思维能力的训练，忽视学生的想象能力、直觉思维能力、创造性思维能力和实际操作能力的训练。数学形象思维是以表象或形象作为思维的重要材料。在教学中，各种实物、符号、教具、模型、图表、图象都可使学生产生数学形象。在教学中，恰当地使用直观教学的形式，利用形数结合的教学手段，使较为抽象的数量关系通过几何图形的性质反映出来，使抽象的概念、关系得以形象化，从而有利于分析发现和理解。这样，往往能用形的直观启迪数的计算，用数的准确澄清形的模糊，有助于数学形象思维的发展。
