数学建模思路简析范文1
关键词： 医学数学教学 数学模型 数学建模
1.引言
数学方法已成为现代医学科研中不可缺少的工具，医学和数学相互渗透使得医学科学中的许多定性问题能够定量研究，即能够有效地探索医学科学领域中物质的质与量关系的规律性，推动医学科学突破狭隘经验的束缚，向着定量、精确、可计算、可预测、可控制的方向发展，并由此逐渐派生出生物医学工程学、数量遗传学、药代动力学、计量诊断学、计量治疗学、定量生理学等边缘学科。此外预防医学、基础医学和临床医学等传统学科也都在试图建立数学模型和运用数学方法来探索其内在规律。但目前在一般医学院校里传统的数学教学模式与医学严重脱节，仅开设高等数学等课程，而没有注意训练学生如何从实际医学问题中提炼出数学模型，以及如何将数学分析的结果用来解决实际问题，其后果是学生学了不少数学，但不会“用数学”。因此教师有必要改进现行的数学教学模式，在医学数学教学中融入数学建模思想和方法，使数学与医学能有机地结合起来。
数学建模，简而言之就是通过建立数学模型来解决各种实际问题的过程。如力学中的牛顿定律、电磁学中的麦克斯韦方程组、生物学中的孟德尔遗传定律等都是经典学科中应用数学模型的典型范例［1］。20世纪下半叶以来，随着计算机的发展，数学模型在医学上的应用也取得了一些可喜的成果，最引人注目的是医疗诊断专家系统［2］。值得一提的是1974年丹麦免疫学家Niels K.Jerne在他的论文《关子免疫系统的网络学说》中揭示了现代医学科研的新模式：医学问题―数学化（定量分析）―数学模型―反馈修正（实践检验）―定性理论。这就启发我们可以将医学高等数学的教学与数学建模结合起来，在教学中渗透建模的思想。这样不但能够激发学生学习数学的兴趣，而且能提高学生将数学、计算机等方面的知识应用于医学实践的能力。
2.医学数学教学中存在的问题
由上可知，当医学插上数学与计算机这两支“翅膀”时，医学的发展出现了奇迹般的飞跃。然而，为医学领域输送人才的医学院校，医学数学的教学模式却远不能适应这一发展需求。其主要存在以下几个问题。
2.1医学数学课程内容单调和过于理论化
首先，大多数医学院校医学数学课程中理论联系实际的例子太少，而且只涉及微积分、简单概率统计和简单微分方程，没有考虑增加现代数学发展的很多有意义的分支内容，如模糊数学、粗糙集、神经网络等，这在一定程度影响了学生把实际医学问题抽象为数学模型的能力。其次，某些教师在医学数学教学过程中过多强调数学理论推导或论证，却不能将这些知识放在医学背景中拓展，导致医学数学课程实际上变成纯数学课程。最后，部分学生认为数学太深奥，与自己的专业没有多少联系，因此认为学习数学对他们来说没有什么意义。
2.2医学数学的教学与计算机技术脱节
在医学数学的内容中有很多抽象理论，涉及的计算过程相当繁琐，往往人工计算难以进行。这时需要借助计算机，利用数学软件Maple、Mathematica、Matlab、SPSS、SAS等对模型进行计算分析。然而在目前的教学过程中教师很少把这些数学软件的运用对学生进行讲授，有些教师虽然介绍了这些数学软件，但很少让学生动手操作。最后导致一些学生即便已经了解理论，但对实际问题计算分析却难以进行下去。因此笔者认为，对医学学生学习数学的要求应该是：了解数学方法，熟悉医学实际问题，并能将其简化为简单的数学模型，而且会用计算机对模型进行计算分析。
3.如何在医学数学教学中渗透数学建模的思想
3.1在概念引入教学中融入建模思想
在实践中能够直接运用数学知识去解决实际问题的情况是很少的，而且如何用数学语言来描述所面临的实际问题也往往不是轻而易举的。使用数学知识解决实际问题的第一步就是要从实际问题的看起来杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学关系，即数学模型。组建数学模型，不仅要进行演绎推理，而且要对复杂的现实情况进行归纳、总结和提炼。这就要求我们必须改变传统数学教学只重视推理的教学模式，突出对数学结论的理解与应用，精简一些深奥的数学理论，简化复杂的抽象推理，强调对数学结果的说明、直观解释和应用举例等，逐步训练学生学会用数学的知识与方法解决实际问题［3］。
高等数学中的概念相比初等数学中的概念更为抽象，如极限、连续、导数、定积分等，学生在开始学习这些概念的时候总想知道这些概念的来源和应用，希望在实际问题中找到概念的原型。事实上，在高等数学的微积分概念的形成中本身就渗透着数学建模思想。因此在概念引入教学中教师应创设与概念紧密联系的实际问题情境，让学生了解概念的来龙去脉，同时展现从实际问题中抽象出数学概念的过程，引出数学概念，建立数学模型。
例如在导出定积分的概念时，设计如下教学过程：实际问题：如何求变速直线运动的路程？
问题提出后，教师要引导学生建立模型。如果速度是不变的，那么路程＝速度×时间。但是这里的速度不是一个常数，所以上述公式不能用。我们可以这样考虑：把时间段分为许多小区间，当时间段分割得足够小时，由于速度的变化是连续的，可以认为各小区间段内的速度是匀速的，即小区间内的速度看作是一个常数，用这一小段的时间乘以速度就是这一小段的近似路程，把所有小段时间的路程加起来就得到路程的近似值。要想得到精确的值，就要把分割无限地加细，使每个小区间段的长度都趋于零，这时所有小区间段上的路程之和的极限就是所求的路程。
3.2在医学应用问题教学中渗透建模思想
由于医学问题的复杂性和医学生数学知识的局限性，分析问题时，我们首先要对实际医学问题进行必要的、合理的简化，建立比较简单的数学模型。然后逐渐强化条件，来建立比较符合实际问题的数学模型。
以传染病模型为例［4］，可设置如下的教学案例。
传染病传播的数学模型：传染病传播涉及的因素很多，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等，以及人员的迁入和迁出、潜伏期的长短、预防疾病的宣传等因素的影响。
如果一开始就把所有的因素考虑在内，很难建立比较合理的模型，因此我们应先舍去众多次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型；将所得结果与实际比较，找出问题，逐步修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。
问题分析与思考：①描述传染病的传播过程；②分析受感染人数的变化规律；③预报传染病高潮到来的时刻；④预防传染病蔓延的手段。
接下来按照传染病传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。
模型1：考虑最简单的情形，假设：（1）每个病人单位时间内有效接触（足以使人致病）人数为常数；（2）一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。
记i（t）表示时刻t病人数，初始时刻的病人数为i（0）=i，于是得微分方程：=λi（t），解得i（t）=ie，这个结果与传染病传播初期比较吻合，被传染人数按指数函数增长。但当t∞时，i（t）∞，显然是不合理的。
模型2：将模型1的假设（1）修改为：每个病人单位时间内有效接触人数为常数λ，且使接触的健康人致病；假设（2）同上；增加假设（3）总人数不变，病人和健康人比率分别为i（t）、s（t），即i（t）+s（t）=1，得微分方程：=λi（t）s（t）。
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此模型可以用来预报传染较快的传染病高峰到来的时间，但当t∞时，i（t）1，即最后人人都要生病，显然是不合理的。
模型3：假设传染病无免疫性，病人治愈成为健康人可再次被感染。则在模型2的基础上修改假设（2）病人每天治愈的比例为μ，得微分方程：=λi（t）（1-i（t））-μi（t）?圯=λi（t）［i（t）-（1-）］。
当t∞时，i（∞）=1-，＜10，≥1，可知模型基本符合实际情况，但当＜1时，i（∞）1-不太合理。
模型4：假设传染病有免疫性，病人治愈后即移出感染系统。则在模型3的基础上修改假设（3）总人数N不变，病人、易感染者和移出者的比率分别为i（t）、s（t）、r（t），即i（t）+s（t）+r（t）=1。
建立模型：
由上知易感染者Ns（t）的变化率：N=-N-N=-λNs（t）i（t）。
不妨设初始时刻的易感染者、病人、移出者的比例分别为s（s＞0），i（i＞0），r=0，则模型4用微分方程表示如下：
=λs（t）i（t）-μi（t）=-λs（t）i（t） =-1i|=i。
我们可以发现i（t）、s（t）求解非常困难，先做数值计算来预估计i（t）、s（t）的一般规律，再利用相轨线i（s）讨论解i（t）、s（t）的性质，得到：
①不论初始条件s、i如何，病人最终将消失，即：i=0。
②当s=，i=i，可知：
第1种情况：当s＞时，i（t）先升后降至0，说明传染病蔓延。
第2种情况：当s≤时，i（t）单调降至0，说明传染病不蔓延。
可知传染病不蔓延的条件是s≤。所以为了防止传染蔓延有两种途径：一是提高阀值，也就是说降低接触率λ和提高治愈率μ，即提高卫生水平和医疗水平；二是降低最初易感染者的比例s，也就是说提高有免疫力人群的比例r，即预防接种，提高整个群体的免疫力。此模型更符合一般的实际情况。
在实际建模过程中，经常遇到求解模型的解析解比较难或者模型没有解析解，这就需要借助已有的数学软件对现有的数据资料进行计算分析，从中找出隐藏的规律。因此，在数学教学中引入实验环节将是解决上述问题的一个重要手段。引入实验环节就是要求学生运用自己所学的数学知识，对实际医学问题进行分析、简化，建立相应的数学模型，然后利用计算机对数学模型进行求解（或者数值计算分析），最后结合实际数据验证模型，从而发现其内在规律。
4.结语
数学建模是通过调查、收集数据、资料，观察和研究其固有的特征和内在的规律，抓住问题的主要矛盾，运用数学的思想、方法和手段对实际问题进行抽象和合理假设，创造性地建立起反映实际问题的数量关系，即数学模型，然后运用数学方法辅以计算机等设备对模型加以求解，最后返回到实际中去解释、分析实际问题，并根据实际问题的反馈结果对数学模型进行验证、修改、并逐步完善［5］。在医学数学教学过程中融入数学建模思想，一方面能使学生逐步熟悉和掌握利用数学方法来解决实际医学问题。这将使学生对数学方法的运用产生兴趣，并逐步提高其实际的医疗水平。另一方面对于从事多年传统数学教学的教师来说，也是一项转变教学观念，更新教学方法的实践，能使教师的数学教学从与医学脱节的理论传授方式向医学实际的应用数学模式转化。
参考文献：
［1］姜启源.数学实验与数学建模［J］.数学的实践与认识，2001，31，（5）：613-617.
［2］易非易.论医学数学化［J］.数学理论与应用，2001，21，（4）：124-126.
［3］黄治琴，孙红卫.高等数学教学中渗透建模思想的几点尝试［J］.数学教育学报，1999，8，（3）：69-71.
［4］姜启源.数学模型［M］.北京：高等教育出版社，1993.
数学建模思路简析范文2
【关键词】数学核心素养；解题教学；数学建模
学生解数学题的能力，反映了学生数学综合能力的水平，解一道数学题不仅需要学生熟练掌握数学基本知识，更重要的是要有分析问题和解决问题的能力，包括数学抽象与概括能力、数学推理与数学建模能力以及数学运算能力和数据分析能力等.学生在解数学题时，最大的障碍是解题的途径难寻，时常有学生说数学题好难，有的读不懂题意，有的想不出解题的思路，诸如这些“读不懂”“想不出”的苦恼该如何解决呢？这需要教师在习题课教学中加以研究.
一、重视解题思路的探究过程，培育逻辑推理的素养
讲解例题时教师应从学生的视角看数学题，用接近学生的想法来思考，要以朴素自然的思路来分析问题、推理问题、分解问题，做符合学生认知水平的解释，把探索解题思路的过程完整地展示给学生，在展示探索解题思路的过程中，学生才有机会和时间体会逻辑推理的力量，才有可能学会琢磨问题的方法.例如，在ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，ABD是ADC面积的2倍，（1）求sinBsinC；（2）若AD=1，DC=22，求BD和AC的长.教师在讲解本题时，应着重分析联系条件与结论的“通路”有哪些，画出图形让学生观察，发现本题是在两个三角形中，并且中线是这两个三角形的公共边，由此，可以有这样几个可能的解题思路，一是利用中线，在两个三角形中分别用余弦定理列出中线的关系式构成方程组求解，二是先利用正弦定理把正弦比转化为边的比，即化为DCBD，再结合面积关系得出边长和夹角的关系来求解.最后，教师再把这类题的共性和解题思路升华为“多边形边角关系问题”解题通法，即“利用公共边长和互补的角之间关系，列解方程组”.这样的教学注重解题思路的点拨，充分展示了师生探索解题途径的细节，而不是把解题变成套用公式.习题课就应该重在讲方法以及弄明白方法的由来，数学核心素养理念下的解题教学，就要展示解题思维全过程，尽量让学生探究各种可能的解法，学会数学地思考才有利于培养分析与判断的能力，养成数学学习的灵活性.
二、把解题视为数学建模过程，培育数学抽象与模型化的素养
数学建模需要扎实的数学知识基础和一定的联想与想象能力，遇到一个数学问题时，应该考虑这个问题可以用学过的哪个单元的知识来解决？从而联想具体有哪些解题途径，我们学习过的各个单元知识，都是一个个的数学模型，某个问题经过抽象后若符合某个数学模型，就可应用这个模型的知识来求解.这也正是数学应用r值的广泛性与简约性的体现.
三、揭示解题中命题转换的前因后果，培育数学逻辑推理的素养
运用数学知识分析问题和解决问题，“关键在于从纷繁复杂的实际意义中抽象出蕴涵的数学知识和数学规律来，通常称为数学建模”，也就是说，通过对数学问题或实际问题的抽象、简化等过程得出问题的实质，进而设出参数和变量，求解该数学问题，“应用数学模型来解决数学问题的思想，就是模型化思想”，解题中常见的数学模型依照模型涉及的知识和公式分类，有三角模型、数列模型、函数模型、不等式模型、解析几何模型、方程模型、几何模型等，在应用模型化思想解决问题时，掌握这些基本模型很有必要.在运用模型化思想解题中，要求学生有一些数学化简变形的技能，有主动运用知识的意识，从而也训练了学生的创造性思维，培养了综合分析问题和解决问题的能力，有利于养成良好的数学素养.
四、重视解题中数学运算的细节，培育数学运算能力
数学建模思路简析范文3
【关键词】数学;实践模型;培养;创新能力
创新意识与实践能力是新大纲中最突出的特点，这就要求学生的数学学习不仅要在数学基础知识、基本技能和思维能力、运算能力、空间想象能力等方面得到训练和提高，而且在应用数学分析和解决实际问题的能力方面同样需要得到训练和提高，而培养学生的分析和解决实际问题的能力仅仅靠课堂教学是不够的，必须要有实践，培养学生的创新意识和实践能力是数学教学的一个重要目的和一条基本原则，要使学生学会提出问题并明确探究方向，能够运用已有的知识进行交流，并将实际问题抽象为数学问题，就必须建立数学模型，从而形成比较完整的数学知识结构。
数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣．培养学生的创新意识和实践能力，加强数学建模教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义，现就如何加强高中数学建模教学谈几点体会：
1 要重视各章前问题的教学，使学生明白建立数学模型的实际意义
教材的每一章都由一个有关的实际问题引入，可直接告诉学生，学了本章的教学内容及方法后。这个实际问题就能用数学模型得到解决，这样，学生就会产生创新意识，对新数学模型的渴求，实践意识，学完要在实践中试一试。
培养创新意识及实践能力的好时机要注意引导，对所考察的实际问题进行抽象分析，建立相应的数学模型，并通过新旧两种思路方法，提出新知识，激发学生的知欲，如不可挫伤学生的积极性，失去“亮点”。
通过章前问题教学，学生明白了数学就是学习，研究和应用数学模型，同时培养学生追求新方法的意识及参与实践的意识。因此，要重视章前问题的教学，还可据市场经济的建设与发展的需要及学生实践活动中发现的问题，补充一些实例，强化这方面的教学，使学生在日常生活及学习中重视数学，培养学生数学建模意识。
2 通过几何、三角形测量问题和列方程解应用题的教学渗透数学建模的思想与思维过程 学习几何、三角的测量问题，使学生多方面全方位地感受数学建模思想，让学生认识更多现在数学模型，巩固数学建模思维过程、教学中对学生展示建模的如下过程：
现实原型问题――数学模型――数学抽象――简化原则――演算推理――现实原型问题的解――数学模型的解――反映性原则――返回解释列方程解应用题体现了在数学建模思维过程，要根据所掌握的信息和背景材料，对问题加以变形，使其简单化，以利于解答的思想，且解题过程中重要的步骤是据题意列出方程，从而使学生明白，数学建模过程的重点及难点就是据实际问题特点，通过观察、类比、归纳、分析、概括等基本思想，联想现成的数学模型或变换问题构造新的数字模型来解决问题。
3 结合各章研究性课题的学习，培养学生洼立数学模型的能力，拓展数学建模形式的多样性与活泼性
初中新大纲要求每学期至少安排一个研究性课题，就是为了培养学生的数学建模能力．如“分期付款问题”、“向量在物理中的应用”等，同时，还可设计类似利润调查、洽谈、采购、销售等问题，设计了如下研究性旧题。问题。例：根据下表给出的数据资料，确定该国人口增长规律．预测该国2000年的人口数。
分析：这是一个确定人口增长模型的问题．为使问题简化，应做如下假设：(1)该国的政治、经济、社会环境稳定；(2)该国的人口增长数由人口的生育，死亡引起；(3)人口数量化是连续的。基于上述假设．我们认为人口数量是时间函数。建模思路是根据给出的数据资料绘出散点图，然后寻找一条直线或曲线，使它们尽可能与这些散点吻合，该直线或曲线就被认为近似地描述了该国人口增长规律，从而进一步作出预测。
通过上题的研究，既复习巩固了函数知识，更培养了学生的数学建模能力和实践能力及创新意识，在日常教学中注意训练学生用数学模型来解决现实生活问题；培养学生做生活的有心人及生活中“数”意识和观察实践能力。
4 培养学生的其他能力，完善数学建模思想
数学建模思路简析范文4
一、数学模型的释义
所谓数学模型，是指现实世界的某一事物系统，为了一个特定的目的，根据事物系统特有的内在规律，采用形式化的数学语言或符号，概括或近似地表达出来的一种数学结构。简单地说，数学模型就是对实际问题的一种数学表述，是对现实原型的概括，是一种符号模型。一切数学概念、公式和算法系统、数学理论体系等都可以称为数学模型。如数学中的数与式、方程与函数等都是研究数量关系和变化规律的数学模型。
数学学习的过程实质上就是一个建立数学模型的过程，即数学建模的过程。小学阶段的数学建模通常是从实际生活原型或提供的实际背景出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析、概括等思维方式，去掉非本质的东西，用数学语言或数学符号表述出数学模型，再运用数学模型解决一些实际问题。简单地说，就是将当前的问题转化为数学模型，然后用数学的方法去求解。
二、数学模型的建立
数学建模的建立过程大致如图1。
在具体的教学实践中，我们根据学生的认知规律、年龄特点和教学内容的特征，遵照“问题情境一建立模型―解释、应用与拓展”的基本步骤，构建了数学建模的基本思路：创设问题情境―建模准备，研究解决问题―建立模型，解释应用拓展一应用模型。下面以“用乘加、乘减解决问题”为例说明。
1.创设问题情境――建模准备
这是建立数学模型的必要阶段。数学源于生活，寓于生活，且用于生活。一方面，数学模型是关于现实世界的一个抽象的、简化的数学结构。另一方面，建立数学模型的目的是为了科学、有效地描述自然现象和社会现象，进而解决实际问题。因此，任何数学模型的建立都需要有具体的现实情景。教师应创造学生比较熟悉，或亲身经历的含有数学问题的现实情景，使学生在了解数学问题实际背景的基础上，搜集处理各种信息，发现、提出数学问题，为建立数学模型做好准备。
在讲本节课时，我们可以从学生喜欢的假日旅游入手，呈现学生非常熟悉的旅游情景(如图2)，并根据情境中的数学信息，引导学生发现并提出简单的实际问题：旅游团每9人一组，已经分成了4组，还剩5人。这个旅游团一共有多少人?
从学生熟悉的生活实例人手创设问题隋境，就会达到预期的教学效果。一是激发学生的数学学习兴趣，让学生积极主动地投入到探究学习活动中来；二是借助学生已有的生活经验和认知基础，搜集整理数学信息，发现并提出数学问题，为建立数学模型做好准备；三是引导学生学会用数学的眼光观察生活，感受到生活中处处有数学，数学能帮助人们解决许多简单的实际问题，使他们体验到数学的意义和价值。
2.研究解决问题――建立模型
这是建立数学模型的关键阶段。教师根据建模对象的特征和建模的目的，引导学生对实际数学问题或现实情景进行观察、比较、分析、抽象、概括，并运用形式化的数学语言表达出数学概念，或用数学符号刻画出一种数学结构，从而建立数学模型。教学这节课时，此环节可以进行如下设计。
首先，运用数学手段，分析数量关系――将抽象的文本信息转化为直观的图形信息。
师：根据图片情景及有关文字，你认为哪些信息可以帮助我们解决“旅游团一共有多少人”这一问题?
生：导游在分组时告诉我们：“9人一组，已经分好了4组，还剩5人”。
师：这个旅游团的分组情况还真是复杂!“9人一组，已经分好了4组，还剩5人，”是什么意思呢?你们能像以前那样，用摆学具、画图画等办法很直观地表示出这些话的意思吗?比比看谁的方法让大家一眼就看明白。
方法一：用摆学具的方法梳理信息。
分析数量关系是解决问题的关键。活动中，学生借助已有的活动经验和认知基础，用自己喜欢的方法对情景中的相关信息加以梳理，并将抽象难懂的文本信息转化为形象易懂的图画、图表信息，帮助学生理清信息之间的关系，架构起信息与信息之间、信息与问题之间的内在联系，为有效解决问题，构建“乘加”模型，理清了思路，积累了方法、策略和活动经验。
其次，根据数量关系，理清解题思路，探索计算方法，建构数学模型。
师：明白了这些信息之间的内在联系，怎样解决“这个旅游团一共有多少人”这一问题呢?
学生独立计算，教师巡视指导，同桌交流一下各自的算法和想法。最后，全班交流汇报。汇报中，及时组织同学们质疑、评价和补充、修改算法。
生1：要得出这个旅游团一共有多少人，只要把5个小组的人数加起来就可以。所以，我列的算式是：9+9+9+9+5=41(人)。
生2：列连加算式太麻烦，因为前4个组，每组都是9人，算4个9直接用乘法算9×4=36人，再用36加上最后剩下的5人，36+5=41人。
生3：我列的算式是“9×4+5=41(人)”。从图中可以看出，用前四个小组的4个9人加上剩下的5人就是旅游团一共的人数。
生4：我列的算式是“9×5-4=41(人)”。假设这五个组，每组都是9人，5个9人就是“9×5=45”人，最后再减去缺少的4人，也能算出旅游团一共的人数。
再次，借助直观图形，分析算法异同，及时抽象概括，促成模型建立。
此环节是学生在理清数量关系，明确解题思路，探得计算方法的基础上，建构起了乘加和乘减问题的数学模型。同时，由教师引领学生提炼出乘加、乘减模型背后所蕴含的结构性知识，即求几个几多几和求几个几少几，使学生对新建立起来的乘加和乘减模型有着更加深刻的认识，即在一个加法算式中，部分加数相同，个别加数不同，可以把相同部分用乘法算，不同部分再做加减。
最后，回顾解题思路，探讨计算方法，求得数学模型的解及实际问题的答案。
师：想一想，解决“旅游团一共有多少人”应先算什么，再算什么?
生：先算前四个组一共有多少人，再算旅游团一共有多少人。
师：计算“9×4+5”、“5+9×4”和“9×5-4”等乘加、乘减混合运算时，应先算什么?后算什么?
学生从中体会乘加、乘减混合运算的计算顺序，最后教师结合直观图讲解。
计算旅游团共有多少人，应算前4个组有多少人，后算旅游团一共有多少人，所以先算9×4=36人，再算36+5=41人；也可以先算5个组有多少人，后算旅游团一共有多少人，所以先算9×5=45人，再算45-4=41人。教师边讲解边把板书补充完整。
经过匕述活动，学生顺利完成‘懈决问题”的过程，亲身经历了“数学模型”的建立过程。在解决“旅游团人数”这一现实问题，通过摆学具、画图形、列图表等直观化手段和分析、综合、归纳、概括等抽象化手段，理清数量之间的关系，明确解决问题的思路，并用抽象的数学形式“9×4+5”、“9×5-4，’表示出来。回顾解决问题的思路，弄清“9×4+5”、“9×5-4”的计算顺序，掌握“9×4+5”、“9×5-4，’的计算方法，进而求得“9×4+5”、“9×5-4”这一模型的解及实际问题“旅游团人数”的答案。在解决问题的过程中，学生不仅理解和掌握了乘加、乘减混合运算的结构特点和计算方法，更积淀了解决乘加、乘减问题的分析思路与解题策略，使学生获得了终身受益的、可持续发展的学习能力。
三、解释应用拓展――应用模型
建立数学模型的目的是更好的描述自然现象和社会现象，从而帮助人们更好地去认识、改造自然和社会。通过建立数学模型可以教给学生一些数学思想方法，为将来的社会实践打下坚实的基础。因此，教师应对所建立的数学模型进行合理的解释、应用，使所建立的数学模型在学生的头脑中更具有生命活力。
首先，进行专项练习，巩固新知。
(先计算，然后说说先算什么，后算什么?)
进入景区后，游客们分成两路：有的乘缆车观光，有的划船游玩。
①乘缆车观光：现有4辆缆车，每辆限坐5人。
有24名游客排队，等候乘缆车观光。
问题：还剩几名游客需乘坐下辆缆车?
②划船游玩：租了大船1条，每条租金12元，可坐8人。
租了小船3条，每条租金5元，每条可坐3人。
问题：划船游玩的一共多少人?
你还能提出什么问题?
最后，拓展应用，体验价值。联系生活实际，用“4×5+3”编一个数学故事。
学习的价值在于应用，学生在生活化的内容，数学化的探索中获得的知识、方法、经验等，只有在解释和应用于生活中时，才能焕发出数学的魅力和价值。因此，教师设计专项练习、基本练习和拓展应用三个层次进行巩固训练，恰当处理技能训练和解决问题的关系，对提升学生综合运用知识解决问题的能力，发展学生的数学应用意识会起到很好的作用。
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数学建模思路简析范文6
一、精拟建模问题
问题是数学建模教与学的基本载体，所选拟问题的优劣在很大程度上影响数学建模教学目标能否实现，并影响学生对数学建模学习的态度、兴趣和信念。因此，精心选拟数学建模问题是数学建模教学的基本策略。鉴于高中学生的心理特点和认知规律，结合建模课程的目标和要求，选拟的建模问题应贴近学生经验、源自有趣题材、力求难易适度。
1.贴近学生经验
所选拟的问题应当是源于学生周围环境、贴近学生生活经验的现实问题。此类问题的现实情境为学生所熟悉，易于为学生所理解，并易于激发学生兴奋点。因而，有助于消除学生对数学建模的神秘感与疏离感，增进对数学建模的亲近感；有助于激发学生的探索热情，感悟数学建模的价值与魅力。
2.源自有趣题材
所选拟的问题应当源自富有趣味的题材。此类问题易于激起学生的好奇心，有助于维护和增强学生对数学建模课程的学习兴趣与探索动机。为此，教师应关注学生感兴趣的热点话题，并从独到的视角挖掘和提炼其中所蕴含的数学建模问题，选取学生习以为常而又未曾深思但结论却又出乎意料的问题。
3.力求难易适度
所选拟的问题应力求难易适度，应能使学生运用其已具备的知识与方法即可解决。如此，有助于消除学生对数学建模的畏惧心理，平抑学生源于数学建模的学习压力，增强学生对数学建模的学习信心，优化学生对数学建模的学习态度，维护学生对数学建模的学习兴趣。为此，教师在选拟问题时，应考虑多数学生的知识基础、生活背景及理解水平。所选拟的问题要尽量避免出现不为学生所熟悉的专业术语，避免问题过度专业化，要为学生理解问题提供必要的背景材料、信息与知识。
二、聚焦建模方法
数学建模方法是指运用数学工具建立数学模型进而解决现实问题的方法，它是数学建模教与学的核心，具有重要的教学功能。掌握一定的数学建模方法是实现数学建模课程目标的有效途径。为此，数学建模教学应聚焦于数学建模方法。
1.注重建模步骤
数学建模方法包含诸如问题表征、简化假设、模型构建、模型求解、模型检验、模型修正、模型解释、模型应用等多个步骤。数学建模教学中，教师应通过数学建模案例，注重对各步骤的基本内涵、实施技巧及各步骤之间的内在联系和协同方式进行阐释和分析，这是使学生从整体上把握建模方法的必要手段。有助于学生掌握数学建模的基本过程，有助于为学生模仿建模提供操作性依据，进而为学生独立建模提供原则性指导。
2.突出普适方法
不同的数学建模方法，其作用大小和应用范围也不同，譬如，关系分析方法、平衡原理方法、数据分析方法、图形（表）分析方法以及类比分析方法等均为具有统摄性和普适性的建模方法。教师应侧重对这些普适性的建模方法进行教学，使学生重点理解、掌握和应用。此外，分属于几何、代数、三角、微积分、概率与统计、线性规划等数学分支领域的建模方法等，尽管其普适性程度稍逊，但其对解决具有领域特征的现实问题却具重要应用价值，因而，教师也应结合相应数学领域内容的教学，使学生通过把握其领域特性及其所运用的问题情境特征而熟练掌握并灵活应用。
3.加强方法关联
许多现实问题的解决往往需要综合运用多种数学建模方法，因此，在数学建模教学中，应加强数学建模方法之间的关联，注重多种建模方法的综合运用。为此，应在加强各建模步骤之间联系与协调运用基础上，综合贯通处于不同层次、分属不同领域的数学建模方法，在建模各步骤之间、具体的建模方法之间、不同领域的数学建模方法之间进行多维联结，建立数学建模方法网络图，以使学生掌握数学建模方法体系，形成综合运用数学建模方法解决现实问题的能力。
三、强化建模策略
数学建模策略是指在数学建模过程中理解问题、选择方法、采取步骤的指导方针，是选择、组合、改变或操作与当前数学建模问题解决有关的事实、概念和原理的规则。数学建模策略对数学建模的过程、结果与效率均具有重要作用。学生掌握有效的数学建模策略，既是数学建模课程的重要教学目标，也是学生形成数学建模能力的重要步骤。因此，应强化数学建模策略的教与学。
1.基于建模案例
策略通常具有抽象性、概括性等特点，往往需要借助实例运用获得具体经验，才能被真正领悟与有效掌握。因此，数学建模策略的教学应基于对建模案例的示范与解析，使学生在现实问题情境中感受所要习得的建模策略的具体运用。为此，一方面，针对某特定建模策略的案例应尽可能涵盖丰富的现实问题，并在相应的案例中揭示该建模策略的不同方面，以为该建模策略提供多样化的情境与经验支持；另一方面，应对某特定建模案例中所涉及的多种建模策略的运用进行多角度的审视与解析，以厘清各种建模策略之间的内在联系。基于案例把握建模策略，将抽象的建模策略与鲜活的现实问题密切联系，有助于积累建模策略的背景性经验，有助于丰富建模策略的应用模式，有助于促进建模策略的条件化与经验化，进而实现建模策略的灵活应用与广泛迁移。
2.寓于建模方法
建模策略从层次上高于建模方法，是建模方法应用的指导性方针，它通过建模方法影响建模的过程、结果与效率。离开建模方法而获得的建模策略势必停留于表面与形式，难以对数学建模发挥作用。因此，应寓于建模方法获得建模策略。为此，应通过数学建模案例，解析与阐释所用策略与方法之间的内在联系与协同规律，使学生掌握如何运用建模方法，知晓何以运用建模方法，从而获得具有“实用”价值的数学建模策略。
3.联结思维策略
思维策略是指问题解决思维活动过程中具有普适性作用的策略。譬如，解题时，先准确理解题意，而非匆忙解答；从整体上把握题意，理清复杂关系，挖掘蕴涵的深层关系，把握问题的深层结构；在理解问题整体意义基础上判断解题的思路方向；充分利用已知条件信息；注意运用双向推理；克服思维定势，进行扩散性思维；解题后总结解题思路，举一反三等，均为问题解决中的思维策略。思维策略是数学建模不可或缺的认知工具，对数学建模具有重要指导作用。思维策略从层次上高于建模策略，它通过建模策略对建模活动产生影响。离开思维策略的指导，建模策略的作用将受到很大制约。因此，在建模策略教学中，应结合建模案例，将所用建模策略与所用思维策略相联结，以使学生充分感悟思维策略对建模策略运用的指引作用，增强建模策略运用的弹性。
四、注重图式教学
数学建模图式是指由与数学建模有关的原理、概念、关系、规则和操作程序构成的知识综合体。具有如下基本内涵：是与数学建模有关的知识组块；是已有数学建模成功案例的概括和抽象；可被当前数学建模问题情境的某些线索激活。数学建模图式在建模中具有重要作用，影响数学建模的模式识别与表征、策略搜索与选择、迁移评估与预测。因此，应注重数学建模图式的教与学，为此，数学建模教学应实施样例学习、开展变式练习、强化开放训练。
1.实施样例学习
样例学习是向学生书面呈现一批解答完好的例题（样例），学生解决问题遇到障碍或出现错误时，可以自学这些样例，再尝试去解决问题。样例学习要求从具有详细解答步骤的样例中归纳出隐含其中的抽象知识与方法来解决当前问题。在数学建模教学中实施样例学习，学习和研究别人的已建模型及建模过程中的思维模式，有助于使学生更多地关注数学建模问题的深层结构特征，更好地关注在何种情况下使用和如何使用原理、规则与算法等，从而有助于其建模图式的形成。在实施样例学习时，应注重透过建模问题的表面特征提炼和归纳其所蕴含的关系、原理、规则和类别等深层结构。
2.开展变式练习
通过样例学习而形成的建模图式往往并不稳固，且难以灵活迁移至新的情境。为此，应在样例学习基础上开展变式练习，通过多种变式情境的分析和比较，排除具体问题情境中非本质性的细节，逐步从表层向深层概括规则和建构模式，不断地将初步形成的建模图式和提炼过的规则和模式内化，以形成清晰而稳固的建模图式。开展变式练习时，应注重洞察构成现实情境问题的“数学结构框架”，从“变化”的外在特征中鉴别和抽象出“不变”的内在结构。
3.强化开放训练
数学建模具有结构不良问题解决的特性。譬如，条件和目标不明确；“简化”假设时需要高度灵活的技巧；模型构建需要基于对问题的深邃洞察与合理判断并灵活运用建模方法；所建模型及其形式表达缺乏统一标准，需要检验、修正并不断推广以适应更复杂的情境；有并非唯一正确的多种结果和答案等等。鉴于此，数学建模教学中应强化开放训练，以促进学生形成概括性强、迁移范围广、丰富多样的建模图式。为此，应通过改变问题的情境、条件、要求及方法来拓展问题。即对简化假设、建模思路、建模结果、模型应用等建模环节进行多种可能性分析；将问题原型恰当地转变到某一特定模型；将一个领域内的模型灵活地转移到另一领域；将一个具体、形象的模型创造性地转换成综合、抽象的模型。在上述操作基础上，对建模问题进行抽象、概括和归类，从一种问题情境进行辐射，并以此网罗建模的不同操作模式，从而使学生形成关于建模图式的体系化认知，进而提升建模图式的灵活性和可迁移性。
五、活化教学方式
鉴于数学建模具有综合性、实践性和活动性特征，因而其教学应体现以学生为认知主体，以运用数学知识与方法解决现实问题为运行主线，以培养学生数学建模能力为核心目标。为此，应灵活采取激励独立探究、引导对比反思、寻求优化选择等密切协同的教学方式。
1.激励独立探究
数学建模教学中，教师应首先激发学生独立思考、自主探索，力求学生找到各自富有个性的建模思路与方案。诚然，教师和教材的思路与方案可能更为简约而成熟，然而，学生是学习的主体，其获得的思路与方案更贴近学生自身的认知水平。因此，教师应给予学生独立思考的机会，激励学生个体自主探索，尊重学生的个性化思考，允许不同的学生从不同的角度认识问题，以不同的方式表征问题，用不同的方法探索问题，并尽力找到自己的建模思路与方案，以培养学生独立思考的习惯和探究能力。
2.引导对比分析
在激励学生探寻个性化的建模思路与方案基础上，教师应及时引导学生对比分析，归纳出多样化的建模思路与方案。为此，应将提出不同建模方案的学生组成“异质”的讨论小组，聆听其他同学的分析与解释，对比分析探索过程、评价探索结果、分享探索成果，以使学生认识从不同角度与层次获得的多样化方案。引导学生对比分析，既展现了学生自主探索的成果，又发挥了教师组织引导的职能，还使学生获得了多元化的数学建模思维方式。
3.寻求优化选择
在获得多样化的建模方案基础上，教师应继续引导全班学生对多样化的建模方案进行观察与辨析，使学生在思维的交流与碰撞中，感受与认知其它方案的优点和局限，反思与改进自己的方案，相互纠正、补充与完善，寻求方案的优化选择。引导学生寻求优化选择，不仅仅是求得最优化的结果，还是发展学生数学思维、培养学生创新意识的有效方式。在此过程中，教师应与学生有效互动，深度交流，汲取不同方案的可取之点与合理之处，以做出优化选择。
上述数学建模教学策略之间存在密切联系。精拟建模问题是有效实施数学建模教学的载体；聚焦建模方法是有效实施数学建模教学的核心；强化建模策略是有效实施数学建模教学的灵魂；注重图式教学是有效实施数学建模教学的依据；活化教学方式是有效实施数学建模教学的保障。在数学建模教学中，诸策略应有机结合，协同运用，以求取得最佳效果。
参考文献
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