线上教学反思和总结范文1
关键词： 问题搭桥 自主学习 数学教学
新课程标准指出：“数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境。”现代教育体制不容许搞题海战。学校建设走的是精品路线，实行的是小班化教学，有利于放大每个学生的特点，再加上中学生的年龄层次和思维能力达到了一定的水平，这些有利条件更能有效地保障自主学习的高效达成。
2012年笔者有幸参与江苏省十二五规划课题《基于“问题引领，自主学习”数学教学的研究》。在这种背景下，笔者积极探索研究高效的教学模式，经过一段时间的探索和实践，初步形成具体的教学思路：即课堂组织教学的“四问题搭桥法”及学生作业反馈的“四反思评价法”。在研究中发现高效的教学效果主要在于要明确“两个作用，一个关键”：两个作用即教师的作用为设置问题，学生的作用为自主学习；一个关键是问题的有效引领如何设置。而这些方法都应该建立在小组合作学习上。因此，我们将每个班级按四人一组编成学习小组，每个小组成员编为1、2、3、4号。为了促进学生之间的合作和竞争，每节课可以就一个问题让每个小组的同号回答或当堂利用小练习检测同号学生的完成情况，并让科代表记录在记录表上，以便教师和学生及时总结反思。下面就课堂组织教学的“四问题搭桥法”和学生作业布置的“四反思评价法”，谈谈笔者的思考。
一、凭问题搭桥――课堂组织教学的“四问题搭桥法”
“四问题搭桥法”，顾名思义即一节课设置四个问题或者说是四类问题，搭建学生自主学习和小组合作学习之桥，以四个问题贯彻课堂始末。
第一个问题在课堂教学第一环节创设情境，引入新知中创设，即创设“结论确定，条件开放类”问题。新课教学一般都是从复习旧知入手，然后引入新课。大多数教师在上课时都会直接问学生：上节课我们学了什么知识？或者直接问知识点，如有理数加法法则是什么？这样的导入，虽然达到了复习已学知识的目的，但容易将学生搞得紧张兮兮，不利于继续组织教学，也违背了教学规律。针对这种情况，我们创设结论确定、条件开放类问题，既让学生集中思维复习旧知，又创设情境，激发兴趣，导入新课。举个教学案例：《探索平行线的性质》一课是在《探索直线平行的条件》之后教学的。笔者在创设问题时没有直接问学生直线平行有哪些条件，而是出示一个问题：直线AB和直线CD被直线EF所截，你能添加一个条件，使直线AB和直线CD平行吗？你还有其他方法吗？这样的问题创设，给定了结论即直线AB和直线CD平行，条件开放即让学生自己添条件。这样既复习了上节课所学内容――直线平行的条件，又有效激发了学生的学习兴趣和小组合作动力，更为新知识的探索创造了良好的学习氛围。
第二个问题在课堂教学第二环节问题引领，探究新知中创设，即创设“条件确定，结论开放类”问题。仍以《探索平行线的性质》一课为例，在引导学生探索平行线性质时设置这样一个条件确定，结论开放的问题：请学生拿出练习本，在练习本上画一条线与两条格线相交，标出8个角（条件确定）。教师提出研究性问题一：指出图中的同位角，并度量这些角，说出你的发现。再画出一条截线，看你的猜想结论是否仍然成立？教师提出研究性问题二：请说说两条平行线被第三条直线所截，你都有哪些发现？（结论开放）这样条件确定、结论开放类问题的创设，既能顺利引导学生积极主动地探讨教师所要传授的新知识，因为条件确定了，学生就不会跑偏；又能充分发挥集体的智慧和对学生发散思维的培养，因为结论是开放的。学生的发现很多都是教师课前预设不到的，也是教师用成人的眼光看不到的。而恰恰只有学生的发现超出课堂的预设，学生的思维才能得到最大限度的发展，课堂也会因此而出彩。
第三个问题在课堂教学第三、四环节典型例题，深化新知和分层练习，巩固新知中创设，即在“知识的关节点和发展点”上设置问题。此处典型例题的设置是基于第二个问题而言的，是在学生动口、动手、动脑的基础上进一步深化新知，着重于对新知识的延伸，以及学生运用新知能力的训练，贴近学生的“最近发展区”，有利于学生思维发展。以《探索平行线的性质》一节课为例：教师任意画了一个ABC，请同学们思考：∠A+∠B+∠C等于多少度？你能有几种方法得到结论？你能画图并说明理由吗？一个简单的三角形内角和问题，在这里经过精心的问题设置，引导学生联系平行线的性质，作出相应的辅助线，有效地对知识进行延伸，解决了实际问题，同时也体现了平行线性质与判定之间的互逆性，在潜移默化中渗透了转化思想，有利于引导学生构建完整的知识体系。
第四个问题在课堂教学第五环节归纳小结，细化新知中创设，即创设“当堂检测评价类”问题。自主学习不能只有“自”，没有“主”。我们在课堂上设置当堂检测评价类问题主要是展示性检测（让每一组的2号，依次说说本节课学了哪些知识，有哪些收获）和习作性检测（全班给定时间，以补充习题为主当堂完成），明确课堂的主线。
二、借评价反思――学生作业布置的“四反思评价法”
学生课堂作业布置的“四反思评价法”的主导思想是让作业本成为师生互动交流的平台，成为教师教学反思和学生学习反思的主阵地。主要从以下四个环节指导学生完成作业。
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关键词：数学教学； 教学反思
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2013）04-014-002
通过教学反思，让我们教师对自己的数学学习活动过程进行再思考与再审视，它既是一种思维形式，更是一种学习习惯。如波斯纳曾提出过一个教师成长的简要公式：经验+反思=成长。这个公式揭示了反思对教师成长的重要意义。其实，反思并不是新思想，我国古代教育家就有反思意识，如“学而不思而罔，思而不学则殆”、“吾日三省吾身”等至理名言就是印证，强调了学与思的统一，注重教学活动后的反思，这些名言也对我们后人的学习产生了积极的影响。
那么，教师通过何种途径进行反思呢？笔者结合近年来自身教学和考察其他教师的一些情况，浅谈几点数学课堂反思的途径。
一、理论联系实际进行反思
现实中，许多一线的教师缺乏理论的支撑，反思仅仅停留在经验层面上，不能深入到问题的本质。在教学中，理论与实际脱理。碰到经验性的问题，不懂得反思能不能从理论上找到依据，平时学习课改新知识或教学理论时，反思有没有把这些理论运用到实际教学中。在教学中很多同学都很怕证明类的题目，总觉得无从入手，老师也讲不出一个之所以然来，总处在“只可意会，不可言传”的局面上，例如，已知如图，
这里运用了数学的分析法和演绎法，分析的过程中由结果去寻找造成这一结果的原因，而解答的过程中，又由原因去寻求结果。平时只要教师有意识把一道简单的题目上升为数学解题方法的范例，把理论应用到实际教学中，把教学经验上升到理论水平。通过反复的“理论学习――实践检验――上升为理论”，才会做到知行统一，提高自己的教学水平。
二、从学生的学反思教师的教
很多教师总议论，现在的学生越来越难教了，很多问题我都讲了五六遍了，学生怎么还不懂啊，学生这是怎么啦？刚毕业时，这样子的问题我也想过、讲了，甚至对自己的能力怀疑过，可是静下心来想一想时，责任都在学生身上吗？在教学过程中，有没有把学生当作平等的对象来看待，有没有以人为本，有没有站在学生的角度来看待这个问题。
三、数学知识点横向联系进行反思
知识都是相互联系的。虽然在教学时按章分节的，如果孤立知识，特别是在中考总复习中是不可取的，要培养学生的知识体系，就是要在学生的头脑中种上“数学知识树”，从主枝到树叶，其中树叶即代表单个的知识点，例如，在教学中涉及到线段相等时，提问学生在整个中学阶段，有哪些定理涉及到这些知识呢？很多学生就如数家珍地列举起来：全等、等腰三角形两腰、等腰梯形两腰及对角线、线段垂直平分线到两端的距离、角平分线上的点到两边的距离、同圆或等圆中相等的弧所对的弘相等……又如，在证明一个三角形是否是直角三角形时，引导学生回顾：勾股定理的逆定理、在一个三角形中两锐角互余、根据垂直的定义证明一个角为90度、根据全等或相似通过证明与已知直角三角形全等或相似、在一个三角形中有一边上的中线等于这一边的一半等等，通过这样发散性的反思思维，跨章节甚至是跨年级的总结，极大地丰富了学生解决问题时的有效选择，有利于培养学生的知识体系，极大地提高了学生学习数学的兴趣，把书读活。又如，在2011年数学中考总复习中，当复习到化简（求值）这类题目时，我把2012年中考试卷关于这一知识点的考查一并列举如下：
通过集中列举，让学生横向比较分析，总结经验，以后碰到类似的问题时就能快速而又正确地解决这类题目。
四、撰写教后记，反思自己的教学行为和具体问题的成因
笔者专门设计了一个教后反思记录表，针对每一课进行反思。每一堂课都围绕下表中的一点或几点展开。有时一节课下来，我们会因为一个课上的亮点感觉整堂课很轻松，学生也很投入；有时一节课下来，因某一个环节出了问题（教学败笔）导致心里闷闷的，学生也似懂非懂，针对这些现象，通过反思，发现主要原因是课前备课中考虑不周，备学生不足或在处理课堂生成性问题中经验短缺。
五、通过参与听课等教研活动，进行反思
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关键词：初中 数学 反思
古人云：“学而不思则罔，思而不学则怠。”这句话说明了“学”与“思”之间的精妙关系。只有当学与思相互交融、科学配合时，方能达到学习知识的理想状态。然而，在当前的初中数学学习过程中，学生“只学不思”的现象并不少见，缺乏反思的学习是不彻底、不系统的。那么，在数学学习中，学生应在哪些环节展开反思，又应针对哪些内容进行反思，这些都需要教师的引导和培养。
一、学会预习，预设问题
关于反思，很多教师都会陷入一个认知误区，认为只有在教学活动结束后，才有必要带领学生进行总结和反思。实际上，反思不仅有总结的功能，还可以为学生指明思考的方向，指导学生自主探索知识内容。因此，对于反思的任务，教师在预习阶段就可以为学生布置了。
例如，在学习“直线、射线与线段”知识之前，我要求学生针对这部分学习内容进行预习。由于这是学生进入初中后第一次接触几何内容，而且又是几何知识的基础，因此，我将预习任务的重点放在了直线、射线与线段的基本概念的理解上。当然，仅提出这样的预习要求是难以调动学生预习积极性的，我又给每名学生发放了一个表格，要求学生尽可能多地填写出三者的不同。这样，学生的预习任务从“理解直线、射线与线段的概念”变成了“总结直线、射线与线段之间的不同”。学生带着这个问题，结合表格的生动形式，使学生的预习活动真正实现了重点鲜明、富有热情。
每次布置预习任务时，我都会有意识地把本次预习内容中的重点知识以课前问题的形式提出。让学生带着问题去读书，使学生更好地把握知识内容。学生寻找问题答案的同时，预习效果也就自然达成了。同时，由于这些问题是在学生一接触新知识时便开始思考的问题，往往能给学生留下深刻的印象，这也将成为学生在知识内容学习结束后进行反思的重要依据。
二、学会审题，重视思考
很多学生在解答数学习题时，常常会因为审题偏差而导致解题错误，而这种错误的出现是很可惜的。因此，教师要采取一些措施来引导学生养成准确审题的习惯。在问题解答之初，教师可就审题时应注意的重点部分进行强调，让学生带着问题进行思考。这样，学生便会慢慢地学会抓住已知条件中的重点，进而学会审题，降低错误出现的频率。
例如，在各类初中数学测试中都不难发现航行的问题，这类题也是学生极易出现错误的部分，且错误原因不在于对知识内容的掌握，而在于审题环节的偏差。于是，我把此类问题以专题课的形式进行了重点讲解，并以这样一道题目为例：一条小船在海面上以25 km/h的速度由南向北航行。海面上有一个灯塔S。当小船航行至A处时，看到灯塔S在小船的北偏东30°位置。小船继续航行2 h后到达B处，此时看到灯塔S在其北偏东45°的位置。那么，此时小船距离灯塔S有多远呢？在开始审题之前，我首先提示学生：“北偏东”到底是以谁为标准来看的？题目所求的船塔距离指的是哪段距离？学生带着这两个问题，对题目要求有了更准确的把握，并且画出了图1，问题自然迎刃而解。
在审题环节加入反思，对于提升学生解题的正确率有很大帮助。经过教师的有效指引，学生在初次阅读题目时便找到了重点，大大减少了由于审题时的疏忽大意而导致错误出现的次数。在审题过程中，教师向学生提出的重点问题除了能帮助学生避免读题时的疏漏外，还能成为学生完成题目解答时的反思内容，能进一步强化对相关知识的理解和应用。
三、学会发现，加强探究
数学是一门探索性的学问。如果教师只是把知识内容平铺直叙地呈现给学生，就难免会让学生感到初中数学学习的死板，难以对数学学习产生兴趣。另外，数学知识的内容也不是一成不变的。随着新思路与新视角的出现，对于数学知识的理解和应用也会不断地拓展和延伸。因此，鼓励学生带着反思的意识去探究数学问题，也是符合初中数学教学规律的。
例如，在开展“因式分解”内容的教学时，我并没有直接让学生死记硬背公式，而是先引导学生对规律进行探究。如在讨论a2-b2=（a+b）（a-b）这个公式时，我向学生提供了一系列计算式：9-4=32-22=（3+2）×（3-2）=5×1=5，25-16=52-42=（5+4）×（5-4）=9×1=9，121-36=112-62=（11+6）×（11-6）=
17×5=85……通过这些计算式的罗列，有学生发现：当一个算式满足两个数字的平方相减的形式时，都可以转化成两个数字之和与两个数字之差相乘的方式来进行计算，这种方式使得计算过程大大简化。我继续鼓励学生用字母将上述规律表示出来，成为可以通用的数学公式，学生便继续以a，b两个字母替换数字，得出了a2-b2=（a+b）（a-b）的结论。由学生自己总结出的计算规律，其印象也极为深刻。
实际上，很多数学规律并没有那么隐晦，只需对其稍加思考和关注，学生就能凭借自己的能力来发现规律。在发现的过程中，需要教师反思性问题的引导。当学生自主发现数学中的规律后，便如同打开了数学知识学习的大门，不仅建立起了学习数学的自信心，更能促进学生对数学探究方法的掌握。
四、学会提炼，注重总结
反思活动使用得最为灵活和广泛的部分，仍是在每次课程的结尾。每次教学结束时，我都会设置一个反思环节，针对学生在本次知识学习中的表现进行总结，并对重点内容与方法进行提炼。反思的过程，往往能够进一步捋顺学生的数学思路，使数学课堂的教学质量得到升华。
例如，在总复习阶段，我经常会出一些综合性很强的问题。其中以二次函数与几何问题相结合的题型难度最大，这类题型总会让学生感到题目条件繁多且错综复杂，导致解题时无从下手。因此，我在课堂教学中引入了一道习题，为学生提炼其解题方法：如图2所示，在平面直角坐标系中有一个抛物线y=mx2-11mx+24m（m<0），它同x轴分别相交于点B和点C，且点B位于点C的左方。第一象限中的点A也在抛物线上，且满足∠CAB=90°。现连接AO，并将AOC以x轴为对称轴向下翻折，得到DOC。那么，当四边形AODC为菱形时，该抛物线的解析式是什么？我提示学生：“在遇到这类问题时，自己的解题思路不要被已知条件中的诸多内容所干扰，而应当选择几何或代数作为切入点进行分析。在这道题中，几何方面的已知条件较多，我们便可以从这个角度入手进行分析，连接AD，并依据菱形性质，借助三角形相似得出点A的坐标（如图3），再将其代入抛物线，解析式可得。”这样，综合性题目的解答思路就很清晰了。
在课堂教学的末尾进行知识提炼与问题总结，常常能达到更理想的学习反思效果。在这个阶段中，经过教师一堂课的讲解，学生已经基本掌握了本次学习的知识内容，只是还没有把握住重点和知识体系。教师在这时带领学生展开教学反思，让学生在头脑中形成坚实的知识基础，对于总结反思内容的理解也会更深刻、更透彻，以利于最大化地提高数学能力。
反思并不是一时的教学行为，而是一种良好的数学学习习惯。反思不仅仅存在于每次课堂教学的结尾，还应适用于数学预习、学习与总结等各个阶段。反思行为在不同环节中的运用，都可以产生不同的教学效果。这样的训练多了，学生便会自然地形成反思的学习习惯，这也是对学生数学学习能力的拓展与提高。
参考文献
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一、 通过例题教学，引导学生学会寻找反思的途径
在数学教学中，分析讲解例题是必不可少的，每讲一个例题，我都引导学生进行如下探索：命题的意图是什么？考核我们哪些方面的概念、知识和能力？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？本题有无其他解法？众多解法中哪一种最简捷？把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有益的普遍性结论？如有这样一道例题：
例：如图，ABC中，∠A=90°，其中有正方形DEFG，点D、G分别在AB、AC上，EF在斜边BC上，
求证：EF2=BE・FC
待证明过程完成后，我就向学生提出以下问题：1）这道题主要考查了我们学过的哪些知识点？2）这道题你是如何想到证明三角形相似的？3）通过对本题的学习，你联想到了什么？等学生回答完后，我就说：“这就叫反思，若我们做完每一道题都能从多方面进行思考，在我们的学习中将会起到事半功倍的作用。”学生从中不仅拓展了思路，还学会了如何进行反思。
二、通过复习课引导学生进行纵向回顾性反思
在我们的教学过程中，当一个单元或一章的内容结束后，留存在学生脑海中的知识是零散的、间断的，只有通过回顾反思，学生才能将这些知识串连起来，形成一个整体。
例如，“四边形”一章内容繁、多、杂，我就引导学生从四边形出发，由四边形――平行四边形――矩形――菱形――正方形逐一理清各图形的定义、性质、判定，并通过图表的形式进行类比，搞清各个图形之间的联系与区别，明确它们之间的从属关系，从而归纳出解决这几种几何图形有关问题的一般规律。同时还引导学生探索了下面的问题：顺次连接四边形各边中点所得四边形是什么四边形？顺次连接平行四边形各边中点所得四边形是什么四边形？若再将平行四边形换成矩形呢？换成菱形呢？换成正方形呢？通过对这个综合性较强的问题的解决，学生对本章知识的应用能力普遍得到了提高，同时还体会到了回顾反思的重要性，也学会了如何进行回顾性反思。
三、 通过小专题引导学生做横向归纳性反思
在几何学习中，学生普遍反映，在遇到需要做辅助线才能解决的问题时，往往感到没有头绪。这就需要老师及时的点拨指导，以便提升学生的解题能力。在教学中，我通过小专题课，和学生一起归纳总结出了
几种常见的辅助线的做法：
1.连接图中已有的点
例：ABC中，AB=AC，∠B=30°，EF是AC的垂直平分线，猜想BF与CF之间的关系并证明。
要解决这个问题，必须要做辅助线。但如何做辅助线呢？我和学生共同研究了起来：由于已知条件中EF是AC的垂直平分线，而线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此想到，若将点A和点F连接，就可将已知条件与结论联系起来，从而使问题得到解决。
2.将某条线段延长
例如：ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的点，且FD=5AF连接BF并延长交AC与E，求证：EC=10AE
显然，我们要证明的是一个10倍的关系，而已知告诉我们的是一个5倍的关系，根据这个图形，如何利用5倍的关系证明出10倍的关系呢？我们想到，只要将5倍关系变为10倍关系，再找它们的联系，问题就可解决。于是我们只要将FD延长一倍至H，连接CH，证明三角形相似即可。
3.过一点做某条线段的平行线
例：AB、CD相交于点E且AC=BD，
∠A+∠B=180°求证：CE=DE
分析：要证明CE=DE，能否构造一个三角形，使之与BDE全等，从而使问题得到解决呢？由此想到过点C作CF∥BD，与AB相交与点F，得FCE，从而使问题得到解决。
4.过一点做某条直线的垂线
例：如图，ABC中，AD是BC边上的高，
BE是AC边上的中线，∠CBE=30°，求证：AD=BE
分析：过E点作EFBC，与BC相交于点F，因为∠CBE=300，所以EF等于BE的一半，再由已知条件AD是BC边上的高即可得到EF∥AD，又因为点E是AC边上的中点，于是得点F是DC的中点，从而EF等于AD的一半，使问题得到解决。
当然，几何证明题中辅助线的添加方法不止这几种，很多问题的解决也不止添加一条辅助线，但通过本节课的学习，学生不仅归纳出常见的几种添加辅助线的方法，而且还体会到了横向归纳反思的重要性与必要性，培养了他们良好的思维品质。
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近半个世纪以来,皮亚杰心理学影响着世界各国的中小学教学,尤其是中小学数学教学。皮亚杰指出:“ 动作是智慧的根源”,①任何静态的数学概念都隐含着认知主体的内在动作,数学运算是一种广义的动作。② 这些观念为数学课堂教学所采纳,目前小学数学普遍采取动手操作(或以直观方式演示有关操作)的方法。
然而,对于这些在教学实践领域中早已被采用的观念与方法,却缺乏深入的研究,许多问题都停留在知其 然不知其所以然的层面——我们知道数学运算是一种广义的动作;但它除了是一种动作之外,还存在哪些区别 于一般动作的规定性?同样我们也知道“动作操作”会增进儿童的数学知识与智慧;但能否认为任意的动手操 作都有益于儿童智慧的发展?在数学课堂教学中如何指导儿童动手操作?
本文试图就以上问题作些探讨,以期引起更深入的研究,并期望对进一步改进小学数学课堂教学有所裨益 。
二、数学运算的内在规定性
1.反身性 数学运算“甚至在其较高的表现中,也是正在采取行动与协调行动,不过是以一种内在的与反 省的形式进行的罢了……”③这里“反省”与反身、反思是同义的。
皮亚杰将个体认知活动划归为两类。一类是对客体的认识;另一类是对主体自身动作所进行的反思。前者 带来关于客体的知识;后者带来数理逻辑知识。
[实例]一个儿童摆弄10个石子,他可以掂一掂以了解其重量;可以摸一摸以了解其表面的光滑度。“重 量”与“光滑度”是关于对象(石子)本身的知识。此外,儿童还有另一类动作,他将10个石子排列成不同的 形状,沿着不同的方向点数它们,其总数“10”总是不变的。这里,儿童将手指一一地(不重复也不遗漏)点 向10个石子,是具体动作;从这种具体动作中认识到总数“10”总是不变,则是一种反思,是反过来对自身的 具体动作进行思考。具体动作可以有很多种(可以从不同的石子开始,可以沿着不同的方向进行),但总数的 “10”却是恒定的。只有通过反思,体会到这种“恒定”,儿童才真正学会了计数。
这里我们看到儿童进行数学操作与运算离不开具体动作,但具体动作之后的反思比具体动作本身更为重要 。儿童能一一地点数石子,我们也能训练一只小鸡——地啄石子,但小鸡不会了解“10”这个数,因为它没有 反思。
数学运算因其反身性,还呈现出一种层次性与相对性。高一级的运算是对低一级的运算所进行的反思、协 调与转换。乘法是对加法的“运算”;乘方又是对乘法的“运算”。
2.可逆性 “运算是一种可以逆行的行动,即它能向一个方向进行,也能向相反的方向进行。”④我们可 以把1和2相加得到3;反过来, 也可以用3减2而还原为1。任何一种运算,总有一个与之对应的逆运算。
学生用减法验算加法(或反过来用加法验算减法),用除法验算乘法(或反过来用乘法验算除法),就是 因为这些运算是可以“逆行”的。对于“合”(加或乘)的结果,我们可以用“分”的动作(减或除)使其还 原到初始状态。
可逆性可以区分为两类,一类是反演可逆(1+2=3,反过来3 -2=1);一类是互反可逆(6比2多4,反 过来2比6少4)。 前者表现为相反的操作;后者表现为次序的逆向转换。
3.结合性 运算“是可以绕道迂回的,通过两种不同的方法可以获得相同的结果”。⑤这就是所谓结合性 。具体到小学数学教学中,结合性体现在两个方面。
其一,体现在运算定律方面:3+4=4+3(加法的交换律);3 ×(4+5)=3×4+3×5(乘法的分配律 )。这里,每个等式两边是不同途径的运算,但其运算结果却是恒等的;其二,体现在问题解决的一题多解方 面。
问题:男生和女生共植树450棵,已知每个同学植树5棵,有男生46人。问:女生多少人?
对于这一问题可以先求出女生植树多少棵,再除以5, 得出女生人数:(450-5×46)÷5=44(人);也 可以先求两个班共有多少人,再减去男生46人,得出女生的人数:450÷5-46=44(人)。两种解法,具体途 径不同,但结果一样。
至此,我们将可逆性与结合性综合起来考察,则会发现数学运算总是隐含着某些“不变的因素”。反演可 逆是以相反的运算(如:以减法来验算加法)使其还原为初始不变的状态。互反可逆是一种相互转换,6比2多 4,2比6少4,这里差集“4”是不变的。在运算规则里, 运算途径改变了,但运算结果不变。在问题解决中, 具体解法可以各异,但答案是唯一(不变)的。
我们说,数学运算是一种转换。在这种转换过程中,并非所有的东西都发生了改变,总是隐含着某种不变 的因素。正是“不变因素”的存在,才使转换成为可能。
4.结构性 结构性运算,就其现实的存在方式而言,“包括复杂的运算体系,而不是被看作先于这些体系 成分的那些孤立的运算。”⑥数学运算总是以结构化的整体的方式而存在。首先,每一种数学运算本身就是一 个结构化的动作。加法包括“合”的动作,也包括计其总数据的动作(这在学龄前儿童的实物操作中,可观察 到;小学一年级儿童,因熟练而逐渐简约化);其次,各种运算联合起来,又构成一个大的结构,加是“合” 的动作,减是“分”的动作;乘是加(或合)的简便运算,除是减(或分)的简便运算;加减互为逆运算,乘 除互为逆运算。这许多关系,使四则运算联合成一个大的整体。
三、课堂教学中,指导学生动手操作应注意的问题
在明确了数学运算的内在规定性之后,我们将依照这些规定性,提出在课堂教学中指导儿童动手操作应注 意的问题。
1.引起反省 从以上分析中我们了解到,数学运算是一种反思,具体动作之后的反思比具体动作更为重要 。具体到课堂教学中,我们在指导学生动作操作时,不应停留在为操作而操作的层面;而应引导学生对其操作 进行思索。以分数概念的教学为例,通常的教法是将分数的具体“操作”和盘托出、呈现给学生。如:将一个 饼平均分成两块,每块是它的1/2。这样的做法只能让学生照葫芦画瓢一样地模仿,而不能调动学生内部的思 考过程。
一般而言,分数是小学生数概念的一次大的扩展。此前,儿童能用加减法层面的“差集”(6比2多4)或乘 除法层面的“倍数”(6是2的3倍)来表示二数比较关系。在倍数中,比较量一般大于(或等于)标准量;分数 的引进是要解决一个全新的问题:当比较量不足一个标准量时,如何表示二数关系。
关于分数概念,这里设计了一种与通常的教法不同的方案,其宗旨在于引起学生思考。
关于“分数概念”的课堂设计:
准备:在黑板上用不同颜色的粉笔画好三条长度不同的线段,准备一根60厘米长的木棒(无刻度),线段 长度分别是木棒的3倍、1倍、 1/3。
木棒────
白线:─────────── ────────白线长度是木棒长度的3倍
红线:──────── 红线长度是木棒长度的1倍
绿线:─ 绿线长度是木棒长度的?
教师[演示]:用木棒分别量白线与红线,并板述;然后量绿线,提问。
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为了让学生尽快进入问题情境，教师在这一环节的首要任务就是结合学习内容，根据教学目标，在学生认知结构的最近发展区内，精心组织问题材料，创设问题情境，激发学生强烈的探究动机和探究欲望，使其自觉主动进入所探究活动之中。创设问题情境时要遵循趣味性原则、可接受性原则、直观性原则、激励性原则、启发性原则和挑战性原则，要力求从学生熟悉或感兴趣的问题出发，选择现实、有意义和挑战性的内容。
如在《等比数列求和公式》的教学中，我首先说：“同学们，从今天开始，我愿意在一个月内每天给你100元钱，但在这个月内，你必须第一天回扣我1分钱，第二天回扣我2分钱，……，即后一天回扣给我的全数是前一天的2倍，有谁愿意？”，这个例子具有趣味性，学生顿时活跃起来，对问题产生了浓厚的兴趣。
在“提出问题”阶段的教师，作用是创设问题情境，这里“问题”设计是关键，它要切合实际，要符合前文所述的可按受性、障碍性、探索性等原则；要能激发学生的学习兴趣，使学生乐意接受问题的挑战。
环节二：教线：指导新知探究；学线：展开新的探究；问题线：分析问题。
（1）自主探究。教师在这一阶段的任务是指导探索研究。在学生自主探索研究过程中，教师要参与到学生的探究活动之中，把注意力集中到对学情的了解上，要快速思考：是否应当介入，什么时候介入，下一步教学应该如何调整，哪些问题需要学生讨论，哪些问题需要讲解等。教师应始终聚焦于课堂动态生成的三个阶段（是什么，什么是，为什么），努力创设有利于学生积极探究的教学情境，形成轻松愉悦的课堂教学气氛。教师要精选教学内容或信息的关键、核心和重点，突出重点原理的呈现与探索，其他相关的知识与信息由学生去探索和获取。这样既节省了时间，又能发挥学生的自主性，达到以点带面，以局部带整体的目的，从面较好地控制探究活动内容。
（2）合作交流。在教学中要把握好契机，精心设计合作学习的内容、要求、表现方式等。一般出现下列情况时可运用合作学习的方式，一是出现了新知识，需要新能力；二是遇到大家都盼望解决的问题，而依靠个人又不易或不能解决的问题；三是学生意见不一致，且有争论的；四是解决问题的策略多样化；五是答案的不唯一且具有开放性。
（3）概括结论。在学生自主探索与合作交流之后，教师要引导学生把从情境、活动中获得的感性的、旧体的和局部的认识作批判性思考，启发学生进行适度的推理论证和概括提升。然后由小组内选一代表在全班内进行发言，通过在全班的交流讨论中进行相互启发，产生思维碰撞，进一步修正和完善结论，从而获得对新知识的比较系统的认识和比较深层次的理解，发展理性思维和多方面的数学能力，最后获得统一的认识而达到解决问题的目的。学生交流的内容可以从以下几个方面展开：叙说对知识的理解和解释；交流体验和感受；说出困惑和问题；公布小组讨论结果；展示新角度、新方法、新成果等。
环节三：教线：提供变式应用；学线：变式训练巩固；问题线：解决问题。
教师提供变式应用时可先通过一些典型例题的讲解给学生提供方法的示例，再进行“形变质不变”的一系列问题的分析解答，进行发散收敛的思维训练，最后达到能够灵活运用知识、强化基本技能以及提高能力的目的。教师可设计一些富有启发性的、有研究价值的典型习题，引导学生从不同的方面、不同的梯度对问题进行思考、分析、探索、研究，进行一题多解、一题多变（变条件、变结论、变形式、变内容、变封闭题为开放题等）和多题一解的探究，培养学生的发散思维能力和探索创新能力。
在“解决问题”阶段，教师要引导学生落实完成解答的过程，把能力培养和基础知识、基本技能的学习结合起来，使学生感到成功的喜悦并树立学习的自信心。
环节四：教线：引导总结提练；学线：反思总结提高；问题线：反思问题。
