摘要:图形教学应紧扣图形的本质特征来进行课堂学习活动的设计，只有这样才能促进学生在学习中更深刻地认识图形，进而发展学生的空间观念和高阶思维。具体在“圆”这一单元的教学中应把握圆的普遍存在性、广泛对称性、各点均匀性以及圆的曲线研究方法，并在此基础上借助评价题重塑“圆”的教学。
关键词:图形教学;圆;整体把握;空间观念
图形与几何是小学数学教学的核心内容。无疑，图形内容的教学应紧扣图形的核心本质特征进行课堂学习活动的设计，只有这样才能促进学生在学习中更深刻地认识图形，进而发展学生的空间观念和高阶思维。下面仅以小学数学教材中六年级“圆”这个单元为例，探讨如何在单元教学中重新认识和整体把握图形的核心本质特征，如何通过评价倒逼和撬动图形教学的过程性思考，以发展学生的空间观念，提高学生的高阶思维水平。
一、重识：把握圆的本质特征
在整体审视单元教学的前期，教师须思考一个核心问题：在小学阶段学习圆，最重要的是什么？笔者认为，应该是圆的三个特性和一种研究方法。
1.圆的普遍存在性
在现实世界中，从桥梁、剪纸、中外建筑、著名标志设计到天体、粒子运动等等，圆在生活中的现实模型几乎是无处不在的。相比其他平面图形而言，圆的现实模型是所有平面图形中最普遍存在的一种。而作为思维对象的圆，其思维特征体现为高度与深度的抽象概括，只存在于数学世界里，在现实世界中找不到。
2.圆的广泛对称性
其一，圆是轴对称图形，并且对称轴有无数条，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。其二，圆是旋转对称图形，任意角度旋转并映射到自身上，即旋转任何一个角度都与原来的图形完全重合，圆具有任意的旋转不变性。圆的这两种对称性是广泛存在的，从这种角度来看，圆在所有平面图形中是最“和谐”的一种图形。
3.圆的各点均匀性
圆的各点均匀性是指圆在每一点处的向心程度（即弯曲程度）都一样，圆上的每一个点都是“平等”的。从圆上任意一点到圆心的距离都相等（即“一中同长”），圆周上各处的向心（弯曲）程度相同。
4.圆的曲线研究方法
圆是学生在小学阶段数学中第一次认识的曲边平面图形，用直线逼近曲线、用有限逼近无限、用有限线段来逼近曲线，这种以直代曲、化无穷为有限，用逼近极限（如割圆术）的方法进行的研究贯穿于整个圆的教学。而这种极限思想的渗透也是学生在学习中最难理解的。如果说圆心、半径、直径等是圆的“外貌“的话，那么圆的普遍存在性、广泛对称性、各点均匀性和以直代曲的研究方法就是圆的内在“性格”。在实际教学中，要特别重视让学生感受圆作为曲边图形的这种内在“性格”特征，在学习中逐步积累研究圆这种曲边图形的方法和经验。在圆的整个单元的后续学习中，学生还要学习圆的周长、圆的面积等内容，认识了圆的普遍存在性、广泛对称性、各点均匀性和以直代曲这些本质特征和研究方法，能够直接影响和决定圆的周长和面积的推导过程、推导方法，以及解决问题中的实际应用。圆的周长和圆的面积的学习要特别关注周长、面积计算公式等的推导过程及过程性的思考。需要说明的是，关注圆的周长、面积公式的推导过程，不是为了刻意追求过程，而是为了启发学生在推导过程中思考图形的转化、位置对应关系的变化，这些思考有助于对圆的本质特征的再关注、再认识，并以此发展学生的空间观念和高阶思维。
二、重塑：评价撬动圆的学习的过程性思考
为帮助学生深刻认识圆的上述本质特征和研究方法，通过评价来撬动课堂学习的过程性思考是非常重要的一条途径。通过评价题目的设计来考查学生的学习效果，倒逼课堂教学行为发生根本性转变，让学生对圆的学习和研究达到最本质、最核心的认识与理解是非常必要的。下面举例说明。比如图7是两块圆形铜镜边缘的残片，对比这两块铜镜残片，哪块铜镜的面积大呢？这是对圆的各点均匀性的测查，学生可以借助对圆的特征的理解，通过感性思考———空间想象还原圆的整体，也可以通过理性思考——或看弧度，圆越大，弯曲的程度就平缓一些，圆越小，弯曲的程度就越大，或延长外圆，找到半径，直接判断半径的长短来解决。这样的评价题目是在问题解决的情境中呈现，测评的过程既是调动学生知识经验进行思考的过程，也是学生对圆的特征再思考、再学习的过程。如果能将这种思考外化在课堂上，让不同学生丰富的思维互相碰撞，将会产生更深入的学习效果。比如请从图8大圆中描出一个或几个小圆，使描出的小圆和大圆组成的新图形的对称轴的数量分别满足“有无数条对称轴”“只有一条对称轴”“只有两条对称轴”“只有三条对称轴”，分别应该怎样描？这是对圆的广泛对称性的测查，学生需要思考圆的轴对称的特性，同时在思考多个大小不同的圆组合在一起时对称轴的数量发生变化的过程中对圆的对称性产生新的认识。比如图9中的圆、正方形和等边三角形，标出中心点A，想象将下面各个图形绕着中心点A转动，每个图形至少旋转多少度与原图形重合？每个图形旋转一周的过程中与原图形重合了几次？这是对圆的旋转对称性的测查。学生通过想象与操作会发现：正方形至少旋转90°与原图形重合，等边三角形至少旋转120°与原图形重合，而圆旋转任意一个角度都可以与原图形重合；正方形从起始位置旋转一周会与原图形重合4次，等边三角形旋转一周能与原图形重合3次，而圆旋转一周可与原图形重合无数次。对圆的这种广泛的旋转对称性的认识需要学生在平时的课堂中不断经历这样操作、想象的学习活动，从而积累圆的研究的活动经验，在比较中深刻认识圆的旋转对称性是区别于其他图形的独有特征。将这几块硬纸板分别沿一条直线滚一滚，描出滚动过程中O点留下的痕迹，下面（）痕迹是圆形纸板滚动过程中留下的。这是对圆的“各点均匀性”和“一中同长”核心本质的测查。需要学生想象各个不同图形中心在运动中高低的不同变化，重点认识和理解圆心的运动痕迹为什么是直线，进而体会圆区别于其他平面图形的本质特征———圆心到滚动面的距离即圆的半径，同一个圆半径是相等的，圆心在运动过程中距离滚动面的高度一直等于半径，保持不变，所以圆心的运动痕迹是一条直线，这也从数学的角度解释了“车轮为什么是圆的”其中的道理。我们在日常课堂教学中要让学生用硬纸板做各种不同形状的卡边，描出中心点O，扎出小孔，固定直尺，滚动图形，想象并描画中心点的运动痕迹，在观察、想象、操作、思考、比较中体会各个平面图形的不同特征，体会圆区别于其他平面图形的本质特征。再比如在自制的陀螺上点一个黑点，陀螺在旋转时，黑点可形成一个圆形的痕迹。淘气也自制了几个陀螺，并点上了黑点（图13，x标出的是插入火柴棍的地方）。以下哪个陀螺在旋转时黑点可形成一个圆形的痕迹？这个题目也是对圆“一中同长”本质特征的测查。我们应在日常的课堂教学中创设这样的机会，引导学生按照如上的方式做一做，注意观察黑点在旋转时的痕迹，让学生在动态操作过程中感悟圆的定点、定长，同时展开数学的想象，体会只要给一个定点，那么以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线就是圆，即圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。再比如用一张正方形纸折叠三次后，沿虚线剪出一个等腰三角形，打开后的图形接近圆。用一张同样大的正方形纸这样折叠四次后，沿虚线剪出一个等腰三角形，打开后的图形也接近圆。上述哪一种方式剪出的图形更接近圆呢？这个题目是对圆的曲线研究方法的测查，让学生感悟正多边形边的条数越多，图形更接近圆，体会正多边形逼近于圆的极限思想。此外，还可以根据圆的面积推导过程，设计进阶性的评价题目。比如将一个圆形纸片沿着它的半径平均分成若干份以后剪开，用它们可以拼成一个近似的平行四边形（图16）。已知这个平行四边形的周长是16.56厘米，这个圆形纸片的面积是（）平方厘米。这是对圆的面积推导过程中的深度思考的测查。需要学生深刻理解圆的面积在推导过程中的图形转化过程和位置对应关系，根据平行四边形相邻两条边的长度分别对应圆周长的一半和半径，反算出圆的半径，进而计算圆的面积。这样的评价题目要求教师在教学过程中将圆等分的份数尽可能多，同时展开数学想象，逐渐将学生的注意力由“动手”转向“动脑”，启发学生深入思考：为什么要尽可能多地等分？在图形转化过程中什么变了？什么没变？如果学生能够体会到在这个过程中圆的周长增加、面积守恒、与转化后的规则图形形状趋近，那么学生对圆的曲线研究方法、极限思想的理解才算真正达到深入。总之，只有整体而准确地把握了圆的学习最重要的本质特征，并在此基础上，借助评价题目设计撬动课堂教学中圆的学习的过程性思考，带着这样的视角和思想去思考并实践教学，学生对圆的学习、对图形的理解才能达到一个新的高度、深度和阶次，学生对图形知识本质的认识才能真正地由“学过”走向“学会”。
作者:董文彬 单位:北京市海淀区中关村第一小学