数学建模常用模型算法范文1
关键词：数学建模；计算机技术；应用；计算机软件
改革开放以来，我国社会步入高速进步的轨道，各个领域都得到持续性的发展，并取得阶段性的成果，其中数学这门科学在整个社会进步过程中也起到非常关键的作用。数学虽然是一门基础的学科，但是物理、生物、化学等自然科学领域在各个层面上穿插了对数学的应用，社会不断深入发展，数学也在发展过程中的作用也越来越重要。不止于自然科学领域，数学也在研究事务性扩展上做出贡献。在现实生活中，当遇到非常复杂、包含多个逻辑的问题时，可将数学应用在问题的解决上：找到研究问题的规律后，使用数字、符号等数学符号对问题进行描述，翻译成数学语言，然后使用计算机技术对翻译出的数学语言进行建模、运行，最后就可得到想要的问题解决方案。本文简单介绍数学建模和计算机技术两者间的联系，然后深入一个层次，对计算机技术在数学建模中的应用进行研究，希望对推广和研究使用计算机技术进行数学建模提供一定的理论基础。
1数学建模和计算机技术两者间的联系
1.1数学建模
数学建模不同于数学研究，它偏重于解决生活中的实际问题，有着独特的特点。数学建模将我们所遇到的实际问题进行分析，对后续的建模过程做准备；然后把错综复杂的情况进行简化，用数学语言进行抽象的表达；在根据问题的条件设定假说对研究过程进行制约；然后对所需数据进行调查整理，观察、剖析现实中该问题的普遍规律和各项特征，正式构造出符合问题的数学模型，将混乱、复杂的实际问题转化为清晰、明了，便于解决的数学问题；再进行数学模型的求解，得出问题的解决方案；接下来对根据求解结果对模型进行分析和检验；上述两个步骤合格、过关才能将数学模型投入应用。简化整个数学建模的流程如图1所示，总共包含七个步骤：建模准备、建模假设、模型构造、模型求解、模型分析、模型检测及模型应用。其中最重要的就是模型分析和模型检测，它们决定模型的的合理性和对解决实际问题的能力。
1.2计算机技术
计算机是具备数据存储，数据处理，实现对逻辑运算的现代化的智能电子设备，计算机技术建立在计算机的基础之上，指计算机领域中所运用到的技术方法和技术手段，或者说是硬件技术、软件技术和应用技术的结合。它的综合特性非常明显，涵盖多方面的技术：运算方法的基本原理、运算设计、中央处理器设计、流水线设计、存储体系、指令系统等。计算机技术的发明极大推动人类科技进步的水平，是在未来科技发展道路中必不可少的一项工具。
1.3计算机技术和数学建模的联系
发展至今，数学建模已达到非常高的水平，几乎所有的建模都需大量的计算，换个角度说，计算机技术几乎不可避免在现代的数学建模中，它在数学建模计算过程中占据无与伦比的地位，两者在这一过程中都相互促进和影响。计算机技术起源于数学建模过程，在1980年代，在计算导弹飞行过程中的轨迹，由于计算量过于庞大，人工操作无法满足这一过程中对计算准确度和计算速度的要求，开始将计算机技术在这一背景下应用。人工计算处理过程和实际需要计算过程间巨大的差距激发着计算机科研人员的动力，在研究计算机技术上竭尽全力，使各式各样的计算机软件应运而生。计算机技术也逐渐起源，提高世界数学建模的整体水平，两者息息相关，紧密相联。
2计算机技术在数学建模应用中的一些优势
2.1计算机可存储和处理大量的数据
人们对1942年世界上第一台计算机———Atanasoff-Berry计算机进行实验，这个实验是成功的，虽然它只能对线性的方程组进行求解，但这台计算机的一小步，是计算机技术发展的一大步，以致它的设计思路现在依然被沿用。第一台计算机的发明至今不过70几年，但发展速度是以前从不敢想象的，现代计算机的计算量与存储量都是从前的千万倍，即使现代的一台普通的家用计算机都可存储下几百吉字节。这样的存储能力可满足一般情况下的数学建模，当存储能力不够时还可通过对计算机添加硬盘获得更大的存储能力。现代计算机在进行气象学分析、流体力学分析等过程时，其强大的计算能力和超大的存储能力可使其在运行这些过程时游刃有余、非常轻松；
2.2计算机能以可视化展示数学模型
计算机在对数学模型进行模拟后，可通过连接信息输出设备，在屏幕上对数学模型的图像甚至声音等结果进行展示，让数学模型研究人员更好地获得数学建模的数据，更直观地观察数学模型在运行计算后的结果，提高结果信息的传递效率。这是计算机技术在数学建模中应用非常关键的一个优势，在复杂的问题简化的同时让不易理解的结果更直观地展示，方便研究人员的同时降低使用者的技术要求；
2.3计算机软件使用便捷
在设计计算机软件的运行程序时，研究人员在软件的智能化上花费许多的精力，程序通常可自动对模型进行分析和检测，保证检测结果准确性的同时还可把模型中逻辑不通顺的地方进行标记，方便进行修正，在修正后还可直接将修正后的运行过程直接进行展示。计算机在数学建模方面软件的智能性让越来越多的人愿意使用，促进它的发展，能帮助分析与检测模型可在很大程度上降低研究的时间成本，并提高结果的准确性；
2.4计算机技术降低数学建模过程中的资源消耗和时间成本
在对实际问题进行数学建模后，实际问题的复杂性让数学模型在运行时需不断地调整，调整过程需进行不断地实验来确定调整的正确与否。在计算机技术应用于数学建模过程以前，需耗费大量的人力、物力来完成这一过程，过于复杂的模型不仅不能及时得到答案，还极大程度上消磨研究人员的意志力。计算机技术的强大计算能力引进数学建模，让数学建模的模拟过程变得便捷，快速，降低数学建模的成本、保证数学建模的效率。
3计算机技术在数学建模中的具体应用
3.1数学处理
数学建模在使用计算机技术来解决数学问题时，会用到很多软件诸如：MATLAB、Mathematica、Maple等。这些软件都有不同的应用环境和用法，为不同数学建模的结果导出提供高效率、高精度的运算。例如MATLAB软件，它能同时满足数值计算、矩阵计算、画图、建模等需求，十分常见于自然科学领域的研究过程，属于最通用的数学建模计算机软件；Mathematica软件相较于MATLAB的运行逻辑更为先进、优秀，它的运行由前端系统和核心系统两个系统控制，它偏向于运算符号和根据模型绘制图形，可直观地观察出数学模型的形态，是在数学建模中常用的数学软件。例如函数可用Mathematica软件绘制出如图2的函数图像，在软件中输入f[x]：Integrate[Cos[Pit^2/2]，{t，o，x}]就可直接运行，并在显示器上看到函数图像；
3.2统计分析
需要进行数学建模的实际问题中很大一部分是数学的统计学问题，通常对大量数据进行统计时会用到SPSS。SPSS有查询数据分析各种信息的功能，还能保存在处理工作过程中的相关数据，应用范围非常广泛：因子研究、回归研究、类别和定义研究、非参数检验、数据研究分析、类别和定义的研究等。例如，在产品销售量与价格、广告成本、生产成本等因素间的关系进行研究时，可使用SPSS8.0进行回归相关分析，建立销售量和影响因素间的数学回归模型。首先调查收集模型涉及的数据，对数据进行分析，绘制散点图，然后根据散点图进行曲线估计，估计出线性曲线、二次项曲线、立方曲线三种曲线回归数学模型，选择与数据拟合度最高的曲线模型来建立数学模型在进行求解，建立与实际问题最接近的回归数学模型。通过SPSS模拟出的残差直方图如果如图3所示，则说明正态分布的标准化残差的回归模型与调查数据的拟合度最高，所建立模型较为合理；
3.3图形绘制
数学建模所处理的对象往往是一些有着千丝万缕联系、数量庞大的数据，在建立数学模型和展示最后运行结果时都会遇到较大的困难。通常情况下，通过绘图软件就可对数据进行绘制，但如需根据数据凭空想象出一个符合的模式，这时绘图软件就不能帮助数据的处理。而PS、GeoGebra等数学建模类的软件就可满足这一条件，它们可根据数据设计适合的图形对其进行描述。这些图形绘制方面的工具可以帮助创造、完善、丰富图形，同时以更加具体、容易理解的方式对建模的内容进行展示。在数学建模中对计算机技术的使用，极大程度上提高数学模型的质量和工作效率，使其有了更广阔的应用范围，目前在这方面计算机技术是不可或缺的工具，随着数学建模的深入与不断进步。例如GeoGebra5.0中，新增一项功能———3D技术，可直接根据数学的解析式做出抛物面、椭圆和马鞍面等立体3D图像如图4所示，它是解析式和通过GeoGebra做出的图像。
4结语
数学建模在今后一定会深入渗透到各个领域，发挥它不可取代的作用。计算机技术和数学建模两者间在发展过程中是互补、互相促进的，计算机技术在数学建模中的应用让其研究开发过程更加方便、快捷，帮助数学模型在各大领域的进步和普及，这一过程也反向促进计算机技术的不断完善、发展，因此两者间的关系相辅相成。本文基于数学建模的角度，研究计算机技术的产生、发展与数学建模的关系，深入分析计算机技术在数学建模领域的不同应用，认识到计算机技术在数学建模中的重要作用。希望在未来的时间看到越来越多计算机技术的扩展，然后用到数学建模领域，帮助解决各个方面的实际问题。
参考文献
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数学建模常用模型算法范文2
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2016）19-0015-03
从某种意义上说，教学过程就是师生一起构建数学模型的过程，在这个过程中，学生必须把模型用数学语言进行表达。所谓数学语言，就是一种由数学符号、数学术语、数学图形和经过改进的自然语言组成的科学化专业语言，包括文字语言、符号语言和图表语言3种。数学语言表达就是把思考数学对象、解决数学问题的过程用数学语言表示出来，阐明自己的观点和意见。因此，数学模型的表达过程就是学生借助一种或几种数学语言把模型中的数学思想和内容表达出来的过程。模型表达常常是数学符号语言、文字语言和图表语言的优势互补和有机融合的过程，它们相互依存、相互促进。
一、模型的数学语言表达意义
1. 落实课程标准的需要
随着新课程标准的实施，数学建模越来越得到重视，在小学数学教学中引导学生构建模型、渗透模型思想非常重要。《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》的“课程目标”“知识技能”“数学思考”和“综合与实践”等部分提到了模型思想或数学建模。模型需要学生用数学语言进行表达，否则就成了无源之水、无本之木。
2. 密切数学与生活联系的需要
建模往往是学生用数学眼光观察周围生活，根据已有知识和生活经验，把生活原型抽象成数学模型，并用数学模型解决实际问题的过程。在这个过程中，学生能充分体会如何把数学知识从生活经验中提炼出来并解决实际问题。模型表达是学生充分体验数学来源于生活，又服务于生活的关键。引导学生进行模型表达，能有效帮助学生养成把数学学习与生活密切联系起来的习惯。
3. 发展学生思维的需要
数学建模是学生通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括和推理发现数学概念、规律并加以运用的过程。数学模型表达的过程是学生充分调动原有知识和经验尝试解决新问题、同化新知识的过程。在这个过程中，学生需要积极发挥想象力、观察力和创造力，才能顺利表达数学模型。这样，模型表达过程不但能提升学生把实际问题抽象成数学问题的能力，而且能促进学生感悟模型思想、积累建模数学活动经验。
4. 促进学生问题解决的需要
经过一段时间教学后，部分学生还不能理解某些重点知识，让老师感觉非常困惑：前不久刚刚接触过，当时大家的学习情况都很好，为什么现在不能掌握呢？除了学生遗忘的原因外，主要原因是教师没有引导学生在问题解决过程中建立数学模型并加以强化。如果教师引导学生在问题解决中建构模型并关注表达，就能帮助学生真正理解并掌握所学知识，并收到事半功倍的教学效果。
二、模型的数学语言表达策略
从所映射的数学对象看，数学模型大致可以分为概念类数学模型、算法类数学模型和关系类数学模型。这些模型都可以用相同类型或不同类型的数学语言表达。引导学生用数学语言表达模型时要结合教学内容，灵活选择。
1. 概念类数学模型
所谓概念类数学模型，就是小学数学教学中出现的各种数学概念，如图形概念和四则运算概念等。数学概念是数学知识的基础，主要表现为数学语言中名词、术语和符号的准确含义。由于数学概念反映客观现实中数学关系的本质属性，因而每个数学概念都可以称之为数学模型，都是构建其他模型的基础。概念模型的构建过程通常包括感知具体对象阶段、尝试建立表象阶段、抽象本质属性阶段、语言符号表征阶段和概念内化阶段等过程。其中语言符号表征阶段就是用数学语言表达模型的阶段，学生可以尝试用不同的数学语言进行表达，并进行最优化。
用文字语言表达概念模型。方程概念是小学数学教学中比较重要的一个模型。构建方程概念模型时，教师先引导学生观察天平教学挂图，并用式子表示天平两边的关系，学生分别用50+50=100，50×2=100，x+50>100，x+50=150，
x+50100、x+50=150、
x+50100和x+50
50×2=100。那么，能不能给这些含有字母的等式取个名字？这样，学生就能水到渠成地选择文字语言概括方程的概念模型――含有字母的等式叫做方程。
用图形语言表达概念模型。小学生的数学思维以形象思维为主，抽象思维能力还比较弱。有些概念很难用符号语言或者文字语言清晰表达，需要借助图形语言才能构建、理解和掌握。如教学扇形时，学生先观察下列各图中的涂色部分，再说说它们的共同点――都是由圆的两条半径和一段曲线围成的，都有一个角，角的顶点都在圆的中心，从而初步认识扇形――各圆中的涂色部分都是扇形，再借助图形语言认识弧――图中AB两点间的曲线，从而完成扇形概念模型的构建。这样用图形语言表达扇形的概念模型简单、直观、易懂。
用符号语言表达概念模型。符号语言比较简洁，便于学生掌握。教学圆的周长时，学生先在正方形内画一个最大的圆，探究正方形的周长是圆的周长的几倍，再在圆内画一个正六边形（六边形的顶点都在圆上），探究正六边形的周长是圆的直径的几倍，最后思考圆的周长大约是直径的几倍？学生通过测量和计算，发现圆的周长总是直径的3倍多一点，从而顺利用文字语言构建出圆周率的概念模型――圆的周长和直径的比值叫做圆周率。如果用文字语言表达圆周率概念模型，并没有错误，但对学生后续构建圆的周长、圆的面积甚至圆柱、圆锥的相关模型带来麻烦。于是，教师引导学生用字母π表示圆周率模型，既简洁、又便于学生理解掌握，还为学生后续构建数学模型奠定基础。
2. 算法类数学模型
所谓算法类数学模型，就是小学数学教学中的各种运算法则、规律、性质、解方程的程序以及解决问题的一般步骤等。根据小学生的思维发展水平，算法类数学模型的提炼过程以合情推理为主，构建模型的过程通常包括：提供具体事例，由学生经过观察、探索、运算演示等发现事物间的关系或规律，经过归纳、猜测、验证，用简练、准确的数学语言表示出来，形成模型。
用文字语言表达算法模型。文字语言表达算法模型比较准确。教学分数乘法时，学生先根据乘法意义把3/10+3/10+3/10写成3/10×3，再根据同分母分数加法的计算方法算出3/10+3/10+3/10=3+3+3/10=3×3/10=9/10，发现分数乘整数的计算方法是整数和分子相乘的积作分子、分母不变，再根据10×1/2=10÷2=5和10×2/5=10÷5×2=4发现整数乘分数的计算方法是用整数和分数相乘的积作分子、分母不变，最后根据1/2×1/4和1/2×3/4的示意图中的结果是1/8和3/8，归纳出分数乘分数的算法类模型是“分数和分数相乘，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”。这里之所以用文字语言表达模型，因为其在前两个模型基础上抽象概括而成的，前两个模型用文字语言表达有助于学生直观掌握计算法则，提升运算能力。
用符号语言表达算法类模型。有的算法类模型用文字语言也能表达，但比较麻烦，甚至可能导致学生混淆。教学乘法分配律时，学生根据题目信息计算跳绳根数，有的列式（6+4）×24，有的列式6×24+4×24。经过计算，学生会发现它们的结果都是240，也就是（6+4）×24=6×24+4×24；通过观察，有的学生发现等式两边都有6、24和4三个数字，有的学生发现等式两边都有加法和乘法两种运算，等号左边先算6与4的和再算10个24、等号右边先算6个24与4个24各是多少再求和。学生写出几个类似等式后尝试概括规律：有的学生用文字表达规律“两个数的和与第三个数相乘，可以把这两个数分别与第三个数相乘后再相加”；有的学生用（+）×=×+×表示；有的学生用（X+Y）×A=X×A+Y×A表示；有的学生用（+） × ■ =×■+×■表示……最后，学生形成共识，用（a + b）×c = a×c + b×c表示乘法分配律的算法模型。学生用不同语言表达乘法分配律都正确，但符号语言表达乘法分配律模型不但简洁、清晰，而且符合约定俗成的习惯。
用图形语言表达算法类模型。符号语言虽然简洁，但有些特例用符号语言无法表达或者表达不够清晰。教学解决问题的策略（转化）时，有这样一道例题：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32，如果通分，学生也能正确计算出结果（即1/2+1/4+1/8+1/16+1/32=16/32+8/32+4/32+2/32+1/32=31/32），但如果具有相同规律的分数多了，如1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/512，通分就非常麻烦；如果学生用正方形、扇形或线段图表示单位“1”，用图形语言构建下面这样的模型，就能根据图形迅速算出结果。计算就会变得非常直观、简单。
3. 关系类数学模型
所谓关系类数学模型，就是小学数学教学中出现的表示数量之间关系的模型，包括各种几何图形的计算公式，常见的数量关系式以及基于数据分析的各种统计图表等，如路程、速度和时间的关系，总价、单价和数量的关系，工作总量、工作时间和工作效率的关系，比、分数与除法的关系以及正比例关系和反比例关系等。引导学生用数学的眼光寻找数量之间的关系，促进学生在观察、比较、归纳中自主构建关系模型并表达出来，有助于学生发展数学思维，提升数学问题解决能力。
用文字语言构建关系模型。数量关系是学生解决实际问题的“拐棍”。教学常见的数量关系时，教师先出示情境图引导学生在观察、分析、整理信息中初步认识单价，学会写和读后，根据已知条件提出问题，并在交流中认识数量和总价，再在问题解决中自主发现“数量、单价和总价”之间的关系，构建数量×单价=总价的关系模型，并举一反三地发现总价÷数量=单价以及总价÷单价=数量。简单应用模型后，学生可根据“和谐号列车每小时行260千米和李冬骑自行车每分行200米”认识速度，再根据它们各自行驶3时和8分计算路程，发现速度、时间和路程三者之间的关系是路程=速度×时间、路程÷速度=时间以及路程÷时间=速度，从而构建了三个新的数学模型。最后，教师引导学生把总价=单价×数量和路程=速度×时间用自己的方式表示，促使学生用总数=每份数×份数这个通用模型表示。这样，学生用文字语言表示数量关系模型，并认识了数量关系式与乘法意义的联系，把似乎不同的数量关系融为一体，使所学知识真正具备数学模型的价值。
用符号语言构建关系模型。有的关系模型用文字语言表达也是可以的，但用符号语言更简洁。教学分数与除法的关系时，学生先思考把1块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？（1÷4=1/4）然后思考把3块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？（3÷4=3/4）再思考把3块饼平均分给5个小朋友，每人分得多少块？（3÷5=3/5）观察这3个算式，学生很快发现被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母，商相当于分数值，并很快概括出分数与除法的关系模型――被除数÷除数=被除数/除数。如果用字母a表示被除数，用字母b表示除数，分数与除法的关系模型就可以表达成a÷b=a/b（a、b都不等于0）。这样把分数与除法的关系模型用符号语言表达出来比文字语言表达的模型更简洁。
数学建模常用模型算法范文3
关键词：数值逼近；数学建模；模型求解
数值分析主要解释了现代科学计算中使用的数值计算规则及它的基本原理，研究并求解数值问题的近似解，是数学原理与计算机以及实际问题的有机结合[1]。随着现代科技的快速发展，运用数学思想解决科学技术和工程研究领域中的现实问题，已经得到广泛重视。数学建模是数值分析联系实际的桥梁。在模型构建的过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法，如插值方法、最小二乘法、拟合法等。
一、数值分析在模型建立中的应用
在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。
以非负整数k表示时间，记xk为变量x在时刻k的取值，则称Δxk=xk+1-xk为xk的一阶差分，称Δ2xk=Δ（Δxk）=xk+2-2xk+1+xk为xk的二阶差分。类似课求出xk的n阶差分Δnxk。由k，xk，及xk的差分给出的方程称为差分方程[2]。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第k周末体重为w（k），第k周吸收热量为c（k），热量转换系数α，代谢消耗系数β，在不考虑运动情况下体重变化的模型为w（k+1）=w（k）+αc（k+1）-βw（k）[2]，k=0，1，2，…，增加运动时只需将β改为β1+β，β1由运动的形式和时间决定。
二、数值分析在模型求解中的应用
插值法和拟合法在模型求解中的应用
1.拟合法求解
在数学建模中，我们常常建立了模型，也测量了（或收集了）一些已知数据，但是模型中的某些参数是未知的，此时需要利用已知数据去确定有关参数，这个过程通常通过数据拟合来完成。最小二乘法是数据拟合的基本方法。其基本思想就是：寻找最适合的模型参数，使得由模型给出的计算数据与已知数据的整体误差最小。
假设已建立了数学模型y=f（x，c），其中，c=（c1，c2，…，cm）T是模型参数。已有一组已知数据（x1，，y1），（x2，y2），…，（xk，，yk），用最小二乘确定参数c，使e（c）=∑ki=1（yi-f（xi，c））2最小。函数f（x，c）称为数据（xi，，yi）（i=1，2，…，k）的最小二乘拟合函数。如果模型函数y=f（x，c）具有足够的可微性，则可用微分方程法解出c。最合适的c应满足必要条件e（c）cj=-2∑ki=1（yi-f（xi，c））f（xi，c）cj=0，j=1，2，…，m。
2.插值法求解
在实际问题中，我们经常会遇到求经验公式的问题，即不知道某函数y=f（x）的具体表达式，只能通过实验测量得到该函数在一些点的函数值，即已知一部分精确的函数值数据（x1，，y1），（x2，y2），…，（xk，，yk）。要求一个函数
yi=φ（xi），i=0，1，…，k，（2）
这就是插值问题。函数yi=φ（xi）称为f（x）的插值函数。xi（i=0，1，…，k）称为插值节点，式（2）称为插值条件[2]。多项式插值是最常用的插值方法，在工程计算中样条插值是非常重要的方法。
3.模型求解中的解线性方程组问题
在线性规划模型的求解过程中，常遇到线性方程组求解问题。线性方程组求解是科学计算中用的最多的，很多计算问题都归结为解线性方程组，利用计算机求解线性方程组的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是将线性方程组转化为便于求解的三角线性方程组，再求三角线性方程组，理论上直接在有限步内求得方程的精确解，但由于数值运算有舍入误差，因此实际计算求出的解仍然是近似解，仍需对解进行误差分析。直接法不适用求解n≥4的线性方程组，因此当n≥4时，可以采用迭代法进行求解。
迭代法先要构造迭代公式，它与方程求根迭代法相似，可将线性方程组改写成便于迭代的形式。迭代计算公式简单，易于编制计算程序，通常都用于解大型稀疏线性方程组。求解线性方程组的一般设计思想如下，假设建立一个线性规划模型
Ax=b
其中A=a11a12…a1na12a22…an2an1a12…ann，x=x1x2xn，b=b1b2bn，即A∈Rn×n，可将A改写为迭代的形式
x=Bx+f
并由此构造迭代法
xk+1=Bxk+f，k=0，1，2，…，
其中B∈Rn×n，称为迭代矩阵。将A按不同方式分解，就得到不同的迭代矩阵B，也就的带不同的迭代法，例如Jacobi迭代法[5]、高斯-赛德尔迭代法[5]、超松弛迭代法等。
由于计算过程中有舍入误差，为防止误差增大，就要求所使用的迭代法具有稳定性，即迭代收敛，收敛速度越快，误差越小。若x=Bx+f中，ρB
4.数值积分在模型求解中的应用
模型求解过程中可能遇到积分求解问题，用求积公式If=∫bafxdx=Fb-Fa，使定积分计算变得简单，但在实际应用中很多被积函数找不到用解析时表示的原函数，例如∫10e-x2dx，或者即使找到表达式也极其复杂。另外，当被积函数是列函数，其原函数没有意义，因此又将计算积分归结为积函数值的加权平均值。
假设a≤x0≤x1≤…≤xn≤b，则积分的计算公式[5]为∫bafxdx≈b-a∑ni=0αifxi，称其为机械求积公式，其中xi（i=0，1，2，…，n）称为求积节点，αi与f无关，称为求积系数或权数，机械求积公式是将计算积分归结为计算节点函数值的加权平均，即取∑ni=0αifxi≈fξ
得到的。由于这类公式计算极其便捷，是计算机计算积分的主要方法，构造机械求积公式就转化为求参数xi及αi的代数问题。
5.数值分析在求解微分方程中的应用
在数学建模中，所建立的模型很多时候是常微分方程或者偏微分方程，这些方程求解析解是很困难的，而且即使能够求得解析解，由于所用数据的误差得到的解也是近似值，所以大部分情况下会采取数值的方法进行求解。
三、误差分析
在数学模型中往往包含了若干参变量，这些量往往是通过观察得到的，因此也带来了误差，这种误差称为观察误差[4]。这些误差是不可避免的，所以我们只能在模型建立和模型求解中避免误差扩大。目前已经提出的误差分析方法有向前误差分析法与向后误差分析，区间分析法，及概率分析，但在实际误差估计中均不可行。不能定量的估计误差，因此在建模过程中更着重误差的定性分析，也就是算法的稳定性分析。
在误差分析中，首先要分清问题是否病态和算法是否稳定，计算时还要尽量避免误差危害。为了防止有效数字的损失，应该注意下面若干原则：一是避免用绝对值小的数作除数；二是避免数值接近相等的两个近似值相减，这样会导致有效数字严重损失；三是注意运算次序，防止“大数”吃“小数”，如多个数相加减，应按照绝对值由小到大的次序运算；四是简化步骤，减少算术运算的次数。
四、结论
随着电子计算机的迅速发展、普及以及新型数值软件的不断开发，数值分析的理论和方法无论是在高科技领域还是在传统学科领域，其作用和影响都越来越大，实际上它已成为科学工作者和工程技术人员必备的知识和工具，所以把数值分析的知识正确的应用到数学建模中去不仅是一种趋势，更是用数学的理论解决实际问题的关键。（作者单位：河南师范大学数学与信息科学学院）
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数学建模常用模型算法范文4
【关键词】云计算技术；大数据；网络异常流量检测
随着互联网的发展，网络技术广泛应用于生活中，许多公共场所布设移动WiFi接入点，为人们获取信息提供便捷条件。人们应用网络服务时将个人信息、银行账户等敏感数据存储到网络中，重要数据传递带来安全隐患造成网络安全问题突出。本文利用云计算技术对大数据下网络异常流量进行检测，并测试检测效果。
1大数据下网络异常流量检测方法研究
光纤网络利用光在玻璃纤维实现光波通信，大数据集成调度，然后通过交换机分配IP。光纤通信传输距离远，云计算环境通过波分复用技术使光强度变化，通信中受到干扰导致通信信道配置失衡，需要对云计算光纤网络大数据异常负载优化检测，提高网络通信的输出保真性[1]。云计算光纤网络中大数据异常负载检测模型研究需要提取大数据负载异常特征，实现异常负载检测。
2网络异常数据检测大数据分析平台
网络异常流量分为DDoS、NetworkScan等类型，异常流量类型可从目的IP地址、源IP地址、字节数等特征区分[2]。DDos异常流量可通过特征二四五七检测；NetworkScan异常流量可采用多个网络地址对主机端口扫描动作；FlashCrowd异常流量由异常用户对访问资源申请动作。本文以影响网络安全异常流量检测为研究内容，运用现有数据样本对建立检测模型训练，对训练后识别分析模型检验[3]。研究异常流量类型包括U2R攻击类型、Probing攻击类型等，需要对数据特征提取分析，对入侵事件进行分类[4]。应用多种入侵事件特征数据，包括离散不间断协议、离散常规行为、离散接点状态、不间断数据源到目标数据比特数、持续创建新文件个数等。为避免两种衡量标准相互干扰，需对离散数据采用连续化操作。云计算平台迅速占领市场，目前应用广泛的是Apache开源分布式平台Hadoop，Hadoop云计算平台由文件系统、分布式并行计算等部分组成[5]。MapReduce将传统数据处理任务分为多个任务，提高计算效率（见图1）。MapReduce编程核心内容是对Map函数进行特定动作定义，Map核心任务是对数据值读取，InputFormat类将输入样本转换为key/value对。发现tasktracker模块处于空闲状态，平台把相应数据Split分配到Map动作中，采用createRecordReader法读取数据信息，tasktracker处于工作状态程序进入等待。
3大数据分析模型
随着待处理数据规模剧增，单台计算机处理数据速度过于缓慢，云计算系统以Hadoop为平台基础，提高计算效率。基于Hadoop平台对网络异常流量操作，向平台提交网络流量检测请求，工程JAR包运行，通过JobClient指令把作业发送到JobTracker中，从HDFS中获取作业分类情况。JobTracker模块执行任务初始化操作，运用作业调度器可实现对任务调度动作。任务分配后进入Map阶段，所需数据在本地磁盘中进行存储，依靠计算机Java虚拟机执行实现JAR文件加载，TaskTracker对作业任务处理，需要对文件库网络流量特征测试，Map动作结果在本地计算机磁盘中存储。系统获得Map动作阶段计算结果后对网络流量分类，中间结果键值相同会与对应网络流量特征向量整合，ReduceTask模块对MapTask输出结果排序。Reduce动作完成后，操作者通过JobTracker模块获取任务运行结果参数，删除Map动作产生相应中间数据。BP神经网络用于建立网络流量检测模型，MapReduce平台具有高效计算优势，最优参数结果获得需多次反复计算优化，MapReduce平台单词不能实现神经网络计算任务，采用BP神经网络算法建立网络流量检测模型会加长计算时间。本文采用支持向量机算法建立网络流量检测模型。支持向量机以统计学理论为基础，达到经验风险最小目的，算法可实现从少数样本中获得最优统计规律。设定使用向量机泛化能力训练样本为（xi,yi），i=1，2，…，I，最优分类平面为wx+b=0，简化为s.t.yi（w⋅xi+b）-1≥0，求解问题最优决策函数f(x)=sgn[∑i=1lyiai(x⋅xi)+b]，支持向量SVM把样本x转化到特定高维空间H，对应最优决策函数处理为f(x)=sgn[∑i=1lyiaiK(x⋅xi)+b]。云计算Hadoop平台为建立网络异常流量检测模型提供便捷。MapReduce模型通过Reduce获得整体支持向量AIISVs，通过Reduce操作对SVs收集，测试操作流量先运用Map操作对测试数据子集计算，运用Reduce操作对分量结果Rs统计。
4仿真实验分析
为测试实现云计算光纤网络大数据异常负载检测应用性能，采用MATLAB7进行负载检测算法设计进行云计算光纤网络中大数据异常负载检测，数据样本长度为1024，网络传输信道均衡器阶数为24，迭代步长为0.01。采用时频分析法提取异常负载统计特征量进行大数据异常负载检测，重叠干扰得到有效抑制。采用不同方法进行负载异常检测，随着干扰信噪比增大，检测的准确性提高。所以设计的方法可以有效检测大数据中异常负载，并且输出误码率比传统方法降低。单机网络异常流量检测平台使用相同配置计算机，调取实测数据为检验训练源数据，选取典型异常流量200条数据样本用于测试训练。采用反馈率参量衡量方法好坏，表达式为precision=TP/FP+FN×100%，其中，FN为未识别动作A特征样本数量；TP为准确识别动作A特征样本数量；FP为错误识别动作A特征样本数量。提出检测方法平均准确率提高17.08%，具有较好检测性能。对提出网络异常流量检测方法进行检测耗时对比，使用提出网络异常流量检测方法耗时为常规方法的8.81%，由于使用检测方法建立在大数据云计算平台，将检测任务分配给多个子任务计算平台。使用KDDCUP99集中的数据进行网络异常流量检测分析，选取R2L攻击，Probing攻击异常流量数据用于检测分析，采用准确率参数衡量检测方法宏观评价网络流量检测识别方法：r=TP/FP+FN×100%。使用单机平台下SVM算法建立网络异常检测模型对比分析，本文研究检测模型平均识别率为68.5%，研究网络异常流量检测模型检测准确率提高28.3%。多次试验对比检测耗时，使用本文提出网络异常流量检测耗时较短。
【参考文献】
[1]林昕，吕峰，姜亚光，等.网络异常流量智能感知模型构建[J].工业技术创新，2021（3）：7-14.
[2]武海龙，武海艳.云计算光纤网络中大数据异常负载检测模型[J].激光杂志，2019（6）：207-211.
[3]农婷.大数据环境下的网络流量异常检测研究[J].科技风，2019（17）：84.
[4]马晓亮.基于Hadoop的网络异常流量分布式检测研究[D].重庆：西南大学，2019.
数学建模常用模型算法范文5
关键词：CFD方法；流体机械设计；运用分析
DOI：10.16640/ki.37-1222/t.2017.01.094
0 前言
近几年来，我国的工业化进程开展的如火如荼，工业制造业作为支撑国民经济发展的主力军受到了广泛的关注。在科技时代的影响下，各种多样化的科学技术被应用在流体机械设计中，并且发挥着重要的作用。CFD技术是现代化工业经常使用的一种手段，在汽车制造业、航空航天、造船业等领域中的应用相当广泛。除此之外，CFD技术还被使用在喷水泵、压缩机等流体机械设计当中。不管从哪一个角度看，CFD技术的应用都推动了工业领域的可持续发展。
1 CFD方法的基本概述
CFD也叫计算流体动力学，是流体力学领域中的重要组成部分，在工业机械设计中占据了关键地位。CFD是数学和计算机有机结合的产物，作为一门具有强大生命力的边缘学科，不管是在数学领域还是计算机领域，CFD方法的重要性都是无可替代的。在使用CFD技术的时候，需要依赖电子计算机作为工具，通过各种离散化的数学方法的合理利用，解决流体力学计算中的各种问题。利用先进的科学仪器模拟数值实验，根据实验数据构建虚拟模型，并且针对模型进行细致的分析与研究，从而实现利用数学知识解决流体力学实际问题的目标。常用的CFD技术软件为FLUENT。
任何流体的运动都不是随机，而是遵循一定的自然规律，所以在利用CFD方法研究流体力学的时候，也应该遵守一定的规律。常用的自然规律有质量守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律等。流体的运动非常容易受到外界因素的影响，并且在外界因素的影响下会发生一定的变化，而CFD方法的应用恰恰能够解决这些问题。CFD方法的应用是建立在数值数学和流体力学的基础上，通过先进的计算机软件进行数据分析，根据数据分析结果构建离散型数字模型，通过对模型的分析与研究来实现计算的目的[1]。
2 CFD方法在流体机械设计中的应用
2.1 CFD方法在喷水泵设计中的应用
喷水泵属于流体机械的一种，而CFD方法在流体机械设计中的应用比较广泛，所以CFD技术也能够使用在喷水泵的设计当中。喷水泵是一种输送液体水的工具，生活中常见的喷水泵有单极轴流叶轮机械，主要组成部分为静子与转子。常用的CFD技术软件为FLUENT，只要是跟流体机械设计有关的工业都可以使用FLUENT。不仅能够提升数值计算的准确性，建立更加完善的物理模型，还具备强大的处理功能，为喷水泵设计的可靠性提供了基本保障。
（1）建立模型。FLUENT软件的使用是建立在模型的基础上，所以要想充分发挥出FLUENT软件的重要作用，构建模型是非常必要的。在构建模型的时候，需要根据转子片数和静子片数进行分析，假设静子和转子都只有一个叶片，且转速为1200r/min，利用假设实验对水流流动问题进行分析，将预先设定好的数据输入到FLUENT软件当中，就可以开始建立模型了。模型构建完毕后还要适当的进行简化，简化到一定程度之后就可以进行网络划分与网格设置[2]。
（2）数值计算。喷水泵模型构建结束之后，需要根据模型进行数值计算。利用FLUENT软件中的三维单精度求解器进行分析，在三维单精度求解器中选择恰当的计算模型，然后根据所选择的标准进行函数分析，通过使用混合面来对喷水泵进行喷水实验，观察静子和转子的运动情况。另外，在模拟的过程中，还需要对外界环境进行设置，因为CFD技术在使用的时候非常容易受到外界环境因素的影响，如果不进行科学的控制，就会影响到最终的实验结果。除了外界环境以外，还要检查进口压力，当所有的条件都在相关标准的控制之下，就可以利用FLUENT软件中的3D技术对模型进行数值计算，从而描绘出比较真实的喷水泵运行模拟图[3]。
2.2 CFD方法在压缩机设计中的应用
压缩机也属于流体机械，主要用于输送压缩气体和提高气体压力。在使用CFD方法设计压缩机的时候，需要对压缩机的缸壁和活塞进行设置。缸壁用圆柱体来表示，活塞用运动壁面来表示。一般情况下，会将曲柄角度设置为180°，让活塞自下而上进行运动，一点一点对缸内气体进行压缩，当活塞压缩到一定程度的时候，或者是当曲柄角度为360°的时候，活塞又会重新回到原来的位置，但是这一次运动的曲柄角度不再是180°，而是540°。
利用CFD方法中的Gambit软件进行压缩机模型的构建，模型构建完毕后还要适当的进行简化，简化的时候要严格遵守相关的简化步骤进行，指导压缩机模型简化到一定程度之后就可以进行网络划分与网格设置。当压缩机模型建立结束之后，就要开始根据模型进行数值计算了。依然是采用FLUENT三维软件对压缩机模型进行数值计算，根据三维单精度求解器的设置进行分析，启动非稳态的求解器，确保压缩机模型数值分析的准确性与可靠性[4]。
3 结论
综上分析可知，CFD方法在流体机械设计中的应用非常普遍，是在数学领域和计算机领域的基础上进行的，本文针对喷水泵和压缩机这两种流体机械的设计进行分析，从建立模型和数值计算两个角度进行研究，充分发挥出CFD方法在流体机械设计中的重要作用，了解了CFD技术在流体机械设计中的优势。
参考文献：
[1]严庆生.CFD方法在流体机械设计中的应用[J/OL].电子制作，2013（20）12.22-23
[2]彭志威.基于计算流体力学的虹吸式流道形状优化设计[D].湖南大学，2009.
[3]刘伟.基于CFD的现代造纸机布浆技术与布浆器的研究[D].华南理工大学，2013.
数学建模常用模型算法范文6
一、数学模型的概念
数学模型是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构。这种数学结构是借助于数学概念和符号刻画出来的某种系统的纯关系结构，所以在数学模型的形成过程中，已经用了抽象分析法，可以说抽象分析法是构造数学模型的基本手段。从广义上讲，数学中的各种基本概念如实数、向量、集合等可叫做数学模型，因为它们是以各自相应的实体为背景加以抽象出来的最基本的数学概念，这种可称为原始模型。如例1：自然数1、2、3、4…n是用来描述离散型数量的模型；例2：每一个代数方程或数学公式也是一个数学模型，如ax +bx+c=0。但狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫数学模型。一般的，在应用数学中，数学模型都作狭义讲，构建数学模型的目的就是为了解决实际问题。
二、数学模型的类别
1.按照建立模型的数学方法进行分类，如初等数学模型、几何模型、规划模型等。
2.按模型的表现特性，可分为确定性模型与随机模型、静态模型与动态模型、线性模型与非线性模型、离散模型与连续模型。
3.按照建模目的分，有描述型模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
三、数学模型的缺点
1.模型的非预制性。实际问题各种各样，变化万千，这使得建模本身常常是事先没有答案的问题，在建立新的模型的过程中，甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产生。
2.模型的局限性。首先模型是现实对象简化、理想化的产物，所以一旦将模型的结论用于实际问题，那些被忽视的因素必须考虑，因此结论的通用性和精确性只是相对的。另外，由于人们认识能力和数学本身发展水平的限制，有不少实际问题很难得到有实用价值的数学模型。
四、建模的步骤
建模过程有哪些步骤与实际问题的性质、建模的目的等有关，下面我们先看两个例子：
例一：家用电器一件，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一个月，购买后一个月付款一次，再过一个月又付款一次，共12次，即购买一年后付清，若按月利率8‰，每月复利计算一次，那么每期应付款多少？
这是一道关于分期付款的实际应用题，我们要求解就必须构建数学模型。通过分析，问题体现出的等量关系为分期付款，各期所付的款及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款时所生的利息之和。因此，设每期应付款为x元，那么，到最后一次付款时，
第一期付款及所生利息之和为x×1.008 ，
第二期付款及所生利息之和为x×1.008 ，
第三期付款及所生利息之和为x×1.008 ，
……
……
第十一期付款及所生利息之和为x×1.008，
第十二期付款及所生利息之和为x，
而所购电器的现价及其利息之和为2000×1.008 ，
由此x×（1+1.008+1.008 +…1.008 ）=2000×1.008 ，
由等比数例求和公式得：
x≈175.46（元）
也就是每期应付款175.46元。
例二：关于物体冷却过程一个问题：设某物体置于气温为24℃的空气中，在时刻t=0时，物体温度为u =150℃，经过10分钟后物体温度变为u =100℃，试确定该物体温度u与时间t之间的关系并计算t=20分钟时物体的温度。
为了解决此问题就要构造一个数学模型，首先由于该问题涉及必然性现象，故要选取一个确定性数学模型。又为了反映物体冷却过程这样一个物理现象，还必须应用牛顿冷却定律：在一定温度范围内，一个物体的温度变化率恒与该物体和所在介质之温差成正比。在该问题里，物体温度u应是时间变量的连续函数，记为u=u（t）。对初始温度u 而言，温差为u -u （u 为空气介质温度）。我们又知道，应变量（函数）的变化率可用导数概念来表述，于是物体冷却过程（现实原型）的数学模型就是如下形式的微分方程：
=-k（u-u ），k为比例常数，在具体问题里可确定下来。
具体问题要求出函数关系u=u（t）的显式表示。易得
log （u-u ）=-kt+c
u-u =A•e ，其中A为常数，代入t=0时，u=u ，则u -u =Ae°=A，
u=（u -u ）e +u 这就是方程解。
有了一般模型，只要把实际问题里的具体数据一一代入即可。
100=（150-24）e +24
k=0.051
因此对具体问题有特殊模型为u=24+126e ，将t=20代入则得u（20）=24+40=64答案即为64℃。
所以我们建立数学模型的步骤可以归纳如下：
模型准备：首先要了解问题的实际情境，情况明白才能方法正确。总之，要做好建模的准备工作。
提出问题：通过恰当假设，将问题进行简化。
模型构成：根据分析对象的内在规律和适当工具，构造各个量（常量和变量）之间的等式（或不等式）关系或其它数学结构。建模时应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，这样才有利于更多的人了解和使用。
模型求解：可以采用解方程、逻辑运算、数值计算等各种传统方法，也可使用近代的数学方法如计算机技术等。
模型检验：把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。若合乎则得出结果：若不合乎实际则应重新建模，直到检验结果合乎实际为止。
四、有关数学建模能力培养的建议
在分析了数学建模的物点、过程之后，我们知道用数学模型解决实际问题首先是用数学语言表述问题，即构造模型，这就需要有广博的知识、足够的经验、丰富的想象力和敏锐的洞察力。
1.教师应努力成为数学建模的先驱者，根据教学内容和学生的实际情况提出一些问题供学生选择，如关于哥尼斯堡七桥问题；或者提供一些实际情境，引导学生提出问题，如银行的分期付款问题、公平的席位分配、传染病的随机感染、线性规划等问题。特别要鼓励学生从自己生活的世界中发现问题，提出问题。
2.数学建模可采取课题组的学习模式，教师应引导学生学会独自思考，分工合作，交流讨论，互相帮助。
3.数学建模活动中应鼓励学生使用计算机、计算器。
4.教师应指导学生完成数学建模报告，并及时给出评价，评价内容应坚持创新性、现实性、真实性、合理性、有效性，这几个方面不必追求全面，只要有一项做得好就应该予以肯定。
总之，数学建模可以看成一门艺术，艺术在某种意义下是无法归纳出几条准则或方法的，一名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指导，更需要自身实践，愿我们的教师增强建模意识，激发学生对数学建模的兴趣，为使其今后具备较高的建模能力而努力。
