数学建模实例分析范文1
关键词：高职学生；数学建模；培训方法
随着全国大学生数学建模竞赛活动的广泛开展，普通高校基本上都开设了“数学建模”这门课程，但基于高职院校培养目标的特殊性，只是在开设“应用数学”课程中，增加了少部分关于数学建模的知识，这远远不能满足高职学生全面提高能力的需要。数学建模可以促进学生理论联系实际、与所学专业知识紧密联系起来解决问题的能力，培养学生的创新意识、创造能力、团队合作意识和团队合作精神，训练人的逻辑思维和开放性思考方式，训练学生快速获取信息和资料的能力，锻炼学生快速了解和掌握新知识的技能，增强学生写作技能和排版技术。为弥补这一缺失，尤其是对基础本来就薄弱的高职学生来说，寻求课外培训方法显得尤为重要。
我们所组织的针对学生的培训，既不影响正常教学，又要达到培训目的。根据参赛需要，我们分五个步骤进行教学。第一步：教授数学建模活动的相关知识；第二步：教授数学软件的基本命令使用；第三步：教授基本的数学建模原理和方法；第四步：分析数学建模案例；第五步：实例演练。
一、数学建模活动的相关知识
主要介绍数学建模活动的发展历史、数学建模活动理论意义和实践价值、数学建模活动一系列程序、对学生培训的内容、方法及选拔学生参加决赛代表队的方案等。看似简单的知识，但对刚刚入学的高职学生来说，了解这些是非常必要的。因为他们对数学建模的概念不清晰，对参赛的意义、价值和程序不明确，对于培训内容、方法、参赛代表队的选拔等更是一无所知。对这些知识了解是否深入，直接影响所有参训学生能否主动学习、坚持培训，直至参加决赛。
二、教授数学软件的基本命令使用
我们选用MATLAB软件，它的全称是Matrix Laboratory，意思是矩阵实验室，它是以矩阵运算为基础的新一代程序语言。与Fortran语言和C语言相比，MATLAB语句显得简单且明了，更加符合人们平时的思维习惯。另外，MATLAB的数据可视化功能尤为突出，能将数字结果以图形的方式表现出来，让人们一目了然。它正快速在工程计算和科学研究中得到普及和应用。这一部分知识的学习，以学生自主学习为主，以教师指导为辅，学生会比较容易掌握。
三、教授基本的数学建模原理和方法
这一部分知识的讲授主要靠教师选择相对较易理解且实用的数学建模原理，如数学建模概述、初等数学方法建模原理、插值与拟合的原理、数理统计方法建模原理、微分方程方法建模原理等。要想使高职学生在较短时间内掌握上述理论知识，难度是相当大的，但只要教师认真选择经典案例和习题，精心设计指导，忽略广度，重视深度，并把“项目教学法”与“研究型课型”进行有机结合，教学目标不难实现。
在完成上述目标的同时，让学生熟练掌握建立数学模型的步骤：实际问题―理想化问题―寻找变量关系―建立数学模型―纯数学问题―求解数学模型―结果是否合理，若结果不理想，再重新理想化，直至得到理想结果，问题获得解决。并抽象出“数学建模五步法”，即搞清实际问题，建立数学模型，求解数学模型，回归实际问题，寻找最优解。
精通了几个建模原理，熟练了建模的步骤，为下面进行数学建模案例分析和实例演练奠定坚实基础。
四、分析数学建模案例
分析数学建模案例是全面提高建模能力和水平最关键的一步，要把所有学生共性的疑惑解决掉，这就要求分析案例时，要把全部的建模过程完全展示给学生，让学生自己找到不足之处，并加以改正。分以下两步走：
1.介绍题型
（1）实际问题背景：涉及社会、经济、管理、生活、环境、自然现象、工程技术、现代科学中出现的新问题等。这些问题都是确切的现实问题，大多是研究了很多年的，是和国内学术环境相关的，虽然近几年的赛题体现了最新形式，但一般都是老问题新面孔。
（2）若干假设条件：只有过程、规则等定性假设，无具体定量数据；给出若干实测或统计数据；给出若干参数或图形；蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以根据自己收集或模拟产生数据。
（3）要求回答的问题：往往有几个问题且答案不是唯一，比较确定性的答案是基本答案，较容易回答，而最优答案需要更细致或更高层次的讨论才能得出。
2.经典建模案例分析
（1）选题原则：少而精。选择往年的竞赛真题，虽然可供选择的题目范围小，但对高职学生来说是够用的，选一个离散模型和一个连续模型足矣。
（2）选解原则：多多益善。筛选时，劣中选劣，优中选优。题目确定后，尽可能多地提供答案思路，经过细致筛选，选出具有代表性和典型错误的答案，个数越少越好，并选出一个最优答案，以备分析。
（3）分析原则：先劣后优。给出题目后，带领学生深入分析题目，待学生把题目搞清楚后，再依次把劣质答案、优质答案提供给学生。先对劣质答案逐个进行深入剖析，让学生以参赛队为单位找出答案的缺点，教师再做补充，最后才能给出教师所掌握的最优答案。分析后，最好也能针对不足提出建议，让学生对“没有最好，只有更好”这句话有更深刻的理解。
五、实例演练
这是巩固提高的关键一步。通过实例演练，要让学生掌握整个建模过程、熟练建模原理及方法，进一步发现本队队员在建模过程中的薄弱环节，并加以完善和提高，培养学生团队合作意识和团队合作精神，提升每个参赛队的整体建模能力。
1.搞清实际问题，提高学生数学阅读的能力
高职学生在看到题目纷繁的叙述时，会产生一种畏惧感或厌烦感，因此，要引导学生进行“数学式阅读”，使其快速、准确地掌握实际问题。指导学生通过阅读数学题目中的文字信息，用数学的方法和观点来认知、理解、汲取知识并从中提炼出已知的数量关系。如此，学生在实例演练中快速了解和掌握新知识的技能和数学阅读能力会不断提高。
2.建立数学模型，提高学生解决问题的能力
建立数学模型的过程，就是用恰当的数学语言表达已知的数量关系和待解决问题中的数与量，经过合理的分析，按所要求的逻辑关系和数量关系，列出正确的数学表达式。数学模型的建立能进一步训练学生的逻辑思维和开放性思考能力，提高学生解决问题的能力。
3.求解数学模型，提高学生数学计算的能力
解数学模型就是解纯数学问题，即解题。解题是运用数学运算、方法和数学软件的过程。解题提高了学生的计算能力和计算机语言的应用能力。
4.回归实际问题，提高学生数学应用的能力
对学生进行数学建模培训的主要目的，虽然不是要他们解决生产、生活中的实际问题，但要培养他们的数学应用意识和数学建模方法，为将来工作奠定坚实的基础。为此，将纯数学计算的结果回归到实际问题中，更能提高学生数学应用能力。
数学建模实例分析范文2
关键词： 边坡安全； 稳定性； 评价方法
中图分类号： U416.14 文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2012）07-0053-01
1 引言
边坡安全稳定问题一直是岩土工程的一个重要研究内容，而边坡稳定性评价结果的正确与否直接关系到边坡工程的成败。目前边坡稳定性评价方法多种多样，但由于边坡稳定受多方面因素影响，而各因素具有不确定性（模糊性、随机性、信息不完全性和未确定性）和复杂性，故传统的确定性分析方法如极限平衡理论用于边坡分析，结果不是十分理想。但不论是确定性分析如蒙特-卡洛模拟法、一次二阶矩法，还是不确定性方法如模糊数学、灰色理论、数量化理论和信息模型法等，其用于边坡稳定性评价的准确性与实际情况仍有差距。对于边坡稳定性评价方法的综合认识，早在1999年丁恩保教授等就已进行过分类，他们主要根据各种方法对边坡稳定性评价的量化程度为依据，分为定性分析法、定量分析法、非确定性分析法、物理模型法和现场监测分析法等五种。综合来看，目前边坡安全稳定评价方法主要集中在四个方面。
2 边坡稳定评价方法
2.1人工神经网络和遗传算法评价法
在人工神经网络方面，邢爱国等应用改进的BP神经网络模型对国道107线清连一级公路部分高危边坡进行稳定性评价研究。于子国等采用非线性理论研究边坡的变形破坏机理，建立稳定性评价模型，用遗传-神经网络从中获取稳定性评价和判断的知识进而构建系统，对各类边坡稳定状态做出评价。赵健将Kohonen神经网络应用于边坡稳定性分析，建立评价边坡稳定状态的网络模型。姜德义等结合重庆地区的地质条件和高速公路建设实践，分析影响重庆地区高速公路土质和岩质边坡稳定性的主要因素，运用人工神经网络方法，以重庆地区大量高速公路边坡实例为样本对其进行学习和预测。
综合来看，人工神经网络是依据人脑结构的基本特征发展起来的一种信息处理体系或计算体系，是对神经系统的数学抽象和粗略的逼近和模仿。研究表明，在岩土边坡工程系统分析领域内采用神经网络具有独特的优势，利用神经网络理论，可以尽可能多地将各种影响因素作为输入变量，建立这些定性或定量影响因素同边坡安全系数和变形量之间的高度非线性映射模型，然后用模型来预测和评价边坡的安全性。毛谦等将遗传算法引入三维边坡稳定分析中，用7个控制参数模拟生成滑裂面，再运用遗传算法来搜索滑坡最不利滑裂面，对于存在确定滑裂面的滑坡，将此滑裂面作为整体滑裂面计算其整体稳定安全系数，然后在整体稳定的基础上，运用遗传算法搜索滑坡内部最不利滑裂面，得出滑坡最小的稳定安全系数。
综合分析可知，遗传算法不受搜索空间限制性假设的约束（如连续性、导数存在等），克服了传统方法容易陷入局部极小值的缺点，从一群点开始搜索，能从离散的、多极值的和含有噪音的高维问题中以很大的概率找到全局最优解，且适用于大规模并行计算。
2.2范例推理评价法
在范例推理评价方面，刘沐宇等运用模糊相似优先概念，构造基于模糊相似优先的边坡范例检索模型，对每一个边坡稳定性的影响因素，分别建立边坡的目标范例与源范例之间的模糊相似优先关系，经过影响因素之间的两两比较，获得不同影响因素下边坡的目标范例与源范例之间的相似性序列，从而最终找出与目标范例最相似的源范例，实现边坡的稳定性评价。刘沐宇等建立基于神经网络的边坡范例检索模型，通过边坡范例的神经网络学习，建立当前边坡和边坡范例之间相似性计算关系，实现当前边坡的稳定性评价。高德彬等利用大量公路黄土路堑高边坡实例，构建基于范例推理的边坡稳定性预测模型，通过源范例和边坡范例之间的相似度计算，得到目标范例与源范例之间的相似性序列，找出与目标边坡范例最相似的源范例，实现黄土路堑高边坡的稳定性预测。
综合来看，范例推理方法以范例为基础，范例的获取比规则获取要容易，从而大大简化知识获取。对于边坡安全稳定性评价这样的复杂问题，其知识获取本身就是一件非常不容易的事情，故范例推理原理为边坡稳定性评价提供了一条可行的新途径。
2.3模糊综合评价法
在模糊综合评价方面，周军霞等针对影响公路边坡稳定性因素的模糊性和随机性，选择影响公路边坡稳定性的10个主要因素，并分为两个层次，利用模糊数学综合评判方法，采用专家方法和经验公式法赋予影响因素的隶属函数和隶属值，建立公路边坡稳定性分析的二级综合评判模型，得到公路边坡稳定性的预测结果。孟衡采用判断矩阵分析法确定评价因子的权重，用二级模糊评判对某工程实例进行计算分析，结果表明用该法确定权重简便，亦能较好反映边坡所处状态。欧国林等运用模糊数学方法提出模糊稳定系数的概念和描述方法，建立路基边坡稳定性分析的模糊综合评价模型，通过确定个体因素等级标准和权重得出模糊稳定系数，使路基边坡稳定分析更接近客观实际。
总体来看，模糊综合评价方法为多变量、多因素影响的边坡稳定性分析提供了一种行之有效的手段，用隶属函数代替确定论中非此即彼的特征函数来描述具有模糊性的影响因素，用模糊变换原理实现多因素、多层次的边坡稳定性分析与评价。其不足之处在于相关因素及各因素边界值的不易确定以及在隶属函数的确定和因素权重的分配上均含有相当多的人为主观因素。
2.4灰色系统评价法
在灰色系统评价方面，魏星等将复杂岩体边坡系统视为一个灰色系统，在综合分析岩体边坡影响因素基础上，采用表征边坡岩体稳定性的复合指标作为评判其稳定性的因素，给出一种基于复合指标的边坡岩体稳定性灰色系统类比预测模型。赵静波等提出以控制因素变化的阶段性来划分时间数据序列，建立阶段时间序列灰色预测模型，对边坡的发展变化情况进行预测。王利等提出一种基于卡尔曼滤波的GM预测模型，即先用卡尔曼滤波法对原始变形监测数据进行滤波处理，再建立GM模型进行灰色预测。何习平等针对单点模型背景值取值方法的不足，提出一种动态定权方法，建立加权多点灰色预测模型。
总体来讲，利用灰色理论分析方法，可在不完全的信息中，通过一定的数据处理，找出它们的关联性，确定边坡稳定性各影响因素的影响程度，进而利用多因素叠加分析评估边坡的稳定性。
参考文献：
数学建模实例分析范文3
一、回顾近年中考，揽函数建模概况
广东省现行的初中毕业生学业考试功能之一就是对教师专业水平、教学质量进行评估。认真分析中考题所涉及的数学思想、解决问题方法等诸多问题，能让我们一线教师更深层次地领悟新课标理念，调整教学策略，在实际工作中少走弯路，提高课堂教学质效。笔者以近5年广东7个地市中考数学试题为例进行统计分析，发现涉及函数建模的试题如下表：
分析发现，函数建模问题在中考中频频出现，特别是几何关系建模问题，已经成为重点考察的数学思想之一，所占分值居高不下，是名符其实的高频考点。可以说，这充分体现了新课标关于函数模型在解决实际问题中的应用理念。
二、剖析建模试题，厘常见问题类型
虽然各地中考中函数建模问题所涉及的现实背景有所不相同，各具新意，但考察的范围主要集中在解决实际问题和综合运用知识能力两个重分值板块中。在近几年全国各地的中考中，涉及函数建模的试题主要有以下几种类型：
类型一：从恒等关系出发，在变量之间寻求建模
函数是刻画现实世界中数量变化规律的数学模型。在实际问题中，数量之间虽然存在着变化，但不是杂乱无章的变，是有序的变、有规律的变，且在变中相互牵制。变量间的这些矛盾完全可以通过某种恒等关系来体现，所以从恒等关系出发分析问题，就一定能找出其蕴含的函数模型。
例1（2011·黄冈）今年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱用水15万吨，乙地13万吨。现从A、B两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱。从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米。
（1）设从A水库调往甲地的水量为x万吨，完成下表：
（2）请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小。（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨·千米）
分析：题中的恒等关系式有：
A水库运往甲地的水的吨数+A水库运往乙地的水的吨数=14吨；
B水库运往甲地的水的吨数+B水库运往乙地的水的吨数=14吨；
A水库运往甲地的水的吨数+B水库运往甲地的水的吨数=15吨；
A水库运往乙地的水的吨数+B水库运往乙地的水的吨数=13吨。
填表得：
根据“总调运量=A水库运往甲地的调运量+ A水库运往乙地的调运量+B水库运往甲地的调运量+ B水库运往乙地的调运量”，得：y=50x+30（14—x）+60（15—x）+ 45（x—1）=5x+1275（1≤x≤14）。根据一次函数的性质，当k>0时，y随x的增大而增大，所以当x=1时，y=1280为函数的最小值。
从上述例题可以看出，解决该类型问题的关键是：审清题意，抓住主要因素，舍弃次要因素，简化问题，找准各变量间的恒等关系从而建立数学模型，再运用函数知识解决实际问题。
类型二：从表象特征入手，在图像迁徙中建模
图像能客观而直接在反映事物变化的趋势，试题信息以图像的形式呈现是近年中考试卷中出镜率最高的一类。初中阶段要求掌握的一次函数、二次函数、反比例函数图像分别对应直线、抛物线、双曲线等图像。
例2（2010·达州）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO。在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降。如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
从上述例题可以看出，若题目信息以图象形式呈现，可直接根据图象类型设出对应的函数解析式，再利用图象中点的信息确定系数，最后回到运用函数知识解决实际问题上来。
类型三：从表格数据切入，在信息变化中建模
表格的优势是能准确反映变量间的对应关系及变化的趋势。中考试题中以表格形式呈现题目信息的实际问题也比较常见。
例3（2005·临沂）某厂从2005年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：
认真分析表中数据，投入技改资金（万元）与产品成本（元/件）存在某种变化规律，按照这种变化规律，若2009年已投入技改资金5万元。
从上述例题可以看出，每组对应值的乘积是一个定值，这类实际问题符合反比例函数特性，可建模为反比例函数解决。而很多问题可能不具备这种特性，则需要通过图象来确定，以每组对应值为有序实数对描点、连线，得到函数图象，再根据图象特征观察、尝试、检验尽可能小误差地建立恰当的函数模型。
在对解决实际问题能力的考查中，建模一次函数的题材较多，这与一次函数、一元一次方程及一元一次不等式之间可以相互转化、紧密联系分不开，知识难度适中，适合多向考查，这不但是命题专家关注的的重点地带，也应是我们一线教师必须突破的堡垒。
类型四：从几何关系入手，在综合运用中建模
中考中的压轴题往往是拉开考生分数差距，以利于高一级学校选拔优秀学生的最后一道屏障。压轴题具有涉及范围广、知识点多的特点，代数知识与几何知识的有机结合是这类试题的亮点之一，更是试题难点所在。因此，对考生综合能力的要求也就更高。
例 4（2009年广东）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
从上述例题可以看出，这类试题可依据面积公式、相似图形比例关系等先建立几何元素间的二次函数模型，再通过二次函数的最值性求取几何图形中面积、线段的最大值或最小值。这是中考的重要考点，在试卷中居有不可撼动的地位。
通过对近年各地中考中出现的函数模型试题类型的分析，我们可以清楚地看到：运用函数建模思想能解决越来越多与人们生产、生活相关的问题——考试与生产、生活越来越近。因此，在日常教学中我们一线教师应有责任、有意识帮助学生树立基本的数学思想，以严谨的思维、科学的方法、有效的策略助学生在学习的道路上越走越顺畅，越走越高远。
三、传授方法步骤，浸建模思想意识
新课程课标准用建模思想对数学教学提出的要求，实际上反映了时代对培养学生应用意识和创新意识要求的增强。中考对课程标准贯彻的力度是有目共睹的，所以在课堂教学中更应高度重视渗透建模思想，培养学生的建模能力。
1. 学以致用申明建模意义，激发学生求知欲。传统的数学教学较注重学生运算能力、逻辑思维能力，缺乏对数学思想、应用意识的培养，这在无形之中把数学与生活隔离开来。学生是为了“学数学”而学数学，感受不到数学的应用价值所在。在日常教学中渗透函数建模思想和方法，不仅帮助学生更好地理解、掌握了数学基本知识，更能让学生体会到数学在实际生活中的应用价值所在，明确学习不仅仅是为了考试，树立正确的数学观和学以致用的学习理念，激发学习数学的兴趣。其次，函数建模思想是一种重要的数学思想，初中数学教学阶段逐步渗透数学思想方法，符合学生的认知规律，有助于提升学生的数学能力和素质。
2. 日常渗透奠基建模思想，提高学生创造力。要使学生表现出良好的函数建模思想和能力，在日常教学中利用各种契机渗透建模理念：①抓住概念教学契机。课本上各种函数概念的引入都是从实际问题开始的，利用好引入素材，让学生体会数学知识来源的生活性。②抓住例题教学契机。教材中涉及函数应用的范例，为实际问题“数学化”提供了丰富的材料和最基本的实例，所以抓住课本素材贯彻建模意识和方法。③抓住练习的契机。习题充分挖掘课本或生活中时代感强的题材，强化学生思维动机，激发学习兴趣，通过建模解决实际问题来体验建模思想的实用价值，逐步提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，进一步开发学生的创造潜能。
3. 师生互动达成建模共识，搭建学生智慧桥。培养学生的建模能力，首先要帮助学生掌握扎实的基础知识和基本技能。如，初中四种函数的解析式、性质及其图像特征等知识必须牢固掌握。其次，教师要教给学生建模的方法。建模的一般步骤为：第一步：模型准备，分析实际问题蕴含的内在规律，领悟其内在的数学本质。第二步：模型假设，对问题进行必要的简化，用精确的语言提出一些恰当的假设。第三步：模型建立，在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系即数学模型。第四步：求解，运用数学工具对模型求解。第五步：模型分析，对求解的结果进行检验，将结果“翻译”回实际问题中去，检验其合理性，预测一些未知的现象，并能被实践所证明。教学中通过教师引导、学生自主探究，逐步熟悉、掌握函数建模的步骤和方法，把实际问题逐步转化为构建模型所需的基本要素。
4. 排除建模障碍，提升学生学习力。教学实践发现，学生顺利掌握建模方法仍有一定的难度，首先体现在文字理解能力差，不能准确把握文字信息，将生活语言转化为数学语言。其次，不能准确领悟变量间的恒等关系，对建立何种函数模型缺乏目标性。综合题型中，学生对多个知识的融会贯通、综合运用能力不足。所以，教师在准备教学的过程中不仅要做知识层面的准备，更需先备学生，预见到学生可能会存在的疑惑和难点。只有帮助学生掌握方法、提升能力，才能使学生解决建模问题的能力大大提高。
在近年的教学工作中，我对函数建模问题的处理坚持理念引导为先，层层落实，扎实推进。学生对函数建模知识的学习由懵懂到清晰、从混乱到有序、从无需到渴望，对函数知识的掌握和应用得心应手。进入初三综合总复习阶段，只要稍作点拨，学生对建立函数模型解决实际问题这一数学思想就会领悟得更透彻，所以中考中得分率非常高。
参考文献：
[1]初中数学课程标准[Z].2011版.
[2]翟爱国.2009年中考应用问题中的模型构建[J].中国数学教育，2010，（7—8）.
[3]朱道元等编著.数学建模案例精选[M].北京：科学出版社，2003.
数学建模实例分析范文4
本文对现有的主要预测预报方法作总结分析以后，详细阐明了时间序列的基本思想、几种常见的时间序列模型以及时间序列的参数估计；利用自相关函数对模型进行分析和判定，对不同阶数ARMA模型的建立然后通过实际应用进行比较，确定出一种精度相对高、原理简单的方法进行建模，从而进行分析和预报。
关键词 ：ARMA，时间序列，最小二乘法，变形分析，预报
中图分类号：O141文献标识码： A
1研究的目的意义
近几十年来, 我国各种工程建筑物的兴建, 从施工开始到竣工, 以及建成后的整个运营期间都需要不断地进行变形监测。变形监测的目的和意义不仅仅是描述动力学现象, 更重要的是要对变形观测的数据进行正确的处理, 建立合理的模型, 对变形发生的值作出准确的预报, 从而减少事故的发生, 保证安全。
时间序列是一种动态数据处理方法。建筑物动态变形模型的辨识―变形分析正是基于时间序列的建模问题展开。
2国内外研究现状
变形分析最早应用于大坝的安全监测，真正的发展则是从上世纪 60 年代系统地讨论变形监测数据的数学模型开始的。建筑物变形分析与预报模型是很丰富的，目前各国专家学者对变形观测数据处理都做了深入的研究，形成了一套较为成熟的理论体系，如回归模型、滤波模型、数据系列模型等。近年来，多种建筑物变形分析与预报模型相继提出，除采用各种不同的数学模型外，系统论、控制论、信息论等系统科学的理论思想也逐步引入进来，国内外资料分析工作也向纵深发展。现在国内外开发出的软件较多，为数据处理和分析提供了更多的便利，目前国内的处理软件有平面的和高程的平差软件，三维平差和拟稳平差的软件等等。
常用方法：回归分析、卡尔曼滤波、灰色理论 、人工神经网络 、小波分析 、时序分析等。
3时间序列模型及ARMA模型特点
时间序列模型是动态模型，它对动态数据具有外延特性，因而由时间序列模型所获得的统计特性比回归分析法、卡尔曼法等所获得的统计特性要精确。与回归模型只能描述随机变量与其他变量之间的相关关系相比，时间序列模型还能描述时间序列内部的相关关系。
由于时间序列分析是建立在输出等价的基础之上，可将所观测到的时序作为系统的一维或多维的输出，而将模型所描述的等价系统视为在与输出同维的白噪声驱动下产生的输出系统，这对于变形分析来说很有益处。
它的形式较简单，只要给定阶p，q和相应的参数 ，，以及白噪声序列{}的方差 ，模型就完全确立，因此，用它对动态数据进行拟合较方便。在一定条件下，ARMA(p，q)模型与具有有理谱密度的平稳零均值序列之间，存在相互对应的关系。因此，用ARMA(p，q)来模拟具有连续谱的平稳零均值时间序列也是行之有效的。
ARMA(p，q)便于分析数据的结构和内在性质，也便于预报和控制。
4 ARMA(p，q)方法的应用及模型的建立
本文采用了最小二乘法建立了ARMA（1，1）模型和用长自回归模型计算残差法建立ARMA（n，m）。
4. 1模型预测结果
算例1：表1-1及表1-2为某大桥施工与运营过程中观测周期为2月1次推力基础上一沉降观测值及采用ARMA(3，4)、ARMA(1，1)模型预测结果。
算例2：表2-1及表2-2 为对某单位大楼从2007年10月到2008年5月的水平位移变形观测值以及采用ARMA(5，4)、ARMA(1，1)模型预测的结果，以及ARMA(3，2) 的预测结果。
表1-1表1-2
表2-1表2-2
4.2模型形式
算例1 ：ARMA（3，4）模型形式为
ARMA(1，1)模型形式为：
算例2：ARMA(5，4)模型形式为：
ARMA(1，1)模型形式为：
4.3 结果分析，如表3示5 结语
利用不同阶数的ARMA模型分别对数据进行了建模分析，分析结果显示，对于不同的数据，最佳的ARMA模型的阶数是不同的，例如，算例1中的数据如果用算例2中的模型阶数将无法建模，即使可以建模，结果将不会达到高的精度，所以，不同变形监测数据，用到的模型阶数是不同的。对于相同的数据，模型的阶数将影响到数据的预测精度，如算例1中ARMA(1，1)的精度远远不如ARMA(3，2)的精度高，所以，模型的阶数越高，那么预测的精度也就越高，当然，模型的阶数不能太高以至于模型无法建立。
建筑物变形监测研究尚处于起步阶段。因此，通过监测数据采集、分析及处理，掌握建筑物的工作状态，及时发现异常现象和可能危及建筑物安全的不良因素，及时对建筑物的承载能力、稳定性及安全性做出评价，以确保建筑物在施工期和使用期的安全，是迫切需要研究的课题，也是21 世纪的研究热点。
参考文献：
[1]盖玲.时间序列建模、预报的原理与应用实例[D]，辽宁师范大学，2004年
[2]郑加柱，郭斐.变形监测数据的时间序列分析[J]，森林工程，2008年04期
数学建模实例分析范文5
目前我国社会经济快速发展，为提升核心竞争力，获得竞争优势，需要大批素质全面的具有综合职业能力，直接服务于生产一线，从事技术和管理的应用型卓越工程人才[1-3]。高等学校的根本任务是培养具有创新精神和实践能力的高素质创新人才，而开展教学改革、创新教学方法则是培养创新人才的重要举措。
随着计算机技术的发展，计算机辅助教学手段逐步完善，数值模拟以其适用性强，便于处理非均质、非线性、复杂边界诸多问题等优点，已成为分析工程实际问题不可替代的手段[4-5]。数值模拟技术作为解决工程实际问题的有效手段，已成为土木工程研究生学术研究的重要工具，因此，让学生快速掌握数值模拟方法，更好地开展科研工作是一项重要任务。土木工程学科实践性强，如何针对学科特点制定合理的数值模拟课程，培养具备较强数值计算分析和创新能力的人才，是目前土木工程专业研究生教育的重要内容。
为使学生更好地掌握数值分析软件，提高其科研水平和创新能力，我们结合实际，专门为研究生开设了土木工程分析软件与应用课程，从该课程近几年的教学实践和反馈来看，取得了较好的教学效果。
一、课程教学现状
土木工程分析软件与应用课程目前主要存在着两大问题。
（一） 课时少，任务重
该课程面临讲授课时少，讲解内容多的矛盾。目前该课程共有32学时，包括上机和理论课时，如果按照每个数值分析软件安排8学时讲授来算，那么整门课程最多能讲授4个软件。而目前学生的研究方向和研究深度各有不同，为满足学生的最大化需求，需要尽可能选择多个软件进行讲解，因此就要做好课程讲授软件的选择。
同时，教学中难以做到像本科学习PKPM或Auto CAD之类的软件，课堂上教师带领学生一步一步地操作，所以必须对课程内容进行精简和合理编排，给学生设置有效作业任务，发挥学生主动性，提高上课效率。
（二）教学手段不够丰富
同时该课程教学手段单一，教师讲台上讲解，学生下面练习的教学方法过于落后，难以满足学生的实际科研需要，也无法快速有效地运用所学的数值软件知识辅助科研。学生学习积极性不高，在其进行课题研究和科研工作过程中，存在概念不清，软件不会用的问题。
基于上述问题，我们将采取以学生为中心，以教师为引导的教学方式，教师通过教学激活知识，引起学生学习的兴趣，调动学生学习的主动性和积极性，从而将外在的知识内化为自己的知识结构，增强分析问题的能力，提高其创新意识。
二、数值模拟软件的选择与特点
目前中国石油大学（华东）土木工程专业研究生主要分为结构工程方向和岩土工程方向。根据专业特点和学生自身需求，每学期课程开始之前先对学生的研究方向和拟用数值软件进行广泛调查，在此基础上，结合近年来土木工程领域数值模拟的发展趋势，遴选土木工程中应用广泛的几种数值软件作为主要教学内容。
经过多年的教学实践，我们选择的几种数值分析软件的主要特点和适用范围如表1所示。
三、教学改革探索与实践
一门课程能取得良好的教学效果，与教?W内容的合理组织和安排，以及恰当的教学方法有密不可分的关系。为此我们从以下四个方面进行教学改革。
（一）构建“软件超市”，满足学生需要
为拓宽学生视野，尽可能满足学生的科研需求，适时选择多种土木工程常用分析软件，为研究生构建了内容丰富的“软件超市”，软件超市包括ANSYS，FLAC，ABAQUS，SAP，ADINA，COMSOL等工程数值软件，学生可结合自己的兴趣特长、研究方向及论文课题等进行针对性学习。为了提高学习效率，要求学生在上课之前对所讲软件有基本的了解。给学生讲述各种软件的特点、适用范围以及优缺点，以方便学生结合自己的课题需求选择合适的软件。
数值软件主要是计算理论的运用和数值算法的实现，要想完全掌握并熟练应用软件，必须要清楚该软件所运用的计算理论和数值算法，了解同一个问题用不同数值软件求解结果异同的原因
。如ANSYS属于有限元软件，有限元法是用较简单的问题代替复杂问题后再求解，将求解域分成有限元互连子域，对每一单元假定一个合适的近似解，利用变分原理和最小势能原理推导求解该域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。而FLAC3D属于有限差分软件，其本质是在每个节点处建立差分格式的近似方程求解。数值解不是准确解，而是近似解。许多工程问题都归结于求解偏微分方程，不同软件采用不同的方法而已，但殊途同归，最终都要收敛于精确解，这也是各种软件计算结果可以比较的基础。学生在学习过程中，可汲取各种软件的学习经验，举一反三，融会贯通。
（二）由浅入深，以基本理论为本
具备扎实的专业知识和良好的专业素养是培养高水平研究生的主要目的。研究生在学习软件过程中往往存在基本概念模糊，理论一知半解，好高骛远、急于求成等问题，教学中应强调基本概念的重要性。
在教学实践中，我们结合简单算例介绍基本理论，并注意提高学生手算的能力，通过手算和机算对比，一方面巩固学生的基本力学知识，另一方面还可以检验学生的学习效果。比如，以简单桁架结构为例对手工计算方法予以说明，进而归纳总结出计算步骤。这样一方面回顾了前面所学基础知识理论，另一方面掌握了数值软件的基本操作。从简单问题开始，由浅入深，等掌握了基本的操作命令，打好基础后，再给学生安排一定的课下操作练习进行强化。
不断强调课下实践的重要性，告诫学生不要好高骛远。切勿一开始就建立复杂模型，因为复杂模型难免出现大量错误而挫伤其学习积极性。因此，要从简单模型开始，如力学教材中的例题和课后习题，先熟悉各个操作命令，简单的问题更容易进行程序的查错和调试。只有简单模型没有问题之后，才能进行复杂模型的训练。虽然在前期可能耽误一些时间，但最终会产生事半功倍的效果。通过给学生布置任务，让学生带着问题自主学习，培养学生分析问题、解决问题的自学能力。
（三）真实赛题训练，提高团队协作能力
学习数值分析软件的目的在于应用，尤其是实践性很强的土木工程应用学科，应改变过去教师讲，学生听，师生互动少、学习效果不佳的状况。在教学过程中，我们鼓励学生以小组讨论形式，共同完成一个问题的数值模拟。每次讨论，我们都遵循“问题建模计算分析评价”的分析过程。为了激发学生的学习兴趣和主动性，做到学以致用，我们曾以山东省大学生结构设计大赛的真实赛题为任务，该赛题需要设计并制作一双竹结构高跷模型进行加载测试。在教学过程中，将学生分成若干设计小组，由每个小组设计模型方案，然后运用一到两个不同的数值分析软件完成模型建模及加载分析等内容，要求在规定的时间内完成设计作品和数值分析，并由各小组的组长在全班面前进行作品展示。期间其他各小组成员对该组作品进行打分，设计作品的成绩由学生评价与教师评价相结合给出。此项措施加深了学生对软件的认识和掌握程度，同时也提高了学生的团队协作能力，取得了不错效果。在教学实践中，我们还鼓励学生运用多个软件分析同一个问题，加深其对数值分析理论和方法的理解。
（四）案例教学，提高解决工程问题能力
本课程的主要内容是软件的学与用，其中“学”是手段，“用”是目的。课程教学要与工程实践相结合，否则学生感觉基础理论知识太过抽象，难以理解和掌握。要使学生清楚知道为什么学习本课程，习得知识可解决哪些实际问题，如何利用课程知识分析、解决工程实际问题。同时，针对个别软件前处理的不便，我们专门开发了FLAC3D前处理分析程序[6]，介绍了复杂地质建模前处理方法在岩石力学数值实验教学中的应用。
对于工科研究生来讲，学习数值分析软件最重要的就是解决工程实际问题。授课教师可结合自己的研究课题、科研项目，在教学中适当讲解一些具体工程实例，介绍自己的科研过程以及心得体会。下面简单列举几个工程实例的数值模拟教学内容。
1.大型储油罐抗震及隔震分析
储油罐是石油和天然气资源利用、再生产和供给的重要基础性设施，我们针对其抗震问题进行数值模拟的讲解。比如几何模型的建立方法、有限元网格的剖分技巧、土体与结构动力相互作用、人工边界的设置、地基材料的本构模型选择、地震波的选择与输入、罐底和基础之间的非线性接触效应等。在隔震方面，以大型LNG储罐为例，介绍预应力钢筋的建模方法、隔震夹层橡胶支座的数值建模技巧和其参数的合理选取。
2.大型土-海底沉管隧道体系的地震响应
通过此案例，介绍土-隧道摩擦接触面的单元选择，弹簧单元的施加，多层非均匀软土地基的建模，行波激励的数值模拟实现，以及动水压力的简化分析方法等。不仅让学生了解软件的应用情况，而且还穿插介绍相关的理论知识，拓宽了其知识面。
3.大型LNG储罐抗爆分析
储罐的抗爆问题难以用物理实验完成，而数值模拟则可解决该问题。以董家口港大型LNG为例，给学生讲解如何采用ANSYS软件进行建模前处理，如何利用LS-DYNA软件分析后处理方法，研究爆炸冲击荷载作用下LNG储罐的动力响应特点，并分析多种工况下罐体的变形规律和应力响应分布。
4.LNG储罐球形混凝土穹顶的热应力及裂缝分布
以山东某LNG接收站的一个16万m3大型LNG储罐钢筋混凝土穹顶为例进行数值计算。采用ADINA有限元软件建立精细化的有限元模型，模拟LNG储罐穹顶分段浇筑过程中的早期温度场分布，并将数值计算结果与现场测试结果进行对比。数值分析时考虑了混凝土徐变及龄期效应，对混凝土穹顶的温度场和应力场进行耦合计算，得到穹顶的热应力分布及裂缝发展情况。
可见数值模拟技术在替代物理实验方面具有较强的优越性，掌握好数值软件是十分必要的。在教学过程中，考虑到石油大学的特色，有侧重地讲解了特种结构的数值模拟试验技术和模拟过程。通过实际工程案例教学，让学生切实感受到数值软件强大的求解能力和成功解决问题的全过程，进而激发学习的兴趣和主动性，锻炼学生利用数值分析工具解决实际工程问题的能力。
四、教学效果
数学建模实例分析范文6
关键词：数学建模；MATLAB；数学模型；数值计算
21世纪的今天，我们生活在“大数据”时代里，数据信息隐藏于各行各业，如互联网、股市、勘探、军工、商业等，可以说我们每天都在跟数据打交道，因此高效的数据处理方式显得尤为重要。数学建模是联系实际问题与数学之间的桥梁，建模的思想与以往解决问题的思路有很大的不同，我们以往求解数学问题时，都有明确的目标和已知条件，我们只要通过合理的方法，进行多次的数学运算，便能得到问题的解析解，但在现实生活中，很多实际问题是很难得到解析解的，甚至求解的问题和结果的范围都是模糊不清的，数学建模主要就是解决这样的问题，我们以实际问题出发，根据已有的经验，对已有的数据进行相关的分析、处理，通过合理的简化，建立合适的模型，再求解模型，最终会得到结果，这种方法行之有效，在实际生活中，通过建模已经解决了大量难题，近年来，随着科技的飞速发展，很多数学软件应运而生，如MATLAB、Mathematic、Maple等，目前应用最为广泛的数学软件便是MATLAB，它是1984年由美国MathWork公司推出的商业数学软件，用于算法开发，数据可视化、数值计算的高级计算语言和交互式环境，凭借计算功能强大、操作简便的特点在数学软件中脱颖而出，使得很多人在建模中选择该软件。
为了说明MATLAB软件能够提高数学建模的效率和质量，本文将以2014年高教杯全国大学生数学竞赛A题为例，来演示MATLAB软件在数学建模中的作用，下面首先对数学建模做简要介绍。
1 数学建模简介
1.1 数学建模与数学模型
数学建模一词出现的时间并不是很长，大概可以追溯到30年前，它的出现是基于科学技术的进步，尤其近半个世纪以来，随着计算机技术的进步和发展，数学建模便应运而生，并得到迅速的发展，直到现在已经大致形成了体系，在我国，数学建模比赛也有20多年的时间了，建模参考书籍越来越多，内容越来越完备，不同的书籍对数学建模的定义虽然有所不同，但大致可以归纳位：对实际问题进行分析，做出简化假设，分析其内在规律，并运用数学符号和数学语言将规律描述出来，再用适当的数学工具，得到一个数学结构，该结构称为数学模型，建立数学模型的过程叫做数学建模。
应用数学去解决实际问题时，建立数学模型是至关重要的一步，也是比较困难的一步，建立数学模型的过程，就是把一个实际问题进行合理的简化，并对相关信息进行调查、收集、整理，分析出问题的内在规律，并用数学符号将这种隐含的规律表达出来，然后运用恰当的数学方法对其进行分析、计算，最终解决问题，这一步对建模者的数学基础要求比较高，要求建模者有较为完善的数学体系，并且还要有敏锐的想象力和洞察力，数学建模的作用越来越受到数学工程界的普遍认可，它以成为现代科技者的必备技能之一。
1.2 数学建模的一般步骤
下面结合数学建模的几个环节和数学建模实例，简要介绍MATLAB在数学建模中的一般步骤，模型准备：在建模前要了解问题的实际背景，搜索问题信息，明确求解目的，从而确定用何种数学方法和建立何种数学模型；模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，抓住问题的主要因素，对问题进行合理简化，用精确的语言提出恰当的假设；模型建立：在假设的基础上，利用合理的数学工具刻画各变量、常量之间的数学关系，建立相应的数学结构；④模型求解：利用获取的数据 和已有的数学方法，来求解上一步的数学问题，对模型的参数进行相应计算⑤模型分析：对所建立的模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析；⑥模型检验：将模型与实际情况进行比较，以此来检验模型的准确性、合理性，如果不符合实际情况需重新建立模型；⑦模型的推广：在现有的模型基础上，对模型进行更加全面的考虑，使模型更能反映实际情况。
2 建模实例
由于MATLAB软件具有很强的数据处理和数据可视化功能，同时具备有操作方便的特点，所以当把MATLAB软件运用在数学建模里时，必将提高数学建模的质量和效率，并能起到事倍功半的效果，下面以2014年高教杯全国大学生数学竞赛A题为例来说明MATLAB软件在数学建模里的重要作用。
2014年高教杯全国大学生数学竞赛题目A题是嫦娥三号软着陆轨道设计与优化问题，嫦娥三号是中国国家航天局嫦娥工程第二阶段的登月探测器，包括着陆器和玉兔号月球车，嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略问题。在卫星着路的过程中，不考虑主减速段，完全由姿态调整发动机控制水平运动的阶段为粗避障和精避障段，为了节省燃料，应尽量减少卫星在空中的悬停时间。题目中附件三、附件四分别是距月球表面2400米和100米的高程图，根据高程图中的数据信息，我们可以确定最佳的降落位置。我们可以运用MATLAB软件对于高程图的进行处理，首先用MATLAB软件软件中imread命令将其转化为矩阵形式，然后分别做出月球表面立体的三维图和等高线二维平面图，建立数值地形的不同区域，我们可以通过三维图很直观的观察到月球表面具体地形、地貌，通过等高线二维图形，我们可以清楚地看到月球表面地势高低变化成度，从而确定卫星降落地最佳地点。本文只以100米高程图作为例子演示，具体地操作程序以及输出结果如下：
g=imread（‘附件4距100m处的高程图.tif’）；
% 用imread函数读取图片信息，注意路径要以电脑中图片的实际路径为准
gg=double（g）；
% 将图片中的信息转化为数值矩阵信息以便以MATLAB软件进行后期处理
gg=gg-1/255；
% 将彩色值转为0-1的渐变值以便于观察
[x，y]=size（gg）；
% 取原图大小
[X，Y]=meshgrid（1：y，1：x）；
% 以原图大小构建网格
mesh（X，Y，gg）；
% 呈现三维地貌图
contour（X，Y，gg）；
% 呈现月球表面等高线图
grid on
3 结论
从本文数学建模实例可以看出，在建模时，当需要对图片、表格、数据进行处理时，我们可以运用MATLAB软件进行解决，MATLAB凭借其丰富的库函数和工具箱，能够非常方便的解决这些问题，并且将数据可视化，结果清晰明了，显示出其他软件无法比拟的优势，除此之外，MATLAB软件在数据分析、数值计算以及规划、预测等多方面数学问题都占有绝对的优势，因此，我们提倡将MATLAB软件引入教学中去，让更多的学生在建模前了解其相关知识，进行软件操作，这不仅能够激发学生的建模积极性，而且可以使学生掌握一项技能，同时也提高学生动手实践能。
参考文献
