数学概括范文1
1．数学研究对象本身已是概括的产物我们知道，数学的研究对象是客观世界的数量关系和空间形式。它取自于客观世界，但却不是现实中的真正原型，而是从现实世界中概括出来的数学模型－－事物中的纯数量关系和空间形式。例如自然数、点、线、面等原始概念，就是从现实世界中概括出来的。
2．数学概括具有层次性
数学概括是在概括基础上所进行的再概括，数学是从原始概念开始，在此基础上进行新的抽象，从而得到概括程度更高的新概念。在数学中往往要进行一系列地、逐级地概括，由此可得到概括水平越来越高的概念、法则和方法。这恰是数学在抽象思维方面具有相对封闭性的原因所在。正如德国数学家汉克尔的生动描述：“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏，唯独数学，每一代人都在这古老的大厦上添加一层楼。”这表明数学的发展表现为明显的概括性质：它的每一次发展都把原来的数学作为某种特例包含在新的数学中去。例如数系的扩张；中学里对三角函数的概括；从数列极限到函数极限的概括。从定理内容上也可体会出数学概括的层次性，例如数学归纳法定理。
3．数学概括用数学语言来表述
数学概括的表述使用了特殊的语言体系－－特定的符号体系－－数学语言体系。而且这种表述形式贯穿于数学概括过程的始终。我们知道，语言是思维的载体。自然语言虽然可在一定程度上来表达数学，但却不能达到完美精确的程度，因此数学工作者在自然语言的基础上创造出了数学语言－－数学有的形式化符号体系。它是人类自然语言的进一步概括。有了数学语言，数学研究的思维过程和结果就可精确简练地表出。
二、数学概括在数学学习中的作用学生的数学学习，主要表现为数学知识、数学能力和数学思维活动的学习。
而所有这些学习都是以数学概括为基础，都离不开数学概括能力的支持与辅佐。
在此仅以数学能力的学习为例。中学数学教学大纲明确指出：“通过数学教学，要培养学生具有正确迅速的运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力，从而逐步培养运用数学分析和解决实际问题的能力。”
在运算能力方面，欲达“正确迅速”目的，就需在各类运算中概括出相应的运算规律，将其归纳为一般形式。
数学概括在培养学生逻辑思维能力方面的作用也十分重要。逻辑思维是人类揭示客观世界的本质和规律的极其重要的思维活动，它几乎渗透到人类获取所有理论和新认识的每一过程，而数学则是体现逻辑最彻底的一门学科。学生在学习中遵循着数学的逻辑规律，他们从最基储最简单的数学概念出发，在这些基本概念的基础上进行概括，得到概括程度更高的新概念。例如：在初中，仅研究0°－360°间角的三角函数，到了高中，通过角概念的推广和弧度制的引入，概括出任意角三角函数，并从集合和映射的观点出发加以研究。即在数学思想方法上也采用了概括性更强的更一般的方法－－集合和映射的思想方法。由上述各例可看出，学生逻辑思维能力的形成和发展离不开数学概括，数学概括不仅影响着学生逻辑思维的形成和发展，而且决定着学生逻辑思维的水平和质量，概括水平越高，其逻辑思维的能力就越强。
数学概括范文2
一、数学概括能力的实质、构成因素及培养数学概括能力的重要性
曹才翰教授给出了概括的两种意义：“其一，指在思想上把具有相同本质特性的事物联系起来；其二，是把被研究对象的本质特性推广为范围更广的包含这个对象的本质特性。”数学概括能力是数学活动中表现出来的概括能力，即是概括数学对象、数量关系和空间形式的能力，它是一种特殊的概括能力。因为：首先，这种概括是概括基础上的再概括，比如数学中的研究对象：数、点、线、面等概念本身都是现实中概括出来的，而数学概括是对这些经过概括得到的对象的再概括：其次，数学概括进行得迅速，并且结果也很简洁。邵光华先生在其《数学思维能力结构的定量分析》一文中指出了数学概括能力主要由形成数学概念的概括能力、形成数学通则通法的概括能力和迁移概括能力三种能力因素构成，且后两种能力起主导作用，决定着总体概括水平。
1. 数学概括能力是学生学习数学的必要条件。
在数学学习中需要进行抽象和概括，只有通过逐步地从具体到抽象的概括，才能使学生真正掌握数学知识。现代教学论要求我们，不仅要学生掌握数学知识的结论形式，而且还要认识数学知识的产生过程，而这两方面的学习都依靠对数学对象、结构、关系以及各种经验的概括。教学实践告诉我们，学生掌握数学知识直接受他们抽象概括能力的制约，如果学生的抽象能力（尤其是概括）差，既不能抓住事物的本质属性，就不能正确地获得知识，这充分说明了数学概括能力是学生学习数学所必需的能力。
2. 培养学生的数学概括能力是中学数学教学的任务之一。
中学数学教学大纲明确规定：“……以逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力。”从迁移的角度来看，实际上是培养学生的正迁移能力。正迁移能力强，说明学生适应新学习情境或分析问题、解决问题的能力强，心理学家贾德认为：概括是产生学习迁移的关键，学习者只有对他的经验进行了概括，获得了一般原理，才能实现从一个学习情景到另一个学习情景的迁移，才能“举一反三”“闻一而知十”。概括的层次越高，迁移的半径越大。
二、概括的两种形式及培养数学概括能力的一般途径
概括有两种形式，即初级形式的经验的概括（感性概括）和高级形式的科学概括（理性概括）。前者是一种低级的概括形式，它是根据食物的外部特征，对不同事物进行比较，舍弃他们互不相同的特征，对他们的共同特征加以概括。而后者是通过对感性认识经验加工改造，揭示事物一般的、本质的特征与联系的过程。学生知识的获得以及能力的培养过程仅有感性的概括是不够的，还要（主要）促进学生进行理性概括，为此，教师在教学中应善于创设问题情境，实施启发式教学，从而不断提高学生的概括水平。
1. 精心设计概念教学。
精心设计数学概念形成过程的教学，让学生亲自经历由具体到抽象，概括事物本质属性的过程，以培养学生形成数学概念的概括能力。数学概念形成的整个过程大致为：对一类事物的各种刺激模式进行辨析；通过比较，对事物的外部特征进行概括，分化出各种刺激模式的属性，并通过类化，把从具体刺激模式中分化出来的属性进行比较，找出共同属性；通过抽象，提供共同本质属性的假设，并在特定情境中加以检验，以确认本质属性。把本质属性从具体刺激模式中抽象出来推广到同一类事物，概括形成概念，给出定义并用习惯的形式符号表示新概念。
2. 搞好解题教学。
引导学生概括解题规律，以培养学生形成通则通法的概括能力，且用规律解决问题，进而培养学生迁移概括能力。有些习题属于某类问题的一个特例，它具体反映了同类问题的客观规律，具有从特殊向一般开拓的功能，这类习题的教学应从习题出发，引导学生抽象概括，得出一般规律，再用于指导同类或与之有关问题的解答，以发挥其潜在功能。
数学概括范文3
一、强化数学概念教学，提高抽象概括能力
学生在数学概念的学习过程中便是一个抽象概括能力培养的过程，学生抽象概括能力的培养对其数学成绩的提高有着莫大的帮助，高中数学知识由纷繁复杂的抽象知识点组合而成，在高考中也对学生抽象逻辑思维能力进行考查。因此，在高中数学教育中，教师要重点从数学概念出发对学生的抽象概括能力进行强化，包括概念产生的背景、产生的过程等方面的教学工作。
例如，在学习“空间直线与直线间的位置关系”这一概念时，教师可从以下几个方面对学生的抽象概括能力进行培养：第一，直观感知法。教师可以引导学生进行自主实践，拿出两根笔在空中进行任意方向的摆放让学生自己感受空间直线之间位置的关系是什么样的[1]。之后，教师还需要让学生将这一抽象概念与日常生活中常见的事物联系在一起，如立交桥、电视塔和建筑物等事物，通过这些边角的对比来更进一步了解空间直线中存在的位置关系，这样不仅提高了学生的抽象概括能力，更?学生的空间想象能力得到了强化。第二，分析综合。在现实世界不同直线位置的关系和共同点进行分析综合，可以通过是否存在着公共点来判定它们是平行还是相交关系。第三，思辨认识。教师在对概念进行教学时要让学生自主组织语言对概念进行确认，从而建立空间直线的图形，并形成综合的概念。
二、课后知识点概括教学，提高学生抽象概括能力
高中知识点抽象复杂系数较高，在每一章节新的知识点教学时都会产生各种各样的问题，教师在课堂教学完毕后需要对学生课上所反映出来的问题进行总结分析，并做出具体的概括报告。值得强调的是，这里教师对教学问题的概括不仅是对课本知识点的概括，还需要帮助学生解决问题，并利用浅显易懂的方式让学生进行消化理解。
例如，教师在讲解“比较法证明不等式”的知识点时，通常情况下可以运用“作商法”“作差法”进行比较，此外，这两种方法往往也可以在抽象函数单调性知识点的证明中进行使用，但是学生在学习时很难在头脑中产生这样的思想意识。为此，教师可以很快解释清楚，并将两种思路讲授完进行归纳[2]。
1.如函数f（x+y）=f（x）?f（y）中，当x>0， f（x）
2.如函数f（x?y）=f（x）+f（y）中，当x>1， f（x）
通过上诉的概括之后，学生便对基本抽象函数的两种形式进行了掌握以及学以致用，在之后的应用中也能够让学生的抽象概括能力得到强化。
三、强化习题训练教学，提高学生抽象概括能力
数学概括范文4
在数学学习中，学生既要能抓住问题的特征，又要能自觉地排除一些非本质因素的干扰，由此及彼、由表及里地进行分析和综合的能力。还要有发现问题中条件的细微变化的能力，抓住问题的关键点和切入点，从而进行尝试和突破。然而由于数学本身的抽象性，导致一些学生理解上的偏差，因此教师在教学中要善于引导学生进行抽象概括，培养学生的抽象概括能力。学会把本质的和非本质的东西区分开，把具体问题抽象为数学问题，进而提高学生的数学能力。
一、在概括文本知识的过程中，培养学生的概括能力
教师在学完每一节课后，根据学生的反应和内容的特点，进行教后概括，这种概括不是简单总结，而是要高于课本知识。经过概括后的知识要便于学生记忆和掌握。
比如说，“用比较法证明不等式”，有时候用“作商”比较法，有时候用“作差”比较法，这种方法也常常用在抽象函数的单调性证明中，但学生不一定能很快地接受及分辨清楚。为了改善这样的情况，教师可以把这两种思路讲完后，进行总结归纳。
1、如函数f（x+y）=f（x）·f（y）中，当x＞0，f（x）＜0时，这种形式常常采取“作差”比较，且与0比较大小。
2、如函数f（xy）=f（x）+f（y）中，当x＞1，f（x）＜0时，这种形式常常采取“作商”比较，且与1比较大小。
这样概括后，学生对抽象函数的两种形式能基本掌握，并且能很好地运用它们。这种对相应知识的归纳、概括能力不仅是学习的需要，在今后的生活和工作中也是非常重要的，教师在教学中要逐步培养学生的这种归纳概括能力。
二、在“概念”和“公式”教学中，培养学生概括能力
数学公式反映了事物内部和外部的关系，是我们更好地理解事物的本质和内涵的依据，也是一个由具体到抽象的过程。在教学中教师要注意培养学生对数学概念的概括能力，这样才能使学生不仅知道概念，更重要的是怎么把具体的概念用到抽象的数学解题过程中。
比如说，学习“棱柱”的时候，可以分几个步骤：
1、先举出一些物体，如三棱镜、书本等，让学生通过观察找出这些物体的共同点（主要是线面的关系）。
2、通过抽象，提出物体本质属性的各种猜想和疑问，运用转化、举反例等方法对于题设进行证明和推断，肯定或否定某些共同属性，以确认其本质属性。
3、让学生举出实例，将上述本质属性类比推广到同类事物，概括形成棱柱的概念，并用定义表示。在这个过程中，可将零散的、杂乱的知识系统化、条理化，概括成带有规律性的结论，以促进学生概括能力的提高。
公式的应用是对学生将具体的抽象到解题中的一个应用，对公式的概括能力也是非常重要的。在教学中不免存在学生记不住公式或记住公式不会应用的现象。如在“学习三角函数”的时候，对诱导公式的记忆就使很多学生感到困难。教师可以通过分析概括，把诱导公式概括为十个字：“奇变偶不变，符号看象限”。
这样便于记忆，学生理解起来也会减少不少麻烦。又如学习排列组合、二项式定理时：加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？可以归纳为：“加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关”。
三、在类比和联想中，培养学生的抽象概括能力
数学的完整性和严密性，使得数学结论和方法都具有相关性和相似性，在课堂教学中教师要充分利用这些相关性和相似性，采用类比和联想的方法，才能让学生自己探索和发现许多新的结论或新的方法。在教学中教师常常让学生根据已有的公式、性质，类比、猜想未知的公式和性质。先类比，然后提出问题，最后给予证明。这样得出的结论不仅便于学生记忆，学生通过这些活动，不仅挖掘了自己的潜能，增强了学习的自信心，提高了学习数学的兴趣，更享受到了成功的喜悦，为今后的创造性学习打下了良好的基础。
数学概括范文5
对于小学数学概念的有效教学，不少教师都进行了探讨、归纳，形成了许多行之有效的措施，这自然值得我们借鉴。但在教学中，数学概念、原理是极其抽象概括的，要形成概念、揭示原理，把研究部分对象所得到的结论整理推广到同类全体对象，就必须在积累感性认识、掌握本质属性的基础上，及时引导学生运用完整、简洁、准确、严密的语言或公式来表达。那么，如何引导学生用准确、完整、简洁、严密的语言来理解概念呢？
1.运用填空法，培养概括的扼要性
有些概念单纯用语言表达，语言元素较多，句子较长，对小学生来说，领会和运用起来不太便利。教学时，我们可以只要求学生理解，学会用语言完整表达，教者可以抓住要害，设计填空练习，让学生突出地填写部分关键性词语，明白概念中的核心成分。
例如，教学乘法分配律时，可设计成填空的形式：“两个数的和与一个数相乘，可以先把两个加数（ ）相乘，再把两个积（ ），这就叫做乘法分配律。”学生在真正弄懂了意思的基础上，填成两个加数“各自与这个乘数相乘”也好，“分别（单独）乘这（一）个数”也好，都是不用计较的，不必强求一字不差的所谓“规范”表达。这样做，既减少了冗长的叙述，降低学生概括表达的难度，又突出其中运算方法和顺序变化这一核心内涵。教者设计的填空练习法，有利于引导学生对数学概念、规律和原理的快速理解，促进其概括能力的形成。
2.运用选词法，培养概括的准确性
语言是思维的外壳。要正确领会数学概念，叙述的语言就必须准确。在引导学生学习数学概念时，教者要十分注重引导学生像学习语文那样善于“咬文嚼字”“推敲词句”。数学教师可以通过组织对相近词多重选用的方法，来训练学生把握数学概念、法则等结语的真切含义。选词中不讲百里挑一，起码也得几者挑一，求得准确用词，培养学生概括思维的准确性。
例如，教学三角形概念，引导学生尝试揭示概念本质时，可这样板书：由三条线段（ ）成的图形，叫做三角形。让学生七嘴八舌地分别提出“组”“围”“拼”“连”等几个词，然后再让大家说说各自的理解，从中确认、选填一个合适的词。这样做，就能把三条线段的分离状态、折线状态、花束状态、不等号形的交叉状态与首尾依次相连的封闭状态相区别。这样既能准确概括，又能帮助学生学会运用概括思维中的比较、推敲，养成用词审慎，务求形象与抽象相统一的确切思考表达。
3.运用比较法，培养概括的严密性
概念的限定是很严密的，稍有疏漏，就可能偏离本来的概念而成为另一个概念。比如，正方形与长方形、平行四边形，正方体与立方体，等腰梯形与直角梯形等等。为了培养学生概括的严密性，可以把两个或几个相似的概念放在一起，引导学生填空或选词，作比较理解，加强认识。这种比较有利于学生同时掌握多个概念。
其实，选词法本质上也是比较，只不过不是比较不同的概念，而是比较提供给同一概念的不同词语。如，教学小数的性质，教师引导学生概括概念时，可以出示类似语文、美术教学的留空（布白）式板书：小数的（ ）添上或去掉“0”，小数的大小不变。让学生各自从“后面”“末尾”“中间”和“最后”等几个词中选填一个，这就是在词语的比较中使学生正确地概括和理解小数性质精确的意义，体会可以变动的“0”的确定位置，明确地否定与“末尾”相近的其他表达的具体形态，在思想上划清界限，提高概括思维的清晰程度，加强思维的严密性。
著名发展心理学教授林崇德在其所著《教育与发展》中指出：“思维过程的发展是思维过程的不断完整化、简约化和优质化的过程，即思维过程的‘完善化’过程。”小学数学概念的教学，要破除传统的“知识至上”的教学观，着眼于活化、迁移和生发学生的经验和知识，进而发展学生抽象概括思维的优质化品质，努力促成他们思维的完善化。
数学概括范文6
关键词：概念；形成；探究；问题；思维
[?] 问题的提出
数学概念是对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，它凝结着数学家的思维，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础. 高中数学课程标准指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解.因此，数学概念教学是高中数学教学之根本.
教材中概念呈现比较直接，没有过多展现概念的来龙去脉，在传统概念教学中，教师往往采用“一个定义，三项注意”的满堂灌方式授课，轻视概念建构的过程. 用解题教学代替概念教学，大大压缩了概念形成过程的教学. 这种“快餐式”概念教学，导致学生对数学概念学习重要性认识不足，主动探究意识欠缺，课堂参与度低，影响学生对概念内涵与外延的理解与掌握，阻碍知识体系的整体建构，不利于学生良好数学思维品质的形成.
[?] 数学概念教学与探究式学习
李邦河院士认为，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧. 技巧不足道也！”概念学习不仅重视知识的应用，更应该突显概念教学的过程，充分展现学生思维活动，体验数学家概括概念的心路历程，体会其中蕴涵的数学思想和方法.
“学校课程中的探究式学习界定为：学生围绕一定的问题、文本或材料，在教师的帮助和支持下，自主寻求或自主建构答案、意义、信息或理解的活动或过程.” 概念教学中，教师预先构建研究数学问题的整体框架，引导学生积极参与概念背景分析、内涵提炼、外延辨别和构建联系等探究活动，理解概念的产生背景、规定和约束条件、语言表述特点、等价叙述、内外联系及基本应用.
[?] 探究式学习在数学概念教学的应用
笔者结合高一《函数》概念教学，以“问题”引导探究式教学呈现概念感知、概括、确立、辨析、构建联系的过程，谈谈在概念教学中的一些体会.
1. 探究概念的产生，感知概念
概念的形成是一个积累渐进的过程，教学中要遵循从具体到抽象、知识循序渐进的原则，设计恰当的“先行组织者”， 提供丰富的感性材料，或根据数学概念体系的发展过程与解决实际问题的需要，抓住数学研究中出现的新问题、新矛盾，创设情景并提出渐进性问题. 学生经历具体材料的观察、操作、实验等活动，初步感知概念并形成感性认识. 比如，在引入函数的概念时，为帮助学生回顾旧知识，激活已有认知结构并进行有意义的学习，促使知识结构的整体性构建，教师可设置以下问题.
问题1：大家回忆下初中学过哪些函数模型，你是怎么理解函数定义？
问题2：结合生活经验，你能不能举出函数例子，从变量间的关系分析它为什么是函数关系？（学生间相互交流各自的观点）
问题3：分别观察下面三个例子，用初中学过的函数定义判断变量间构成函数关系吗？函数是不是都有解析式呢？
探究意图：先让学生在记忆中提取学过的具体函数模型，借助脑海中呈现的一次、二次函数及反比例函数的解析式，概括出“变量说”函数定义. 为加深学生从变量间的依赖关系角度定义函数的认识，给予足够的时间让学生寻找生活中函数的例子，表达对函数的理解. 教师呈现学生熟悉的三个实际背景材料，其中②③与学生记忆中函数表示形式不同，引起学生认知冲突，想当然认为其不是函数关系，这时教师引导学生回归定义，用定义理性判断问题，促使学生进一步领悟“在一个变化过程中，有两个变量x，y，如果对于每一个确定值x，y都有唯一确定的值与它对应”的含义，深化对函数变量间依赖关系的认识，感受函数是现实世界中重要数学模型.
2. 探究概念的内涵，体验概念形成
概括概念是概念教学中至关重要的一步，学生在感知具体事物（材料）的基础上，进一步对认识材料进行分析、比较、归纳、抽象、概括其共同属性的数学思维活动，逐步完成对概念内涵的概括. 由于数学对象的特有属性比较隐蔽，需要运用数学的知识、研究方法反复探究、交流才能获得，为引导学生概括函数的属性，帮助学生对概念有清晰的认识，可提出下列问题：
问题4：上面三个实例，函数的表示形式有何不同？它们有哪些共同特征？
问题5：根据对三个实例共同特征的归纲，你认为构成函数关系应具备哪些要素呢？
问题6：你能抽象概括出函数概念吗？如何用集合与对应的语言刻画函数？
问题7：结合三个实例，分别指出两对应数集以及对应关系是什么？
