高一函数的单调性范文1
关键词：高中数学；函数单调性；解题方法
一、函数单调性的定义
1.高中数学教材中函数单调性的定义
二、函数单调性的解题方法
函数的研究方法有很多种，一般主要采用定义研究法、导数研究法、图象研究法、复合函数研究法等对高中数学函数单调性进行研究。本文结合具体内容和例子说明了以上四种方法的应用特点，旨在为函数的研究提供更好的依据。
1.定义研究
根据对函数单调性的研究与分析， 首先，需要在单调区间内设定x1与x2两个值，其次，要对f（x1）与f（x2）进行比较，最后，通过区间的标注作出结论，判断函数的单调性。
2.导数研究
运用导数的知识可以很好地研究有关函数单调性的问题。假设 f（x）在区间 A内可导，当f'（x）=0，那么f（x）是常函数。 当f'（x）>0， f（x）为增函数； 当 f'（x）< 0，f（x）为减函数；同理可知，当 f（x）在区间 A 内可导， f（x）在 A上是减函数，必有f'（x）≤ 0。假如 f（x）在区间 A内可导，f（x）在 A上是增函数，必定有 f'（x）≥0。当我们遇到上述这类题型时，可以先采取求出其导数的方法，根据得出的导数就能够很好地研究单调性了。
3.复合函数研究
复合函数中的复合法则可以满足函数单调性的求解需求，具体的复合函数可以分为外函数与内函数两种。如果内、外函数的单调性相反，则为减函数，反之，则为增函数。
4.图象研究
学生可以利用函数基本图象，通过对图象的分析来研究函数的单调性，同时，函数图象的对称特点也能够为研究起到一定帮助，由两个函数的对称性来研究其单调性是非常有效的一个方法，需要学生加强对基础知识的掌握。
三、总结
在高中数学函数研究中，单调性是考查的一个重要内容。函数是学习数学时不能忽略的重要部分，并且很多的章节都涉及函数单调性的相关内容，如方程求解、不等式恒成立等问题。要想学好数学，就需要加强对函数单调性的解题方法研究，为数学的学习打好基础。
参考文献：
[1]孙全连.关于优秀生和普通生解决函数基本问题策略的比较[D].上海：华东师范大学，2006.
[2]朱雁萍.职高学生“指数函数与对数函数”学习中的认知错误分析及教学对策研究[D].上海：上海师范大学，2013.
[3]魏启萌.高一教师解决初高中数学教学衔接问题的案例分析[D].天津：天津师范大学，2014.
高一函数的单调性范文2
高中阶段，函数单调性的研究主要有四种方法：定义研究、图象研究、复合函数研究、导数研究。而这几年的高考大题基本上考的都是利用导数研究函数的单调性。下面我就结合自己多年的教学经验，谈一下自己对利用导数研究函数单调性的粗浅认识。
用导数知识研究函数单调性的理论依据是：设函数f（x）在某个区间D内可导，如果f ′（x）>0，则f（x）为增函数；如果f ′（x）
有了上述理论依据，对可导函数单调性的研究便可转化为简单的解不等式f ′（x）>0或f ′（x）
典型例题：
例1 函数f（x）=ex+■，证明函数f（x）在（0，+∞）上为增函数。
证明：当x∈（0，+∞）时，f ′（x）=ex+■′=ex-■=■>0，
所以函数f（x）在（0，+∞）上为增函数。
例2 研究函数f（x）=x+■的单调性。
解：显然有x≠0，f ′（x）=1-■=■，
解不等式f ′（x）>0，可得：x>1或x
解不等式f ′（x）
又函数f（x）=x+■在x=-1及x=1处连续，
所以函数f（x）=x+■在［1，+∞）递增；在（-∞，-1］递增；在［-1，0）递减；在（0，1］递减。
例3 函数f（x）=x3+ax2+x+1（a∈R），若函数f（x）在区间-■，-■上单调递减，求a的取值范围。
解：f ′（x）=3x2+2ax+1，若函数f（x）在区间-■，-■上单调递减，则当x∈-■，-■时，f ′（x）≤0恒成立，
所以只需f ′-■？摇≤0f ′-■？摇≤0？圯a≥■a≥2？圯a≥2，
所以a≥2即可。
例4 设函数f（x）=■-ax，其中a>0，求a的范围，使函数f（x）在区间［0，+∞）上是单调函数。
分析：要使f（x）在［0，+∞）上是单调函数，只需x≥0时，f ′（x）≥0恒成立，或f ′（x）≤0恒成立即可。
解：f′（x）=■-a，当x≥0时，0≤■
（1）若f（x）在［0，+∞）上单调递增，则当x≥0时，f′（x）≥0恒成立，即a≤■恒成立，又此时0≤■0矛盾，舍去。
（2）若f（x）在［0，+∞）上单调递减，则当x≥0时，f ′（x）≤0恒成立，即a≥■恒成立，又此时0≤■
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关于复合函数的单调区间的求解问题，我们应分两种情况去考虑，划分的原则是看复合函数的外函数的单调性是否唯一，下面我们以具体的实例首先说明外函数的单调性不唯一的复合函数单调区间的求解方法。
例：求函数的单调区间。
解：原函数是由及复合而成的复合函数，外函数在上是增函数，在上是减函数，它在定义域R上的单调性不唯一，又在上是增函数，在[0，+∞）上是减函数
当时，，即＜1，x＞1或x＜-1；
当时，即≥1，-1≤x≤1
现在就可以利用数轴求复合函数的单调区间了。
具体的操作方法是：
1、把内、外函数的单调区间分别在数轴的上方和下方表示出来，并在递减区间内划，在递增区间内划上。
2、过数轴上区间端点值作x轴的垂线（虚线），找出内、外函数的共有区间，按"同增异减"的原则确定出复合函数的单调性:
如图:
由上图可知函数在区间上是增函数在区间、上是增函数,在区间[-1,0]、[1,+∞)上是减函数。
当复合函数的外函数的单调性唯一时，这时外函数的单调区间就是它的定义域，因此我们就没有必要求外函数的单调区间，只要求出函数的定义域和内函数的单调区间就可以，然后利用数轴就可以得出复合函数的单调区间。
例如求函数的单调区间：
解：函数可以看成由内函数与外函数复合而成，因为外函数在上单调递减，所以外函数的单调性唯一，这时外函数在函数定义域
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关键词：函数；定义域；重要性
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）09-033-01
函数是高中数学的重点和难点，它贯穿于整个高中数学教学的始终。而函数的定义域是构成函数的两大要素之一，它似乎是非常简单的，然而在解决问题中稍不留神，常常会引人走进误区。因此，在解函数题中要特别强调定义域对解题结论的作用与影响。
一、函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：
例1：某单位计划用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 的角，再焊接而成。求该容器的体积V与容器高x的函数关系式？
解：设容器的高为x米，则容器底的宽为(48－2x)米，长为(90－2x)米。
由题意得：
故函数关系式为：．
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量 的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量 24时，V ，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 的范围：
即：函数关系式为：（ ）
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若忽略这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
二、函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域将会导致最值的错误。如：
三、函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：
例2：求函数 的值域．
错解：令
故所求的函数值域是 ．
剖析：经换元后，应有 ，而函数 在[0,+∞)上是增函数，
所以当t=0时，ymin= ．故所求的函数值域是[ ，+∞）．
以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。
四、函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：
例3：指出函数 的单调区间．
解：因为对数函数的真数要大于0，所应先求出函数的定义域：
函数定义域为 ．
令 ，知在 上时，u为减函数， 在 上时u为增函数。
又 ．
函数 在 上是减函数，在 上是增函数。
决即函数 的单调递增区间 ，单调递减区间是 。
如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。
五、函数奇偶性与定义域
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【关键词】高中数学；函数；导数
引言
数学作为一门科学，在许多领域发挥着重要作用，同时也在高中教育中占据核心地位。导数是微积分的核心内容之一，是高中数学的重要组成部分，是每一年的高考重点关注的对象，占据分数颇大。但是，在具体教学过程中，许多高中生因为不同因素导致学习遭遇困境，尤其是在函数导数部分学习极为坎坷，因此，本文就高中数学中的函数导数部分内容，实例分析解题技巧和策略。
一、利用导数研究函数的单调性和极值
函数的单调性即该函数在一定范围的图象曲线的走向，若函 数图象曲线向上，则为单调递增，反之则为单调递减。一个函数的单调性与其导数联系紧密，定理如下：在区间（a，b）内，若f′（x）>0，那么函数y=f（x）在该区间内单调递增；若若f′（x）
例1：已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4
（1）求函数y=f（x）的表达式
（2）求函数y=f（x）的单调区间和极值
解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c得f′（x）=3x2+2ax+b
由题意得x=1和x=-1是f′（x）的根，得a=0，b=-3
由f（-2）=-4得c=-2
所以f（x）=x3-3x-2
（2）f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）
当x0
当x=-1时，f′（x）=0
当-1
当x=1时，f′（x）=0
当x>1时，f′（x）>0
所以，f（x）在区间[-∞，-1]上为增函数；在[-1，1]上是减函数；在[1，+∞]上是增函数。函数f（x）的极大值是f（-1）=0，极小值是f（1）=-4。
在例1中，第二个问题即求函数的单调区间以及极值，我们可以很容易从例子中看出，当函数的导数在某一区间内大于零时，函数在这个区间内单调递增；相应的，当函数的导数在某已区间内小于零时，函数在这个区间单调递减。因此，在解题过程中， 当学生遇到求函数的单调性以及极值的时候，可以利用求导的方式求出该函数的导数，通过导数判断其单调性和极值。
二、利用导数求函数的最值
函数的极小值和极大值与函数的最大值和最小值是两个不同的概念。极小或极大值都是反映函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性|。也就是说，极小值和极大值不能代表函数的最大值和最小值。但是在求函数的最大值和最小值的过程中，却需要借助极小值和极大值。
例2：求f（x）=y=x4-8x2+2在[-1，3]上的最值
解：由y=x4-8x2+2得y′=4x3-16x=4x（x-2）（x+2）
令y′=0，得x=0，x=2，x=-2
代入得F（0）=2，f（2）=-14，f（-1）=-5，f（3）=11
由于x=-2不在区间[-1，3]中，因此不予考虑。
所以f（x）在区间[-1，3]中的最小值为f（2）=-14，最大值为f（3）=11。
一般情况下，求某一个函数在某区间内的最值，可先求出该函数在区间内的极值，再将求出的各极值与该函数在端点处的函数值比较，最大的则为函数的最大值，最小的则为函数的最小值。
三、构造函数证明不等式
构造函数简单来说就是一种解题方法，是基于具体数学题目，构造符合题目的函数模型，并通过该函数模型解决数学题目的方法。在解题过程中通过构造函数方法可以有效得出答案，如应用于证明不等式中。
例3：已知函数f（x）=x2/2-ax+（a-1）Rx，a>1.
（1）略
（2）证明；若a-1。
解：f'（x）=xa+（a-1）/x=（x2-ax+a-1）/x=（x-1）（x+1-a）/x
g（x）=f（x）+x=x2/2-ax+（a-1）Rx+x
g'（x）=x-（a-1）+（a-1）/x≥2-（a-1）=1-（-1）2
1
g'（x）>0，即g（x）在（0，+∞）单调递增
当x1>x2>0时，g（x1）-g（x2）>0
故f（x1）-f（x2）/x1-x2>-1
当0
例3中，如果只是按照常规思路进行解题，难度较大，但是通过构造函数g（x）解题，很大程度上降低了解题难度。
四、注意事项――定义域
在利用导数研究函数的过程中， 无论是求极值还是最值，亦或是求函数的单调区间或者研究函数的单调性，一定要注意申清题目，看清楚题目中的定义域。搞混、弄错或者直接忽略定义域，都将导致学生解题错误。因此，同学们在解题之前应认真审题，严格按照题目要求进行解题，不得混淆题目意思，不得马虎了事。
结束语
导数是微积分的核心内容，是高中数学不可或缺的内容体系。导数作为一种工具，是高中铸错知识的交汇点，在解决函数等问题时发挥了非常优越的作用，是研究函数、解决函数问题的最主要、最有效的工具[2]。因此，在高中数学教学中，应重视导数的教学，通过例题讲解将导数以及相关概念与具体解题过程联系起来，充分发挥导数的工具性作用，从而改善学生学习函数时遭遇的困境，提高学生学习效果。
【参考文献】
高一函数的单调性范文6
【关键词】函数；基本性质；教材分析
函数从初中到高中都是十分重要的内容，在高中阶段中很多内容中均有体现，必修一中的指数函数，对数函数及幂函数。必修四中的三角函数，必修五中的数列，选修中的导数均有函数的影子，可见函数@部分内容十分重要。
一、教材编排方式分析
1.引入
以三幅函数图像引入，教材第27页是函数基本性质总引入，函数的基本性质有3方面的内容：单调性、最值、奇偶性，编者的意图是使用数形结合的方法，从观察具体函数图像特征入手而且一图三用。第一个图是R上的增函数，无最值，并且是奇函数。第二个图像有多个单调区间，有最大值，无最小值，是非奇非偶函数。第三个图像，有最小值无最大值，有多个单调区间且图像关于y轴对称，是偶函数，这几幅图编者的意图很明显把函数的基本性质都放在其中，讲函数单调性最大最小值及后面函数的奇偶性均可用这几个函数图像进行观察，从直观上感受函数的基本性质。
本节课的引入用学生在初中已学过的一次函数二次函数来感受上升和下降，一次函数较简单，编者一笔带过，在二次函数上仔细分析了，编者使用二次函数的意图是：二次函数是初中已经接触的函数，它比指数函数，对数函数要简单，而且是中学阶段最重要的函数，在函数的概念和性质的学习中，以它为主要模型贯穿始终，不仅使学生建立起完善的二次函数的知识结构，而且也使抽象的函数概念学习有了一个适当的具体函数作支撑。从而有效的降低函数学习的困难，提高学习的质量。
2.单调性的定义
函数单调性编者分三步走：第一步由f（x）=x和f（x）=x2的图像整体认识“上升”“下降”；第二步利用表格用自然语言描述图像“上升”“下降”；第三步：运用数学符号语言将自然语言的描述提升到形式化的定义教材逐步推进，把学生的思维引到怎样表述任意性，这也是本节课的难点地方。
3.例题
四个例题有着各自不同的目的和任务，我们这节课只讲前两个例题：
例1：让学生掌握单调区间和单调函数，函数的单调性怎么表示，单调函数与单调区间怎么规范的叙述，这道例题还是让学生掌握从图形观察它的性质。
例2：有两个目的第一个目的让学生感受到函数单调性基本应用。第二个目的把函数单调性的证明的基本步骤在这个例题中归纳出来，函数单调性的证明步骤可归纳为五步：设元――作差――变形――判断――定论。
二、教材为什么要这样编写
（1）强调背景和应用。展现过程和联系。函数的本身就是刻画现实世界中变化规律的模型，它拥有丰富的现实背景。例2，例3都是来源于现实。
（2）渗透了数学思想方法，关注数学文化。专家说：“加强思想性上本书追求的目标之一”，本节主要蕴含了数形结合，用函数观点研究问题，也有数学建模的思想方法，数形结合也贯穿了必修1的始末。
（3）提供了自主空间，促使学生主动学习。学生的数学学习活动不应只限于对概念，结论和技能的记忆模仿和接受，独立思考，自主探索，动手实践，合作交流，阅读自学等都是学习数学的重要方式。
三、教学中的几点把握
（1）关于单调区间是开区间还是闭区间问题。函数单调性是对某个区间而言的，是函数的局部性质。对于单独的一个点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性的问题，对于闭区间的连续函数来说，只要在开区间上单调它在闭区间上也单调因此在考虑它的单调区间时包括不包括端点都可以。
（2）关于用定义证明单调性问题。本书仅在例2中涉及到，原教材用了例2、例3来详细介绍，用定义证明单调性，练习和习题中也有涉及到单调性的证明，在本书中单调性的证明显然弱化了，第32页的练习有四道是从图形中得到结论，只有第四小题是证明单调性而且是一次函数，习题1.3中第2题、第3题是证明单调性但只是一次函数、二次函数、反比例函数，所以教学中不要有太复杂的函数证明单调性，复杂函数单调性以后用导数会解决的。
（3）从结构体系上，要把握螺旋上升，本节为什么要采用螺旋式安排教学内容及其学习过程呢？主要是考虑与学生的心理发展水平相适应的问题。专家说：“学习从属于发展”，同时数学概念在不同层次上能够得到表征，也为螺旋上升地安排学习内容提供了可能。
四、教学建议
第一步，观察引入图像了解上升，下降的直观感受，得到增函数减函数。
第二步，从几个实例的共同特征到一般性质的概括，引导学生用数学语言表达，形成数学概念，培养探究能力，教学中先在f（x）=x2单调增区间部分注意多举例子x1=1，x2=2比较f（1），f（2）的大小，多次重复引导学生说出所以数字在我们不能一一列举的情况下我们该怎么办？可不可以把单位长度抹掉，抹掉之后怎么表示，任意指一个位置让学生说用x1表示，然后指另一个位置让学生说用x2表示。然后引出书上那个没有单位长度的那个图。
