三角函数值规律范文1
关键词：问题串；任意角；三角函数；定义域；符号
在教学工作中，笔者参加了学校组织的一次省公开课教学展示活动，在这次课堂教学活动中，以苏教版《数学》必修4第一章第一节1.2.1“任意角的三角函数”第一课时为课题上了一节基于“问题串”的数学概念生成课，既有值得肯定的地方也有自我感觉不足的地方. 本文笔者将概述本课的教学过程实录，并附以自己的一些教学随想，以期专家同行的不吝赐教.
[?] 教学过程实录
1. 创设情境，引入课题
教师：日出日落，寒来暑往……自然界中有许多“按一定规律周而复始”的现象，一个简单又基本的例子便是“圆周上一点的运动”. 你能举出生活中的一些例子吗？
学生：钟表，摩天轮，自行车的轮胎……
教师：很好！刚才这位同学讲到了摩天轮. 问题1：摩天轮上一点P在转动过程中，引起了角度α和弧长l的变化，你能说出α、r、 l之间的关系吗？
学生：l=αr.
教师：这里产生了一个角α，从初中角度看是什么角？
学生：锐角.
教师：初中学过锐角三角函数，是在什么图形中研究锐角三角函数的？
学生：直角三角形.
教师：问题2：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？
学生：……
教师：问题3：前面我们是如何来研究角的？
学生：通过建立直角坐标系的方法来研究角的.
教学随想：著名教育家杜威说过：“最好的一种教学，牢牢记住学校教材和实际经验二者相互联系的必要性，使学生养成一种态度，习惯于寻找这两方面的接触点和相互的关系”. 摩天轮是学生实际生活中接触到的东西，学生熟悉的问题情境可以激发学生浓厚的学习兴趣. 初中锐角三角函数是学生比较熟悉的数学内容，由浅导入，由熟知引入，慢慢引导学生顺理成章的接受新知识. 著名数学家华罗庚说过：“把一个比较复杂的问题“退”成最简单最原始的问题，把这最简单最原始的问题想通了，想透了，然后再来一个飞跃上升”. 这是一个十分精辟的思维方法，用这种方法解决问题，第一可以培养学生良好的心理素质，使之遇“新”不惧；第二可以使学生养成良好的解决问题的习惯.
2. 展开问题，探索新知
教师：因此我们也想到把上面这个图形放入直角坐标系里面来研究，在直角坐标系中，一个点对应着一个坐标. 问题4：你能根据锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，说出（r，α）与（x，y）之间的关系吗？（学生分组讨论）
学生：过点P做x轴的垂线，垂足为M，则OM=x，MP=y，记r=，则sinα=，cosα=，tanα=.
教师：非常好！这里x，y为点的横纵坐标，点P所在的射线可以看成角的终边，即锐角三角函数可以用锐角终边上点的坐标来表示.那么锐角终边上只有这一个点吗？
学生：有无数个.
教师：问题5：如果改变点P在终边上的位置，这三个比值会改变吗？（学生分组讨论思考）
学生：在角的终边上任意选取一点P′，作x轴的垂线，垂足为M′，则OMP∽OM′P′，
所以sinα==，cosα==，tanα==，即比值不变.
教师：非常好！用文字语言来概括就是锐角的三角函数值仅与锐角的大小有关，而与点在锐角的终边上的位置无关，并且满足sinα=，cosα=，tanα=，在这里借助于图形得到了比值的结论，也就是数的结论，体现了数形结合的数学思想.
教师：角的终边只有这一种可能吗？
学生：也可能在其他象限或坐标轴上.
教师：问题4：在平面直角坐标系中，我们已经将角由锐角推广到了任意角，那么锐角的三角函数能不能推广到任意角的三角函数呢？（学生思考，分组讨论，感觉问题难以回答）
教学随想：美国著名心理学家奥斯贝尔曾经说过：“如果不得不将教育心理还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生现有的知识状况去进行教学.” 遵循从“学生已经知道了什么”与“学生原有经验”出发进行教学，符合皮亚杰的“认识即是一种以主体已有的知识和经验为基础的主动的建构活动”的观点. 上述设计先让学生回顾初中所学内容，进而放到直角坐标系中去考虑，学生自然会想到作一条高，构造一个直角三角形，体现了化陌生为熟悉的化归思想和数形结合的数学思想.
3. 归纳提升，形成定义
教师：可能这个问题有些难度，为了回答这个问题，我们课本给出了任意角三角函数的定义，这就是我们今天要学习的第一个内容：任意角的三角函数的定义：
一般地，对任意角α，我们规定：
①比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=；
②比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=；
③比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα=. （学生一起来朗读定义）
教师：大家读得很整齐，声音也很洪亮！任意角的三角函数是课本规定好的定义，但是在学习的时候，要有大胆的怀疑精神，这个定义合情合理吗？（学生分组讨论交流）
教师：锐角的三角函数满足这个定义吗？
学生：满足. 只是定义的一种特殊情况.
教师：这里由锐角的三角函数推广到了任意角的三角函数，体现了什么数学思想呢？
学生：特殊到一般的化归思想.
教师：也就是说与我们原有的知识没有产生矛盾，这个定义的发展合乎数学发展的一般规律，具有合理性. 再来看这个定义，自变量是谁？
学生：角度α.
教师：非常好！我们已经将角度与实数之间通过弧度制建立了一一对应关系，再来看函数值，是一个什么呢？
学生：比值.
教师：比值是一个数. 给你一个角度，根据我们刚才的分析，会对应着几个比值呢？
学生：一个.
教师：给定一个角度对应着唯一的比值，大家想起了前面学习的什么定义呢？
学生：函数的定义.
教师：函数的定义是对两个什么而言的？
学生：非空数集.
教师：这里也是两个非空数集，并且也满足对任意的自变量α，都有唯一的比值与之对应，因此，我们可以称它为函数，只不过这里我们再给它起一个规范的名字：三角函数.
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以终边上点的坐标的比值为函数值的函数.以上三种函数都称为三角函数.对于定义，给出三点说明：
（1）sinα，cosα，tanα分别叫角α的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数都称为三角函数；
（2）正弦函数、余弦函数、正切函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数；
（3）sinα不是sin与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的sin，cos，tan等是没有意义的.
教学随想：在定义集体诵读时，使每位学生都亲身体会教学重点的内容精髓. 学生参与定义，不仅符合学生的口味，而且记忆深刻，还能享受发现的乐趣，有益于培养学生的创新思维. 其实，教材中有不少概念，可以让学生参与到定义建构的过程中，激发学生主动发现、提出问题，进而让学生“乐学”. 由锐角的三角函数到任意角的三角函数，体现了特殊到一般的化归思想，符合由特殊到一般、由直观到抽象的认知规律.
4. 应用新知，解决问题
例1 已知角α的终边经过点P（2，-3），求α的正弦、余弦、正切值.
教师：在这里给出点的坐标后，先写x，y的值，再求r的值，然后根据任意角三角函数的定义，采用定义法来求解. 我们再来看这里正弦是负的，余弦是正的，正切是负的，思考1：根据任意角三角函数的定义，如果不求值，能不能判断角的正弦、余弦和正切的符号呢？
学生：正弦函数值的符号与y的符号相同；余弦函数的符号与x的符号相同.
教师：非常棒！这就是我们今天学习的第二个内容：三角函数值在各象限的符号，我们再来分别看一下，第一象限全是正的，第二象限只有正弦是正的，第三象限只有正切是正的，第四象限只有余弦是正的，那么可以用一个口诀来概括：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
思考2：若将点P的坐标改为（0，-4）呢？（学生分组讨论交流，教师对学生作品进行展示）
教师：是不是对任意角，它的正切都存在呢？
学生：不是！
教师：什么时候不存在？
学生：x=0时不存在.
教师：x=0时，点在哪里？
学生：y轴上.
教师：y轴上角的集合是什么呢？
学生：
α
α≠+kπ，k∈Z
.
教师：正弦，余弦都存在吗？
学生：都存在.
教师：这就是本节课学习的第三个内容：三角函数的定义域：y=sinα的定义域是R；y=cosα的定义域是R；y=tanα的定义域是
α
α≠+kπ，k∈Z
.
教学随想：三角函数的符号和定义域让学生通过问题自己去归纳总结，打破了传统意义上教师灌输的教学方式. 问题串的设计可以让更多的学生主动参与，适度的研讨可以促进生生交流以及培养团队精神，知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦，缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯，让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的增长和思维品质的提高，为学生的可持续发展打下基础.
[?] 教学反思
“任意角的三角函数”第一节《标准》对其学习要求是： 掌握任意角三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各个三角函数值；熟记三角函数的定义域；理解并掌握三角函数在各象限的符号. 本文基于“问题串”做教学设计，有以下一些方面值得反思：
1. 以生为本，对教材认真研读
德国教育家第斯多惠说过：教学必须符合人的天性及其发展的规律. 这是任何教学的首要的、最高的规律. 只教给学生最本质的、最主要的东西，才能切切实实地掌握这种教材，使它不可磨灭地铭记在学生的记忆里. 本文以教材为根本，以学生已有的生活经验和已有知识为背景进行导入学习，符合学生的认知发展规律.
2. 教无巨细，从学生角度理解问题
锐角的三角函数能不能推广到任意角的三角函数？是学生难以回答的一个问题，课本以规定的形式给出了定义，定义的合理性是本节课的一个讲解重点，让学生明白推广到任意角是有根据的，是符合事物发展规律的：即没有违反原有的法则，同时它也真真切切的是函数.既然是函数，就自然而然地想到函数的定义域等问题，因此本节课接下来讲解的内容就顺理成章了. 学源于思，思源于疑.小疑则小进，大疑则大进. 虽然课本是以定义形式给出的，但是我们还是要引导学生要有大胆怀疑的精神，树立良好的数学学习观.
3. 多媒体的使用，使学生容易直观形象的认识问题
三角函数值规律范文2
关键词 重复出现；周期函数；定义；周期求解
一、周期函数的引入
众所周知，世界上的万事万物都在不停地运动、变化，其中又有很多事物都按照一定规律运动、变化。“离离原上草，一岁一枯荣”，即描写了因地球的自转、公转而引起的寒暑易节重复出现的规律。与此类似，有些函数也有这种现象，起函数值按照一定规律不断重复出现，如函数y=sinx、y=cosx等。周期函数就是研究这种函数按照一定规律不断重复出现的。
二、周期函数定义剖析
人教版高中教材对周期函数的定义是：一般地，对于函数y=f（x），如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把这个函数y=f（x）叫做周期函数，不为0的常数T叫做这个函数的周期。
（1）定义中的“每一个x”即函数定义域内的所有x都有f（x+T）=f（x）成立才行。这里只要有一个x不能使该关系成立，则T就不是f（x）的周期。如函数y=sinx（x≠0），由于f（2π）=0， f（0）没有意义，f（2π+0）≠f（0），T=2π就不是函数y=sinx（x≠0）的周期。事实上，由于f（0）没有意义，所以就不存在这样的常数T≠0，使得f（0+T）=f（0）成立，所以函数y=sinx（x≠0）就不是周期函数。
（2）关系式f（x+T）=f（x）隐含这样一个事实：若x是f（x）定义域内的任一个值，则x+T一定是该定义域中的一个值，同时（x+T）+T还是该定义域中的一个值。以次类推，x+nT是定义域中的一个值……，所以周期函数的定义域一定是“无限的”，象函数y=sinx，x∈（-4π，4π）就不是周期函数。
（3）周期函数的定义域是“无限的”，不是说其定义域一定是一切实数，只是说其定义域不能受某一数“限制”。有些周期函数的定义域就是无数个区间的并，如y=tgx的定义域就不是一切实数；又有些周期函数的定义域为无数个零点，如y=的定义域为x=kπ（k∈Z）。
（4）若有f（x+T）=f（x），用x-T代换x 得f（x）= f（x-T），用用x-T代换x 得f[（x+T）+T]=f（x）f（x+T）=f（x）成立，即f（x+2T）=f（x）；同理还可得f（x+3T）=f（x），以次类推，并依定义可知：若f（x）的周期为T，则-2T，-T，T，2T，3T，…，nT，…全部是f（x）的周期，即周期函数的周期应为无数多个，如y=sinx的周期有：…，-4π，-2π，2π，4π，6π，…
（5）在周期函数f（x）的无数个周期中，若有最小的正数，则称该周期为最小正周期。我们通常所指的周期为最小正周期。但有些周期函数就没有最小正周期，如f（x）=sin2x+cos2x，因为对于任意不为0的常数T，都有f（x+T）=f（x）=1，所以该函数没有最小正周期。
三角函数值规律范文3
一是数学概念的形成是渐进性的，它符合学生的认知规律，体现学生学习、完善数学知识的过程。在学生了解了概念的形成过程后，不仅能够体会相关知识的差异，而且还能体会到这个概念形成过程中的思维特点，真正透彻地掌握相关概念。如三角函数的概念，初中时是在直角三角形中学习三角函数，而高中是在学习了函数概念之后学习三角函数。因此，高中三角函数的定义需要将以上两个概念有机地结合在一起，从函数的三要素即定义域、值域、对应法则角度重新认识三角函数概念。这里学生最难理解的是“对应法则”。对应法则应该是“x对应到角x与单位圆交点的纵坐标(特殊的对边/斜边)”，这样，任意给出一个角，通过计算该角终边与单位圆交点的坐标，就能得到需要的三角函数值了。也就是说强调“对应法则”使得我们计算任意角的三角函数值，不再局限于在直角三角形中计算出几个特殊角的三角函数值。通过对三角函数定义中的“对应法则”的强调，既加深了对函数概念的认识，又体会到了三角函数不过是一个特殊的函数，初中的三角函数是高中三角函数的特殊情况。于是建立在原有知识基础上的，在实数范围内的三角函数概念就形成了。
二是在教学中要关注概念的应用价值，数学概念的充分理解体现在概念的应用上。一方面，数学概念的应用体现在以这个概念为背景的新知识点的形成上。以三角函数概念为例，学生在学习了三角函数的概念后，学习“符号问题、三角函数线、同角三角函数式、诱导公式”等知识点总是感觉杂而乱。其实这些知识点都能很好地体现三角函数自身的特点，它们都是围绕三角函数的概念展开的。其中，“符号问题”是从坐标角度体现三角函数概念的应用；“三角函数线”是从图形的角度体现三角函数概念的应用；“同角三角函数式”是从数量关系的角度体现这几个函数之间的关系；“诱导公式”是从角的位置关系角度体现三角函数概念的应用。对初学者而言，如果孤立这些内容，确实会感觉三角函数内容杂而乱。因此，教学时需要找到好的切入点，即应从三角函数的概念切入，合理展开思维。另一方面，数学概念的应用体现在解决具体的问题中。因此，在日常的教学中，知识点的教学要完整体现它的形成过程，不能舍弃过程而只注重结果是否正确。在知识的形成过程中，不只有需要的结论，更蕴含着思维方法。让学生从概念的每一个词语寻找解题的信息点，养成用概念约束思维的好习惯。
三是在教学中要关注概念教学中的能力培养。如数学符号与图形语言、自然语言的相互转化能力。数学符号是表达数学概念的一种独特方式，它把学生掌握数学概念的思维过程简约化、明确化，但同时也使得学生在形成概念及应用时加大了难度。因此加强数学符号与图形语言、自然语言的相互转化，可以使学生在面对新概念时，从数、形以及语言的不同角度来研究，使得学习数学的能力大大提升。
加强概念教学，可以培养数学素养，体会数学思想。作为教师，教学中要遵循科学规律的方式，合理而高效率地教授数学概念，让学生了解博大精深的数学之美。
三角函数值规律范文4
关键词：数学概念；单位圆；三角函数
数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式，是抽象化的空间形式和数量关系，是反映数学对象本质属性的思维形式。在高中数学的学习中，我们要涉及很多的数学概念，如“映射”“函数”“任意角三角函数”“单调性”“奇偶性”等等。在新课程的推进过程中，很多老师会在教学中利用探究性的教学方法，让学生进行探究，引导学生形成数学概念，但本人认为，并不是所有的概念都适合进行探究性学习的。接下来以“任意角的三角函数”为例进行分析。
“任意角的三角函数”教材中以初中所学的锐角三函数数为引入，要学生利用直角坐标系中角的终边上的坐标来表示锐角三角函数，进而转化到利用单位圆上点的坐标定义三角函数。可是在教学过程中，本人发现从长度到坐标的转化过程学生理解上存在困难，而且在知识点的迁移扩展上存在不清楚的问题。例如，以下教学过程：
引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？
思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段OP的长r=1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示。那么，角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数。
探究新知：
1.探究：结合上述锐角α的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？
显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了。所以。我们在此引入单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆。
2.思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义？
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：
（1）y叫做α的正弦（sine），记做sinα，即sinα=y；
（2）x叫做α的余弦（cossine），记做cosα，即cosα=x；
注意：当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P（x，y），从而就必然能够最终算出三角函数值。
3.思考：如果知道角终边上一点，而这个点不是终边与单位圆的交点，该如何求它的三角函数值呢？
教学案例中通过对初中锐角三角函数的复习，针对新知识任意角如何求三角函数的问题进行提问探究，但是从长度到坐标的转变其实并不是那么的自然，显得有些牵强，学生此时也只是根据老师提示和教材上的内容进行学习，所以在这里进行的探究本人认为并不是特别必要。因为三角函数的概念其实应该是一个定义性质的概念，不存在探究的问题，利用单位坐标的定义才是其比较全面、完整的定义，而初中所学的锐角三角函数的定义其实是在所学知识有限的情况下所做的定义，并不是由锐角三角函数推广得到任意角的三教函数的，所以在这里，个人觉得直接给出任意角三角函数的定义，让学生与初中所学的锐角三角函数进行比较，发现其中的问题：在锐角的情况下，任意角三角函数所对应的坐标都可以用直角三角形的边长来进行代换，也就是说，初中所学的锐角三角函数其实是现在所学的任意角三角函数的一种特殊状况，而不是说任意三角函数是锐角三角函数的推广。
通过此例分析，本人认为，在概念的教学中，并不是说进行探研就一定是好的，更不能为了迎合新课程改革，为了探究而探究，做表面功夫，而忽略了学生学习认识的规律，这样往往看上去好看，但教学效率反而更低。所以在概念教学过程中，教师要根据所授内容的实际情况，结合学生学习认识的规律，加上教师对所授内容的理解，进行具体的教学策略选择。
参考文献：
[1]曹才翰，章建跃.中学数学教学概论.北京师范大学出版社，2008-04.
[2]章建跃，陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学.数学通报，2009（8）.
三角函数值规律范文5
[关键词] 三角函数 一角一函数 解题模型
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0051
三角函数是高中数学中基本的初等函数之一，该部分内容历来是高考的重点、热点之一.因其难度相对较低，普遍属于基础题、中档题，利用公式化简三角函数解析式并求其性质，是大多数学生的争分点.
对于求三角函数的性质，如周期性、最值、值域、单调区间、对称性、奇偶性等，若函数解析式已经是一角一函数y=Asin（ωx+φ）+b形式，学生可以直接求解；
若函数解析式不是y=Asin（ωx+φ）+b形式，就必须先利用公式将函数解析式化简成该形式，才能求其性质.众所周知，三角函数是整个中学数学课程内容中公式最为繁多的知识.面对众多的三角函数公式，该怎样从中选择合适的公式来化简解析式呢？许多学生觉得无从下手.虽然也有很多学生能化简出来，但他们也有一种思绪凌乱，难以把握规律的感觉.本文针对一角一函数的化简，给学生总结、归纳一个规律方法和解题技巧.
对复杂的三角函数解析式的化简，我们所用的解题简模型为：
在化简过程中，每个步骤都有明显的标志，但每次做题并不是五个步骤都要用上，有时只用到其中的一个或几个.具体的做法如下.
第一步，有轴线角（或相关的角）用诱导公式
判断表达式有没有轴线角或者与轴线角有关的角，如 π 2 +α， 3π 2 ±α
，kπ±α，2kπ±α，（k∈ Z ），若有，就可以马上用诱导公式；若没有，可以进行第二步.
第二步，有特殊角用两角和差公式
判断有没有两角和或差，如sin（x+ π 3 ），cos（x- π 4 ）等，它们通常会含有 π 3 ， π 4 ， π 6 等特殊角.若有特殊角，即可直接用两角和差公式展开；若没有特殊角，则进行第三步.
第三步，有平方则用降幂公式
判断解析式有没有sin2x或cos2x，若有，就分别用sin2=
1-cos2x 2 ，cos2x= 1+cos2x 2
进行降幂；若没有，则进行第四步.
第四步，含同角正余弦乘积逆用正弦二倍角公式
判断解析式是否含有sinx・cosx，若有，就用2sinx・cosx=sin2x代入；若没有，则可以进行最后一步.
第五步，用辅助角公式收官
经过上面四个步骤的变化，解析式会带有asinx+bcosx的形式，最后用辅助角公式asinx+bcosx= a2+b2 sin（x+φ）
，就能达到最终的目的.
下面，我们来看经典例题：
【例1】 把以下各式化简成y=Asin（ωx+φ）+b的形式.
（1）f（x）=sin（ π 3 -2x）+sin2x；
（2）f（x）=2sin（π-x）cosx；
（3）f（x）=2sinxcosx+2 3 sin2x；
（4）f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx；
（5）f（x）=2sinxcos（ π 2 -x）- 3 sin（π+x）cosx+sin（ π 2 +x）cosx.
解析： （1）此题没有轴线角，不用第一步诱导公式；没有sin2x，cos2x，不用第三步降幂公式；没有sinx・cosx，不用第四步.
f（x）=sin（ π 3 -2x）+sin2x（有 π 3 -2x，用第二步两角和差公式）
= 3 2 cos2x- 1 2
sin2x+sin2x
= 3 2
cos2x+ 1 2 sin2x（用第五步辅助角公式）
=sin（2x+ π 3 ）.
（2）此题不用第二步两角和差公式；没有sin2x，cos2x，不用第三步降幂公式.
f（x）=2sin（π-x）cosx（用第一步诱导公式）
=2sinxcosx（用第四步逆用正弦二倍角公式）
=sin2x.（不用第五步辅助角公式）
（3）此题没有轴线角，不用第一步诱导公式，不用第二步两角和差公式.
f（x）=2sinxcosx+2 3 sin2x（用第三步降幂公式和第四步逆用正弦二倍角公式）
=sin2x+2 3 ・ 1-cos2x 2
=sin2x+ 3 cos2x+ 3 （用第五步辅助角公式）
=2sin（2x+ π 3 ）+ 3 .
（4）此题没有轴线角，不用第一步诱导公式，不用第二步两角和差公式.
f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（用第三步降幂公式）
=sin2ωx+cos2ωx+2sinωxcosωx+2・ 1+cos2ωx 2
（逆用正弦二倍角公式）
=sin2ωx+cos2ωx+2
= 2 sin（2ωx+ π 4 ）+2.（用第五步辅助角公式）
（5）不用第二步两角和差公式.
f（x）=2sinxcos（ π 2 -x）- 3 sin（π+x）cosx+sin（ π 2 +x）cosx（用第一步诱导公式）
=2sin2x+ 3 sinxcosx+cos2x（用第三步降幂公式和第四步逆用正弦二倍角公式）
=2・ 1-cos2x 2 +
3 2
sin2x+
1+cos2x 2
= 3 2
sin2x- 1 2 cos2x+ 3 2 （用第五步辅助角公式）
=sin（2x- π 6 ）+ 3 2 .
【例2】
（2013・安徽）已知函数f（x）=4cosωx・sin（ωx+ π 4 ）（ω>0）的最小正周期为π.
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间[0， π 2 ]上的单调性.
分析： 此题
不需要用
第一步诱导公式、第三步降幂公式，只要用第二步两角和差公式、第四步逆用正弦二倍和公式和第五步辅助角公式.
解： （1）f（x）=4cosωx・sin（ωx+ π 4 ）
=2 2 sinωx・cosωx+2 2 cos2ωx
= 2 （sin2ωx+cos2ωx）+ 2
=2sin（2ωx+ π 4 ）+ 2 .
因为f（x）的最小正周期为π，且ω>0，
从而有 2π 2ω =π，故ω=1.
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+ π 4 ）+ 2 .
由0≤x≤ π 2 ，得 π 4 ≤2x+ π 4 ≤ 5π 4 .
当 π 4 ≤2x+ π 4 ≤ π 2 ，即0≤x≤ π 8 时，f（x）单调递增；
当 π 2 ≤2x+ π 4 ≤ 5π 4 ，即 π 8 ≤x≤ π 2 时，f（x）单调递减.
综上可知，f（x）在区间[0， π 8 ]上单调递增，在区间[ π 8 ， π 2 ]上单调递减.
【例3】 （2013・陕西）已知向量 a =（cosx，- 1 2 ）， b =（ 3 sinx，cos2x），x∈ R ，设函数f（x）= a ・ b .
（1）求f（x）的最小正周期.
（2）求f（x）在[0， π 2 ]上的最大值和最小值.
分析： 此题是三角与向量的简单结合，
不需要用
第一步诱导公式、第二步两角和差公式和第三步降幂公式，只要用第四步逆用正弦二倍角公式和第五步辅助角公式.
解析： f（x）=（cosx，- 1 2 ）・（ 3 sinx，cos2x）
= 3 cosxsinx- 1 2 cos2x
= 3 2 sin2x- 1 2 cos2x
=sin（2x- π 6 ）.
（1）f（x）最小正周期为T= 2π ω = 2π 2 =π.
（2）0≤x≤ π 2 ，- π 6 ≤2x- π 6 ≤ 5π 6 .
由正弦函数的性质，知
当2x- π 6 = π 2 ，即x= π 3 时，f（x）取得最大值1.
当2x- π 6 =- π 6 ，即x=0时，f（x）取得最小值- 1 2 .
因此，f（x）在[0， π 2 ]上的最大值是1，最小值是- 1 2 .
三角函数值规律范文6
一、深入理解锐角三角函数的概念
1.理解锐角三角函数的定义.
（1）正切、正弦和余弦的概念是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与其所在的直角三角形的大小无关；
（2）在RtABC中，∠C=90°，锐角三角函数值[ab]、[ac]和[bc]都随锐角A的大小变化而变化，也都随锐角A的确定而唯一确定，因此它的大小仅与角的大小有关，而与所在的直角三角形的边的长短无关；
（3）正切tanA、正弦sinA和余弦cosA是一个完整的符号，tanA不是tan与A的积，离开了∠A，“tan”就没有意义了，只有合起来，tanA才表示∠A的正切，sinA、cosA也是如此；
（4）符号tanA表示∠A的正切，在符号tanA中，习惯省去角的符号“∠”，当用希腊字母α、β等表示角时，其正切中角的符号习惯上也省去，但当用三个英文字母或阿拉伯数字表示角时，角的符号“∠”不能省略，sinA、cosA也是如此，如tanα、sin∠ABC、cos∠1等.
2.应用锐角三角函数的定义.
例1 （2016・甘肃兰州）在RtABC中，∠C=90°，sinA=[35]，BC=6，则AB=（ ）.
A.4 B.6 C.8 D.10
【分析】先画出图形，如图1，在RtABC中，由锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入即可求出AB的长.
【评注】熟练掌握锐角三角函数的基本概念是解好本题的关键，做题时边读题边画一个直角三角形，数形结合、看图说话，可避免主观出错.
二、理解记忆特殊角的三角函数值
任意角的三角函数值都可以由计算器获取，但由于特殊角的三角函数值常见常用，所以应当记忆，这样便于我们运用它们进行计算、求值和解直角三角形.
另外，观察表格，我们还有收获.横着看：正弦值、正切值，随着角度的增大而增大（其中tan30°?tan60°=1=tan45°）；余弦值，随着角度的增大而减小.这个规律是不是一般规律？对所有的锐角三角函数都成立吗？有兴趣的同学可借助于计算器验证一下自己的发现.竖着看：sin45°=cos45°；斜着看：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°.学习数学，要善于观察、思考，这样才能不断提升自己.
例2 式子2cos30°-tan45°-[1-tan60°2]的值是（ ）.
A.[23]-2 B.0 C.[23] D.2
【分析】将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案.原式=2×[32]-1-[1-3]=0.
【评注】本题考查了特殊角的三角函数值，因此，一些特殊角的三角函数值需要我们在理解的基础上熟练记忆.
例3 已知tanA=[23]，∠A为锐角，则∠A的取值范围是（ ）.
A.0°
C.45°
【分析】要确定∠A的取值范围，只要确定[23]在哪两个特殊角的三角函数值之间即可.因为[33]
【评注】解答本题不仅要熟记特殊角的三角函数值，还要理解“锐角三角函数的正切值随着角度的增大而增大”这个规律.
三、解直角三角形及其应用
1.直角三角形各元素之间的关系.
如图2，在RtABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A的对边、∠B的对边和∠C的对边.除直角外的五个元素之间有如下的关系：
三边之间的关系：a2+b2=c2；
两个锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
边角之间的关系：sinA=cosB=[ac]；cosA=sinB=[bc]；tanA=[1tanB]=[ab].
2.解直角三角形的基本类型及解法.
由此我们知道：在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素，只要知道两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素.解直角三角形的知识广泛应用于生活，尤其在测量过程中用于计算距离、高度、长度和角度等.
例4 （2016・江苏苏州）如图3，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（ ）.
A.[23]m B.[26]m
C.（[23]-2）m D.（[26]-2）m
【分析】先在RtABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在RtACD中利用正弦的定义计算AC即可.
【解答】在RtABD中，sin∠ABD=[ADAB]，
AD=4sin60°=[23]m，
在RtΔACD中，sin∠ACD=[ADAC]，
AC=[23sin45°]=[26]m，故选B.
【点评】解直角三角形的关键是抓住已知条件，利用已知的边和角求出未知的边，进而解决问题.
例5 （2016・四川巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图4所示，则下列关系或说法正确的是（ ）.
A.斜坡AB的坡度是10°
B.斜坡AB的坡度是tan10°
C.AC=1.2tan10°米
D.AB=[1.2cos10°]米
【分析】坡度反映了斜坡的陡峭程度（这个度的意义不是角度），它是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，是一个比值，一般用i表示，常写成i=h∶l的形式.把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα.
【解答】根据坡度是坡角的正切值得斜坡AB的坡度是i=[BCAC]=tan10°，选：B.
【点评】本题考查了解直角三角形应用中的基本概念：坡度、坡角，理解坡度的含义是解题的关键.
例5 （2016・山东菏泽）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，如图5，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20[（1+3）]海里的C处，为了防止某国巡警干扰，就请求我国A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离.
[图5][图6]
【分析】本题属于解直角三角形的应用――方向角问题，认真审题，理解方向是解题的关键.如图6，过点A作ADBC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的方法，可得出AD，进而可得出BD，结合题意BC=CD+BD可列出方程，解出x的值后即可得出答案.
【解答】如图6，∠ACD=45°，∠ABD=30°.
设CD=x，在RtACD中，可得AD=x，
在RtABD中，可得BD=[3x]，
又BC=20[（1+3）]，CD+BD=BC，
即x+[3x]=20[（1+3）]，
解之得：x=20，
AC=[2x]=[202]（海里）.
答：A、C之间的距离为[202]海里.
