三角函数范例6篇

三角函数

三角函数范文1

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数,它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域,另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系, 由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数 三角函数在复数中有较为重要的应用,在物理学中,三角函数也是常用的工具。

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三角函数范文2

三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现. 大部分三角函数解答题都与三角形有关,主要以三角形为背景考查正弦定理、余弦定理和三角函数等知识点的同时,又考查同学们是否具有挖掘已知条件,优化求解过程的计算能力.

解答此类问题的基本思路是凭借整体代入、差异分析(边与角互化、角与角间的转化)、消元、降幂等思想方法的引领,结合三角公式,充分运用三角形内角和定理、正弦定理与余弦定理进行三角变换.解题时要注意灵活运用A+B+C=π及角的范围等隐含条件.

■ 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC等于( )

A. ■ B. -■

C. ±■ D. ■

破解思路 由于等式“8b=5c”的两边都是边长的一次方,故可用正弦定理把边化为角,得到8sinB=5sinC. 又因为C=2B,根据倍角公式求出cosB,最后再根据倍角公式求出cosC.

经典答案 因为8b=5c,根据正弦定理可得8sinB=5sinC,即8sinB=5sin2B=10sinBcosB,即cosB=■. 又cosC=cos2B=2cos2B-1,所以cosC=2cos2B-1=2×■-1=■,选A.

■ 已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,且acosC+■asinC-b-c=0.

(1)求A;

(2)若a=2,ABC的面积为■,求b,c.

破解思路 对于第(1)问,根据已知条件,按照此类题目的常规解法化边为角,于是由acosC+■asinC-b-c=0,运用正弦定理可得sinAcosC+■sinAsinC=sinB+sinC. 这是第一次消元,减少条件的种类. 再利用三角形内角和定理可以将B转化为A与C的关系,得sinAcosC+■sinAsinC=sin(A+C)+sinC. 这是第二次消元,继续减少角的种类. 下面按部就班求解即可.

在第(2)问的求解过程中,要整合已知条件(A和a,三角形面积),结合所要求的元素(b和c),联想相关公式(面积公式和余弦定理),运用整体求解的思路,构造方程求解.

经典答案 (1)因为acosC+■・asinC-b-c=0,由正弦定理得sinAcosC+■sinAsinC=sinB+sinC. 又因为B=π-(A+C),所以sinAcosC+■・sinAsinC=sin(A+C)+sinC. 化简得■sinA-cosA=1,即sin(A-30°)=■,解得A=60°.

(2)由S=■bcsinA=■,得bc=4. 又由a2=b2+c2-2bccosA,得b+c=4. 解得b=c=2.

在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB=■.

三角函数范文3

【关键词】三角复合函数;分解函数法;中学教学

三角函数形成的复合函数的最值的探究是历年高考命题的一个热点,笔者认为:若y是x的复合函数求最值,首先可引入中间变量,写出组成复合函数的基本函数,即把复合函数分解为几个基本函数;其次由x的取值范围求出中间变量的取值范围,由中间变量的取值范围求出y的取值范围;最后根据y的取值范围直接写出原函数最值.这种求其复合函数最值的方法简单易行,笔者把它命名为分解函数法.

例1(2014・天津)已知函数f(x)=cosx・sinx+π3-3cos2x+34,x∈R.

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)求f(x)在闭区间-π4,π4上的最大值和最小值.

解f(x)=cosx・sinx+π3-3cos2x+34=cosx・12sinx+32cosx-3cos2x+34

=12sinxcosx-32cos2x+34=14sin2x-34cos2x=12sin2x-π3.

(Ⅰ)f(x)的最小正周期T=2π2=π.

(Ⅱ)设y=12u,u=sinv,v=2x-π3,

因为-π4≤x≤π4,所以-5π6≤v≤π6,从而-1≤u≤12,于是-12≤y≤14,

因此,f(x)在闭区间-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.

点评在(Ⅱ)中,求三角函数形成的复合函数f(x)的最值时,引入了中间变量u,v

把复合函数最值问题转化为三个基本函数的值域问题加以解决.这种方法充分体现了数学的简洁美、奇异美及转化思想,具有很强的操作性.

例2(2014・江西)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈-π2,π2.

(Ⅰ)当a=2,θ=π4时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;

(Ⅱ)若fπ2=0,f(π)=1,求a,θ的值.

解(Ⅰ)当a=2,θ=π4时,

f(x)=sinx+π4+2cosx+π2=22(sinx+cosx)-2sinx=22cosx-22sinx=sinπ4-x

设y=sinu,u=π4-x,

因为0≤x≤π,所以-3π4≤u≤π4,于是-1≤y≤22,

因此,f(x)在区间[0,π]上的最大值为22,最小值为-1.

(Ⅱ)由θ∈-π2,π2,得cosθ≠0,

由fπ2=0,得cosθ(1-2asinθ)=0,1-2asinθ=0,即sinθ=12a,①

由f(π)=1,得2asin2θ-sinθ-a=1,②

联立①②,结合a∈R,θ∈-π2,π2,解得a=-1,θ=-π6.

点评该例(Ⅰ)中,函数f(x)实际上是三;角函数形成的复合函数,求其最值时,采

三角函数范文4

一、考查三角函数的概念及同角关系式

此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号法则,解题过程中注意是否要进行必要的分类讨论?郾

例1 (全国Ⅰ卷理2)记cos(-80°)=k,那么tan100°=()

A?郾 ■?摇?摇 B?郾 -■?摇?摇 C?郾 ■?摇?摇 D?郾 -■

分析 本题已知余弦的值,求tan100°的值,可利用同角关系式求出?郾

解 sin80°=■=■=■,

tan100°=-tan80°=-■=-■. 故选B?郾

点评 本题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式,并突出了弦切互化这一转化思想的应用?郾 同时要求熟练掌握三角函数在各象限的符号?郾

二、三角函数的化简与求值

这类题主要考查三角函数的变换?郾 解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用,变形运用和、差、倍角公式和诱导公式,进行化简、求值?郾

例2 (重庆文15)如图1,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C,各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等?郾 设第i段弧所对的圆心角为αi(i=1,2,3),则cos■cos■-sin■sin■= ?郾

分析 以三角函数式的化简为基础的综合题是高考题的热点,每年必考,一般是中档题,题型既有选择题、填空题,也有解答题. 主要解题方法是充分运用“异角化同角”“同角三角函数关系”“诱导公式”及“和、差、倍、半角的三角函数公式”.

解 cos■cos■-sin■sin■=cos■,

又α1+α2+α3=2π,

cos■=-■?郾 故填-■?郾

点评 本题以过同一点的三段圆弧为背景,考查三角恒等变形中公式逆用的基本技巧,只要将已知与求解合理转化,就能达到准确求解的目的?郾

三、y=Asin(ωx+φ)的图象和性质

图象变换是三角函数考查的重要内容,解决此类问题的关键是正确理解A、ω、φ的意义,特别是ω的判定,以及伸缩变换对φ的影响.

例3 (辽宁理5)设ω>0,函数y=sin(ωx+■)+2的图象向右平移■个单位后与原图象重合,则ω的最小值是()

A?郾 ■?摇?摇 B?郾 ■?摇?摇 C?郾 ■?摇?摇 D?郾 3

解 将y=sin(ωx+■)+2的图象向右平移■个单位后为

y=sin[ω(x-■)+■]+2=sin(ωx+■-■)+2,

■=2kπ,即ω=■?郾

又 ω>0,k≥1,

ω=■≥■?郾

故选C?郾

点评 本题考查三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性,考查同学们对三角函数图象知识灵活掌握的程度.

四、三角形中的三角函数

此类题主要考查三角函数在三角形中的运用?郾 解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下,正确、灵活地运用正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及三角形内角和等公式、定理?郾

例4 (天津理7)在ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a2-b2=■bc,sinC=2■sinB,则A=()

A?郾 30°?摇?摇 B?郾 60°?摇?摇 C?郾 120°?摇?摇 D?郾 150°

分析 解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算. 通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定,从而解决问题.

解 由正弦定理得■=■,则c=2■b,

所以cosA=■=■=■=■?郾

又因为A是ABC的内角,所以A=30°?郾 故选A.

点评 本题是解三角形知识的综合应用. 一般地,求角时,应先求出它的一个三角函数值,然后根据范围确定其值.

五、三角应用题

解决三角应用题的关键是认真阅读题目,正确理解题意,运用所学知识建立适当的三角模型,准确无误地计算.

例5 (北京文7)某班设计了一个八边形的班徽(如图2),它由腰长为1,顶角为α的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为()

A?郾 2sinα-2cosα+2 B?郾 sinα-■cosα+3

C?郾 3sinα-■cosα+1 D?郾 2sinα-cosα+1

解 四个等腰三角形面积之和4×■×1×1×sinα=2sinα,

由余弦定理可得正方形的边长为■=■,

正方形的面积为2-2cosα,

所求八边形的面积为2sinα-2cosα+2?郾

故选A.

点评 本题主要考查解三角形等基础知识,考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力,考查化归与转化思想、数形结合思想.

六、三角函数的最值及综合应用

此类问题主要考查三角函数最值和与三角函数有关学科内综合问题,如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合,多为解答题. 而三角形中三角函数最值问题仍将是高考的热点.

例6 (湖南文16)已知函数f(x)=sin2x-2sin2x?郾

(Ⅰ) 求函数f(x)的最小正周期;

(Ⅱ) 求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合.

分析 求函数的最小正周期和最大值都应先化简,求出函数的最小正周期,再根据三角函数的有界性确定函数最大值.

解 (Ⅰ) f(x)=sin2x-(1-cos2x)=■sin(2x+■)-1,

函数f(x)的最小正周期为T=■=π?郾

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,当2x+■=2kπ+■,即x=kπ+■(k∈Z)时, f(x)取最大值■-1?郾

故函数f(x)取最大值■-1时,x的集合为{x|x=kπ+■(k∈Z)}?郾

三角函数范文5

关键词:三角函数;最值;题解

中图分类号:G633.6 文献标识码:A

前言

在数学教学中三角函数是学习章程中独立的一章,也是在历年的考试中重要的考点之一,要想把三角函数学好,首先必须要对之前所学的三角公式灵活运用,能快速的看出需要变形的恒等。三角函数的最值运算是结合了许多数学知识和运算方法,所以在解题的过程中很可能会因为变形错误、问题理解错误等诸多问题而最后影响了运算结果。所以在学习三角函数最值的时候,同学们应有针对性的学习,对教学的重点、难点提前预习,理解渗透三角函数的应用公式,学习的时候注意听老师的思维方法和解题步骤,这样会对学习三角函数最值有很大的帮助。

在求最值的问题的时候首先要了解求什么类型的最值,其中三角函数的的最值是利用三角函数性质来解决,如果是求一般的最值问题,现在普遍运用的方法一种是利用函数的单调性,另一种是利用导数,在学习三角函数之前可以把曾经做过的有关最值问题进行细致总结,分析题目中所给出的几个方向,方向的选择是通过读题,如果出现多套思路,只要灵活运用所学到的数学方法去处理问题就行。

1 求三角函数最值的方法

求三角函数最值的方法有很多,其中最常用的有配方法、反求法、分离常数法、辅助角法、换元法、不等式法等方法,但是在学习三角函数最值的时候,如果让学生学习如此多的方法,会使他们造成公式混乱更加难以理解学习的内容,学到最后连最基本的方法都没有掌握,出现“丢西瓜捡芝麻”的情况。所以在学习三角函数最值的时候,重点掌握三种方法,它们是所有方法当中最基本也是最常用的,有配方法、反求法、辅助角法,其中反求法的应用范围与分离常数法是异曲同工之妙,它们都要在掌握变形的是同时又需要灵活运用,这种方法通俗易懂、化繁为简,但是分离常数法不能像反求法一样作为重点学习。

在对运算公式和方法融会贯通之后,就要运用实例来测试自己的学习成果,但不是所有的例题都能反映出学习效果,要做有特点的例题,因为这种例题能够很好的反映和体现三角函数最值的求法和变形,还能通过这种例题反映出在做题过程中应注意的细节问题和容易出错的地方,通过做题更深入的了解这三种运算三角函数最值的方法。三角函数最值的学习还是要通过老师得讲解和同学的实际运算相结合,因为三角函数最值的方法是固定的,只有在老师讲解完学生理解之后才能自己独立做练习题,只有充分发挥这三种方法,并多加练习,才能提高三角函数最值的学习效率。

2 三角函数最值的解题思路

如果是属于三角函数方向的题目,在解题思路上不应该出现不容易把握的状况,那么在三角变换这个方向上,三角题目的解题方向有的同学在学习过程中把握不好,其中有很多原因,比如在答题时看到题目,套用一个公式写上去,答完之后发现所用的公式不对,然后重新再换一个公式答题。总是这样的反复套用,就显得思路混乱,对公式的掌握程度不够,往往有的时候,第一次考虑一个公式往上一用,题目解的很顺,就会认为已经对三角函数掌握的很好,但是当下一次依然运用这个公式的时候,问题没有解开,然后又选择第二个甚至第三个公式,依旧解不开,于是会对心里就会产生影响,这是学生在学习三角变换中很常见的现象。主要原因就是因为三角函数的公式很多,变换的形式多变,这就好像走到了十字路口,然后站在中间,接下来还有许多条路,但是我们只需要选择最短最快的一条路,而我们站在路中间看不清楚,这跟解答三角函数最值问题是相似的,所以就要求在解答三角函数最值的时候对已知条件仔细研究,准确分析,根据具体的题目,考虑是先从和角公式还是差角公式着手,然后在分析两角之间存在的必然关系,函数与函数的关联,题目分析准确之后掌握好解题方向,把应该用到的公式结合起来,按照解题步骤一步一步的解答。只有按照以上方法进行分析三角函数最值才是合理的、准确的。

2.1 给角求值

三角函数中最值问题应熟练掌握三角函数中的套用公式、和角公式、差角公式、倍角公式,还要具有逆向思维的头脑,将非特殊角转化为特殊角例如:30°、60°、90°,写明求值的过程,然后进行解析,总体来讲就是先将角度转换在利用切割化弦运算依次是化为特殊角最后是约去部分,解决这类问题的关键就是特殊角转换,然后约去非特殊角。

2.2 给值求值

给值求值这种三角函数求值法的运算过程中,经常会遇到同角之间的运算关系和推论方法,给值求值的关键就在于利用已经给出的条件与要求得的值之间角的运算,对于已知条件和未知条件之间进行转换或者是变形,达到求解的目的。

3 三角函数问题中常见错误分析

三角函数作为数学章程中独立的一部分,它的特点鲜明,其中需要熟悉掌握的公式比较多,需要灵活的变换公式,往往一道问题会有多个答案出现的情况,所以导致了在解题的过程中会因为思维混乱而陷入误区,但还是因题而异。

3.1 定义域

三角函数中的恒等之间变换必须要使三角函数是有意义的,在区间内的任意角范围不能改变的情况下,对于切角和割角的定义域范围就显得尤为重要,要仔细分析研究切割角两类函数,否则很容易造成运算失误,最终导致答案错误。

3.2 单调性

三角函数运算过程中会给出一部分已知条件,利用已知条件去求某一项,这个时候很多人在答题时经常性的忽略单调性,如果是在某一区间上的角,这样就会使答案增加。

4 三角函数求值域的类型

在解决三角函数的时候,还有可能会遇到求值域的问题,在解决值域问题的时候,一定要熟练运用三角之间的代换,看到题目的时候不要急于解答,要先仔细观察,分析研究给出的已知条件,大多情况下都是利用数形结合的运算技巧。

例如: f(x)=asinx+b,这种函数我们可以把它看作是定义中的某个函数,那么这种函数的最值就是[f(x)]max= +b;[f(x)]min= +b

4.1 双曲线型

例如:f(x),这样的函数就可以把它看作是双曲线函数在某个区间上的图形,函数值有可能在双曲线的一支上,也有可能函数值分别在双曲线的两支上。

4.2 抛物线型

例如:f(x)=asin2x+bsinx+c (a≠0),这样的函数可以把它看成是抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)在x (-1,1)时的函数值范围,当这个函数值在一定区间下,达到一个最值,而另一个最值,在另一个区间,如果函数是在某个区间上单调,那么它的最值应该是在两端点处。

结论

综上所述,三角函数在惯例考试中是经常出现的数学题目,通常试卷中除了考察和角公式、差角公式、倍角公式以及半角公式等三角函数之间的关系,还有三角函数的恒等变形的灵活运用程度。三角函数覆盖了丰富的数学公式,复杂的运算步骤,需要注意的是在学习三角函数的时候,必须要准确的牢记三角函数所有公式,熟练的使用变换方法,根据不同的问题思维要灵活,把所学到的公式融会贯通,这样就会顺利的解决问题。

参考文献

[1]李玉萍.用数形结合的思想求函数的极值[J].数学教学研究,2004,(1).

三角函数范文6

关键词:三角变换 公式 方法 应用

【中图分类号】G633.6

在三角函数的化简、求值和证明中都需要三角函数的变换, 这就要求我们熟记三角公式以及一些基本的化简方式和方法,三角恒等变换主要包括三角函数的结构形式和角度的变换。为此,要提高学生的运算能力,必须做到:

一、学生熟练地掌握计算公式。1、要求学生自己推导两角和与差、二倍角的正余弦公式。除了对公式结构的掌握,也要会对角度进行变换。例如:sin2a=2sina*cosa ,可以变换sina=sina/2*cosa/2等。 2、公式的逆用。当学生对于公式的正用掌握比较熟练时,为了强化公式的掌握教师可以采用题组的方法,训练学生公式的逆用,例如:cosa*cosb-sina*sinb=? Cosa*cosb+sina*sinb=? Cos720cos240+sin720sin240=? Sina/2cosa/2=?

2cos2a-1=? 2cos222.50+1=?等。3、利用化归思想进一步训练学生对公式的掌握。例如:1/2cosa+√3/2sina=? 引出一般Asinb+Bcosb=√A2+B2sin(b+a)

二、学生熟练掌握角的变化。为了提高学生的运算能力,除了熟练掌握公式外,还要学会在计算中对于角度的整体把握。例如:已知:sina=4/5,cos(a+b)=-3/5,a,b∈(0,∏/2) 求:sinb

给出题目后,让学生先进行计算,程度较好的学生可能就不会走这条路线,根据题目条件求出cosa ,再求出cosb.这样的话费时费力,引导学生从角的结构入手,发现b=a+b-a从整体去把握。还有2a=(a+b)+(a-b),2b=(a+b)-(a-b)等,还有很多,在教学中要引导学生注意这些角度的变化,在实际解题中能够提高学生的运算水平。

三、学生注意角的范围变化,在运算中对角的取值范围变化设计陷阱,用试误法提高学生的警觉,以利于学生运算的准确性。在教学中充分发挥学生的主动性,培养学生的观察能力,比较公式的结构特点,角度的变化,在三角恒等变换的学习中,学生定能取得好的成绩。

因为方法多样, 灵活, 学生感到困难, 针对这个问题, 我在三角函数这一章的讲课和复习中, 选择典型例题, 讲清三角函数式变换的方法和技巧, 并布置适当练习作业, 巩固和掌握三角函数式变换的方法和技巧,以达到学生能熟练正确的解决三角函数问题的目的,今将这部分内容归纳整理如下:

一、 三角变换在求值中的应用

例1. 求 的值.

在利用三角变换化简的过程中主要是对角和三角函数名的化异为同,本道题主要是针对角而言的,对于这种情况关键还是要能观察出角与角之间的关系,然后根据角的“异”通过公式化成角的“同”,也就是我们熟悉的形式,然后进行求解。再例如:已知 ,且 , ,求 。

分析:发现所求角与已知角有如下关系: , ).从而将倍角化为和差角.

解:由 ,得

又因为 ,得 .

所以

所以

点评:充分利用条件,将2 ,2 转化为和差角,再运用公式.

二、 三角变换中“1”的恒等变形

三角函数值为1和含有1的三角公式不少,如

等,在恒等变形中巧妙利用1会找到简捷解法的。

再例如:化简 都需要将1变形.又例如:已知sinx+siny=1,求cosx+cosy的最大值,这时就需要将1整体代换,即:令t=cosx+cosy,

于是我们有

所以 ,又因为 ,故 ,则所求最大值为 .

当然,不能每见到1就想到三角变换,这是根据实际问题而考虑的,有的时候并不需要1的恒等变形,如:求函数f(x)=sin2x-sinx+1等这样定义域与1无关的问题中。

三、 三角变换在证明问题中的体现

证明问题常常用综合法、分析法,但有时也还是离不开三角变换。如例4:

解答:先用分析法探索证明思路,假设

然后用综合法写出证明即可。

在证明问题中,三角变换时也是从“角”和“形”两方面入手,然后结合分析法和综合法解决问题。再例如:

四、 三角函数变换在函数求值域、单调性、对称等问题中的应用

例5.已知函数f(x)=2cos2x+ sin2x+m(m R).若x [0, ],且f(x)的最小值是2,求m的值.

解:由已知得f(x)=1+cos2x+ sin2x+m=2sin(2x+ )+m+1.当x [0, ]时, 2x+ [ , ],此时当2x+ = 时,f(x)的最小值是 +m+1=2,m=2.

点评:这类题目解决的思路是把问题化归为 的形式,一般而言, ,但若附加了x的取值范围,最好的方法是通过图象加以解决.但不管是求值域问题,最值问题还是单调性、对称性问题在三角函数中都常常需要进行三角变换后才能完成。

再例如:求函数g(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x+1值域、单调增区间、对称中心

也是需要先进行三角变换之后再解决问题。

在三角函数求值域的问题中常常需要进行三角变换使之成为我们所熟悉的同名函数型,然后才能求解,这说明三角变换贯穿整个三角函数,是解决任何三角问题的基础和枢纽,所以,在学习中,我们必须要认真对待,发现和体会它的作用与技巧掌握它的要领,这样在学习三角函数的过程中才不会觉得难或无意义。