三角函数值范文1
三角函数是重要的数学运算工具之一，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：
从上例可以清晰地看出，这一类三角函数的最值求解中运用的基本的方法是“利用辅助角法”，将较复杂的三角式转化成“Asin（ ）”的形式，将异名三角比化归成同名三角比。同时，也应对自变量的取值范围仔细地考察。
上例就是利用在闭区间上求二次函数最值的方法，就可以求含三角式的二次函数的最值。但是在运用这个方法前，首先要引用三角比之间的转换使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比视为二次函数的自变量。
这是一例分子、分母只有常数项不同的三角函数式，便可以在分子中添置辅助项后，通过恒等变形把它化成只有分母含有自变量的三角函数式，只需研究分母的最值，就能求出原函数的最值。在这样的变形中，若遇到要把分子“翻下去”作为繁分式分母一部分时，这个“翻下去”的式子不能为零，如果这个式子可能为零，则应将为零的情况另作处理，“设其不为零”的情况下继续解下去，最后把各种情况下求得的值综合起来考虑最值。
综上所述，总结出了三角函数最值问题的求解策略。显然，三角函数最值问题类型繁多，所涉及的知识面广，解法灵活。所以在解题过程中，注意函数表达式的内在特点、题型结构特征，选用恰当的求解策略和方法技巧，能使解题过程简单巧妙，收到事半功倍的效果。
参考文献
[1]张小梅 如何求三角函数的最值[J].中学生数学，2006，（01）。
三角函数值范文2
一．问题的提出：
在我们的学习中常遇到知三角函数值求角的情况，如果是特殊值，我们可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（），我们如何表示呢？相当于中如何用来表示，这是一个反解的过程，由此想到求反函数。但三角函数由于有周期性，它们不存在反函数，这就要求我们把它们的定义域缩小，并且这个区间满足：
（1）包含锐角；（2）具有单调性；（3）能取得三角函数值域上的所有值。
显然对，这样的区间是；对，这样的区间是；对，这样的区间是；
二．新课的引入：
1．反正弦定义：
反正弦函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：.
对于注意：
（1）（相当于原来函数的值域）；
（2）（相当于原来函数的定义域）；
（3）；
即：相当于内的一个角，这个角的正弦值为。
反正弦：符合条件（）的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。
例如：，，，
由此可见：书上的反正弦与反正弦函数是一致的，当然理解了反正弦函数，能使大家更加系统地掌握这部分知识。
2．反余弦定义：
反余弦函数：函数，的反函数叫做反余弦函数，记作：.
对于注意：
（1）（相当于原来函数的值域）；
（2）（相当于原来函数的定义域）；
（3）；
即：相当于内的一个角，这个角的余弦值为。
反余弦：符合条件（）的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。
例如：，，由于，故为负值时，表示的是钝角。
3．反正切定义：
反正切函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：.
对于注意：
（1）（相当于原来函数的值域）；
（2）（相当于原来函数的定义域）；
（3）；
即：相当于内的一个角，这个角的正切值为。
反正切：符合条件（）的角，叫做实数的反正切，记作：。其中，。
例如：，，，
对于反三角函数，大家切记：它们不是三角函数的反函数，需要对定义域加以改进后才能出现反函数。反三角函数的性质，有兴趣的同学可根据互为反函数的函数的图象关于对称这一特性，得到反三角函数的性质。根据新教材的要求，这里就不再讲了。
练习：
三．课堂练习：
例1．请说明下列各式的含义：
(1)；(2)；(3）；(4)。
解：（1）表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角是；
（2）表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角不存在，即的写法没有意义，与，矛盾；
（3）表示之间的一个角，这个角的余弦值为，这个角是；
（4）表示之间的一个角，这个角的正切值为。这个角是一个锐角。
例2.比较大小：（1）与；（2）与。
解：（1）设：，；，，
则，，
在上是增函数，，
，即。
（2）中小于零，表示负锐角，
中虽然小于零，但表示钝角。
即：。
例3．已知：，，求：的值。
解：正弦值为的角只有一个，即：，
在中正弦值为的角还有一个，为钝角，即：，
所求的集合为：。
注意：如果题目没有特别说明，结果应为准确值，而不应是近似值，书上均为近似值。
例4．已知：，，求：的值。
解：余弦值为的角只有一个，即：，
在中余弦值为的角还有一个，为第三象限角，即：，
所求的集合为：。
例5．求证：（）。
证明：，，设，，
则，即：，即：，
，，
，，即：。
例6．求证：（）。
证明：，，设，，
则，即：，即：（*），
，，
，，即：。
注意：（*）中不能用来替换，虽然符号相同，但，不能用反余弦表示。
三角函数值范文3
一、 三角函数最值常见类型
（1）一次型三角函数。一次型三角函数是指那些三角函数的幂次数等于一的函数类型，例如：y=asin（bx）、y=asinbx+c cosdx、y=asinx cosx等。对此，此类函数的求法较为多样，也较为简单，可以总结为“遇不同，化相同”。
（2）二次型三角函数。二次型三角函数即是三角函数的幂指数出现大于一的情形，如：y=asin2x+bcos2x+csinxcosx、y=asin2x+bcosx等。此类三角函数最值的求解，常常利用三角函数的性质来求解。
（3）分数型三角函数。分数型三角函数问题常常会给学生们的函数最值带来困难，尤其是对分母的存在性定义是很多学生容易遗忘的地方。例如y=■、y=■等。对于分式型三角函数，我们常常是将分数型转换成一次性，或是采用换元等方法，实现对分数型的转换和化简。
二、 三角函数最值问题求解策略
（1）三角函数有界性求解。三角函数的最值问题归根到底都是函数的有界性问题，在定义域不做限制的情况下，利用三角函数自身的有界性是解决基础性函数最值问题的有效手段。
【例题】（2009年福建高考）已知函数f（x）=sin（？棕x+？渍），其中？棕>0，|？渍|≤■。①若cos■cos？渍-sin■sin？渍=0，求？渍的值。②在①的条件下，若函数f（x）的图像的两相邻的对称轴之间的距离等于■，求函数的解析式。
【分析】对于本题的第一问，我们可以利用三角函数的有界性直接快速得到答案。由sin■=sin■，可得到cos■cos？渍-sin■sin？渍=0，即cos（■+？渍）=0。此时，结合本题的限制条件|？渍|≤■，于是可以得到？渍值为■。对于本题第二问，我们只要将？渍值带入后，利用三角函数的周期性，结合函数图像性质，我们即可求得具体的函数表达式。对于三角函数最基础的有界性、单调性、周期性等原则的掌握，是学生们解决函数最值问题的核心，只有学生们的函数基础扎实了，函数最值与其他数学知识的综合问题学生们才能求解的得心应手。
（2）参数替换法求解。在高中数学函数教学中，学生们常常会产生畏惧情绪，面对一长串的三角函数表达式，他们常常会不知所措。对此，教师可以采用参数替换的方法，将原本的表达式进行简化和合并，从而更加容易的发现其中的最值求解之道。提到参数替换（换元）的方法，我们不得不再次提醒关于参数的取值范围问题，只有定义域判断正确，才能求出正确的值域和最值。
【例题】求解函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域。
【分析】对于本题，学生们最先想到的肯定是利用和差化积公式来求解。最终可以得到y=[sin（x+■）+■]2-1，当sin（x+■）=1时原三角函数可以取得最大值。但是，我们不妨尝试令t=sinx+cosx，于是原函数可以等价成y=t+■（t∈[-■，■]），于是，只要利用二次函数的知识便可以快速得到该函数的值域。值得注意的就是函数变换中的中间量t，其范围确定的正确性是影响本题解答的关键。
（3）三角函数数形结合法。三角函数起源于三角形的边长关系中，对于正弦、余弦等三角函数最值问题的求解，采用单位圆的数形结合求法也是值得考虑的。在求解一些分数型的三角函数最值问题时，利用函数图像以及函数性质来求解往往才是出题者想要考察的重点。
【例题】求y=■（0
【分析】首先，我们不妨将三角函数的形式改写成y=■。于是，该函数可以看成是两点A（2，0）和点（cosx，sinx）的直线的斜率。结合定义域可知，该动点的运动范围是圆曲线的上半轴，所以，欲求该函数的最小值，即是求该曲线在圆周上半圆运动时的直线斜率的最小值。此后的工作就是利用直线与圆周相切的关系，求出该切线的斜率即是原函数的最小值。从本题的求解中，我们不难看出三角函数最值问题与几何图形之间的联系，也必须坚持三角函数多样化解题的教学，实现教学的系统性。
三角函数值范文4
一、化为最基本的初等三角函数型
例1：求下列函数的最值：
（1）y=sin（x+ ）+sin（x- ）
（2）y=2sin（ +x）+sin（ -x）
略解：（1）将y=sin（x+ ）+sin（x- ）化为：y= sinx，即得：y = ，y =- .
（2）将y=2sin（ +x）sin（ -x）化为：y= cos2x，即得：y = ，y =- .
二、反解型
将三角函数解析式反解得，sin（x）=f（y），cosx=f（y），sin（x+φ）=f（y），cos（x+φ）=f（y）（φ为辅助角），然后利用正余弦函数的有界性，即|f（y）|≤1求解，常见能够反解化为上述类型的函数有：
（1）y= 或y= （c≠0，a：b≠c：d）
（2）y= 或y= （c≠0）
例2：求函数y= （x∈[0，π]）的最大值和最小值.
解：原式化为y= =-1+ ，反解得：sin2x= -2，由|sin2x|≤1得| -2|≤1？圯 ≤y≤3.
y =3，y = .
例3：求函数y= 的最值.
解法一：
原式化为：sinx-ycosx=2y-1
？圯 sin（x+φ）=2y-1
？圯sin（x+φ）=
由|sin（x+φ）|≤1得 ≤1？圳0≤y≤ ，
故有y = ，y =0.
解法二：
化为y= ，于是y表示点（-1，-2）与点（cosx，sinx）直线的斜率，用解析法可求（以下略）.
解法三：
用万能公式代换为：（1-y）tan +2tan +（1-3y）=0
tan ∈r及y≠1，
=4-4（1-y）（1-3y）≥0？圯4y（4-3y）≥0？圯0≤y≤ ，
因此，y = ；y =0.
三、化为y=asinx+bcosx型
将三角函数式化为y=asinx+bcosx，然后引入辅助角φ化简成一个角的三角函数y= sin（x+φ）再利用基本初等函数的最值求解.
例4：当- ≤x≤ 时，函数f（x）=sinx+ cosx的（ ）
a.最大值是1，最小值是-1？摇？摇？摇？摇b.最大值是1，最小值是-
c.最大值是2，最小值是-2？摇？摇？摇？摇d.最大值是2，最小值是-1
解：由已知f（x）=2sin（x+ ），因为- ≤x+ ≤ ，故-1≤f（x）≤2，故选d.
例5：函数y=sinx+cosx的最大值是？摇？摇 ？摇？摇.
解：原式化为：y= sin（x+ ），
当x=2kπ+ （k∈z）时，y = .
四、化为y=asin（ωx+φ）+k（或y=acos（ωx+φ）+k）型
例6：函数y=sin2x-2cos x的最大值是？摇？摇 ？摇？摇.
解：原式化为：y=sin2x-（1+cos2x）= sin（2x- ）-1
|sin（2x- ）|≤1
y = -1
例7：函数y=sin（2x- ）cosx的最小值是？摇？摇？摇 ？摇.
解：y=sin（2x- ）cosx= [sin（2x- ）-sin ]= sin（2x- ）-
当sin（2x- ）=-1时，函数有最小值，即：y =- .
五、化为y=pf （x）+qf（x）+r（其中p、q、r为常数）型
将三角函数式做恒等变形，等价转化为形如y=pf （x）+qf（x）+r，再进行变量代换t=f（x）化为二次函数y=pf （x）+qf（x）+r在给定区间上求最值问题，这里t=f（x）sinx（或cosx），|t|≤1，求解时需要注意变量的取值范围即可.
例8：如果|x|≤ ，那么函数f（x）=cos x+sinx的最小值是
（ ）
a. b. c.-1 d.
解：f（x）1-sin x+sinx=-（sinx- ） +
|x|≤
|sinx|≤ ，则当时sinx=- ，有f（x） =1-（- ） - =
故应选d.
例9：求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.
解：令sinx+cosx=t，|t|≤ ，则有sinxcosx= ，
于是函数式化为：y= t -t- ，解得：y = + .
六、化为能用函数的单调性或均值不等式型
例10：求函数y=sinx+ （x∈（0，π））的最小值.
解法一：
令t=sinx，t∈（0，1），则可证y=t+ 在（0，1）内为单调递减函数，从而引发y=f（t）≥f（1）=3，即y =3.
解法二：
y=sinx+ =（sinx+ ）+
≥2 +sinx=2
+sinx
三角函数值范文5
高一必修四的三角函数包含的公式多，面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多学生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式；其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法.如何确定正确的变形方法和方向是解题的关键.这节课是必修四的一堂复习课，主要是对三角函数求值的分析和探索，寻找题目中条件与目标、各个部分在结构、函数名称、角的形式等方面的差异，然后探寻消除差异的途径，实现结构同化.利用角之间的倍数和差等关系进行变角，将已知角化为待求角，将待求角用已知角表示等，都是转化和化归思想方法的体现.
教学设计理念
本课是基于维果斯基的“最近发展区理论”，从大多数学生的实际出发，考虑他们整体的现有水平和潜在水平，内容从易到难，调动了大多数学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区而达到下一发展阶段的水平，然后在此基础上进行下一个发展区的发展，使学生学有所乐，让不同层次的学生在课堂上都有所收获；并且增强学生对本学科的兴趣，也使学生学有所乐，促进学生在点滴教学中提高数学素质.在此过程中教师扮演着“促进者”和“帮助者”的角色，指导、激励、帮助学生全面发展.
课堂教学实录
课题：“三角函数求值”的复习小结
师生：复习三角公式及公式间的相互转化关系.
师：三角恒等变换中常考的题型有三类：
①“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值.
②“给值求值”，即给出一些三角函数（或三角函数式）的值，求与之有关的其他三角函数式的值.
③“给值求角”，即给出三角函数值，求出符合条件的角.
我们这节课就一起来探讨这三类型的函数求值问题.
一、给角求值
师：我们先来看一道高考题：
这样设计，使得处于不同层次的学生都能产生强烈的探究欲，从而极大地拉近了教师与各层学生的关系，提高师生合作、交流的效率.让每一名学生都能对自己有足够的自信，从而激发他们的数学学习兴趣，让他们都能健康快乐地学习.
师：①给角求值的关键是正确地分析角（已知角与待求角）之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊角.
②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值.
③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，最后由单调性求出该角.是特殊角直接写出角，不是特殊角，用反三角函数表示.
教学反思
数学教学的本质是激励学生的学习积极性，帮助学生全面发展.这节课主意是三角函数求值的复习课，很好地完成了教学任务.本节课教学中有几点不足及改进措施：
1.课堂可以更开放些.给值求值，在新课中接触得比较多，例题偏容易，而练习题是一道高考题，这两道题完全可以让学生担当教师的角色来讲解，激发学生潜在的数学素质能力.改进措施：改变教学策略，充分发挥学生潜在的能力，让学生参与到教师的角色中来，自己少讲，学生多说、多探究.
2.对学生思维能力把握不足.给值求角，在发掘题目中的隐含条件缩小角的范围的难度比较大，一开始大多数学生都想不到解决的方法，后来在老师的引导下，在思索、探索和交流的过程中获得解题方法.改进措施：在以后的教学备课中，更加注意学情，内容的跨度不能太大，要有过渡情节.
教学评析
本设计从易到难，遵循学生的心理发展规律，激发学生探究新知的兴趣，充分发挥学生的主观能动性.在教学过程中以下几方面完成较好：
1.体现课堂中学生的主体地位及教师的主导地位.数学理论和数学实践告诉我们，学生是学习的主体，教师的“教”是为学生的“学”服务的，因此，在数学教学中，充分体现学生的主体地位，调动学生的学习主动性和积极性，把学习中的学习潜力挖掘、开发出来，是提高教学效率和教学质量的关键.如：在突破本节课的难点时，给了学生思考和讨论的时间，学生碰到困难时，再慢慢引导学生去思考问题.
2.创造人人参与，人人有体验，人人成功的氛围.学生是课堂的主人，有活动实践的天性和创造成功的欲望，最大限度地发挥学生的潜能是课堂教学的灵魂.给学生提供参与的机会，发表他们自己的见解.在整节课中，学生通过亲自参与（独立学习、小组讨论、班级学习），尤其是以今年高考题作为练习题，让学生不但获得解决问题的成就感，提高了数学学习的兴趣，也培养了学生的学习能力.
三角函数值范文6
一、 形如y=a sin x+b（或y=a cos x+b）函数的最值
这种类型的函数的最值求解可用三角函数的有界性。解这类三角函数的最值问题时首先要让学生知道最值都是在给定的区间上取得的，因而要特别注意题设中所给出的区间或是挖掘题中的隐含条件。
例题 函数y=k sin x+b的最大值为2，最小值为－4，求k，b的值。
分析：通过观察可以发现函数y=k sin x+b是由一次函数与正弦函数复合而成的，我们就可以根据正弦函数的有界性以及一次函数的单调性来求解，注意在解题的时候要对k进行合理分类讨论。
解： 若k>0，则当 sin x=1时，y max=2；
当 sin x=－1时，y min=－4
k+b=2，-k+b=-4， 解得k=3，b=-1
若k
当 sin x=1时，y min=－4
当 sin x=－1时，y max=2
-k+b=2，k+b=-4，
解得k=－3，b=-1
k=3，b=-1或k=－3，b=-1
［α，β］上有最大值f（α），最小值f（β）
二、形如y=a sin 2x+b sin x cos x+m cos 2x的函数型
这种类型的三解函数的特点是含有 sin x, cos x的二次式，解此类问题的最值思想是降幂，再化为y=a sin x+b cos x的形式来解。
例题 求函数y= sin2 x+2 sin x cos x+3 cos 2x的最小值、最大值。并写出函数y 取最值时的x的集合。
分析：此题引入辅助角φ，化为y=a2+b2 sin (x+φ)，利用| sin (x+φ)|≤1即可求解。
y= sin 2x+2 cos 2x+1= sin 2x+ cos 2x+2=2 sin 2x+ π 4+2
当 sin 2x+ π 4=-1时， 有y min=2-2
当 sin 2x+ π 4=1时，有y max=2+2
此时有2x+ π 4=2k π - π 2, x=k π -38 π (k∈z)
2x+ π 4=2k π + π 2, x=k π +38(k∈z)
故函数y取最小值2-2时x 的集合是{xx =k π -38 π , k∈z}
y取最大值2+2时x的集合是{xx=k π +38 π , k∈z}
三、形如y=a sin 2x+b sin x+c(或y= cos 2x+ cos x+c)的函数
这种类型的函数的最值求解策略是把 sin x,cos x看成一个整体或换元，然后转化成一元二次函数的值域问题。具体方法是应用 sin 2x+ cos 2x=1，使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数后再求解，则使复杂问题简单化。
例3 求函数y= sin 2x+2 cos x-3的值域。
分析：此类题目可以转化为y= cos 2x+ cos +c型的三角函数的最值问题。可令t= sin x(或t= cos x)，|t|≤1化为闭区间上的二次函数的最值问题。
解：由于y= sin 2x+2 cos x-3
=1- cos 2x+2 cos x-3
=- cos 2x+2 cos x-2
令t= cos x，|t|≤1
则原式转化为：y=-t2+2t-2 |t|≤1
对上式配方得：y=-(t-1)2-1 |t|≤1
从而当t=-1时，y min=-5；当t=1时，y max=-1。
所求函数的值域为［－5，－1］。
四、 形如y=a sin x+bc sin x+d(或y=a cos x+bc cos x+d)的最值
解此类题型的基本思路是解出 sin x(或 cos x)，利用| sin x| ≤1(或| cos x|≤1)去解或利用分离常数的方法去求解。
例题 求函数y= cos 2 cos x+1的值域。
分析：由y= cos x2 cos x+1求出 cos x后，运用| cos x|≤1求出y的范围。
解：由y= cos x2 cos x+1可得(1-2y) cos x=yy≠12，
cos x=y1-2y | cos x|≤1 cos 2x≤1
即y1-2y2=y2(1-2y)2≤1，即3y2-4y+1≥0,y≤13或y≥1。
故函数y= cos x2 cos x+1的值域为-∞,13∪［1,+∞）
五、 形如y=a sin x+bc cos x+d(或y=a cos x+bc sin x+d)的最值
这种类型的函数简称“分式型”，特点是一个分式，分子、分母分别含有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种：一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y看成两点连线的斜率；三是利用万能公式转换，转化成一元函数的最值问题，其中斜率法相对比较简单。
例题 求函数y=2- sin x2- cos x的最大值和最小值。
解法1：应用三角函数的有界性。
原解析式即： sin x-y cos x=2-2y， 即 sin (x+φ)=2-2y1+y2，
| sin (x+φ)|≤1, |2-2y|1+y2≤1，解出y的范围即可。
解法2：应用数形结合法求解。
函数y=2- sin x2- cos x表示的是过点(2,2)与点( cos x,sin x)的斜率，而点( cos x,sin x)是单位圆上的动点，通过观察图形，故只须求此直线的斜率的最值即可。
解法3：应用万能公式换元求解。
设t=tgx2， 则y=
2t2-2t+23t2+1
，即(2-3y)t2-2t+2-y=0
根据 Δ ≥0解出y的最值即可。
六、 形如y= sin x+a sin x的函数型
解这类三角函数的最值，当a>1时，不能直接用均值不等式，往往是用函数在区间内的单调性来解决。
例题 已知x∈(0, π )，求函数y= sin x+2 sin x的最小值。
分析： 此题为 sin x+a sin x型三角函数求最值问题，当 sin x>0，a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。
