探索勾股定理范例6篇

探索勾股定理

探索勾股定理范文1

一、知识目标

1.了解勾股定理的文化背景,体验勾股定理的探索过程。

2.掌握直角三角形中三边的关系。

二、数学思考

在勾股定理的探索过程中,发展合情推理能力,体会数形结合和从特殊到一般的思想。

三、解决问题

1.通过探究勾股定理的过程,体验数学思维的严谨性。

2.在探究活动中,学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和探究的结果。

四、情感态度目标

1.通过对勾股定理历史的了解,激发学生爱国热情,激励学生奋发学习。

2.在探究活动中,体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识和探究精神。

【重点难点】

重点:探索和证明勾股定理。

难点:用拼图的方法证明勾股定理。

【设计思路】

本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程,鼓励学生动手、动脑、动口自主探索,并强调学生之间的合作与交流,强化应用意识,培养学生多方面的能力。

【教学流程安排】

活动一:了解历史,探索勾股定理

活动二:拼图并证明勾股定理

活动三:例题讲解,巩固练习

活动四:反思小结,布置作业

活动内容及目的:①通过了解勾股定理的历史,激发学生对勾股定理的探索兴趣。②观察、分析方格图,得到直角三角形的性质――勾股定理,发展学生分析问题的能力。③通过例题和练习,熟悉和掌握勾股定理。④回顾、反思、交流。布置作业,巩固、发展提高。

【教学过程设计】

【活动一】

(一)问题与情境

1、你听说过“勾股定理”吗?

(1) 我国著名的《周髀算经》中记载有“勾广三,股修四,径隅五”。

(2) 西方国家认为勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的,称它为“毕达哥拉斯定理”。

2、相传在2500年以前,毕答哥拉斯在朋友家做客时,发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某些特性。

(1)现在请你也观察一下,你能发现什么?

(2)你能找出图中三个正方形A、B、C面积之间的关系吗?

(3)图中A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?

(4)一般直角三角形是否也有这样的特点吗?

(二)师生行为

教师讲故事(勾股定理的发现)、展示图片,指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生,引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。

学生听故事发表见解,分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位,采用分割、拼接、数格子的个数等方法,阐述自己发现的结论。

(三)在本次活动中教师应重点关注:

1、学生能否将实际问题(地砖图形三个正方形围成的一个直角三角形)转化成数学问题(探索直角三角形的三边关系)。

2、学生能否准确挖掘图形中的隐含条件,计算各个正方形的面积

3、能否用不同的方法得到大正方形的面积,引导学生正确地得出结论。

【活动二】

问题与情境

(1)以直角三角形的两直角边a,b为边拼两个正方形,你能拼出来吗?

(2)图1、图2面积分别怎样来表示,它们有什么关系呢?

图1图2

分析:两个正方形边长相等,则它们的面积相等。

图1:S=4× ab+c2图2:S=(a+b)2

则 4× ab+c2=(a+b)2

化简可得勾股定理。

(二)师生行为

教师提出问题,学生在独立思考的基础上以小组为单位,动手拼接。

学生展示分割、拼接的过程

学生通过图形的拼接、分割,通过数学的计算发现结论。

教师引导学生通过图1、图2的拼接(FLASH课件演示拼接动画)让学生发现并验证结论:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

(三)在本次活动中教师应重点关注:

1、学生对拼图的积极性。2、学生能否进行合理的分割,能否通过拼图活动获得数学结论。3、学生能否通过已有的数学经验来验证发现结论的正确性。

【活动三】

问题与情境

例1、甲船以10海里/小时的速度从港口向北航行,乙船以20海里/小时的速度从港口向东航行,同时行驶3小时后乙遇险,甲调转航向前去抢救,船长想知道两地间的距离,你能帮忙算一下吗?

例2、求如图所示(单位:mm)矩形零件上两孔中心A和B的距离.

练习

在RtABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c (1)已知∠C是Rt∠,a=6,b=8,则c=( )

(2)已知∠C是Rt∠,c=25,b=15,则a= ( )

(3)已知∠C是Rt∠,a=3,c=4,则b=( ) (4)已知∠C是Rt∠,a:b=3:4,c=25,则b=( )

(二)师生行为

教师提出问题,学生思考、交流,解答问题。教师正确引导学生运用勾股定理来解决实际问题。

(三)在本次活动中教师应重点关注:

学生能否用勾股定理来解决实际问题,语言表达是否规范。

【活动四】

(一)问题与情境

1、通过本节课你学到哪些知识?有什么体会?

2、布置作业

①通过上网收集有关勾股定理的资料,以及证明方法。

②P77习题1、2、3题

(二)师生行为

教师以问题的形式提出,让学生从知识、技能、数学思考等方面加以归纳、总结,进行自我评价。

(三)在本次活动中教师应重点关注:

探索勾股定理范文2

摘要:勾股定理是初中数学中一个重要而有趣的定理. 勾股定理的发现导致了上千年的证明热潮,这反映出了它的无穷魅力. 观察、实验、归纳是发现勾股定理经历的过程;不断构造几何图形来证明勾股定理是人类智慧的体现. 毕达哥拉斯、欧几里得、赵爽、华罗庚等无数的数学天才照耀着勾股定理,使勾股定理影响深远. 在中学阶段,勾股定理是一个数形结合的完美例子,也是一个应用广泛的定理.

关键词:勾股定理;毕达哥拉斯;历史;弦图;探索

勾股定理是初中数学一个重要而有趣的定理. 之所以重要,在于定理本身是用代数式刻画几何关系,是数形结合的完美体现,定理也有着广泛的运用,是解决许多问题的工具. 勾股定理的发现源于毕达哥拉斯学派,其证明丰富多彩充满魅力. 对于这样一个有着特殊知识内涵,又有悠久历史内涵的定理,如何学才能既掌握定理本身,又能体验数学的无穷魅力,甚至尝试发现定理的成功,都是值得认真思量的事情.

在义务教育标准试验教科书中,《探索勾股定理》是放在《特殊三角形》一章的,作为特殊三角形之一的直角三角形的性质出现. 学生已经学习了三角形、全等三角形、等腰三角形以及直角三角形,也有了多种的研究方法(证明全等、计算面积等),为发现勾股定理提供了经验,也为理论证明勾股定理做好了铺垫.

本节课还有一个“历史”的使命,就是其本身蕴涵的丰富历史见证了数学不断发展超越的历程,是学生了解数学史的大好机会,同时对提高学习数学的热情也大有裨益. 因此,“探索”勾股定理的来龙去脉是本节课的明线,而勾股定理的发展史则是一条暗线,相辅相成,共同演绎这一精彩的“千古第一定理”.

[⇩]探索定理

探索什么样的关系?

结合自然现象研究,台风过后,街道上一片狼藉,随处可见折断的树枝. 设想情景:折断的大树,竖立部分高4 m,树尖到树根距离3 m,你知道折断前树的高度吗?

[4 m][3 m]

图1

如何探索三边的关系?

在上例的实际问题中,要得到第三边的长度,可以通过测量的办法. 在数千年的数学发展史上,我们有无数的知识都是通过实际操作得到,再加以理论化的,勾股定理正是如此. 我们可以分组画出给定两边长的直角三角形,再测量第三边的长度,从而根据三边的数据猜测边之间满足的关系. 为了使所得数据更清晰地反映这种关系,我们可以设计一些特殊的值.

[直角边a\&直角边b\&斜边c\&猜想关系\&结论\&3\&4\&\& 32+42…\&\&\&12\&13\&\&…\&\&\&\&]

三边具有什么样的关系?

勾股定理具有十分悠久的历史,是人类智慧的结晶,当然也体现了古人对真理孜孜不倦的追求. 勾股定理的发现,以及上千年来持续不断的证明热潮,正是它的无穷魅力的体现,学习勾股定理,也要学习这段历史,学习这份热情.

历史1:为什么叫毕达哥拉斯定理?

[H][M][B][A][G][C][D][E][32+42=52]

图2

在国际数学界,勾股定理往往被称为“毕达哥拉斯定理”,源于定理是该学派的一个重要发现,其发现过程与我们探索过程有异曲同工之妙,它利用地板的面积,巧妙地得到了结论,由此加以推广,这就是著名的AC2+BA2=BC2.

把刚才测量的数据代入,可以看到它们都能很好地满足这种关系,我们还可以用数学工具“几何画板”来验证:无论如何运动A,B两点,即改变直角三角形三边的长度,他们始终满足这种关系.

实践、观察、归纳,是一个重要而普遍的数学方法. 勾股定理的探索,我们既有特殊数据的测量,又有运动变化的验证,从而得出的结论就深刻地体现了这种理念. 当然,这个方法还有最后一步,也是最重要的一步,就是验证――用理论证明结论.

[⇩]证明定理

历史2:为什么叫勾股定理?

前面提到,国际上把该定理称为毕达哥拉斯定理,而中国则一直把它称为勾股定理,这是为什么呢?原来,在中华民族的悠久历史上,早就有对勾股定理的研究,它是我们古人数学研究的璀璨成果中的一颗闪亮的明星. 尤其是赵爽的“弦图”,更是该定理一个无与伦比的诠释,也是我们将之称为“勾股定理”的缘由.

[C][D][E][A][B][弦(c)][勾(a)][股(b)]

图4

容易得到,正方形ABDE的面积为c2.

再拼成的四个三角形面积与中间小正方形面积之和4×ab+(b-a)2=a2+b2.

即是a2+b2=c2.

勾股定理的证明是妙不可言的. 首先,它是对猜测、归纳得到的结论的严格论证,使之成为真正意义上的“定理”,反面的例子是著名的哥德巴赫猜想,虽然计算机验证到了非常大的数,陈景润也无限地接近了,但面对缺少严格证明的现实,我们终究只能把它叫做“猜想”,因为数学,只有严密!其次,勾股定理本身是代数与几何的完美结合,包含了数学的统一美,而定理证明的过程体现了这一思想,用正方形(几何)的面积,得到等式(代数). 另外,构图的方法也开启了证明勾股定理的先河.

历史3:延续了上千年的证明热潮!

勾股定理是几何学中的明珠,它充满魅力,千百年来,人们对它的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家、画家,也有业余数学爱好者,有普通的老百姓,也有政要权贵,甚至有国家总统. 也许是因为勾股定理既重要又简单且实用,更容易吸引人,才使它成百次地反复被人炒作,反复被人论证. 1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑,其中收集了367种不同的证明方法. 实际上还不止于此,有资料表明,关于勾股定理的证明方法已有500余种,仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法. 这是任何定理无法比拟的. 下面介绍几种著名的方法:

1. 毕达哥拉斯的证明.

大正方形面积:c2+4×ab=c2+2ab=(a+b)2=a2+2ab+b2,

化简即得.

[a][b][a][b][c][c][c][c][b][a][a][b]

[a][b][c][b][a][a][c][b][b][a]

图5

2. 美国总统Garfield的证明.

梯形的面积:(a+b)(a+b)=2×・ab+c2,

化简即得.

[a][b][b][c][c][a]

图6

3. 欧几里得的证明.

容易证明ACE≌AIB.

又S正方形ACHI=2×SAIB,S长方形AEFG=2×SACE,

所以S正方形ACHI=S长方形AEFG .

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同理,以BC为边的正方形面积=S长方形BDFG .

相加得AC2+BC2=AB2.

[H][I][C][B][G][A][E][F][D]

图7

4. 利用射影定理证明.

在RtACB中,作高CD,则由射影定理得

AC2=AB・AD,

BC2=AB・BD,

[A][D][B][C]

图8

相加得AC2+BC2=AB・AD+AB・BD=AB(AD+BD)=AB2.

[⇩]实践运用定理

当希帕斯提出既不是整数又不是分数的时候,震惊了当时的学界,这标志着“万物皆可数”的缺憾,同时也发现了新的数――无理数,史称“第一次数学危机”. 事实证明,一次危机就是一次机会,当危机出现的时候,数学已经向前跨越了一大步. 勾股定理也与无理数有着千丝万缕的联系. 试想一个直角三角形两直角边长都是1,那么斜边呢?正是!

从勾股定理的代数表达式看,a2+b2=c2是一个等式,如果知道了其中的一些量,那么就可以求出其他的量,也就是一个方程. 这是一种解决数学问题的有用的方法和思想. 在《九章算术》中就记载了这么一个问题.

如图9,一竖直芦苇露出水面1尺,被风吹动后倾斜,且苇尖刚好到达水面,已知芦苇水平移动距离是5尺,问水深及芦苇长度.

[1尺][5尺]

图9

分析可设水深x尺,则芦苇长(x+1)尺,正好构成一个直角三角形,得等式(方程)

x2+52=(x+1)2,

解得x=12,即水深12尺,芦苇长13尺.

无论是解说外在物质世界,还是描写内在精神世界,都不能没有数学. 毕达哥拉斯说,我相信,数学是我们信仰永恒的与严格真理的主要根源,也是信仰有一个超感的可知世界的主要根源. 思想要比感官更高贵而思想的对象要比感官知觉的对象更真实,很自然地可以再进一步论证,即一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理想对象. 诚如所言,人们发现勾股定理的灵感来自于直观的感受,而证明过程即是思想的火花.

追寻勾股定理的千年历程,也是世界发展的一部历史. 例如在欧洲的大航海时代,毕达哥拉斯学派中最朴实、却也最灿烂的成就――勾股定理一样起了巨大作用. 一方面,航海者的安身立命之本,另一方面,在航海者对付土著的三大法宝――火炮、《圣经》和科学技术中,起到推动作用的,亦有勾股定理. 而大航海时代又恰恰是第一、二次工业革命和现代社会的开端,多么惊人地巧合. 值得一提的是,勾股定理也被认为是测试一个种族是否有智能的条件,中国著名数学家华罗庚建议,用一幅数形关系图作为与外星“人”交谈的语言. 这幅图中有三个大小不同的正方形,它们又相互连结围成一个三角形. 三个正方形都被分成了大小相同的一些小方格,并且每条边上小方格的个数,与这条边长度的数字相等. 两个小正方形的小方格数分别为9和16,其和为25,恰好等于大正方形的小方格数,即勾股定理.

探索勾股定理范文3

关键词: 勾股定理 数学学习兴趣 实际应用 数形结合思想

勾股定理不仅是一些数学定理的基础,在生产和生活中的应用也很广泛.对勾股定理的探索,有助于提高学生学习兴趣,发展学生思维能力,体会数形结合的思想,解决实际应用问题.

一、教学“勾股定理”,培养学生学习数学的浓厚兴趣

新课标要求老师一定要转变角色,变主角为配角,把主动权交给学生,让学生提出问题,动手操作,小组讨论,合作交流,然后教师再进行点评与引导,这样做会有许多意外的收获,并且能充分挖掘每个学生的潜能,久而久之,学生的综合能力就会逐渐增强.

我是这样引入新课的:教师举例:“某楼房三楼失火,消防队员赶来救火,了解到每层楼高3米,消防队员取来10米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是3米,请问消防队员能否进入三楼灭火?”这样的问题设计有一定的挑战性,其目的是激发学生的探究欲望,引导学生将实际问题转化为数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边,求第三边”的问题.学生感到困难,老师指出:学习了这节课的内容后,同学们就会有办法解决了.这样以实际问题作为切入点导入新课,不仅自然,而且反映了“数学来源于生活”,把生活与学习数学紧密结合起来,从而提高了学生学习数学的兴趣.

二、教学“勾股定理”,让学生体会教学联系实际

我们在教学中都会有这样的体会:学生学会了数学知识,却不会解决与之有关的实际问题,造成了知识学习和知识应用的脱节,感受不到数学与生活的联系.这也是当前课堂教学存在的普遍问题,对于学生实践能力的培养非常不利.因此,新课标要求老师一定要转变角色,变主角为配角,把主动权交给学生,让学生提出问题,动手操作,小组讨论,合作交流,让他们尽情地表达,然后教师再进行点评与引导,这样做能充分发掘每个学生的潜能,久而久之,学生的综合能力就会逐渐提高.除了考试,勾股定理在生活中很少用到,但是工程技术人员用得比较多,如家装时,工人为了判断一个墙角是否标准直角.可以分别在墙角向两个墙面量出30cm,40cm并标记在一个点,然后量这两点间的距离是否是50cm.如果超出一定误差,则说明墙角不是直角.在教学中,教师要培养学生“数学来源于生活”,把生活与学习数学紧密结合起来的思想.

例如:小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机,小明量了电视机的屏幕后,发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽,他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗?你能解释这是为什么吗?

解答:我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机,是指其荧屏对角线的长度.我们利用勾股定理可以迅速地计算出对角线的长度.

58+46=5480,74=5476,5480>5476,

售货员没有搞错。

三、教学“勾股定理”,让学生体会数形结合的思想

在教学过程中,转变师生角色,让学生自主学习.注意引导学生体会数形结合的思想方法,培养应用意识.勾股定理描述的是直角三角形的三边关系,应用勾股定理的前提是这个三角形必须是直角三角形.应强调通过图形找出直角三角形三边之间的关系,要从代数表示联想到有关的几何图形,由几何图形联想到有关的代数表示.

勾股定理是人们在实践生活中,通过图形的分割探讨图形之间面积的关系过程中总结出的一种规律性特征.在历史上经过数学家和数学爱好者的不懈努力,现在记载的方法有很多种,证明的思路主要是通过拼凑两个或多个面积相等的图形,再依照面积相等的关系,获得结果.这种用“面积法”验证勾股定理的方法更为直接、简洁.教学中要引导、鼓励学生多动手探索、多观察,体验数学活动中充满着探索与创造.

例如:由四个全等三角形拼成的大正方形,求大正方形的面积是多少?

计算方法二:正方形由四个直角三角形和一个正方形构成,则面积等于各个部分面积之和为4×■ab+c■.

这时,我们可以利用上面的结论验证勾股定理:

由两种方法算出的面积相等,得出

总之,数学是自然科学中的一门基础学科。作为从事基础数学教育的工作者,我们有责任把学生领入数学科学的殿堂.最有效的方法,就是在日常数学教学中增加“学校数学”与“生活数学”的联系,使学生从“知之者”变成为“乐之者”,则事半功倍,收效甚丰.

参考文献:

探索勾股定理范文4

在数学教学过程中,而是通过数学活动,让学生渴望新知识,经历知识的形成过程,体验应用知识的快乐,从而使学生变被动接受为主动探究,增强学好数学的愿望和信心。为此,本节课主要设计了三个活动。活动一:唤起学生对新知识的渴望。学生为了解决现实生活中的一个朴实、可亲、有趣的问题,不断碰到困难,并不断在发现中解决,思维探究活跃,好奇心和探索欲望被激起。活动二:学生在探索中体验快乐。探索“勾股定理”是本节课的重点和难点。在整个探索过程中教师只是一个引导者、启发者,引导学生动手、观察、思考、实验、探索与交流;学生在整个活动中切身体验到发现“勾股定理”的快乐。从而培养了学生的探索精神和合作交流能力。活动三:学生在问题设计中巩固勾股定理。本节课是勾股定理的第一课,知识的应用比较简单,学生设计问题有一定的可行性。引导学生在掌握勾股定理的基础上自己设计问题,完善问题,并从老师的高度进行变题,学生的主体性得到了充分的体现。整个教学设计遵循“重视预设、期待生成”的原则。

二、教学过程与反思

1.第一次试上,由我独立备课,从开始备课到上课结束,始终有两个疑问没有得到很好解决。一是如何引出勾股定理。教学过程是让学生在正方形网格上画一个两条直角边a、b分别是3厘米和4厘米的直角三角形,量一下斜边长c是多少?紧接着让学生观察直角三角形的三条边在大小上有什么关系。事实上,由于缺乏足够的材料,而且量得的结果可能不一定是整数,因此很难得出正确的结论。另外,也有学生在探究时,根据两边和大于第三边得出a+b>c这个结论,认为这也是直角三角形三条边之间的关系,这便偏离了教师预先设定的学习目标。二是勾股定理的证明。解决的方案:采用教材提供的方法,即教参上所说的数形结合的方法。通过恒等变形(a+b)2=4×12ab+c2,在教师的引导下作出联想,将四个全等的直角三角形拼在边长为(a+b)的正方形当中,中间又是一个正方形,而它的面积正好是c2,从而得出a2+b2=c2。其中的难点在于,让学生自己很自然地想到用拼图证明,对于大多数学生来讲,做到这一点几乎是不可能的。教师只能带领学生进行变形、联想、拼图等一系列的教学活动。教师的讲授时间明显多于学生的探究时间,尽管教师一直在讲,但是其中的来龙去脉还是很难交代清楚。第一次反思:(1)教师的讲授时间多于学生的探究时间原因在于:凭学生已有的知识尚无能力探究这个问题,学生“一路走来”只能回答“是”“对”,思维屡屡受阻,心智活动暴露在无所依托的危机之中。(2)备课时,教师就发现了难点所在,但直到具体实施时仍束手无策,心有余而力不足,无法引导学生进行有意义的自主探究,这与教师自身的经验不足有很大关系。(3)教师不仅要抓住教学中的难点,更要找到化解难点的办法。为学生向既定的探究目标迈进铺设适当的知识阶梯,当凭自己的能力无法做到时,应向专家请教,及时有效地解决教学中存在的问题,使自己在教法上能有所改进。2.第二次上课通过集体备课,大家集思广益,针对前面两个难点重点设计,基本上解决了原有的问题。设计方案是:将整个教学过程分成八节,每一节都清晰地展现在学生面前。(1)创设问题情境,设疑铺垫。情景展示:小强家正在装修新房,周日,小强家买了一批边长为2.1米的正方形木板,想搬进宽1.5米,高2米的大门,小强横着放,竖着放都没能将木板搬进屋内,你能帮他解决这个问题吗?(2)以1955年发行的毕达哥拉斯纪念邮票为背景,观察图形,你发现了什么?并说说你的理由。图一图二(3)以小方格背景,任意画一个顶点在格点上的直角三角形,并分别以这个直角三角形的各边为一边向外作正方形,刚才你发现的结论还成立吗?其中斜放的正方形面积如何求,由学生探讨。(介绍割与补的方法)(图一)(4)如图二,任意直角三角形ABC为边向外作正方形,上面的猜想仍成立吗?用四个全等的直角三角形拼图验证。(5)介绍一些有关勾股定理的史料(赵爽的弦图、世界数学家大会会标、华罗庚建议用“勾股定理”的图作为与外星人联系的信号等),让学生感受到勾股定理的历史之悠久,激起学生的民族自豪感。(6)应用新知,解决问题。①解决刚才“门”的问题,前后呼应;②直角三角形两边为3和4,则第三边长是%%。例:一块长约120步,宽约50步的长方形草地,被不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜路,类似的现象时有发生,请问同学们回答:①走“斜路”的客观原因是什么?为什么?②“斜路”比正路近多少?这么几步近路,值得用我们的声誉作为代价换取吗?(7)设计问题,揭示本质。请学生概括用上述勾股定理解决问题的实质:已知两边求第三边长,并请学生设计能用勾股定理解决的简单问题。(8)感情收获,巩固拓展。①本节课你有哪些收获?②本节课你最感兴趣的是什么地方?③你还想进一步研究什么问题?说明:(1)通过具体的生活情景,激起了学生对本节课的学习兴趣,使他们急于想知道直角三角形的三边到底存在着怎样的数量关系,激发了他们的好奇心和求知欲。(2)学会了在小方格的背景下,用割补法求出邮票中斜放的正方形R的面积,同时为勾股定理的引出做好了充分的准备,为学生进行有意义的探究做好了铺垫。(3)证明方法可以说已经摆在这里,但由于前面的教学中计算强调过多,而忽略了计算原理,致使撤去小方格背景时,学生在证明时出现障碍,想不到补4个直角三角形,或割成四个直角三角形和一个正方形计算斜放的正方形面积。为了解决这个问题,本节课在定理证明时有意用拼图的方法再次验证勾股定理。(4)由于是勾股定理的第一课,应用较简单,学生设计具有一定的可行。引导学生在掌握定理的基础上自己设计问题,完善问题,并从老师的高度变题,学生的主体性得到了最好的发挥。第二次反思:(1)当猜想出直角三角形三边数量关系时,是不足以让学生信服的,因为猜想时直角三角形的三边均为整数,学生可能还存在疑虑:当直角边的长不是整数时,情况又如何呢?所以让学生从理性上确信这个猜想是必不可少的环节。为此,设计了任意三边的直角三角形是否存在这个问题。(2)去掉背景和具体数值,在证明字母为边的直角三角形的勾股定理时,主要是没有了正方形网格作背景,学生不能快速产生正确的思维迁移,不易想到用割补法证勾股定理。但是前面有了邮票问题做铺垫,学生很自然地会联想到用割或补的方法计算以斜边为边长的正方形的面积,从而得出了一般的直角三角形的情况,获得了勾股定理。如此设计,对于执教者来讲,最大的好处在于可以使学生的思维过程显性化,有利于教师对学生进行过程性评价,有利于及时指导学生在思维过程中存在的细节问题,还有利于教师进行教学过程的改进。(3)在做勾股定理练习时,采用开放式教学法,由学生自己出题自己解决,既巩固新知识,又提高他们的学习兴趣。但由于学生在已知直角三角形的任意两边,求第三边时,不知道一个数开平方这一知识,会出现第三边不会算的情况。关于这点,我课前早有预料:如果有这种情况出现,就为下堂课做好铺垫;如果没出现这种情况,老师上课时也不提。(4)在课堂小结时一改先前一贯做法,三个问题结束本节课。特别是后两个问题,当时学生是这么回答的:我最感兴趣的地方是割补法证明勾股定理;毕达哥拉斯怎么会从地砖上发现勾股定理的,我们平时也要多观察生活;我想知道勾股定理还有哪些证明方法;我想知道我的这副三角板中,如果已知一条边,能不能求出另外两条边。听课的老师们深深地被学生的这些问题感染了,情不自禁地给予了赞扬。这样的总结设计,把所学的知识形成了一个知识链,为每位学生都创造了获得成功体验的机会,并为不同程度的学生提供了充分展示自己的机会,尊重了学生的个体差异,满足了学生多样化的学习需要。特别是最后一个问题,把本课知识从课内延伸到了课外,真正使不同的人得到了不同的发展。(5)学生在学习过程中旧问题解决,而新问题产生,使我真正认识到上好勾股定理这一堂课是不容易的。课改几年来虽然理念上有所转变,但要真正在课堂上能运用自如,还需要不断实践。几个问题间的过渡语言,也是不断地修改,甚至一个问题要怎么问,问了后学生可能会出现哪些想法都做好了预设准备,更制定了应急方案。

三、教学理念的升华

探索勾股定理范文5

信息技术与数学课程整合是指在数学课程教学中,把信息技术、信息资源、方法、人力资源和数学课程内容有机结合,它的教学模式主要有以下几种:

一、教师为主导的演示性教学模式

教师为主导的演示性教学模式主要是利用信息技术手段,采用分层演示、影视演播、模拟动画等方式,将抽象的数学概念、定理以及难以用语言和文字表达清楚的数学知识的发生、发展过程展示出来,以帮助学生形成直观的表象,更深入理解新知识,接受新概念,提高分析和概括的思维能力,从而构建新的知识体系。在概念、定义、定理和某些抽象的数学知识的教学中,通常采用这种教学模式,尤其适合低年级的学生的认知水平。例如,在学习轴对称等概念时,可以采用flash制作轴对称的整个过程的模拟动画,播放给学生看,学生通过观察,不用教师多讲,就能很快的接受和理解轴对称的概念。

二、师生互动探究式教学模式

探究式教学模式是借助几何画板软件、图形计算器等信息技术手段,提出探究问题,创造数学实验情景,由学生通过自己动手实践做数学,让学生在动手实践的动态过程中自主观察、探索对象之间的数量变化关系和结构关系,然后去猜想、验证,最后得出结论,获取新的数学知识体系。在这种教学模式下,学生学习的时空得到极大的拓宽,学生的主体地位得到充分的体现,有利于学生从感性认识上升到理性认识,从形象思维上升到抽象思维,有利于学生数学思维能力和科学素养的培养,为学生营造了一个激发其创造欲望的环境,更有利于产生创造性的思维火花。这种教学模式比较适合高年级的教学。在内容上,常用于图形与空间的结论的验证,定理的探索以及函数图像、性质的探索等等。例如,在学习平行四边形的特征时,可以采用几何画板软件,创造实验平台。实践操作如下:引导学生自主制作一个平行四边形ABCD,度量两组对边AB、CD的长度,BC、AD的长度,度量两组对角∠A、∠C的大小,∠B、∠D的大小,用鼠标拖动平行四边形的一个顶点、观察平行四边形ABCD的形态、结构和度量值的变化。这样动手实验,大大地激发了学生的积极性和好奇心,于是他们会主动归纳得出结论:“平行四边形的对边相等,对角相等”。此时,教师可以顺着学生高涨的学习情绪,启发学生进一步探究平行四边形的对角线有什么特征,让学生思考、猜想,继续做数学实验,培养学生探究创新精神。

三、合作研究性教学模式

合作研究性教学模式是在老师的组织引导下,由学生通过丰富的网络资源查找、筛选信息和网上协作共同完成课题的一种教学模式。它是一种多学科、多纬度的综合性教学模式,将知识、计算、规律的学习与解决实际问题等目标综合在一起。例如在学习《勾股定理》时,首先教师可以利用网络等信息技术收集一些与勾股定理有关的素材,如《外星人与勾股定理》,以此创设情景激发学生的兴趣,激发了学生学习勾股定理的热情后,提出以下问题:勾股定理的内容是什么?谈谈它的由来。它的证明方法有哪些?它可以解决我们生活中哪些问题?其次讨论分析以上问题,然后分小组分任务解决。第三,学生明确目标后,带着问题独立地通过网络进行搜索、收集相关的信息。第四,引导学生通过网络进行各种形式的协作学习,发挥自己的聪明才智和想象,总结解决的办法,通过电子邮件、或在BBS上发表帖子交流,并讨论它的可行性,以及收集到的信息是否有效。第五,收集到与勾股定理的信息后,由学生汇总信息,完成课题的小结并打印成册,得到《勾股定理史话》,《毕达哥拉斯与勾股定理》,《勾股定理的证明方法》,《勾股定理在生活中的应用》,《勾股数研究的现状》等,最后做出书面汇报,回忆探索与协作的过程,反思如何从问题中提取数学知识、怎样才能找到需要的信息、如何选择有用信息、解决该问题用了哪些数量关系、与小组成员协作是否愉快、学习伙伴有哪些值得自己学习的地方、打算以后怎么应用这些数学知识和学习方法等。通过这一过程,全体同学基本上对勾股定理及其应用等相关知识都有有了比较好的掌握和理解。

不管采用何种教学模式,都是要完成课堂教学任务,都是以培养人为最终目的,因此,在构建信息技术与数学课程整合的教学模式时,要遵循以下几个原则:

1.教育性原则。所谓教育性原则就是信息技术与数学课程整合的教学模式要有助于数学课程改革目标的实现,提高学生的数学素质。这主要体现在:要改变教学过程中强调接受学习、死记硬背、题海战术、机械训练的现状,达到学生的学习主要是采用动手实践、自主探索与合作交流的方式;其次是学生在知识技能、过程方法、情感态度与价值观方面都得到发展,有利于所有学生在原有的基础上获得更大的发展。

2.有效性原则。有效性原则是指信息技术与数学课程整合的教学模式能够充分发挥信息技术的优势,使信息技术成为学生学习数学和解决问题的强有力工具。解决一些传统教学不便解决或无能力解决的教学问题。它强调信息技术对数学学习环境的优化,带来学生学习方式的转变,有利于学生老师之间的互动交流,促进学生数学能力及信息技术素养的提高。

探索勾股定理范文6

困惑一:为什么要以1955年希腊发行的一枚纪念邮票作为问题情境引入勾股定理?

本章的两幅章头图,一幅是2002年世界数学家大会的会标,选用的是我国古代数学家验证勾股定理的弦图,另一幅是用勾股定理构造一类无理数的图形。笔者认为,引导学生观察章头图,可作为本章的总领。邮票作为情境,不仅仅是考虑到邮票来源于生活,学生感兴趣,而且这张纪念邮票非常简明地、必然地将学生的注意引向本节内容的本质。问题“观察这枚邮票上的图案和图案中小方格的个数,你有哪些发现”的提出,能引发学生思考。图案是以直角三角形三边分别向形外作了三个正方形,观察图中黑白相间的小方格的个数,不难发现,以两直角边为边的2个正方形中小方格个数之和恰好等于以斜边为边的正方形中小方格的个数。这为探索课本中图2-1提出的问题“计算以AB为一边的正方形的面积”奠定了基础。教学活动可分三步设计,第一步,让学生先猜想所求面积是多少?第二步,说明猜想正确的理由,与同学交流;第三步,请同学们思考,从上述面积计算的过程中你发现了什么?通过猜想促使学生积极思考,主动地进行由邮票上的图案到图2-1的联想(小方格的数量与正方形的面积、正方形的面积与正方形的边长、正方形的边长与三角形形状的联想等),这就是用邮票作为情境的作用所在。在这个过程中,学生能主动建立由数到形、由形到数的联想,从中积累了数学活动的经验。所以,我们认为应该用好“邮票”这个情境。

困惑二:在第2节神秘的数组中,为什么要让学生尝试用小明的说理方法“画一个直角三角形,使它的2条直角边的长分别为60 mm、45 mm,看能否与ABC全等”?

笔者认为,由于602+452=752形似勾股定理的结论,首先要让学生明白这不是勾股定理,要探索的问题是“如果三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形吗?”。

其次,通过操作(画三角形)、度量,可以验证、发现所画ABC是直角三角形,确实使学生参与了探索“判定一个三角形是直角三角形的条件”的活动,也能使学生在探索的过程中,认识到数形的内在联系,体会到数形结合的思想。理应认为,探索活动可以到此为止,为什么还要介绍小明的说理方法呢?这是因为,一方面,操作与度量有时有误差,得出的结论不一定可靠;另一方面,这种方法是具体的说理过程,虽然是“同一法”(不必向学生介绍),但其目的不是介绍这种方法的思想,而是引导学生尝试用已有的知识和经验寻求解决问题的不同方法,使学生不断获得解决问题的经验。在这个过程中,学生逐步认识到度量是验证的一种方法,但结论的正确性往往还需要通过说理来说明。

困惑三:为什么要引导学生尝试描述和刻画“■是怎样的一个数?■有多大”?