摘要：文章梳理了小学估算构建属性及层级关系，综述了估算的能力知识结构和年龄阶段，分析了《新课标》对小学生估计能力的内容要求和设置，从而可帮助小学数学教师指导小学生们的估算能力发展。
关键词：小学数学；估算；估数；估测；估计
一、估算的意义
《新课标》对不同小学阶段学生估算能力的要求不同，侧重点也不同，相应的教科书对于评估能力的发展要求也给出不同的反映。为了表达在当前课程体系下学生的估计能力达到什么水平，我们需要探讨小学数学义务教育中的学生估算能力结构，探索小学阶段估算知识点的属性结构，分析学生估算能力侧重的差异性。估算的应用广泛，不仅在理论讲学上对计算结果可以进行正误判断，开发小学生的智力水平，同时在实际生活中估算也有非常现实的广泛应用。所以，估算在小学数学教学中是非常有意义的，教师需要清楚了解小学各个阶段学生的估计能力发展水平，对于小学生估算能力的培养必须“从娃娃抓起”。
二、估算的构建属性及层级关系
据调查，小学的一线教师容易混淆估计、估算、估测和估数这几个词，因此我们首先有必要明确定义这些概念，以便清晰理解。文献[1]认为估计是“粗略计算，基本上是一种快速近似。它的基本特征是放大或缩小值的值，以确定操作结果的范围或估计。”但是，估算不能单方面地视为近似计算。本文接受的是文献[2]的估计定义：“没有做出具体计算的人，只能通过利用已知的原始的知识，给出问题的粗略答案。估计的形式是心算形式，进行数学概念与算术技巧之间的相互作用过程。”估算是根据事物的性质和具体情况，对数量和变化的一般推断。文献[3]认为，这种估算不能被片面地看成一种估计，而应该是一种经常的人类心理活动，是人基于现有的数学计算经验、结合和组合特定的数学情况，并且在不经历具体物理操作的情况下，快速产生近似的计算结果。估测是人类最基本最实用的数学技能之一，包括对日常生活中的两点间距离、房屋面积、天气温度、行车速度、物品价格和重量的估计等。文献[4]给出了目前得到国内外多数人认可的定义：“人们在不使用具体专用的测量工具情况下，以某种方式推断测量的心理过程”。估数是一种被认为与数值判断相关的数学问题求解具体形式，它是一种灵活运用数学思维和数学知识的自适应问题求解方法。文献[5]认为估数是在实际中对在没有足够时间计算对象数量进行估计，或者要计数的对象数量太大，或者移动太快的对象可以不准确计算，这是一个高级的认知处理数据过程。虽然目前国内人们对于估计所涉的这几个概念没有统一接受的认可，但是从现有文献中可以看出，估计、估算、估测和估数这几个基本概念具有相当不矛盾和清晰的表达，并且还有一些概念的明显区别。本文结合上述四个概念，对小学阶段数学中所涉及的估计进行适当划分，将小学数学的各类知识及其属性来统一辨识。
三、估算的能力知识结构和年龄阶段
根据有关学者研究和文献资料，目前我国小学生的估算能力相对较弱。一般情况下，未经过特殊的认知培训干预时，成年人比年轻人有更好的估计能力。文献[6]认为学龄期学生的认知发展主要分为“跨越维度阶段”与“向量阶段”，跨维度阶段又包括三个阶段：第一阶段（3—6岁），第二阶段（7—8岁），第三阶段（9—10岁）；矢量阶段又包括三个阶段：第一阶段（11—12岁）和第二阶段（13—15岁），第三阶段（16—19岁）。检查小学生估算能力可以应用认知诊断评估理论[7，8]，这是近年来发展起来的一种新的测试形式。它基于对个人反应的一种项目形式，能够较为详细地对所测量各个知识点的掌握情况进行个体自身分析，同时，也可以比较个人并为教学提供基础。由已知测量得到的知识结构、认知情况和项目的相关体系机制，选择出适当的数学诊断模型，并使用具体的测量方法，将测试者个人的反应转化为反映者自身的认知属性，给出具体的测试者认知结构的数学表达式，并基于可以观察的外部行为来实现估算的内在知识结构及其技能掌握的目的。
四、《新课标》中“估算”设置与分析
中国非常重视小学数学的数学估算，这可以在“新课程标准”中体现出来。该标准针对小学第一阶段、第二阶段的“估算”内容，给出了详细的目标、内容标准和要求，并具体给出了关于估算、估测和估数以及它们相关的教学建议和11个例子。小学第一学段（1—3年级）的目标是：体验从具体生活中“数”的抽象出来过程，理解“数”的抽象含义，初步了解小数与分数；了解共同的金额；了解四则算术运算的具体意义，掌握必要的算术运算规律及其技巧，并准确计算；在具体情况下，学生能够选择适当的度量单位进行简单的估算。在使用数量和适当的度量单位来对现实生活中的简单现象进行描述，并在估算操作结果的过程中培养他们的数学思想。在具体的观察、实践等活动中，让学生能给出一些具体的方法及简单的猜想。小学第一学段（1—3年级）的内容标准：在关于数与代数方面：感受大数在生活背景下的意义，做出简单的估算；对于适当的度量单位选择，能够结合具体的实际情况，进行简单估算及其在生活中的作用。在关于图形和几何方面：让学生估计一些具体物体；掌握“矩形”、“正方形”的面积公式，能够估计一些像桌子、黑板等简单图形的面积。小学第二学段（4—6年级）的目标：感受大“数”在特定情况中抽取出来的过程，会估算10000以上的数；了解分数、百分比、小数和负数的含义与估算；掌握一些估算的必要算术技巧、方法和意义；定量之间的关系会用简单的一次方程来表示，并能够求解简单的一次方程。在观察、验证等实践活动中提高学生的数学逻辑推理能力和思维过程。小学第二学段（4—6年级）的内容标准：在关于数和代数方面：感受大“数”结合实际情况的含义并能够估算大数的数值；能够结合所解决的具体实际问题，会选择合适的度量单位和估算方法。在关于图形和几何方面：掌握圆的面积公式；通过方格纸的运用，会对不规则图形的面积进行“估算”；按照所给定的数值比例，能够在图纸上具体绘制图形。在关于统计和概率方面：可以解释简单的概率统计结果，并做出较为简单的随机判断和预测进行交流；通过实验、观察等其他活动，感知事件发生的可能性（即概率）大小，能够简单定性地描述随机事件的发生概率。从“新课标”中我们可以看到中国在数学“估算”能力培养中的关键点。在小学数学估算的第一学段，侧重对数的感知、计量单位认知和正方形、长方形图形面积等，数量和单位的数学表示是基于估数和估测，通过大量与生活相关的情况建立的。在小学数学估算的第二学段，注重对大数的认知过程和思维水平，估计内容多是估算、估测。在第一和第二段中都设置有估算、估测和估数，其困难不仅仅表现在四则计算中，而且还表现在小数和分数的计算中。
五、总述
学龄期学生的认知发展，按照文献[6]的“加性估计的估算理论”，主要是跨越维度阶段和向量阶段，其中跨越维度阶段分布在6—10岁的小学1—4年级的数学期间，向量阶段的小学5—6年级（小学生11—12岁）时，在数与代数方面主要学习多位数的四则运算、小数、分数和百分数的算术运算，这也是估算的主要内容。调查分析研究表明，小学3年级和小学6年级是学生估算能力发展的关键时期。另外，3年级和6年级也是中国义务教育阶段的关键时期。所以，我们广大小学数学教师需要抓住小学阶段学生估算能力发展的关键时期，清楚了解学生估算能力的发展过程，对帮助指导学生估算能力的提高起着重要作用。
作者:王元 单位:荣光国际学校 浙江师范大学
