高等函数的概念范例6篇

高等函数的概念范文1

【摘要】新课标；高中函数教学；思考

在教学中教师要让学生做课堂的主人，做知识掌握和运用知识解决具体问题的主人，让学生“活”起来，“动”起来.通过情景创设、例证辨析、主动质疑等课堂环节让学生掌握函数的概念的内涵和外延，并能运用函数的概念理解和解决其他数学问题.本文就教学过程中学生的情况和自己的反思，谈几点自己的思考.

一、加强高中函数思想方法的应用

函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型.因此，函数在现实世界中有着广泛的应用.加强函数的应用，既突出函数模型的思想，又提供了更多的应用载体，使抽象的函数概念有更多的具体内容支撑.

二、教学中注重函数概念的实际应用

抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解，生活中的许多问题都是通过建立函数模型而解决的，因此在函数概念教学中，可以通过函数性质比较大小，求解方程、不等式，证明不等式等活动加强理解，同时引入具体的函数生活实例，如银行的利率表、数学用表、股市走势图，让学生记录一周的天气预报，列出最高气温与日期的函数关系等等.这样学生既受到思想方法的训练，又对函数概念有了正确的认识，使学生相应的数学能力得到充分的培养与发展.

三、强调函数背景及对其本质的理解

在整个中学阶段，函数的学习始于义务教育阶段，而系统的学习则集中在高中的起始年级.无论是引入函数概念，还是学习三类函数模型，新课程标准都要求充分展现函数的背景，从具体实例进入知识的学习.以往教材中，将函数作为一种特殊的映射，学生对于函数概念的理解建立在对映射概念理解的基础上.学生既要面对同时出现的几个抽象概念——对应、映射、函数，还要理清它们之间的关系.实践表明，在高中学生的认知发展水平上，理解这些抽象概念及其相互之间的关系存在很大困难.而从函数的现实背景实例出发，加强概念的概括过程，更有利于学生建立函数概念.一方面，丰富的实例既是概念的背景，又是理解抽象概念的具体例证；另一方面，在实例营造的问题情境下，学生能充分经历抽象概括的过程，理解概念内涵.

四、在教学中要强调启发式教学的地位和作用

中学数学教学方式要强调综合性，该让学生活动的地方教师绝不代替，而且要把实质性的概括机会留给学生，例如具体实例共同特征的概括就应该让学生完成.但要注意，不讲不等于放羊，不是教师无所作为，而是“此时无声胜有声”，是教师通过问题启发，激疑、激思而使学生进入独立思考阶段.同样，讲授≠注入，不是教师胡乱作为，而是启发式讲解，是答疑解惑，而且该讲解的地方要讲准、讲透.例如函数的定义就应当在学生对具体实例共同特征的概括后，由教师讲解而不必让学生探究，逐步培养学生用概念解释数学对象的能力与习惯，是促使学生深层次参与课堂教学的有力举措，体现了思维教学的真谛，也是培养学生思维能力的有效途径.

五、注重函数概念与信息技术教学的结合

进入高中的学生思维较为单一，认识比较具体，注意力不够持久，并且高中数学比较抽象，学生学习普遍感到困难，因此在教学过程中应创设一些知识情境，借助现代教学手段多媒体进行教学，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习.应用信息技术时要根据教学需要、学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用，并且运用要适度，要掌握分寸.函数概念教学中，教师可以借助于几何画板、图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作，观察函数图像的变化过程，引导学生交流与讨论，更好地学习和理解函数.

六、注重突破难点，显化过程，加强联系的方法

高等函数的概念范文2

关键词 高一 函数概念 有效教学

一、高一学生对函数概念学习的理解水平

（一）对基本概念、基本知识掌握不牢固

数学概念、基本知识的学习是数学学习的基础，需要正确理解概念，正确、灵活运用概念、公式解决数学问题。在这方面绝大多数教师在教学中已经作了很大努力，但考生对数学概念望文生义、臆造公式和法则，忽视双基，导致基础题丢分，成绩不理想。函数概念学习中有许多错误表现为学生认知的“惯性”。这种思维导致学生在数学概念中不知不觉地犯某种错误，表现为不恰当的推广、扩大，不恰当的方法迁移，或者在过于限制的领域内建立联系，而没有整体地去看问题，或者是对某一数学方法的偏好，而忽略其对立的方法，或者思考问题时思维的单向性、单一性。思维惯性影响低层次认知水平向高层次认知水平迁移，影响着新的认知结构的建立和发展。

（二）知识的掌握不扎实、方法不熟练

由于学习进度快，前面学习的内容没能得到及时再巩固，使大多数学生知识的掌握存在漏洞，不扎实、不系统、不牢固，在考试短时间内综合运用显得力不从心，考虑到这就忽略那，从而造成答题不完整，步骤不全、条件不全等情况。

学生在学习新概念时，常常按过去的经验、结论、方法对概念作“合理”的推广，由于没有清楚新的概念层次与原来概念层次之间的差异，所以大多数“合理”推广是错误的。但是推广是数学研究与学习极为重要的途径，是学生在同化与顺应过程中的思维构造，它可以扩展学生思维、培养学生探索能力。学生自身具有探索、创新的潜能与欲望，他们时刻自觉地在作尝试、推广工作。但他们掌握的知识毕竟有限，有时在推广时考虑不那么全面，往往会导致出错。特别是在函数概念学习中，他们同样会这样做，这种推广是人类天性与潜能，有时会导致错误，但是只要教给学生一定的方法，错误还是能尽量避免的。

（三）基本运算能力不过关

运算能力的考察在平时的考试和学习中中占有一定分量，试卷中具有非常明显的比例。由于运算不过关导致不能正确地对试题作答的情形在考生中十分普遍。计算和式子变形出错很多，公式不熟，步骤、格式不规范，该写的步骤不写，该加的条件不加，符号表达不准确等现象，造成该得到的结论没有得到，这对下一步的思考带来了障碍，使学生被一些表面现象所迷惑，对概念的理解也会出现失误，从而影响正常的判断。

二、对高一函数概念有效教学的建议

函数概念多元表征情景的创设是函数概念多元表征教学的前提。与实验教材相比，新课标中函数概念更注重多元表征情景的创设。譬如，函数具体实例表征由过去的“两个数集对应”，换成了 “解析式”、“图象”、“列表”三种对应。另外，时下数学课堂，虽注重多元表征教学情景的创设，但总体来看，很多教师只是照本宣科地由情景到情景，并没有注意或意识到函数概念多元表征情景的优化。本研究依据数学多元表征学习视角，认为优化函数概念多元表征教学情景，可以遵循以下原则。

（一）导入遵循“变量说一对应说”

函数概念经过了 200多年的发展，在演进过程中衍生多种界定，形成了不同的表征。总的来看，我国初中到高中对函数概念界定，主要遵循。变量说一对应说。因此，对于高中函数概念的教学，应该在变量说的基础上再现函数概念的发生、发展与形成过程。

（二）具体表征实例包含“式、图、表”三种表征

解析式是函数的符号表征，具有抽象性、简洁性、运算性等特点，是形成函数概念言语化表征的学习材料。图象、列表是函数的图象表征，具有直观、形象，是形成函数概念视觉化表征的必要学习材料。有关多元表征功能的研究表明，言语表征与心象表征具有互补、限制解释以及深度理解等功能，函数概念三种不同的表征形式，可以建构多元表征的学习平台，有利于促使学生学习函数概念的多元表征，并在多元表征的转换与转译中实现对函数概念本质的理解。

（三）“听、说、看、写”相结合

多次实际课堂观摩发现，许多课堂注重关注学生的“听”和“看”，这样的“填鸭式”课堂，学生极度缺乏“说”和“写”的机会，无法促进学生深度加工各种表征，多元表征的教学与学习最终只能流于形式。

双重编码理论认为，言语码和心象码可以通过不同的感觉通道获得，各种编码形式可以是视觉的、听觉的、甚至触觉的。因此，课堂上要求学生听、说、看、写等，可以促使他们从多元渠道学习函数概念，从而把握函数的多元属性。

（四）深度解释策略

从“解释策略”的角度看，目前数学概念教学中主要存在着两个缺陷：其一，以教师的解释为主，甚至许多教师独揽了解释权；其二，许多概念的解释过于形式化，。一个定义，几点注意。常常淹没了概念的本质属性。概念解释的缺乏或解释过于肤浅，都不利于多元表征的转换与转译操作的产生以及实现。

深度解释策略，主要包括教师的解释与学生的解释两个方面，而且更突出后者。这是因为，通过深度解释，学生使自己的编码外显化，通过对他人解释的内容批判性考察，学生间的个体数学知识可以相互补救，以促进和增强深层码、整合码的建构。

在函数概念的教学中，我们可以设计看图说话、积极回答问题、积极参与讨论、主动交流与分享等活动，促使学生对函数概念进行深度解释。譬如，在学习完函数的定义表征后，我们可以创设这样的深度解释机会：从宏观看，函数概念包含了哪些主要因素？从微观看，函数概念主要因素间应该满足什么条件？张同学通过观察，认为函数概念就像“加工厂”，他的这个比喻是否合理？为什么？这些问题的深度解释，能引导学生从文字表征、符号表征、图象表征等各方面进行加工、转换、转译，有利于学生整合各种表征，从而抓住函数的本质属性。

参考文献：

[1]谈雅琴."高一学生对函数概念的理解"的调查研究[J].中学数学教学参考，2007，1-2：119-121.

高等函数的概念范文3

首先，先将寒假分为八个阶段，然后按下面计划进行，完成高等数学（上）的复习内容。

1 第一阶段复习计划：

复习高数书上册第一章，需要达到以下目标：

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.

6.掌握极限的性质及四则运算法则.

7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.

8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.

9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.

本阶段主要任务是掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；基本初等函数的性质及其图形；数列极限与函数极限的定义及其性质；无穷小量的比较；两个重要极限；函数连续的概念、函数间断点的类型；闭区间上连续函数的性质。

2第二阶段复习计划：

复习高数书上册第二章1-3节，需达到以下目标：

1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.

本周主要任务是掌握导数的几何意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；牢记 基本初等函数的导数公式；会用递推法计算高阶导数。

3 第三阶段复习计划：

复习高数书上册第二章 4-5节，第三章1-5节。需达到以下目标：

1.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.

2.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理.

高等函数的概念范文4

一、重视数学概念的体验――促进学生参与到概念教学中

在数学概念教学中教师往往喜欢在课堂上滔滔不绝地讲，很少创设情境让学生参与概念的提出，这样学生不但记不住概念，也很难理解概念实质，更不用说灵活运用了，因此教师在概念教学中，应积极探索、合理创设问题情境，使学生都能参与教学过程，同时鼓励学生提出问题，使概念的推出是大家的功劳，使每一位学生都具有成就感，从而激发学生学习数学的积极性。

例如：在教学函数的单调性时，为了让学生对单调性有个感性的初步认识，设计了如下问题情境：

引例1： 试作出下列各函数的图像，并通过观察各函数图像，指出函数值Y随着x的增大的变化趋势。

（1）Y=x+1；（2）Y = 1／x； （3）Y=x2 ；（4）Y=x3 。

首先请4位学生上黑板分别作出4个函数的大致图像，然后用多媒体演示了列表、描点、连线，作出图像的全过程。引导学生观察图像、及列表过程的数值变化，得出下列结论：（1）Y随 x的增大而增大。（2）在Y轴左侧，Y随x的增大而减小；在Y轴右侧，Y随x的增大而减小。（3）在Y轴左侧，Y随x的增大而减小；在Y轴右侧，Y随x的增大而增大。（4）y随x的增大而增大。

继续引导学生得出下列结论：

（1）Y随x的增大而增大的图像具有―― 从左往右看有逐渐上升的趋势；

（2）Y随x的增大而减小的图像具有―― 从左往右看有逐渐下降的趋势。

引例2 ：下列哪种说法可以描述函数Y=f(x)具有上升的趋势：

(1)在定义域内存在两个数x1 , x2当x1 > x2时，都有f(x1)>f(x2)；

(2)在定义域内对任意两个数x1 , x2当时x1 > x2，都有f(x1)>f(x2)。

讲解过程中学生对存在、任意关键词理解不透时，可结合引例1中的Y=x2 的图像举反例加以说明。例：对函数Y= x2， 存在 x1=2， x2=一1，时f(x1)=4，f(x2)=1，有 x1> x2时f(x1)>f(x2)，但函数却既有下降趋势又有上升趋势。所以说法(1)不能正确描述函数具有上升趋势。而说法(2)能正确加以描述。之后设问：“能不能去建立一种理论用来描述函数图像上升、下降的趋势呢?”再引导学生去归纳提出增函数这个概念，使学生能够把自己对增函数的初步认识上升到理性认识。同时顺理让学生说出减函数的概念。使学生感到概念的提出不是生硬突然，不是为了学概念而听概念，为了用概念而去背概念。增强了学生学习数学概念乃至学习数学的兴趣，同时也增强了学生积极的思维能力、大胆探索能力。

二、重视对数学概念的阅读，培养学生学习数学概念的能力

中学生往往缺乏阅读数学概念的习惯，这除了数学概念难以读懂外，另外一个原因是许多数学教师在讲课时，也很少阅读课本，喜欢滔滔不绝地背概念，满满黑板的写概念，使学生产生依赖性，从不关心这个数学概念在课本的哪一页，完全脱离课本，数学课本是数学基础知识的载体，课堂上指导学生阅读数学概念 ，不仅可以正确理解书中的基础知识，同时，可以从概念的字里行间挖掘更丰富的内容，此外，还可以发挥概念使用文字、符号的规范作用，潜移默化培养和提高学生准确说写的文字表达能力和自学能力。

???重视阅读数学概念，首先教师在引导讲解概念时，应让学生翻开课本，教师按课本原文逐字、逐句、逐节阅读。在阅读中，让学生反复认真思考，对书中叙述的概念、定理、定义中有本质特征的关键词句要仔细品味，深刻理解其语意，并不时地提出一些反问：如换成其它词语行吗？省略某某字行吗？加上某某字行吗？等等，要读出书中的要点、难点和疑点，读出字里行间所蕴含的内容，读出从课文中提炼的数学思想、观点和方法。教师在课堂上阅读数学概念，不仅可以节省不必要的板书时间，而且可以防止因口误、笔误所产生的概念错误，从而使学生能准确地掌握课本知识，提高课堂效率。

例如：在教学反函数时，为了让学生透彻的理解反函数，引导学生认真、仔细、逐字、逐句的读。在阅读过程中体会反函数概念中的三段内容，第一段：设函数y=f(x),(x∈A)设它的值域为C，根据y= f（x）中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x= φ（y）;引导学生认识原函数的定义域、值域及从原函数式反解x的过程。第二段，如果对于Y在C中的任一个值，通过x= φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应，那么X= φ（y）表示y是自变量，x是自变量y的函数；引导学生认识这是判断X= φ（y）为函数的过程，从中体会确定函数的映射是一一映射，从而明确怎样的函数才具有反函数，而且X= φ（y）的定义域为原函数的值域，值域为原函数的定义域；第三段：函数X= φ （y）（y∈C）叫做y= f（x）（x∈A）的反函数。记作 x=f-1（y） 习惯记作y=f-1 （x）这一段是通过以上两段给反函数下定义以及正确的符号表示 。只有通过阅读对反函数概念的仔细阅读才能深刻体会它的内涵，才能判断一个函数是否有反函数，才能重视原函数与反函数的定义域、值域的关系，同时也读出了求反函数的三个步骤。因此教师在数学概念教学中，应充分重视数学概念的阅读，增强学生对概念的重视，使学生深刻地理解概念，体会概念的内涵，促进学生从概念中发现解题路径。

三、重视数学概念的深层内涵――促进学生学习数学的严谨性

高中数学教材的抽象性和隐含性比其它学科显得更为突出，数学中的知识点要通过思维和逻辑推理才能揭示，由于学生受思维和推理能力的限制，以及没有阅读数学概念习惯，许多学生对数学概念理解不透彻 。因此在高中数学概念教学中教师首先将概念中隐含的知识点挖掘出来，创设问题情境加强学生个人体验，即需要寻找接近学生对知识体验的各个方面的途径，使其能意识到从体验中挖掘出数学概念所蕴涵的深层思维、方法和知识。从而培养学生学习数学的严谨性。

例如，判断函数的奇偶性的等式f(－x)=f（x）,f(－x)=－f（x）就隐含着定义域关于原点对称这个前提。而学生往往忽视这个重要前提而导致失误。在讲解时可先提出引例，如：判断函数y=的奇偶性，根据函数式可知函数的定义域为（0，＋∞），自然学生会体会到若讨论函数的奇偶性首先看函数的定义域是否关于原点对称，再来观察等式f（-x）=f（x）,f（-x）=-f（x）进一步体会隐含着定义域关于原点对称这个前提。?因此教学数学概念时一定做到体会数学概念的深层内涵做到疏而不陋。

（作者单位：河北省张家口市宣化县第一中学）

高等函数的概念范文5

关键词：数学概念；中职生素质；概念形成；概念教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2017）07-0243-02

1.提高中职生素质的重要意义

什么叫做素质？素质是指一个人在政治、思想、作风、道德品质和知识、技能等方面，经过长期锻炼、学习所达到的一定水平。它是人的一种较为稳定的属性，能对人的各种行为起到长期的、持续的影响甚至是决定的作用。在我国的现代化建设中，各行各业不但需要一大批科技管理人才，而且需要数以千万计的高技能人才和数以亿计的高素质劳动者，没有这样一支高技能、专业化的劳动大军，再先进的科学技术和机器设备也很难转化为现实生产力。21世纪对人的素质要求不仅是知识、技能方面的提高，更重要的是能应变、生存和发展，素质低下的人终究被社会淘汰。中职学校培养的毕业生将直接服务于社会，所以，素质教育在中职学校占有突出地位，作为公共科目的数学科在教学中如何实施素质教育，提高中职生的素质呢？笔者认为，数学概念是最能实施素质教育的内容，加强基本的数学概念教学就是加强中职生的素质教育。

2.数学概念是数学学科体系的基本内容

先来明白什么是概念？从广义上说，概念是对客观事物的本质属性加以反映的思维形式。人们在认识客观现实过程中，从感觉到的事物共同特征中抽象出本质属性而形成概念。例如："人"这个概念，抽象出人的本质属性"能制造工具并使用工具进行劳动"之后，就得出了"人"的概念，"人是能制造工具并使用工具进行劳动的高等动物"。什么是数学概念呢？数学概念就是现实世界中某类事物的空间形式和数量关系及其特有的属性（或本质属性）在思维中的反映。例如，2013年6月第2版的中职数学课本（数学基础模块上册P44）的函数定义虽然叙述得很长，但是，"函数"的本质属性分开来说就是两点：①在一个变化过程中有两个变量X和Y，其中变量X在它的取值范围数集D内先变化大小。②对于数集D中的每一个X值，按照某个确定的对应法则f，都对应着一个Y值。符合这两点要求的Y就是自变量X的函数。一个数学概念既是对前面知识的总结，又是新知识的出发的。例如，得出函数概念之后，对函数值Y因自变量X的变化而变化作进一步研究，就发现了许多的函数性质而得出一系列的数学概念：函数的增减性、奇偶性、周期性等等。从小学数学到中职数学的概念超过一千个，以数学概念为出发点展开形成了数学的全部内容，数学概念是数学学科体系的基本内容，没有数学概念便没有数学这门学科。数学中研究的任何对象都是从对象的概念形成开始的，并以此为出发点研究对象的判定和性质。所有定理、法则的逻辑推导，都是以概念为基础的。理解数学概念不仅是掌握数学知识的前提，同时还是学习其它一些学科所必需的。例如，比例、坐标系等概念广泛应用于物理、化学、天文、测量等科学技术之中。学生理解了数学概念就有了自我学数学的基础，就会提高学习兴趣并能跳出题海。而且学生在理解数学概念的过程中，还能形成解决问题的数学思想方法。可见，重视数学概念教学就是重视素质教育，抓好数学概念教学就是提高中职生素质。中国科学院数学与系统科学研究院研究员李邦河院士说过：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！

3.数学概念的特点和中职生的学习情况

由于数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的思维形式，它是排除了这类事物对象的具体物质内容（如重量、颜色、气味等）之后的抽象，所以数学概念具有高度的概括性和抽象性，而且有的数学概念是在原有数学概念基础上进一步概括形成的。例如，函数概念是在原有的概念"变量"、"集合"、"对应"的基础上形成的。低抽象度概念一般可以看作高抽象度概念的具体模型，可见，数学概念的抽象程度、概括程度还表现出层次性，这就给中职生学习数学概念造成较大的困难。而且数学是一门知识连贯性特别强的学科，前面基础知识的学习必然会影响后面内容的学习，可是，中职生的数学基础知识普遍较差，主要原因就是没有理解过去学的基本数学概念。

4.以例探讨进行中职数学概念教学

学生理解数学概念，一般是从感性开始的，采取从感性到理性，又从理性到实际应用的过程进行教学，是符合学生认识规律的。对于同类数学对象的共同本质属性，引导学生从大量同类数学对象的不同例证中分析发现，这种形成数学概念的方法特别适合中职生。例如，函数概念是众所周知的教学重难点，大部分中职生过去没有理解初中函数概念，现在又要进一步学习中职函数概念，是乎有难以克服的困难。事实上，中职函数概念与初中函数概念的区别不大，把初中函数定义中的自变量X的取值范围记作D，就可以得出中职函数定义。因此，对中职函数概念的教学应采取温故知新的教学方法。课本教材以知识回顾的形式再现初中函数定义，并附上一个函数实例，这就是温故知新的教学思路。但是，如果照本宣科，那么原来不理解的学生还是不理解。怎样才能做到温故知新呢？笔者认为既然学生曾经学习了初中函数概念，就先让学生阅读课本中的知识回顾即初中函数定义，尽管大部分学生看不懂，也不宜立刻讲解，而是事先将课本中的函数实例"商店销售某种饮料，售价每瓶2.5元，应付款是购买饲料瓶数的函数"，以表格形式列出应付款与瓶数的对应值表。必要时，在课前还要准备一些不同类型的函数实例。如：（1）银行的整存整取年利率Y与存期X的对应值表。（2）某地某天内的气温Y随时间X变化而变化的曲线图。（3）某校某天学生回校率Y=X/1500（X是小于或等于1500的正整数）。以上例子有对应值表、曲线图形、含有两个变量的式子，它们的形式虽然不同，但是，在每一个问题中都先后出现了两个互相影响大小的变量X和Y，而且先出现的变量X在允许的范围内每取一个值都会得出另一个变量Y的一个值，或者说另一个变量Y随之就会只有一个值与它对应。由此概括抽象出初中函数定义：如果在一个变化过程中，有两个变量，例如X和Y，对于X的每个值，Y都有唯一的值与其对应，那么我们就说X是自变量，Y是X函数。当学生理解了初中函数概念，就很容易理解中职函数概念，只要问一问学生：在形成初中函数概念所举的以上实例中，自变量X都有取值范围（集合）吗？把自变量X的取值范围不妨记作集合D，对于集合D内的每一个X值，是不是按照某一个对应法则f，都对应着一个Y值？经过学生的思考回答之后自然就会理解中职函数定义。并告诉学生对函数概念重新下定义的主要原因是解决初中函数不能解决的问题，使函数应用更广泛。

一个概念既是对前知识的总结，又是新知识的出发点。比如得出函数定义之后，接下来就是研究函数性质，当自变量X在定义域D内由小变大时，根据函数Y=f（X）的变化特点，得出函数单调性和奇偶性等概念。这些概念不仅是重要的基础知识，而且还能解决许多实际问题。那么，如何进行函数单调性的教学呢？课本首先给出了一个实例：观察某市气温时段图（P46图3-1）。教师不难引导学生得出函数单调性的描述性定义：像这样的函数，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性。这是用自然语言描述的函数单调性定义，还不能直接应用于有关数量问题的解决，还必须用数量之间的大小变化关系定量地反映函数单调性得出定义，才能解决问题。课本的增函数定义是：设函数Y=f（X）在区间（a，b）内有意义。如果对任意的X1，X2∈（a，b），当X1

高等函数的概念范文6

关键词：数学文化；概念教学

数学是一种文化现象. 历史上柏拉图、达・芬奇、爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯・诺依曼等文化名人同时也是20世纪数学文明的缔造者. 在高中数学课程标准中，数学文化已成为一个单独的板块，人们对数学文化的存在价值有了特别的关注.进入21世纪之后，数学文化的研究更加深入. 其中一个重要的标志，就是数学文化走进中小学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动.

概念是人类思维的“细胞”. 各种能力，如运算、逻辑思维、空间想象能力、创新能力等，无一不以清晰的概念为基础. 所以，如果要提高数学教学质量，注重数学概念的教学是十分必要的. 数学概念作为数学学科的奠基石，是数学教学过程中的重中之重. 学生对数学概念的理解、掌握和运用是数学教学的重点. 本文就数学文化应用于数学概念教学陈一孔之见.

[?] 用数学文化铺垫概念教学，去其功利

著名数学家柯朗（Richard Courant）在名著《数学是什么》的序言中这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机”. 在中国数学教育界，常常有“数学=逻辑”的观念. 高中数学概念教学有些现象很令人担忧：教师重解题技巧，轻概念生成，追求概念教学最小化和习题讲解最大化；学生认为概念学习单调乏味而不重视它，对基本概念死记硬背、不求甚解，只是机械记忆. 直接后果表现为学生在没有真正理解概念的情况下匆忙去解题，使得他们只会模仿教师解决某些典型例题的题型和掌握某些特定的解法，一旦遇到新的情况、新的题目就束手无策，进而导致教师和学生为了提高成绩，陷入无休止的题海之中，数学教学变成了一种空洞的解题训练.

造成以上现象的主要原因在于学生仅仅知道数学概念本身，并未理解概念的形成过程，对概念引出的必要性、概念的本质及其功能没有深刻的认识. 《普通高中数学课程标准》指出：“数学教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心的概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步理解. 由于数学高度抽象的特点，注意体现基本概念的来龙去脉.在教学中要引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质”. 因此，我们要使学生真正领会和把握数学概念，教师就必须在概念生成的环节不惜时，不惜力. 比如，我们在教学“函数”这一概念，可能需要用大半节课引入概念，剖析概念，研究函数的内涵和外延. 虽然从短时看，这可能比不上做大量练习的效果，但学生理解了函数的概念和本质，对以后灵活解答各类问题有极大的帮助.

[?] 用数学文化指引概念教学，探其根源

概念教学不能“就事论事”，只注重这个“点”，这样只会“见木不见林”. 数学文化指引我们找到知识体系大树中，概念的根深藏于什么位置，围绕根来开展教学，这是概念生成的基础. 概念生成的核心，就是要让学生在探索、辨析、感悟和运用中提升自己的数学思维，完善自己的知识体系，构建自己的数学思想，以达到使学生获得必备的数学素养与最佳发展的目的，即寻找概念的根，理解概念的魂.

比如，复数和虚数的概念有悠远的历史背景，是数发展到一定阶段的必然产物. 在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，在学生的有限的知识结构中也找不到虚数的生活原型，所以学生很难完全理解它. 因此，在讲解这两个概念时，可以将数的发展史、虚数与复数的出现历程做简单阐述.从原始人分配食物开始，首先是自然数的出现，然后到分数的出现. 接下来经过漫长的数的发展，人们又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率等. 人们把它们写成π等形式，称它们为无理数. 到19世纪，由于运算时经常需要开平方，如果被开方数是负数，比如x2+4=0，x2=-4，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁. 这样，可以让学生融入教学中，跟着故事的结尾一起思索，然后引入新概念：数学家们就规定用符号“i”表示“-1”的平方根，即i2= -1，虚数就这样诞生了. 实数和虚数结合起来，写成 a+bi的形式（a、b均为实数），这就是复数. 这种引入概念的过程新颖别致，一开始就能抓住学生的眼球，吸引他们的注意力，使课堂教学轻松有趣.

我们在做教学设计前，可以先问自己几个问题：（1）概念的来源理清了吗？（2）概念的内涵与外延是什么？（3）与之相关概念的相互关系是什么？（4）概念有什么文化作用？掌握了概念的根，就可以准确把握向量在不同教学阶段的不同含义和不同的教学要求：先从实际模型抽象出概念，然后用数学方法研究性质，最后运用模型解决问题，这样就体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，从而形成对数学的完整认识.

[?] 用数学文化剖析概念教学，理其脉络

美国教育心理学家布鲁纳曾指出：“获得的知识如果没有完满的结构将它联系在一起，那是一个多半会被遗忘的知识. 一串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命.” 就数学概念教学而言，素质教育提倡的是为理解而教.

众所周知，概念的教学是循序渐进的. 我们在进行教学时可以设计一系列问题从基础入手，层层深入，循循善诱.让学生在一系列问题中. 逐步了解概念的由来，关注概念的发展，理清概念的脉络，探求概念的本质.

比如，笔者在教学增函数这一概念时，设计了这样一系列问题：

问题1 给出某地近十年来经济发展变化图，观察图象，怎样描述经济随时间增大的变化情况？

问题2 函数y=x，y=x2从左往右看呈何趋势？

问题3 对具体的两个值a

问题4 若区间[a，b]上存在无数个值x1

问题5 那么f（x1），f（x2）与x1，x2之间要满足什么样的关系，才能得出函数在区间[a，b]上y随自变量x的增大而增大呢？（必需是任意两点都满足条件）

[?] 用数学文化深化概念教学，究其本质

数学概念一般来源于实际问题的解决或数学自身发展的需要，在其以定理、法则、公式这些冷冰冰的形式化知识展现的背后，隐藏着原始的、生动活泼的数学思维，这就是概念形成的目标，华罗庚教授说得好：“学习数学最好到数学家的纸篓里去找材料，不要只看课本上的结论”.

课堂上可采用在概念的形成中掌握概念的策略，以数学概念原理的发生发展过程为引入线索，问题引导学习，循序渐进地安排学生的观察（实践性探索）、思维（理性思考）和迁移（知识应用）活动，引导学生动手做，动眼看，动口说，动脑思，用心想，全身心地投入概念学习.

比如，教学“函数”这一概念. 从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的. 函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义. 从对函数的不同认识阶段看：初中以“变量说”定义函数，重点是借助一次函数、二次函数、反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数，帮助学生形成对函数的直接体验，体会函数的意义，形成用函数解决问题的直接经验. 高中数学以“对应说”定义函数，引进数字以外的符号（y= f（x）中，f不代表数，与x，y的含义非常不同）表达函数，进一步明确函数的表示法，以函数的单调性、奇偶性等典型性质为载体，给出研究函数性质的方法和过程的示范，进一步体验函数作为描述现实世界变化规律的基本数学模型的作用，使学生形成用函数概念研究具体问题的“基本规范”. 从研究函数的方法上：对于“基本初等函数”的研究，是通过对指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等具体函数的研究，逐步加深对函数概念的理解，在“基本初等函数”的应用中，不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、三角函数等与现实世界的紧密联系性，建立更加广泛、稳固的函数本质的理解. 所以，我们教学的核心任务就是：建立一般意义的函数概念，了解函数的抽象符号的意义，了解函数中的问题、内容和方法，形成研究函数问题的“基本规范”.

[?] 用数学文化突破概念教学，追其外延

形成概念时，通过对一类对象的研究，分析这类对象的共同的本质属性，再把具有本质属性的对象全部加起来研究，剖析概念的内涵与外延，这就是概念的理解. 理解了概念的内涵与外延后，抽象化和形式化的例子要尽可能回避，多筛选与生活的联系密切的例题，通过问题的解答过程凸显概念本质，生动活泼的数学思维活动应该为学生所认识和体验，这就是概念生成的成熟表现.熟悉的情景、鲜活的生活素材，激发了学生的兴趣和积极思考，润物细无声地融入教学中. 学生在运用概念时不但“知其然”也“知其所以然”，体验到成功的喜悦，并进一步转化为学习的动力，投入到提炼概念并不断完善概念的过程中.