三角形的分类范文1
一、 按边分类
等腰三角形的边可分腰和底,若题中没有指明边的身份,必须分类讨论。
例1 等腰三角形两边长分别为4、6,它的周长为。
分析:(一)腰为4,则三角形三边为4、4、6,符合构成三角形的条件。它的周长为14。
(二)腰为6,则三角形三边为6、6、4,符合构成三角形的条件。它的周长为16。
综合(一)、(二),此题答案为14、16。
点评:对于此类题目在进行分类讨论时,必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。
例2 已知一个直角三角形的两直角边分别为3、4, 用另一个直角三角形与它拼成一个等腰三角形,求这个等腰三角形的周长。
分析:如图1,由于两直角三角形拼凑,有两直角边重合,另两直角边在同一条直线上,所以斜边AC为拼成的等腰三角形的一边。
可分(一)AC为底。
如图2,作AC的垂直平分线交CB的延长线于D,连结AD。
设DB 为x,AD=DC=3+x, 在直角三角形ADB中,根据勾股定理,列方程(x+3)2=x2+42 ,解之得:x= 76。
可得等腰三角形ACD的周长为 403 。
(二)AC为腰。
(1)以顶点为A的角即∠DAC为顶角。
a:如图 3,两直角三角形以AB为重合边。以点A为圆心,AC长为半径画弧交CB的延长线于D点,连结AD。可得等腰三角形ACD的周长为16。
b:如图 4 ,两直角三角形以BC为重合边。以点A为圆心,AC长为半径画弧交AB的延长线于D点,连结CD。可得等腰三角形ACD的周长为 10+10 。
(2)以顶点为C的角即∠ACD为顶角。
a:如图 5 ,两直角三角形以AB为重合边。以点C为圆心,CA长为半径画弧交CB的延长线于D点,连结AD。可得等腰三角形ACD的周长为10+25 .
b:如图6,两直角三角形以BC为重合边。以点C为圆心,CA长为半径画弧交AB的延长线于D点,连结CD。可得等腰三角形ACD的周长为18。
综合(一)、(二),这个等腰三角形的周长为403、16、10+10、10+25、18。
点评:通过此题分类讨论,我们可以了解分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行。
二、 按角分类
等腰三角形的角可分顶角和底角,若题中没有指明角的身份,必须分类讨论。
例3 等腰三角形的一角为50°,它的另外两角为。
分析:(一)50°的角为顶角,则它的另外两角为65°、65°。
(二)50°的角为底角,则它的另外两角为50°、80°。
综合(一)、(二),此题答案为65°、65°;50°、80°。
例4 在直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(2,1).在x轴上找一点B,使AOB为等腰三角形。则点B的坐标为。
分析:由于等腰三角形的顶角较特殊,所以此题可按顶角一次分类到位。
(1)以顶点为O的角即∠AOB为顶角。
如图 7,以点O为圆心,OA长为半径画弧交x轴于点B1、B2 ,可求OA长为 5 ,点B1 的坐标为(-5,0),点B2的坐标为(5,0)。
图7图8
(二)以顶点为A的角即∠OAB为顶角。
如图8,以点A为圆心,AO长为半径画弧交x轴于点B,可求点B 的坐标为(4,0)。
(三)以顶点为B的角即∠OBA为顶角。
如图9,作线段OA的垂直平分线交x轴于点B 。
设O B为x, 则A B为x,根据勾股定理,列方程(2-x)2+12=x2,解之得:x=54,点B的坐标为(54,0)。
综合(一)、(二)、(三),此题答案为(-5,0)、(5,0)、(4,0)、(54,0)。
图9
三、 按三角形的形状分类
等腰三角形按角可分:等腰锐角三角形、等腰直角三角形、等腰钝角三角形。若题中没有指明三角形的形状,必须分类讨论。
例5 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则等腰三角形的顶角为。
点评:此题特别注意画图的准确性。由于学生缺乏分类意识,常常画出一种图形定型,导致漏解。
分析:此题等腰直角三角形不符合题意。可分等腰锐角三角形、等腰钝角三角形。
(1)锐角三角形,其腰上的高在三角形内部。如图10,可求等腰三角形的顶角为60°(2)钝角三角形,其腰上的高在三角形外部。如图11,可求等腰三角形的顶角为120°。
综合(一)、(二),此题答案为60°、120°。
巩固练习
图12
1. 已知,如图12,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为。
2. 若一个等腰三角形被一直线分成两个等腰三角形,则原等腰三角形的顶角为。
三角形的分类范文2
关键词：尝试；学习；三角形；分类
中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）09-068-01
今年的4月，我有幸参加了区教师进修学校组织的邱学华教授关于“尝试教学法”的讲座，我收获颇多。“尝试教学法”分为两步走，第一步就是将先讲后练转变为先练后讲，让学生先产生获取知识的欲望，再带着疑问自己主动地看书，然后通过同伴互助加深对新知的理解，最后学生提出无法解决的问题，在老师的点拨下掌握知识。第二步就是让学生有足够的运用知识进行练习的时间。
对着邱老师传授的观点和教学方法，我内心深处默默地反思着自己的教学。平日里，我惯用的方法就是先讲解新知识，强调本节课的重点，然后就让学生练习。只有在能够用迁移的方法学习新知的时候（如小数加减法），才大胆地放手让学生去尝试学习。听了邱老师的讲座之后，我热血沸腾，回到学校就拿起教材认真的翻阅，思索哪些内容适合“尝试教学法”，怎样自己也试着将“尝试教学法”运用于我的课堂。在三角形的分类这一小节内容我决定试一试。
四年级下册三角形的分类就是要让学生知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，按边分为等腰三角形和等边三角形。这部分知识逻辑思维不强，更多的是概念的掌握。理解记忆是学生学习这部分知识最好的方法，理解记忆最好的学习方法就是尝试学习。
一、在不经意间感悟三角形的分类
我布置了一份家庭作业，回家在练习本上用直尺随意画一个三角形，然后剪下来。第二天课堂上，我事先在黑板上分别画了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个。“请孩子们拿出准备的三角形，看看你手中的三角形和黑板上的哪个三角形像姊妹，就请你站在它的旁边。”很快，孩子们就在讲台上分成了三堆。大家互相欣赏着对方的三角形，生怕自己站错队了。开课之时，就让学生在不经意间对三角形的分类有了初步的感悟。
二、在好奇中寻找三角形的分类
兴趣是学习最好的老师，是学生主动学习知识的驱动力。“你们手中的三角形都有自己的名字，想知道它们分别叫什么名字吗？请孩子们自己看看书59页，看谁最先说出自己那个三角形的名字！”我的话音刚落，孩子们就叽叽喳喳地回到自己的座位，津津有味的看起数学书来。这时，教室里鸦雀无声，连一颗针掉在地上也能听见。不一会儿，我看见的是一双双高举的小手。
三、在交流中掌握三角形的分类
老子说过：“授人以鱼不如授人以渔。”我们教学生不但要知其然还要知其所以然。要使每个孩子掌握好锐角三角形、直角三角形、钝角三角形这三种三角形的特征，还需要教师在课堂上引导孩子们大胆地走上讲台，将自己所学到的讲出来，和老师同学们共同分享学习的快乐！一个平时不爱发言的晓航被我第一个叫上了讲台，她脸红红的，举着自己的三角形小声地告诉大家：“我的这个三角形叫做直角三角形。”
“为什么它叫直角三角形？”我追问着。
“因为这个三角形的这个角是直角，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。”她的声音依然很弱，显得很不自信。
“你很了不起，没有老师教你，通过自己看书也明白了什么叫做直角三角形，你能用洪亮的声音告诉所有的同学吗？”
“我的这个三角形里面有一个角是直角，有一个角是直角的三角形是直角三角形。”顿时，讲台下响起了热烈的掌声。
“孩子们，什么样的三角形叫做直角三角形？能找出老师黑板上的直角三角形吗？”响亮而整齐的回答让我非常欣慰。接着，孩子们争先恐后地到讲台讲述锐角三角形、钝角三角形。一个比一个大胆，一个比一个语言更简洁，流畅。
“三角形可以分为几类？我们根据什么把三角形分成了三类？”在最后老师的提问中，孩子们系统地掌握了三角形按内角的大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形这部分的知识。
四、在练习中巩固三角形的分类
我们要学数学，还要用数学。孩子们由于是自己主动地去学习这节课的知识，因此把三角形按内角大小的分类学得很好，在练习中完成作业的速度很快，质量很高。
三角形的分类范文3
【案例一】
教师在引导学生复习三角形的特点，讨论得出三角形可以按角或边两种方式进行分类后，给学生呈现类型完整的一些三角形，让学生通过观察、比较发现三角形角和边的特点，对三角形进行分类。学生讨论热烈，发言积极，课堂气氛活跃。
在评议过程中，大家感觉其活跃的背后存在某些假象。一是教学所呈现的材料都是教师事先设计好的，学生只需通过感性认识就能得出分类结果，思维很难得到有效提升。二是尽管所给的三角形类别齐全，但这些材料是否会制约学生的思维？面对现成的研究材料，学生会不会质疑材料完整性？按现有材料分得的三角形类别是否全面？这些恰恰是对三角形进行科学分类的关键，也是提升学生思维所在。三是或许有的学生提前进行了预习，会不会直接运用结论对所给三角形进行分类，把研究过程转变成知识运用过程？针对上述存疑，我们对参与上课的学生进行了调查，结果没有一人考虑材料的完整性问题，提前进行了预习的同学大多是按课本结论对所给三角形进行了分类，这样分类思想和分类方法的教学就未落到实处，思维没有得到应有的发展。如何有效解决这些问题，使学生的思维得到应有的发展呢？经讨论，进行了如下重建。
【案例二】
教师在引导学生复习角的分类和三角形的特征后引入新课。
师：大家知道，对事物的分类总是根据它们某一方面的特点进行的，三角形有它自身的特征，我们可以根据它们哪方面的特征来分类？
生：可以按它们的角或边的特点来分类。
师：什么特点？
生：角的大小特点和边的长短特点。
师：你所说角的大小指的是角的度数吗？
生1：不是，是看三角形中有什么类型的角，根据角的类型来分。如果根据角的度数来分，就把角的度数相同的三角形作为一类，那么分的类型太多了，不方便。
生2：我认为也可以根据角的度数来分，先量一量看它们每个角分别是多少度，再看这些角分别是什么角，再根据角的类型来分。
生3：他们两位的意思是一样的，都是根据角的类型来分。
师：大家同意吗？
生齐：同意。
（师板书：按角的类型分）
师：按边的长短来分又是怎样分？
生1：把边长的分作一类，把边短的分作一类。
生2：不行，那什么叫长，什么叫短，没有标准。
师：请同学们回忆一下，我们以前是怎样对四边形分类的？
生1：是按它们四条边的长短关系和角的关系来分的。
生2：我明白了，我们可以按三角形三条边之间的长短关系来分。
生3：按三条边之间的长短关系来分。
（师板书：按边的长短关系分）
师：能不能按它们顶点的特征来分类呢？
生：不能，因为三角形都有三个顶点，顶点都是点，都是一样的，没有特点没法分类。
师：通过刚才的讨论，我们知道，三角形有两种分类方法：一是按角的类型分类，二是按三边之间的关系分类。下面请同学们分组画一画，一个三角形中可能有什么类型的角，这些角的类型有几种情况，可以把三角形分成几类？
（学生分组操作讨论后汇报）
生1：我们画了一些三角形，发现三角形的角有三种情况（展示小组画的三角形）：都是锐角或有两个锐角和一个直角、两个锐角和一个钝角。我们把都是锐角的分为一类，叫锐角三角形；有两个锐角和一个直角的分为一类，叫直角三角形；有两个锐角和一个钝角的分为一类，叫钝角三角形。
生2：我们先画了一个三角形（展示画图），再改变角的大小，我们发现所有三角形的两个比较小的角都是锐角，另一个较大的角要么是锐角、要么是直角或钝角。如果是锐角，那它的三个角都是锐角，分为一类，叫锐角三角形；如果是直角，又分为一类，叫直角三角形；如果是钝角，也分为一类，叫钝角三角形。
师：有没有不同的分法？
生：没有。
师：你们觉得哪个组的研究方法更好？为什么？
生：我觉得第2组的方法更好，因为按第1组的方法可能会有画不齐全的情况。
师：有不同意见吗？
生：没有。
师：好，我们就按第2组的方法来研究一下：看三角形三条边的长短可能会存在哪些关系，根据这些关系又可以把三角形分成几类？
（小组操作讨论后汇报）
生：三条边的长短关系有三种情况：要么有两条边相等，要么三条边都相等，要么三条边都不相等。所以，我们把它们分成三类：有两条边相等的分为一类，叫等腰三角形；三条边都相等的分为一类，叫等边三角形；三条边都不相等的分为一类，叫不等边三角形。
重建后，教师不直接给学生提供研究材料，而是给学生留出足够的学习空间，让学生通过画一画的方法自己去探寻三角形按角分类的方法，亲身经历“确定分类标准—探究分类方法—得出分类结论”的分类全过程，在这一过程中学生逐步形成基本的分类思想，了解科学的分类方法，并用所学的方法解决三角形按边分类的问题，在研究方法上完成从研究到应用的过程。不仅让学生学到了知识，更重要的是有利于促进学生数学思想的形成，对学生进行数学方法的熏陶，有利于提高学生研究问题和解决问题的能力，也有利于不同层次的学生都得到不同程度的发展。
三角形的分类范文4
第一，通过观察、操作、比较、发现三角形角和边的特征，会给三角形分类，理解并掌握各种三角形的特征。第二，在自主探究、合作交流的过程中，培养学生的动手操作能力、推理能力、交流能力以及创新能力。
二、教学过程
（一）以旧引新，知识迁移1.什么是分类？分类的原则是什么？（板书：分类）2.（课件出示船形主题图）提问：这幅图像什么？是由哪种图形拼成的？（板书：三角形）三角形有什么特征？拼成这个图案的各个三角形的边和角相等吗？3.指图中的角复习锐角、直角和钝角。4.揭示课题。同学们能不能根据三角形角和边的特征给图中的三角形分类呢？今天这节课我们一起来学习三角形的分类。
（二）合作探究，构建新知1.课件出示合作学习要求。（1）你准备按什么标准进行分类？（2）可以把这些三角形分成几类？（3）每类三角形都有什么特点？2.分析要求，强调注意事项。以小组为单位根据三角形角或边的特征给三角形分类，并把同一类三角形贴在一张大白纸上。3.小组合作，操作实践（按组下发装有主题图中的三角形学具袋）。4.汇报交流，展示成果。贴：各小组将分类结果张贴在黑板上。说：按学习要求逐一汇报分类结果；查：组织学生检查各小组的分类结果；评：评出优胜小组。5.分析结果，明确三角形的特征。（1）按角的特征，认识三角形（课件出示各类三角形的意义）（2）讨论：有一个角是锐角的三角形是不是锐角三角形？（根据分类配合课件演示明确：三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形）（3）找一找：根据角的特征，判断下列三角形属于哪一类？（4）按边的特征，认识各类三角形。学习等腰三角形、等边三角形和不等边三角形的意义。（5）讨论：等边三角形是等腰三角形吗？（分正反方辩论后，课件演示明确：等边三角形是一种特殊的等腰三角形。）（6）随练：分一分：根据边的特征，给下列三角形分类。6.小结：同样的三角形，分类的依据不同，分类结果也不同。根据角的特征可以将三角形分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形，而根据边的特征可以将三角形分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形中有一种特殊的三角形叫等边三角形。（课件出示集合圈）
（三）实践应用，巩固提高1.我是小法官：——下面说法正确吗？（1）一个三角形里有两个锐角，这个三角形必定是锐角三角形。（2）所有的等腰三角形都是锐角三角形。（3）等腰三角形都是等边三角形。2.比比谁聪明：——猜一猜被信封遮住的可能是什么三角形。（根据角和边来判断是什么三角形，弄清锐角三角形、等腰三角形和等边三角形之间的关系，明确钝角三角形和直角三角形一定不是等边三角形。）
（四）全课总结，提升理念1.学生谈收获。2.教师结合学情总结。（五）课外作业三角形在我们的生活中无处不在，课后请同学们留心观察、仔细寻找身边的三角形与同伴进行交流，并用附页2中的图形拼组一幅美丽的图案。
三、教后反思
《三角形分类》是在学生初步认识了三角形的基础上进行的教学活动。分类就是根据事物的特点对事物进行归类，也就是把具有相同特点的事物放在一起的过程，它是一种数学思想。三角形的分类教学是给学生建型的过程，为以后深入研究三角形的相关知识奠定了基础。在本节课的教学中，我力图做到以下三点：
（一）导课轻松自然，活动新颖别致，充分激发学生的学习兴趣简洁明了的谈话导入和别出心裁的主题图，使学生在新旧知识的迁移中明确本节课的教学目标，激发了学生的求知欲望。精心组织的小组活动使学生在探究交流的过程中了解了三角形的分类方法，掌握了各类三角形的特征。这样的设计符合学生的思维发展，使学生能够以一种积极的心态调动原有的知识经验，在活动中获得新的知识，发现新的问题。
（二）重视课堂实践活动.让学生在参与中体验感悟数学让学生在课堂实践操作活动中去体验和感悟数学，获取新知，是这节课教学的一大亮点。本节课教学始终围绕“给三角形分类”这一操作性很强的教学实践活动，利用小组合作进行分类方法的探究，调动全体学生参与实践，通过观察、辨析、操作、推理、交流，体验分类方法，感悟图形特征。在每一小组的汇报交流中学生能根据不同的分类标准，获得多种分类的方法。这时，教师并不急于去总结概括，而是让学生充分交流，学生在操作、体验、感悟中建构了新的知识系统。这样的设计，改变了以往知识的呈现方式，符合学生的认知规律，突出了重点。
三角形的分类范文5
教材简析：
“三角形的分类”是“空间与图形”领域内容的一部分，是在学生认识了直角、钝角、锐角和三角形的特征基础上展开学习的，教材分为两个层次：一是三角形按角分类，分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，并通过集合图形象地揭示三种三角形之间的关系，并体现分类的不重复和不遗漏原则；二是三角形按边分类，不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形里又包含等边三角形。着重引导学生认识等腰三角形、等边三角形边和角的特征。
学情分析：
四年级的学生已经具备了一定的平面图形的知识，而且是在学生认识了直角、钝角、锐角和三角形的特性的基础上开展学习的，三角形按角的特点分类比较直观，学生容易理解。按边的特点分类相对比较难一些，要让学生通过度量边的长度（或折）来引出概念。
设计理念：
课堂分为三个教学环节：一是谈话导入，揭示课题；二是自主探究，合作交流；三是拓展练习，提高能力。自主学习的过程实际就是教学活动的过程，以活动促学习是本节的教学定位。在活动中给学生足够的时间和空间，自由开放的探究数学知识的产生过程，逐步建立对三角形的角与边特征的认识。通过测量、观察、概括等多种形式的学习，力求让学生真正动起来，充分展现了做中学，从而获得对三角形边、角特征的认识，培养创新的意识和能力。
教学目标：
1.使学生通过观察、操作、发现三角形角和边的特征，给三角形分类，理解并掌握各种三角形的特征。
2.经历观察与探索的过程，培养学生观察分析、动手操作能力，进一步发展学生的空间观念。
3.激发学生的主动参与意识、自我探索意识和创新精神，进一步感受三角形与日常生活的联系。
教学重点：学会从不同角度给三角形分类，掌握各类三角形的特征。
教学难点：会按边的特征给三角形进行分类。
教学准备：多媒体课件、三角尺、各种形状的三角形若干个、表格。
教学过程：
一、谈话导入，揭示课题
1.提出问题
师：这节课，老师带来了7个三角形，在看到第7个三角形之前，请大家想一想：第7个三角形会跟前6个三角形有什么共同的地方？（都有三条边、三个角）
请你再从这6个三角形里选1个跟7号三角形比一比看能发现有什么不同的地方？（角的大小，边的长短都不同）
（设计意图：复习有关三角形的知识，为下面探究新知做好铺垫，创设问题情境，引出要探讨的问题，激发学生学习的兴趣。）
2.揭示课题
二、自主探究，合作交流
1.我们通过小组合作探究的方式来对三角形进行分类，请同学们听清楚小组合作的要求。
小组合作要求：①每个小组选择一个观察角度（角的特征或者边的特征）给三角形分类；②每个组员负责测量一个三角形的相关数据，并记录在表格上，并根据数据的特点对三角形进行分类；③派代表向全班汇报分类情况。
2.小组成员分工合作，按照活动要求进行探究。（教师巡视）
（设计意图：为学生创设交流的机会，通过小组观察、测量、交流、讨论活动，使学生的自主学习与合作交流有机的结合。）
3.全班交流，按角分类
（1）师：请小组汇报你们是怎么分的？为什么要这样分？（按角分可以分为三类：①三个锐角；②一个直角，两个锐角；③一个钝角，两个锐角）
师：你发现这三类三角形有没有什么共同点？不同点呢？（相同点：都至少有两个锐角。不同点：第三个角不同。）
（2）画一画：现在请你们在点子图上任意画一个三角形，并标上名称。（生画图）
（设计意图：在学生动手操作充分感知的基础上，引导学生归纳出各种三角形的特征，培养学生的探究能力和归纳概括能力。）
4.全班交流，按边分类
（1）师：刚才我们按角分把三角形分成了三类，其他小组有没有用不同的方法进行分类呢？（生汇报）
（2）认识等腰三角形、等边三角形及它们之间的关系。
师：等腰三角形除了两腰相等，还有什么也相等？（折一折、比一比发现：两个底角也相等）
认识等边三角形，再折一折、比一比，看等边三角形除了三条边相等，还有什么特点？（三个角也相等；说明等边三角形是特殊的等腰三角形）
（设计意图：在探究的过程中渗透了等腰三角形与等边三角形的关系，渗透出“异中求同，同中求异”的辩证思维观念。）
（3）找一找，哪里有这两种特殊的三角形。（学生举例）
三、巩固应用，畅谈收获
本节课的学习，你有什么收获？
（设计意图：通过课堂总结，提高学生的概括能力，培养学生学数学、用数学的意识。）
四、拓展延伸
三角形从角的角度观察可以分成三类，从边的角度也可以分成三类。如果既考虑角，又考虑边，这个位置应该放什么三角形？
三角形的分类范文6
“说”表面上是降低了难度,学生也容易接受,其实,“说”与“写”相辅相成,互为表里,推理的有序、严谨、创新等硬性要求往往使学生望而却步,而口头“说理”有较大的自由度,可重复,可修改,可推倒重来,这样学生心理放松,没有了畏难情绪,成为解决推理问题的突破口.下面结合人教版七年级下册第七章《三角形》中一节课例的教学过程做一展示评析.
1 一画一拼说“定义”,谁更严谨?
师:三角形是一种常见的几何图形,(多媒体展示)如古埃及金字塔,香港中银大厦,交通标志等等,处处都有三角形的形象.既然大家对三角形这么熟悉,现在每人用直尺和铅笔画一个三角形,并告诉大家你是怎么画的?(很快地)
生1:画三条线段,彼此连接起来.
师:若对着图形去说明,即使讲的不清楚,图形的形象也会衬托清楚,若仅凭说明去想象图形,就需要严谨准确了.试着讲得再清楚一些?
生2:标上字母说起来清楚,画线段AB、AC,再连结B、C就得到一个三角形.
师:是清楚多了!标的字母有了指向性,表达起来容易一些!生2讲的可以了吧?
生3:还是不严谨!若如图1那样画,三条线段在[LM]一条直线上,就得不到三角形.
生4:还有一种画法,也得不到三角形,如图2.
师:是这样吗?再修改一下说法!
众生:加一个前提“不在同一直线上的三条线段”.
师:很好!下面用事先准备的三根小木棒拼一个三角形,并把拼法讲一讲.
生5:(抢先)与画三角形一样,将三根木棒连接起来.
生6:这说法不准确,容易误认为图3的图形,应说成“三根木棒首尾顺次相接”,如图4.
生7:一条线段有“首”、“尾”吗?
生8:怎么没有?你可以规定线段的一个端点为“首”,那另一端点就是“尾”.
师:这样可以,那我们根据刚才的操作为三角形下一个定义吧!
生9:由三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
生10插言:还有首尾相接得不到三角形的,就是三条线段在一条直线上时,刚才画三角形总结的!
几生站起来:我们这三根木棒首尾不能相接,有一根太长了.
众生:二个要点:三条线段首尾能顺次相接;不在一条直线上.
师:试着重新说出三角形定义.
生11:由三条线段首尾顺次相接,若不在一条直线上,则构成三角形.
生12:或者说成“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.”
评析[HTK] 一画一拼,得出三角形的定义,看似简单的图形,交由低年级学生下定义却不容乐观,有的抓不住要点,有的顾此失彼,还有的表达不精炼,严谨是推理的第一大要素,讲的严谨,表明学生对三角形的本质特征有了深刻的认识,而做好图形语言与文字语言的这种“互译”是良好推理的开端.在说“定义”中,各种说法一一亮相,学生会在对比中引发认知冲突,并不断地优化自己的想法.一画一拼,很多人看来,重复多余,其实不然,“画”后表达三角形定义,其中的不严谨可通过木棒的“拼”举出反例,这对初学推理的学生来说,会多一份感知,多一次诠释问题的机会.
2 选择路线说“性质”,谈“果”论“因”?
探究:任意画一个ABC(图5),假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么?
生13:有两条路线:(1)从BC,(2)从BAC;路线长不一样,AB+AC>BC①.
师:为什么AB+AC>BC?
众生:这不很明显吗?
师:“很明显”是数学根据吗?
生14:我知道根据,是“两点之间线段最短”.(其他生也恍然大悟,随声附和)
师:那在ABC中还能得到哪些不等式呢?
生15∶AC+BC>AB,②
AB+BC>AC,③
师:在ABC中,由式子①②③我们能否概括成一句话呢?
众生:三角形两边的和大于第三边.
生16:我觉得应该加上“任意”两个字,三角形任意两边的和大于第三边,以强调包含三个不等式.
生17:这样好一点!可避免应用时只考虑一个不等式的情况.
师:解题时只考虑一个不等式不行么?看一组练习.
练习1 有三根木棒长分别为3cm、6cm和4cm,用这些木棒能否围成一个三角形?为什么?
生18:能,因为3+4>6.
师:这样答可以吗?
生19:还应该验证另两个不等式是否成立.就是“6+4>3,3+6>4”.
几声插话:不需要,3+4>6成立,其余两个一定成立.
师:若真是这样,应用该定理去判断就简单多了.(生答:是这样)那好,做一总结.
师生共同概括得出:若两条较短线段长的和大于最长的线段,那这三条线段能组成三角形.
练习2 用一条长18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗?为什么?
学生思考、分析.
生20:(1)小题用算术法或方程去做均可,(2)小题因为4cm的边长没指明是腰长还是底边,应该按两种情况讨论.
生21:最后应只有一种情况,因为当腰长是4cm时,三边长分别是4cm,4cm,10cm,围不成三角形.
师:确实得不到三角形,那根据是什么?
众生:三角形任意两边的和大于第三边.
师:很好!现在大家再酝酿整理一下,完整的讲出来.
解:(1)设底边长为xcm,则腰长2xcm.
x+2x+2x=18,
解得x=3.6.
所以三边长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm.
(2)因为长4cm的边可能是腰,也可能是底边,所以需要分情况讨论.
如果4cm长的边为底边,设腰长为xcm,则
4+2x=18,
解得x=7.
如果长4cm的边为腰,设底边长为xcm,则
2×4+x=18,
解得x=10.
因为4+4
由以上可知,可以围成边长是4cm的等腰三角形.
评析[HTK] 练习1的设置是为了让学生明白,“三角形两边的和大于第三边”可以用来判断三条线段能否组成三角形.在解答时,学生有时会只因为5+9>3错解为能够组成三角形,忽略了这三个长度,只有在任意两个长度之和都比第三个大时,才能够组成三角形.为了使判断方法简便一些,教师利用个别学生的想法将成果扩大,得到只要检查较小的两边的和是否大于第三边就可以了.练习2中学生注意到“有一边的长是4cm”并没有指明这一边是腰还是底,所以要分情况考虑,同时验证所求出的三个长度要能够组成三角形.在你来我往的讨论“说理”中,推理的切入点、推理的走向以及推理链条的有序、衔接等问题暴露在大家面前,带给学生深刻的体验.
3 不同标准说“分类”,不重不漏?
师:三角形的形状多种多样,为了研究方便,需要将三角形进行分类,同学们试着确定一个标准,将三角形分开.
生22:若从边上考虑,按“有几条边相等”来分类.
师:请大家按“有几条边相等”将三角形分类.
生23:三边都相等的三角形;有两条边相等的三角形;三边都不相等的三角形.
师:小学学过,同学们应该知道它们叫什么名字吧?
生24:三边都相等的三角形叫等边三角形;有两条边相等的三角形叫等腰三角形;三边都不相等的三角形叫不等边三角形.
师:同学们再思考一遍这种分法,看有没有疑问?
生25:我觉得“有两边相等”与“三边都相等”是包含关系,不是两类.
(一石激起千层浪,大部分学生认为“有两边相等”与“三边都相等”有联系.)
生25:(看有争议)我举个例子,甲、乙、丙三人中,甲没带钱,乙只有10元钱,丙有20元钱.你如果说“将有10元钱的分成一组”,是单指乙呢,还是指乙、丙两人呢?丙有20元,一定有10元,显然指乙、丙两人,因此上述说法不准确,若改为“只有两条边相等的三角形”就没有争议了.
师:大家以为呢?
生26:是这么回事!这时“等腰三角形”与“等边三角形”是独立的两类.
师:说起分类,标准可以很多,还有别的分类方法吗?
生27:按“是否有边相等”分成两类:不等边三角形与等腰三角形;不等边三角形指三边中没有相等的,等腰三角形指三边中有边相等.
师:等腰三角形能否再细分呢?
生28:能!等腰三角形中既然有边相等,至少有两边相等,相等的两边称为腰,以“底边是否与腰相等”为标准又分为两类:底边与腰不相等的等腰三角形,底边与腰相等的等腰三角形,也就是等边三角形.
师:同学们认可吗?(异口同声:认可)按这种分法,显然,等边三角形是特殊的等腰三角形.让我们一同画出分类图:
生29:我定一标准,依据周长与10cm的关系分成三类:周长等于10cm的三角形、周长小于10cm的三角形、周长大于10cm的三角形.
生30:我依据周长与10cm的关系分成二类:周长等于10cm的三角形与周长不等于10cm的三角形.
师:非常好!看来大家对不重不漏的分类原则已熟悉.(看同学们意犹未尽)索性倡议“七嘴八舌说分类”.
众生:(兴趣盎然地)以有没有60°的内角为标准将三角形分成两类;以三角形的高有没有在三角形外部为标准将三角形分成两类;以三角形是不是轴对称图形为标准将三角形分成两类;……
师:标准可以定出很多,分类也多种多样,可哪些标准是有价值的呢?哪些分类对解决问题有帮助呢?值得每一位同学深入思考.
评析[HTK] 对事物进行分类也是推理的内容,关于三角形的分类,教师的引导及对学生交流的点评,提高了学生对分类思想的认识,只要学生分得合理就给予肯定的做法,激起了学生分类的热情.当学生在定出各种标准进行分类时,出现的标准是否合理,分类中“重”、“漏”等问题,也依靠集体的力量得到了有效地纠正.
评价与反思(1)要有足够的耐心,将“说理”进行到底
在课堂教学中,叙理由、谈思路、论问题、讲道理,“说”占主导,“说理”的示范作用,可树立正确的导向,激励他人,培育理性精神,但推理能力的培养,不是一朝一夕之功,首先是教师,要利用丰富的教学素材,多创造机会进行“说理”的训练,其次是教师对学生持之以恒的要求,将“说理”活动渗透到学习的各个环节中去,并要长期坚持,相信有优秀生的示范引导,有课堂氛围的烘托,加之教师的有效点拨,学生的推理能力定会有一个较大的进步.
(2)“说理”能力的增强,还得益于科学的教学设计
