概率论范文1
关键词:独立随机过程;计数系统;归纳法;保险业
概率论是一门应用非常广泛的学科。在数学史上,它的产生是以帕斯卡和费马在1654年的七封通信为标志的。由于这些信件中所解决的问题多是与有关的点数问题,因此人们总是把概率论的产生归功于这项机遇游戏。但考古学发现告诉我们,游戏早在文明初期就已经存在了,迄今已有几千年的历史,而概率论从诞生至今不过三百余年,这说明并不是概率论产生的决定性条件。在从出现到概率论产生之间的这段“空白”期,必定还有一些十分关键的因素正在孕育之中。那么这些因素是什么?换句话说,需要具备哪些先决条件,概率论才能得以形成?
一独立随机过程的出现
对概率论而言,两个最主要的概念就是独立性和随机性[1]。概率论是从研究古典概型开始的,它所涉及的研究对象是大量的独立随机过程。通过对这些过程中出现的问题的解决,概率理论体系才逐渐地建立起来。因此要考察概率论的产生条件,我们首先应当对独立随机过程的产生有充分的了解。
事实上,这种过程的雏形早在原始社会就已经存在了,那时的占卜师们使用动物的趾骨作为占卜工具,将一个或多个趾骨投掷出去,趾骨落地后的不同形状指示神对人事的不同意见。由于投掷趾骨这个过程所产生的结果具有不可预测性,而每次投掷的结果也互不影响,这与我们今天投掷骰子的基本原理相当,因此趾骨可以被看作是骰子的雏形。但是由于趾骨形状的规则性较差,各种结果出现的机率不完全相同(即不具备等可能性),所以趾骨产生的随机过程还不是我们今天意义上的独立随机过程。加之趾骨作为一种占卜工具,其本身具有神圣的地位,普通人不可能轻易使用,这也在某种程度上阻碍了人们对随机过程的认识。
随着社会的进步和文明的发展,骰子变得越来越普遍,不仅数量增多,规则性也日益精良,此时它已不再是一件神圣的器具而逐渐成为普通大众的日常用具。从原理上看,只要一枚骰子是质地均匀的,它就可以产生一系列标准的独立随机过程。这些过程具备良好的性质(独立性、随机性、等可能性),是进行概率研究的理想对象。如果经常接触这些随机过程,就很有可能从中发现某些规律性。实际上,通过对骰子的研究我们确实发现了一些有趣的现象。在考古出土的骰子当中,有一些被证明是用于的工具,它们的形状规则而质地却不均匀,也就是说,骰子的重心并不在其几何中心。可以想像,如果骰子的某一面较重,则其对面朝上的机率就会增大,这种骰子明显是为了时用于作弊。而从另一个角度看,如果古代人知道质地不均匀的骰子产生各个结果的可能性不同,那么他们必定清楚一个均匀的骰子产生任何一个结果的机率是相等的。也就是说,经常从事的人必然可以通过大量的游戏过程,意识到掷骰子所得到的结果具有某种规律性,并且这种规律性还可以通过改变骰子的质地而得到相应的改变。虽然古代人的这些意识还只停留在经验总结的水平上,却不得不承认这是一种最原始的概率思想。
游戏存在的时间之长、范围之广、形式之多令人惊讶。但有如此众多的人沉迷于这种游戏活动,也在客观上积累了大量的可供学者进行研究的随机过程。更为重要的是,
在进行的过程中,或许是受到经济利益的驱使,已经开始有人试图解开骰子的奥秘。意大利数学家卡尔达诺就是其中的一位。他本人是个大赌徒,嗜赌如命,但他却具有极高的数学天分。在的过程中,卡尔达诺充分发挥了他的数学才能,研究可以常胜不输的方法。据说他曾参加过这样一种赌法:把两颗骰子掷出去,以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。那么,赌注下在多少点上最有利?
两个骰子朝上的面共有36种可能,点数之和分别为2～12共11种,从上图可知,7位于此六阶矩阵的对角线上,它出现的概率为6/36=1/6,大于其他点数出现的概率,因此卡尔达诺预言说押7最好。这种思想今天看来很简单,但在当时却是很杰出的。他还以自己丰富的实践经验为基础,写成了全面探讨的《机遇博奕》(LiberdeLudoAleae英译为TheBookofGameofChance)一书,书中记载了他研究的全部成果,并且明确指出骰子应为“诚实的”(honest),即六个面出现的机会相等,以便在此基础上研究掷多粒骰子的等可能结果数[2]。
这些实例充分说明,曾对概率论的产生起过积极的作用。这可能就是人们在谈到概率论时总是把它与联系在一起的缘故吧。但是我们应该认识到,的价值并不在于其作为一种游戏的娱乐作用,而在于这种机遇游戏的过程实际上就是良好的独立随机过程。只有出现了独立随机过程,概率论才有了最初的研究对象。而概率论也的确是在解决机遇游戏中出现的各种问题的基础上建立起自己的理论体系的。因此在概率论的孕育期,可以作为一种模型进行研究的机遇游戏过程即独立随机过程的出现是概率论得以产生的一个重要前提条件。
二先进计数系统的出现
前面曾经提到,独立随机过程的出现并不是概率论诞生的决定性因素。职称论文仅有概率思想而不能将概率结果表达出来,也不能形成完整的理论。概率论是一门以计算见长的数学分支,计算过程中需要运用大量的加法和乘法原理(组合数学原理)进行纯数字运算。对于现代人来说,概率计算并不是一件难事。但是对于16世纪以前的人来说,计算却是十分困难的,原因就在于古代缺乏简便的计数系统。当时的计数符号既繁琐又落后,书写和使用都很不方便,只能用来做简单的记录,一旦数目增大,运算复杂,这些原始的符号就尽显弊端了。而没有简便的计数符号,进行概率计算将是十分困难的事,因此计数符号是否先进也在一定程度上决定着概率论的形成。
对于这一点,现代人可能不容易体会得到,究竟古代的计数符号复杂到什么程度呢?我们可以以古罗马的计数系统为例来说明。
古罗马的计数系统是一种现在最为人们熟悉的简单分群数系,大约形成于纪元前后。罗马人创造了一种由7个基本符号组成的5进与10进的混合进制记数法,即
IVXLCDM
1510501005001000
在表示其他数字时采取符号重复的办法,如Ⅲ表示3,XX表示20,CC表示200等。但如果数字较大表示起来就相当复杂了,比如:1999=MDCCCCLXXXXVIIII
后来为了简化这种复杂的表示法,罗马人又引进了减法原则,即在一个较大的单位前放一个较小单位表示两者之差,如Ⅳ表示4,CM表示900,则1999=MCMXCIX
如果要计算235×4=940,现代的竖式是
而公元8世纪时英国学者阿尔琴演算同一道题的过程则要复杂得多:古罗马数字对于这样一个既不含分数和小数,数字又很简单(只有三位数)的乘法运算处理起来尚且如此复杂,可以想象,即使数学家有足够的时间和耐心,要解决概率计算里涉及的大量纯数字运算也是一件太耗费精力的事。在这种情况下想要作出成果,数学家们的时间不是用来研究理论而只能是忙于应付这些繁重的计算工作了。显然古罗马的计数系统并不适合于进行计算,而事实上,欧洲的代数学相比几何学而言迟迟没能发展起来,很大程度上也是由于受到这种落后的计数系统的限制。不仅仅是古罗马数字,在人类文明史上出现过的其他几种计数系统(如古埃及、古巴比伦等的计数系统)也由于符号过于复杂,同样不能承担进行大量计算的任务。
相反,以位值制为基本原理的阿拉伯数字则比古罗马数字以及古代其他的计数系统要先进得多,它不但书写简便,而且非常有利于加法、乘法的运算及小数和分数的表示。从上面的例子可以看出,它的使用可以大大节省运算时间,提高运算效率。正是由于使用了这种先进的计数符号,阿拉伯数字的发明者———古印度人的组合数学(组合数学原理是概率计算运用较多的一种数学工具)才得以领先欧洲人许多。据记载,印度人,特别是公元前三百年左右的耆那数学家就由于宗教原因开展了对排列与组合的研究。公元四百年,印度人就已经掌握了抽样与骰子之间的关系(比欧洲人早一千二百年)。而直到公元8世纪时,商业活动和战争才将这种先进的数字符号带到了西班牙,这些符号又经过了八百年的演化,终于在16世纪定型为今天的样子。
数字符号的简单与否对概率论究竟有什么样的影响,我们不妨举例说明:
问:有n个人,当n为多少时,至少有两人生日相同的概率大于二分之一?
假设所有人生日均不相同的概率为P,则
P=(365/365)×(364/365)×⋯×[(365-n+1)/365]
而题中所求之概率P(n)=1-P=1-(365/365)×(364/365)×⋯×[(365-n+1)/365]
通过计算得出结论,当n=23时,P(n)=0.51>0.5,因此答案为23。
这是概率论中著名的“生日问题”,也是一种很典型的概率计算问题。从它的计算过程中我们不难看出,数字运算在概率论中占有重要的地位。如果使用古罗马的计数法,这样一个概率问题从表达到计算都会相当繁琐,以至于它的求解几乎是不可能的。
对于阿拉伯数字的伟大功绩,大数学家拉普拉斯(Laplace)有如下评价:“用不多的记号表示全部的数的思想,赋予它的除了形式上的意义外,还有位置上的意义。它是如此绝妙非常,正是由于这种简易难以估量⋯⋯我们显然看出其引进之多么不易。”[3]阿拉伯数字的出现为概率的表达和计算扫清了阻碍,如果没有这些简便的符号,概率论可能还只停留在概率思想的阶段。正是由于使用了可以简洁地表示分数和小数的阿拉伯数字,才使概率思想得以通过形式化的符号清晰地表现出来并逐渐形成理论体系。在概率论的孕育阶段,这种形式化的过程是十分必要的,它使得对概率的理解和计算成为可能,因此先进的计数系统对概率论的形成和发展都起着重要的作用。
三概率论产生的方法论基础———归纳法
除了需要具备上述因素以外,概率论的形成还需要具备归纳思维。概率论是一门具有明显二重性的理论体系:“一方面它反映了从大量机遇现象中抽象出来的稳定的规律性;另一方面它关系着人们对证明命题的证据或方法的相信程度”。[4]这两方面特性都以归纳法作为最基本的研究方法,因此可以说,归纳法是概率论的方法论基础,概率论的产生必须在归纳法被广泛运用的前提下才成为可能。归纳法虽然是与演绎法同时存在的逻辑方法,但在文艺复兴以前,占主导地位的推理方式是演绎思维(不具有扩展性),归纳思维是不受重视的。直到文艺复兴运动以后,这种状况才被打破。归纳法因其具有扩展性而逐渐成为进行科学发现的主导方法。
从演绎到归纳,这个过程实际上是一种思维方式的转变过程,虽然转变是在潜移默化中完成的,但转变本身对概率论的出现却起着决定性的作用。我们可以通过考察“概率论”(probability)一词的词根“可能的”(probable)来说明这种转变。在古希腊“,probable”并不是今天的这个含义,它曾意味着“可靠的”或“可取的”,比如说一位医生是“probable”就是指这位医生是可以信赖的。但到了中世纪,这个词的含义发生了变化,它已经和权威联系在一起了。当时的人们在判断事情的时候不是依靠思考或证据而是盲目地相信权威,相信更早的先人所说的话。在这种情况下,如果说某个命题或某个事件是“probable”,就是说它可以被权威的学者或《圣经》之类的权威著作所证明。而经过了文艺复兴之后,人们终于意识到对自然界进行探索(而不是崇拜权威)才是最有价值的事,正如伽利略所说的那样:“当我们得到自然界的意志时,权威是没有意义的。”[5]因此,“probable”才逐渐与权威脱离了关系。15、16世纪时它已经具有了今天的含义“可能的”,不过这种可能性不再是权威而是基于人们对自然界的认识基础之上的。
“probable”一词的演化体现了人们认识事物方式的转变过程。当然这并不是说,文艺复兴以前没有归纳思维。留学生论文当一个人看到天黑的时候他会自然想到太阳落山了,因为每天太阳落山后天都会黑。这种归纳的能力是与生俱来的,即使中世纪的人们思想受到了禁锢,这种能力却还不至消失。而抛弃了权威的人们比先辈们的进步之处在于,他们是用归纳法(而不是演绎法)来研究自然界和社会现象的。他们将各种现象当作是自然或社会的“特征”,进而把特征看作是某种更深层的内存原因的外在表现。通过使用归纳推理进行研究,他们就可以发现这些内在原因,从而达到揭开自然界奥秘和了解社会运行规律的目的。于是在好奇心的驱使之下,归纳思维被充分地激发出来。而这一点恰恰是概率论得已实现的必要条件。从概率论的第一重特性中可以看出,概率论所研究的对象是大量的随机现象,如游戏中掷骰子的点数,城市人口的出生和死亡人数等等。这些多数来自于人们社会活动的记录都为概率论进行统计研究提供了必须的数据资料。虽然这些记录的收集与整理其目的并不在于发现什么规律,但善于运用归纳思维的人却能从中挖掘出有价值的研究素材。例如,早在16世纪,意大利数学家卡尔达诺就在频繁的过程中发现了骰子的某些规律性并在《机遇博奕》一书中加以阐述;17世纪,英国商人J·格龙特通过对定期公布的伦敦居民死亡公告的分析研究,发现了死亡率呈现出的某种规律性[6];莱布尼兹在对法律案件进行研究时也注意到某个地区的犯罪率在一定时期内趋向于一致性。如果没有很好的归纳分析的能力,想要从大量繁杂的数据中抽象出规律是不可能的。而事实上,在17世纪60年代左右,归纳法作为一种研究方法已经深入人心,多数科学家和社会学家都在不自觉地使用归纳的推理方法分析统计数据。除了上述两人(格龙特和莱布尼兹)外,统计工作还吸引了如惠更斯、伯努利、哈雷等一大批优秀学者。正是由于许多人都具备了运用归纳法进行推理的能力,才能够把各自领域中看似毫无秩序的资料有目的地进行整理和提炼,并得到极为相似的结论:随机现象并不是完全无规律的,大量的随机现象的集合往往表现出某种稳定的规律性。概率论的统计规律正是在这种情况下被发现的。
概率论的第二重特性同样离不开归纳法的使用。既然概率论反映的是人们对证明命题的证据的相信程度(即置信度),那么首先应该知道证据是什么,证据从何而来。事实上,证据的获得就是依靠归纳法来实现的。在对自然界特征的认识达到一定程度的情况下,人们会根据现有的资料作出一些推理,这个推理的过程本身就是归纳的过程。当假设被提出之后,所有可以对其合理性提供支持的材料就成了证据,即证据首先是相对于假设而言的。如果没有归纳法的使用,证据也就不存在了。由于归纳推理在前提为真的情况下不能确保结论必然为真,因此证据对假设的支持度总是有限的。在这种情况下,使用归纳推理得到的命题的合理性便不能得到充分的保障。而概率论的第二重特性就是针对这个问题的,证据究竟在多大程度上能够为假设提供支持?这些证据本身的可信度有多少?为解决归纳问题而形成的概率理论对后来的自然科学和逻辑学的发展都起到了重要的作用。
归纳法的使用为概率论的形成提供了方法论基础。它一方面使得概率的统计规律得以被发现,另一方面,也使概率论本身具有了方法论意义。从时间上看,概率论正是在归纳法被普遍运用的年代开始萌芽的。因此,作为一种具有扩展性的研究方法,归纳法为概率论的诞生提供了坚实的思维保障和方法论保障,在概率论的形成过程中,这种保障具有不容忽视的地位。四社会需求对概率论形成的促进作用
与前面述及的几点因素相比,社会因素显然不能作为概率论产生的内在因素,而只能被当作是一种外在因素。但从概率论发展的过程来看,作为一种与实际生活紧密相关的学科,其理论体系在相当大的程度上是基于对社会和经济问题的研究而形成的,因此对实际问题的解决始终是概率理论形成的一种外在动力。在这一点上,社会因素与概率理论形成了一种互动的关系，它们需要彼此相结合才能得到各自的良好发展。从17、18世纪概率论的初期阶段来看,社会经济的需求对概率论的促进作用是相当巨大的[7]。
在社会需求中,最主要的是来自保险业的需求。保险业早在奴隶社会便已有雏型,古埃及、古巴比伦、古代中国都曾出现过集体交纳税金以应付突发事件的情形。到了14世纪,随着海上贸易的迅速发展,在各主要海上贸易国先后形成了海上保险这种最早的保险形式。其后,火灾保险、人寿保险也相继诞生。各种保险虽形式各异,但原理相同,都是靠收取保金来分担风险的。以海上保险为例,经营海上贸易的船主向保险机构(保险公司)交纳一笔投保金,若货船安全抵达目的地,则投保金归保险机构所有;若途中货船遭遇意外而使船主蒙受损失,则由保险机构根据损失情况予以船主相应的赔偿。这样做的目的是为了将海上贸易的巨大风险转由两方(即船主与保险公司)共同承担[8]。从这个过程中可以看出,对保险公司而言,只要船只不出事,那么盈利将是肯定的;对船主而言,即使船只出事,也可以不必由自己承担全部损失。
从性质上看,从事这种事业实际上就是一种行为,两方都面临巨大风险。而这种涉及不确定因素的随机事件恰恰属于概率论的研究范围。工作总结由于保险业是一项于双方都有利的事业,因此在16、17世纪得到了快速的发展,欧洲各主要的海上贸易国如英国、法国、意大利等都纷纷成立保险公司,以支持海上贸易的发展。此外还出现了专门为他人解决商业中利率问题的“精算师”。不过在保险业刚起步的时候,并没有合理的概率理论为保金的制定提供指导,最初确定投保金和赔偿金的数额全凭经验,因此曾经出现过很长时间的混乱局面。而这样做的直接后果就是不可避免地导致经济损失。例如在17世纪,养老金的计算就是一个焦点问题。荷兰是当时欧洲最著名的养老胜地和避难场所,但其养老金的计算却极为糟糕,以致政府连年亏损。这种状况一直持续到18世纪,概率理论有了相当的发展,而统计工作也日渐完善之后,情况才有所改观[9]。在结合大量统计数据的前提下,运用概率理论进行分析和计算,由此得到的结果才更有可能保证投资者的经济利益。
我们可以举一个人寿保险的例子来说明概率理论是如何应用到保险事业中来的:2500个同年龄段的人参加人寿保险,每人每年1月交投保费12元。如果投保人当年死亡,则其家属可获赔2000元。假设参加投保的人死亡率为0.002,那么保险公司赔本的概率是多少?
从直观上看,如果当年的死亡人数不超过15人,则保险公司肯定获利,反之,则赔本。不过单凭经验是绝对不行的,必需有一套合理的理论来帮助处理此类问题。根据所给条件,每年的投保费总收入为2500×12=30000(元),当死亡人数n≥15时不能盈利。令所求之概率为P,由二项分布的计算公式可以得出P(n≥15)=0.000069。也就是说,如果按以上条件进行投保并且不出现特别重大的意外,则保险公司有几乎百分之百的可能性会盈利。
这个问题就是通过将概率理论运用到关于人口死亡的统计结果之上从而得到解决的。这个简单的例子告诉我们,概率理论对保险业的发展有着相当重要的指导作用。根据统计结果来确定在什么样的条件下保险公司才能盈利是概率理论对保险业最主要的贡献,它可以计算出一项保险业务在具备哪些条件的情况下会使保险公司获得收益,并进而保证保险公司的经营活动进入良性循环的轨道。从另一方面看,最初保险业的快速发展与其不具有基本的理论依据是极不协调的,这很容易导致保险公司由于决策失误而蒙受经济损失。因此保险事业迫切需要有合理的数学理论作为指导。在当时的社会环境下,由科学家参与解决实际问题是非常有效的,而由保险所产生的实际问题确实曾吸引了当时众多优秀数学家的目光。在1700-1800年间,包括欧拉、伯努利兄弟、棣莫弗(deMoivre)、高斯等在内的许多著名学者都曾对保险问题进行过研究,这些研究的成果极大地充实了概率理论本身。
可以说,经济因素和概率理论在彼此结合的过程中形成了良好的互动关系,一方面数学家们可以运用已有的理论解决现实问题。另一方面,新问题的出现也大大刺激了新理论的诞生。概率论的应用为保险业的合理化、规范化提供了保证,正是由于有了概率论作理论指导,保险业的发展才能够步入正轨。反过来,保险业所出现的新的实际问题,也在客观上促进了概率理论的进一步完善。这样,对于概率论的发展来说,保险业的需求便顺理成章地成为了一个巨大的动力。
五总结
概率论的产生就像它的理论那样是一种大量偶然因素结合作用下的必然结果。首先,这种机遇游戏提供了一种良好的独立随机过程,在进行的过程中,最原始的概率思想被激发出来;其次,先进的计数系统为概率思想的表达扫清了阻碍,也使得这些思想得以形式化并形成系统的理论。当然在获得概率思想的过程中,思维方式的转变和研究方法的进步才是最根本的关键性条件。如果没有归纳法的使用,即使存在着良好的独立随机过程也不可能使人们认识到大量统计数据中所隐藏着的规律性。此外,社会经济的发展,需要借助数学工具解决许多类似保险金的计算这样的实际问题,而这些吸引了众多优秀数学家们兴趣的问题对于概率论的形成是功不可没的,它大大刺激了概率理论的发展,使概率论的理论体系得到了极大的完善。上述四个因素都是概率论产生的重要条件,但是它们彼此之间并没有明显的时间上的先后顺序,最初它们的发展是各自独立的,但是随后这些条件逐渐结合在一起,使得原本零散的概率思想开始系统化、条理化。从概率论的历史来看,这几种因素的结合点就是17世纪末至18世纪初,因此概率论在这个时间诞生是很自然的事。
了解概率论的产生条件对于我们理解概率论在当今社会的重大意义有很好的帮助。今天,随着概率理论的广泛应用,它已不仅仅是一种用于解决实际问题的工具,而上升为具有重大认识论意义的学科。概率论不仅改变了人们研究问题的方法,更改变了人们看待世界的角度。这个世界不是绝对必然的,它充斥着大量的偶然性,所谓规律也只是在相当的程度上被我们所接受和信任的命题而已。运用概率,我们就可以避免由归纳法和决定论带来的许多问题和争论。科学发现的确需要偶然性,现代科学向我们证明,概率理念和概率方法已经成为进行科学研究的一项重要手段。
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概率论范文2
关键词 ：概率理论；应用；独立性；小概率事件
中图分类号： O212 文献标识码：A文章编号：1672-3791（2015）01（b）0000-00
1.前言
概率理论是数学的一个重要分支，其理论性非常强，同时它也广泛应用于社会生活各个领域。我们在概率论教学过程中应该多讲解一些简单的实际应用例子或应用背景，从而使学生对所学概率理论的基本概念有具体地，形象地认识，最终激发他们强大的学习兴趣。
独立性是概率理论特有的概念，它的引入大大推动了概率理论的发展。概率理论与数理统计中很多内容都是在事件的独立性的前提下讨论的。
小概率原理是指发生概率很小的随机事件在一次实验中是几乎不可能发生的。但只要试验次数很多时，那么这一事件发生几乎是肯定的。下面就这两个问题举例探讨。
2.独立性的问题
实例1：（1）假设一个打火机由10个零部件组成，如果要求它的可靠性能达到90%，问：每
个零件的可靠性应该达到多少？
（2）假设一台笔记本电脑由1000个零部件组成，如果要求它的可靠性能达到90%问：每
个零件的可靠性应该达到多少？
（3）一架客机上有300多万个零部件，如果用可靠性99.99%的零部件去组装它，这样的
飞机您敢坐吗？
答： 根据独立事件的乘法公式： ，可得
（1）由于 ，即只有每个零部件的可靠性能达到99%时，由这10个零部件组装的打火机的可靠性能才能达到90%。
（2）由于 ，即只有每个零部件的可靠性能达到99.99%时，由这1000个零部件组装的笔记本电脑的可靠性能才能达到90%。
（3）由上面两个小问题的求解易知，此问题需求 ，由数学软件Matlab首先计算下 ：
这样的飞机您敢坐吗？计算结果告诉我们坐这种飞机太可怕了，可靠性能几乎为零。
如果我们把0.9999的可靠性理解为万分之一的次品率，则这个数据对目前我国众多的生产制造企业来讲，是感到非常乐观的，那么就用我们引以自豪的具有0.9999即99.99%的可靠性能的零部件组装一架飞机，这种飞机整体质量的可靠性不言而喻。
3.小概率事件问题
小概率原理是指发生概率很小的随机事件在一次实验中是几乎不可能发生的。一般把0.05或比0.05更小的概率看成小概率。著名的英国统计学家费希尔把小概率的标准定为0.05，虽然费希尔并没有对为什么选择0.05给出充分的解释，但人们还是沿用了这个标准，把0.05或比0.05更小的概率看成小概率。
一个事件尽管在一次实验中发生的概率很小，即是小概率事件，但只要试验次数很多时，那么这一事件发生几乎是肯定的。这也告诉人们不能轻视小概率事件。下面就举两个实例。
我们看到这个概率值也很接近1，而由题意这种疾病的发病率是很小的，为0.001。设想一下，如果某种传染疾病发生在人口密集的地方，那么这个小概率疾病带来的后果是非常严重的。这一结果再次说明了一个事件尽管在一次实验中发生的概率很小，但只要试验次数很多，那么这一事件发生几乎是肯定的，所以我们可不能轻视小概率事件。
4.结束语
可以说在概率理论中有很多有趣的，能引起学生学习兴趣的实例。我们在教学中应该多引用有趣的实例来讲解一些难理解的概率概念，使学生易于接受和掌握概率理论基本知识，从而激发他们的强大的学习兴趣，以收事半功倍之效。
【参考文献】
[1] 茆诗松，中×，程依明.概率论与数理统计简明教程[M].第1版.北京：高等教育出版社，2012.
概率论范文3
研究性学习的历史可谓源远流长，最早的萌芽出现于我国孔子的因材施教与苏格拉底的“产婆术”．19世纪末至20世纪初，杜威在芝加哥大学率先倡导“LearningByDoing”的理念并付诸实验研究性学习，即通过与研究相类似的认知方式和心理过程来了解、接受、理解、记忆和应用人类已有知识或认知的认知活动［1］．在高等教育中，研究性学习是指学生通过研究性的方式提出、理解和解决问题，并在此过程中形成学习能力、创造能力与相关专业精神的活动．正如2000年教育部的《关于实施“新世纪高等教育教学改革工程”的通知》所言，当前高等教育改革的根本课题，就是反思以知识注入为特征的本科教学传统，重建以学生主动学习和创造性学习为灵魂的现代本科教学模式．高等教育质量的核心是教学质量．因此，提倡主动学习和创造性学习，蕴含着新的知识观、课程观、教学观和学习观的研究性学习，就应该而且可以成为我国本科教学改革的一种重要甚或主导性模式．对于理论知识较为深奥的理科课程，学生比较容易陷入枯燥的理论证明的漩涡而害怕，从而失去对课程学习的热情及兴趣．众所周知，兴趣是最好的老师，如何调动学生在学习过程中的积极性与学习热情将是学习成功的一个至关重要的因素．所以研究改变学生的被动学习状态为主动学习状态，让学生从被灌输者变为主动思考者，以达到大大提高学生的学习效率的研究性学习教学模式很有必要，也必将成为高等教育改革实施的重要方向之一．
2研究性学习方法
本文将以工科《概率统计》课程为例，从以下四方面着手来引导学生学习的主动性以及学习热情，第一个方面是引导学生运用逆向思维思考问题；第二个方面是启迪学生运用发散思维思考问题，这样可以让学习跳出思维的定势，培养学生的多角度的思考问题的习惯；第三个方面是进行基于Matlab的验证学习．概率统计实际上是源于生活的一门课程，从定理到习题处处可以在实际生活中找到原型，很多习题也是源于实际问题，学生自己通过将课本中的一些较为容易实现的理论环节进行实验编程验证，可以让学生理论联系实际从而对课程有更加深刻的认识与理解；第四方面是基于实际问题的教学，将实际问题引入课堂教学以及课外实践活动能让学生理论联系实际，对学习知识点有更加深刻的理解，同时也易于学生运用所学知识解决实际问题．
2．1逆向思维
训练逻辑思维的一个有效的方法是进行逆向思维，逆向思维有利于学生更加深刻认识事物或现象本质，避免对问题或概念仅停留在表面上，通过正反两方面思考，达到融会贯通，举一反三，真正掌握所学知识点．下面例1将通过正反两方面来对问题进行求解．由例1可以看到通过逆向思维的求解得到和正向思维求解同样的结果，而通过逆向思维求解可以使学生加深对知识点的理解，这样可以让学生对全概率公式运用的更加熟悉，理解的更加透彻，也能更加激发学生主动学习的热情与兴趣，从而有利于学生更加灵活的运用知识点解决问题．
2．2发散思维
对于概率统计学习中的很多问题其求解方法可以有多种，这些方法往往蕴含着不同的思考问题的角度，发散性思维就是要从与常规不同的角度来解决问题．新颖的思考问题角度往往能给问题的求解带来意想不到的效果，从而能达到锻炼学生思维的广度，启迪思维的目的．通过例2可以看到，解法一通过微观的角度细致分析所求事件发生的每一种可能性，解法二从另外一个较为宏观的角度整体考虑两个事件发生的概率的关系从而进行求解，对问题的理解和把握要求更高．从另外一个角度来看，两种解法相互关联，思考问题角度互为补充，从而有利于锻炼学生思维的弹性与延展性，更加灵活的对问题进行求解．
2．3基于Matlab的验证学习
Matlab语言是国际科学领域应用和影响最广泛的三大计算机数学语言之一，在很多领域Matlab语言是科学研究者首先选用的计算机数学语言．它是一种集数值计算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能于一体的图形化语言，问题的提出和解答只需以数学方式表达，不需大量原始的编程过程，易学、适用范围广、功能强、开放性强、网络资源丰富［2］．另外Matlab程序限制不严格，程序设计自由度大．例如，在Matlab里，用户无需对矩阵预定义就可使用，程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行．使用它可以很容易实现和验证高等数学、概率统计等大学课程所讲述的内容．唯物主义的哲学观告诉我们学习要理论联系实际，理论要在实践中得到检验才算是真理，在实践中得到检验的真理才更加有生命力，才能更加被人所铭记．《概率统计》课程作为理工科课程需要学习很多的定理证明，然而概率统计是源自于生活的一门学问，最早源于问题［3］，概率中的很多例题以及命题都可以在实际问题中找到对应的原型，并加以证明，下面以“抓阄问题”［4］的实验证明来说明：由频率与概率之间的关系，随着实验次数的增加频率应该越来越接近概率，从实验结果可以看到三个人抓到“有”字阄的频率十分接近，随着实验的次数增加均越来越接近1／3，这样正好可以让学生更好的理解频率和概率之间的关系．
2．4基于实际问题的教学
概率统计与实际生活的紧密联系决定了在课堂教学中可以引入与实际生活联系比较紧密或学生比较感兴趣的问题作为讲解范例，这样更有利于调动学生积极性，提高其学习的兴趣．比如在古典概率部分可以引入如下学生感兴趣的“生日问题”：
概率论范文4
Abstract： Based on n Bernoulli model， using the limit distribution， it discusses the relationship of the binomial distribution， poisson distribution， exponential distribution， normal distribution， resulting in n Bernonlli probability through probability tutorial conclusion.
关键词： n重贝努里概型；二项分布；指数分布；正态分布；泊松分布；几何分布
Key words： n Bernoulli scheme；binomial distribution；exponential distribution；normal distribution；Poisson distribution；geometric distribution
中图分类号：O21 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）29-0289-02
0 引言
n重贝努里概型是概率论中最早研究的模型之一，也是得到最多研究的模型之一，有着广泛的应用价值，诸如在购买股票问题中，设光顾的投资者数为n，n个人中购买股票的人数m，这就是一个n重贝努里概型[1]。在城市燃气管道故障发生概率的研究中，对由n段（2个阀门之间为1段）管道组成的管网是否发生故障进行检测，每段管道检测结果相互不影响，即上一段管道是否故障不会对下一段管道是否故障造成任何影响，且每段管道的检验结果只有故障和不故障两种情况，因而对于由n段管道组成的城市燃气管网，其故障发生的概率满足n重贝努利概型[2]。n重贝努里概型有广泛应用的真正原因在于它是概率论中几乎所有常见分布的根基。
1 预备知识
1.1 n重贝努里概型 如果一个试验中只关心某个事件A是否发生，那么称这个试验为贝努里试验，相应的数学模型称为贝努里模型。
对随机实验中某事件是否发生，试验的可能结果只有两个，这种只有两个可能结果的实验称为贝努里试验。重复进行n次独立的贝努里试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变，“独立”的意思是指是指各次试验的结果是相互独立的，这种试验所对应的数学模型成为贝努里概型。有时为了突出实验次数n，也称为n重贝努里试验。
1.2 几何分布 若随机变量X的概率分布为pk=P{X=k}=（1-p）k-1p，k=1，2，…，其中0
1.3 二项分布 若随机变量X的所有可能取值为0，1，…，n且它的概率分布为pk=P{X=k}=C■■p■q■，k=0，1，…，n，其中0
1.4 泊松分布 若随机变量X的所有可能取值为非负整数，且它的概率分布为pk=P{X=k}=■e■，k=0，1，…，其中λ>0是某个常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～P（λ）。
1.5 指数分布 若随机变量X的概率密度函数为
p（x）=λe-λx，x>00，x？燮0
其中λ>0是某个常数，则称X服从参数为λ的指数分布，记为X～Exp（λ）。
1.6 正态分布 若随机变量X的概率密度函数为
p（x）=■e■，x∈（-∞，+∞）
其中μ和σ均为常数且σ>0，则称X服从正态分布，记为X～N（μ，σ2）。
2 主要结果
2.1 n重贝努里实验与几何分布的关系 在n重贝努里实验中，记X为事件A首次发生时的实验次数，则X服从几何分布[3]。几何分布在概率论中的重要性在于它的无记忆性，即：P{X=m+n│X>m}=P{X=n}。
若假定已知前m次试验中都没有出现成功，那么为了首次成功所需等待得试验次数还是服从几何分布，与前面的次数m无关。形象的说，就是把过去的经历都忘记了。无记忆性的实际意义是“没有明显消耗”，故服从几何分布的随机变量常用来表示无明显消耗的这类产品的使用寿命。
2.2 n重贝努里实验与二项分布的关系 在n重贝努里概型中，记为事件A发生的实验次数，则服从二项分布[3]。
二项分布是最重要的离散型分布之一。
离散型分布的最可能值指的是该随机变量所有取值当中，那些使取值概率达到最大的值，即若任意一个离散型随机变量的概率分布为x■，x■，…，x■，…p■，p■，…，p■，…，pm=max{p1，p2，…}，则xm为此分布的最可能值。可以证明，任何离散型分布的最可能值一定存在，而且至少有一个。[4]一般离散型分布的最可能值不唯一，二项分布中，当（n+1）p为非负整数时，恰有两个最可能值：（n+1）p与（n+1）p-1。
2.3 二项分布与泊松分布的关系 泊松分布是概率论中最重要的概率分布之一，生活中的许多随机现象服从泊松分布，主要集中在两个领域。其中一个领域是在社会服务系统和生产管理。如公共汽车站单位时间内候车的乘客数，医院单位时间内看病的人数，电话台单位时间内接到呼叫的次数等等。所以在运筹学及管理科学中泊松分布有着广泛的应用。泊松随机变量的元素特征是“稀少事件”发生的个数。例如，宇宙中单位体积内星球的个数，放射性分裂到某区域的质点数，纺织机上的断头数等。[5]
当二项分布中n很大，p很小时，二项分布就变成为泊松分布，所以泊松分布实际上是二项分布的极限分布。
定理1：在n重伯努里试验中，事件A在一次实验中出现的概率为p，记np=λ，若n充分大，p充分小，np=λ大小合适，则有pk=P{X=K}=C■■p■q■≈■e■，k=0，1，…，n。
证明：应用分析知识可知■1-■■=e■
当n很大时，由于
■=1-■…1-■≈1，
1-■■≈1，1-■■≈e■。
pk=P{X=k}=C■■p■q■
=■p■（1-p）■
故=■■■■
=■■■1-■■
≈■e■
在实际计算中，当n？叟100，p？燮0.1，np？燮10时，二项分布就可以利用泊松分布近似计算。当然，n越大，p越小，np=λ大小合适，近似计算越精确。
2.4 泊松分布与指数分布的关系[6] 我们知道在医院每天看病的人数，公共汽车站上候车的乘客数，电话台接到呼叫的次数，宇宙中单位体积内星球的个数，放射性分裂到某区域的质点数等都可以用泊松分布来描述，且其中的参数λ为单位时间内的平均值，现在如果考察的不是单位时间，而是时间段[0，t]，那么这个平均值是λt，又因为泊松分布具有可加性，所以在[0，t]这段时间内应服从参数为λt的泊松分布。
设事件A在时间[x0，x0+t]内发生的次数X服从参数λt的泊松分布，即：pk=P{X=k}=■e■，k=0，1，…那么两次发生之间的“等待时间”Y应服从什么分布？
设上一次事件A发生时刻为0，显然Y不能为负值，所以当t？燮0时，分布函数F（t）=P（Y？燮t）=0。当t？叟0时，因为在等待时间内A不发生，故分布函数F（t）=P（Y？燮t）=P（X=0）=■e-λt=e-λt。这正是参数为λ的指数分布。故发生的次数服从参数为λt的泊松分布，那么两次发生的时间服从参数为λ的指数分布。指数分布有非常重要的作用，常用来作为各种“寿命”的近似分布。它还有类似于几何分布的无记忆性。
2.5 二项分布与正态分布的关系 正态分布是概率论中最重要的分布。比如，测量的误差，钢的含碳量，农作物的收获量，人的身高、体重，工厂产品的尺寸：长度、宽度、高度等均近似的服从正态分布。中心极限定理告诉我们，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每一因素起的作用都不太大，则这个指标近似服从正态分布。正态分布有许多优良的性质，是目前为止人们研究最多，也是研究最清楚的一类分布。数理统计中常用的χ2-分布，t-分布，F-分布均可由正态分布派生出来。另外，许多分布在一定条件下可用正态分布来近似，例如，二项分布。
定理2：设随机变量ξn（n=1，2，…）服从参数为n，p的二项分布，则对于任意x，有：
■P■？燮x=Φ（x）=■■e■dt
这是概率论中的拉普拉斯中心极限定理，其证明参考文献[3]。
事实上，在n充分大，p既不接近于0也不接近于l时（实际上最好满足0.1？燮p？燮0.9），用正态分布去近似二项分布，效果就较好。
总之，n重伯努里试验中，所关心事件A在一次试验中发生的概率为p，则所关心事件A首次发生时试验的次数服从几何分布，所关心事件A在n重伯努里试验中总共发生的次数服从二项分布，n充分大，p充分小，np=λ大小合适时，二项分布由泊松分布逼近，n充分大，p既不接近于0也不接近于l时，二项分布由正态分布逼近。由此可见，概率论中最常见的分布都离不开n重伯努里试验，即n重伯努里试验贯穿概率论始终，可以说，n重伯努里试验就是概率论的一条主线。这些仅限于概率论教学内容的研究，而关于n重伯努里试验更广泛的应用价值，需做更进一步的探索。
参考文献：
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[2]严铭卿.燃气输配工程分析[M].北京：石油工业出版社，2005.
[3]刘文安.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2011.
[4]王玉孝，姜炳麟，汪彩云.概率论、随机过程与数理统计[M].北京：北京邮电大学出版社，2008.
概率论范文5
关键词：数学统一性；概率论；教学
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）24-0075-02
数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门科学。据统计，至今为止数学已经有将近100多个高深广博的分支。其中，概率论是研究随机性或不确定性等现象的一个数学分支。《概率论》或《概率论与数理统计》是大学课堂教学中必修的一门课程。对于大部分已习惯于学习确定性数学内容的学生来说，概率论中相关概念或定义等内容感到难以理解。尤其是随着高等教育的普及或因为部分学校功利主义倾向影响，一些院系在课时安排上尽可能压缩《高等数学》等数学基础理论课程，忽视其在学生思维能力训练方面的重要作用，进一步造成了学生理解与分析能力的欠缺。本文利用数学的统一性的原理，对概率论中的某些概念、定理的理解作一些粗浅的探讨，以利于学生更好地掌握并应用概率思想。辩证唯物主义认为物质和意识是对立的统一，它们统一于物质之中；物质和意识的对立产生于实践，它们的统一又在实践中实现。数学的统一性是指部分与部分、部分与整体间的互相贯通、相互转化与和谐一致性。数学的发展过程以及内容都贯穿着辩证法，因此，数学的统一性不仅仅表现在统一的数学符号和共同的数学语言，更表现在其中各个分支固有的内在的联系以及各个分支相互渗透和相互结合的趋势。本文以概率论中的概率空间、随机变量、数学期望、概率密度函数以及分布函数中所蕴含的数学统一性进行阐述，揭示数学的统一性思想对概率论的理解所产生的作用。
一、相关概念数学统一性分析
1.概率空间中的数学统一性。数学概念的发展是遵循认识规律的，是由简单至复杂、由特殊到一般，有序地达到较高的抽象水平。简而言之，概念统一性是通过逻辑推演扩大概念的性质结构后与原来概念之间的一致性。概率论教学过程中，充分利用数学概念的统一性以及数学分析中实数域上映射概念，便于学生对于初次接触的概率空间的理解。实际上，我们先复习一下实数域上的映射概念以及容易理解的古典概率模型后，指出在古典概率模型中，所有可能的结果看成一个集合？赘，此集合上定义的概率是？赘[0，1]的一个映射。根据认识规律，自然地，可将古典概率中的？赘可以是任一个非空集合，即为我们所说的样本空间；而σ-域F是这个集合的一些子集的集合（满足一定条件）；概率P实际上是？赘[0，1]的一个映射，即将σ-域F的某个子集A（称之为事件）对应于一个[0，1]上的数，记这个数为P（A）。由此可看出，概率空间本质上就是数学分析所学习的某一集合与其上所定义的一种映射所构成的有序对。
2.随机变量中的数学统一性。随机变量的定义以及如何从离散型随机变量过度到连续型随机变量是学习概率论过程中难以理解的一个知识点。在讲解随机变量的定义时，注意其和普通变量、普通函数之间的联系，注意它们之间的统一性与差异性有助于学生对其理解。此外，指出离散随机变量定义在具有有限或可列个元素的某一集合上；连续型随机变量是定义在不可数的样本空间上。通过对比离散函数与连续函数的统一性与差异性以及离散函数如何过度到连续函数（特别是连续函数作图），让学生对其有初步理解，然后结合定积分的定义（求和取极限）给出连续函数初步定义，最后导出其严格定义。事实上，离散与连续是矛盾的两个方面，也是相对和绝对的统一，它们也具有统一性的一面。在现实中，我们有时将连续问题离散化处理，有时又将离散问题连续化分析。充分利用离散与连续这对矛盾是现代数学的主要矛盾之一，具体地深入地研究这对矛盾在概率论教学中的表现，将有助于学生对相关概念的理解。正如著名数学家Lovasz所说，离散数学与连续数学的结构和方法确实差别很大，但是从更深层次来说，离散与连续是一个事物的两面。
3.数学期望中的数学统一性。在讲解数学期望的时候，将数学分析中的数列求和以及定积分与之联系起来，有助于理解为何在定义离散随机变量的数学期望要求绝对收敛以及连续随机变量要绝对可积。此外，特别向学生阐明连续随机变量的数学期望中所蕴含的数学思想与定积分则有着惊人的统一：“以直代曲”。从方法论角度来看，它们之间在方法上更是惊人的一致：分割、求和、取极限。由此让学生明白，以后的很多概率论问题均可利用定积分中的分部积分、换元积分、变上限的积分等内容来解决。这体现了数学分析与概率论这两个不同领域在某种方面的相互转化以及和谐一致性，它们之间具有统一性。
4.概率密度函数与分布函数的数学统一性。连续性随机变量分布函数与概率密度函数是学生经常容易混淆的一个知识点。特别是概率密度函数这个概念，学生一般不好理解。此时，利用物理中体积、密度与质量之间的关系启发学生思考概率与概率密度之间的关系。事实上，如果将某一区间上的概率看成“物体的质量”，其长度看作“物体的体积”，两者之比值正好是“物体的密度”。因此概率密度函数在某点值的大小反映了随机变量落在该点附近概率的大小，而连续型随机变量落在某区间上的概率可转化为其密度函数在该区间上的积分，完全转化为已学过的数学分析中的定积分问题。此时，学生会恍然大悟，数学来源于物理，一些物理背景知识常常有助于理解数学概念，它们之间是和谐统一的。
二、启示
20世纪最伟大的数学家戴维・希尔伯特曾说：数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是各个部分之间的联系。数学的发展必然是逐步统一的过程。因此，作为数学教师，如果没有站在数学统一性高度去教授数学，呈现的必然只是一堆枯燥无味的数字、字母以及呆板的“定理―引理―证明”之步骤。因此，在概率论教学乃至其他数学教学中，教师应该正确处理好教学内容与其他知识点的统一性，阐明其中蕴含的辩证关系和相互转化，注重其中对立统一性的讨论与分析。将统一性思想具体融入到数学课堂教学中，这不仅能提高学习能力，促进学生对概率论以及数学知识的理解，提高学生知识点的融会贯通能力，而且在传授知识的同时，对学生进行马克思主义哲学思想的教育，使教书与育人结合起来，对培养辩证思维能力有着重要的作用。
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概率论范文6
在教学内容的选编中，所选内容应突出“厚基础”“重应用”的应用型特色。综合考虑学生的就业方向，侧重论述概念、方法、原理的历史背景和现实背景在金融等方面的应用，对于冗长难懂的理论证明可以用直观易懂的现实背景来解释。例如讲解全概率公式时，学生虽可以比较容易地应用，但不容易理解公式的本质，所以并不觉得引入这些公式有什么必要性，大大降低了学生的学习兴趣。但如果在课堂引入“敏感事件调查”这个例子，会对经管类的文科学生具有很强的吸引力，从而为学生提高市场调查和问卷设计能力提供有益借鉴。在介绍贝叶斯公式时，可以根据经管类专业，引入贝叶斯公式应用在风险投资中的例子。在介绍期望的概念时，从游戏介绍概念来源的背景，再将期望用到实际生活中去，可以引入其在投资组合及风险管理等方面的应用。这样能使学生真正理解概率论中许多理论是取之于生活而用之于生活，并能自觉将理论运用到生活中去。在介绍极大似然思想时，可以从学生和猎人一起打猎的案例进行引入。
2设计趣味案例，激发学生学习兴趣2015年1月5日
随着互联网的迅猛发展、电脑的普及、各种游戏软件的开发，很多大学生喜欢在网上玩游戏。教师可以抓住大学生爱玩游戏这一特点，况且概率论的起源就来源于游戏，教师可以在讲授知识时，由一个游戏出发，循循诱导学生从兴趣中学到知识，再应用到生活中去。例如，在讲解期望定义时，可以设计这样的一个游戏案例:假设手中有两枚硬币，一枚是正常的硬币，一枚是包装好的双面相同的硬币(即要么都是正面，要么都是反面，在抛之后才可以拆开看属于哪种)。现在让学生拿着这两枚硬币共抛10次，一次只能抛一枚，抛到正面就可以获利1元钱，反面没有获利，问学生选择怎样一种抛掷组合，才能使预期收益最大?教师留给学生思考的时间，然后随机抽一位同学回答，并解释其理由。大部分学生选择先抛后面那枚硬币，如果发现两面都是正面，那么后面9次都抛这枚，如果是反面，那后面9次都抛前面那枚硬币。这种抛掷组合确实是最优的，但总是说不清其中的道理来。这时教师可以向学生解释，其实大家在潜意识中已经用到了期望，然后利用期望的定义为大家验算不同抛掷组合的期望值来说明大家选的组合确实是最优的，这时学生豁然开朗，理解了期望的真正含义。游戏可以继续，如果将若干个包装好的非正常硬币装入一个盒子里，比如将5枚双面都是反面的、1枚双面都是正面的硬币装入盒子里，学生从中摸一个硬币出来，再和原来那枚正常的硬币一起共抛10次，也可以选择不摸硬币，直接用手中正常硬币抛10次。这个时候，原来那种抛掷组合还是最优的吗;如果再改变箱子中两种硬币的比例，比如9枚双面是反的，1枚双面都是正的，结果又是怎样等等，这些问题可以留给学生课后思考，并作为案例分析测试题。按照上述设计教学案例，不仅让学生轻松学到知识，激发学生学习的能动性，还可以提高学生自己动手解决实际问题的能力，培养学生的创新能力。
3精选实用型案例，引导学生学以致用
如在讲解全概率公式时引入摸彩模型，中奖的概率是否与抽奖的先后顺序有关。利用全概率公式可以证明与顺序无关，大家机会是平等的。又如讲解事件独立性可以引入比赛局数制定的案例，如果你是强势的一方，是采取三局两胜制还是五局三胜制，这个例子也可以用大数定理来解释，n越大，越能反映真实的水平。又如设计车门高度问题，公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0．01以下来设计的:设某地区成年男性身高(单位:cm)X～N(170，36)，问车门高度应如何确定?这个用正态分布标准化查表可解决。合理配备维修工人问题:为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费，配备少了又要影响生产)，现有同类型设备300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0．01。在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况)，问至少需配备多少工人，才能保证设备发生故障不能及时维修的概率小于0．01?这样的问题在企业和公司经常会出现，我们用泊松定理或中心极限定理就可以求出。学生参与到实际问题中去，解决了问题又学到了知识，从而有成就感，学习就有了主动性。
4运用多媒体及统计软件进行经典案例分析
在概率统计教学中，实际题目信息及文字很多，需要利用统计软件及现代化媒体技术。其一，采用多媒体教学手段进行辅助教学，可以使教师节省大量的文字板书，避免很多不必要的重复性劳动中，从而教师就可以将更多的精力和时间用于阐释问题解决的思路，提高课堂效率和学生学习的实际效果，有效地进行课堂交流。其二，使用图形动画和模拟实验作为辅助教学手段，可以让学生更直观地理解一些抽象的概念和公式。如采用多媒体教学手段介绍投币试验、高尔顿板钉实验时，可以使用小动画，在不占用过多课堂教学时间的同时，又能增添课堂的趣味性。而在分析与讲解泊松定理时，利用软件演示二项分布逼近泊松分布，既形象又生动。如果在课堂教学中使用Mathematica软件演示大数定律和中心极限定理时，就可将复杂而抽象的定理转化为学生对形象的直观认识，以使教学效果显著提高。在处理概率统计问题过程中，我们经常会面对大量的数据需要处理，可以利用Excel，SPSS，Matlab，SAS等软件简化计算过程，从而降低理论难度。不仅如此，在教师使用与演示软件的过程中，学生了解到应用计算机软件能够将所学概率论与数理统计知识用于解决实际问题，从而强烈激发学生学习概率知识的兴趣。
5结合实验教学，培养学生应用技能
