高数函数有界性的判断范文1
【关键词】二次函数；高中数学；函数关系
初三级教材对二次函数有了基本的介绍，但是由于学习任务的划分，初中阶段并没有要求对二次函数的应用。在以函数为主导高中数学中，二次函数占了很大的比重，高中数学任务强调知识的运用能力，这也就要求高中生对二次函数有更深入的了解，对二次函数的解答和模型建立都有详细的概念和较好的运用能力。
一、二次函数的定义
初中课本中界定，主要从函数关系上说明二次函数：一般来说，如果自变量x和因变量y之间存在着如下关系：均为常数，且，我们就称x是y的一元二次函数。但是高中数学从映射观点上重新解释二次函数：二次函数就是从一个结合A（定义域）到另一个集合B（值域）上的一个映射f：AB，使得集合B中的元素均为常数，且与集合A的元素X一一对应，用函数表示为：为常数，且其中为对应法则，又表示定义域中元素X的象。
二、二次函数定义域和值域问题
定义域和值域问题是二次函数中比较简单的求解问题。
定义域就是函数关系中的自变量的取值范围，如果没有要求，就要根据情况进行自己选定，一般情况下都去全体实数，遇到实际问题模型是，要可以根据问题进行取舍，比如说向实际的生产运输问题，这类要求是x≥0。有时，定义域的取值是间断的几段曲线，比如|x|>2，这是解答时要特别注意端点的取舍问题，有时候我们所得到的解就在端点，但是一个等号的取舍不当可能断送一道题目。求解定义域时，解尽可能写成集合形式，从小到大依次书写，这也可以降低解函数表达式不完整的情况。
值域就是的对应y的取值，在高中数学中，值域的考察还是相当多，值域特别注意的极值问题，在值域计算中，要注意断点和端点的。一般求值域的方法是找到全部的端点和极值点，分别求出对应的数值，同时准确判断出各个点之间的单调性，这样可以罗列出一组取值范围，在这些值中找到连续段和孤立点，然后进行解的集合组合。
三、二次函数单调性和最值问题
单调性就是指函数在某个区间段中呈现出的变化趋势，单调性的求解用来判断函数的最大值或者最小值，也可以用来判断实际函数模型的生产关系。在高中数学中，直接求解单调性的问题不多，大都是通过单调性的判断，进行相关最值、极值的计算。
最值问题是高中数学函数重要的部分之一，最值的求方式有很多，主要有画图法、配方法、因式分解法、到导数分析法，在具体问题分析时，要根据题设要求，选择最简单可行的方法。
四、二次函数的应用
【参考文献】
[1]王刚.浅谈二次函数在高中数学中的应用[J].科技视界，2012，（13）.
[2]张丹文.浅谈二次函数在高中数学中的应用[J].学周刊：A，2012，（6）.
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许多数学概念都是从数和形两方面描述的.为了减少运算，在审题和解答时，应具备借助图形图象工具进行分析和推理的意识.
在解题中，我们经常需借助的图形图象工具有：韦恩图、数轴图――用于解决集合、不等式解集等问题；基本函数的图象――用于分析解决函数、导数及数列等问题；几何性质、几何意义――常用于解决向量、解析几何问题；正方体、长方体及特殊几何体――用于研究立体几何空间点线面的关系；树形图、表格――通过枚举法研究和分析问题，等等.
点评： 解法一按部就班，先通过分类讨论去绝对值符号，再分析函数的单调性，得到了f（x）的零点数.解法二作出了h（x）=log0.5x与g（x）=0.5x的图象，根据基本函数图象的交点来推理求解.不难发现，根据题目所给的函数直接求解，无论是从运算量还是解题难度来说，都不如借助图象工具进行推理求解来得简便.
根据数值特点进行推理
有些题目的数值是命题人精心安排的，解题时如果能根据数值特点进行推理，不仅有助于把握题目细节，减少干扰，更能深入问题核心，四两拨千斤.
比如，在函数问题中判断点是否在函数图象上；在导数问题中判断函数的零点，判断给定区间边界点是否为导函数的零点；在解析几何问题中判断给定点是否为曲线上的点、是否与曲线基本量有关等.
点评： 解法一和解法二都使用了数形结合法.解法一按常规思路将所求函数具体化，转化为分段函数的最值问题，再根据二次函数f（x），g（x）的图象性质求得结果.解法二结合题意，根据数值的特殊性进行推理验证，发现两函数的顶点恰好与两函数的交点重合，由此找到突破口，在同一坐标系中相对准确地作出了f（x），g（x）的图象，并判断出了A，B的具置，大大减少了运算量，避免了分类讨论的困难.
观察形式进行推理
形式化的表达是数学的基本特征，在解题中关注数学形式，体会其中蕴含的数学本质，往往对解题大有裨益.
解析几何问题经常需要我们观察方程的形式和结构特点，对是否是同一直线方程、是否为同一个一元二次方程的解、是否为同一曲线方程、是否能视为同一函数的表达式等作出判断.
例3 [2013年高考数学广东卷（文科）第20题第（2）问] 已知抛物线C：x2=4y，设P为直线l：x-y-2=0上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程.
类比①式和②式，可知A（m1，n1），B（m2，n2）均满足方程y0=x0-y.因为P（x0，y0）为定点，且经过A，B两点的直线唯一，所以直线AB的方程为y0=x0-y，即x0x-2y-2y0=0.
点评： 例3含参过多，直接求解麻烦重重.观察可知y0=x0-n1和y0=x0-n2满足同一方程y0=x0-y，由此可得目标方程.
寻觅题目“疏漏”进行推理
有些选择题和填空题在选项设置或者取值上会留下一些“疏漏”，这能让我们避开繁杂运算，巧妙求解.
在解题中应留意这类“疏漏”，如选择题选项的对立与统一、问题中动点的特殊位置、变量取特殊值与边界值导致的结果等.对于这些“疏漏”，可尝试采用特值法或极限思想解决问题.
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关键词：高中数学；函数；教学策略
函数是数学中的重要内容，是数学学习的难点，为了帮助学生了解函数知识，对函数的性质与概念有一个深刻的印象，需要准备一些针对函数教学的有效教学策略，以便达到提高教学质量、提高学生学习效率的目的，因此，研究高中数学函数教学策略具有重要意义，有助于增强学生对函数的理解认识。
一、把握函数性质，了解函数概念
把握函数性质，了解函数概念需要做到以下几点：（1）结合教学实际，创设情境，提出问题，使学生在学习函数概念时形成感性认知，以便较好地界定概念的外延与内涵。（2）深入教学，在挖掘概念的基础上对认知概念进行发展与完善，增强学生对函数概念的理解。例如，在讲解函数单调性与周期性时，需要根据底数的范围进行函数单调性的判断，并以单调性来划分单调区间，从而使学生了解函数的概念与性质，达到良好的教学效果。
二、自主探究，了解函数知识
自主探究，了解函数知识是一种有效的教学策略，学生自主探究的过程是主动学习的过程，能够发挥自己学习的主动性，努力思考，积极探索，提高学习效率，达到事半功倍的效果，因此，自主探究，了解函数知识至关重要，是一种有效的教学策略。自主探究，了解函数知识需要做到以下几点：（1）引导学生自主学习，为学生营造良好的学习氛围，创设学习情境，激发学生的学习兴趣。学生通过自主学习，能够对知识产生深刻的印象，能够加深对函数概念与性质的理解，从而产生较好的教学效果。（2）利用问题导学法引导学生思考，促进学生自主探究，为学生提供思考的思路，使学生掌握学习方法。以学习“函数奇偶性”为例，教师在教授此部分内容时就需要学生自主探究函数奇偶性的判断方法，首先，要求学生自己求出函数的定义域，通过定义域判断函数奇偶性，其次，近一步提出问题，如何判断分段函数的奇偶性，促进学生进一步探究思考，扩展学生思维，提高学生的判断能力与思维能力。最后，组织学生交流分享，通过学生分享交流思考过程，集思广益，为学生提供不同的思考方向，提高学生分析问题、解决问题的能力，在此基础上教师进行总结，整理知识点，帮助学生将函数知识系统化、结构化，提高学生学习质量。
三、紧扣思想，解放解题模式
紧扣思想，解放解题模式至关重要，这是锻炼学生思维，培养学生解决问题能力的有效手段，能够提升学生的学习能力，为学生今后的学习奠定良好的基础。紧扣思想，解放解题模式需要做到以下几点：（1）通过数形结合，进行巧妙解题，数学题目答案是固定的，解题方法却是多样的，教师在讲解函数知识的过程中可以开放解题模式，采用多样化的解题方法进行解题，拓展学生思路，找到最简便的解题方法，为学生提供多样的思考方向。（2）化繁为简，分类讨论，通过化繁为简，可以将复杂的大问题化解为多个简单的小问题，逐步解决问题，分阶段讨论研究，提高教学效果。
四、易错解析，进行巩固训练
进行易错解析，有助于巩固所学知识，克服难点问题，提高学生学习质量。函数知识难度较大，学生学习较为困难，容易出现错误，无法找到正确解题方法，容易受到其他信息的干扰，因此，进行易错解析，为学生呈现易错的知识点，使学生提前了解相关内容，加以避免，实现学生高效准确的学习，学生在做题过程中产生失误的原因主要有以下几点：（1）较为马虎，学生在做题时不够认真，容易出现计算错误；（2）未真正理解知识内涵，无法灵活运用公式、概念，思考时思维固化等。针对这两点，教师需要为学生呈现易错的知识点，如，哪里容易计算错误，哪个知识内容容易影响学生思维，使学生产生思考偏差等。在讲解完成后，教师可以为学生寻找一些典型习题，对学生进行当堂训练，考查学生的学习效果，对学生难以掌握的知识点进行再一次讲解，帮助学生理解函数知识与内容，提高学生的学习质量，使学生对函数性质、判定与概念有更深刻的理解，达到理想的教学效果。
综上所述，研究高中数学函数教学策略具有重要意义，通过自主探究、解放解题模式、错题解析等方式不仅能够了解函数知识与概念，加深学生的理解记忆，提高学生学习效率与质量，还能使学生养成良好的学习习惯，锻炼学生的思维能力，提升学生解决问题的能力。
参考文献：
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关键词：函数形态；作图；方法步骤
一、函数现代概念
若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）。元素x称为自变量，元素y称为因变量。
二、函数的形态
1.单调性
设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1
2.奇偶性
设f（x）为一个实变量实值函数，若下列的方程对所有实数x都成立：f（x）=-f（-x）则f（x）为奇函数。几何上，一个奇函数关于原点对称。
设f（x）为一实变量实值函数，则f（x）为偶函数，若下列的方程对所有实数x都成立：f（x）=f（-x）。几何上，一个偶函数关于y轴对称。
3.周期性
设函数f（x）的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任意x∈D有（x±T）∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数，T称为f（x）的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域D为至少一边的无界区间，若D为有界的，则该函数不具周期性。并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函数。
4.有界性
设I为函数f（x）的定义域内的某一区间，若存在正数M，使得对一切x∈I，都有f（x）≤M，则称f（x）为区间I上有界，否则称f（x）为区间I上无界。
5.连续性
在数学中，连续是函数的一种属性。直观图象上说，连续的函数是连绵不断的一条线，也就是一笔可以画完无需间断的曲线。
不用极限的概念，也可以这样表达：对任意给定的ε>0，总存在δ>0，当x-x0
6.凹凸性
三、函数的基本作图方法
讨论了函数的各种形态，综合讨论就可以做出函数图象的一般步骤如下：
（1）确定函数的定义域，找出间断点。
（2）求出曲线和坐标轴的交点。
（3）确定曲线关于坐标轴的对称性。
（4）令一阶导数等于0，求出函数的驻点，并算出各驻点的函数值。判断函数的单调区间并求出极值。
（5）确定函数的凹向区间和拐点。
（6）求出曲线的渐近线。
（8）根据关系图和函数的相关性质，描绘函数大致图象。
四、实例解析
解：（1）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）。
（2）函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性。
（4）令y′=0得x=-2
y″（-2）>0所以x=-2为极小值点，f（-2）=3为极小值。
（5）令y″=0，得x=-3，在x=-3的左侧有y″0，而f（-3）=-2，所以，（-3，-2）是拐点。
（6）渐近线x=0。
（7）将上面的结果列表如下：
（8）描绘图象如下：
根据作图的步骤可以作出函数的大致图象，如果已知函数的图象，不但可以从函数得到精确的性质，也可以从函数的图象得出函数的大致性质。
例2：已知函数y=3x2-x3的图象如下，描述该函数性态。
解：（1）定义域为（-∞，+∞）。
（2）函数不具有奇偶性，曲线无对称性。
（3）f（x）=0曲线与x轴有两个交点，一个是x=0，一个是x=3。
（4）函数有两个驻点x=0，x=2
x=0为极小值点，f（0）=0为极小值。
x=3为极大值点，f（2）=4为极大值。
（5）（1，2）是拐点。
（6）无渐近线。
五、总结
函数的形态对作图起到很大的指导作用，而函数的图形也能一目了然地反映该函数的各种形态。学好函数的相关知识，灵活解题，方法至关重要，准确画出函数的图形可以使我们进一步提高解题兴趣，激活思维，开拓思路，提高综合运用多种方法解题的能力，从而提高分析、判断、猜想、推理、决策的能力，真正提高数学素质、创新精神和创新能力。平时应注重培养这种思想意识，争取见数想形，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合。
参考文献：
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关键词 值域（最值）方法 函数 求解策略
中图分类号：G683.6 文献标识码：A
1函数的值域（最值）的知识点
（1）函数的值域：函数，（集合A是函数的定义域）。与x的值相对应的y的值称为函数值，函数值的集合（函数的值域。
（2）最大值定义：设函数的定义域为A，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。称是函数的最大值。
（3）最小值定义：设函数的定义域为A，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。称是函数的最小值。
（4）一般地，如果在区间[a，b]上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且值域为。
2函数的值域（最值）求解策略
函数的值域（最值）没有通性解法，只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法，下面见方法。
2.1分析观察法
对于结构简单的函数，可以通过基本初等函数的性质及不等式的性质观察出函数的值域（最值）
例1：求下列函数的值域。
2.2分离常数法
对于形如的函数，可采用分离常数法求值域（最值）。
例2：求函数的值域。
2.3反解x法
对于形如（或能够转化为）的函数，可以采用反解x法求值域（最值）。
例3：求下列函数的值域。
2.4配方法
对于二次函数或能够转化为的函数，可以通过配方法求函数的值域（最值）。
例4：求下列函数的值域。
函数图像是对称轴为的开口向下的抛物线，
2.5换元法
用新变量代替原来函数中的某部分对象，实现化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理超越式为代数式等，将比较复杂的函数转化成易于求值域（最值）的函数进行求解。
例5：求下列函数的值域。
当即也即时，有最小值；
当即也即时，有最大值。
值域为。
点评：换元法要注意考虑新元“t”的取值范围。
2.6单调性法
对于能快速判断单调性的函数，可采用单调性法求值域（最值）。
例6：函数的值域为__________。
解：函数的定义域为，显然在其定义域上单调递增，
当x=1时，函数有最小值，故值域为。
2.7判别式法
对于形如、、的函数，我们可以将其转化为的形式，再通过求得的范围。但当函数为指定的函数时，用判别式法求出y的范围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免发生错误。
2.8数形结合法
通过联想，构造几何模型，探求问题的简捷解法。对于形如的最值问题，我们一般可以转化为的斜率问题；对于形如的最值问题，我们一般可以转化为动直线的截距问题；对于形如的最值问题，我们一般可以转化为动点到定点的距离问题。
2.9构造辅助角法
由于正余弦函数都是有界函数，值域为[-1，1]，通过构造辅助角，利用函数的有界性，可求得（最值）。
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[关键词]交通；试验；自动；维护
中图分类号：TB9 文献标识码：B 文章编号：1009-914X（2014）31-0356-01
不同软件开发单位对试验检测工作或标准的理解不同，导致工地试验检测软件技术水平差距很大、数据处理不准确、基本功能不齐全等问题，严重影响工地试验室试验检测数据的准确性、真实性、及时性。
1、 运算方法
试验检测参数涉及到的规范繁杂，重点需要考虑数值的运算规则、修约规则、数值取舍问题。常规的函数无法满足试验检测数值计算的要求，因此需要研究统计试验检测参数所涉及到的所有运算规则，分们别类的统计，分析其共性及差异性在现有计算函数的基础上，再次设计新的函数用于数值的处理，从而实现试验检测数据自动处理。
运用试验检测专业函数、矩阵设置、逻辑判断、曲线绘制等设置对原始数据进行计算、数字修约、提示平行超差，生成正确的检测结果和规范的结论用于等。
1.1 逻辑判断
试验检测数据处理过程中通常会遇到两类问题：1、需要自动判定数值与标准值的关系，试验检测结果是否合格；2、需要判定两个试验检测值之间的关系，如两次试验结果之间的差值是否在一定的范围类。实现以上两类的自动计算就必须运用到逻辑判定。试验检测数据处理的实际运用：
a） 第一类：判定试验结果是否合格，需要将试验检测实测值与标准值比较。例如，结果小于标准值，判定此次试验结果不合格，大于等于标准值判定此次试验检测结果合格。
b） 第二类：判定两次试验结果之间的关系是否满足规范要求。
例1：土的含水率试验中，两次平行试验检测结果需要满足规范要求。
该处试验检测结果处理涉及到3种情况，6中结果，需要使用逻辑判定的方式才能在数据处理中包含上述情况。分别设置5%以下（大于等于0）二值之间是否超出0.3%，40%以下二值之间是否超出1%，40%以上是否合格二值之间是否超出2%。
根据实际情况进过建立模型，制定逻辑运算的基本设置。逻辑判断条件应有两个及两个以上的逻辑表达式，逻辑表达式之间均为“与”的关系；组与组逻辑判断条件之间为“或”的关系，每组逻辑判断条件的逻辑表达式均为“与”的关系。每个表达式能引用和组合“计算设置功能”的函数，逻辑比较结果能是运算表达式。满足一个以上条件组时，将每组条件满足时“输出结果”迭加输出。
逻辑判断实例：
1.2 试验检测函数
常用函数包括，均值函数、求和函数、绝对值函数等不能满足实现工地试验检测业务自动计算的功能，涉及到的试验检测函数需要能涵盖工地试验检测全部检测参数，需要将部分特殊要求的运算函数经过总结、提取，开发成函数运算格式，列如：aveS （x1，……xn，n1，n2） 在n个数据中去掉n1个最大值，n2个最小值后剩余数的平均值，适用于回弹试验检测自动处理数据。通过分析所有试验检测参数的运算规则，按照运算规则的相近程度进行分类，共有以下几种类。
1.2.1 均值类函数
混凝土立方体抗压强度试验，该项得出试验结果，首先判定三块中（最大值-中间值）/中间值是否大于15%，再判定（中间值-最小值）/中间值是否大于15%，如果是两者都没有大于15%，那么强度代表值等于三个值的平均值；如果其中有一个大于15%，强度代表值等于中间值；如果两个都大于15%，没有代表值。分析该种运算特性，制定相应的函数运算标准，函数avesa （x1，x2，x3） ，x1，x2，x3求平均值中若有任何一个与中值之差超过中值的15%，剔除该数，另外两个数取平值；三个数中有两个数与中值之差超过中值的15%，试验结果无效（中值：三个数中大小处于中间的数）。
函数avesa （x1，x2，x3） 只针对混凝土立方体抗压强度试验，为使函数具有通用性，在函数avesa的基础上形成拓展函数avesA，在x1，x2，x3求平均值中若有任何一个与中值之差超过中值的n%，剔除该数，另外两个数取平值；三个数中有两个数与中值之差超过中值的n%，试验结果无效（中值：三个数中大小处于中间的数）。
运算规则类似的还包括，砂浆立方体抗压强度试验（国标）；砂浆立方体抗压强度试验（行标）；水泥力学性能试验；水泥混凝土轴心抗压强度试验（圆柱体/棱柱体）；水泥土抗压强度试验。
1.2.2 回弹函数
混凝土回弹试验试验结果数据运算规则为， 每组16个试验检测数据中舍去3个最大值，3个最小值后剩余数的平均值。按照标准运算规则，设计混凝土回弹函数aveS （x1，……xn，n1，n2） 在n个数据中去掉n1个最大值，n2个最小值后，剩余数的平均值。
1.2.3延度函数
沥青三大指标延度试验规定结果处理较为复杂，因此需要设计专业函数才能满足自动运算的要求。
沥青延度函数DuctilityI（X1，X2，X3）
当 （X1，X2，X3）三个值都>100，输出结果“>100”。当 （X1，X2，X3）三个值不都>100，
[（max（X1，X2，X3）-ave（X1，X2，X3）]*100/ave（X1，X2，X3）]≤20%，
并且
[（ave（X1，X2，X3）-min（X1，X2，X3）]*100/ave（X1，X2，X3）]≤20%，
如不满足输出“重新试验”，如满足当：如果ave（X1，X2，X3）=x（x保留一位小数）>100，输出结果“>100”；如果ave（X1，X2，X3）
1.2.3修约函数
试验检测数值修约除规范特别规定的修约方式外，几乎所有函数的修约都需要满足四舍六入修约。四舍六入函数mddt（x，n）被修约的数字等于或小于4时，该数字舍去；
（2） 被修约的数字等于或大于6时，则进位；
（3） 被修约的数字等于5时，要看5前面的数字，若是奇数则进位，若是偶数则将5舍掉，即修约后末尾数字都成为偶数；若5的后面还有不为“0”的任何数，则此时无论5的前面是奇数还是偶数，均应进位。
1.2.5其他函数
试验检测专有函数还包括：水泥初凝函数、水泥终凝函数、土的界限含水率试验（液塑限联合测定仪法）涉及的函数、0.5单位修约函数、20单位修约函数、不连续修约函数等多种函数。
结论：数据的维护应是开放式的。授权单位可以根据试验检测规程的变化及时对记录表/报告中相应的计算处理作相应的调整：对原有表格的计算内容增加或删减。减少试验检测机构对计算机软件开发人员的依赖，提高效率。
