高数和概率论范文1
关键词：概率论;数理统计;数学建模
在学习数学时，概率论和数理统计是最为基础的课程，也是数学中的主要课程，此课程中的知识内容有助于培养学生的数学素质及提高学生的解决问题能力。将教学建模运用到概率论和数理统计中，可以有效提高学生数学应用能力，并且弥补传统数学教学中的不足，促进数学教学可持续发展，对于数学来说，这是一件非常有意义的事情。
一、概率论和数理统计中应用数学建模的实例
要想使数学可以应用到我们的日常生活中，并且能够解决日常生活中的实际问题，就要创建数学模型。在现实中有着许多数学建模的例子，比如：
我们学校有6500名学生，但是每到下午打水的人就非常多，导致水房水管不够用，经常会出现排队很长的现象。基于此问题，学校应该在原有的水管上面添加多少水管才能有效的解决此问题？
分析：首先我们可以先了解学校中水房现有的水管有多少个，然后再调查学生在打水过程中占用水管的时间（比如1%），经过分析我们可以了解到学生在打水时候使用水管都是独立的，基于此我们就可以运用中心极限定理。在此基础上还有一种情况，就是学生使用水管和不使用水管的机率，使用水管的概率是0.01。学生使用水管可以是一个独立的实验，那么这个问题就可以是n=6500的n重伯努利实验。假设使用水管的学生人数为X，那么X-B（6500，0.1），就可以通过建立一个数学模型使用德莫佛-拉普拉斯中心极限定理来解决这个问题。[1]
上述问题是一个概率性的问题，下文讲述一个数理统计的例子。
数理统计学的实质是通过科学有效的方式进行收集和分析数据。科学有效的数据指的是数据中有着多种信息，并且对分析有重要作用，此数据精准、可靠。数理统计的核心主要是统计推断。比如：
我们学校中有一个鱼塘，鱼塘中鱼的数量是N，想要计算鱼塘中鱼的数量不可能将鱼都捞起来，这是不现实的，所以只能通过抽样来进行估算。首先可以捞起来一部分鱼并对其做上记号，然后将其放入鱼塘中。然后再捞鱼，如果捞起来的鱼身上有记号，那么就要估算鱼塘中鱼的数量。
首先我们可以运用频率估量这个方式来进行，通过观察和尝试来建立数学模型，以此来解决这个问题。在这个过程中我们可以了解到观察是一个有目的的活动，对搜集材料起到了重要的作用，尝试是在观察的基础上自主构建的解题目标，通过实际行动来判断自己的目标是否正确。所以在数学建模中，观察和尝试也是必不可少的。
二、概率论和数理统计中应用数学建模的体会
将数学建模应用到概率论和数理统计中，可以有效的帮助我们解决实际的问题，并且在概率论和数理统计中应用数据建模也是可行的。概率论和数理统计有着实用性和随机处理问题的特点，它的理论内容知识也被运用到社会中各行各业中，比如降雨概率、体育等一系列的问题。在概率论和数据统计中应用数学建模，不仅可以使我们了解到概率论和数理统计的内容背景及实际意义，还能使抽象化的概率论和数理统计知识实际化，提高我们概率论和数理统计学习的效率。
在概率论和数理统计中应用数学建模思想，使概率统计学的知识得到了充分的应用，还能够培养学生创新能力，有效的提高了学生的学习效率。通过数学建模的应用过程，学生不仅可以在传统教学模式的基础上学到理论知识，还能够利用概率统计学知识来解决生活中的实际问题，使概率和数理统计教学目的达到理想的效果。
三、结束语
从概率论和数理统计课程的发展到如今被实际运用，经历了一个漫长的过程中，概率论和数理统计知识在我国自然科学领域、社会领域、工程领域、农业领域等不同行业中都有着直观重要的作用。随着我国社会的不断发展，就要求概率论和数理统计教学方式不断的创新和改革，才能适应社会的发展需求。将数学建模运用到概率论和数理统计中也是一个漫长的系统工程，这需要数学研究人员经过长期不断的深入研究，才能使数学建模能够合理、科学的运用到概率统计课程中，提高学生概率统计学习效率，从而促进概率论和数理统计课程的创新改革步伐。
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关键词：概率 可能性 测度 公理化定义 教育教学
前言
现代概率统计领域学科交叉纵横，各种分支琳琅满目，随机过程、时间序列、数理统计等等概率统计领域的内容被广泛的应用于社会经济，民生，财政税收，民事调查等，然而在众多分科当中概率是学科的学术基石，概率的概念在支撑起上层学科内容的同时，其抽象性与发展过程也是极其深刻与丰富的，逻辑学家与经济学家杰文斯说过：“概率论是生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，我所作为”，可见概率的重要价值，同时伯努利也认为，“先前的概率都是从主观上去认识”。因此，以下我将从较为基础的角度试图表述我关于概率本质与意义的理解以及对目前概率课教学的一些看法。
1.概率论的发展及概况
数学作为一种科学基础被广泛的应用于各个领域，其大体经过了形成时期，初等数学，高等数学，现代数学四个阶段，而概率论作为数学领域当中一个庞大分支其思想广泛的渗透到数学的各个领域里。概率论起源于一个问题，16世纪意大利数学家卡尔达诺开始研究投骰子等有关的问题，而概率论甚至统计起先确实最先运用于和人口统计模型，随着发展的深入，人们渐渐意识到不确定性的背后隐藏着某种必然规律，从而将这一问题引入数学，并用数学的方式进行研究，从而使概率论从真正意义上成为了一门严谨的学科。在这一过程中，瑞士数学家伯努利创建了大数定律，阐明了频率与概率的关系，从而标志着概率论的诞生。概率论自诞生起至今，被广泛的应用于医疗，金融，军事，自然科学等各个方面。
2.概率的本质特性
在引入概率之前，我先想引入一个极其简单的定义即长度，长度众所周知是度量一个事物的属性概念，而诸如面积体积无不是人为规定的能够反映现实意义的一些量，而这些我们统统都知道他们就是数学上的测度，顾名思义，测度即是测量的量度，而概率其本质仍是测度，通俗的理解是对事情发生可能性大小的量度，对于概率这种测度，其抽象性本身来源于其度量对象的不具体化。从最初的古典概型，到后来的几何概型以及众多分布，都是前苏联数学家柯尔莫哥洛夫的概率公理化定义上的框架范围之内的，尽管这个具有公理地位的定义比较它之前出现的相对片面与狭小的概率定义―古典概型与几何概型还要晚，可是其仍旧在相对前两者更彻底的呈现着概率的本质，更透明更像数学一样的用这个伟大的定义解释着究竟什么是概率，又十分大胆的做出将概率用于一件事情发生可能性大小的度量，即以数字（0与1之间）极富创新的对应“可能性”这一看似根本无法度量的事情，概率对其的量化正是概率的魅力所在，也是概率论区别于一般数学更显“神奇”的地方，而反过头来在看概率的公理化定义与古典概型和几何概型出现时间先后，虽然感觉上“本末倒置”，仔细想想也能理解，他同样符合着由浅显到深刻，由特殊到一般的归纳思维。那么下面对于这种人为给定的测度，包括对于可能性的具体测度值是不是具有客观性，这里涉及更深的理论在此不加讨论，唯一想做出强调的涉及概率本质定义的东西是诸如那些经典的分布，比如二项分布，泊松分布，甚至于正态分布以及数理统计中的三大分布，如果从一个鲜有考虑的视角思索，他们无不都是一种定义，或者说利用测度进行映射的一个整体，而这却是那样与事实符合，甚至可以高度准确的对接下来或者另外的更多的可能性进行预测，那些在脑海中的分布如此根深蒂固以致永远不会使人觉得它们需要证明，它们自然到甚至于不会有丝毫怀疑，而这仅仅全部因为它们在对应现实事情时高度的合理性以及相关联理论的一脉相承性。
概率作为当代数学的一个分支方向，其本身相对于其他数学领域是极富特色的，这种特色，第一是他的研究手段和传统的数学研究手段有所区别，第二他的研究对象―随机现象和数学中经常研究的确定现象也具备本质上的不同，而众所周知，在缤纷复杂的现实世界，大部分情况都是不确定的，都带有一定的随机性，所以这恰恰决定了概率的生命力以及概率研究的无穷魅力。
4.关于概率教学的一些看法
目前高校都开设统计领域的课程，而概率论课程作为这个领域的发展基石更是备受关注，尤其对于数学类专业的学生来说，概率论更是极为重要的，而概率统计方向也随着其在社会各个领域的成功运用而受到越来越多的关注，可是对于大多数关于概率论课的教学都美中不足，主要体现在以下几方面，第一，在开设概率论课程之前并未开设测度论这一更为基础的课程，导致概率上很多至关重要的东西让学生觉得莫名其妙，其二，关于概率论上很多定义的前后逻辑性与定理的证明都不曾涉及也让对概率的本质精髓不能很好把握，所以关于概率论课程的安排个人觉得应该从以下几点有所改变，第一，在开设概率论课程之前应该使学生具备一些知识积累，比如对测度论的基本内容，对分析数学、复变函数中的部分内容都应有所了解，第二，应该较为细致的讲解有关概率这一概念的形成以及概率论的发展史，力求使学生能够将来龙去脉把握清楚，第三，在对概率论深刻内涵与理论的讲解之下注意引入相对具体的例子，从而化抽象为具体，使学生能够对概率有一个更为感性的认识。
参考文献
[1]盛举，谢式千，潘承毅，概率论与数理统计（第三版）北京：高等教育出版社，2011：146-147
[2]毛纲元，概率论与数理统计解题方法技巧归纳[M]，武汉：华中理工大学出版社2000：523-530
[3]茆诗松，程依明，濮晓龙，概率论与数理统计教程[M]，高等教育出版社，2004
高数和概率论范文3
笔者结合自己在概率论与数理统计中的教学经验和实践，结合当前教学现状，以学生的学习兴趣为导向，从引入数学史内容，利用案例教学法，引导学生建立合理的知识结构体系，让课后作业成为课堂教学的补充与延伸四个方面探讨了激发学生学习兴趣的教学方法，切实提高课程教学效果。
【关键词】
概率论与数理统计；兴趣；数学史；案例教学
概率论与数理统计课程是高等院校理工类和经管类等专业大二学生开设的一门核心数学公共基础课程,也是大多数专业研究生入学考试的一门重要必考科目。概率论与数理统计是一门研究和探索客观世界随机现象的数学学科。它以随机现象为研究对象，在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、医学、地质学、气象与自然灾害预报方面等方面都起到非常重要的作用。随着计算机科学的发展，以及功能强大的统计软件和数学软件的开发，这门学科得到了蓬勃的发展，它不仅形成了结构宏大的理论，而且在自然科学和社会科学的各个领域应用越来越广泛。概率论与数理统计课程以微积分知识为理论基础，是微积分知识体系的进一步提高和升华。然而，随着近年来高校招生规模的扩大、生源质量的降低，相当部分的学生尚且对于微积分课程知识掌握程度不佳，如何结合概率论与数理统计课程的特点，让学生在短时间内掌握本课程基本理论和方法，并能够利用所学知识解决生活中的一些实际问题，是每一位高校数学教师都必须认真思考的问题。本文笔者将结合自己多年的教学经验，针对当前教学中普遍存在的问题，探讨课程教学中如何激发学生学习概率论与数理统计课程的兴趣。
一、概率论与数理统计课程教学现状分析
1.教学方法滞后于当今教育的需要目前，概率论与数理统计课程的教学模式依然沿袭以知识传授为主的传统方法。在整个教学过程中，教师往往重知识传授，轻能力培养；重技巧训练，轻思维形成；重理论教学，轻实践指导。在过于注重理论知识传授的数学课堂上，应用实例的分析求解较少，这种缺乏实践内容的概率论与数理统计课程变得缺乏生机、空洞无力，学生被动地接受与生活脱节的理论，对于应用问题无从下手，这将极大地阻碍学生独立分析解决实际问题的能力和创新能力的培养和发展。
2.教学内容滞后于当今教育的需要高中数学的教学改革在近些年发展迅速，教科书内容上做了相当的改动，概率论与数理统计的部分基础知识，比如古典概率、期望和方差、抽样等已经纳入到高中数学教学内容中，与此同时，大学数学的知识却几乎没有任何改变，这一现象直接导致高中数学到大学数学的内容衔接不畅。教学中我们发现学生在学习概率统计时，开始对概率统计很有兴趣，并且认为很容易学，因为他们认为概率统计和高中内容差不多，因此，就不认真听，不认真学，相当部分同学没有看到大学概率统计与中学概率统计的联系与区别直接导致教学质量的下降。同时大学和高中课本中的记号有很多不一样，由于很大部分学生对高中知识记忆深刻，很难接受新的记号，这样势必会影响进一步的学习。
3.教学模式滞后于当今教育的需要大学数学课程重理论轻实践，与专业联系并不紧密，这不适应学生日益增大的信息量的需要。各专业实施的材、教学计划和教学大纲，导致教师仅仅把重心放在教材内容上，很少顾及学生理论结合实践能力和创新意识的培养，从而影响到课堂的整体气氛，同时教师教学的主动性也得不到有效发挥。
二、提高学生学习概率论与数理统计兴趣的途径
1.将数学史内容融入到概率论与数理统计教学中概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的学科，与学生长期学习的数学知识有很大的区别，学生的思维难免会出现不适应。为了加深学生对课程的了解，我们在教学中可以适当融入数学史的知识，提高学生的学习兴趣，同时学习数学家们的优秀事迹，也能激发学生克服困难的决心和动力。比如在引入“概率的定义”时，我们可以给学生介绍，历史上许多数学家做过频率稳定性的试验：摩根、蒲丰、皮尔逊等人都做过大量投掷硬币的试验，发现正面出现的频率稳定在0.5左右。法国数学家拉普拉斯对柏林、彼得堡、伦敦和法国的人口资料进行了研究，得出男孩的出生频率接近0.5。还有人统计某国多年无法投递的信件数在全部信件中的比例几乎不变，在百万分之五十左右。这些历史典故的讲解可以让学生充分认识频率和概率的关系，加强对概率的定义的理解，提高教学效果。
2.将案例教学法融入到概率论与数理统计教学中概率论与数理统计来源于生活，又有着很强的应用背景。教学中，我们应该将重要的概念和理论与应用实例结合起来，激发学生的学习兴趣，让学生在乐学中更好地掌握基本概念、基本思想和基本方法。比如运用古典概率知识解决“生日巧合问题”、“问题”和“商场抽奖问题”；用全概率公式解决“医学疾病的诊断问题”；用数字特征理论解决“的中奖率问题”和“投资组合问题”；用二项分布解决“公交大巴车车门高度问题”；用指数分布讲解“排队论问题”；用中心极限定理解决“保险公司盈利与亏损的问题”和“工厂用电问题”。以概率论和数理统计知识为背景的实际案例随处可见，教师要立足专业特点，适当延伸知识，关注生活、社会和经济热点问题，让课堂教学与时俱进，切实提高学生理论和实际相结合的能力和水平。
3.引导和帮助学生建立合理的知识结构体系教学中利用类比的方法，让学生认识到相关知识点的平行关系。比如在离散型随机变量中分布律的地位与连续型随机变量中密度函数的地位完全相同，学生对于离散型随机变量问题比较容易理解，于是在讲授密度函数时，我们要引导学生建立分布律和密度函数的关系，帮助学生形成从分布律到密度函数性质的自然过渡。同时，我们在教学中要注重知识的归纳总结。比如：在数字特征知识学习结束后，可以将离散型与连续型变量所涉及的定义、性质、分布、数字特征的计算及常见分布类型进行总结，将前后知识一一对照，利用知识网络让学生对所学内容更深入的理解和记忆。
4.让课后作业成为课堂教学的补充与延伸传统的教学考核模式中，平时作业以书上课后的理论习题为主，这样的方式并不利于学生兴趣的培养以及实践能力的提高。我们可以在一个教学单元结束后，提供些难度适当的实际问题让学生讨论练习，以课程小论文的方式予以呈现，并纳入平时成绩的考评体系。比如伯努利概型是概率论中一个经典模型，课堂上我们教会学生理解其理论和方法，但是学生在解决实际问题方面，却不容易利用其加以解决。因此我们可以提供一些实例比如球类比赛的赛制问题让学生课后讨论，让学生课后查阅资料，从定性分析、定量描述到建立模型、求解模型，更深刻地理解所学的知识和方法。
5.注重师生交流，建立良好的师生关系在第一堂课上，我会给学生留下我的所有基本联系方式，包括电话、电子邮箱和qq号等。对于学生课堂外的疑问，和教师网上互动交流是一个很好的补充，这种方式会明显增强学生对教师的喜爱和信任感。网络上，学生可以大胆地为教师提供好的教学建议，同时也帮助教师了解学生的学习状态，解决学习疑惑，甚至为有些学生的专业规划和人生观提供良好的引导和意见参考。在课间休息时间，我会走下讲台，询问学生的学习情况，学习中的疑问，对于老师教学方法的意见和黑板板书设计的问题，让学生认识到自己的教学主体地位，认识到自身在教师心中的重要作用，从而增进师生感情，加强学习动力。综上所述，概率论与数理统计作为各专业的重要基础课程，在未来的专业学习中起着至关重要的作用。数学教师一定要把握好课程知识体系和教学方法，在教学中以学生学习兴趣为导向，努力让学生以更大的热情投入概率论与数理统计的学习，切实提高概率论与数理统计的教学效果。
参考文献：
[1]吴传生.经济数学———概率论与数理统计（第二版）[M].北京:高等教育出版社，2009.
[2]盛骤.概率论与数理统计（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.
[3]王翠香.概率论与数理统计教学的几点体会[J].高等理科教育，2006(5):35-37.
[4]贺素香.在概率论与数理统计教学中激发学生兴趣的若干方法[J].大学教育，2013(3):58-59.
高数和概率论范文4
关键词：概率论与数理统计；微积分；应用
O21；O172
现代数学学科理论构成体系中的概略伦和数理统计理论内容，能够针对自然界中出现的随机事件的统计学规律展开严谨的数学运算处理。从数学学科理论体系中不同知识内容之间的相互关系角度展开具体分析，微积分理论不仅是概率论与数理统计理论的基础，而且概率论与数理统计理论，和高等数学中的微积分理论之间还具备着表征鲜明的相互关联和相互制约关系，在现代天文科学、生物科学、经济学、应用工程学、化学，以及物理力学快速有序发展的历史背景之下，微积分理论和概率论与数理统计理论之间的相互关系呈现了日渐紧密的发展变化特征，为一系列具体化随机问题的科学化解决创造和提供了坚实的支持条件。有鉴于此，本文将会围绕概率统计中微积分的应用问题展开简要阐释。
一、微积分理论和概率论与数理统计理论的基本概述
不难理解，概率论与数理统计理论，是在微积分基本理论基础上发展形成的现代数学理论分支，能够针对随机事件发展演化规律和外在表现特征的准确考量和描述，由于在具体开展概率论和梳理统计计算分析处理过程中，本身需要充分引入运用大量的微积分学数学运算知识呢运算技巧，因而导致微积分理论知识内容的掌握和运用质量，对于概率论和数理统计工作实际获取的文预期效果，具备深刻的影响和制约作用。
从具体涉及的知识内容角度展开分析，所谓概率论与数理统计数学理论，其实质就是针对自然界中存在的不确定现象和不确定事件，以及具备结果不确定特征的，或者是具备偶然性表现特征的现象，以及上述现象在实际出现和发展过程中所表现的集体性规律展开初始刻画描述，并在此基础上遵照概率论、以及梳理统计分析的数学处理方法，具体统计分析相关数据要素的规律性表现特征。
对于微积分学而言，其核心的理论内容，在于针对函数的微分以及积分，和函数相关概念以及应用问题展开详细的数理分析，其理论体系的建构基础要素在于实数、极限，以及函数等。微积分理论在建立处理过程中，将现代数论值具备观化表现特征的无穷小量视作其直接基础，因而在基本理论的发展路径层次具备鲜明的不稳固性。在数学家柯西、维尔斯特拉斯创立形成的极限数学理论，以及数学家康托尔创立形成的实数数学理论基础上，有效促进了现代微积分数学理论的基础内容不断发展严密。
从概率论与数理统计基本理论的历史发展路径角度展开具体分析，微积分理论中相关知识内容的不但发展成熟，为现代概率论与数理统计理论的成熟化和公理化发展，创造和提供了稳定为且坚实的实践支持条件，现代概率论与数理统计理论的系统化和科学化发展，c微积分理论的发展成熟，具备不容忽视的因果关系。
二、概率论与数理统计过程中微积分知识内容的具体应用
为清晰认识概率论与数理统计理论的基本内涵，以及微积分理论的基本内涵，同时清楚分析概率论与数理统计理论和微积分理论之间的相互关系，应当从一系列的实际案例出发，为有关知识内容认识水平的不断提升，以及有关数理计算分析方法掌握水平的不断提升，创造和提供坚实的支持条件，本文将试举几例展开简要揭示：
第一，已知有M个好朋友在一张圆形桌子的周围随机就坐，假若有两个朋友是必须要坐在相邻的作为之上的，则计算求解这一在随机性研究视野之下，这一事件的发生概率？、
第二，在针对书架上的书实施整理过程中，已知可以将编号为1、3，以及3的三本书在书架上以随机顺序实施排列，如果在所有的排列顺序中，至少保证有一本书的由左到右的空间排列顺序，与该书编号相同，求解这一事件的发生概率是多少？
第三，一批产品的次品率为5%，从中任取三件进行检查，每次取一件，检查后放回，求：（1）三件中恰有一件次品的概率；（2）三件都是正品的概率；（3）三件中次品不超过一件的概率；（4）至少有一件次品的概率。
三、微积分计算分析方法在求解概率论与数理统计问题中的实际应用
（一）级数求和方法
级数是现代高等数学基础性学科内容构成体系中的重要组成内容，是表述初等函数解析式的基本方法。在运用裂项相消求解函数级数过程中，其最为关键的实施环节，在于如何针对级数运算过程中涉及的通项结构实施针对性的拆开处理，并促使其形成可以实施前后相消计算处理的算术项，而通常运用的计算处理方法，往往涉及了分子有理化、分母有理化，以及三角恒等变换等数学处理应用方法，这些方法与微积分中的基本理论具备不容忽视的相互关联特征。
在针对三角函数形式的无穷级数实施求和处理过程中，需要应用微积分学的有关处理方法，针对基础的三角极级数公式实施展开处理，通过恰当的函数表达式形式转化手段，将其转化为两项不定式之间的差值，为后续开展级数求和过程创造支持条件。
（二）极限问题的求解
极限问题也是一种比较典型的概率问题，其本身作为现代微积分学理论的重要基础，对在微积分学基本理论发生发展的全过程中发挥了不容忽视的重要作用，在具体引用极限法求解数列和问题过程中，要运用微积分学基本理论，对数列通项公式展开针对性的变形处理，确保实际求解过程能够顺利取得预期效果。
四、结语：
针对概率统计中微积分的应用问题，本文具体选取微积分理论和概率论与数理统计理论的基本概述、概率论与数理统计过程中微积分知识内容的具体应用，以及微积分计算分析方法在求解概率论与数理统计问题中的实际应用三个具体方面展开了简要的论述分析，旨意为相关领域的研究人员提供借鉴。
参考文献：
[1]孙向涛.探讨概率统计中微积分的应用[J].科技创新导报，2014（06）.
[2]刘鹏，徐厚宝.统计方法在研究微积分与后续课程相关性中的应用与实证分析[J].数学的实践与认识，2011（24）.
[3]王婷.高中微积分教学探究[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2008（S1）.
高数和概率论范文5
关键词：期望效用理论；前景理论；出险概率；赔付率；利润率
中图分类号：F840 文献标识码：A 文章编号：1003-9031（2014）01-0062-04 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2014.01.12
一、问题的提出
赔付率是保险公司经营管理中一个极其关键的指标，是利润率核算的基础①。笔者发现，虽然保险公司向出险概率高的客户收取的保险费率也更高，但很多险种仍呈现出高出险概率客户的赔付率也更高的现象。例如，学生、幼儿的住院医疗保险中，出险概率、保险费率和赔付率由高到低依次均是幼儿、中小学生、大学生。在车险、意外保险、火灾保险等其它众多领域，也都存在类似的现象。保险公司通常还会拒保而不是加费承保那些出险概率过高的投保人，比如意外保险一般都会拒保“炸药制造工人”等高风险职业，车险往往会拒保那些出险频率过高的投保人。
上述现象广泛存在，但却没有人给出一个理论上的解释，笔者尝试着运用风险决策领域中期望效用理论和前景理论对上述现象进行分析。为了简化分析，本文假设所有被保险人出险时的损失金额都是相同的和投保人就是被保险人，直接用被保险人或投保人的出险概率代指被保险人或保险标的物的出险概率。
二、基于期望效用理论的分析
期望效用理论作为“理性经济人”风险决策的规范性模型，在保险经济学中有着广泛的应用。笔者发现，其实期望效用理论也可用来解释出险概率越高的投保人为何赔付率也更高的现象，这是笔者发现的该模型的一个新功能。
（一）出险概率对赔付率的影响
假设投保人的效用函数为u（W）（W代表投保人所拥有的财富），u′（W） >0且u"（W）
假设保险人收取投保人愿意支付的最高保险费（以下分析都是在这一假设下进行的），保险费金额为Y，则
u（W0-Y）=u（W0）×（1-π）+u（W0-L）×π （1）
式（1）左边的值表示购买保险后的效用，右边的值表示不购买保险时的期望效用。Y是关于π的函数，对式（1）左右两边关于π求导，经整理后可得
dY/dπ=[u（W0）-u（W0-L）]/u′（W0-Y） （2）
保险人的赔付率用字母r表示，则r=（π×L）/Y，对r关于π求导，经整理后可得
dr/dπ=（L/Y）×{1-[π×（dY/dπ）]/Y} （3）
可以证明1-[π×（dY/dπ）]/Y>0
根据中值定理，存在一个介于W0-Y 和W0 之间的数值θ，使得u（W0）-u（W0-Y）=Y×u′（θ）。因为u"（W） W0-Y，所以u′（W0-Y） > u′（θ） ，从而有
u（W0）-u（W0-Y）
根据式（1）有u（W0）-u（W0-Y）= π×[u（W0）-u（W0-L）]，因此式（3）可转化为
π×[u（W0）-u（W0-L）]
根据式（2），又可将不等式（4）转化为π×（dY/dπ）0。
根据上述分析可得：dr/dπ>0。这说明，如果保险人收取投保人愿意支付的最高保险费，则出险概率越高时保险人的赔付率会越高，也就是说：更高的出险概率会将保险人的赔付率限定在一个更高的水平之上。导致这一现象的原因在于，当出险概率增大时，式（1）左边保费提高导致效用减小的速度是越来越快的，而右边不购买保险时的期望效用减小的速度却是恒定。对期望效用模型进行几何图形分析，也可以证明这一结论。
（二）出险概率与毛利润之间的关系
令P=Y-π×L，则dP/dπ= dY/dπ-L。根据式（2），很容易验证Y关于π的二阶导数d2Y/dπ2
三、基于前景理论的分析
大量的经验事实表明，当损失发生概率较低时，人们往往是风险厌恶的，而当损失发生概率较高时，人们往往是风险偏好的，这是期望效用理论难以解释的。现实世界中，人们常常表现为“非理性经济人”，建立在实验和心理学基础上的前景理论，抛弃了期望效用理论“理性经济人”的假设，能够解释很多违背期望效用理论的现象。前景理论为我们提供了分析保险经济现象的另一条途径。
在1979年的第一代前景理论中，卡尼曼和特沃斯基已发现，概率的决策权重与概率本身并不一致。根据第一代前景理论，如果保险事故发生概率为p，发生事故时的损失金额为L，价值函数形式为v（·），权重函数形式为π（·），保险费金额为Y，则一般来说，买保险前景的价值为v（-Y），不买保险前景的价值为π（p）×v（-L）。如果投保人估算发现v（-Y）>π（p）×v（-L），则会购买保险。前景理论的价值函数v（·）类似于期望效用理论中的效用函数u（W），但它的值与参照点有关，当财富相对于参照点的变化值是负数的时候，v（·）的值也为负数[1]。权重函数π（p）是客观概率p的增函数，但它不是客观概率本身，它与客观概率p存在以下关系：π（0）=0，π（1）=1，但概率在非常接近0和1处是不连续的，对于极不可能事件的概率，其决策权重既可能远高于其客观概率也可能等于0；当p为小概率时，权重函数π（p）是次可加函数（当p较大时不一定存在这一性质），即若0
卡尼曼和特沃斯基在前景理论的改进版本累积前景理论中对权重函数进行了更深入的研究。根据累积前景理论，当投保人面临以p的概率损失L这样的简单前景时，决策权重w（p）=以p的概率损失L这一前景的确定性等值/L。例如，如果人们认为以1%的可能性损失200美元和确定性的损失3美元是等价的，则w（1%）=3/200=1.5%[2]。累积前景理论认为，由于人们对概率的感知也遵循灵敏度递减的原理，权重函数w（p）将呈反S形，w（p）在接近0的地方是上凸的，在接近1的地方是下凸的；不过，非常小的概率既可能会被大幅过度加权也可能被直接忽略。累积前景理论提出了一个wδ（p）=pδ/[ pδ+（1-p） δ] 1/δ（δ为参数）的具体权重函数形式。累积前景理论根据实验估计了δ的值，相应的权重函数形状如图1。
反S形的权重函数被许多研究所证实[3]。对于保险来说，反S形的权重函数具有重大意义。如果保险人能够收取投保人愿意支付的最高保险费，则赔付率r=期望损失/投保人愿意缴纳的最高保险费=p×L/[w（p）×L]=p/w（p）。当出险概率位于w（p）>p的低概率阶段时，对r关于p求导可得dr/dp=[w（p）-p×w′（p）]/[w（p）]2，从几何图形分析来看，很容易得出w（p）-p×w′（p）>0。分析过程如图2。
如图2所示，w（p）/p=AC/OA是直线OC的斜率，w′（p）是曲线OC上C点的斜率，由于曲线OC是上凸的，因此直线OC的斜率值大于曲线OC在C点的斜率值，于是有w（p）/p>w′（p），即w（p）-p×w′（p）>0，因此dr/dp>0。这说明，在低概率阶段，因权重函数的上凸性，会存在出险概率越高时保险人的赔付率会越高的规律。很多险种的出险概率都属于w（p）>p的低概率范围之内。
当出险概率p增大到w（p）
四、进一步的分析
（一）期望效用理论与前景理论结论的一致性
虽然期望效用理论是从损失金额越大边际效用损失越大的角度出发，前景理论是从人们对概率的感知存在灵敏度递减导致小概率过度加权的角度出发，但二者都支持出险概率越高时保险人的赔付率会越高的结论。这说明，无论是依照期望效用理论进行决策的“理性经济人”还是前景理论所描述的更贴近现实的“非理性经济人”，在保险人能够收取投保人愿意支付的最高保险费的前提下，高出险概率投保人赔付率更高的规律都是会存在的。
（二）市场竞争
尽管保险公司之间的竞争可以使保险公司向低出险概率投保人收取的保险费不会达到他们愿意支付的最大值，但我国现在的保险市场远远达不到完全竞争的程度，某些局部市场甚至接近于完全垄断。保险一般是靠推销卖出去的而不是投保人主动寻求的，寻求不同保险人的报价也是有成本的，这使得投保人在购买保险时所面临的保险人通常只有一家或者有限的几家，因此，保险市场存在天然的垄断性。目前，保险公司很多时候都以更高的佣金率而不是以更低的价格来争夺市场，就是市场存在垄断性的强力证据，因为在充分竞争的市场上，保险人应该让利于投保人而不是销售中介。
而且，那些出险概率高过一定程度的投保人，由于他们愿意缴纳的保险费本来就相对较低，保险人的毛利润率也相对较小，即使存在竞争，保险人也不会削价承保（不计成本的恶性竞争除外）。因此，保险市场仍会存在高出险概率投保人的赔付率相对更高的现象，以及保险人根本无法从某些过高出险概率的投保人身上赚取到利润的现象。
（三）逆向选择和道德风险
保险市场中无法避免逆向选择和道德风险，逆向选择和道德风险会进一步提高保险人的赔付率。由于低出险概率的客户愿意承担的保险费率相对较高，赔付率相对较低，保险公司承保低出险概率客户时便能够承受更大程度的逆选择和道德风险。而承保那些高出险概率的客户时，保险人的毛利润率本来就较低，如果再加上逆选择和道德风险的影响，保险人将可能无利可图，最终将导致有效的保险市场无法自发形成。这大概就是为何保险公司要谨慎承保甚至拒保某些高出险概率客户的主要原因。
五、启示
1.保险公司的客户选择
保险公司虽然无法知晓每一个客户的准确出险概率，但却容易判断某一类客户的出险概率是高还是低。例如，保险公司虽然无法知晓“营业货车”第三者责任险的出险概率，但根据其使用性质很容易判断其出险概率会比“非营业货车”还要高。承保高出险概率客户时，保险公司的毛利润率较低甚至可能无法获得利润，因此，对于保险公司来说，谨慎承保高出险概率的客户和拒保某些过高出险概率的客户是十分必要的，否则很容易招致亏损。当然，人们的保险行为受到社会文化等众多因素的影响，多高出险概率的客户需要谨慎承保和拒保还要结合实际承保经验才能确定。这也提示保险公司，展业时应优先拓展出险概率较低的客户，出险概率较低的客户价值更大。
2.保险公司的价格与佣金策略
由于高出险概率客户愿意承受的保险费率相对于其出险概率来说比较低，保险公司定价时便需要对高出险概率的客户设定更高的赔付率目标，收取相对较低的保险费，并对高出险概率的业务支付更低比率的佣金（保险公司一般按保费的一定比率支付佣金）。如果保险公司坚持对高出险概率的客户设定同样低的赔付率目标，则可能导致保险价格过高而使其不愿投保；如果保险公司对高出险概率的业务支付同样高比率的佣金，则可能会导致承保的高出险概率客户出现亏损。目前，一些保险公司仍对同一险种中的每一笔业务支付同样比率的佣金，为达到利润率目标，又不得不削减每一笔业务的佣金率，这便使得自己在承保低出险概率客户时的佣金率又缺乏市场竞争力。
3.保险产品的设计
根据前述的分析，小概率事故的保险赔付率可能会更低，如果保险公司将某些特定风险从一般风险中分离开来，单独开发一种只针对其定更小概率事故提供保障的产品，那么这种产品的赔付率将可能更低。目前，保险公司将意外死亡事故从一般死亡事故中分离出来单独开发出意外保险，将重大疾病事故从一般疾病事故中分离出来单独开发出重大疾病保险，就是成功的典型例子。保险期间仅为数天的极短期意外险的出险概率非常小，但人们为极短期意外保支付的保险费率却是同样保障的一年期意外险的数倍甚至数十倍，保险公司的极短期意外险业务的赔付率极低，是另一个典型的例子。
对于那些小损失发生概率较高但大损失发生概率较低的亏损客户，保险公司可以考虑设定较高的免赔额，只对小概率的大损失提供保险保障，或许能够扭亏为盈。如果只是提高保险费，则可能会因为保费过高而使投保人不再投保。如果是因为存在逆选择导致了亏损，提高保险费还可能导致低出险概率人员的退出，如果保险人再次提高保险费，又将导致出险概率次低人员的退出。如此循环下去，市场上将最终只剩下出险概率最高的人员[4]。此时，保险人将可能因为出险概率太高导致赔付率很高而继续亏损。不过，一些研究发现，出险概率变小时实际投保的人数比例可能也会变小，保险的推销难度可能会增大[5]。
4.对公共政策的启示
由于高出险概率保险业务赔付率高、利润空间小甚至没有利润，保险公司可能会拒绝承保那些高出险概率的投保人。那么，基于公共利益的需要，在某些高危行业实行强制保险，或者对特定高出险概率保险业务的保险人或投保人给予税收、补贴等优惠政策将是十分必要的。同时，本文的分析也表明，对某些出险概率更高的保险业务的保险人或投保人，可以考虑给予更大程度的优惠政策。例如，医疗保险的出险概率远远超过重大疾病保险，赔付率也远高于重大疾病保险，因此，可以考虑对医疗保险给予更大程度的政策支持。
六、有待进一步研究的问题
前景理论中的权重函数并不包含人们对概率估计的偏差这一因素。人们对概率的估计会受到便利性启发式的影响，如果某件事非常容易想象或者容易被回忆起，人们就会认为这件事是很有可能的或者其发生是很频繁的。一项研究发现，人们对那些较少有的死亡原因进行了过高的估计，而对那些常见的死亡原因估计不足。例如，人们甚至认为交通事故和疾病导致了同样多的死亡，而实际上疾病死亡人口是交通事故的16倍[6]。不过，人们却容易忽略小概率高损失的巨灾事件。高估某些事故的发生概率将会提高人们的投保意愿，低估则会有相反的作用。人们高估和低估了哪些事故的概率，有待更深入的研究。
本文分析时假定所有被保险人发生事故时的损失金额都是既定的，而在现实中，即使同一被保险人发生事故时的损失金额也是不确定的。损失金额的变化可能会影响人们的风险态度。前景理论也认为，大的损失往往会关系到人们生活方式的改变，可能会使决策人更加厌恶风险。人们可能会为小概率的大损失支（下转第70页）
（上接第65页）付相对较高的保险费，这可能会使某些小损失发生概率较高但大损失发生概率较低的保险业务存在一定程度的利润，这或许也有助于回答前景理论关于人们为何会购买中等出险概率保险产品的疑问。这些非常有意义的问题有待更深入的探讨。
七、结语
现实世界中，保险人的赔付率还会受到社会文化、逆向选择、道德风险、投保人的议价能力、保险的销售方式、市场竞争以及人为核保控制等多方面因素的影响，出险概率高的投保人赔付率更高的规律需要在其它影响因素基本相似时才能充分显现，但出险概率仍然是一个影响保险业务利润率的非常重要的因素。
附录：基于期望效用模型的几何分析
在图3中，曲线DIGC代表投保人的期望效用函数u（W），曲线DIGC上任何两点之间的连线均在曲线下方。线段DC上每一点的纵坐标值都代表着不同出险概率时投保人财富的期望效用U（W）。如图3，线段IH、GF的长度代表当出险概率为π1、π2时投保人愿意支付的最大保险费（π1>π2）。线段JH和KF的长度则分别代表了出险概率为π1和π2时投保人的期望损失π1×L和π2×L。假设保险人收取的保险费等于投保人愿意支付的保险费的最大值（即IH和GF），则出险概率为π1和π2时保险人的赔付率分别为r1=JH/IH和r2=KF/GF。因为MK/IJ=CK/CJ=KF/JH，从而有FK/FM=JH/IH。因为FK/FM>FK/FG，因此有JH/IH>FK/FG，即r1>r2。J点和K点都是线段CD上任意选取的点，这便说明：如果保险人能够收取投保人愿意支付的最大保险费，则出险概率越高时保险人的赔付率会越高。
参考文献：
[1]丹尼尔·卡尼曼、阿莫斯·特沃斯基著，胡宗伟译.前景理论：风险决策分析[J].经济资料译丛，2008（1）：1-18.
[2]Tversky A， Kahneman D. Advances in Prospect Theory： Cumulative Representation of Uncertainty[J].Journal of Risk Uncertainty， 1992，5（4）：297-323.
[3]科林·F·凯莫勒，乔治·罗文斯坦，马拉·修宾编，贺京同等译.行为经济学新进展[M].北京：中国人民大学出版社，2010.
[4]卡尔.H.博尔奇著，庹国柱，王国军，丁少群，王锋译.保险经济学[M].北京：商务印书馆，1999.
[5]保罗·斯洛维奇编著，赵延东等译.风险的感知[M].北京：北京出版社，2007.
[6]丹尼尔·卡尼曼，保罗·斯洛维奇，阿莫斯·特沃斯基编著，方文等译.不确定状况下的判断：启发式和偏差[M].北京：中国人民大学出版社，2008.
[7]尼克·威尔金森著，贺京同，那艺译.行为经济学[M].北京：中国人民大学出版社，2012.
收稿日期：2013-12-17
高数和概率论范文6
1、学生基础知识层次差异性
大民族高校教育的目的就是为民族地区服务和培养少数民族人才。由于民族高校招收学生的生源大多是我国少数民族聚居区域的民族生或者是发达地区的少数民族学生，由于教育资源和教育整体水平的不均衡，使得民族高校学生的基础知识掌握程度上有较大的差异，同时进入大学后，由于概率统计课程特点，它对学生的数学知识基础有着较高的要求，故在知识的延续和递进中使得学生在这门课程的学习效果上有着明显差异，在课堂教学中最明显的特征就是由于学习基础的差异，学生在知识的掌握上层次差异性明显较大。
2、课程教学方式单一目前
在民族高校的概率统计课程的教学方式大部分还是使用黑板讲授加电子讲稿、教学内容比较传统，比较注重数学原理的推证、数学计算方法的讲授，即使有个别学校在概率统计课堂教学中有融入实验教学内容，但也仅仅限于数据分析软件的使用，并没有将实际经济问题案例与数学知识、数据分析软件结合起来综合应用，概率统计知识的综合应用性并没有体现出来。教学方式还是以教师为主导，教师布置问题和作业，学生完成作业的传统被动方式。
3、教学内容与学时的矛盾概率统计
课程作为经管类专业学生必修的一门经济数学课程，它有着数学课程的典型特点，非常注重逻辑的严密性、知识的递进性，推导证明的完整性，因此在课堂教学中要把本科教学内容中所有内容都要设计到，还要保证大部分学生都能把知识点理解和掌握，又存在学时的限制。
4、实验教学体系缺乏虽然实验教学
在我国一些重点高校教育中已引入，但整体都还是实践阶段，目前关于大学数学课程实验的教材也有一些，大学数学实验课程也产生了良好的教学效果，但在民族高校中，经管类专业的数学课程的实验教学环节缺乏，还没有形成实验教学体系。
二、民族高校经管类专业概率统计
课程引进实验教学的意义概率论与数理统计课程是经济数学课程中实践性最强的一门课程，是经济管理类本科专业学生在后续经济、管理类专业课程中保障性最强的一门课程，是进行后续经济研究的必备工具。目前国外数学课程中引入实验教学法已经取得了良好的成效，国内重点高校的部分院校经管类专业的数学课程也在通过探索实验教学的内容和方法，也取得了良好的成效。我国民族高校经管类专业的概率统计课程教学中也可逐步引入经济数学实验教学方式和教学内容，可以有以下作用：
1、增强经管类学生学习概率统计的兴趣和积极性，提高该课程的学习效果和数学知识的应用能力；
2、介绍常用的试验工具和软件，深化学生使用计算机数据分析软件的程度，丰富和优化了概率统计课程的教学内容；
3、借助数据分析软件、数学软件，增强学生利用所学的概率统计知识对经济现象、经济规律的理解和应用能力，尤其是在学年论文、毕业论文写作过程实证分析能力的提高有着明显的促进作用；
4、引入经济实验教学方式，弥补了传统概率论与数理统计课程理论性强而实践环节较弱的状况。
5、这种经济数学实验教学方式和传统讲授方式相结合的教学模式的探索和实践，不仅可以逐步改善民族高校经管类专业经济数学课程在学习中的“不好学、不善用”的现象，还可以丰富该课程的教学内容和教学方式，并且对于微积分、线性代数课程的教学方式和教学内容的改革也有很强的启示性。对深化课程的教学内容和教学方式改革，促进高校精品课建设和质量工程的发展，提高专业的优势竞争力具有着重要的意义。
三、民族高校经管类专业概率统计课程实验教学的思考与探索
1、概率统计课程实验教学方式的思考
针对目前民族高校经管类专业在概率统计课程学习中呈现的情形：（1）概率统计课程教学显现出的教学内容传统、教学方式单一呆板、轻经济应用；（2）经管类学生不知概率统计知识学了何用，学了不用、学了不知怎么用。本文探索和尝试在经济数学课程之一——概率论与数理统计课程的教学中引入经济数学实验教学方式和实验教学内容，结合传统讲授方式，探索多元化的经济数学教学方式，丰富概率统计课程的教学内容，增加概率论与数理统计课程的实践性和演示性，提高经济管理类学生学习经济数学的兴趣，学生使用经济数学知识解决实际经济问题的能力。通过调查，在民族高校经管类专业的“概率统计”课程大多是周3课时以内，本门课程所修的总课时数为48课时以内，在目前的教学内容和教学方式下，受专业培养方案的限制，并且也无成熟的适合经管类专业的概率统计实验教材，无法设立单独的概率统计实验课程。因此，可在目前的概率统计教学内容中融入实验教学内容和方式，在课程内容的部分章节中结合经济、金融、管理实际问题，形成概率统计课程综合案例，在课堂教学中融入综合案例，介绍它的解决思路，培养学生数学思维品质，数学方法的应用，在掌握数学方法和原理的基础上结合数据分析软件，简化处理过程，锻炼和培养经管类专业学生让其能够知其何用，知其怎么用。经济数学的其它课程总，在内容、方法比较成熟的条件下，可以再单独设立适合民族院校的经济数学实验课程。
2、概率统计课程实验教学方式的实践
可结合相关章节内容特点，周期性的给学生布置概率统计的验证性的实验项目和综合案例实验报告，小组形式完成验证性的实验报告分析和经济实例的实验报告分析。让学生在问题情境下体验概率统计数学知识的理论、计算机技术的使用及应用概率统计知识和解决简单经济实际问题能力。在有限的学时下，课堂教学中补充了实验教学内容，会使的教学内容课时较紧张，因此，建议概率统计的知识点的讲授上可以忽略一部分非重点的知识的逻辑推证，转为数据分析软件和经济实例数学化思想的讲解，如在概率统计随机变量的分布特征这一章结合均值和方差的概念计算知识点，可以补充金融学、寿险精算课程中简单金融实例；在讲协方差和相关系数时可以结合管理学、金融风险中的实例，让学生理解实际问题如何数学化，如何将数学知识、数学结果反馈到实际问题中去，在大数定律这一章，可以结合寿险精算中保费的计算案例及精算起源特点的综合案例让学生深入思考大数定律的结论，从而把抽象理论具体化、应用化。通过这样的实验教学环节的补充和实践，让学生进入实际问题情景，引导学生思考、分析实际问题如何数学化，数学知识是怎么用，大大激发了学生的学习兴趣，可以较好地体现了在课堂教学中以学生为主体的教学方式，逐步转化传统教学方式。通过笔者近两年在教学过程中的实践，在概率统计课程中融入实验教学内容，需要做到以下几点：（1）结合概率统计内容及与经济问题的联系性选择概率统计实验教学的内容及案例。（2）结合已有资料，与信息技术老师、实验室老师沟通在实验室里配备合适的数据软件如Matlab及Excel数据分析软件包、Spss数据分析软件。在这一步可结合各民族学校学生的整体层次进行选择，由于课时的限制，对经管类学生使用软件以熟练应用数据分析软件解决实际问题能力为主，使用计算软件为辅。因此笔者在实验教学中选择了Matlab和Excel数据分析软件包。学生反映效果也较好。（3）讲授理论教学时也建议在多媒体教室中，理论教学中可以融入一部分计算机数据分析的实现过程，让学生直观的认识数学知识的应用。
四、民族高校经管类专业概率统计课程实验教学的瓶颈
1、部分学生不注重理论知识的学习
过分依赖数据分析软件在概率统计教学中引入了实验教学的内容，激发一大部分同学的学习数学的积极性，学习效果也比较明显，通过数据分析软件的使用，提高了学习的效率，使得数学知识的应用性较强。但在实验教学中也发现一部分学生在学习中产生了依赖思想，认为反正有软件，对概率统计知识的具体的计算方法和原理很忽视，以后会不会都可以靠数据分析软件求出结果来。因此也伴生了这种不注重数学理论、数学计算知识的学习，过分依赖数据分析软件的现象了。
2、实验教学师资队伍缺乏
在概率统计教学中融入实验教学的内容，这就使得承担概率统计课程的老师不仅要熟练掌握数学原理和方法、数学的体系框架，还要具备熟悉操作多种数据分析软件的能力，不仅如此，在课堂教学中结合综合经济案例来给学生引导，还需具备一定的经济、金融、管理专业的相关知识，这就对承担概率统计课程的教师提出更高的要求，需要数学老师必须向复合型的专业数学老师转变。而目前在民族院校中承担这一基础课程的老师普遍教学任务较重，师资紧张，典型现象就是教师忙于代课，对专业知识和计算机软件操作的提高和学习上缺乏时间和精力，复合型的课程实验教学人才和师资紧缺。
3、教学内容和实验内容的取舍
在现有的培养方案和教学内容既定的情况下，要想在有限课时中完成教学内容和实验教学补充的内容，只能将已有的教学内容中的部分知识点简化了，如何合理安排概率统计课程的数学原理、数学方法的讲授、实验教学内容的补充，需要在教学实践中适当的取舍，这也是目前制约概率统计课程教学方式探索和实践的一个重要因素。
五、民族高校经管类专业概率统计
课程实施实验教学的建议以上的教学方法的探索，已经在实践中有了一定的效果，对于培养学生的创新意识、动手能力、激发学生学习概率统计知识、数学思维品质的养成、数学知识的应用有着重要的作用和意义。
1、加大对概率统计课程复合型
师资队伍的培训和建设在概率统计课程教学方式多元化的探索过程中，要求老师具备以下：数学知识的积淀、计算机操作水平的适时变化、经济类及相关专业知识的积累及数学化能力，这都对概率统计课程的老师提出了更高的要求。因此要想加快民族高校经管类专业概率统计实验教学的进程，必须要加大对课程复合型师资人才的培养、培训和队伍的建设。
2、课程考核方式多元化
由于在课程内容中充实了实验教学内容，所以学生的概率统计作业不仅仅是传统的数学习题的计算及推证，还需要学生通过小组的形式完成一些验证型实验报告、综合型经济实例报告的分析。对概率统计课程的考核方式也应该随之改变，加大小组报告成绩、平时考核比重，通过多元化的考核方式全面考察学生的数学学习的能力、创新素质的具备、数学知识应用性的能力。
3、依据专业特点
