对于数学建模的认识和理解范文1
一、数学模型的基本概况
（一）数学模型的概念
数学模型的概念比较宽泛，它是指用准确的数学语言，包括公式，描述和表达现实问题中的等量关系、空间图形等，其特点是用数学语言的形式将生活中客观事物或现象的核心特征、关系大概地或近似地呈现出来，形成一种数学模型。从外延上说，数学知识就是数学模型，一切数学教科书中所涵盖的概念、公式、方程式、函数及相应的计算系统都可称为数学模型。[2]
简单来说，数学模型就是那些能够反映、刻画客观事物本质属性与内在规律的数学结构，如数学符号、公式、图表等。小学数学涉及的数学结构较为简单，因而小学阶段所建构的数学模型，是指用课堂上所学的数字（1～10）、字母（a、b等）及各种不同的数学符号排列组合而成的公式等，学生所学的平面几何图形等都是数学模型。
数学建模即建构数学模型解决现实情境问题的求解过程。如我们将所考察的生活中的实际问题转化为数学知识的求解，建构出相应的数学模型，通过对数学模型进行求解，使得原来生活中的实际问题得以解答，这种解题方法叫做建构数学模型的方法，也就是数学建模。[3]
（二）构建数学模型的意义
《标准》指出，小学阶段的主要任务是培养小学生的数学建模思想，锻炼数学建模能力，使学生学会把所学的数学理论知识应用于生活实践中。有效的建模活动不仅有利于发展学生的思维，还能激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究意识和学习主动性。可见，数学建模思想在日常教学的有效融入，对提升小学生的数学核心素养起着非常关键的作用。
1.有利于培养学生运用数学思维的方法观察分析生活中的问题
建构数学模型，即教师引导学生运用所学的数学知识、语言文字来描述和表达生活情境中的问题，将所学的理论知识运用到实际生活中解决真实的问题，深化“数学源于生活，又应用于生活”的理念内涵。数学建模不同于传统意义的应用题，它是对实际的复杂问题进行分析，并在发现其中的规律与数学关系的基础上运用数学知识解决问题。这个过程本身为学生提供了自我学习、独立思考、综合应用分析的机会，学生从不同的问题中探索出问题的本质，从而丰富了学生的想象力，提高了洞察力和创新思维能力。同时，“数学模型的组建依赖于建模者对实际问题的理解，并需要一定的创造性和想象力将有关的变量按照实际问题的要求组合在一起”[4]，且对于同一问题，学生能够建立出多种不同的模型，因而在开放的构建模型过程中，有助于提高学生的创新意识和创新能力。
2.有利于培养学生的合作探究能力
数学建模作为一种新型的数学学习方式，为学生相互合作、主动探究提供了平台。不管是日益成熟的中国大学生数学建模竞赛（CUMCM），还是逐步兴起的美国中学生数学建模竞赛（HIMCM），均以团队为单位参赛，3―4人为一组，在规定的时间内共同解决问题。在这个过程中，学生不仅需要具备扎实的数学基础，还要具有较强的合作精神和探究意识。因此，将数学建模融入日常数学教学时，教师引领学生通过小组合作学习的方式，在小组内彼此交流思想、集思广益，共同探究出问题的答案，同样锻炼了学生的探究与合作学习的能力。正如《标准》中所提出的：“数学教学理念必须创设有意义的教学情境，激发学生学习的兴趣，调动学生学习的欲望，引发学生学会动脑筋思考问题；尤其对低年段的小学生要注重培养学生养成良好的学习习惯、掌握有效的学习方法和技巧。”[5]学生的学习生活应当是充满创造性和欢乐的过程，除传统教学观所提倡的学生接受学习的方式外，教师应当鼓励学生动手实践、探究，让学生学会与同伴合作探讨的自主学习方式。此外，教师还应给予学生充足的时间和空间，使学生可以经历假设、判断、推理等探索过程。
3.有利于提高学生的数学素养
数学素养是指学生通过数学学习，在学习过程中逐渐内化而成的数学推断能力、思考能力及数学品质。[6]小学阶段要求学生具备的数学素养，包括数学知识及以数学思维思考问题的意识、解决问题的能力、探索数学的意愿等。数学建模是“从现实生活情境中抽象出数学问题”。发展建模能力一方面可以促进学生认识现实世界，因为数学模型思想主要是培养学生发现问题的意识以及动手实践的能力。如“用字母列方程来表示数学问题求解中的等量关系”，在这个环节，学生首先要通过分析等量关系中有哪些量是等值的，然后找出题目中等式两边的量，最后判断分析，求得结果。另一方面，丰富的日常生活经验能够帮助学生理解数学学习。如学习“数对”，学生需要“在具体情境中，能在方格纸上用数对表示位置，知道数对与方格纸上点的对应”。而在日常生活中，学生购买电影票去电影院看电影的经历以及通过教室内的座位表确定同学的位置等情境，有助于他们理解“数对”的概念以及“数对”与点之间的对应关系。在数学教学过程中，构建数学模型能够使学生各方面的能力得到开发，如理解能力、推理能力、发现问题的能力、分析能力等，而学生的数学素养也在不知不觉中获得了提高。
4.有利于学生真正体会到学习数学的乐趣
数学一直被许多小学生认为是最难的科目，原因是对数学的作用与价值认识不足，学生“不知道为什么要学习数学”“数学学了有什么用处”，这令他们感到数学与生活距离非常遥远，从而逐步丧失了学习数学的兴趣。因此，在教学中，教师需要设计与生活相关的数学活动，鼓励学生在活动体验中体会数学与生活的联系，帮助他们增加对数学应用价值的认识。《标准》指出，构建数学模型是学生理解数学知识与实际生活相联系的桥梁。因此，在数学教学中，教师可以通过利用有趣的、与生活相关的问题开展构建数学模型的教学，帮助学生在解决问题中了解数学与生活的联系，认识到数学在解决问题中的作用，激发学生学习数学的兴趣，使学生认识到数学学习与生活息息相关，利用学到的数学知识可以高效地解决问题，进而认识到学习数学的意义。[7]
二、建构数学模型的策略
数学模型的建构对于利用数学知识解决生活中的问题至关重要，但是不同学段对学生掌握建模思想的要求不一样：第一学段的学生年龄相对较小，主要以具体形象思维为思考方式，要掌握建模的方法困难比较大，因此，教师要引导他们经历现实生活情境，在情境中抽象出一般的学习规律，总结出一些数学结构，也就是数学建模；第二学段的学生处于从具体形象思维逐渐过渡到抽象逻辑思维的关键期，已初步具备抽象―概括的思维能力，但是仍以具体形象思维为主，以抽象逻辑思维为辅，故在教学中应使学生经历一些具体的生活情境，让他们自己发现问题，通过独立思考、合作交流，最终总结出一般的数学模式，如路程、速度、时间的关系式。结合学段教学要求以及小学生的心理发展特点，笔者总结了以下几种建构数学模型的策略。
（一）创设问题情境，激发学生学习数学建模的兴趣
问题作为数学建模教学的载体，其设计合理与否直接影响着学生对数学建模情感的激发与维持。在数学建模教学中，教师首先需要思考所设计的问题是否有趣，能否让学生具有亲切感，能否吸引学生。有趣的、贴近生活的问题不仅容易激发学生学习数学的好奇心，吸引其进一步思考和解决问题，还有助于学生理解问题。因此，教师要为学生创设贴近生活以及学生熟悉的问题情境，激发他们学习的兴趣和探索的热情。
例如，“利息=本金×利率×时间”这一数学结构是小学数学六年级上册的一个学习内容，结合第二学段数学建模教学对学生的要求以及学生的心理特点，教师在教学中可以这样做：首先，为学生提供“帮助妈妈选择银行存款项目”这一具体生活情境，激发学生的学习兴趣和兴奋点；其次，教师通过给出不同类型存款方式的利率，鼓励学生为妈妈选择一项适合自家理财计划的存款项目，让学生身临其境，感知不同类型存款方式利率的变化、利息的变化，以及如何满足自家生活开支与理财需求；最后，教师导出“利息”的模型，帮助学生理解利息这一模型的背景及用途。将数学课本中的知识与生活中的具体实例结合在一起，学生可以在体验中感知和体会数学与生活的关系及作用。
（二）积累表象，培育建构数学模型基础
数学建模的前提就是学生的头脑中要有与原认知相关联的知识。这需要教师为学生创设一个良好的学习情境，刺激学生的感官，使其对所接触的生活情境形成一定的感知，进行表象的积累，并不断锻炼思维敏感性，进而在熟能生巧的感知中自觉找到连接点，为建立数学模型奠定基础。当然，学生学会建构数学模型，离不开先行组织者的作用，因此，教师要善于应用先行组织者的教育真谛，帮助学生理解新学习的知识与已学知识之间的联系，使学生能够快速掌握新知识。
例如，认识平面图形“圆”，教师引导学生建构不同的模型来认识圆，能够使学生在头脑中建立不同的关于“圆”的表象，进而抽象概括出不同模型的连接点，加深对“圆”基本特征的认识。再如，学习“编号”模型，由于学生在生活中对于邮政编码、学号、饭店房间号等具有一定的了解，教师可以通过对有关编码中数字含义的解释，帮助学生构建不同的关于“编号”的表象，在对各种编号的感知过程中建立数与现实生活之间的联系，引导学生运用数来描述事物的某些特征，进一步体会数在日常生活中的作用。
（三）抽象出生活问题的本质，初步建构数学模型
数学源于生活，在生活中抽象出数学学习的本质，是建构数学模型的有效途径。具体的生活情境为学生在头脑中建构数学模型的表象提供了可能，而真正使数学与生活相结合，通过数学模型解决生活问题，学生需要通过现象看到本质，总结出事物的共性。
例如，学习“轴对称图形”这一内容，学生已有的生活经验中常常会碰到有关轴对称的图形或图标、建筑或其他事物，如奥运五环、天安门、蝴蝶等。如果教师仅仅以具体实物告诉学生什么是轴对称图形，那么就如心理学中的“鱼牛图”定理一般，由于学生的认知不同，在头脑中呈现出来的关于“轴对称图形”的知识也就不尽相同或不够全面。因此，教师可以通过出示相关图片或组织学生分组收集日常生活中看到的图形，引导他们在对具体事物发现和寻找过程中逐渐抽象出其内涵，进而认识到轴对称图形的基本特征――图形沿着对称轴折叠能够互相重合。这样，学生不仅能够掌握对称轴的画法与简单轴对称图形的补全，还能在这些操作活动中丰富和积累数学活动经验。
（四）巧妙使用数学教材，扩展数学模型的应用范围
数学教材作为数学教学活动的核心，是连接课程与教学的桥梁，是师生之间交流互动的重要媒介。各版本数学教材依据《标准》在“教材编写建议”中提出的“体现‘知识背景―建立模型―求解验证’的过程”这一理念与要求，对教材内容进行了有效编排，以问题为导向，重视对数学建模思想的渗透以及数学模型的建构。因而在教学中，教师要结合教材内容寻找并提炼相关的数学建模问题，以一个数学模型为依托，通过设计不同的问题情境，引导学生在解决问题过程中认清事物的本质，学会灵活处理各种问题并进行有效的迁移。
例如，六年级数学教材中的“植树”模型，教师可以结合教材内容设计出各种不同的问题，帮助学生理解“植树”模型的各种情况，如对于两端都栽树的棵树的数学模型，可以以学生熟悉的“手”出发，引导学生理解手指与间隔的关系，同时结合展示“等距的灯笼”“排列整齐的杉树”的画面理解“等距”“间隔”“间距”等概念，然后组织学生在动手实践中建构出模型为“间隔数+1”。小学生的思维以具体形象思维为主、抽象逻辑思维为辅，仅仅教授一种数学模型，他们未必会拓展延伸。因此，在两头都栽树的基础上，教师可以引导学生继续探寻树与间隔的关系，将“植树”模型进一步扩展为两端都不栽树的情况，其数学模型为“间隔数-1”，仅一端栽树的情况，其数学模型为“间隔数”，并在此基础上进一步引导学生观察循环植树与仅一端植树之间的关系，启发学生探寻出其数学模型也为“间隔数”。通过参与探究一系列数学活动实践，学生对各种不同的“植树”数学模型有了真正的认识和理解。以教材为依托，教师还可以结合学生熟悉的生活情境，设计以下问题：围棋盘最外层一共可以摆多少颗棋子？在团体操表演中，四年级学生排成方阵，最外层每边站12人，最外层一共有多少名学生？进一步扩展其应用范围，学生通过对一系列层层递进的问题链的学习，做到举一反三，从而真正理解数学知识，提升运用数学知识解决实际问题的能力。
参考文献：
[1][5][7]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012：3-4.
[2]陈淑娟.浅谈小学数学建模[J].读与写，2011（5）：161.
[3]王亚辉.数学方法论[M].北京：北京出版社，2007：38.
[4]李明振.数学建模认知研究[M].南京：江苏教育出版社，2013：3.
[6]周燕.小学数学教学中数学建模思想的融入[D].上海师范大学，2013.
对于数学建模的认识和理解范文2
关键词 模型构建 物理模型 概念模型 数学模型
中图分类号 G633.91 文献标识码 B
新课标下的高中生物新课程改革已经越来越深入，新课标始终强调学生不仅仅应该掌握科学知识，更应该学习科学研究的一般方法，因为这些科学研究的方法对学生的发展具有更为重要的价值。科学研究的一般方法在教材中介绍了很多，构建模型的方法是教材中首次提出但极为重要的一种理性思维方法。模型的方法是以研究模型来揭示原型的形态、特征和本质的方法，是以简化和直观的形式来显示复杂事物或过程的手段，是逻辑方法的一种特有形式。
模型舍去了原型的一些次要的细节、非本质的联系，以简化和理想化的形式去再现原型的各种复杂结构、功能和联系，是连接理论和应用的桥梁(模型和原型的关系如图1所示)。
关于模型的形式或种类，教材中介绍了物理模型、概念模型和数学模型三种类型。这三种模型有一个共性就是用来学习被认为相似的事物的工具，笔者在三年的课堂教学摸索中始终坚持对学生建模能力的培养，不仅适应学生的认知规律，也可以提升课堂的内涵，帮助学生在更好的掌握知识的同时学会研究方法，提升生物教学的价值和魅力。
1 构建物理模型
为了形象、简捷地处理问题，人们经常把复杂的实际情况转化成一定的容易接受的简单情境，从而形成一定的经验性的规律，即建立物理模型。教材中对物理模型的定义就是以实物或图画形式直观地表达认识对象的特征，它在教材中应用非常频繁，比如细胞模型、细胞的亚显微结构示意图、DNA的双螺旋结构、生态农业系统等。物理模型既包括静态的结构模型，又包括动态的过程模型，如教材中学生动手构建的减数分裂中染色体变化的模型、血糖调节的模型等，就是动态的物理模型。
1.1 构建实物型物理模型用以帮助直观的认识
教材中对物理模型的定义就是指以实物或图画形式直观地表达认识对象的特征，它可以形象而概括地描述事物的一般特征，实物型物理模型是最直观的物理模型。尤其是在学生学习《分子和细胞》的时候，学生第一次接触到系统的严谨的微观知识，对于刚刚进入高一的学生来讲，此时构建实物型的物理模型可以帮助学生建立直观的认识。例如人教版教材“分子和细胞”中呈现了北京某中学制作的细胞模型就可以让学生真实的感受到细胞的结构。在“物质跨膜运输的实例”中，“原生质层”的概念对于学生来说总是很难理解，学生尚不具备这样的想象能力，如果能够制作一个成熟的植物细胞的实物模型，那么学生对原生质层的结构以及它的两侧的溶液的理解就非常清楚了，具有了最直观的认识。
在教学过程中，建立实物型物理模型的知识点还是很多的，有“减数分裂”、“DNA分子的结构”等。虽然建立这种模型有一定的困难，需要教师寻找合适的材料，做大量的准备工作，课堂教学进度放慢等。但是教师可以采取兴趣小组、课外活动等形式加以避免。实物型物理模型的作用和效果是非常明显的，尤其是减数分裂的模型很好地解决了学生学习的困难，在帮助学生学习的同时也锻炼了学生的动手能力和合作能力。
1.2 构建示意图物理模型用以促进理性的转化
示意图物理模型就是指以图画形式直观地表达认识对象，在教材中也有丰富的示意图形式的模型，这些内容相对微观、抽象、复杂，不便于制作实物型模型，示意图式的物理模型可以促进学生感性的理解。因为这类模型学生很常见，所以构建起来难度并不大。例如在“细胞膜的结构”的教学过程中，在学生理解了磷脂的特性之后，师生共同构建磷脂在空气一水的界面上的物理模型和在细胞膜中的模型(图2)。图2磷脂在空气一水的界面上和在细胞膜中的模型
学生完成上述模型并不是太困难，在此基础上让学生独立思考，构建某植物细胞中存在某个以磷脂为膜包裹的小油滴的物理模型。要完成这个模型，学生要对磷脂的特性和油、水的分布很清楚，学生构建还是有一定的困难，教师可以先让学生进行讨论再总结，通过这个情景转换可以巩固学生的感性认识。
构建示意图物理模型学生可以把复杂的知识简化，可以把抽象的知识形象化，但真正的关键作用是学生在构建这些模型的时候已经融入了自己的思维，完成构建过程可以促进感性向理性的转化。
1.3 构建文字型物理模型用以发展抽象的认知
上述两种物理模型都与图形有关，比较形象直观，而很多情景中用图形表示是非常复杂的，文字型物理模型就是在前者的基础上，以实物和图形作为蓝本，最终形成的物理模型只由简单的文字和箭头组成。实际教学过程中发现学生构建示意图型的物理模型并不是太困难，对于学生来说，构建文字性物理模型更加困难。下面就是通过构建物理模型来考察学生是否掌握细胞代谢以及细胞与相应内环境关系的一个例题：尝试构建人体肝脏内血浆、组织液、成熟红细胞内液之间O2、CO2扩散的模型(①在图形框间用实线箭头表示O2，用虚线箭头表示CO2；②不考虑C02进入红细胞内液)。在学生构建该物理模型(图3)时必须清楚成熟红细胞的代谢特征，只能进行无氧呼吸，清楚O2、CO2的扩散方式，扩散途径并且还要用简单的图形表示出来。
学生自己构建这样的物理模型，实际还是存在一定的困难，所以在建立这类模型的过程中，教师还是应该先从内环境的直观示意图出发，使学生能从示意图中能够很清楚地认识到肝脏细胞和组织液、组织液和血浆、红细胞和血浆之间发生的物质交换，以此为母版，构建文字型的物理模型也就水到渠成了。
根据皮亚杰所揭示的儿童认知发展规律，儿童进入青年期，认知功能渐渐的由具体、直观水平占优势过渡到抽象水平占优势，教师在面对这样的学生群体时，可以用语言或者其他符号来陈述抽象概念及关系。因此培养学生构建这样的物理模型不仅是适合学生心理和认知发展规律的，从教学的另一个本质上来讲，教学应该起到促进学生这种抽象认知发展的作用。
2 构建概念模型
概念模型是对真实世界中某个问题域内的事物进行描述，概念模型包括：中心概念、内涵和外延。在教材中，概念模型大多以概念图的形式出现。概念图是指利用图示的方法来表达人们头脑中的概念、思想、理论等，是把人脑中的隐性知识显性化、可视化，便于人们思考、交流、表达。构建概念模型的过程：选
取一个熟悉的知识领域；确定关键概念和概念等级；初步拟定概念图纵向分层和横向分支；建立概念之间的连接，并在连线上用连接词标明两者之间的关系；修改和完善。
2.1 构建环状概念模型用以理解知识的联系
环状概念模型的特点是当把相关概念建立链式模型后，模型的首尾可以根据某种关系相互连接起来，形成环状，它主要体现的是各个概念之间的联系。环状模型最典型的就是“激素调节的实例”(人教版)血糖平衡调节的模型。教学过程中，学生第一次接触激素对生命活动进行调节，是否能真正理解激素是如何调节的，调节的结果又是怎样的，生命活动又是如何处于动态平衡之中。教材中设计了学生活动，学生通过简单的翻糖卡对胰岛素和胰高血糖素的调节时机和结果有了一定的感性认识。这时候教师结合学生的感性认识，可以把关键词提供给学生，引导学生构建关于血糖平衡的概念模型(图4)，通过构建这样的环状模型，把学生直观感性的认识提高到抽象理性的认识，理解发生在体内的微观变化过程。
这种简单的概念图一般用于新授课中，尤其是概念之间有着紧密的联系的知识点，比如光合作用和呼吸作用的联系，正、负反馈等。从简单的概念图开始及时培养学生构建概念模型的能力，既能够帮助学生更好地理解知识之间的联系，又能逐渐培养学生构建概念模型的能力。
2.2 构建等级概念模型用以纠正知识的偏差
等级概念模型的特点是概念之间有着非常明显的层次关系，围绕一个中心概念，逐层展开次级概念，各等级的概念之间是包含关系，它体现的是概念之间的分类、从属关系。在生态系统的有关知识复习过程中，发现学生中普遍存在一个错误的概念：对生态系统的结构和生态系统的成分总是混淆不清，容易把生态系统的结构误认为是成分而忽略营养结构，于是构建了这样一张概念图(图5)。
通过这样的等级图可以清楚的看到生态系统的结构和成分是上下的等级关系、包含关系，学生就很容易纠正错误的概念。这样的概念图一般可以用于概念较多的新授课或者在完成了某一个章节的学习内容之后，可以设计这种模型。在人教版模块一《分子与细胞》中，几乎在每一章的自我检测中都有构建概念图的要求，注重培养学生的这种能力，同时也能够帮助学生逐步建立学科知识的网络。
2.3 构建放射概念模型用以建立知识的网络
放射概念模型的特点是确定一个核心概念，围绕这个核心概念，搜索与之相关的概念，建立它们之间的联系，使概念的构建呈发散状，它体现的是构建者形成的知识网络。随着知识的增加，尤其进入到总复习阶段的时候，形成知识网络，构建学生的知识体系显得十分重要，通过一些概念图设置可以帮助学生形成网络，提高学生的知识综合和迁移能力。例如笔者设计了这样一个概念图(图6)：请以“染色体”这一概念为核心，写出15个以上与“染色体”相关的概念，连接为一个较完整的概念图。
学生要完成这样一张概念图，必须掌握各种与染色体有关的概念并清楚概念之间的联系，知识运用涉及到模块二的大部分内容，很好地检测学生对概念的掌握和理解情况。把学生感知“孤立”、“散装”的概念纳入相应的概念体系之中，让学生获得一个条理清晰的知识网络，既能帮助学生理解新概念，又能进一步巩固深化已学概念，此外还锻炼了学生的联想能力和创造性思维。
在教学过程中，常发现许多学生在学习之初游刃有余，但随着知识点变得丰富、复杂，尤其是进入复习阶段时就容易出现概念的混乱，特别在是面对一些新情境下的问题，一脸茫然。教师将概念图这一认知工具应用到生物学教学中，在不同的教学情境中设计不同的概念图，让学生在构建过程中主动参与知识的回顾与提炼过程，整合新旧知识，建构知识网络，浓缩知识结构，达到灵活迁移知识的目的。
3 构建数学模型
教材中提到的数学模型指的是用来描述系统或它的性质和本质的一系列数学形式。具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观实物的特征及其内在联系的数学结构表达式。数学建模的过程一般为：模型准备一模型假设一模型建立一模型检验。
3.1 构建表达式数学模型用以计算精确变化
表达式数学模型是指用数学符号、字母、数字构建的数学模型，第一次出现是在模块三的“种群数量的变化”中，在实际教学工作中发现，构建数学模型对学生来说比上述两种模型的困难更明显。因此在教学过程中首先应强化模型构建的步骤，在这个过程中，学生不仅仅应该知道该数学模型，更应该让学生清楚构建每一个数学表达式模型成立的条件是什么，假设是怎样的，模型中各项参数又是什么含义。
培养学生构建数学模型的第一步，在此基础上应创设新情境，帮助学生寻找典型模型的应用规律。
例如创设这样的情境：东方田鼠喜欢野外环境，2007年6月下旬以来，栖息在洞庭湖的400多万亩湖州地中的约20亿只东方田鼠，随水位上涨部分内迁。它们四处打洞，啃食庄稼，严重威胁沿湖防洪大堤和近800万亩稻田。生态学家研究发现，东方田鼠种群迁入初期种群数量很少，一个月内随着水稻和芦苇等作物种植面积的不断扩大而迅速增长。为研究东方田鼠的种群数量的变化规律，生态学家构建了数学模型Nt=Ntλt，该数学表达式成立的前提条件是什么，从环境容纳量的角度思考，提出两项控制东方田鼠数量的有效措施。
学生要能够解答这样一个有关的数学模型习题，首先要能够对教材上已有的三种种群变化的数学模型进行比较，寻找它们之间的差异以及导致这种差异存在的根本原因，经过对比、引导和研究，能够发现三者的关键差异就在于模型的假设。学生清楚了三种模型之间的区别就可以对新的情景进行判断了。题中的情景与哪一种模型的假设相似，就应该应用何种模型解题，例题的情况应该属于物种入侵，典型的J型增长曲线，那么相对应的假设就是东方田鼠生存的空间和食物是足够的，且湖州地区的气候适宜，缺少天敌。第二问也就迎刃而解了。通过创设不同的情景，学生可以进一步的理解不同模型之间的区别，也可以更好的理解建立数学模型并加以应用。
这种表达式数学模型涉及到的知识点有很多，脱氧核苷酸序列与遗传信息的多样性，碱基与氨基酸对应关系，调查人群中的遗传病，用数学方法讨论基因频率的变化，探究自然选择对种群基因频率的影响等等。把数学的思维引入到生物学科，不仅能让学生感受到生物学科的严谨，也能让学生感受到不同学科知识之间的交叉与融合。
3.2 构建曲线型数学模型用于观察发展趋势
数学模型不仅仅是指上述等式的形式，还包括表格、曲线和柱状图等常见的形式。其中曲线型数学模型用于观察事物发展的趋势非常直观明了。教材中涉及到这类数学模型的内容还有很多，如有丝分裂和减
数分裂过程中染色体、染色单体以及DNA数量的变化规律，呼吸过程中随氧气的浓度增加ATP、CO2的变化曲线，光合作用中随光照强度、温度、CO2等条件的变化光合作用强度的变化曲线等。
在培养学生构建这类数学模型过程中，帮助学生掌握规律可以提高学生的建模能力。培养学生关于曲线的能力则包括很多方面，阅读曲线，识别曲线，绘制曲线等等，涉及的范围非常广，但都有规律可循，归纳起来关键是三个方面，理解坐标含义及横纵之间的联系，判断起点(尤其是否为原点)，判断走势。
学生在构建曲线型数学模型中的难点主要有两点，一是在构建过程中容易忽略对坐标的定义，尤其是单位；二是当学生在描点之后，容易对曲线随意的延伸；第三种最突出，针对没有具体数据的背景，学生在描述上升趋势的曲线时，不能分辨出下面的三种情况：类似“J”型、“S”型和直线型(图7)。
引导学生比较这三种曲线模型的区别，创设不同的情景：Aa的生物复制n次以后纯合体的比例；某池塘中随着某种鱼数量增加种内斗争的剧烈程度；随着溶液中尿素浓度的增加，尿素进入细胞的速度变化等，寻找出三者之间的差异，逐步培养学生构建曲线型数学模型的能力，一目了然地观察各情景下事物发展的规律，能使学生的知识发生正迁移，起到举一反三的效果。
在课堂教学过程中培养学生构建数学模型，有利于培养学生透过现象揭示本质的洞察力，同时通过科学与数学的整合，有利于培养学生简约、严密的思想品质，可使一些重、疑、难点化繁为简，既深化了对知识的理解，又培养了学生的数学思维能力。
美国的心理学家布鲁姆认为，人类记忆的首要问题不是储存而是检索，而检索的关键在于组织。上述模型就是一种知识的组织方式，构建这些模型的过程就是组织材料、建立记忆检索框架的过程。在建模过程中，学生可以识别知识之间的联系，用适当的图解来标明这些知识的内在联系，将新的、零散的知识与原有的知识整合构建一个意义结构。因此建模首先是一种较高水平的信息加工策略。
对于数学建模的认识和理解范文3
众所周知，很多数学问题都是抽象的，特别是高等数学，所以，当解决这类问题时，要寻求一种具象化的手段才能够保证解决者不会进入思维误区，这一手段就是建模。建模并不是新型方式，在数学问题解决中，关键在于思维，建模就是思维的衍生体，换个方面来理解，当复杂的解题思维出现时，人类的大脑既要处理数据信息，又要在固定的逻辑下推进，这会提高发生错误的几率。
二、融入数学建模思想的重要作用
数学建模思想是可以简化数学解题的方式，同时能够降低解题的难度，这对于我国高等教育的数学教学有着不容忽视的意义。首先从教育现状来看，在高等教育中，数学无疑是教育难度最大的学科，很多有能力继续进修的学生，都因数学成绩不理想而被拒之门外，而帮助学生建立数学建模思想，有助于直接提升数学成绩；其次，对于学生个人而言，其吸收能力已经被传统教学弱化，知识的积累存在难度，借助建模可以启发学生的数学思维，提升解题能力；最后，建模作为数学文化的实践体，具有更加广泛的现实意义，对于学生长期的社会发展有着客观的作用。很多院校在教育模式上采取了模型案例学习模式，笔者却提出了融入建模思想，二者在教育方式和手段上有着本质差异。现代高等教育虽然比高中教学的气氛要更加宽松，但是，学生仍旧有着一定的学业压力，在现有的教学内容中添加大量的模型和案例，可能会造成学生学业负担，而且，过多的案例教学会导致学生数学思维的简化。所以，笔者认为以思想融入代替模型积累的方式，更为适合当前的高等教育氛围和环境。
三、促进数学建模思想与高等数学教学相融合
1.概念与实际相结合
很多学生认为数学是抽象的，事实上，数学是用来解决现实实际问题的基本工具，只是学生并没有社会化，所以无法认识到数学在社会行为中的应用。但是，大学生无法利用数学解决现实问题，并不意味着理应暂时不去学习相关内容。笔者认为，提升学生学习兴趣的最好方式，就是让其认识到如何才能够通过数学解决实际问题，仅学习概念，再用概念思维解决概念性的问题，对于学习者而言并不具备意义，因此，需要在教学中有效地引入实际问题，让学生清醒、深刻地认识到数学问题的实际意义，再借由实际层面树立建模思想，最终帮助学生建立真正的数学解题能力。
2.深入挖掘应用建模教育价值
帮助学生掌握一种工具并不困难，但是，让学生可以真正地应用，却是现代教育的一大难题。数学建模仅仅是用来解决数学问题的一种工具，很多非数学专业的学生都能够掌握，不过无法实现灵活地应用。教师应当借助例题对最值进行抽象化，启发学生的解题思维，并在思维建立的基础上逐渐引入更多的例题，使学生得以更好地认识最值问题，直至熟练地掌握方法。在这一过程中学生也将拥有最值问题的建模基础。
3.以步骤和思想作为教学核心
对于数学建模的认识和理解范文4
1.1 数学建模教学的现状调查
目前，高中的生源一部分是统招的初中毕业生，一部分是外地的借读生。这些学生大部分对学习数学建模的兴趣和积极性不高，这里一个主要的原因是他们的数学计算基础比较薄弱，知识结构非常不健全。笔者对青岛胶南一中5个班级的学生进行问卷调查，发现有59.2%的学生认为数学建模中计算不重要；仅有25.3%的学生对数学建模中的计算方法感兴趣；有53.6%的学生认为进行数学建模运算目的是应付考试；55.7%的学生认为所学的数学计算方法内容太多、太难。
1.2 目前数学建模教学存在的问题
目前高中数学教育受传统数学教学的影响较为深刻，传统数学课程设置、教学内容、思想和方法手段在高中教师的教学理论中根深蒂固，与数学建模的教学特点和目标要求相差较远。
1）教学内容偏重于理论，对应用不够重视，喜欢传统的推理和古典的方法，对于现代的前沿方法却简而代之。
2）多媒体教学手段没有充分应用，粉笔加黑板仍是教师主要的授课工具，使数学建模教学缺乏直观性、趣味性，体现不出数学建模教学生动活泼、贴近现实的特点。
3）数学建模教学没有和计算机软件教学结合起来，就算数学模型建立起来，也因计算机软件不会操作而导致不能得到精确的求解和计算。这种问题大大削弱了数学建模解决实际问题的优越性，不利于培养应用型人才。这都说明数学建模教学存在严重问题，教改已经迫在眉睫。
1.3 数学建模教学中迫切需要加入计算机技术
由前面关于数学建模教学中存在的问题可以看出，在数学建模教学中，缺乏现代化的教学手段和计算方法是导致数学建模教学不能广泛开展的重要原因。这就需要在数学建模教学中融入计算机教学，通过多媒体教学的直观特点，提高学生分析问题、建立模型的能力，通过MATLAB等计算软件的学习，减少对模型求解的繁琐计算，有利于提高学生学习数学建模的兴趣，提高建立模型、求解模型的能力。因此，在数学建模教学中融入计算机技术是必要的。
2 在高中数学建模教学中融入计算机教学的方法与途径
在高中采用计算机技术对学生进行数学建模思想与方法的训练，有三种途径。
2.1 数学建模课程中加入计算机软件的内容。
数学建模课程所包含的模型，可以跟许多计算软件联系起来，因为许多模型，如线性规划模型、回归模型、微分方程模型、概率统计模型等，建立模型后用MATLAB或LINGO就可以进行计算。所以在高中数学建模教学内容中融入软件计算的内容，有着非常重要的作用。
2.2 将数学建模与软件计算融合的方法有机地贯穿到传统的数学课程中去
这种途径使学生在学习数学基础理论知识的同时，初步获得数学建模的知识和技能，获得用计算机软件求解模型的能力，为他们日后用所学的知识解决实际问题打下基础。那么，在实际的数学教学中，教师如何将这种思想渗透到教学内容中去呢？
1）高中数学的基本概念如函数、导数、三角、向量、积分等都是数学模型，因此，每引入一个新概念或开始一个新内容，都应通过多媒体课件教学展示一些直观的、丰富的，能提高学生学习兴趣的实例，向学生展示该概念或内容的应用性。
2）建立函数关系在数学建模中非常重要，因为用数学建模的方法解决实际问题的许多实例首先都是建立目标函数，将实际问题转化为数学问题。然后借助计算机语言，将模型转化为程序，为模型的求解做准备。
3）利用一阶导数求解函数的极值问题，可以引导学生建立线性规划模型，转化成无条件极值或者条件极值问题，在此插入拉格朗日乘数法，让学生掌握求解条件极值的方法，及如何运用数学软件来进行计算。
4）概率统计模块当中，一些统计量的计算，公式较为繁琐，如果用数学软件，或者用Excel，都可以很方便地对数据进行处理，求出想要的各个统计量，甚至可以画出统计量的图，直观形象，使用便捷。
2.3 在数学建模教学中融入计算机教学应注意的问题
首先，采用由简到繁、由易到难的循序渐进思想，逐步将软件计算渗透到数学建模教学中。其次，在教学中选取的教学实例应该来源于生产或生活，让学生透过实例来理解概念和模型，从而逐步掌握建立这种模型的方法。实例中所用到的模型应该体现数学建模的初级方法和思想，在教学中的举例应具有代表性，切忌泛泛的一堆实例的堆积，却不能提炼出数学的内涵来，毕竟建模的根本目的是用数学和计算机来解决实际问题。最后，应注重计算机与课堂教学的整合。用MATLAB、LINGO等软件计算出的结果、描绘的图形精确而可信，让学生更加体会到利用建模和计算机结合解决实际问题的优越性，也可以提高学生的学习兴趣，感觉课堂内容充实生动，这样可以取得很好的教学效果。
3 胶南一中数学建模教学与计算机教学融合的实践研究
随着数学建模教学越来越深入到高中数学教育中，胶南一中也逐步对数学建模教学增加了认识，在所承教的班级中进行了询问式调查，发现有20%以上的学生对数学建模有浓厚的兴趣。于是，2009年初，教师开始在学生中利用课余时间开展公开课，请有兴趣的学生报名参加，并在公开课上讲解一些数学建模实例和计算机软件的使用。通过小测验，让学生对某个实际问题建立模型求解，找出答案比较新颖的学生，指导他们建立和求解数学模型。
比如，以2006年的考题“易拉罐的最优设计”为例，请学生想办法设计出自己认为最合理、最优的易拉罐来。学生对这个问题表现出浓厚的钻研兴趣，大家纷纷讨论起来，有的画出了图形，有的在测量和演算，不久，就有不少学生提出较为优秀的方案。但是，学生对线性规划、运筹学、最优化等课程很陌生，也不懂MATLAB等数学软件的操作，所以他们对自己的方案只能有个大致构架，却不会进行精密的演算和论证。这样，教师把这些学生组成兴趣小组，对他们进行培训，主要是讲解一些最优设计、线性规划等课程中的基本方法以及如何用数学软件来处理数据，由此一来，大家对数学建模有了深层次的认识。
2010年开始，学校组织了数学建模兴趣班，采用推荐加考查的方式组成两队，利用暑假时间对学生进行培训，培训内容包括“数学建模方法及其应用”“线性规划”“非线性规划”“最优化”等和MATLAB等数学软件。
在高中数学建模教学中，融入计算机软件教学，不仅可以培养学生的跨学科应用的能力，还让学生学会了如何分析和解决问题。而高中数学教师学历层次普遍较高，专业知识较为扎实，在讲授知识内容的同时能够注意数学建模思想的渗透，能够把利用计算机软件培养学生具有应用数学方法解决实际问题的意识和能力放在首位，因此在高中数学建模教学中融入计算机教学是可行的，是符合社会发展和人才需求形势的。
参考文献
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2002（4）.
[2]尚寿亭，等.数学建模和数学实验的教学研究与素质教育实践[J].数学的实践与认识，2002（31）.
[3]韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京：高等教育出版社，2009.
对于数学建模的认识和理解范文5
关键词: 高中数学 模块教学 问题
新课程改革从理念、内容到实施都有较大改变,作为一线教师更应首先转变观念,充分认识数学课程改革的理念和目标。下面我从模块教学的培养目标的探讨出发,对高中数学模块教学的知识体系,以及存在的问题进行分析,结合教学实际和理论知识,提出了一些建议和对策。
一、模块教学的培养目标
模块教学的培养目标更突出以下几个方面。
(一)突出体现以“学生发展为中心”的理念
在模块教学的培养目标的陈述顺序上,它把学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识和技能放在前面,把培养学生各种能力和品质放在后面。而模块教学的培养目标提出:“使学生在九年义务教育数学课程的基础上,进一步提高作为未来公民所必要的数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要。”可以看出,模块教学要同时满足“社会需要”、“个人发展需要”和“学科发展需要”三方面要求的前提下,把“个人发展的需要”放在了首位。
(二)更加注重过程性目标
出于对数学本质的认识发生了变化,人们更多地把学生的数学学习看成一个经验、理解和反思的过程。所以,加强调过程性、体验性目标,是模块教学的突出特色之一。例如:对于“双基”,板块教学的培养目标只是指明了基础知识和基本技能的范畴,而模块教学的培养目标还强调“理解基本的数学概念、数学结论的本质,了解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动,体验数学发现和创造的历程”。其中的“理解、体会、体验”等动词都明确说明了这一点。
(三)进一步强调了数学的人文价值
作为最具理性精神的数学课程,由于人文精神的融入而表现出浓厚的时代特征。板块教学的培养目标中就曾提出“进一步培养良好的个性品质和辩证唯物主义观点”,而模块教学的培养目标中进一步阐述使学生“具有一定的数学视野,逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值、形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,体会数学的美学意义,进而树立辩证唯物主义世界观和唯物主义世界观”。把对数学的认识延伸到科技、文化、哲学、美学和人类精神的广阔领域,以帮助学生形成一个正确的数学观和世界观。
二、模块教学的知识体系
建构主义(constructivism)也译作结构主义。建构主义认为,学习是学习者主动建构内部心里表征的过程,是学习者通过原有的认知结构,与从环境中接受的感觉信息相互作用来生成信息的意义的过程。按照建构主义的观点,教师注意的重点并不在教材上,而在学生的“认知过程”,教师必须了解学生在各个阶段的认知发展特点,才能按照学生的实际水平施教。
高中课标课程下的模块教学不仅考虑到数学自身的特点,更遵循了学生学习数学的心理规律,以学生已有的经验为基础,帮助学生构建自己的数学知识。由于模块教学顺应了建构主义理论,因此高中课标课程下实施模块教学能更好地发挥学生的主动性,使学习更有效。
虽然皮亚杰的儿童智力发展理论不适用于高中学生,但对刚刚从儿童状态走出到了青年状态的高中生,仍然留有儿童的部分心理特征,又具有青年人判断清晰、思路敏捷、向往社会、敢做敢为的心理。这个年龄段的青年人,不仅仅需要学习系统的理论知识,更需要学会选择,根据需要选择适合自己,对自己今后发展有用的知识。课标教材按照“人人都学有用的数学”“人人都能获得必要的数学”的要求,精心选取了作为数学学科中基础而必备的知识,作为所有高中生最基本要求。
对一些传统的知识,如立体几何、三角恒等变换等,只要求基本概念和基本的关系性质,尽可能地放低要求,删减了过于传统中过于复杂的内容,另外增加对于现代社会非常需要的知识,如算法、信息安全与密码等这些具有广阔应用前景的新内容。新课标把课程结构模块化,分散知识难点,使能力形成分散,关注学生学习心理。
三、模块教学存在的问题与解决对策
(一)模块教学与知识体系问题
螺旋式上升,设想美好,但实施不尽如人意,有的因为科学是知识体系,数学学科的系统性更有其鲜明特点,课程章节之间有紧密的逻辑衔接关系,必须循序渐进,不成体系的知识是难于学习的,只有了解了其前后的逻辑关系,才能更好地理解。模块教学要求小步走,螺旋式上升,知识体系被打乱,一种知识分成几个不同部分,分散于不同模块,不成体系,导致跳跃式地讲授知识,各个模块难以整合。
例1.课标课程把解析几何部分内容分别安排在《必修2》和《选修1-1》(文科)或《选修2-1》(理科)中,割裂了直线、圆和圆锥曲线之间的内在联系,特别是关于解析儿何的思想方法上。新教材在讲解解析几何的两个部分间隔了一年多的时间,这有可能导致学生学习知识的遗忘和能力发展的间断,也对教师授课带来不便,从而加重学生的负担。
(二)模块教学中内容多与课时紧的矛盾
模块教学实施过程中,教师反映最为强烈的问题是:内容多与课时少之间的矛盾如何解决?按规定每周上4个课时,但教师都感觉到不易完成教学内容。即使能在规定时间内完成,学生掌握得也不好,回圈吞枣。跟以往相比,现在一个学期学两本必修,普遍认为课程内容增加了很多,上课赶进度的现象更加突出,很难对知识点进一步深入研究,对知识的理解如“蜻蜓点水”,学得不深入,掌握不牢固。
(三)学科渗透与学科协调问题
随着科学技术的发展,各学科之间的交叉、融合越来越多,数学与各个学科的相互渗透也越来越强,正如《课标》中指出的:“要将数学与其他学科密切联系起来,从其他学科中挖掘可以利用的资源。”课标教材确实凸显这一理念,强化学科间的融合,基本上达到培养学生跨学科能力,激活学生学数学并用数学知识去解决相关学科问题的目的。但是有些地方也出现了学科不协调的问题。
例2.数学中用到了物理知识,但学生往往还没有学过,课程教学进行得很困难。物理学习中也反映出三角函数不讲授,物理课程不能进行。因此出现了数学课上讲物理、物理课上讲数学的怪现象,这样必然会导致后面的重复学习,增加了学生的学业负担,也从一定程度上增加了教师的备课难度。
模块教学是新课程的一个亮点,目的是帮助学生形成数学思想和解决问题的能力。在传授知识的同时,还要重视数学思想和方法的形成过程,而且,适当加强不同知识模块的关联性,使学生形成较完整的数学思想和解决实际问题的方法。
参考文献:
对于数学建模的认识和理解范文6
大部分学生认为学习数学的目的是为了高考，学习数学的用处是应付考试。使得高中数学的教学不能发挥出它的优势，让学生产生错误的认识。我认为，高中数学教学是一种“目标教学”。一方面，我们一直想教给学生有用的数学，但学生高中毕业后如不攻读数学专业，就觉得数学除了高考拿分外别无它用；另一方面，传统的教学方式的确是提高了学生的应试“能力”，但是学生一旦碰到陌生的题型或者联系实际的问题却又不会用数学的方法去解决它。本人从事数学教学有十余年，仅对教学中培养学生的建模意识，谈一下个人的认识。
一、什么是数学模型
数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构，数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念。各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型。例如：二次函数就是一个数学模型，很多数学问题甚至实际问题都可以转化为二次函数来解决。而通过对问题数学化，模型构建，求解检验使问题获得解决的方法称之为数学模型方法。
二、培养学生数学建模意识的基本途径
1、教师应首先需要提高自己的建模意识
中学数学教师除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断地学习一些新的数学建模理论，并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活，在教学中要改变传统的教育观念和教学观念。
2、数学建模教学应与现行教材相结合
教师应研究在各个教学章节中可引入哪些模型问题，如讲立体几何时可引入正方体模型或长方体模型把相关问题放入到这些模型中来解决。要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生去研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力。
3、注意与其它相关学科的联系
由于数学是学生学习其它自然科学以至社会科学的工具而且其它学科与数学的联系是相当密切的。因此我们在教学中应注意与其它学科的呼应，这不但可以帮助学生加深对其它学科的理解，也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径。例如教了正弦型函数后，可引导学生用模型函数y=Asin（wx+Φ）写出物理中振动图象或交流图象的数学表达式。这样的模型意识不仅仅是抽象的数学知识，而且将对他们学习其它学科的知识以及将来用数学建模知识探讨各种边缘学科产生深远的影响。
三、教学中注意培养学生的创造性思维能力
在数学教学中培养学生的建模意识实质上是培养学生的创造性思维能力，因为建模活动本身就是一项创造性的思维活动。它既具有一定的理论性又具有较大的实践性，而且在建模活动过程中，能培养学生独立，自觉地运用所给问题的条件，寻求解决问题的最佳方法和途径，可以培养学生的想象能力，直觉思维、猜测、转换、构造等能力。而这些数学能力正是创造性思维所具有的最基本的特征。
1、发挥学生的想象能力，培养学生的直觉思维
通过数学建模教学，使学生有独到的见解和与众不同的思考方法，如善于发现问题，沟通各类知识之间的内在联系等是培养学生创新思维的核心。
2、构建建模意识，培养学生的转换能力
由于数学建模就是把实际问题转换成数学问题，因此如果我们在数学教学中注重转化，用好这根有力的杠杆，对培养学生思维品质的灵活性、创造性及开发智力、培养能力、提高解题速度是十分有益的。
3、以“构造”为载体，培养学生的创新能力
我们前面讲到，“建模”就是构造模型，但模型的构造并不是一件容易的事，又需要有足够强的构造能力，而学生构造能力的提高则是学生创造性思维和创造能力的基础：创造性地使用已知条件，创造性地应用数学知识。因此，只要我们在教学中教师仔细地观察，精心的设计，可以把一些较为抽象的问题，通过现象除去非本质的因素，从中构造出最基本的数学模型，使问题回到已知的数学知识领域，并且能培养学生的创新能力。
