高一数学解题公式范文1
关键词：高中数学；一题多变；学生
在高中数学教学中，很多数学教师习惯于采用“题海战术”帮助学生掌握数学知识，提高学生的数学分析能力和解题能力，但是如果始终采用这种方法，会使很多学生产生单调枯燥的感觉，从而使其对数学学习失去兴趣. “一题多变”可以让学生通过不同的思路找到多种解题的方法，既可以帮助学生实现数学知识的灵活运用，又可以减轻学生解题的负担，使学生乐于学习、善于学习. 笔者在从事高中数学教学的过程中一直注重“一题多变”教学手段的合理运用，在本文中对实施的具体细节进行阐述，以期对高中数学的教学质量和学生的数学能力的全面发展的提供一点积极的效应. 具体如下：
[?] 注重在公式推导中“一题多变”，帮助学生掌握数学基础公式
高中数学中的公式有很多，掌握公式及其应用不但可以简化学生的解题思路与过程，而且对学生理解教学内容有很大帮助. 但是很多高中数学教师和学生只注重公式的应用，而忽视了对公式的推导，认为推导只是帮助学生记忆公式，其重要性不能与应用相提并论；认为在课堂教学中推导公式只是浪费时间，并没有太大的作用，从而使得学生对公式的理解有限，在解题中灵活应用公式更是无从谈起. 所以在高中数学教学中应注重公式推导中的“一题多变”，为学生熟练应用公式解题打下坚实的基础.
例如：高中数学教师在推导三角函数中二倍角公式时，可以从两角和与差公式进行推导，也可以采用向量知识进行推导，尤其是在推导余弦函数二倍角公式时，可以将其与三角函数的基本关系式相互结合起来，从而推导出余弦函数二倍角公式的三种形式. 这样变换不同的思路与推导方式，既可以帮助学生将数学知识串联起来形成有机整体， 又可以让学生清楚了解公式的来龙去脉，在加深对公式推导过程理解的基础上做到灵活应用.
[?] 注重知识讲解时“一题多变”，加深学生对知识的理解与掌握
高中数学教学内容中涉及很多的概念、定理与公理，而掌握和理解这些教学内容对学好高中数学至关重要. 如果高中数学教师在课堂教学中只是简单地照本宣科，那么学生对抽象、深奥的数学知识的理解则会较为片面，无法在应用时做到游刃有余，所以高中数学教师在知识讲解时可以采用“一题多变”的方式，从而达到教学相长的目的. 高中数学教师在讲解抛物线中焦点弦的问题时，就可以通过“一题多变”的方式让学生理解与掌握此知识点.
例1 已知过抛物线y2=2px焦点的一条直线与其相交，设两交点A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1・y2=-p2.
变式1：求证：过抛物线焦点弦两端点的切线和抛物线的准线三线共点.
变式2：求证：过抛物线焦点弦两端点的切线相互垂直.
点评：例题的证明并不难，但是其结论对于学生理解和应用焦点弦却非常重要，在学生明白焦点弦的定义及其结论后，数学教师可以采用“一题多变”的方式，加深学生对焦点弦的理解；而学生在例题及变式的证明过程中可以掌握焦点弦的知识，并将其延伸到椭圆与双曲线中，从而有助于构建起完整的圆锥曲线知识体系.
[?] 注重例题讲解中“一题多变”，引导学生学会融会贯通
虽然学生是教学活动的主体，但是教师的指导作用至关重要，尤其是在高中数学例题讲解中，教师通过“一题多变”的讲解方式，既可以让学生摆脱繁重的课业之苦，又可以培养学生的发散思维与应变能力，让学生从例题讲解中掌握解题的技巧与规律，对知识做到融会贯通.高中数学教师在讲解函数最值时，可以通过“一题多变”的例题讲解，以循序渐进的方式逐渐加大例题难度，从而使学生对数学知识的综合应用做到得心应手.
例2 函数y=-x2+4x-2的最大值是_______.
变式1：已知函数y=-x2+4x-2，则其在区间[0，3]上的最大值为_______，最小值为_______.
变式2：已知函数f（x）=-x2+4x-2，其定义域为[t，t+1]，求函数f（x）在定义域内的最值.
变式3：已知x2≤1，且a-2≥0，求函数f（x）=x2+ax+3的最值.
变式4：已知函数f（x）=-x（x-a），求x∈[-1，a]上的最大值.
分析：（1）例题非常简单，没有定义区间的要求，只需要将其化为顶点式，即可以求出其最大值；（2）变式1在例题的基础上，增加了定义区间这一条件，分析定义区间与对称轴的关系既可以求出其最值；（3）变式2将变式1中明确的定义区间以参数代替，这样在例题讲解时，数学教师需要分析对称轴与参数之间的位置关系，并依据位置关系确定其在定义区间的最值，在此过程中引入了分类讨论的思想，帮助学生在分析问题时更为条理化；（4）变式3给出了定义区间，但是对称轴中含有参数，仍然需要讨论定义区间与对称轴之间的关系，与变式2稍有区别的是变式2是围绕定义区间进行分类讨论，而变式3是围绕对称轴进行分类讨论，两者虽然形式上有所区别，但是其思路本质却相同；（5）变式4中对称轴与定义区间均含有参数，所以分类讨论相对更为复杂，但是解题的思路却与变式2和变式3相同.
在例题和变式中，从开始的实数范围内的最值求解，到指定区间最值求解，再到对称轴或者定义区间存在参数的最值求解，最后到对称轴和定义区间都存在参数的最值求解，其难度逐渐加大，但是其最值求解的思路基本相同，教师通过逐层递进的方式进行讲解，既可以帮助学生掌握解题方法和技巧，又可以培养学生的分析思考能力.
[?] 注重习题练习时“一题多变”，提高学生学以致用的能力
虽然“一题多变”可以减少学生的作业量，但是对典型例题的练习仍然必不可少.这样既有利于学生通过练习巩固数学知识和解题技巧，培养学生的创新思维，又不会让学生产生枯燥之感，从而提高学生学以致用的能力，使学生即使在遇到新题时也不会轻言放弃，而敢于大胆进行尝试.高中学生在学习数列时，很多学生虽然记住了很多与数列有关的公式，但是在实际解题的时候仍然不知道应该怎么应用，其原因即为练习较少，片面地认为记住公式就可以顺利解题，结果却不尽如人意. 因此，高中数学教师需要以“一题多变”的方式布置练习题，提高学生学以致用的能力.
例3 在数列{an}中，已知a1=1且an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式.
变式1：在数列{an}中，已知a1=1且an+1=2an+n，求数列{an}的通项公式.
变式2：在数列{an}中，已知a1=1且an+1=2an+2n+1，求数列{an}的通项公式.
变式3：在数列{an}中，已知a1=1且an+1=2an+3n+1，求数列{an}的通项公式.
高一数学解题公式范文2
关键词：递推数列；构造法；主体部分拆分法
2014年高考尘埃落定，许多理科考生，数学教师均对新课标高考数学（理科）卷二中的数列解答题议论纷纷，学生都在抱怨，教师高呼超纲超标，笔者仔细观察，发现此题颇值得深入探讨. 笔者就这个问题，从课标、教材以及其他省份的历年高考相关试题进行渊源分析与解法探索，现将我们的思考和读者一起分享.
（2014・新课标高考数学（理科）卷二解答题第17题和教育部考试中心提供的参考答案如下：
[?] 对本题第（Ⅰ）问的思考
首先对照《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）来思考，《标准》中对等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的要求是“掌握”，此题中的第一问的要求是通过构造辅助的等比数列来求通项公式，而且题目中给出辅助数列，要求先证明它是等比数列，再求通项公式，实际上已经降低了构造法的难度. 所以，第（Ⅰ）问不存在“超标” 的说法. 其次，再从教材的角度来看，第（Ⅰ）问的题目原型是普通高中数学课程标准教科书人教A版教材必修5第69页数列复习参考题组第6题：“已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），求这个数列的通项公式”.此题的解答就是通过两边添加项构造辅助的等比数列来解决问题：
由an=2an-1+3an-2，得an+an-1=3an-1+3an-2=3（an-1+an-2），移项得an-3an-1=-（an-1-3an-2），所以{an-3an-1}是等比数列. 由这个辅助数列为突破口就可以解答该题.
本题更远的教材原题背景是来自1995年以前使用的大纲教材――人教版高中数学代数下册的复习参考题：“已知an+1=b，
c・an+d，求数列的前4项及其通项公式.”
对于问题（Ⅰ），其解题起点在于对递推关系式an=3an-1+1的观察，与an=3an-1相比，多了一个常数项1，而an=3an-1是典型的等比数列，可以猜想系数3可能与公比有关，因而确定问题的转化方向――构造以公比为3的等比数列.
数学归纳法的证明过程在此不再赘述.
对于递推数列的通项公式不易求解时，可考虑用赋值法求出数列的前几项，用合情推理猜想出通项公式，再用数学归纳法进行证明，此解法思路成功的关键在于归纳猜想时，要灵活运用“猜结果”与“猜结构”的策略.
以上三种方法比较，显然参考答案提供的构造法思路更简单，解法更简洁.当然后两种方法均有其特点，也指明了在数列的递推公式教学中，教师应关注的几个方向.
[?] 对2014高考新课标卷二17题的第（Ⅱ）问的思考
这是典型的放缩法证明不等式.在此，避开放缩法是否超出课程标准考试大纲不谈，我们只从数学方法的角度来看. 笔者在高考评卷过程中发现考卷中能用参考答案这种方法做出正确解答的并不多见，笔者认真分析了国家考试中心提供的参考答案，感觉该解答与中学生的解题习惯不甚吻合.
放缩法的关键，一是放缩的方向，二是如何把握放缩的“度”的问题. 那从这个参考答案上来看，学生如何确定放缩的方向？如何才能得到3k-1≥2×3k-1？这个思路与学生的认知水平及思维习惯相差甚远. 基于此，笔者提出以下的解法，并将结论做相应的推广.
评注：对于上述解法，应关注其解题思路，剖析解题心理状态.首先观察目标结论：++…+=++…+
上述解题思路当中有两个关键点，第一：向等比数列转化，第二，运用“主体部分拆分法”，拆出主体部分等比数列后，对其剩余部分实施放缩.
受此触动，笔者尝试将上述结论适当推广.
既然可以放大，能否考虑缩小呢？
前两问考查了赋值法，以及运用前n项和公式求数列的通项公式的方法，其中第（Ⅱ）问考点仍旧是构造法，在此不再赘述.
高一数学解题公式范文3
如何针对学生在数列中普遍存在的问题,做好高考最后阶段的复习工作,使我们的复习工作有计划、有针对性、有指导性,使学生对数列问题消除畏惧心理,增加得分率?为此,首先对高考数学中数列的考点进行一下分析。
一、高考数学数列中的考点分析
虽然数列在《教学大纲》中只有12课时,但在高考中,数列内容却占有重要的地位。高考对数列的考试要求是:①理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,能根据数列的递推公式写出数列的前几项或证明其他一些性质。②理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。③理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。
由上述考试要求,我们知道,数列内容的考试试题,应以等差数列和等比数列的相关概念、通项公式、前n项和公式为主线,以数列的其他内容如通项与前n项和公式的关系、递推数列等相关内容为辅助。但从高考新大纲的变化来看,加入了利用递推公式进行数列的相关问题的证明,考察由递归数列派生出来的新的等差或等比数列的相关问题。
二、复习建议
1.加大等差、等比数列通项公式、求和公式的训练力度。
在等差、等比数列的训练中,让学生回到首项和公差(或公比)中去,无疑是非常本色的方法。
例1:如在等差数列{an}中,点(a3+a5+a4+a5+a6)在直线y=2x+1 上,则该数列的首项a1=。
(A)1; (B)-1; (C)2; (D)-2.(答:B)
对于这道试题,采用下标规律而不能自拔者受阻了,回到首项和公差中去的学生(不见得是数学成绩好的学生)轻易解出来了。
例2:各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S2 =74,S3 =111,则S5=。(答:185)
对于这道试题,只记住死结论:在等比数列中, Sn,S2n -Sn ,S3n -.S2n 成等比数列的学生不知从何下手,机械地应用公式Sn=的学生在算出q=1(q=-)( 舍去)后,又发现代入上述公式不成立,只有知道讨论使用等比数列的求和公式的学生才能得到正确的答案。
通过以上两个例子,我们认为,对于数列通项公式和求和公式的训练,应尽量让学生能反复使用最原始的公式,并注意使公式成立的环境,让学生训练到求一般等差数列和等比数列的通项公式前项和公式变得轻松自然为止。
2.加强数列问题的运算训练,教会学生必要的运算检验方法。
高考数学中运算问题,历来令我们在高考一线的教师们头痛,而数列的运算,则将学生的运算水平低下暴露得非常具体。
运算训练从哪里入手?这里有几点建议:①进行单一公式运用的反复训练,特别是针对经过前一阶段检测发现学生普遍应用不过关的公式(如等比数列的前n项和公式)进行相应的训练。②对数列问题的通性通法进行反复训练,使方法的牢固掌握和运算能力的提高同步进行。③对同一方法进行变式训练,一直练到学生运算结论准确为止。
3.有计划地对学生进行数列综合问题的综合运算训练,提高学生的综合运算能力。
4.加强数列证明问题(或与之相关的题型)的训练,此类问题也是学生的一个薄弱环节。
例3.在数列{an}中,an+1=3an+2n +4 且a2= 6
(1)求a1; (2)求证数列{an+2n +2}是等比数列,并求an。
怎样证明数列{an}是等比(或等差)数列?证明(或an+1 -an)是一个与n无关的常数即可。这么浅显的道理,怎么会有大量的学生不知从何下手?原因还是我们的训练力度不够。
对于上述问题,可进行如下变式训练:
1.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2n-2,证明数列{an+2n}是等比数列,并求an。
2. 在数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2n+1+3,证明数列{}是等差数列,并求出数列{an}的前n项和。
递归数列的问题,以上述结构出现的试题降低了求数列通项公式的难度,这样的试题往往是经过逆向编制出来的。
高一数学解题公式范文4
关键词 参数方程 求导法 高阶导数 教学思路
中图分类号：G424 文献标识码：A
一元函数的导数是高等数学的主要内容，学生能否掌握一元函数的求导直接影响到后面知识的学习。由参数方程所确定的函数的导数是教学中的一个重点也是难点，特别是由参数方程所确定的函数的高阶导数，学生学起来普遍感到困难，做题时，往往容易犯错。笔者结合自己多年来的教学经验，谈一谈对这一部分内容的教学改进。
1 由参数方程所确定的函数的导数
如果参数方程
（1）
确定与间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程（1）所确定的函数。
对于由参数方程所确定的函数一阶导数及高阶导数的求法，大多数常用的《高等数学》教材①②中采用如下的处理方式：
设参数方程（1）确定函数 = （），且（），（）在（）上可导，（）≠0，函数 = （）具有单调连续反函数 = （），且此反函数能与 = （）构成复合函数，那么由参数方程（1）所确定的函数可以看成由 = （）， = （）复合而成的函数。利用复合函数的求导法则与反函数的求导法则，就有
2 原有的教学思路
在以前的教学中，通常采用如下的教学思路：首先讲解一阶求导公式（2）的推导过程，然后求高阶导数时一再强调是对求导，所以求高阶导数时，仍需利用复合函数的链式求导法则，先对求导再乘以对的导数，即
= （）= （）・
从而推导出公式二阶求导公示（3）。按照这样的思路讲解后，发现学生对由参数方程所确定的函数的一阶导数掌握得还可以，但求高阶导数时总容易出现下列的错误解法。
例1 设确定是的函数。求，。
有些学生的解答如下：
很显然，上述解答中二阶导数求解是错的，正确的解答应该为
通过作业发现，犯这种错误的学生还比较多。细究其中的原因发现学生对前面刚学习的复合函数的链式求导法则与反函数的求导法则掌握欠佳，这样直接导致对求导公式（2），（3）的推导不理解。但因为一阶导数有简洁的求导公式（2），学生容易记住。尽管有的学生可能一时还不理解公式（2）的由来。但只要记住了公式，就能求出一阶导数。而求二阶导数虽然有公式（3），但比较复杂，不易理解。而且学生只是认为求二阶导数就是对一阶导数再求一次导，却忽略了对谁求导的问题，从而导致了求二阶导数的错误做法。
3 新的教学思路
在发现学生在学习过程中存在的问题并对其原因进行分析后，决定改进以前的教学思路，采取如下的教学过程：
第一步，仔细讲解一阶求导公式（2）的推导过程，并选几个例题让学生熟悉并牢记一阶求导公式（2）；
第二步，引导学生明白既然是的函数，那么它的一阶导数也应该仍是的函数。但从前面的例题的结果中发现中的变量仍为，比如例题1中 = 。事实上，一阶导数仍是由参数方程所确定的函数，所以，应该表示为
（4）
第三步，既然一阶导数是由参数方程（4）所确定的函数，而求二阶导数就是一阶导数再对求导。故只需要再一次使用由参数方程所确定的函数的一阶求导公式（2），便可得到二阶求导公式，
= （）=
即 = （5）
公式（5）就是由参数方程所确定的函数的二阶求导公式，与其一阶求导公式在形式上是一致的。
例2 设确定是的函数。求。
解： = = =
因为仍然是参数方程，故
= = = =
按照这种方式讲解以后，学生就很少犯例题1解答中那样的错误。而且这样讲解的好处是不仅使二阶导数的求导变得简单直观、容易理解， 而且对于更高阶导数也是如此。
与二阶求导公式类似，我们有
=
例3 在例题2中，求。
解： =
=
=
=
从以上可以看出，在新的教学思路下，由参数方程所确定的函数的高阶导数的求法变得很直观。只要理解和记住了一阶求导公式，那么求任意阶导数都迎刃而解。
高一数学解题公式范文5
一、搞好初高中知识衔接，加强体系化教学
高中数学的三大主干内容在初中甚至在小学数学中就有所涉猎，在刚刚升入高中阶段，一定要给学生搭建实实在在的知识迁移平台，而不能把高中数学与初中数学的关系轻描淡写，过于神话高中数学的抽象性，把学生带到云里雾里。人的身体、心理发展是循序渐进的，知识的接受和运用更要循序渐进。在高中的第一节数学课堂上，向学生做好教学内容介绍，讲清楚知识体系，它是如何由初中知识发生、发展而来的，重点阐明它以后的发展方向和程度，让学生有个方向感和熟悉度，给学生一颗定心丸，以消除学生对高中数学的恐惧感。
二、把握新知识的生长点，加强体系化教学
在教学中追根述源，注重旧知识的合理再现，准确地把握新知识的生长点。例如，在讲解求函数值域这一知识点时，为了增强可操作性，我把初中就熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数作为基本函数，以基本函数作为生成元，合成多项式函数、分式型函数、含无理式的函数等，理清新函数与基本函数的内在联系和外在形式特征，依托旧知识生成新问题。随着学习的逐渐深入，基本函数的队伍逐渐壮大，这些函数以四则运算或复合的合成方式有规律地创设出精彩纷呈的函数家族。把基本函数和合成方式的掌握做为主线，使学生对函数值域的认识达到形散而神不散的意境，使函数值域问题有章可循。
三、构建合理的知识网络，加强体系化教学
高中数学贯穿着概念、定理、公式教学，不但需要理解，还需要记忆，只有牢固记忆概念、定理、公式，才能灵活应用。为了提高学生记忆的准确性和持久性，我在教学中帮助学生构建合理的知识网络。《三角函数》这部分内容公式较多，公式的记忆给学生带来很大负担，公式记得混乱成为解决与三角函数有关问题的障碍。为了解决这个困扰，我在教学中进行了“减少”记忆量的尝试。以任意角三角函数定义为中心，生成第一层次公式：同同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和的余弦三角函数公式；再以第一层次公式中的一个或两个为基础生成第二层次公式：二倍角公式、两角差的三角函数公式、“升降幂”公式。其中只要牢记任意角三角函数定义，掌握生成其它公式的规律，就实现了三角函数知识网络的构建。这样三角函数公式记忆就变成一个定义、三个公式（第一层次），把学生从“混乱”中解救出来，合理清晰的知识网络有利于学生记忆的准确性和持久性。
四、探索解决问题的方法，加强体系化教学
为了解决学生普遍存在的能“听会”、不“会想”的问题，我在教学中以达到解决问题的目的为主线，广开思路，群策群力，搜集相关的定义、定理、公式，形成解决问题的方法链条，这样能有效地促使学生有所思、有所想。解决问题链条化的知识是死的，但运用的方向、整合的方法是灵活的。有所思、有所想不是目的，有所作为圆满解决问题才是终极目标。
高一数学解题公式范文6
[关键词]高年级数学；逆向思维；培养
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）20-0073-01
逆向思维是一种知本求源、由果溯因、正难则反的创造性思维。在小学高年级数学教学中，教师不仅要向学生传授知识，还要重视学生思维品质的培养，鼓励学生敢于打破常规，克服思维定式，学会逆向思考，从而培养学生思维的全面性、灵活性和深刻性。
一、开展概念与定义教学，正反理解
数学概念与定义是基础知识，是解决数学问题的前提条件。学生只有清晰且准确地理解和掌握数学概念与定义，才能灵活运用知识解决实际问题。但在平时的学习过程中，不少学生都是死记硬背，对数学概念与定义的理解并不全面、深入，只要题目稍有变化，学生就容易掉进“陷阱”。从数学教材本身来看，每个数学概念与定义都有其对应的逆命题。因此，教师可以引导学生从正反两方面来深入探寻数学概念与定义的本质，加深学生对数学概念与定义的理解。
例如，苏教版五年级下册“简易方程”中“方程的解”的定义为“使方程左右两边相等的值，即为方程的解”，反过来可以理解为“将方程的解代入原方程中，可以使原方程左右两边的值相等”，这就是“方程的解”的定义的逆命题。在小学高年级数学教学中，教师要善于借助教材里的数学概念与定义，引导学生比较互逆的概念与定义，促使学生通过正反双向认识、理解概念与定义的本质，从而培养学生的逆向思维意识。
二、借质与公式教学，逆向叙述
小学数学中还存在众多可逆的性质和公式，教师若能在教学中巧妙地运用这些可逆的性质和公式，既可以让学生学会融会贯通，又可以培养学生的逆向思维能力。
另外，对于一些数学问题，往往能“逆用”数学公式来解决，从而达到化繁为简的目的。在平时的学习过程中，学生总是习惯于运用正向思维认识、记忆数学公式，对数学公式的逆运用感到很陌生，所以，遇到一些难题或特殊问题时，学生就无所适从，学习兴致不高，甚至产生挫败感。因此，在小学高年级数学教学中，教师要注意将对学生逆向思维的培养融入公式的讲解与运用之中，拓宽学生的思维空间，引导学生逆向运用数学公式解决问题，提高学生的解题效率。
三、利用习题与应用教学，逆向推导
做练习是巩固知识、深化理解、掌握方法、培养思维、提升能力的重要途径。许多学生在做题时，由于受思维定式的影响，往往只会用固定的方法分析问题，从而导致有些题越解越复杂。因此，在小学高年级数学教学中，教师要注意巧设有针对性的习题，引导学生学会正难则反，逆向推导，从而找到解题的切入点和突破口。
例如，指导学生求解分数应用题时，教师可出示这样一道题：“一条公路，第一周修了全长的1/4还多50米，第二周又修了余下的1/5还多18米，这时还剩下182米没有修完。这条公路全长多少米？”
分析：本题是一道典型的逆向思维题，可以逆向推导。先根据题意求出第一周修路余下的米数，即（18+182）÷（1-1/5），然后加上50米，再除以（1-1/4），即可得出这条公路的全长。
解：（18+182）÷（1-1/5）=200÷4/5=250（米）
（250+50）÷（1-1/4）=300÷3/4=400（米）
答：这条公路全长400米。
