数学分析论文范例

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数学分析论文

数学分析论文范文1

合理分组是分组合作学习的重要环节,与小组合作学习的效果有着紧密的联系,也关系到美术教学的整体质量。分组的主要目的是强化学生的合作意识,使之形成协作精神。教师应利用科学的方式将学生分为不同的类型,综合考虑其性格、接受能力、学习态度、成绩等,分为A、B、C三类,充分尊重学生的意见进行分组搭配,并保障各组中均有该三类学生,使其能够相互扶持,互相学习,共同进步。教师对小组进行分析,根据小组成员的特点及长处进行相应的指导。小组成员可以相互讨论,发表自己的意见,充分表现自己的个性,并了解其他成员的想法,这有利于细化成员的各项分工,保障小组合作学习的效果及质量。教师可以任命手工能力较强或者组织能力良好的学生担任组长,其能够带动小组成员积极参与合作学习,或者很好地组织小组的各项活动。但是组长也需要轮换,才能使得小组成员学习积极性更高,更有责任感,且不会出现内部矛盾。

二、小组竞争

在各小组之间设置合理的竞争,是构建小组评比激励制度的重要方法,能够有效提高小组学习的效果。在该方法的实践过程中需要避免出现个人主义,而重视团体的综合实力能够让学生各方面均有所提升,如语言表达、自律性、色彩表现、创新设计、对学习内容的安排等。各小组成员应具有较强的集体意识和荣誉感,更积极地参加小组学习的各项活动,与其他成员积极讨论,充分表达自己的意见,为小组合作活动积极思考对策,更好地完成学习任务。在学习《蔬果的剖面》一课时,学生均需要参与该课题的小组学习,对各类蔬菜进行观察与分析,包括颜色、形状、造型等,每位小组成员可以在条件允许的情况下,任意选择蔬菜进行绘画,或者发挥想象力,采用夸张的方式表现自己想象的蔬菜。成员将完成的作品交给组长,由组长将其贴到指定的位置进行展示,构成了丰富多彩的蔬菜世界。最后进行小组之间的评比,利用这种竞争方式,能够提高小组成员的团结程度,也使得美术课程充满了乐趣,提高了学生学习的积极性。

三、课题选择

每位学生的性格、接受能力、美术基础、兴趣等差异较大,且各个学校的条件也不同,美术教学的课堂效率及质量也会存在较大差异。因此,在分组合作学习的过程中,教师应根据学生及学校的实际情况科学选择课题,合理安排课程内容,这样不仅能够顺利完成教学任务,也能获得良好的教学效果。如,《元宵节里挂彩灯》一课的教学,就可以运用分组合作的学习方法。教师先将学生分为若干小组,小组成员对教材内容进行探讨,并根据各自的优势与特长进行细致的分工,包括研究彩灯的形状、结构、色彩,利用各种工具进行制作、结构拼装等,最后制作成品。在该过程中,教师需要给学生充分的自主权,在关键环节则需要进行一定的点拨、引导,如彩灯的拼装,教师可以教授一些技巧等。学生在分组合作学习的过程中,充分体会到操作的乐趣,提高了学习热情,积极参与活动。教师需要做好活动的组织及指导工作,适当调节课堂气氛,并及时巡查各组的活动情况及学习效果,鼓励学生,及时帮助其克服困难,解答疑问,指点方向,以提高学生的学习效率。

四、科学评价

科学评价分组学习的效果,能让学生充分认识到前一阶段的学习情况,总结经验,分析和反思不足,对于自身小组及其他小组的优势、缺点等有更多的了解,在今后的活动中弥补不足,充分发挥优势。对于小组的评价,需要先制定评价标准,学生美术作品创作的速度、质量、数量、色彩搭配、创新情况,学生对于作品内涵的理解,各小组的合作情况,等等,均可纳入评价机制。对学生的评价要公平、公证、客观,教师不仅需要适当指出其不足之处,更应对于其特点及优势进行说明、鼓励,使其不骄傲、不气馁,在今后的学习中扬长避短,优化学习效率,使教学效果更加显著。

五、结语

数学分析论文范文2

(一)现代信息技术下的大学英语教学特点

教师们几乎达成共识,在各门学科教学中,与信息技术发展联系最为紧密的是外语。目前,多媒体教学已经广泛应用于大学英语教学,且随着互联网、移动技术的日渐成熟,大学英语学习与教学环境发生了巨大转变:学习资源丰富,教学媒体技术含量高;以学生为中心,自主性要求高;学习方式多样化。学生由以前单一的、被动的接受学习变成自主探索、发现、协商等多种形式的学习。学生的学习范围和交流对象也随着网络而延伸。

(二)分布式认知理论对大学英语的指导意义

分布式认知把认知看作一种包含多个主体和多样技术,协调内外部表征,且有助于提供动态信息加工的系统。语言学习尤其如此,对大学英语的学与教具有重要实践指导作用。

1.有效运用认知合作性学习策略。

认知合作性学习不同于传统的、封闭式的学习模式,其特点是学生、教师、多媒体、网络、移动设备等共同构成了一个大学英语学习共同体,把英语语言知识、认知工具等要素联系起来,引发学生思维之间的讨论、追问、重组,运用交互的形式,达到促进英语知识建构与英语应用能力的提高。怎样开展认知合作性英语学习呢?首先,有效运用课外网络学习,使之成为课堂学习的有效补充。比如,很多高校选用的新视野大学英语系列教材,在互联网上有相应的“外研社大学英语教学管理平台”,其中内容设计丰富,有网络版的《读写教程》和《视听说教程》,更有在线答疑、作业、教学评估及上传资料等栏目。这样,学生可以及时通过网络资源进行预习、课程总结、解答疑惑。其次,充分利用现代信息技术促成学生之间、师生之间的相互交流。目前交流工具除了QQ、博客等,已广泛应用微博、微信、脸书、推特等方便快捷的方式。大学生之间关于英语问题的交流、讨论、争辩、整合等一系列的协作努力可以开阔个人的视野,生成更丰富灵活、利于解决问题的新信息。老师也可以根据学生的实时反馈,及时调整教学内容,改进教学方法。另外,教师应鼓励、引导学生共享一些图文并茂、音像交融、动静结合的英语网络资源。比如常用的英语网站有普特英语听力、沪江英语、英文阅读网、英文写作网等,信息的集聚与共享是进行协作学习的基础。

2.注重协调、设计英语学习环境。

分布式认知理论这一视角较为强调学习环境。学习环境的设计是为了使学生充分利用各种认知工具、认知信息资源,以更好地促进知识建构。第一,教师指导学生有效使用网络、多媒体、移动技术。面对数量庞大、复杂多样的英语资源,有些学生觉得手足无措,教师应及时积极引导学生获取、筛选信息,如告知搜索引擎的使用技巧、学习网站导航的使用方法等,使学生不偏离主题。第二,教师需要对学生的课堂内外英语学习进行充分的教学设计。除了关注教学的基本过程,教师还必须注意学生的学习过程以及教学管理的过程,尤其是在线学习、合作学习,要做好检查工作。教师自己的教学策略,对学生的学习策略的运用则显得尤为重要。以欣赏英文电影为例,教师应指导学生恰当使用字幕,第一次观看选择无字幕,可以集中注意力,再选择英文字幕,以便核查是否听力有误。同时注重观影方式,将“泛看”与“精看”相结合,做到由浅入深。第三,教师要加强学生的心理辅导。信息技术环境下的英语在线学习、自主学习使基础差的学生不像传统课堂那样充满尴尬、焦虑,可以自己安排时间,进行个性化的学习。但是,也使相当一部分学生在时间上无法保持必要的连续性,注意力不集中,加之,缺乏对学生面对面的督促和监管,无法保证其学习质量。因此,英语教师必须针对这些情况,适时地做有效的知识辅导和心理指导。

3.为大学英语教学资源和新型的教学模式提供了理论依据。

分布式认知理论视角下的教育教学强调要信息共享,建立学习共同体以及与媒体环境的结合,注重交流、互动,进行协作学习。这为近来蓬勃发展的“微课”、“慕课”及“翻转课堂”提供了理论依据。“微课”的主要特征有:流媒体播放视频、动画等;资源容量较小,适于基于移动设备的移动学习;完全的、精心的信息化教学设计;具体的、典型案例化的教与学情景;供学习者自主学习的课程。师生可流畅地在线观摩课例,也可灵活方便地将其下载保存到终端设备(如笔记本电脑、手机、MP4等)上实现移动学习、泛在学习。慕课,是为了增强知识传播而由具有分享和协作精神的个人组织的网络上的开放课程。其授课形式是将分布于世界各地的授课者和学习者通过某一个共同的话题或主题联系起来,通常会包括每周一次的讲授、研讨问题等。“翻转课堂”则是一种教学模式,让学生先完成知识的学习,而课堂变成了师生之间和生生之间互动的场所,包括答疑解惑、知识的运用等。由此不难看出,这些新型的英语教学资源及教学模式的特征与分布式认知理论在教学领域的观点不谋而合,学生可以通过互联网使用优质的教育资源,不再单纯地依赖授课老师教授知识。

二、分布式认知理论对基于信息技术的大学英语教学的启发

1.英语教师角色的变化。

分布式认知理论观点认为教师是意义建构的合作者、引导者、探讨的参与者,动态的协调者。在大学英语学习中,积极有效利用现代信息技术有巨大优势,学生以自主学习和协作学习为主,形成“以学生为中心”的学习模式,这看似教师作用体现不充分,实则属于教师的角色发生了变化,因为学生个人的英语基础、悟性、自控能力、学习风格等完全不同,非常需要老师的引导,教师的主导作用分为“导情趣、导操作、导质疑、导讨论、导交流”,教师与学生的关系由原来的“权威—服从”关系转变为“指导—参与”关系。

2.英语学习策略培训的必要性。

在信息化英语学习环境下,影响学习策略的因素更为复杂。由于网络环境的自由性和开放性,学生急需得到元认知、认知策略的培训和指导:学会分析什么因素影响了学习过程和结果;学会监控、评价和调节自己的学习行为;在学习过程中会进行自我诊断,以了解自己的弱势。在实际的教学过程中,教师可以根据学生的兴趣和认知发展水平,对班上英语水平不同的学生选择恰当的培训内容并进行针对性的策略指导。当然,学习策略的有效性取决于很多因素,例如英语学习任务的性质、学习者的个体差异(性别、年龄、学习经历、学习风格等)。有时也需要从补偿策略和情感策略入手,补偿策略可以解决学生在网络学习中因无法及时获得必要的外界支持而面临的问题,情感策略可弥补学生由于网络缺乏人文氛围和情感熏陶带来的失落感。

三、结语

数学分析论文范文3

(一)小学阶段信息技术课的普及程度不同

我曾经在刚入学的七年级学生当中作过一个调查,很多农村学生小学阶段学校教学资源匮乏,根本没有上过计算机课,而城里的学生则从三年级就开始了计算机的系统学习,这就造成了升入初中后的两极分化,这种差距是特别明显的。

(二)由于学生的家庭经济状况和学习条件不同也会造成学习效果的较大差异

条件好的学生,家里备有电脑,从小就开始接触,很多上课时俨然就是一个小老师,能够替教师帮助其他同学完成课堂教学活动,而家里没有电脑的学生只能在学校计算机课上学习到相关知识,下课后就没有了上机的机会。

(三)学生的学习能力、自身素质和学习态度各不相同

有些学生对计算机知识有着极大的学习兴趣,这就激发了他们认真学习的动力,他们能够积极主动地探索学习,教学效果明显,而有些学生学习能力不强,学习欲望不够强烈,总是被动接受知识,学习积极性不高,学习效果不显著,差距越来越大。针对这种状况,如果用原来教师讲学生听的传统教学模式,将同样的知识传授给差异巨大的学生,教学效果可想而知。鉴于这种情况,教师就要改变自己原有的陈旧的教学模式,针对不同学生进行分层教学,以提高每个学生的学习水平。

二、分层教学的理论基础

在教学过程中进行分层教学就是要根据不同学生的心理特征、个性特点和学习能力,分层次地设计教学目标,针对不同的学生运用不同的教学方法,使每个学生都能有所提高。在进行分层教学时尤其要重视学生在青春期的心理变化和智力水平的差异性,分层指导、因材施教,让全体学生掌握基础知识,同时又要让每个学生的素质都能够有所提高,促进每个学生的个性发展。

三、如何进行分层教学

要想进行分层教学,首先要将学生进行分层。那么怎样把一个班的学生进行分层呢?首先,我在班内对学生进行了一个基本情况的了解,包括他们对于电脑是否感兴趣、家里是否有电脑、小学是否学习过计算机等等。对学生有了基本了解之后,我在教学过程中认真观察他们的学习状态,根据他们逐渐出现的分化现象把学生分为高、中、低三个层次,高层次的学生为计算机优等生,他们对计算机学习有着浓厚的学习兴趣,能够积极主动地去探究计算机知识,这些学生有较好的电脑知识基础,理解能力强,实践操作能力强;中层次的学生为中等生,他们有一定的电脑知识基础,理解能力不错,但是对于计算机学习缺乏主动性,总是被动接受知识,没有强烈的探索欲望;低层次的学生为学困生,这些学生电脑基础差,理解能力差,对学习计算机的兴趣不高,因此不能积极主动地学习。当然,对于学生的分层不是一成不变的,因为学生的学习情况是在不断变化的,通过层次的不断调整可以激发学生积极的学习态度,提高教学的效果。除了学生分层,教学也要进行分层:

(一)教学目标要分层

在设定教学目标前,教师要认真钻研教材,根据教学大纲的要求和学生高、中、低三个层次来制定不同层次的教学目标。高层次的学生在掌握基本知识目标的基础上,应在实践操作能力方面有较大的提高,因此主要培养他们的自学能力和操作技能;中层次学生在掌握基本知识目标的基础上,操作实践能力也要有所提高和拓展,达到教学大纲的要求;低层次学生应掌握基本的知识目标和技能,在这些基础上有所突破。

(二)课堂教学要分层

课堂上开展形式各异的教学活动要根据不同层次学生的学习情况设计开展,要做到使不同层次的学生都能够在课上有所收获,有所提高。

(三)课堂练习要分层

信息技术和其他学科有所区别,它更侧重培养学生的实践操作能力。教学大纲中要求学生的操作时间要占整节课的70%,所以课堂教学中的实践操作环节是非常重要的,教师要针对不同层次的学生设计好练习题,学生的操作能力就能得到很大的提高。

(四)课堂测验要分层

在学习一个阶段后,教师要根据学生这一阶段所学的计算机知识进行综合性测试,当然,这些综合性的测试也是分层次的,这样既能测试学生的学习效果,又不打击后进生的学习积极性,让他们也能体会到成功。

(五)教学评价要分层

教师对于学生的评价也应该是分层次的。对于高层次的学生标准要高,使他们能够谦虚认真,不断提高自己;对于中等生要指明努力方向,激发学习热情;对于后进生要多表扬少批评,肯定他们的点滴进步。

四、结语

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1.1纳入与排除标准

(1)纳入文献标准:纳入研究类型为分组设计的随机对照试验;试验组干预措施为采用WPBL教学,对照组采用常规教学方法;研究对象为继续医学教育学员;结局指标:理论知识或学习成绩、业务能力和工作表现、参与者满意度。(2)文献排除标准:①剔除重复报告、质量差、报道信息太少及无法利用的文献;②试验组未采用WPBL教学;③未涉及结局指标等的文献;④无法获得WPBL教学效果分析数据的文献。

1.2检索策略

计算机检索PubMed、EMbase、CochraneLibrary、万方数据库、中国期刊全文数据库(CNKI)、中文科技期刊全文数据库,并辅以手工检索和追踪检索纳入文献的参考文献以及向作者索要全文及原始数据。检索方法:(1)中文:“网络环境下基于问题的学习”,“基于问题的学习”,“实践”,“以学习者为中心”,“继续医学教育”;(2)英文:problem-basedlearningonweb,problem-basedlearning,practice-based,self-directed,learner-centered,andactivelearning,combinedwithcontinuingmedicaleducation;(3)语种仅限为中文或英文,检索文献起止时间均从2000年1月建库~2014年12月,限定为随机对照试验。手工和在线查找相关文献的参考文献。

1.3研究方法

筛选所有“网络环境下基于问题的学习”和常规传统教学模式比较的文献。进行质量评价和资料提取,确认试验符合纳入标准,独立记录试验特征及结果,交叉核对结果。纳入研究的方法学采用Jadad量表的质量评价标准进行评定,对纳入研究的文献进行质量评分,包括是否随机分配、随访情况、意向性分析、是否盲法设计、基线可比性,每项满分10分,超过25分为高质量文献,低于25分为低质量文献。统计学分析将文献按Meta分析的要求整理、核对数据,采用Cochrane协作网提供的RevMan4.2软件进行统计分析。若临床试验提供的数据不能进行Meta分析时,则只对其进行描述性分析。

2结果

2.1文献纳入情况

按纳入标准进行筛选,最终有8项文献符合纳入标准。文献发表时间2002~2013年,包括英文和中文文献。

2.2纳入研究的方法学质量评价。

纳入的8个研究中提及采用随机对照的方法,1个采用了双盲法,7个对随机分配方案基线具有可比性,8个试验中,Jadad评分超过25分的7个,低于25分1个。

2.3PBL对远程医学继续教育的影响

在提高专业理论知识以及考试成绩方面:6个研究评估了两种教学模式对提高知识和考试成绩的影响,其中4个研究取得阳性结果,另外2项研究结果显示两种教学模式对提高专业知识方面无差异:Short等、Harris等以及Stewart等研究结果显示,WPBL组学员在接受WPBL教学后知识与考试成绩提高,与对照组相比存在显著性差异(P<0.05)。郑丽君等对照组以授课为基础的学习(lecture-basedlearing,LBL)教学法进行业务学习,观察组以WPBL法进行业务学习,研究结果显示,WPBL组理论考试成绩优于对照组(P<0.05)。相反,Cook等比较了两组学员在接受WPBL教学或传统教学模式前后专业成绩和知识应用的变化,研究发现不管是WPBL教学或传统教学模式都能够提高专业成绩和知识应用(75.0±0.1vs.74.7±1.1,P>0.05),两种教学模式对成绩的影响差异不显著;Hugenholtz等发现短时间的WPBL未能体现出其优越性,与以授课为基础的学习的传统教学模式在提高知识能力上的效果相似。在提高业务能力方面:6个研究评估了两种教学模式对提高业务能力的影响,其中4个研究取得阳性结果,2项研究结果显示两种教学模式对提高专业知识方面无差异:Short等研究结果显示,WPBL教学组学员学习后业务能力显著提高,与对照组相比存在显著性差异(P<0.05)。Allison等研究结果显示,WPBL组学员表现能力显著提高,与未干预组相比较,WBPL在病原体检出率能力提高显著(P<0.05)。Stewart等研究结果显示,与对照组相比,WPBL组学员在糖尿患者的处理以及专业知识能力显著提高,存在显著性差异(P<0.05)。郑丽君等,对照组以授课为基础的学习(LBL)教学法进行业务学习,观察组以WPBL法进行业务学习。研究结果显示,WPBL组护士业务学习后评判性思维能力评分较业务学习前明显提高,且优于对照组(P<0.05)。相反,Harris等研究结果显示,WPBL教学模式在提高业务能力方面无效。Curtis等研究结果显示,WPBL组学员在筛查与处理骨质疏松症专业技能方面较未干预组有提高的趋势,未达到统计学差异(P>0.05)。在参与者满意度方面:3个研究评估了学员的满意度,结果显示3个研究中WPBL教学法组学员有较高的满意度。

3讨论

医学知识日新月异的发展,整个社会对医疗需求越来越高,继续医学教育(CME)日益受到重视。远程继续医学教育实现了资源的优化配置,使得医院之间的优势互补、资源共享。而“基于问题的学习”(PBL)教学模式是让学习者通过围绕问题展开自主学习以获得能力和知识。本次文献综述与Meta分析纳入的研究表明继续医学教育中引入WPBL教学模式可能为有效地教育措施,提高学员知识以及考试成绩、提高业务能力、较好参与者满意度。我国继续医学教育仍然存在一些问题与不足,学员学习主动性不强,缺乏认识;区域发展不均衡,各个地区之间差异较大,参训学员学历层次、专业技术职称的差异性较大,使培训难度增大;继续教育模式及内容相对单一:继续教育往往以教材为基础,局限于传统学科框架中,缺乏以案例为基础的分析,学员在工作中主动临床思维和应变能力未得到提高,另外,学科新进展,以及新的理论技术知识未得到提高。WPBL克服了传统教学模式使得学员处于被动接受的缺陷,WPBL信息基础设施发展迅速,多媒体,卫星通信网络教育使得学员突破时间和空间限制。授课教师综合素质参差不齐,教学水平有待于提高也是影响学员学习积极性和教学效果的重要因素。本次系统综述与Meta分析纳入的研究结果表明WPBL教学模式能够提高继续医学教育学员专业知识以及考试成绩。当今网络快速发展环境中的继续医学教育是一种普遍的教育模式,基于网络PBL教学模式的学习具有很大优势,学员能够享用大量的开放性、共享性、快速性的网络资源信息。另外,开展以“网络”为远程技术平台的教育模式符合我国国情,可能有助于解决传统教育模式不适用于偏远地区和乡村医护人员学习新知识和新技术的问题。需要注意的是,WPBL教学模式的学习应用于继续医学教育也带来了新的问题与挑战。网络学员学习可能受主客观因素以及时空分离和的影响,导致信息超载与迷航、产生认知负荷,反而影响了学习效果,在WPBL的实施于继续医学教育时应注意这一影响。本次系统综述与Meta分析纳入的研究结果表明WPBL教学模式能够提高继续医学教育学员业务能力。现代医学的发展需要临床医护人员面对实际问题时具备良好的判断性思维能力,WPBL教学模式要求学员通过网络查阅文献、网络搜索找出解决情景问题的最好方法,培养了评判性思维能力。WPBL已经应用于医学学生的教育,在护理学教育以及临床医学教学中的效果得到认可。WPBL应用于继续医学教育弥补了传统医学教育模式的缺陷,使得医护人员更好的胜任自己的工作岗位。WPBL运用于继续医学教育在西方发达国家起步较早,积累了丰富的理论和实践经验,本研究中纳入研究多为国外文献,认真借鉴和吸取国外有益的方法,对于促进我国继续医学教育具有重大的现实意义。本次系统综述与Meta分析纳入的研究结果表明WPBL教学模式具有较高的继续医学教育学员参与者满意度。当今社会快速发展,医务工作者工作繁忙并且压力大,如何做好本职工作同时又学习新的知识是医务工作者面临的难题。网络信息技术日新月异的快速发展为继续医学教育的学员提供多元的学习渠道和丰富的信息资源,使得基于网络PBL教学模式具有“学习时间自由性、学习方法自主性、学习地点的灵活性”成为继续医学教育的重要措施。可见,继续医学教育中引入WPBL教学模式可使得学员更灵活方便的实现“任何时间、任何地点学习新的知识”,突破了传统教育受时间和地点的限制。

4结语

数学分析论文范文5

关键词:工科;数学建模;拔尖创新;人才培养

一、引言

工科人才需要坚实的数理基础,这是高等教育领域的共识。数学作为基础学科,如何对工科拔尖创新人才培养形成有力的支撑,是一个值得持续探索的课题。“数学建模”课题组在参与南京理工大学工科拔尖创新人才培养的过程中,对“数学建模”课程进行有针对性的设计,发挥其在工科教学体系中的作用。南京理工大学是隶属于工业信息部的全国重点大学,培养理、工以见长的专业技术人才,在长期发展过程中形成了兵器与装备、电子与信息、化工与材料三大优势学科群。课题组此次教育教学改革的实施对象为南京理工大学钱学森学院本科二年级的学生。钱学森学院是南京理工大学培养拔尖创新人才,深入推进教育教学改革的前沿阵地,是教育实验性质的特色学院。学校每年从录取的新生中遴选出具备创新潜质的学生,分机械工程、电子信息、材料工程3个专业大类编入该院,这3个专业大类分别对应学校8个工科学院和1个重点实验室。培养模式上强调宽口径,厚基础,大一与大二主修通识教育和基础理论课,大二下学期确定专业方向完成分流。下文为课题组的主要建设措施和相关思考。

二、“数学建模”课程教学改革内容

钱学森学院的“数学建模”课程开设于大二下学期,此前,学生已学完“数学分析”“高等代数”“概率统计”等数学基础课程,具备了一定的数学理论基础,即将进入专业学习的高年级阶段,学习方式也由纯理论学习转向理论与实践相结合。学生通过对该课程的学习,参加各类数学建模竞赛和实践类能力大赛,理解工科结合数学工具的必要性和重要性,为下一阶段的专业学习做好充分准备。针对上述情况,课题组对“数学建模”课程作了针对性设计和调整,分为五个方面,阐述如下。

(一)用好学科交叉优势。钱学森学院的学生主要来自学校三个专业大类,尽管低年级重在通识课和基础课,但这些具备主动学习能力的学生在进校一年多后,已通过各种途径了解了自己心仪的专业,到大二下学期,学生大多都明确了专业目标,并且具备了专业交叉的基础知识。三大专业均隶属于工科范畴,而加入“数学建模”,相当于又增加了一个学科维度,为学生数学建模竞赛组队时的学科融合互补提供了先期的条件。学生可以和本院或外院其他专业的同学组队,选择方式较为灵活。此外,“数学建模”课程的内容具有涵盖面广的特点,案例来源于能源、交通、机械、材料、信息、物流、经济等行业领域。考虑到课题组教师来自理学院,不能对上述领域有全面的理解,因此,教师备课前要在部分工科学院实施调研,听取工科教师的意见和建议,了解工科对数学各分支的实际应用情况,授课过程中要增进与钱学森学院学生的交流,进一步明确学生角度的需求。调查中发现,学生在刚进入大学时对数学工具对工科的支撑作用,不一定有明确的认识。而且,基础教育阶段的学习模式使他们不能在处理实际问题时活用数学理论,数学工具仿佛成了“屠龙之技”。例如,学了“数学分析”中的微积分知识,学生却不能灵活自如地在优化模型中定性分析目标函数的各种性态,特别是极值问题。再如,工业产品设计中,制定产品规格和标准的各项指标,可以利用“高等代数”中有限维线性空间的主成分分析技巧;自动机械化管理中,利用“概率统计”中随机变量的数学期望研究工序中的相关变量。“数学建模”在授课过程中,必须不断联系前面三门数学基础课程的知识,凸显数学与工科实际应用的密切关系。授课效果表明,从工科需求出发,而非单纯从数学专业角度出发定位这一课程,才能发挥好理工结合的优势。

(二)遴选授课内容。面对具备自主学习能力的学生,频繁的“满堂灌”会挫伤他们的积极性。因此,教师在授课内容上既要做“减法”,也要做“加法”。所谓“减法”,是遴选授课内容,体现重点、次重点、难点等;所谓“加法”,是对遴选内容进行拓展深入,讲深讲透,达到事半功倍之效。目前我们所采用的“数学建模”课程教材内容较为丰富,包括数学建模概论、初等模型、简单优化模型、规划模型、微分方程模型、代数方程模型与差分方程模型、离散模型、概率模型、统计模型以及博弈模型等,这就需要教师在有限的课程时间内合理分配时间。“数学建模”课程整个教学环节,三分之二的时间用来讲授理论,剩余的时间使用数学软件进行系统仿真,并辅以专题讨论。具体内容上,我们把数学建模概论和初等模型列为首要的教学重点,因为这两部分涵盖了该门课程基本的思想和必须掌握的初等数学建模方法。规划模型为重点学习,主要涉及运筹学中的优化问题,特别是线性规划问题的处理。微分模型和离散模型为难点内容,因为两者都拓展了微积分和抽象代数知识,深化了数学工具的掌握。概率模型为选讲,表明了连续或离散的随机因素,扩大了应用领域。博弈模型与该院学生专业学习关系不十分密切,但考虑已就业学生反馈的工作岗位情况,就列为学生自学、教师辅导的内容。案例选择上,每类模型介绍2~4个经典案例。经过近几年的实践与斟酌,我们最终精讲的案例有:“双层玻璃窗的功效”案例,体现简单物理规律的内在机理。选择“不买贵的只买对的”案例,显示经济最优化原理的最大效用模型。选择“原子弹爆炸的能量估计”案例,体现量纲分析方法的重要性。选择“职员晋升”案例,表现层次分析方法进行评估的量化依据。选择“核军备竞赛”案例,表明图论分析的重要性。原则上,在选择案例时既要考虑不同模型的差异,也要注重模型之间的相互关联,把握侧重点,并适当进行拓展,注意更新案例,并且注重案例的前瞻性。比如,“传染病模型”综合了特定事物的传播速度、传播途径、空间范围以及动力学机理等问题。课题组针对肺炎疫情,设计了如下层层推进的教学内容:(1)回顾传染病的简单历史,特别是严重急性呼吸综合症(SARS)和埃博拉病毒(EbolaVirus)的传播。(2)学习基本的传染病模型:易感染者(susceptible)和已感染者(infective)的SI模型、考虑治愈率的SIS模型、考虑康复者的SIR模型、考虑康复者再被感染的SIRS模型、考虑具有潜伏期的携带者的SEIR模型等,掌握专有的名词和概念,及其传染病动力学的微分方程模型。(3)在给定的预防措施与医疗水平状况下,分析各个模型的差异。(4)以SARS病毒传播为例,搜集数据,应用上述不同模型,分析求解,对照结论与实测统计数据,确定模型的合理性和优缺点,进行敏感性分析,并考虑能否改进上述模型。(5)进行深度和广度的延展,考虑当前的肺炎疫情,可以分析局部地区状况、国家或全球病毒的扩散传播状况,尝试建立合理的模型,进行定性和定量分析、数值模拟,总结肺炎疫情的发展阶段,尝试揭示COVID-2019病毒传播规律以及预测未来变化趋势。(6)进一步推广到各领域的扩散理论(如信息的扩散、创新事物的扩散)等。此外,“数学建模”课程也适当融入课程思政主题,如讲解“火箭发射升空”案例,要求学生掌握微分方程近似求解的数学技巧,同时介绍我国导弹事业的发展历程,老一辈科研工作者的爱国情怀,帮助学生树立专业报国、服务社会的人生理想。

(三)推进研讨式教学。课题组教师在与该院的学生交流中发现,学生不仅希望具有创新性和挑战度的学习,并且他们已经有了明确的学习规划,甚至对将来的职业规划也有一定的思考,期待从每一门课程中尽量多受教益,“数学建模”课程也不例外,为此,我们应重视研讨式教学的推进。不少数学类课程由于本身的特点无法展开研讨式教学,“数学建模”课程则有进行研讨式教学的便利条件,因为它与实际问题密切相关。授课中,教师通常首先引入学生熟悉的知识,如“万有引力的发现”和“铅球掷远”案例,此前的“数学分析”中已分析过这些耳熟能详的物理现象所体现的微积分思想。“温故”经典理论,让学生分组开展讨论,教师随机参与若干小组的讨论。最后,教师对各组陈述结论进行总结升华。其次,学院每两周结合近年数模竞赛和工程实践,安排一次30~45分钟时间的研讨会,比如以“奶制品的生产与销售”为例的线性规划问题专题,“航空公司的超额售票策略”和“博彩中的数学”的离散概率问题以及“学生考试成绩综合评价”的策略问题等。这类研讨通常会引发学生激烈的争论,学生会对模型细节的处理提出不同意见,并迅速进行简单的仿真处理验证模型优劣,最终得到一个优化的新模型。教师在旁补充学生没有考虑到的相关因素,提供最简捷的数学技巧处理路径,引导学生进行敏感性分析,评价新模型的准确性和适用性。就研讨硬件环境保障而言,南京理工大学理学院有3个数学实验室,给在校师生提供了一个课程实验仿真的实践平台。学校的“数学探密室”创客中心,也为师生之间进行小型的探讨提供了场所。鉴于疫情影响,师生无法开展面对面的讨论,但网络教学为在线研讨、分组讨论和互动提供了新的机遇。教师可鼓励学生积极进行课堂和课后研讨,培养学生搜集资料、剖析问题、学术探讨和观点表达等能力,并根据学生的反馈,有针对性地调整授课内容,巩固薄弱环节。有共同兴趣的学生建立讨论群组,提交小组报告,纳入过程性考核,使研讨式教学真正落到实处,也为后面的正式组队做好先期准备。

(四)引入数学软件。“数学建模”课程的另一个教学目标是熟悉和使用数学软件。数学软件提供强大的科学计算和数据处理功能,从简单的数值计算、微积分函数绘图、数组求和、矩阵运算等简单操作,到调用特殊的函数或软件包,处理差分方程问题、线性规划问题、图像处理问题等,并能以图形展示结果。数学软件的使用,让学生既多掌握一项技能,又能提高他们的学习兴趣。课题组要求学生通过课堂学习和课后练习,至少掌握数学软件Mathematica,Matlab,Lingo和Python中的任意两种软件。比如调用数学软件中的数据拟合函数、回归函数、主成分分析函数等,节省学生计算时间,达到事半功倍的效果。课题组发现,其他数学课程也有类似实践,数学软件Matlab可以与“线性代数”应用深度融合,提高了讲授效率[1]。近年来,随着大数据的发展,研究结果的可视化呈现率大大增加,数学建模比赛中部分题目涉及的数据处理量也在增大。因此,增加可视化软件的讲授就成为“数学建模”课程的新趋势。比如此次肺炎疫情报道中数据可视化的应用[2-3],让普通读者一目了然地看到数据的演变。目前我们也在尝试调动学生的学习兴趣和积极性,推广数据可视化软件的应用和普及,如Tableau、PowerBI、R-ggplot2等。

(五)鼓励学生参赛实践。钱学森学院的学生具有好奇心和接受能力强的特点。他们大一入校后,就通过新生手册、学院配备的导师、学生数学建模协会、各类竞赛名录等途径,了解到了各类数学建模竞赛,并积极地报名参加校内选拔赛。对比赛有了初步认识后,通过搜集阅读往年获奖的优秀论文,获知可以通过“数学建模”课程高效而系统地获得建模本领,在授课之前就会找到课题组教师指导参加建模比赛。此外,课题组中的相关教师分任“数学分析”“高等代数”“概率统计”等课程,也在课堂上注意宣传介绍、鼓励学生参加各类数学建模竞赛,如全国大学生数学建模大赛、美国国际大学生数学建模竞赛、数据挖掘大赛等。让学生了解参赛不仅可以为个人履历增加亮点,更能获得能力提升。经过上述这些引导式热身,在开课前,学生对“数学建模”课程已经有了较为清晰的认识,学习目标也比较明确,并知道该门课程直接对接建模比赛,在学习精力分配上也有自己的侧重点。目前,钱学森学院学生参赛人数逐年增加,参赛范围不断扩大,获奖人数持续增加。这一良好态势得益于整个课题组团队教师的合作与努力。

三、结语

2019年至2021年,教育部将分三年全面实施“六卓越一拔尖”计划2.0,新工科为重点建设对象之一,事关战略急需人才培养,国家硬实力提升。最新的“强基计划”精神[4],也强调了从本科阶段就开始引导学生参与小型科研项目研究,数学建模本就属于这一范畴。在新的时代要求下,“数学建模”课程应将坚实的理论与鲜活的实例结合,在新工科拔尖创新人才培养中继续发挥好应有的作用。

参考文献:

[1]杨威,高淑萍,陈怀琛.慕课背景下MATLAB与线性代数应用的融合[J].高等数学研究,2019(3).

[2]刘婷,刘颖旭,翟畅.数据可视化在疫情报道中的应用[J].中国传媒科技,2020(3).

[3]李宏.基于民众视阈下的疫情数据可视化设计路径研究[J].包装工程,2020(10).

数学分析论文范文6

关键词:方法论;数学;经济学

数学与经济学的关系在学界已经被讨论了好多年,想要认清数学与经济学的关系,首先我们必须弄明白经济学与数学之间是否存在包含关系。Dow(1990)就曾指出,如果我们认为经济学就是一门数学学科,那么我们可以很容易地将历史学、社会学、哲学以及方法论看做是这些学科在不同专业领域吸收知识,并且经济学实践将这些学科联系在一起。但是对那些将经济学看做是一门使用了数学的人文科学的人来说,经济学的内容本身就需要历史学、社会学、哲学以及方法论这些领域的专业知识。我认为后一种观点好像更贴切地描述了数学在经济学研究中的地位,就是说经济学是一门使用了数学专业知识的人文科学。

一、数学作为一种有效的研究工具,可以帮助经济学家进行经济研究

经济学家大多善于使用修辞学的表达方法来描述经济现象,在描述某些经济学家自己也没有完全弄明白的现象时,有些经济学家善于使用晦涩难懂的经济学术语来掩盖本身理论解释的不充分性,但是,这种做法会使得理论解释的说服力大打折扣。在这种情况下,使用数学方法进行补充性解释可以避免使用晦涩难懂的语言来掩盖理论本身欠缺的解释性,可以通过明白的数学公式展现清晰的逻辑。因为这个原因,在经济学研究中使用数学函数以及运用数学模型成了经济学家们更好地解释经济现像和预测未来经济发展走势的一种有用手段。罗默(2015)就曾经指出,借助新的变量,模型可以将文字叙述与数学公式较好地联系在一起,增加理论和实证之间的关联程度。罗默举例道,早在1956年,索洛在他的经济增长理论中就曾使用数学公式来表示“资本”这一变量。利用数学公式同概念的紧密结合,索洛精准地阐释了“资本”这一变量的含义,进而通过对概念的阐释轻松地将理论与实证结合起来。毫无疑问,这是一个典型的数学知识助力经济学修辞解释的例子。Dow精辟地总结道,数学结论的公式化为经济学纯理论的优势以及使用模拟进行实证演示铺平了道路。像罗默一样,凯恩斯对待在经济学中使用数学的态度也是积极的。通常认为凯恩斯对于在经济学中使用数理统计方法是持完全否定的态度的,但是O’Donnell(1990)认为这种现象是由于这些人只看到了凯恩斯一部分的观点,并没有全盘认识凯恩斯的观点,这种对凯恩斯数学观的解读是错误的并且是肤浅的。事实上凯恩斯对数学本身并没有敌意,而是反感“伪数学”,或者说数学分析方法的不合理的应用。例如,在对概率的研究中,凯恩斯自己便使用数学表达来方便解释概率这个经济学概念,为了清晰表达两组命题之间的概率,凯恩斯使用a/h来表示概率,a代表概率相关的结论,h表示包含了给定信息的先决条件。数学知识不仅在经济学先验演绎推理层面有用处,而且在经济学实证层面也有用处。财会学中数理统计的重要性是众所周知的,约翰•希克斯(1979)一直强调经济分析中,尤其是在动态经济分析中,财会传统的重要性。在这方面,凯恩斯也有类似的观点,凯恩斯相信某些部分的纯经济理论可以用数学方式表达出来,并且计量经济学可以为经济学提供重要的服务。凯恩斯强调,计量经济学有两个重要功能:为理论参数提供实验量级和量化独立的原因间的相对强度。对与凯恩斯来说,数学在经济学理论和计量经济学中有精确的功能,只不过数学能发挥的功能是有限度的。数学在帮助修辞学进行经济学解释的同时,还可以帮助经济学家形成有益的逻辑性的思维方式,凯恩斯就曾指出,数学是正式思维原则中的一个分支,因此,只要正确地使用数学,数学可以帮助经济学家形成创造一种“有组织的有顺序的思维方式”,这样的思维方式对经济学研究来说非常重要。

二、数学在经济学的应用中出了问题

数学具有诸多特性可以帮助经济学家进行经济学研究,但是,在实际操作领域,我们观察到了一些数学在经济学中应用的问题,这些问题不仅会妨碍数学的合理应用,还会使得一些经济学研究者对数学产生消极的观念。这些问题包括,“数学滥用”,数学的错用以及强行使用数学。

1.“数学滥用”

首先,我们应当如何理解“数学滥用”。经济学家罗默发明了“数学滥用”这个经济学术语,罗默定义“数学滥用”是,如同普通的数学理论一样,“数学滥用”也是由各种符号与理论描述组成,但此时,符号与文字叙述之间的联系并不紧密,自然描述与正式表达、理论推导与实证事实之间充满了需要填充的巨大空间。罗默还进一步批评道,至少在经济增长理论方面,我们的作者和编辑达成了一种默契,即读者都会漠视数学的滥用并接受这一怪象。不严谨的科学态度催生了数量经济学中的“潜规则”,由于没有更好地数学表达可用,而滥竽充数,制造了“数学滥用”。经济学家温特劳布(1998)也指出,不一致性被混进了应用经济学中,应用经济学中混进一些不那么精确的数学推导以及没有逻辑论证的事实。Velupillai(2005)曾经批评“数学滥用”中的形式化,他指出,无标准的、构建性的和计算性的分析在经济学主题中起到了形式化和数学化的作用,这种现象主要出现在新古典主义经济学理论的范畴内。Velupillai举例道,是不是基于“执行一项任务”的函数概念,展现在子集理论中,是不是可以捕捉所有的直觉性的内容,这还是一个有待商讨的问题。尽管存在这种不确定性,数理经济学家,甚至是所有将数学应用到经济学中的经济学家,都用“执行一项任务”来定义他们自认为精确的函数的概念。因此,通过赋予数学一些特殊的数学属性,主教风格的构造性数学保持忠于函数概念的普通意义,也就是说,在封闭的间隔中保持一直地连贯,这样当数学家用这样特定的方式来使用函数时,数学家就能轻松地“执行函数的任务”。“数学滥用”会阻碍经济学研究,纠正“数学滥用”对经济学的发展是有好处的,罗默曾经指出,每一位经济学家都有义务停止“数学滥用”,如果我们能坚持共享精准、清晰的数学推导,将数学理论中晦涩的概念抽象成明白易懂的名词,就像“人力资本”,“物质资本”,“非竞争性”一样,那么我们的研究水平可以更快地得到提升。我们否定“数学滥用”,就应该清楚地识别“数学滥用”。我们应该如何判断数学是否被“滥用”,胡伟清(2006)提出了一种标准以供参考,他指出,如果使用卡尔多•希克斯效率的概念,我们会发现经济学数学化是一种卡尔多•希克斯改进,也就是说改进带来的好处能够弥补改进所产生的坏处。我们可以使用一个简单的标准来判断:如果使用数学的好处能够弥补坏处,那么,即便是大量使用公式、模型,也不能算是滥用。反之,如果不使用数学的好处更多,甚至使用数学带来的坏处更多,那么即便只使用了一个公式,也是滥用。

2.数学的错用

我们可以将数学的错用定义为,使用了错误的数学理论或数学概念进行经济学研究。凯恩斯曾经指出,推演逻辑还要依赖直觉或者对逻辑关系的直接感知,结论一般部分暗含在前提条件中,先决条件被认为拥有完全暗含结论的能力。所以数学不能错用,如果数学理论被错用,就会使得数学的推导逻辑被打破,丧失数学线性解释的能力。例如,构造性数学在经济学中的应用总让人有一种已知A+B可以证明C,所以为了得到C的结论,而去拼凑A和B的感觉。经济学推演逻辑顺序被颠倒了过来,有了一种为某种理论结果进行狡辩的意味,而这种理论结果往往是作为已经发生了的事实被拿来进行推演验证。这就丧失了使用数学模型进行经济学预测的意义。对于数学的错用,Velupillai曾经举例道,PieroSraffa(1960)提供了一组方程,在不需要使用不动点理论的情况下证明了一般均衡理论的存在性,这给经济学研究提供了一个很好地范例。Velupillai却不解,为什么没有经济学家使用Sraffa提供的充分的并且足够用来重证一般均衡理论存在性的方法,经济学家们却依然依赖Brouwer的非构造性不动点理论,这对Velupillai来说简直是个谜。Velupillai更进一步提问,为什么,数理经济学家把解方程变成了“一个不动点问题”,只是为了证明方程的解的存在性。像这样错误地选择数学知识不仅无助于经济学研究,还有可能让经济学研究者走上错误的研究道路。

3.强行使用数学

强行使用数学可以被理解为,在不需要使用高深数学知识的地方,为了使用数学知识而强行使用数学。凯恩斯一直都对这种现象嗤之以鼻,1910年,他批评Pearson的统计学回忆录为“应用了不必要的复杂的数学工具。”Velupillai也曾经在研究中提问,真的有必要把在正式的经济学理论中的一般均衡的存在性问题作为一个数学问题拿出来进行研究么?强行使用数学并不能帮助经济学研究,反而会令经济学研究更加复杂。丁小钦(2008)曾经指出,如果通过数学语言来解释经济学问题,那么经济学问题就被转换成了由数学符号组成的数学公式。这时经济学问题中的概念只表示为数学符号,经济学命题只表示为数学公式,经济学命题的推导变成了数学公式的变形。数学能展现的的只是公式中数学符号之间的关系,并不包含对公式所代表的内容的思考。但数学推演之后,所有的数学符号还是要被转换回修辞性的语言。而转换回的内容同我们引入数学公式之前的经济学表述的一致性值得探讨。作为经济学研究者,我们应当思考如何正确地使用数学。罗默曾指出,当他开始学习数量经济学时,数量经济学是由一种与现在完全不同的规则所主导的。虽然不是毫无例外,但也远比现在要强,每当经济学家们用数学去推导经济学中高度抽象的概念时,他们都会以极其清晰准确严谨的态度满怀骄傲地完成。或许旧时代这种对待数学的严谨态度更值得我们今天借鉴。

三、对经济学数学化的看法

1.数学在经济学研究中被赋予了不应有的地位

对于这个现象,Dow曾经做出总结,他说道,我们可以清楚的看到现在在很多经济学的应用中出现了关于方法论的困惑,这种困惑在于在经济学应用中给予了数学表达优先权。虽然现实如此,但是我们仍然认为,在经济学研究中,数学不应被赋予如此地位。很多经济学家有类似的感触,比如,凯恩斯很反感有些学者将数学抬高至经济推理研究的最高层面。数学被赋予了不应有的地位,对经济学研究来说是有害的。Velapillai就指出,如果数学,像Ulam和Wolfram说的那样,“数学的发展已经开始倾向于关心那些如何成功应用数学方法的问题”,这种形式化地使用特定数学方法的行为会扭曲经济学理论。这种扭曲的现象是如何产生的呢?胡伟清曾经总结了两点原因,他从期刊和高校经济学教育的角度阐明了经济学数学化的原因。他指出,期刊之所以偏爱数学化程度高的论文是因为数学的使用代表了论文的“技术水平”。同时,高校的经济学教育具有明显的导向性,在硕士、博士研究生的毕业论文答辩中,使用了数理模型的论文更容易过关,且评分更高,这种现象也诱导了经济学者的数学化倾向。

2.数学的局限性使得数学并不具备独立支撑经济学研究的能力

数学,以它固有的性质,决定了数学在经济学的应用中,有诸多先天缺陷。Dow对这一点有很多精辟的观点。他曾指出,我们都知道,并且我想再次强调,在数学论证的早期发展阶段,直觉发挥了很大的作用。Dow同时指出,我们发现就算数学本身也需要非数学因素的补充来完善本身的系统。公式表达的数学还能不能提供真理的连贯性标准正在成为问题。区别于经济学热衷于考察社会问题,数学化的主要卖点之一是,数学化为经济学引入了一种新的精确性。任何理论,越是接近于物理论证,它就越是精确。但是存在有一系列的问题,这些问题包括识别理论概念的实证对象以及测量问题,这些问题都基于实证检验,却破坏了精确度。在所有论证方法中,数学证明是一种劝说。一旦我们认识到数学也要像其他学科一样依赖社会惯例,我们就很难坚持说在经济学研究范畴内数学比其他学科可以提供更多精确性了。Dow还举了相对确定性的例子来说明传统数学理论应用到经济学中时,进行了自我演变。他写道,温特劳布指出哥德尔的论证首先使用了相对确定性的概念。通过将补充性的假设添加到公式系统中来完成相对确定性的构建,就算这些假设同公式定理的部分并不一致,我们仍然可以这样运作。数学并不足以独立支撑经济学的研究,在这方面,凯恩斯有很多具体的观点。凯恩斯指出,有限的数学工具并不足以全盘展现现实的丰富与复杂。O’Donelle指出,在凯恩斯的分析中,有很多没办法量化却有重要意义的因素,没有办法使用严格的数学推论进行分析。凯恩斯曾指出“有很多重要的因素被忽视,是因为这些因素在统计学上是无法追踪也无法获得的。”凯恩斯认为,不可比较性,阻止了数学的全面应用。经济学实质上不是一门精确的科学,经济学的材料并不像自然现象那样一成不变和具有规律性,在经济学的测量与比较中,这种不确定性以及不规律性带来了很多困难。凯恩斯举例道,Planck在数学方面成就卓越,却觉得经济学非常难。这是因为想要在经济学方面表现出色,不只需要数学技能,更需要一个“由逻辑、直觉以及广泛的知识组成的集合体”。经济学中的概率问题,作为一个例子,可以充分证明数学在经济学研究中的先天不足。O’Donelle指出,对数理比较来说,很多组概率的比较在理论上是不可能的。就如凯恩斯1909年指出的,很多关系是“可以测量的”,但是“大部分,我们所关心的关系或许还是不可测量的”。在特殊条件下,量化的推理是可以应用的,但前提是通过逻辑论证建立充足的条件。凯恩斯还说道,“除非接受量的测量的好的理由已经被制造出来,否则我们应当质疑任何量的测量的可能性。”

3.数学只是研究经济学的一种工具

在经济学研究中,数学只是一种研究工具。在凯恩斯的观念中,数学就只是经济学众多研究工具中的一种,当工具的使用条件被满足时,经济学家便可以选择使用这种工具。当经济学材料满足数学方法应用的条件时,数学便可以发挥它的职能。一旦可应用性被确定了,数学就可以工作了。凯恩斯一直认为,将数学研究当成经济学研究的重点是本末倒置,这一点明确地反映在凯恩斯的数学观中。Borel(1924)曾经总结凯恩斯的数学观,Borel总结道“数学理论并没有被凯恩斯忽视,在情况有保证的条件下,凯恩斯还发展了数学理论,但是发展数学理论并不是凯恩斯的主要目的。他更感兴趣都是从哲学和逻辑学的方面来看待这些经济学问题。”同Borel的观点类似,Braithwaite(1946)认为“虽然凯恩斯在数学技术可以提供帮助时使用数学技术,但他时刻牢记,数学虽然是一个好的仆人,却是一个坏的主人。”凯恩斯提出,质的逻辑分析应该先于量的或者数学分析,这种分析顺序决定了数学在经济学中应用的范围。并且在凯恩斯的哲学观中,逻辑最终是依赖直观的判断或者直觉。以概率问题为例,凯恩斯认为,将概率看成是一个纯数学概念而忽略了概率的逻辑基础,这是很多数学家困惑和犯错的原因。

4.数学是一种经济学的研究工具,我们没有必要排斥数学

数学分析论文范文7

学生需求层次不同专业不同、兴趣不同的学生的学习需求层次并不相同。与经济类专业通常会在本科阶段继续开设中级宏观经济学课程不同,公共管理类专业在本科阶段一般只安排初级课程,但是硕士研究生入学考试的专业课内容一般都会达到中级程度。因此希望继续深造的同学就需要掌握中级课程的有关内容。初级宏观经济学与中级宏观经济学二者尽管概念体系一脉相承、教学内容结构类似,但是同样的知识,分析深度和应用的数学工具都差异甚大。如果完全不具备灵活性,只是拘泥于初级课程的固有内容,就无法满足学生的求知需要,阻碍其继续深造。

二、公共管理类本科生宏观经济学教学改革重点

1.针对学生需求层次不同,开设多层次的宏观经济学课程

公共管理类专业本科生一般都会开设初级宏观经济学课程,但是如前所述,也有部分学生需要学习了解中级宏观经济学的内容,对他们而言此种课程设置就会不敷所需。因此,教学改革的着眼点,首先应当对授课内容进行适当调整,在不影响学生正常学习与理解前提下尽量涵盖中级课程内容,以兼顾不同类型学生的需求。这一点看似困难但却有其实际可行性。现代经济学的知识体系已经较为完善,无论是初级还是中级课程,其知识结构及使用的概念体系都基本相同,所区别的只是形式化程度或抽象化程度的不同,即使用的数学分析方法的严密程度不同。

只要学生具备相应的数学知识,就不会影响对课程的正常学习与理解。当然上述方法只是在现有课程设置条件下的治标之策,更进一步的治本之策是有条件的学校争取在大学高年级以专业选修课形式开设中级宏观经济学课程,以满足希望继续深造和有更多学习兴趣的学生的需求。这是一种更为合理有效的做法,但对各校公共管理学科的师资结构和专业课程设置提出了更高要求,可视为未来的长远努力方向。

2.丰富教学模式,改善教学质量

从现代经济学发展的固有现状角度出发,相对微观经济学而言,宏观经济学的理论体系较为松散,各部分知识内容各有特色,并且相互之间的逻辑关系不是非常紧密。针对这一特点,具体到宏观经济学的教学当中,就应当针对不同部分知识采取更为多样的教学模式,保证学生全面掌握各部分内容,达到形散实不散的教学效果。例如可以通过跨国情景比较的方法讲授经济增长理论和一国收入水平的衡量,采用案例分析的方式探讨国民收入各个组成部分的不同内涵。用学生作为主体亲身参与的方式讲授劳动力市场的运行机制。

同时还可以组织学生应用课程当中学习到的经济学理论知识,对一些现实问题如当前国内外广泛关注的经济焦点话题展开分析讨论,一方面提高学生应用所学知识分析与解决问题的能力,避免囫囵吞枣的现象;另一方面也让学生认识到经济学是一门来源于现实的科学,并非仅仅简单体现为课本上的单薄原理与教条。让学生体会到学有所用乐趣的同时也进一步激发其学习热情与兴趣。另外,如前文所述,现代经济学中大量使用数学分析工具,而为了使学生真正掌握这些数学工具并在现实中能够加以应用,就必须进行足够的习题练习,宏观经济学教材的每一章节之后都会提供大量课后习题就是出于这种考虑。但是由于课时安排有限,很难做到由教师在课堂上对课后习题一一进行讲解,所以有条件的学校可以通过设置研究生助教的方式,在正式课时以外时间详细讲解课后习题,帮助学生消化课程内容。

3.建立综合评价体系

如前所述,一方面宏观经济学课程包括近20章内容;另一方面,学生的课堂学习时间又相对有限。同时一般只有1-2次考试机会来最终判定学生对所学内容的掌握程度。这些特点正与高中阶段教育相反,后者的教学时间较为充裕,涉及的知识范围相对有限,并且可以围绕同样知识内容反复进行多次考试,以加强学生的理解与掌握。因此单纯采用植根于高中教育特色的闭卷考试形式就无法非常准确的判断学生对所学内容的真实理解与掌握。有些学生可能通过死记硬背获得较好的卷面成绩,但实际并没有真正理解掌握经济学的概念体系与分析方法,考试结束之后死记硬背的内容很快就付诸东流。有些学生可能对经济学理论的整体理解更为清晰,但一次性考试固有的偶然性会削弱真实知识水平与考试成绩的相关性。因此,除了最终考试以外,还可以结合采用课程论文、主题发言等多种形式考查学生对知识的实际掌握程度,并令其在成绩评定中占据一定权重,最终形成一个综合性的学习成绩评价结果。

4.尝试采用英文教材

数学分析论文范文8

同专业不同、兴趣不同的学生的学习需求层次并不相同。与经济类专业通常会在本科阶段继续开设中级宏观经济学课程不同,公共管理类专业在本科阶段一般只安排初级课程,但是硕士研究生入学考试的专业课内容一般都会达到中级程度。因此希望继续深造的同学就需要掌握中级课程的有关内容。初级宏观经济学与中级宏观经济学二者尽管概念体系一脉相承、教学内容结构类似,但是同样的知识,分析深度和应用的数学工具都差异甚大。如果完全不具备灵活性,只是拘泥于初级课程的固有内容,就无法满足学生的求知需要,阻碍其继续深造。

二、公共管理类本科生宏观经济学教学改革重点

1.针对学生需求层次不同,开设多层次的宏观经济学课程公共管理类专业本科生一般都会开设初级宏观经济学课程,但是如前所述,也有部分学生需要学习了解中级宏观经济学的内容,对他们而言此种课程设置就会不敷所需。因此,教学改革的着眼点,首先应当对授课内容进行适当调整,在不影响学生正常学习与理解前提下尽量涵盖中级课程内容,以兼顾不同类型学生的需求。这一点看似困难但却有其实际可行性。现代经济学的知识体系已经较为完善,无论是初级还是中级课程,其知识结构及使用的概念体系都基本相同,所区别的只是形式化程度或抽象化程度的不同,即使用的数学分析方法的严密程度不同。只要学生具备相应的数学知识,就不会影响对课程的正常学习与理解。当然上述方法只是在现有课程设置条件下的治标之策,更进一步的治本之策是有条件的学校争取在大学高年级以专业选修课形式开设中级宏观经济学课程,以满足希望继续深造和有更多学习兴趣的学生的需求。这是一种更为合理有效的做法,但对各校公共管理学科的师资结构和专业课程设置提出了更高要求,可视为未来的长远努力方向。

2.丰富教学模式,改善教学质量

从现代经济学发展的固有现状角度出发,相对微观经济学而言,宏观经济学的理论体系较为松散,各部分知识内容各有特色,并且相互之间的逻辑关系不是非常紧密。针对这一特点,具体到宏观经济学的教学当中,就应当针对不同部分知识采取更为多样的教学模式,保证学生全面掌握各部分内容,达到形散实不散的教学效果。例如可以通过跨国情景比较的方法讲授经济增长理论和一国收入水平的衡量,采用案例分析的方式探讨国民收入各个组成部分的不同内涵。用学生作为主体亲身参与的方式讲授劳动力市场的运行机制。同时还可以组织学生应用课程当中学习到的经济学理论知识,对一些现实问题如当前国内外广泛关注的经济焦点话题展开分析讨论,一方面提高学生应用所学知识分析与解决问题的能力,避免囫囵吞枣的现象;另一方面也让学生认识到经济学是一门来源于现实的科学,并非仅仅简单体现为课本上的单薄原理与教条。让学生体会到学有所用乐趣的同时也进一步激发其学习热情与兴趣。另外,如前文所述,现代经济学中大量使用数学分析工具,而为了使学生真正掌握这些数学工具并在现实中能够加以应用,就必须进行足够的习题练习,宏观经济学教材的每一章节之后都会提供大量课后习题就是出于这种考虑。但是由于课时安排有限,很难做到由教师在课堂上对课后习题一一进行讲解,所以有条件的学校可以通过设置研究生助教的方式,在正式课时以外时间详细讲解课后习题,帮助学生消化课程内容。

3.建立综合评价体系

如前所述,一方面宏观经济学课程包括近20章内容;另一方面,学生的课堂学习时间又相对有限。同时一般只有1-2次考试机会来最终判定学生对所学内容的掌握程度。这些特点正与高中阶段教育相反,后者的教学时间较为充裕,涉及的知识范围相对有限,并且可以围绕同样知识内容反复进行多次考试,以加强学生的理解与掌握。因此单纯采用植根于高中教育特色的闭卷考试形式就无法非常准确的判断学生对所学内容的真实理解与掌握。有些学生可能通过死记硬背获得较好的卷面成绩,但实际并没有真正理解掌握经济学的概念体系与分析方法,考试结束之后死记硬背的内容很快就付诸东流。有些学生可能对经济学理论的整体理解更为清晰,但一次性考试固有的偶然性会削弱真实知识水平与考试成绩的相关性。因此,除了最终考试以外,还可以结合采用课程论文、主题发言等多种形式考查学生对知识的实际掌握程度,并令其在成绩评定中占据一定权重,最终形成一个综合性的学习成绩评价结果。

4.尝试采用英文教材