在不同的年代，美国数学教育界都会提出一些响亮的主题，并颁布一些具有国际影响力的课程标准，因此，美国数学教育改革一直是世界数学教育关注的热点．从20世纪60年代的新数运动，70年代的回到基础，80年代的问题解决到90年代的大众数学；从1989年的课程标准，2000年的课程标准，2006年K－8年级数学课程焦点到2010年的州共同核心数学标准，这些都成为世界数学教育改革的“风向标”，引领了全球数学教育的发展．20世纪80年代，美国数学教育界开始把问题解决引入数学教学之中，并指出“数学课程应当围绕问题解决来组织”以及“在问题解决方面的成绩如何，将是衡量数学教育成败的有效标准”．从20世纪80年代开始，美国经历了多次课程标准运动，问题解决标准的内涵也在不断地丰富和发展．时至今日，问题解决虽然不再是数学教育的唯一中心，但其在美国数学教育领域中一直占据着重要地位．2001年我国颁布《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，拉开了新一轮数学课程改革的序幕．这是国内首次研制课程标准，此版课程标准从名称、体系、理念、核心概念等方面，很大程度上借鉴了美国等西方国家的数学课程标准．因此，考察美国数学教育“问题解决”标准的内涵发展，可以了解美国数学教育的发展动态，同时考察美国的目的也是为了更好地审视自己，对我国当前数学教育中“问题解决”的现状进行反思，明确我们的优点，认识我们的不足，以期对我国数学教育“问题解决”的发展及其实践起到积极的借鉴作用，这正是促成本文写作的重要原因．
1美国数学课程标准中“问题解决”内涵
的继承与发展全美数学教师理事会（NationalCouncilofTeachersofMathematics，以下简称NCTM）早在1980年颁布的《关于行动的议程》中就明确指出“问题解决必须成为学校数学的焦点”“学生必须成为数学问题的解决者”，在此基础上NCTM于1989年颁布了《学校数学课程与评价标准》，并把问题解决标准作为各学段最重要的过程标准．虽然标准对于K－4，5－8，9－12三个学段的学生提出了不同的问题解决的要求，但各学段都重点突出了“使学生能够通过解决问题掌握新的数学知识；解决在数学及其他情境中出现的问题；采用各种恰当的策略解决问题；在有意义地运用数学的过程中获得自信，并带着不断增加的自信继续学习数学”等各项标准．［1］2010年NCTM颁布了《美国学校数学教育的原则和标准》（以下简称PSSM标准）．学生的“问题解决”能力仍然是最主要的数学能力，而标准中提到的其他能力，都只是问题解决能力的部分内涵，而不是全部．［2］PSSM标准和1989年标准都强调要让学生“通过解决问题掌握新的数学知识；解决在数学及其他情境中出现的问题；采用各种恰当的策略解决问题”，在坚持上述基本观点的同时，PSSM标准进一步明确“要通过解决问题帮助学生学习数学”“问题解决不仅是学习数学的一个目标，也是学习数学的一种主要方式”，增加了问题解决过程的调控内容———检验和反思数学问题解决的过程，因为“有效的问题解决者经常不断地监控和调整他们的解题思路，好的问题解决者遇到和解决问题时，知道他们在做什么并不断地检验、自我评估他们的进展情况和调整他们的解题策略”［3］．2010年6月，美国了《TheCommonCoreStateStandardsforMathematics》（美国州共同核心数学标准，以下简称CCSSM）［4］．由于美国教育行政是地方分权制，各州各自为政，此次CCSSM旨在统一美国K－12年级数学课程标准，而且是美国历史上第一次近乎所有州都实施的标准［5］．需要说明的是，CCSSM体系主要包括两大标准：数学内容标准（StandardsforMathe－maticalContent）和数学实践标准（StandardsforMathematicalPractice），其中数学内容标准阐述K－12年级学生在不同数学主题上需要达到的基本标准，数学实践标准说明各年级学生都需要发展的各种数学专业知识与实践能力．CCSSM的实践标准来源于PSSM的过程标准，共有8条指标，是K－12年级学生应当共同遵守并贯穿教学始终的实践指标，其中“理解问题，并坚持不懈地解决问题（MakeSenseofProblemsandPersevereinSolvingThem）”被列为8项指标的第一项．指标的内容为：熟练掌握数学的学生，先从阐明问题的涵义入手，寻找解题的切入点；然后分析已知条件、限制条件、相互关系和问题目标；猜想解的形式与意义，不盲目简单尝试而是拟定求解路径；考虑类似问题，将问题特殊化、简单化以寻求解题契机，对解题过程进行必要的监控和评估；高年级学生能根据问题情境，通过变换代数式或者借助于图形计算器，改变对问题的观察视角而获取所需要的信息；精通数学的学生能够解释方程之间、言语描述之间、图表之间的对应关系，或根据一些重要特征、关系和图形数据绘出图表并寻找规律或趋势；低年级学生能依赖于具体事物或图片形成概念和解决问题；精通数学的学生能用不同方法检查他们的解法，会坚持不懈地自问：“这样的解有意义吗？”理解别人解决复杂问题的方法，鉴别各种不同方法的一致性．［6］
2审视与反思：我国数学教育“问题解决”的思考
我国的课程标准也一直强调问题解决对于学生学习数学的重要性．以义务教育数学课程标准为例，考察我国课程标准关于“问题解决”的内涵界定，《义务教育数学课程标准（实验稿）》的用词为“解决问题”，其内涵为：初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识；形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神；学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果；初步形成评价与反思的意识．［7］《义务教育数学课程标准（2011年版）》将用词调整为“问题解决”，其内涵为：初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识；学会与他人合作交流；初步形成评价与反思的意识．［8］由此可见，无论是用词还是内涵，2001年标准和2011年标准在问题解决上都有了实质性的发展．美国“问题解决”标准虽然经历了多次的变化与发展，但它仍然是最主要的实践标准，其他的实践标准都只是问题解决标准的部分内涵，而不是全部．任何改革都是基于本国国情的改革，显然中国与美国有不同的数学教育现状，因此审视美国标准内涵发展不是简单地采取拿来主义，而应立足本土，美国“问题解决”标准内涵的发展给了我们很多新的思考和方向．
2．1拓宽问题解决的视角，加深对问题解决内涵的认识．但凡提及问题解决，总是会将问题解决与解决问题划等号．实际上，解决问题只是问题解决的一部分．关于问题解决的内涵，美国数学教育界在20世纪80年代已有不少论述，比较具有代表性的是Stanic和Kilpatrick的概括和讨论．第一种是将问题解决视为实现其他目标的手段，第二种是认为问题解决本身是一种重要的值得教授的技能，第三种则是觉得问题解决带有某种特殊技能的意味．［3］哈尔莫斯曾说：“问题是数学的心脏．”纵观整个数学史，数学的发展过程可以看成以下模式：问题的提出→问题的解决→新的问题的提出→新的问题的解决→……可见问题的提出与解决对于数学研究至关重要．数学课堂教学是关于数学的教学，因此数学课堂教学的过程也就是提出问题、解决问题、提出新问题、解决新问题的过程．由此看来，解决问题仍是问题解决的重要内涵之一．在高中学段，许多课程内容都能通过数学问题来引入．教师在选择好的、有价值的数学问题上，起着至关重要的作用．好的问题能让学生有机会巩固和加深他们所学的知识，如果问题选择得当，能促进学生的数学学习．与此同时，教师还应拓宽问题解决的视角，加深对问题解决内涵的认识．问题解决还能够而且应该用来帮助学生掌握一些特殊的技能，在问题解决过程中，将问题解决的一般模式（如函数研究的一般方法）、常用数学思想方法（如归纳类比、数形结合、转化与化归等）教授给学生；应将问题解决当作是学生学习的一种方式与手段，即通过问题解决来引导学生自主建构数学知识，掌握数学研究的一般方法，获得基本数学活动经验，进而提升学生的数学核心素养．
2．2要将问题解决的方法上升到“课”的高度加以实施《普通高中数学课程标准（2017年版）》．在课程实施建议中明确提出：“学校应依据自身的情况，推动国家课程的全面落实，建设有特色的校本课程，适应学生多样化发展的需求，促进学生的全面发展．”［9］为了更好地发挥问题解决的功能和在促进学生学习方式上的作用，使问题解决的价值得到最大程度的彰显，还可考虑将问题解决的方法上升到课的高度加以实施．课程是一种有计划的活动，因此需要对将要实施的课程进行整体设计，需要研究、分析课程教学中所涉及的各方面因素，如课程目标、课程内容（含课时安排）、课程实施方式、学生评价方式等情况．课程可从数学问题解决的本质出发，论述数学问题解决的一般性规律、原理和方法．课程既要有理论原理，也要有大量典型的问题解决的案例，以“理论框架、案例研讨”作为课程的重要实施方式，通过案例的分析，引导学生理解数学问题解决的一般方法，并能将一般方法迁移至其他问题情境之中，进而达到解决问题的目的．课程在实施过程中，要不断改善学生的数学学习方式，要使问题解决成为学生学习数学的重要方式之一．
2．3关注问题解决过程中学生意志品质的发展．CCSSM的实践标准指出，教师应鼓励学生坚持不懈地尝试一些富有挑战性的问题．在教师创造的课堂环境下，学生能够发展自己对于探索问题能力的自信，乐意去探索、解决问题，他们更有可能提出问题，并坚持不懈地去探索数学问题，教师应能帮助学生形成对数学的情感．［3］CCSSM的实践标准关注学生在问题解决过程中的情感意志品质等非智力因素（从狭义上说，非智力因素由情感、意志、性格、动机、兴趣等五种心理因素构成［10］）．学生问题解决时的失败通常并不是因为缺少数学知识，而是因为他们未能形成良好的问题解决的意志品质．一位好的问题解决者在遇到和解决问题时，除了拥有扎实的数学基础知识外，还应具有良好的问题解决的意志品质，即实践标准中所说的“坚持不懈地解决问题”．在问题解决的过程中，学生应能知道自己在干什么，在遇到挫折和困难时，要善于反思问题解决过程中的各种要素，及时调整问题解决的方法和思维路径，直至成功解决为止．教师在学生意志品质发展过程中应起到引导的作用，将自己的精力稳稳地放在鼓励学生思考探索、合作交流上，要让学生经历问题解决的全过程并鼓励学生及时反思、调整问题解决的方向和方法，有效地塑造学生的意志品质，积极地发展学生的非智力因素，提升学生的数学情感．放眼世界的重要目的在于促进本国数学教育的发展，以问题解决的内涵发展为例探讨美国数学教育的发展动向，对我国的课程改革具有重要的启发意义．
作者:何睦 单位:江苏省梁丰高级中学
