常见的建立数学模型的方法范文1
关键词： 初中数学建模 常见方法 基本步骤 具体方法 案例分析
一、渗透初中数学建模思想是现代教育的必需
生活中处处有数学，数学与生活息息相关。生活中有许多的事物需要我们用已知的或未知的数学知识去解决，这就需要有一定的数学建模能力。数学建模教育，在发达国家的教育中引起巨大反响，称其为：适应世界性高科技发展与人才需求的教育。在我国，国家教委高教司提出全国普通高校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生解决实际的能力和创造精神，全面提高学生的综合素质”。然而，在传统的中学教学和教材体系中，人们往往忽视了对学生建模能力的培养。一些传统的、陈旧的观念认为：只要先学好了数学理论知识，应用数学这方面就是简单的、容易的，那是步入社会以后的事情。这些观念导致数学成了纯理论意义上的数学，在这种教学环境下，学生的学习只能是消极的、被动的，学生认为学习数学是只是单纯地为了应付考试。这样，许多学生的想象力、创造力不但得不到充分的发挥、发展，反而经常受到压抑、否定，甚至被扼杀，导致了许多高分低能的现象。而“学以致用”是教育最重要的原则之一，学习数学的目的就是为改造世界、改造生活服务。因此这就要求我们在数学教学第一线的工作者能及时地了解动态、改变观念、适应形势、推动教改，大力开展数学建模活动，培养学生初步具有建立数学模型，解决实际问题的能力。
二、初中数学建模的常见方法
所谓的数学模型是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表示出来的一种数学结构。初中数学中常见的建模方法有：对现实生活中普遍存在的等量关系（不等关系），建立方程模型（不等式模型）；对现实生活中普遍存在的变量关系，建立函数模型；涉及图形的，建立几何模型；涉及对数据的收集、整理、分析的，建立统计模型……这些模型是常见的，并且对它们的研究具有典型的意义，这也就注定了这些内容的重要性。在中学阶段，数学建模的教学符合数学新课程改革理念，也符合时代的需要。通过建模教学，学生可以加深对数学知识和方法的理解和掌握，便于调整自己的知识结构，深化知识层次。学生通过观察、收集、比较、分析、综合、归纳、转化、构建、解答等一系列认识活动来完成建模过程，认识和掌握数学与相关学科及现实生活的联系，能感受到数学的广泛应用。同时，培养学生应用数学的意识和自主、合作、探索、创新的精神，使学生能成为学习的主体。因此在数学课堂教学中，教师应逐步培养学生数学建模的思想、方法，形成学生良好的思维习惯和应用数学的能力。
三、数学建模的基本步骤
1.模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息，用数学语言来描述问题。
2.模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
3.模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。
4.模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数作出计算（估计）。
5.模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。
6.模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。
7.模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
四、中学数学建模分析的具体方法
中学数学建模分析的具体方法常见的有以下三种。
1.关系分析法：通过寻找关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型方法。
2.列表分析法：通过列表的方式探索问题的数学模型的方法。
3.图像分析法：通过对图像中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法。
五、中学数学建模案例分析
建立数学模型，首先要认真审题。实际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和所求结论的限制条件。其次要根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。最后将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型。按上述方法建立起来的数学模型，我们如果要验证它是不是符合实际，理论上、方法上是否达到了优化，就要在对模型求解、分析以后，用实际现象、数据等检验模型的合理性。
例1：小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元）
根据上表回答问题：
①星期二收盘时，该股票每股多少元？
②周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？
③已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费。若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？
解：①星期二收盘价为：25＋2－0.5＝26.5（元/股）
②收盘最高价为：25＋2－0.5＋1.5＝28（元/股）
收盘最低价为：25＋2－0.5＋1.5－1.8＝26.2（元/股）
③小王的收益为：27×1000（1－5‰）－25×1000（1＋5‰）
＝27000－135－25000－125
＝1740（元）
答：小王的本次收益为1740元。
综上所述，中学数学建模，对教师、对学生都是一个逐步学习和适应的过程。教师在设计数学建模活动时，特别要注意学生的实际能力和水平，起点要低，教学形式应有利于更多的学生参与。教师在开始的教学中，在讲解知识的同时，要有意识地介绍知识的应用背景。在应用的重点环节结合比较多的训练，如实际语言和数学语言，列方程和不等式解应用题，等等。逐步扩展到让学生用已有的数学知识解释一些实际结果，描述一些实际现象，模仿地解决一些比较确定的应用问题，到独立地解决教师提供的数学应用问题和建模问题，最后发展成能独立地发现、提出一些实际问题，并能用数学建模的方法解决它。由于知识产生和发展过程本身就蕴含着丰富的数学建模思想，因此教师既要重视实际问题背景的分析、参数的简化、假设的约定，又要重视分析数学模型建立的原理、过程，数学知识、方法的转化、应用，不能仅仅讲授数学建模结果，而忽略数学建模的建立过程。数学应用与数学建模的目的并不是仅仅为了给学生扩充大量的数学课外知识，也不是仅仅为了解决一些具体问题，而是要培养学生的应用意识、数学能力和数学素质。因此我们不应该沿用“老师讲题、学生模仿练习”的套路，而应该重过程、重参与，更多地表现活动的特性。
参考文献：
［1］卜月华.中学数学建模教与学［M］.南京：东南大学出版社，2002，3.
［2］吴文权.中学数学建模引论［J］.阿坝师范高等专科学校学报，2001，32，（1）：97-100.
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一、建模思想在概念讲授中的渗透
我们知道，广义上看，学习数学分析的基础知识与一些基本概念其实都是数学建模的过程，这是由于我们看到的函数、极限、导数、积分、级数等概念都是从实际事物以及关系中抽象出来的数学模型。正因为如此，我们就应当在教学讲授这些关键性基本概念的时候，主动引导学生从概念的实际来源来深刻理解概念与定理，这个过程也是学生真正体会建模思想、建模方法的好的体验。教师在讲授有关概念时，应尽量结合实际，设置适宜的问题情境，提供观察、实验、操作、猜想、归纳、验证等方面的丰富直观的背景材料，引导学生参与教学活动。而教师引导学生进行的数学建模活动一般是这样的：学生运用模型方法对实际问题做出解答后，往往还要回到实际当中去，判断所得的解答是否与基础概念相符合，如果不相符合的话就必须进行检查，看看究竟是数学推理有误，还是选择的数学模型不恰当。有时所建立的模型与原模型差距较大，这时就要建立全新的数学模型。
二、建模思想在定理证明中的渗透
笔者在讲授数学分析的时候，往往能碰到这样的情形，就是上课讲过的定理以及证明学生上课时能够听得懂，但是课下学生会常常说基本上都不懂了，其实这样的情况也是可以理解的，毕竟对于低年级的大学生来讲，真正掌握数学分析并且学好用好数学分析是比较难的事情，是需要一定时间积累的过程。
针对上述情况，教师在讲授新课的时候，应当着重注意授课的方式，应当先介绍定理形成的背景，让学生大概对定理的形成有一个形象的大致的了解，然后介绍定理产生的时代原因，即这个定理之所以产生是为了解决什么问题，让学生在心理上对所讲的定理感兴趣，在做好这些准备工作后，就开始讲解定理的内容定理的证明以及定理的几何意义等。这样教学的方式，让学生感受到学习定理的过程正如定理的形成过程一样，是数学问题存在进而建立数学模型解决问题的过程。著名数学教育家波利亚指出，一个长的证明常常取决于一个中心思想，而这个思想本身却是直观的和简单的。因此，对于一些定理的证明也可采取“淡化形式、注重实质”的方式进行，往往可直观易懂且收到事半功倍的教学效果，这正是体现出数学建模并没有标准模式方法和思路灵活多样的特点。
三、建模思想在考试命题中的渗透
当前数学分析课程的考试命题一般以课本中的例题和习题的形式为主，学生平时只注重盲目做题，机械地学习，而不重视对概念的深刻理解，也不注意在知识的学习中体会和提炼数学思想和方法，数学建模对数学学习有促进作用，另一方面，数学学习是也是数学建模的基础。只有掌握了一定的数学基础知识，才能在遇到实际问题时用数学建模的方法简化假设，建立模型和分析解决模型。因此，数学建模与数学学习之间相辅相成，不可分割。只有将数学建模与数学学习结合在一起，才能在学好数学的同时解决实际问题。
采取与传统考试不同的考核方式，为考查学生对所学内容的理解程度，可通过命题小论文等方式，让学生对所学的知识进行重新整理，归纳和组织，写出自己的学习体会及见解，从而使学生在反复的读书过程中，加深了对所学知识的理解，初步锻炼了学生的写作能力，是建模思想的渗透与升华。
当代高等数学教育的首要任务之一就是提高大学生的素质，其中就包括提升学生的数学应用意识，培养学生运用数学思维来解决实际问题。其实，目前无论是国家还是各个大学都比较重视这方面的工作，全国每年会举行大学生数学建模竞赛，这对于推动大学生数学专业或者其他非数学专业的学生的数学建模能力有很大的促进作用。为尽早让大学生接受数学建模思想的训练，把建模思想方法渗透到数学分析的教学环节中去，无疑是教学改革的一项积极举措。
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[关键词]MIKE21软件码头工程二维数学模型
1引言
福建省位于我国东南沿海,地处长江三角洲和珠江三角洲的中间地带,隔台湾海峡与台湾省隔海相望,福建省的码头岸线资源在全国名列第一。随着我省建设海峡西岸经济区战略构想的逐步推进,港口建设对推动经济的发展,将起到更为重要的作用。
由于港口码头工程占用部分河道,码头的支墩和平台兴建将占用河道的过洪断面,前沿停泊水域和回旋水域可能会给河道的行洪产生一定的影响。本文以闽江某码头扩建工程为研究对象,工程所处位置水下地形较为复杂,加上闽江下游河段受径流和潮流的双重影响,水流条件也相对复杂。本文利用MIKE21软件在码头工程附近河段建立水流二维数学模型,模拟码头扩建前后工程附近河段的流场变化,为码头扩建工程的设计方案优化和施工工艺提出合理化建议。
2MIKE21模型简介
Mike21模型是丹麦水力学研究所开发的二维数学模拟软件,广泛应用于国内外水动力模拟当中,取得了较好的效果,是目前国际上较为先进的模型之一。
Mike21是平面二维自由表面流模型,应用在河口、海湾以及海洋近岸区域的水流及水环境的模拟,可以用来模拟潮汐动力模拟、风暴潮、传热、盐流、水质、波浪紊动、溃坝、海啸等方面的水流现象。在模拟二维非恒定流的同时,可考虑干湿变化、密度变化、水下地形、潮汐变化和气象条件等影响因素。
2.1 模型基本方程[1]
连续方程:
(1)
动量方程:
(2)
(3)
方程中t为时间;x、y、z为右手Cartesian坐标系;为水面相对于未扰动水面的高度即通常所说的水位;h为静止水深;u、v、w分别为流速在x、y、z方向上的分量;为当地大气压;为水密度,为参考水密度;为Coriolis参量(其中=0.729×10-4s-1为地球自转角速率,为地理纬度);和为地球自转引起的加速度;、、、为辐射应力分量;、、、为水平粘滞应力项,S为源汇项,(,)源汇项水流流速。
2.2数值解法
本次计算利用MIKE21FM非结构网格模型进行计算。非结构网格模型[2]中采用的数值方法是单元中心的有限体积法,如图1所示。控制方程离散时,结果变量U、V位于单元中心,跨边界通量垂直于单元边。有限体积方法中法向通量的计算是通过在沿外法向建立单元水力模型,并求解一维黎曼问题而得到。模型中采用的时间差分格式见图2。
图1非结构网格模型数值解法示意图
图2时间差分格式示意图
3模型计算范围
本次模型计算范围上游起自吉安码头,下游至过屿尾。模拟闽江下游河道全长5.0km,其中河道面积约3.6km2。为了尽可能准确反映工程区的流场,码头位置处网格进行局部加密。见图3。
图3码头建设前后模型网格剖分图
码头扩建工程实施前,码头位置处堤岸较为弯曲,受已建码头的阻水影响,靠近左侧堤岸附近水域流速较小。码头工程实施后,新建码头平台与已建码头平台连接,码头左侧与原堤岸边界相接,码头前沿线以内受栈桥及码头墩台影响,水流阻力增加,因此码头前沿线以内基本无过水能力,为死水区。为偏安全考虑,本次数学模型将新建码头前沿线作为码头建成后的堤岸边界,码头位置处模型剖分网格见图4。
图4码头位置处建设前后网格剖分图
4参数的确定
4.1 糙率系数
糙率系数通过模型的率定和验证来确定,并参照一定的经验,取值范围为0.028～0.032。
4.2 涡粘系数
根据Smagorinsky公式确定:
(4)
式中:U,V为X,Y方向垂线平均流速,为网格间距,Cs计算参数,一般选0.25
4.3 动边界处理
为保证模型计算的连续性,采用“干湿判别”来确定计算区域由于潮位涨落产生的动边界、当计算区域水深小于0.2m时,该计算区域记为“干”,不参加计算;当水深大于0.3m时,该计算区域记为“湿”,重新参加计算。
4.4 边界条件
模型中有两个边界,上游闽江干流入口边界输入各频率的设计洪峰流量,下游出口边界输入年最低潮位均值。
5模型计算
5.1 模型验证
利用河道恒定非均匀渐变流公式的常规计算方法推求闽江下游河段不同频率设计洪水对应的水面线和断面平均流速成果。常规方法计算水面线成果与模型计算水面线成果的对比见图5和图6,断面平均流速计算成果的对比见图7和图8。
图550年一遇水面线成果对比图
图6100年一遇水面线成果对比图
图750年一遇流速成果对比图
图8100年一遇流速成果对比图
由常规算法和数模计算的沿程水面线及断面平均流速成果的比较可以看出,数模计算水面线与常规算法的水面线成果较为一致,计算断面平均流速与常规算法的断面流速成果吻合较好,证明计算参数率定较为准确,因此利用MIKE21模型模拟计算码头扩建前后闽江下游河段的流场变化是可行的。
5.2 方案计算
为模拟码头扩建工程实施前后流速最不利情况,本次模型分别模拟计算100年一遇和50年一遇设计洪水遭遇多年最低潮位均值两种方案。计算出河段流场分布情况见图9～12。
图9码头建设前流场图(50年一遇)
图10码头建设后流场图(50年一遇)
图11码头建设前流场图(100年一遇)
图12码头建设后流场图(100年一遇)
从模型计算结果可以看出:发生50年一遇洪水遭遇多年最低潮位均值时,码头建设后,码头位置河道断面缩窄,航道水域流速有一定幅度的增加,流速增大幅度约0.02～0.18m/s。码头建成后,受平台及码头墩台的阻水影响,码头附近河段流场有一定发生变化,对码头上游左侧局部堤岸有一定冲刷,流速增大幅度约0.02～0.28m/s,码头建设对码头下游右侧局部堤岸也有一定冲刷,流速增大范围约0.02～0.08m/s。码头建设对上游流场影响范围约710m,对下游流场影响范围约380m。
发生100年一遇洪水遭遇多年最低潮位均值时,码头建设后,码头位置河道断面缩窄,航道水域流速有一定幅度的增加,流速增大幅度约0.03～0.25m/s。码头建成后,受平台及码头墩台的阻水影响,码头附近河段流场有一定发生变化,对码头上游左侧局部堤岸有一定冲刷,流速增大幅度约0.03～0.32m/s,码头建设对码头下游右侧局部堤岸也有一定冲刷,流速增大范围约0.03～0.10m/s。华润水泥码头建设对上游流场影响范围约750m,对下游流场影响范围约410m。
码头建设后低潮位情况下,P=1%典型断面平均流速达3.20m/s,局部流速大于4.0m/s,特别是码头平台前沿点附近的流速在4.5m/s以上,水动力作用强。随着流速增大水流的挟沙能力增强,加之在河中设墩,水流扰动程度加大,使码头所在断面及下游附近河道的冲刷呈加剧趋势。
6结论
本文利用MIKE21软件在某码头扩建工程附近河段建立水流二维数学模型,对码头扩建前后工程附近河段的流场进行了数值模拟,经检验,计算结果令人满意,其精度可以满足工程应用要求。
根据数学模型计算成果,码头扩建工程建设对附近河段流场有一定影响,工程建成后局部流速较大。建议码头扩建工程规模不宜过大,并尽可能近岸布置和建设,同时应做好码头自身的防冲设计。
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关键词:半对数模型;ARMA模型;单位根检验;粮食产量
中图分类号:F127文献标志码:A文章编号:1673-291X(2010)07-0153-02
引言
自古以来,民以食为天,粮食作为一种特殊的商品备受人们的关注,且粮食生产预测也历来受到各国政府与学者的普遍关注。目前国际上预测谷物产量的方法主要有三种:气象产量预测法、遥感技术预测法、统计动力学生长模拟法。根据文献资料,气象预测法和遥感技术预测法的预测误差通常为产量的5%～l0%,统计动力学生长模拟法由于数据获取困难,仍然处于小范围试验阶段。国内外也已经建立了不少反映农产品供给反应的模型,如FAO的GIEWS系统,ERS的CCAP模型,罗斯格兰特等人的IMPACT模型,黄季煜的CAPSIM模型。因为地域、环境、政策的不同,粮食产量的形成过程也就不相同,模型就不能完全适用,基于此,本文欲利用ARMA模型构建单变量的粮食产量短期预测系统。
ARMA模型的数据必须满足一定的条件,即时间序列值须满足平稳性和非随机性。如果数据是非平稳序列,则须将其转为平稳序列;如果数据为随机性序列,则不具有建模的必要。因此,在建立模型前,要进行数据的平稳性和非随机性检验[1]。
一、数据选取
选取安徽省1949―2005年的粮食产量值,1949―1999年的数据来自《安徽统计年鉴2000》,2000年以后的数据来自《安徽统计年鉴2006》。
二、数据检验 [2]
1.原数列的时序图和ADF检验。从图1可以看出,安徽粮食产量具有指数增长的趋势(见图1)。且从表1的ADF检验可以看出,ADF统计量的值为2.325168,对应的P值大于0.05,应接受原假设:序列存在单位根,则安徽省粮食产量不是平稳序列。因为序列有指数增长的趋势,则先对数据取对数,然后再做平稳性检验。
2.取对数后的序列图和ADF检验。对原始数列取对数后,序列呈线性增长(见图2);同时由ADF检验知,ADF检验统计量为-0.0928,对应的P>0.05,应接受原假设:序列存在单位根,说明取对数后的序列仍然不平稳(见表2)。因为此时的序列有线性增长的趋势,因此,对其进行差分,然后再做平稳型检验。
3.差分后的序列图和ADF检验。据差分后的序列图显示(见图3),序列基本平稳,且其ADF检验值为-7.8278,对应的P
三、模型的建立和检验 [2]
根据以上的检验结论,要对安徽省粮食产量建立模型,首先应构建半对数模型, 运用Eviews软件,利用OLS估计得到:
lny t = - 68.78892 + 0.000116 t t
方程中R2的值为0.94052,表明模型拟合效果好,D.W统计量的值为0.361652,小于2且接近0,说明残差存在正的自相关。同时得到残差拟合图及残差QLB统计量检验(见表5和图4)。如表5所示,QLB统计量对应的P值都小于0.05,则拒绝原假设,接受备择假设:序列不是白噪声,且如图4所示,残差序列也不是白噪声,则对残差序列继续构建模型。
运用Eviews软件,利用OLS估计得到残差的ARMA模型如下:
ut=0.62135ut-1+εt+0.12905εt-1+0.41432εt-+0.29406εt-3
此模型为ARMA(1,3)模型,从结果来看,R2为0.70,拟合效果较好,但D.W统计量的值为1.94,接近2,说明残差之间接近无自相关,则ARMA(1,3)模型很好地解决了自相关问题。再对ARMA模型的残差值进行白噪声检验。其拟合图和QLB统计量如图5和表6。在表6中QLB统计量对应的P值都大于0.05,所以应该接受原假设:序列是白噪声。则在统计意义上残差序列为白噪声,即不存在对构建模型有用的信息量了,模型建立完毕。综上所述,我们对安徽粮粮产量构建了组合模型:
lnyt=-68.78892+0.000116tt+μ4μt=0.62135μt-1+εt+0.12905εt-1+0.41432εt-+0.29406εt-3从模型来看,粮食产量随着时间的推移主要是呈指数增长的,说明粮食产量增长的速度非常快,尤其是十一届三中全会后推行的农村改革,极大地调动了广大农民的生产积极性,在短时间内就促进了粮食的大幅度增产,也极大地解决了国民的温饱问题。
四、模型的预测
利用组合模型,运用Eviews软件对2005年的安徽粮食产量进行预测,得到的预测值为7 211 518吨,而实际值为7 818 436吨,标准误为0.1746,误差为0.0776 [2]。可见拟合值较准确,说明所建立模型较为合适。
通过以上的检验及分析可知,基于ARMA构建的粮食产量组合模型的短期预测能力还是比较强的,具有一定的实际指导意义。
参考文献:
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关键词：贝叶斯；有序离散选择； Mixed Logit模型；审计意见
独立审计在规范财务呈报、约束盈余管理、降低信息风险、减轻委托矛盾、保护投资者利益和维护资本市场的有效运转上都起着至关重要的作用。审计意见是审计工作的结果，它既反映了审计质量，也是利益相关主体有效决策所依赖的重要信息来源之一。按照中国独立审计准则，审计师在意见决策时通常面临五种意见类型供选择，依照这些意见的负面程度可以分为四类——标准无保留意见，带解释说明段的无保留意见，保留意见，拒绝表示意见或否定意见① ①从审计信息的使用者角度看，拒绝表示意见和否定意见通常视为负面程度最大的审计意见类型，因此，可以将二者划分为一组。此外，否定意见类型在上中国上市公司中极少出现，从1990年到2010年，上市公司中总共出现过4份否定意见的年度审计报告（分别在1997、1998、1999、2000年），这意味着近十年中（含本文研究样本期间）没有出现过否定意见审计报告，故这种划分实质上也并不影响本文的研究结论。，这四类形成一个典型的有序分类变量，因此审计师的意见决策适用于有序离散选择（Ordinal Discrete Choice）分析。
但是，在以往审计意见决策选择模型的实证研究中，大多数研究对审计意见的分类采用的却是二分法，没有进行多项有序地分类，如国外审计研究中常采用的“无保留意见/保留意见（Qualified Opinion）”、“非持续经营不确定意见/持续经营不确定意见（Going-concern Opinion）”，以及国内审计研究中常采用的“标准无保留意见/非标准无保留意见（Modified Audit Opinion）”等分类方法。二分法下审计意见决策选择模型适用的计量分析方法通常为二项Logit或二项Probit。例如，Carcello等（2000）、Lennox（2002）、蔡春等（2005）、李春涛等（2006）。[1] [2] [3] [4]这种分类方法固然简便，但其不足之处是没有考虑到非标准审计意见类型之间可信程度（Credibility）逐渐变化的差异。非标准审计意见类型并非并列和整齐划一的，审计师在甄别非标审计意见的过程中仍需耗费大量的验证、鉴别、评估和判断，不同意见类型与公司不同的内外部环境、内部控制、交易复杂程度、财务状况等因素密切相关，审计师需进行通盘地考虑、确定。因此，在中国审计市场上，将审计意见类型划分为有序的四类可以更为细致地反映审计师的意见决策过程，由此建立的有序离散选择模型可以更好地研究影响审计师意见决策的相关因素。最近，已经有审计研究者采用有序离散选择模型来研究中国审计意见决策相关问题，如Xie等（2010）、Chen等（2010）。[5] [6]
本文借鉴了以往学者对审计意见类型的有序划分，但在研究方法上与传统有序离散选择模型显著不同。传统有序离散选择模型的估计通常采用经典统计下的极大似然估计法，而本文则从贝叶斯统计观点出发，建立了有序贝叶斯Mixed Logit审计意见决策模型，并利用中国上市公司的样本数据，运用马尔科夫链蒙特卡洛模拟方法对模型参数进行贝叶斯估计，得到模型参数的后验统计量及置信区间，以此对影响审计意见决策的各因素的作用进行了分析，并得出相关的结论。本文采用的研究方法不仅对于审计意见决策模型的研究而言具有一定的创新意义，而且通过引入贝叶斯有序Mixed Logit模型，对于促进国内经济与管理研究领域进一步深化和拓展各种离散选择行为的研究具有重要的借鉴意义。
一、贝叶斯Mixed Logit模型
离散选择模型是以2000年诺贝尔经济学奖获得者Daniel McFadden教授为首的一批计量经济学家自20世纪70年展起来的① ①McFadden为离散选择决策模型奠定了坚实的经济理论基础，Heckman发展了动态离散选择分析，另外对离散选择模型做出重要贡献的还有Z.Griliches，L.L.Thurstone，J.Marschak，D.Luce，D.Kahneman，A.Tversky，M.Ben-Akiva，C.Manski和K.Train等人（聂冲和贾生华，2005）。。离散选择模型在交通需求、教育及职业选择、消费者商品需求以及居住地点选择等方面得到了广泛的应用。事实上，凡是存在个体或企业选择行为的地方均可以应用离散选择模型。离散选择模型的具体形式包括多项Logit（Multinomial Logit，MNL）、广义极值（Generalized Extreme Value，GEV）和Probit等传统模型以及近年来发展成熟起来的Mixed Logit模型。
尽管多项Logit模型是使用最早且应用最为广泛的离散选择模型，但是它存在着三大局限性：个体选择偏好具有同质性、不相关备选方案之间具有独立性（I.I.A）以及不可观测因素在不同时间上是不相关性的；GEV模型可以解除上述第二个限制，而Probit模型可以解除上述三个限制，但是Probit模型只能用于不可观测效用部分服从正态分布的情形，这样大大限制了该模型的灵活性，因为在许多实际问题中不可观测效用并不满足正态分布（如消费者关于价格的效用）；Mixed Logit模型则具有高度的灵活性，它克服了传统离散选择模型的限制，并且可以在任何精度上趋近于任何一种基于随机效用最大化理论基础上的离散选择模型。Mixed Logit模型正在许多研究领域中逐渐取代传统的Logit模型，相关研究结果显示Mixed Logit模型在模型的解释力和预测绩效方面较传统模型有较大的改善。
二、审计意见决策贝叶斯有序Logit模型的构建
假设审计师进行审计意见决策时面临的审计意见类型选择集为Y，Y={1，2，3，4}，Y对应的审计意见类型分别为：1=标准无保留意见；2=带解释说明段的无保留意见；3=保留意见；4=拒绝表示意见或否定意见，这四类审计意见的负面程度依次增加。根据有序Logit模型原理，首先建立如下的潜变量回归模型：
为了使参数的估计更具有稳健性，我们采用分层贝叶斯有序Logit模型，其先验分布是按两个层次来确定的，当先验分布的参数（即超参数）的取值难于直接确定时，可以对这些参数再给出一个先验分布（称为超验分布），这样既符合人们的认识过程，也使得参数的估计更为稳健。对于第一层先验分布，我们假设待估参数β服从多元正态分布，密度函数记为φβb，W，这里b、W为超参数，表示该正态分布的均值向量和协方差矩阵。对于第二层先验分布，我们假设超参数b、W服从发散的先验分布（Diffuse Priors），记b的分布密度函数为πb，W的分布密度函数为πW。假设b与W相互独立。图1表示了超验分布、先验分布和似然函数之间的关系。方框内表示的是常数参数，椭圆内表示的是随机参数（或变量）。
五、结论
在资本市场中，审计师为会计信息的可信赖性（Credibility）提供鉴证，从而在一定程度上降低了投资人与公司管理层之间的信息不对称，进而缓解二者之间的委托-冲突、降低成本。审计师的工作成果就是发表审计意见，因而研究审计意见影响因素的作用机理、构建审计意见决策模型是审计研究中的重要领域。中国审计市场上，审计意见按负面程度可以分为逐渐递增的四类，形成一个典型的有序分类变量，因此审计师的意见决策是一个有序离散选择过程。有别于以往研究中采用的传统有序离散选择模型——通常采用经典统计下的极大似然估计法，本文从贝叶斯统计的观点出发，首次建立了一个基于贝叶斯估计的有序Mixed Logit审计意见决策模型，并以2005—2010年7284家A股上市公司为样本，以上期审计意见类型、公司业务复杂程度、财务风险、资产营运效率、资产收益状况、规模、市场收益率和系统性风险等8个指标为解释变量，运用马尔科夫链蒙特卡洛模拟方法对模型参数进行贝叶斯估计，得到模型参数的后验统计量及置信区间，以此对影响审计意见决策的各因素的作用效应进行了分析与讨论，为理论研究与实际应用提供借鉴。贝叶斯分析能将未知参数的先验信息与样本信息进行综合，可以更充分合理地利用主观先验信息并使参数估计结果更具稳健性；相对于经典统计下仅适用于大样本条件下的极大似然估计法，贝叶斯估计法有着更宽松的条件，并且无论在小样本还是大样本下都具有良好的统计性质，这使得贝叶斯方法在有限样本利用方面具有优势；经MCMC模拟，贝叶斯估计不仅可以审计意见决策模型参数估计值，还可以直观地表示各参数的可信区间，相对于传统的点估计更加实用。总之，运用贝叶斯估计不仅为建立审计意见决策模型提供了新的思路，而且通过引入贝叶斯有序Mixed Logit模型，对于促进国内经济与管理研究领域进一步深化各种离散选择行为的研究也具有重要的借鉴意义。
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常见的建立数学模型的方法范文6
[关键词] 数学建模；国家课程标准；教学实践
数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。
一、常规课堂教学中的数学建模教学
广义地说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统都可以称为数学模形。如“椭圆的方程及图象”就是一个数学模型，“用‘二分法’求方程的一个近似解”也是一个数学模型。针对学生在数学建模中不会对实际问题进行抽象、简化、假设变量和参数，形成明确的数学框架的困难，我们在常规的数学课堂教学中，有意识地选择合适的教学内容，模仿实际问题中建立数学模型的过程，来处理教材中常规的学习内容，从而为学生由实际问题来建立模型奠定基础。
譬如，对于二面角内容的教学，在学生原有生活经历中，有水坝面和水平面成适当的角的印象；有半开着的门与墙面形成角的印象，那么我们在让学生形成二面角的概念时，应当从学生已有的这些认识中，舍弃具体的水坝、门等对象，而抽象出“从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角”，在这里，半平面是相对于水坝拦水面、门等的具体对象而进行合理假设得到的理想化对象，而在进一步研究如何度量一个二面角的大小时，我们是让学生提出各种方案，然后通过讨论、比较各方案所定义的几何量对给定的二面角是不是不变量，同时又简洁表达了二面角中两个半平面闭合程度的大小。以上关于二面角的概念及其度量方法的教学过程，实际上就是建立数学模型并研究模型的过程。建立数学模型实质就是化抽象为具体。就像上文所说，把生活中的常识转化为原理。在常规的曰常课堂教学中，完全可以选定适当内容，创设出数学建模的教学情景来处理教学内容，从而为学生真正面对实际问题来建立模型、研究模型创造条件，这样更有利于学生们对事物的理解。
二、教师提供问题的数学建模教学
教师提供问题的数学建模，基本上同目前开展的大学生、中学生数学建模竞赛中需要完成的建模任务相同。这种形式的数学建模学生不需要自己选定实际问题研究，而是由教师选定适合于学生水平的实际问题呈现给学生，在教师的启发、引导下，学生小组通过讨论，自己完成模型选择和建立、计算、验证等过程，最后用小论文的形式呈现自己的研究成果，这种形式的数学建模学生已真正接触到实际问题，并经历建模的全过程。
经过了曰常课堂教学中的数学建模教学，学生对什么是数学建模已有了一定的认识，并已经历了由具体问题抽象出明确数学框架的锻练，因此，我们在这种形式的数学建模教学中，主要是加强以下几个方面的教学。
1.提供的实际问题必须难易适度，应当适合于学生的认知水平。对于较难的问题，我们往往给出必要提示，如启发学生通过提出合符常理的假设来将复杂的问题化为可以建模的问题；通过提示学生设定相关变量来达到使模型容易建立等。
教师可从选定的实际问题、模型假设、变量设定等方面来控制难度，其中模型假设和变量设定是直接影响到模型建立的关键因素，对此关键点教师没计适当的教学形式，是“教师给定问题型”建模教学的关键。
2.在“教师给定问题型”的数学建模的实践中，学生将经历建模的全过程，其中在模型的求解这一环节，往往需要借助计算机选择一个合适的数学软件平合，通过数学实验来求解模型。我校近年来，对这一环节的教学比较重视，每年都对将参加上海市中学生数学建模夏令营的学生团队进行数学软件Matlab的使用辅导，通过使学生精通一种软件的使用，再介绍学生自己钻研其它几种数学软件的使用，从而为学生正确求出模型的解，铺平了道路。
3.在近五年对学生的辅导过程中，我们感到以下一些问题可用来训练学生的数学建模能力，它们是：（1）路桥问题，（2）限定区域的驾驶问题，（3）交通信号灯管理问题，（4）球的内接多面体问题，（5）螺旋线问题，（6）最短路问题，（7）最小连接问题，（8）选址问题，（9）面包进货问题等。
4.在“教师给定问题型”的数学建模实践中，学生的研究结果，必须会用论文进行表达，会表达自己的研究思路及结果，是一个学生综合素质的体现。由于数学建模论文的撰写有一定的格式要求，当然这种格式要求是为了更好地使作者展现自己的研究结果，也是对论文质量的保证。
三、学生自选问题的数学建模教学
