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数学建模穷举法范文1
中图分类号：O1-0文献标识码A文章编号1006-0278（2013）06-196-01
一、引言
数学在本质上就是在不断的抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的，数学的学习只有深入到“模型”上，才是一种真正的学习。在利用数学方法分析和解决实际问题时，要求从实际错综复杂的关系中找出其内在的规律，再用数学的语言，数字、公式、图表、符号等刻画和描述出来，然后经过数学与计算机的处理即计算、迭代等得到定量的结果，供人们进行分析、预报、决策和控制，这种把实际问题进行合理的简化假设归结为数学问题并求解的过程就是建立数学模型，简称建模。而这种成功的方法和技术反映在培养专门人才的大学教学活动中，就是数学建模教学和竞赛。
二、数学建模的发展现状及发展趋势
建模在20世纪六七十年代进入西方国家的一些大学。近三十年建模在美国、英国、加拿大、日本、俄罗斯、德国等国家数学教育界成为一个热门的话题，并在国际数学教育大会上占有重要地位。
20世纪80年代初，建模课程引入到我国一些高校。我国第一本建模教材是1987年由姜启源等人编写的《数学模型》，当时仅几所学校的数学专业开设此课程。随后五六年，建模课程开设的学校增加到几十所学校，并且开始推向非数学专业。到目前为止开设建模课程的学校达到千余所。
1989年，在几位从事建模教育教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的赛事。建模竞赛给传统的高等数学教育改革带来了新的思路和评价标准。建模课从仅仅为参赛队员培训，扩展为一门比较普及的选修课。同时，数学试验作为一门新的课程也应运而生。建模问题绝大部分来自一些具体的科研课题或实际工程问题，而不同于普通的数学习题或竞赛题。建模与数学试验教学的重点是高等与现代数学的深层应用和面向问题的设计，而不是经典理论的深入研讨和系统论证。
建模综合了运筹学，数学实验，计算方法，数值分析，数学分析等数学学科的多门课。此外建模还与计算机有着重要的联系。面对要解决的问题越来越趋于复杂化，数据越来越大越多的情况，如果靠人工的手算，这几乎是不可能的事情，所以需要借助计算机，比如MATLAB和C++语言，这就加强了数学与其他学科的联系与交融，为科学的综合性，全面性提供了可能。
建模的多元化方法成为建模发展的一个重要的方向。线性规划、多元规划、二次规划等规划类问题（可借助Lindo、Lingo软件实现）；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；图论算法（包括最短路、网络流、二分图等算法）；蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性）；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法（数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）；数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法需要额外编写库函数进行调用）；图象处理算法等等，这些将是数学建模的主要方法。
三、数学教学建议
为了更好的促进大学数学教学，必须改变传统的教学模式。
（一）教师要转变教学观念
数学源于生活，也应用于生活。数学教学是为了学生更好的学习专业课及解决实际问题，为此数学教师不仅要了解数学的发展历史及发展动态而且要学习新的建模理论，不断提高自己的建模意识，把数学知识应用到实际生活中。
（二）数学教师把建模意识贯穿于教学的始终
以数学建模为切入点，促进数学教学改革。引导学生用数学观点去观察、分析和表示事物之间的关系。从繁缛复杂的具体问题中抽象出熟悉的数学模型。
（三）加强数学教学与不同学科的交叉及融合
不仅理工类专业知识和数学有很大的联系，而且经济管理及金融专业不少专业课知识和数学也有密切联系，甚至文科类专业和数学也有不少联系。作为数学教师，在教学过程中，我们要针对学生所学的专业，找到数学与其专业之间的联系，巧妙的把数学和学生所学的专业联系起来。
（四）把数学实验纳入大学课堂
数学实验是信息现代化的产物，它是计算机技术介入数学教学与数学研究的必然结果。它以计算机为工具，运用matlab、mathematics、maple等数学软件加工各种数学信息，以实验的方法来验证数学理论及应用数学理论解决实际问题。数学实验教学是一种新的教学模型，也是培养学生创新能力的重要途径。
参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第四版）[M].高等教育出版社， 2011.
[2]刘锋.数学建模[M].南京大学出版社，2006.
[3]李大潜.中国大学生数学建模竞赛[M].高等教育出版社，1998.
[4]王仲春.数学思维与方法论[M].高等教育出版社，1989.
数学建模穷举法范文2
[关键词]卓越计划；运筹学实验；数学建模
[中图分类号]G64 [文献标识码]A [文章编号]1005-6432（2012）41-0145-02
1 引 言
卓越工程师教育培养计划（以下简称“卓越计划”）是为贯彻落实党的十七大提出的走中国特色新型工业化道路、建设创新型国家、建设人力资源强国等战略部署，贯彻落实《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》实施的高等教育重大计划。“卓越计划”具有三个特点：行业企业深度参与培养过程、学校按通用标准和行业标准培养工程人才、强化培养学生的工程能力和创新能力。力求培养一大批面向工业世界、面向世界、面向未来、适应经济社会发展需要的高质量各类型工程技术人才。而高校是实施“卓越计划”的主要阵地，在“卓越计划”的推进过程中加强专业课程改革是十分必要的。
管理运筹学的飞速发展为各个行业把握管理大型组织的复杂性提供了一套十分重要的工具。这些工具集中了世界的各个边缘的知识，其中包括数学、统计与概率论、计量经济学、电机工程甚至生物学。这些外来的技术，如线性规划、排队论、自动控制理论、博弈论、动态规划以及信息论，正在帮助解决各个行业中的实际问题。
因此，在管理运筹学教学中应针对所要解决实际问题的要求和其面临的客观环境条件，作出假设分析，抽象为数学模型，然后应用相关的数学知识加以解决。这就要求问题解决者要知识面广、逻辑思维严密，这对于非数学专业，特别是经管类专业学生实在过于困难，因为，由于受到学时限制，经管类专业学生对高等数学、线性代数、概率与数理统计等先修课程学的比较肤浅，没有或很少经过数学严密的逻辑思维方面的训练，而且经济管理类专业学生是文理科兼收，有相当一部分学生在数学方面的课程普遍底子较差，这客观上就给运筹学教学带来很大困难。因此，为使经济管理类学生能正确全面地掌握各级管理中已被广泛应用，且发展较成熟的最优化理论与方法，并能恰当运用解决实际管理工作中的各种最优化问题，有必要针对经济管理类专业学生的特点和运筹学课程的性质，进行运筹学教学方法的改革。
2 运筹学在数学建模中的应用
管理运筹学在数学建模中有着广泛的应用，多年来许多数学建模竞赛中都涉及运筹学的相关内容。
首先介绍一下图与网络在数学建模中的应用，通过“奥运场馆周边的MS网络设计方案”这个例子来说明其应用。假定奥运会期间每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径。测算题目中20个商区的人流量分布。首先将建模结构图转化为无向赋权图，并鉴于该图的对称性，通过设计一种特殊的流量计算方法对传统的Dijkstra算法进行改进；其次，用MATLAB编写求解最短路的应用程序，可以得到任意两点间的最短路径，进而得到观众出行的最短路径和所经过的商区。
接着通过“彩票发行方案的优化设计模型”这个例子来说明决策论在数学建模中的应用。设计一种“更好”的方案，据此给彩票发行部门提出建议。对此问题，可根据效用理论中存在着主观概率，以及彩票信息在人群中的传播效应，建立主观概率意义下的优化模型。但这个模型是较大规模的非线性规划模型，用穷举法求解比较困难，可采用模拟退火算法来求解，用MATLAB编程实现。
3 结合数学建模改进教学方法
3. 1 更新教学观念，充分重视实验教学
结合数学建模在教学中增加实验教学，以提高学生解决实际问题的能力、培养学生的观察和动手能力为宗旨，有利于培养学生的创新意识与创新能力。在今后的教学中，统筹安排课时，根据教学进度合理安排实验教学时间，力求在完成每一知识点的学习后安排一次实验。实验内容将从实际问题出发，突出本章节的基本原理与基本方法，教师进行监督与指导，有助于学生对理论知识的掌握与理解，同时学生的实践能力得到锻炼，自主学习能力得到提升。
3. 2 分级教学
从学生实际出发，因材施教是将几乎处于同一水平的学生放在一起分别教学的一种教学手段。这种教学体系，根据学生的个体差异，按照不同科目的不同学习能力的高低将学生群体划分成不同的级别或层次，有针对性地进行分班教学。有效的分级教学，能使教师节约精力突出重点积累经验，能让学生尽可能地在各自的最近发展区得到充分的自由发展，谋求各个层次的学生都能获得成功的体验，促进学生的素质得到全面提高。所以说，分级教学是建立在以学生成才为本理念基础上，为实现教学目的的一致性和教学过程的互异性所进行的重要实践，因材施教是分级教学的核心思想。在运筹学教学过程中，也可采用分级教学，培养学生对运筹学的学习兴趣，进而培养数学建模人才。
3. 3 适宜的教学方法
近几年来，由于扩招，生源的扩大，学生基础参差不齐。因此，教师应根据学生具体情况，精心设计教案，调整教学内容、次序和教学组织方式；尽量从学生感兴趣的实例出发，引入正题，以引发学生学习兴趣，吸引学生注意力，使之能更好地掌握理解所学知识，并能恰当运用解决实际问题。
传授新知识时，教师讲授的时间不能过长，内容不能过多，节奏不能过快，并要将基本概念、基本原理在不影响教学效果的情况下，分散介绍，使学生易于接受；否则，教师的讲授将是无效的讲授。运筹学课程内容多、逻辑性强且抽象，需要学生理解掌握。因此，课堂上教师的板书一定要简洁、条理清楚、重点和注意事项突出，并要求学生养成做笔记的良好习惯，以便于课后温习理解和掌握。
3. 4 量体裁衣，突出专业特色
实验教学中实验内容是反映教学目的载体，丰富的实验内容可以激发学生的学习热情和拓宽知识结构。因此，实验内容的选择要“量体裁衣”。面对知识面较广的商学院学生，要想上好运筹学并凸显其实用性，教师需具备充分的定量和经济管理学知识。例如，库存模型通常将需求区分为固定和相对复杂的随机两类，当学生对需求满足特定分布的假设产生疑惑时，教师就应当能够适时介绍需求数据的获取及利用统计学软件对其分布加以判断的方法，这可加深学生对运筹学交叉性的理解。
4 结 论
随着科学技术的进步及“卓越计划”的深入推进，需要对运筹学课程的建设持续探索与实践，不断完善教学方法与教学内容，提高学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，真正意义上实现运筹学作为经济管理类专业核心课程应有的重要作用，并锻炼学生的动手能力，培养学生的创新意识与创新能力，以满足创新教育的要求。
参考文献：
[1]教育部. 教育部启动“卓越工程师教育培养计划”[Z].
[2]韩中庚. 数学建模竞赛——获奖论文精选与点评[M].北京：科学出版社，2007（5）.
[3]刘智，汪妍. 管理运筹学教学的思考[J].高师理科学刊，2011（4）：83
数学建模穷举法范文3
【关键词】中学数学 常用方法 思考
所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式.人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序.同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为数学方法.数学方法是以数学的工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。数学方法具有以下三个基本特征：一是高度的抽象性和概括性，二是逻辑的严密性及结论的确定性，三是应用的普遍性和可操作性. 数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁确定的形式化语言，二是提供数量分析及计算的方法，三是提供逻辑推理的工具.现代科学技术特别是电子计算机的发展，与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成. 在中学数学中经常用到的基本数学方法，大致可以分为以下三类：
（ 1 ）逻辑学中的方法.例如分析法（包括逆证法）、综合法、反证法、归纳法、穷举法（要求分类讨论）等.这些方法既要遵重逻辑学中的基本规律和法则，又因为运用于数学之中而具有数学的特色.
（ 2 ）数学中的一般方法.例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法（也称坐标法，在代数中常称图象法，在学生今后要学习的解析几何中常称坐标法）、比较法（数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同）等.这些方法极为重要，应用也很广泛.
（ 3 ）数学中的特殊方法.例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法（也称之为中间变量法）、拆项补项法（含有添加辅助元素实现化归的数学思想）、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等.这些方法在解决某些数学问题时也起着重要作用，对于某一类问题也都是一种通法。
我们要求尊重学生的学习主体地位，要真正把学生作为学习的主人翁看待；关注学生的学习过程，倡导学生主动参与，使学生在自主、合作、探究的方式中积极主动地进行学习活动；培养学生的创新精神与实践能力。特别是对于初中一年级，要为学生学习数学知识打下良好基础，数学学习方法的学习显得更具有时代性和前瞻性。数学学习方法指导是一个由非智力因素、学习方法、学习习惯、学习能力多元组成的统一整体，因此，应以系统整体的观点进行学法指导，目的在于使学生加强学习修养，激发学习动机；指导学生掌握科学的学习方法；指导学生学习数学的良好习惯，进而提高学习能力及效果。
（1）正确认识数学学习方法的重要性。 启发学生认识到科学的学习方法是提高学习成绩的重要因素，并把这一思想贯穿于整个教学过程之中。可以通过讲述数学名人的故事，激励学生，我结合《数轴》一课的内容，在班上讲述笛卡尔在病床上发现数轴，最终开创了用数轴表示有理数的故事。让孩子懂得了获得数学知识，学习数学的方法才是关键。在班级中，我多次召开数学学法研讨会，让学习成绩优秀的同学介绍经验，开辟黑板报专栏进行学习方法的讨论。
（2）形成良好的非智力因素 非智力因素是学习方法指导得以进行的基础。初一学生好奇心强烈，但学习的持久性不长，如果在教学中具有积极的非智力因素基础，可以使学生学习的积极性长盛不衰。激发学习动机，即激励学生主体的内部心理机制，调动其全部心理活动的积极性。有的课教师还可以运用形象生动、贴近学生、幽默风趣的语言来感染学生。 锻炼学习数学的意志。心理学家认为：意志在克服困难中表现，也在经受挫折、克服困难中发展，困难是培养学生意志力的“磨刀石”。我认为应该以练习为主，在初一的数学练习中，要经常给学生安排适当难度的练习题，让他们付出一定的努力，在独立思考中解决问题，但注意难度必须适当，因为若太难会挫伤学生的信心，太易又不能锻炼学生的意志。 养成良好的数学学习习惯。有的孩子习惯“闷”题目，盲目的以为多做题就是学好数学的方法，这个不良的学习习惯，在平时的教学中老师一定要注意纠正。
（3）指导学生掌握科学的数学学习方法。 ①合理渗透。在教学中要挖掘教材内容中的学法因素，把学法指导渗透到教学过程中。②随机点拨。无论是在授课阶段还是在学生练习阶段，教师要有强烈的学法指导意识，抓住最佳契机，画龙点睛地点拨学习方法。 ③及时总结。在传授知识、训练技能时，教师要根据教学实际，及时引导学生把所学的知识加以总结。我在完成一个单元的学习之后都让孩子们养成自己总结的习惯，使单元重点系统化，并找出规律性的东西。 ④迁移训练。总结所学内容，进行学法的理性反思，强化并进行迁移运用，在训练中掌握学法。
（4）开设数学学法指导课，并列入数学教学计划。 在我所任教的初一年级里，我每两周一课时给学生上数学学法的指导课。结合正反例子讲，结合数学学科的具体知识和学法特点讲，结合学生的思想实际讲，边讲边示范边训练。
数学建模穷举法范文4
乐东县民族中学 文至
摘要:变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式， 一个法则，它的表述形式是多种多样的。在数学解题中，为了完成论证，求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。本文主要介绍了在初等数学中的" " ，" " ，三角函数，一元二次方程等的变形应用。掌握好并灵活运用它，可以很快确定解题方向，减少解题的盲目性，提高解题效率。
关键词:初等数学 ；变形 ；技巧
数学是一个有机的整体, 各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透, 从而构成了一个互相交错的立体空间. 所以, 为了培养数学学习中的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合应用数学知识分析解决实际问题的能力, 除了对各单元知识, 及一些开放探索性问题, 实践应用性问题等综合内容进行系统复习外, 在最后阶段的复习中, 应对常用的数学方法和重要的数学思想引起重视, 并有意识地运用一些数学思想方法去解决问题, 这样才能使我们的数学学习提高到一个新的层次、新的高度.常用的数学方法, 是针对各种不同的数学知识而定的一种策略. 不同的问题可以用不同的方法, 相同的问题也可以有各种不同的方法 ( 即所谓的一题多解 ). 各种数学方法与数学知识一样, 是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富, 并且是数学知识所不能替代的.在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类：
逻辑学中的方法。例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。
数学中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法。代数中常用图象法，解析几何中常用坐标法)、向量法、比较法(数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法、同一法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等。这些方法极为重要，应用也很广泛。 数学中的特殊方法。例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。而变形也是数学中的一种重要的方法之一。变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式， 一个法则，它的表述形式是多种多样的。例如勾股定理可表述为 ，亦可表述为 等。若问 ？，这显然是一个不屑回答的问题，但若问1=？就成了最富灵活性的问题，例如 等。可见"变形"实在是一个内涵十分丰富的概念，在某些著名数学问题的解决中，变形技巧的巧妙运用也是至关重要的一环。我们在数学解题中，为了完成论证，求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。本文主要介绍" " ，" " ，三角函数，一元二次方程等的变形应用，希望对这几方面的变形应用的介绍，对于其他的解题变形能起到抛砖引玉的功效。下面我们分别来谈谈这几种变形技巧的应用。
1.1 一元二次方程的变形技巧
对有些含有（或可转化）一元二次方程的代数问题，如能对方程进行适当变形并施以代换，则常常可使问题化繁为简。下面列举例子说明。
例 1 已知 是方程 的两根，求 的值。
解：因为 是方程 的根 。
则 ，
。
又因为 是方程 的两根， ，
。
分析：如果要求出 的值，那么就很复杂，而且容易出错，在这里通过变形的技巧先从结论出发，这样可以提高解题的效率、节省时间。
例 2 若 ， 是一元二次方程 的两个根，
求 的值。
解：由题设得
，
及 ， 。
分析：通过观察要求的结论可知，只要对要求的结论作一下变形，则这道题目便可以轻易解决。不必求出 和 的值。
例 3 设实数 分别满足 ，并且 ，求 的值。
解：由题设可得 。
两式相除，得 。
由比例的基本性质，得 ，
整理得
，
分析：通过仔细的观察可知只要对已知条件 进行变形，再利用比例的基本性质即可解决这道题。 总结：我们在解决一元二次方程的代数问题时，首先要认真仔细地观察题目的已知条件和所要求的式子，观察它们之间有什么特点，然后再充分利用已知条件来解决所要求的问题。特别是要灵活应用韦达定理：即如果 为方程 的两个根，则 。在解这类题目时，可以从已知条件出发，也可以从结论入手。关键是要善于观察所要求式子的特点。 1.2 三角函数的变形技巧
三角函数是初等函数的重要组成部分，它与初等代数、初等几何的关系十分密切。特别是三角函数的求值问题，而三角函数求值的关键是合理地进行三角恒等式的变形，其基本思路是"三看"，即一看角、二看函数名称、三看结构特征。除此之外，我们还常常应用代数的技巧和构造法，为三角恒等变形创造条件。 例4 已知 ，求 的值。 分析：除了这里的 外，还有以下等式也经常用到： 灵活运用这些等式，可以使许多三角函数问题得到简化。 例 5 已知 ，求 的值。
分析：对于正切和角公式 可正用也可逆用。而 为变形形式。这里 是 公式的变形应用。 例 6 在 中，已知角 成等差数列，求 的值。 解： 成等差数列， 由两角和的正切公式，得 分析：本例是正切公式变形的应用。在历年高考题中，曾多次出现两角和与差的正切公式的变形应用，读者在学习中一定要总结、体会。 例 7 （ 年全国高中数学联赛试题）试求 的值。 讲解：注意到 我们可以通过构造对偶式，以减少三角变换的难度。再观察所求三角函数式，不难发现它与余弦定理非常相似，所以我们还可以通过构造三角形，使问题得到整体的解决。
说明：这里通过构造对偶式和三角形来求三角函数式的值是一种较高的变形技巧。 总结：三角函数式的恒等变形是学习三角函数和其他数学知识的重要知识。它包括化简三角函数式，求三角函数式的值，证明三角恒等式等。三角函数式恒等变形的理论依据是代数式恒等变形的一般方法和法则，与三角函数式的变形公式。变形中要注意三角函数定义域和值域的要求，以及符号的变化和选择。 1.3 "0"的变形技巧
恩格斯在《自然辨证法》一书中指出："零不只是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被要所限定的数都更重要，事实上，零比其他一切数都有更丰富的内容 零乘以任何一个数,都使这个数变为零,零除以任何一个不等于零的数, 都等于零, "由于零具备许多特殊的性质,因此,在解题活动中我们若能对这些特性加以注意,对于解题的顺利进行是大有帮助的,下面我们举例几个"0"的特性在解题中的应用。
例 8 若 ，求证：
。
证明：因为
分析：通过观察可发现 可以变形为 ，即式子 中加了 。则再利用不等式的性质可方便解决这道题。
例9 在等差数列 和等比数列 中，
分析：本题主要在 变形，即分子上加 ，再利用不等式和等差数列的有关知识去解决即可。
例 10 在数列 中， 求： 通项 ； 前 项的和 。
解： 令 ， 为 的前 项和，则 是首项为 ，公差为 的等差数列。
分析：本题主要应用了 然后再利用等差数列的知识便可解决这道题目。
总结："0"是一个很有用的数字，在数学解题中若能灵活应用它，则会帮助我们顺利地解题。如果有些题目可以借助"0"来解决，我们应该充分利用"0"的有关特性去解决。这样可以很快确定解题方向，提高解题效率。
1.4 "1"的变形技巧
众所周知" "的变形表述形式是十分丰富的，在数学问题的求解活动中，如果我们善于捕捉" "，恰当地用" "来解决数学问题，会使问题的解决显得十分的简洁明了。下面我们来看它的应用。
例 11 化简 。
说明：本题充分利用 使问题巧妙解决。本题也可以用三角函数的知识来解答，但是比较麻烦。
例 12 若
分析：由均值不等式 有
式左边是 个正数之积，右边是 的 次乘方，而求证式左边是 个正数的积，但任何数乘以 其值不变，因此，我们可以在求证式的左边乘以 个 ，将其视为 正数之积。
说明：这里的 有 个
例 13 在等差数列 中， ，公差 ，设 ，则 。
分析：这里巧妙的运用 使问题得以解决。即 而这里的 。
例 14 设 求证： 。
解： 若 ， ， 中有两个或三个为负，不妨设 , ,则 ,即 矛盾。
因而 ， ， 中至多有一个为负。
当 ， ， 中只有一个为负时，不等式显然成立。
当 ， ， 均为非负时
同理 ，
故
分析：这道题如果不认真去考虑，那么将很容易遗漏 和 这两种情况。即要讨论 ， ， 这三个数的正负情况。而第三种情况用到了 和 的变形技巧，即 用到了 的变形技巧，而 用到了 的变形技巧。然后再利用不等式的性质便可解决这道题。
数学建模穷举法范文5
关键词：计算思维；计算机基础教学；案例；算法
1 背景
计算思维（Computational Thinking）是近几年计算机基础教育界的热门研究领域。2006年，周以真教授全面定义和阐述了计算思维。她认为，计算思维就是运用计算机科学的基础概念进行问题求解、系统设计以及人类行为理解的涵盖计算机科学之广度的一系列思维活动。随后陈国良院士将其引入国内，引起各界的广泛共鸣，为高校乃至各层次的计算机基础教学改革提供了思路。目前，计算思维能力的培养已成为高校计算机基础教学界公认的计算机基础教学改革的方向，然而，计算思维并非新鲜事物，它早已有之，并随着计算工具的发展而发展，只不过周以真教授将其清晰化和系统化。以往的计算机基础课程的教学内容和教学活动中很多地方都体现着计算思维，现在需要我们把它更加科学化、显性化地表现出来，并且更有目的地进行培养。2012年教育部高等学校计算机基础课程教学指导委员会举办召开的第一届计算思维与大学计算机课程教学改革研讨会上，专家提出将“普及计算机文化、培养专业应用能力、训练计算思维能力”作为大学计算机基础课程教学的总体目标要求。
2012年11月，经教育部高等教育司批准，教育部高等学校计算机基础课程教学指导委员会与文科计算机基础教学指导委员会启动大学计算机课程改革项目，自此之后，关于计算思维的研究如火如荼，有不少成果问世，这使计算思维理论体系得以逐步完善。计算思维是一种解决问题的方法体系，可以实现自动化，也可以转换到跨学科的应用中；它通过一个个要素形成其框架体系。典型的计算思维包括一系列广泛的计算机科学的思维方法，如递归、抽象和分解、保护、冗余、容错、纠错和恢复等，这些要素不是枯燥而抽象的纯粹理论表述，它们完全可以自然而然地通过计算机基础课程中所涉及的各种知识点和案例进行更加有效的表达。例如，通过穷举法、回溯法、递归、分治法、贪心法等经典的算法设计体现计算思维中的几种经典思维，将这些经典算法和学生所熟知的排序问题、汉诺塔问题、国王的婚姻、背包问题等相结合，通过对这些具体问题的算法设计，让学生体会到如何选择合适的方法陈述问题，如何对一个问题或问题的相关方面进行建模，并考虑如何使其易于计算机处理。
2 计算思维概念的自然引入
人类通过思考自身的计算方式，研究是否能由外部机器模拟，代替我们实现计算的过程，从而诞生了计算工具，并且在不断的科技进步和发展中发明了现代电子计算机。在此思想的指引下，还产生了人工智能，用外部机器模仿和实现我们人类的智能活动。随着计算机的日益“强大”，它在很多应用领域中所表现出的智能也日益突出，成为人脑的延伸。与此同时，人类所制造出的计算机在不断强大和普及的过程中，反过来对人类的学习、工作和生活都产生了深远的影响，同时也大大增强了人类的思维能力和认识能力，这一点对于身处当下的人类而言都深有体会。早在1972年，图灵奖得主Edsger Dii.kstra就曾说：“我们所使用的工具影响着我们的思维方式和思维习惯，从而也深刻地影响着我们的思维能力”，这就是著名的“工具影响思维”的论点。计算思维就是相关学者在审视计算机科学所蕴含的思想和方法时被挖掘出来的，成为与理论思维、实验思维并肩的3种科学思维之一。计算思维是计算时代的产物，应当成为这个时代中每个人都具备的一种基本能力。
由此可见，在介绍计算机的诞生与发展时，自然地提及计算思维的基本思想，进而再较为详细地介绍计算思维的相关概念和内涵，更容易被学生接受，并且在后续学习中主动而有意识地加强相关能力的培养。
3 计算思维要素的自然体现
算法和数论中很多内容涉及计算与计算思维，如递归就是一种典型的计算思维。递归的案例很多，可以从德罗斯特效应（Droste effect）说起，用一张图（如图1）就能很好地说明什么是德罗斯特效应，然后解释德罗斯特效应与递归的关系，因为它并非严格意义上的递归，让学生从感性的角度对递归有一个认识。再如电影盗梦空间，从现实走入一层又一层有意构建的梦境，而后又克服重重困难走出层层梦境回归现实，这部电影充斥着典型的递归思想，通过这种学生感兴趣或者采用当前热门的话题来介绍递归概念的方式，可以显著提升学生的学习兴趣，激发其学习的主动性和积极性。
下面我们通过与计算相关的案例进一步介绍递归，例如汉诺塔问题（Tower of Hanoi），这是目前在介绍递归的书中用的非常多的一个案例，它不仅是一个递归问题，而且通过计算我们不难发现，移动金片的次数，f（n）与宝石针上的金片个数n之间的关系是为：
f（n）=2n-1
因此当n=64时，f（n）的值将高达18，446，744，073，709，551，615，按移动一次花费1s计算，需要约5 845亿年才能完成，这样的问题在现实中几乎是无法实现的，但我们可以借用计算机的超高速，在计算机中模拟实现。由此可见，借助现代计算机超强的计算能力，有效地利用计算思维，就能解决之前人类望而却步的很多大规模计算问题。
相对于汉诺塔问题，斐波那契数列（Fibonacci Sequence）是更为简单、典型且易于接受的递归问题。斐波那契数列又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21……，即后一个数字是前两个数字之和，在数学上，斐波纳契数列直接被以递归的方法定义：
f（0）=0
f（1）=1
f（n）=f（n-1）+f（n-2）（n>=2，n∈N*）
这个级数与大自然植物的关系极为密切，几乎所有花朵的花瓣数都来自这个级数中的一项数字。例如，菠萝表皮方块形鳞苞形成两组旋向相反的螺线，他们的条数必须是这个级数中紧邻的两个数字（如左旋8行，右旋13行），又如向日葵花盘（见图2）。它形成了一种自然规律，现在人们也将其应用于股票、期货技术分析中，在现代物理、准晶体结构、化学等领域也都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了Fibonacci Sequence季刊，专门刊载这方面的研究成果。有趣的是，随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.618 033 988 7，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用，另外在取石子的博弈游戏中按此规律必能获胜。利用这种规律，我们可以用计算机模拟自然、创建人机对战的博弈游戏，以及对金融走势的分析等。
此外，计算机中文件夹的复制也是一个递归问题，因为文件夹是多层次性的，需要读取每一层子文件夹中的文件进行复制。扫雷游戏中也有递归问题，当鼠标单击到四周没有雷的点时往往会打开一片区域，因为在打开没有雷的四周区域时，如果其中打开的某一点其四周也没有雷，那么它的四周也会被打开，以此类推，就能打开一片区域。这些问题用递归方法实现既清晰易懂，还能通过较为简单的程序代码实现。
计算思维的要素还有很多，以上我们以递归为例介绍了如何通过学生喜欢并易于接受的案例将递归的概念、思维方法显现出来，并应用于各种现实的应用和问题解决中。根据计算思维的要素构造案例时，最好能够构造出3种不同层次的案例（见图3），驱动学生主动思考并领会计算思维。这3个层次包括简单的计算问题案例、与
通过案例的驱动、问题的解析，在强化计算思维要素的同时，也经由3种不同层次案例的递进关系逐步深化对学生计算思维能力的培养。
4 程序设计与计算思维
计算思维也可以体现在程序设计中，如经典的证比求易算法――“国王的婚姻”。这是一个很有意思的故事：一个酷爱数学的年轻国王向邻国一位聪明美丽的公主求婚，公主出了这样一道题：求出48，770，428，433，377，171的一个真因子。若国王能在一天之内求出答案，公主便接受他的求婚。国王回去后立即开始逐个数地进行计算，他从早到晚共算了3万多个数，最终还是没有结果。国王向公主求情，公主告知223，092，827是其中的一个真因子，并说，我再给你一次机会，如果还求不出将来，你只好做我的证婚人了。国王立即回国并向时任宰相的大数学家求教，大数学家在仔细地思考后认为，这个数为17位则最小的一个真因子不会超过9位。于是他给国王出了一个主意，按自然数的顺序给全国的老百姓每人编一个号发下去，等公主给出数目后立即将它们通报全国，让每个老百姓用自己的编号去除这个数，除尽了立即上报赏金万两。最后国王用这个办法求婚成功。实际上这是一个求大数真因子的问题，由于数字很大，国王一个人采用顺序算法求解，其时间消耗非常大。当然，如果国王生活在拥有超高速计算能力的计算机的现在，这个问题就不是什么难题了，而在当时，国王只有通过将可能的数字分发给百姓，才能在有限的时间内求取结果。该方法增加了空间复杂度，但大大降低了时间的消耗，这就是非常典型的分治法，将复杂的问题分而治之，这也是我们面临很多复杂问题时经常会采用的解决方法，这种方法也可作为并行的思想看待，而这种思想在计算机中的应用比比皆是，如现在CPU的发展就是如此。同样，计算机基础教学在介绍各个知识点时，往往也是由简人难、不断深入的，随着问题复杂度的逐步提升，需要让学生掌握如何采用抽象和分解来控制庞杂的任务或进行巨大复杂系统设计的方法。这些思想方法和思维能力是一通百通的，也是如今计算机基础教学中真正希望学生能够掌握的。
在日常的教学过程中，介绍这些经典的算法后，需要通过一种具体的程序设计语言将算法转换为计算机可以执行的程序，了解如何将具体问题抽象化后由计算机实现的过程，并从程序的执行效率中让学生感性地判断出算法的好坏，从而对各种算法进行评价分析，体现出在时间和空间之间，在计算机处理能力和存储容量之间需要进行折衷的思维方法。当计算机基础教育界在热议计算思维的同时，“Machine Thinking”在管理学界也成为时下最流行的词汇之一，他们认为编程特别是其思想正在成为数字时代的一项基本技能，对新时代的知识工作者而言，编程早已不是程序员的必修课，而是营销人员、业务人员甚至CEO的必修课，一些必要的编程知识成为更好地理解新技术、新服务和新商业模式的第3只眼睛。因此，对于各种专业的学生，无论文理，都应当学习一些基本的算法和程序设计，虽然很多非计算机专业的学生将来可能很少进行程序设计和系统构建这样直接应用计算科学的实践，但是在其接触到的信息技术中，计算科学的应用和计算思维的体现无处不在，而且由于计算机科学技术的发展，可以在不同的逻辑层次进行定制与开发，这也为非计算机专业学生进行计算思维培养相关的实践活动提供了可能性。对于理工科学生可以学习C、Visual Basic、Visual C++、Java、c≠}、Fortran、Python等高级程序设计语言，而对于文科专业学生可以选择学习的程序设计语言也很多，例如可以选择文科专业需要掌握的某项技能软件之上的二次开发，例如在EXCEL、WORD中的宏编程（Visual Basic Application），或者网页开发中的脚本语言VB Script或JavaScript等。而且随着程序语言向自然语言编程方向的不断发展，还可以选用起点很低的完全可视化编程语言，如RAPTOR（the Rapid AlgorithmicPrototyping Tool for Ordered Reasoning）、MIT开发的Scratch、Google开发的Blockly等，这些可视化编程语言和环境可通过简单直观的图谱结构实现编程，通过它们设计的程序和算法亦可直接转换成为c++、c#、Java等高级程序语言，为程序和算法设计的基础课程提供教学实验环境。程序设计课程应当从复杂的语法规则中解放出来，将内容重点转移到问题的抽象，算法的构造，程序的实现和评价等知识上，让学生不仅能掌握一门算法语言，更重要的是可以加深他们对相关软件实现的理解，从而进一步理解计算科学的本质――抽象和自动化。
5 结语
综上所述，在计算机基础课程内容中，通过典型案例的构建，完全能够潜移默化地将计算思维的思想融入其中，在教与学的互动过程中，通过学生的自我学习和领悟，使其最终能沉淀于学生的脑海里，内化为一种思维习惯，真正实现将计算思维能力与“读、写、算”（Read、Write acomposition、Arithmetic，简称3R）能力一样的一种基本能力，并能在学生自身的专业学习中，通过这种能力和思维方式，分析并解决各种专业问题和实际问题；同时还能在所从事的研究领域内也注重其学科本身所蕴含的思想与方法，实现方法的互通与思想的交融。当然，值得警惕的是，在我们以计算思维为切入点进行计算机基础教学改革，冲破原有“狭隘工具论”的同时，仍应坚持面向应用，且不应偏废其他能力和思维的培养，如应用能力、动手能力、创造性思维等，不能犯片面主义的错误。在2013年第九届“全国高等学校计算机教育改革与发展高峰论坛”上，根据30多年来计算机基础教育所取得的经验和形成的基本规律，大会总结计算机基础教育不变的本质特征――“面向应用、需求导向、能力核心、分类指导”。实际上，计算思维能力的培养就是一个动手动脑的学习和实践过程，从普适通用的计算机应用能力层面看，计算思维能力和信息行动能力等同等重要。
参考文献：
[1]周以真.Computational Thinking[J].Communications of the ACM，2006，49（3）：33-35
[2]陈国良.计算思维[J].中国计算机学会通讯，201l，8（1）：31.34.
[3]卢湘鸿.浅议计算思维能力培养与大学计算机课程改革方向[C]，∥全国高等院校计算机基础教育研究会.全国高等院校计算机基础教育研究会2012年会学术论文集.北京：清华大学出版社，2012：10.
[4]陈国良，董荣胜计算思维与大学计算机基础教育[J].中国大学教学，2011（1）：7-12.
[5]冯博琴.计算思维驱动的计算机基础课程改革思考和实践[EB/OL].（2013-8-20）[2014-02-25]..
[13]天极网.告别编程课MIT展示自然语言编程[EB/OL].（2013-07-16）[2014-02-25].http：∥/406/35250406.shtml.
[14]全国高等院校计算机基础教育研究会，中国铁道出版社.关于新一轮大学计算机教育教学改革的若干意见[J].计算机教育，2013（20）：54-67.
