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数学物理方法范文1
【关键词】 求导 连续型 速度分量 瞬心 图像 物理意义 极值条件
今年湖北三月调考试卷中有这样一道题：已知B的正北方18km处物体B以24km/h的速度向正南行驶，A以16km/h的速度向正东行驶，求半小时后AB的距离对时间的变化率？因为考虑学生的学习背景（已经学过初步微积分），很多学生自然想到用求导的方法来解决问题，笔者将在以后的篇幅中专门陈述，现将这道题的正解写在下面，然后再分析求导法则的运用范围。先用物理方法来解。
解：以A所在位置为坐标原点，以南北向为y轴，以东西向为x轴，则半小时后AB之间的距离与运动情况如图所示：BAO的夹角为θ，vBA=vAcosθ-vBsinθ=■，vBA=vAsinθL1=■=L1ω，vB=cosθ=L2■=L2ω，这样就可求出质心的运动规律，也可求出转动点瞬心的位置，很容易由几何关系得知：cosθ=■，sinθ=■；vBA=16×■-24×■=-1.6km/h。显然，我们可以认为质心一边做沿BA的运动，一边绕质心做转动。现用求导的方法求之：BA=■-■=■，当t=■时vBA=-1.6km/h，如果用BA=■-■=■，在t=0时，vBA=-1.6km/h
在这里我们只求了两者长度方向上的变化规律，并没有求出两者实质上还有绕某点（瞬心）垂直方向的转动规律。
例二：将一根轻绳长为l悬挂一小球从水平位置释放，求小球下落到最低点之前竖直方向的最大速度。
解：设下落到与水平方向成θ角时，竖直方向速度最大，由动能定理知mglsinθ=■mv2，vy=vcosθ，vy=■
这里涉及到f（x）=sinxcos2x的极大值问题 （x是锐角）。我们可以构造和为定值，积有最大值来求之，也可用求导求极值，我们也可以利用竖直方向合外力为0时速度最大求之。
mglsinθ=■mv2，T-mgcosθ=■，Tsinθ=mg，vy=vcosθ可极其简要的解出极值条件为sinθ=■，vy=■
例三：一只蚂蚁沿直线离开洞口的速度与距离成反比，已知在该直线的距洞口为a的地方的速度为va，求蚂蚁从该处沿直线爬到离洞口距离为b的时间。
解：■=v=■，k=ava，解得t=■
我们还可以利用运动学的图像法来求之。如图画出x-■的图像，则面积为所求时间。
显然，梯形的面积t=■，这是用图像法解决积分的一种转换方式。
例四：小船过河问题（水速大于船速），过河最短距离（设河宽d，水速为v1，船速为v2）。
解：设船与水平方向成夹角θ，t=■，y=d，x=（v1-v2cosθ），s=■，用三角形知识可解得s=■d，还可以通过作图用矢量法则求解。以v1的终点为圆心，以v2的大小做半径画半圆如图，则连接起点与圆上任意一点的连线为合速度，合速度与水平方向夹角越大，则距离越短，显然当与圆相切时夹角最大。显然可用相似比来求出最值s=■d，实际上这是函数f（x）=■的极值一种求法。
通过以上实例，我们发现物理条件是解决数学条件极值的一种有效方法，并且可以建立模型来解决许多数学问题。我们通过这些互证方式，可以提高解题能力，并促进建模能力的提高，从而达到培养能力的效果。
参考文献
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【关键词】数学方法 几何 方程 图像 物理量
【中图分类号】G712 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）12-0129-02
数学是一门非常重要的基础科学。在理解物理概念、物理规律以及解决物理问题时，数学知识起着重要的工具作用。不论物理课程的学习或是物理实验，都必须以数学功底作为理论基础。如著名的物理学家牛顿，谁都可能看到苹果落地，而他却可以推导出万有引力定律，正因为他有深厚的数学功底才发明了微积分，并且会运用数学解决物理问题，这才有了他的三大力学定律和万有引力定律。著名的物理学家爱因斯坦，由于他有深厚的数学理论，导出了质能方程，提出了相对论。所以说伟大的物理学家也是数学家。随着物理学的发展，概念越来越抽象，越来越需要利用数学方法。接下来，笔者就数学在物理中的应用问题做简单论述。
一 几何图形与物理
在计算过程中，几何图形是解决问题的一个重要手段，它通过数形结合，直观、形象地帮助解决问题。以以下例题来进行说明。
例1，如图1所示，一直角斜槽（两槽面间夹角为90°，两槽面和竖直面的夹角均为45°），对水平面的倾角为θ，一个正方形的物块沿斜槽匀速下滑，设两槽面的材料相同，求物块和槽面之间的动摩擦因数μ。
分析：解决上述问题的有效途径就是把物理问题转化为数学问题，有效地运用数学知识来解决物理问题。
求这个问题，先将立体图像转化为平面图形求解，如图2所示，正方形的物块与直角斜槽两个面接触，故有两个大小相等、方向对称的弹力N，运用平行四边形法则求出合力为 N，方向垂直斜槽底边向上。建立力的示意图，如图3所示。根据力的分解建立方程组，有：
几何在物理中的应用，主要是将几何图形在数学中证明与计算的思维方式潜移默化到物理中来，也就是在解决问题时，将物理量转化为数学中的二维空间，简化解决问题的方法。
二 方程与物理
方程在解决物理问题方面，是必不可缺的资源。数学中的方程种类众多，而在中学阶段，应用方程解决物理问题，主要是多元一次方程组，一元二次方程等。应用方程解决物理问题时，根据物理条件和物理规律，先建立方程，后根据方程求解，得出需求量。如上述例1。
在方程中还有一个特别的式子——判别式。判别式的应用：一元二次方程的解，是通过判别式来判定的，当>0时，有两个解；当=0时，有一个解；当
例2，将物体以初速度20m/s竖直上抛，求物体经过离抛出点10m高处，所用时间是多少？（g=10m/s2）
分析：物体的运动过程是匀减速运动，利用匀减速运动规律，列一个一元二次方程，即可求。
关于运用方程解决物理问题，不胜枚举，但是用方程表达物理量之间的关系及方程组解决物理问题时，一定要注意物理条件，在条件允许的情况下，可选用适当的数学公式。
三 函数图像与物理
物理规律，大都是运用函数的形式来表示。函数的图像在物理中如果运用适当，会如鱼得水，妙处无穷。根据物理条件、物理规律写出函数，画出函数图像，确定函数定义域和值域，以及方向性，把物理问题转化为数学问题，通过数形结合，形象、直观地反映物理过程，加深人们对物理规律的理解。函数图像，在物理中的运用有两个方面。
1.分析实验数据，得出物理规律
在物理实验中，进行数据分析：一种是计算法，另一种是图像法。而后一种更被人们认可。因为有些实验数据，无法通过计算，得到两个量之间的关系。而图像法，以两个量分别为两条坐标轴，建立直角坐标，描点画出图像，就可以通过图像，定性或定量分析它们之间的关系，得出规律。所以函数图像在实验数据分析中起重要作用。
2.运用函数图像，解决物理问题
函数图像在解决物理问题时，将物理规律、物理量之间的关系用图像表达出来，可以化难为易，化复杂为简单，起到事半功倍的效果，是研究物理问题，进行科学抽象和思维推理的得力工具。
例3，做匀变速直线运动的物体，在某一段时间内，经过中点时刻的速度和经过中点位置的速度，哪个大。
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关键词：物理教学，数学方法，极值法， 图像法
中图分类号： G424 文献标识码：A文章编号：1673-9795（2014）01（b）-0000-00
所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测.可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程.这里所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法。
1极值法
数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法，均值不等式等.
1）利用三角函数求极值
（1）当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2最小的条件是：两个分力垂直，如图（a）甲所示.最小的F2=Fsinα.
（2）当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2最小的条件是：所求分力F2与合力F垂直，如图（b）所示.最小的F2=F1sinα.
（a） （b）
2）利用二次函数求极值
例：甲、乙两地相距8 m，A物体由甲地向乙地做匀加速直线运动，初速度为0，加速度为2 m/s2，B物体由乙地出发做匀速运动，速度是4 m/s.运动方向与A相同，但B比A早l s开始.求：
（1）A开始运动后经过多少时间追及B？
（2）相遇处距甲地多远？
（3）相遇前什么时候两物体相距最远？相距几米？
解析：（1）设A经过t秒追及B，则A此时相对出发点的位移是：
第三个问题的解决，是巧妙地利用第二个问题的结果和二次函数的特点，把不好确定的到底什么时候距离最大变得一目了然。
3）均值不等式
对于两个大于零的变量a、b，若其和a+b为一定值p，则当a=b时，其积ab取得极大值 p24；对于三个大于零的变量a、b、c，若其和a+b+c为一定值q，则当a=b=c时，其积abc取得极大值 q327.
例1：如图，小球系在长L的水平细绳末端，绳的另一端固定于O点，从与O点在同一水平线上的A点自由释放运动到最低B点的过程中，①可以问学生小球在竖直方向分速度如何变化。学生分析后能确定是先增大后减小。②竖直方向速度最大时（或问重力即时功率最大时）绳子与水平方向间的夹角θ多大？
求解之后，学生对比两种不同的解法，心灵受到很大的冲击，用第二种方法，本题主要的只需一个物理规律，随后就看数学能力了。而第一种方法，更多的是物理思想和规律的应用求解。
中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当地引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化。
例：绳子一端拴着一小球，另一端绕在钉子上，小球放在一光滑的大半球上静止，如图2-6-1所示.由于某种原因，小球缓慢地沿球面向下移动，在此过程中，球面的支持力和绳子的拉力如何变化？
解析：本题中小球缓慢移动能看成平衡状态.如图所示，小球受到3个共点力G、FN、T作用而处于平衡状态，由G、FN、FT三力组成的力矢量三角形与三角形OAB相似.设球重为G，大半球半径为R，钉子到球面最高点之距为h，此时绳子长为L，则有 所以
其中G、R、h均不变，当L增加时，FN不变，FT增大，所以本题结论为支持力不变，拉力增大.
数学是“物理学家的思想工具”，它使物理学家能“有条理地思考”并能想象出更多的东西.可以说，正是有了数学与物理学的有机结合，才使物理学日臻完善.物理学的严格定量化，使得数学方法成为物理解题中一个不可或缺的工具。
参考文献
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[关键词]数学知识 学科联系 新思路
[中图分类号]G633 [文献标识码]A [文章编号]1009-5349（2016）02-0211-01
物理教学的成功有诸多影响因素，但针对教学内容和实际情况选择恰当的教学方法是其中很重要的因素。
物理学科的教学目的就是学生具备运用物理知识解决实际问题的能力，在解决问题时，虽然使用物理知识，但其解决过程却要借助数学这一有力工具。
一、数学知识引入要有针对性
在初中物理教学过程中，恰当引入数学思想可以培养学生的能力，开发学生的智力，有效发挥教师的导向作用。同时，巧妙运用数学方法还可以把复杂的问题简单化，抽象的东西具体化。
在物理教学当中，有些只是按照课标规定要求学生能运用数学知识来进行定量分析和计算，这需要引入数学知识自不必说，有些知识课标要求定性理解，似乎不需要引入相关数学知识。事实上，这些只是单靠实验很难达到课标要求。如初二物理的光学部分，课标对凸透镜的成像规律要求“理解”。笔者从多年的教学当中发现，尽管学生从本章节中的几个实验过程中能获得一定的感性知识，但对这个知识点却很难达到“理解”的程度，学生只能凭借实验印象来记忆这一规律，时间一长还容易把所记忆的内容混淆，为此有必要在理论上得到与实验相吻合的结论。
笔者曾尝试过，在初三复习阶段，针对学生对这一知识点理解上的缺陷，运用学生已有的平面几何知识和经过凸透镜的三条特殊光线从理论上证明了实验结论，结果发现学生在解决相关问题时由原来靠记忆变为靠推导，甚至有的学生还从生物学角度出发，结合平面几何知识推导出远视眼的人要配戴用凸透镜制成的眼镜的结论。这充分说明了学生对凸透镜成像规律的认识已产生了质的飞跃。再如初二物理观察“水的沸腾”实验要求学生记录水温随时间的变化数据，并把实验数据在直角坐标系中描绘出来。这显然是用数学方法来研究物理现象，对于初二学生来说，这部分数学知识还未接触，物理教师不应该回避这一现象的数学研究方法，而应该坚持课标要求，针对这一物理问题把数学知识大胆地引进物理课堂上来。
又如，在讲电功率习题时，经常会遇到这样的问题，一个“220V，40W”的灯泡接在实际电压是110V的电路中，实际功率是多少？这道题我们用数学知识可以推导出当实际电压是额定电压的一半时，实际功率是额定电压的1/4。让学生简记为“1/2，1/4”关系。在选择和填空题别简单快捷，同时也节约时间。笔者的教学实践证明，有针对性地在教学中引入数学知识，不仅没有给学生带来负担，反而给学生解决问题提供了新的思路，同时也增强了学生学习物理的兴趣。
二、引入密切相关的数学知识
方程及方程组是学生在初中阶段已研究过的数学内容，在数学教学中注重的是它们的解法，而在物理教学中不仅如此，更重要的是它们的建立过程。如热学部分热平衡方程的建立就是一例，学生在理解热量计算公式后，在解决物体间热传递时往往要借助方程来达到目的，这时教师有必要思考怎样利用变量间依赖关系列出方程或把方程组的有关知识传授给学生。再如电学部分中一些较复杂的题目也涉及到方程或方程组的列出或解答，但学生往往只能做一些简单的算术运算，不会借助变量这一桥梁来解答，结果运算既复杂又费时，而且容易出错，殊不知方程或方程组正是为解决变量及变量间的关系而产生的。如果我们在教学中不把学生已有的数学知识教会他们如何使用，谈何学好物理？谈何能力培养？数学这门功课就是为其他学科服务的，可以这么说，学不好数学，学生在物理课上也不会有太大的前途，因此物理教师必须把与物理联系紧密的数学知识在教学过程中引进来。事实上，不只是方程或方程组，其他诸如相似三角形、二次函数等内容在物理教学中如果需要，也有必要引入。
三、数学知识的引入需要注意的几个问题
数学物理方法范文5
一、导数分析法
例1 如图1所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为m， 发生共振时，单摆振动过程中最大速度为m/s.
（π2=10，g=10 m/s2）图1
解析由图1可知，该单摆的固有周期为2s，由周期公式T=2πlg，可计算出摆长约为1 m.由图像所提供的相关数据，可知该单摆在共振时的振动方程为x=0.08sin（πt+φ），因dxdt=v，故上述方程对时间t求导，即可得共振时的速度方程为v=0.08πcos（πt+φ）.当cos（πt+φ）=1时，即单摆在发生共振时有最大速度，数值为vmax=0.08πm/s.
二、向量分析法
例2从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们初速度的大小分别为v1和v2，初速度的方向相反，经过t=两球速度之间的夹角恰为900.（不计空气阻力）
解析考虑到两小球在平抛过程中水平速度大小不变，竖直速度大小随时间呈线性变化.若规定其中一球速度向量为（v1，gt），则另一球的速度向量可表示为（-v2，gt）.由数学知识知：若两向量A（x1，y1），B（x2，y2）互相垂直，则满足x1x2+y1y2=0.那么，对于本题而言，当两球速度之间的夹角恰为90°时，有-v1v2+g2t2=0，从而解得t=v1v2g.
三、圆锥曲线法
例3如图2所示，在双曲线x216-y29=1的两个焦点F1和F2放置两个频率相同的波源，它们激起的波的波长为4 cm.就图中A、B、C、D四个质点的振动，下面说法中正确的是（）.图2
A. 若A、B振动加强，则C、D振动一定减弱
B. 若A、B振动加强，则C、D振动加强
C. A、B、C、D一定振动加强
D. A、B、C、D一定振动减弱
解析由于A、B两点在双曲线上，根据数学知识中双曲线的基本定义可知，A、B两点分别到两焦点F1、F2距离的差值的绝对值Δx为一定值.由双曲线的方程可知该定值Δx=8 cm.从高中物理机械振动和机械波的角度来理解，该差值恰为振动中的波程差，且满足Δx=2λ.当两振源起振方向相同时，A、B两点为振动加强点，若两振源起振方向相反时，A、B两点为振动减弱点，但本题对两振源的起振方向并没有明确的说明，故选项C、D不正确.由于C、D两点分别到两振源的距离差值为0，若A、B振动加强，C、D也一定振动加强，故该题正确选项为B.
四、函数表达法
例4为了测量由两节干电池组成的电池组的电动势和内电阻，某学生设计了如图3甲所示的实验电路，其中R为电阻箱， R0=5Ω为保护电阻.断开开关S，调整电阻箱的阻值，再闭合开关S，读取并记录电压表的示数及电阻箱接入电路中的阻值.多次重复上述操作，可得到多组电压值U及电阻值R，并以1U为纵坐标，以1R为横坐标，画出1U-1R的关系图线（该图线为一条直线），如图3乙所示.由图线可求得电池组的电动势E=
V，内阻r=Ω.（结果保留两位有效数字）
解析根据闭合回路欧姆定律知：E=U+UR（R0+r），根据乙图横、纵轴信息对上述表达式变形可得相应的函数表达式为：1U=R0+rE・1R+1E，由乙图中所反映的截距和斜率信息可得：1E=0.35和R0+rE=1.42-0.350.5，联立方程组解得E=
2.9 V，r=1.1 Ω.
五、数列分析法
例5现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动.在真空中存在着如图4所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场和磁场的宽度均为d，电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里.电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射.
（1）求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2；
（2）粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，试求sinθn .
解析粒子在进入第2层磁场时，经过两次电场加速，中间穿过磁场时洛伦兹力不做功.由动能定理，有
2qEd=12mv22（1）
由（1）式解得 v2=2qEdm（2）
粒子在第2层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力，有qv2B=mv22r2 （3）
由（2）（3）式解得
r2=2BmEdq（4）
（2）设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨迹半径为rn（各量的下标均代表粒子所在层数，下同）.
nqEd=12mv2n（5）
qvnB=mv2nrn（6）
粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为αn，从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有
vn-1sinθn-1=vnsinαn（7）
由D5看出rnsinθn-rnsinαn=d（8）
由（6）（7）（8）式得
rnsinθn-rn-1sinθn-1=d（9）
由（9）式看出r1sinθ1，r2sinθ2，…，rnsinθn为一等差数列，公差为d，可得
rnsinθn=r1sinθ1+（n-1）d（10）
当n=1时，由图6看出r1sinθ1=d（11）
由（5）（6）（10）（11）式得sinθn=Bnqd2mE
数学物理方法范文6
总之，事物的发展形式是复杂而多样的，有的事物的发展具有周期性特点，而有的事物不具有，具有周期性特点的事物的发展服从否定之否定规律，而不具有周期性特点的事物的发展则不遵循这个规律，这表明它并不是普遍适用的。这就要求人们在探讨事物发展变化时，从实际出发，对事物的发展作认真、细致的分析，而不要贴标签，更不要用它来为错误的理论辩护。
现代数学方法与物理学的第二次融合
现代数学方法中的群论在物理学中的应用也是不可忽视的，众所周知，我们周围的世界处在对称和不对称的矛盾同一之中，对客观世界对称性的研究，能帮助人们更深刻地认识各种物质的运动规律，欣赏客观世界的自然美。群论是研究系统对称性的十分有效的数学工具，在群论方法建立之初，伽罗瓦（Galois）就根据代数方程根的置换对称性证明了五次以上代数方程不能通过有限次加减乘除和开方运算求得方程根的精确解，第一次显示了群论方法在研究系统对称性中的巨大潜力。1890年费德罗夫(Federov)和1891年熊夫利（Schoenflies）相继用群论方法系统地解决了晶体分类问题，证明了具有周期性排列的规则空间点系共有230种，这是群论在物理中晶体分类问题中的一个杰出贡献。20世纪初物理学革命的另一项伟大的成就就是量子理论的建立，这与群论的发展是分不开的。随着人类对客观世界的认识逐步深入到微观领域，物质运动规律呈现出新的特征，实验和理论研究变得更加困难，量子理论建立后，对称性的内容更丰富了，更加迫切的需要深入研究微观系统的对称性质。用群论的方法研究量子系统的对称性，可以得到系统的各种定量或定性的重要性质，这些性质直接来自系统的对称性，与系统的具体细节无关。反之、对这些性质的实验检验，可以鉴别系统是否具有此种对称性，可以帮助探索系统的基本运动规律，因此、在对微观世界的深入探索中，近代物理理论和群论理论共同得到了迅速的发展，群论方法已经深入到物理学的各个领域。数学对物理的作用过去认为，归结起来是说数学是物理的语言，如广义相对论中黎曼几何的作用就是一种语言，但是在量子力学中，数学所起了魔术般的神秘作用，无论如何也不能认为数学只是语言了。翻开量子力学教科书，首先看到的是光的干涉，电子的散射实验的说明，然后表明光子，电子等的离子状态可以用波动函数，即属于某个Hilbert空间的向量来表示并导出若干状态的波动函数的迭加原理。迭加原理认为，状态A若是状态B与C的迭加，则A的波动函数就是B的波动函数与C的波动函数的线性组合，它是量子力学的基本原理。量子力学中首先把复杂至极的物理环境用唯一的波动函数（向量）来表示，从而进行简单化，数学化的处理，这就是数学艺术美体现。
结束语
