一、引言 2007年美国爆发的次贷危机，因其传播速度快、持续时间长、影响范围广、破坏性大，最终演变成全球性的金融危机，导致多数经济体停滞甚至衰退。这场危机引发的美国和世界主要证券市场剧烈波动为1929年以来之最。本文应用奇异点检测的小波分析方法对美国证券市场进行回朔剖析，以期对我国证券市场的稳健发展起到警示和借鉴作用。小波分析从工程领域应用于统计领域引起反响与关注［1］(AntoniadisandOppenheim，1995)，近年来被逐渐运用到经济、金融数据的统计研究中。国内外已有的研究成果显示:小波方法可以去除股市数据中偶然因素引起的涨跌，凸显影响股市涨跌的主要因素和宏观突变的特点，表明小波分析在探讨股市行为特别是奇异点检测及宏观股价走势的预测上具有良好的应用前景。目前，国外对金融时间序列变点研究的有:纳森［2］(Nason，1996)讨论了澳元对美元汇率的模拟数据，比较了“通用门限”法，“全门限”法等之优缺点。瑞斯等［3］(Ramseyetal，1995)首先把小波分析应用于金融市场，分析了标准普尔指数的波动情况。王［4］(Wang，1995)使用小波分析，对美国1953年至1991年月度股票收益的奇异点进行了研究，但没有检测出海湾战争这一重大事件。斯图［5］(Struzikw，2001)认为，小波可用来发现金融数据的异常点，他尝试用小波变换极大模分析多重分形谱，确定了高频时间序列定位尺度的特征。国内的研究有:黄香，叶维彰等(1997)［6］使用样条小波研究美元对德国马克汇率数据，检验出了七国工业集团和海湾战争的影响。朱洪俊等(2002)［7］采用离散小波变换的直接算法来检测突变信号峰值奇异点，实现了对突变信号峰值奇异点的准确检测和精确定位。王哲(1999)［8］等用墨西哥帽小波对上证和深证股价涨跌率，通过二进小波变换多分辨分析，得出小波方法可以剔除股市偶然因素引起的涨跌，发现带有普遍性涨跌的一般规律。2011年8月6日世界资本市场又经历了一场灾难性打击。因世界三大评级机构之一的标准普尔，将美国国债信用等级降为AA+，评级展望为负，美国首次失去AAA主权信用评级。受此影响全球投资者大规模恐慌，各国股市持续大跌。美国道琼斯工业指数从11444．61点跌到10809点，欧洲股市直到8月14日仍在下跌。中国上证指数跌破2500点，创一年来新低。世界与中国经历的“标普———美债降级风暴”是次贷危机的延续，也是继危机标志性事件2009年雷曼兄弟破产后的“最大冲击波”，对各国的股市和经济影响深远。标志这场前所未有的世界危机仍将持续，终点仍无法准确预测。美国走上了向世界各国转嫁危机损失之路。因此，观测美国证券市场信号中的奇异点及不规则的突变部分，分析其中带有的重要信息，有助于我们诊断美国的经济运行故障，同时对本国经济将受到的影响作出提前反应。本文主要基于小波变换模极大值方法，计算李普西兹指数，寻找美国次贷危机中的突变点及这些突变点对应的关键事件，研究次贷危机前后美国证券市场主要特征、次贷危机对美国金融市场的影响以及美国金融市场异常对应的美国经济系统的重大特别事件。 二、突变点的小波检测方法 时间序列中包含的信息主要体现在突变点或区域中。小波研究对象是信号，金融时间序列可以看做是金融信号。金融时间序列中的突变反映了市场异常波动和状态改变，并对应着国内重大事件对金融市场的冲击及市场的反应。在危机中，对应着危机起源国家市场异常波动及随后的传染溢出效应。因此研究突变有以下用途:首先，检测危机发源国金融市场的突变点和结构变化，为危机前后建立变结构模型提供依据，也使得建立相关预测系统成为可能。其次，分析危机中金融市场的异常状态及结构变化，有助于对其特征及变化机制进行观测，是进一步研究这种特征对全球其他金融市场传染的基础。小波分析对信号进行时频分解，研究不同尺度下的突变情况的原理是不同时间尺度对应不同突变点，小尺度突变点多，大尺度突变点少，共同突变点说明这一时间突变强烈，反映了主要波动的特征。因此分析这些突变点的影响因素，有助于揭示时间序列波动的驱动机制。一般用正则性刻画函数的光滑程度，正则性越高，光滑性越好。信号在某点或区间内可微，则信号在该点或区间正则。反之，函数在某处间断或导数不连续，则函数在该处奇异。奇异点分为两类:①峰值点，指某一时刻幅值发生突变，引起信号非连续，相当于在该处叠加了冲激信号，被称为第一类型间断点。②过零点，信号外观光滑，幅值无突变，但一阶微分有突变且不连续，被称为第二类型间断点。相当于在该处叠加了阶跃信号。两类奇异点均可在小波变换中反映。小波变换一阶导数dWfdt=0的点，是Wf()t的峰值点;小波变换二阶导数d2Wfdt2=0的点，是Wf()t的过零点。由拉氏变换可以推导出信号经某一函数滤波后求K阶导数等效于信号直接用该函数求K阶导数后的小波滤波。 三、小波变换模极大值 通常用李普西兹指数α(缩写L．E．α)，来度量函数的正则性。它刻画了函数f与局部多项式的逼近程度。函数某点的李氏指数刻画了该点的奇异性，α越大，该点的光滑度越高;反之，奇异性越大。傅里叶变换是研究信号奇异的基本工具，通过函数傅里叶变换的衰减(趋于零的快慢)来判断奇异性强弱。缺点是只能给出信号在R上的均匀李氏指数，判断整体奇异性，但不能确定奇异点在R上的分布及奇异性强弱。小波可以对信号进行局部分析，判断奇异点位置及强弱。马拉特等［8］(Mallat，1977，1992)最早研究了小波变换在信号奇异性检测中的作用。小波变换模Wfs，()u在v领域中小尺度下的衰减性能够刻画函数f在点v的局部李氏正则性，但尺度—时间平面上直接计算任意点v在其领域中模Wfs，()u的衰减性的计算量极大，很难直接运用于实际数值计算。Mallat，HWANG［10］给出了局部极大值可以控制Wfs，()u的衰减性的相关证明。如果小波变换Wfs，()u在小尺度上不存在局部模极大值，那么f一定是局部正则的。如果一个模极大值序列在小尺度上收敛于点v，则f在该点是奇异的。跟踪小波变换模极大值曲线能找到所有奇异点，但模极大值点可能不在同一条极大曲线上，当f是完全正则函数时，有可能其小波变换某个模极大值点列趋于横坐标。因此仅沿尺度搜索小波模极大点是不充分的，需要从模极大值的衰减判断函数在该点的奇异性。#p#分页标题#e# 四、实证分析 本文中研究的时间序列数据来源于美国证券交易所综合指数的每日收盘价。在纳斯达克综合指数、标普500指数、道琼斯工业指数中，我们选择了标普500指数数据。该指数根据纽约证券交易所交易的绝大多数普通股票的价格加权计算，包含股票数目多，数值精确，且具有很好的连续性，能够灵活地调节市场信息引起的价格变动，比其他两个指数更具代表性。样本区间为2005年3月15日至2009年2月13日，共1024个数据。包括了非危机时期:2005年3月15日至2007年2月28日，共512个数据;危机时期:2007年3月1日至2009年2月13日，共512个数据。这样分组的依据是以2007年3月，美国第二大次级抵押贷款机构新世纪金融宣布濒临破产、美国股市大幅下跌作为次贷危机爆发的初始结点。令y()t=x()t/σx，σx为x的标准差。 使用小波方法检测奇异值前用一般统计方法对数据集中异常点进行检测。①偏离均值一定倍数标准差法。选择偏离均值1．5－3倍标准差，结果发现偏离1．5倍标准差时异常点过多，接近总数据的1/4，偏离3倍标准差时不存在异常点。因此将阈值定为2倍标准差，即不属于区间(珋x－2σ，珋x+2σ)的为异常点，可以检测出个86异常点，集中分布在2008年10月之后，原因是2008年9月标志次贷危机全面爆发的雷曼兄弟倒闭的影响。②离群值(outliers)检测法，不属于(Q1－1．5*IQR，Q3+1．5*IQR)为异常点，Q1、Q3分别为上下四分位数，IOQ=Q3－Q1。对非危机、危机时期分别计算，非危机期有4个离群值，对应日期:2007年2月14日、2007年2月16日、2007年2月22日、2007年2月23日;危机期有12个离群值，对应日期:2008年11月19日、2008年11月20日、2008年11月21日、2008年11月26日、2008年12月1日、2008年12月9日、2008年12月18日、2008年12月19日、2008年1月20日、2008年1月30日、2009年2月2日、2009年2月13日。这两种方法检测出了异常值点，但存在缺陷。首先因为实体经济的信息反映在股票市场价格的变化上是有时滞的，不同事件对股市的影响及持续时间并不一样。其次，这两种方法只能判断第一类间断点，也就是幅值的间断点(即与群组中数据存在较大偏差，1阶导数为零的点)，而对于幅值无变化，但1阶微分有突变且不连续的点无法识别。小波方法弥补了这两种方法的缺陷，它通过沿着尺度搜索小波模极大点，同时根据模极大值的衰减判断函数在该点的奇异性，在考虑了峰值点的同时考虑了过零点。进行连续小波变换首先要选择小波，设?()t=－()1nθ()n()t，θ()n()t为一高斯或样条函数，对任意f()t∈L2()R，f()t的小波变换的模极大值属于一条连通的曲线，即随着尺度的减小，模极大值不会中断。因此在信号奇异性检测中使用具有N阶导数的高斯小波或B样条小波族，可以保证小波变换的模极大值曲线连续，准确定位信号奇异点位置。高斯小波族包括高斯函数θ()t=12槡πσe－t22σ2的n阶导数，具有n阶消失矩，能够用于检测不同李氏指数α点的奇异性。样条函数是分段光滑且在连结点处具有一定光滑型的一类函数，被广泛应用于工程中的数值分析。其中基数B样条(CardinalB-Spline)函数具有最小支撑和易实现性，根据求导的阶数不同分为n阶B样条小波。这里我们使用二阶双正交B样条小波作为检测小波，同时使用高斯二阶小波重现研究过程，作为小波类型不会影响中心结论的稳健性检验。二阶B样条双正交小波，其尺度函数θ^2()ω由其傅里叶变换确定：首先对数据进行初步小波分析发现，小波分解中的低频系数是信号在最高尺度的加权平均，反映了信号的基本信息，变化规律和原始信号相似，代表信号总体发展趋势。高频系数是信号加权平均的广义差分，代表信号在各尺度的波动细节。由于数据是对称选取，危机的爆发是中后部，可以看出，在危机未爆发前，数据的波动较小，而危机爆发后，数据波动性显著增大。这种波动性在高频分解的第四个尺度上依然显著。进一步对突变点进行分析，信号中突变点的位置，可能反映在小波变换的过零点上，也可能反映在小波变换的峰值点上，但由于过零点易受噪声的干扰，根据过零点检测不如根据峰值点检测来得稳健［11］。因此我们只对超过阈值的峰值点及峰值点之间的过零点进行统计。上下阈值是根据非危机时期的最大、最小值确定的。可以从小波检验结果看出危机后奇异值变化的幅值更大。进一步我们通过小波变换模极大值曲线计算李氏指数，并将得出的奇异点与次贷危机进行一一对应。具体过程为:①计算连续小波变换。②计算小波变换模的极大曲线。③沿着各极大曲线确定奇异点。④对于奇异点v，求出log2Wf(s，u)作为log2s的函数沿着收敛于v的极大曲线的最大斜率，根据公式(4)，求出v点的李氏指数α。奇异点对应的具体日期及该日期属于危机的不同阶段所发生的重大经济事件见表1至表3。单一日期代表峰值点，双日期代表过零点前后日期。通过以上表格可以看出:①小波方法检测出了13个峰值点及6个过零点，其中峰值点均对应于次贷危机中发生的重大事件。而过零点中，有1个时间段无对应的重大事件，由此可以证明次贷危机反映在美国股票价格指数数据的奇异点上，但过零点检测不如峰值点检测稳健。②计算出的奇异点分别对应了次贷危机发生的主要阶段:标普降低次贷评级，标志危机开始;美国官方首次预测经济衰退，标志危机逐步发展;雷曼兄弟倒闭标志着危机全面爆发。检测出了次贷危机发生后对美国经济产生巨大影响的关键事件:包括最大银行(华盛顿互惠公司)、最大汽车生产商(通用)、最大保险企业(美国国际集团AIC)和最大电信设备制造商(北电网络)的濒危及破产倒闭，以及美国就业率的大幅下降。同时也反映了美国及欧洲的救市计划，其中包括美国主要的救市政策以及欧洲第一次采取直接注资银行系统方式救市的具体时间节点。奇异点主要通过检测数据，判断具有强烈社会、经济背景的异常点的个数和位置，为后续建立经济模型提供依据。而预测危机需要确定用于预测的相关经济指标并对其进行有效配置。然而，国内外相关研究表明，确定一套能够被识别且足够及时、准确检测出危机而不含虚假信息的指标是不可能的。即使可以确定这套指标，也会因市场利用指标反映的信息采取行动使指标失去效用(如市场或决策当局因指标变化立刻采取行动避免发生危机)。本文尝试给出一种通过数据特征预测危机的方法，类似于股指稳定程度可以用来判断市场是否发生异变。#p#分页标题#e# 五、结论 本文提出证券市场指数奇异点检测的小波模极大值方法。首先使用二阶B样条小波对股指数据进行检测，再运用高斯2阶小波进行对比检测，测出了同样的奇异值点。更深入的稳健性研究表明，奇异值点或者突变点检测的小波方法对具有N阶导数小波的类型均不敏感，结论是可靠的。这与黄香、叶维彰等关于汇率的结论一致［6］。本文运用小波模极大值方法检测出了从次贷危机到全面金融危机的主要阶段及所有标志性事件，这些事件在美国的股票价格指数的奇异点上均有显著反映。股票市场是实体经济的晴雨表，总是最先反映出实体经济的状态变动、表现为证券市场的奇异点，在成熟市场环境下这个特征尤其突出。因此检测证券市场的异常点，为研究金融危机预警提供了依据。
