高三数学概率公式总结范文1
关键词： 概率 古典概率 全概率公式 数学期望
随着人类社会的进步，科学技术的发展，经济全球化的日益进程，数学在生活中的应用越来越广，生活中的数学无处不在。数学的一个非常重要的分支――概率论，在众多领域内扮演着越来越重要的角色，取得了越来越广泛的应用。正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯所说：概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为”。
概率论渗透到生活的方方面面，从而为我们的日常生活带来方便，下面从三个方面来讨论概率在实际生活中的具体应用。
1.古典概率的应用
古典概率是概率里最早的一种最简单的概率模型，也是应用最广泛的概率。许多实际问题都可以将其转化为古典概率加以解决。
例1：在斯诺克台球比赛中，我国运动员丁俊晖与国外运动员奥沙利文相遇，根据实际排名和以往的战绩统计，每赛一局丁俊晖胜的概率为0.45，奥沙利文胜的概率为0.55。若比赛既可采用三局两胜制，也可以采用五局三胜制，问采用哪种赛制对丁俊晖更有利?
具体分析如下：
（1）采用三局两胜制：设A 表示丁俊晖胜前两局，A 表示前两局中二人各胜一局，第三局丁俊晖胜，A表示丁俊晖胜，则A=A ∪A ，而P（A ）=0.45 =0.2025，P（A ）=（0.45 ×0.55）×2=0.22275。
由于A 与A 互斥，由加法公式得
P（A）=P（A ∪A ）=P（A ）+P（A ）=0.2025+0.22275=0.42525
（2）采用五局三胜制：设B表示丁俊晖胜，B 表示前三局丁俊晖胜，B 表示前三局中丁俊晖胜两局，奥沙利文胜一局，第四局丁俊晖胜，B 表示前四局两人各胜两局，第五局丁俊晖胜，则B=B ∪B ∪B ，而P（B ）=0.45 =0.091125，
P（B ）=C0.45 ×0.55×0.45=0.150356，
P（B ）=C0.45 ×0.55 ×0.45=0.165392，
所以P（B）=P（B ∪B ∪B ）=P（B ）+P（B ）+P（B ）
=0.091125+0.150356+0.165392=0.4069
由于P（B）＜P（A），故采用三局两胜制对丁俊晖有利，但从公平性而言，因丁俊晖胜的概率为0.45，奥沙利文胜的概率为0.55，所以“五局三胜制”更公平、更合理。在实际比赛中，采用的是十九局十局胜制，更为公平、合理，结果是丁俊晖输了（斯诺克大师赛中的比赛结果），如果采用三局两胜制，丁俊晖就有可能战胜奥沙利文。
类似的利用古典概率求解的案例有许多，比如、产品抽样检查等。利用古典概率求解实际问题时并不都是这么容易的，而许多古典概率的计算相当困难而富有技巧，计算的要点是给定样本点，并计算它的总数，再计算有利场合的数目。
2.全概率公式在实际问题中的应用
全概率公式是概率论中一个重要的公式，在实际中同样有广泛的应用。先引进定义：设B ，B ，…B 为样本空间Ω的一个划分，即B ，B ，…B 互不相容，且 B =Ω，P（B ）＞0，i=1，2，…n，则对任一事件A有P（A）= P（B ）P（A/B ）。
例2：假设100张奖券中有3张是中奖券，现有10人依次抽取，每人抽一张，那么第一位抽奖者是否比第二位抽奖者中奖的几率更大一些呢?
分析：设A表示第一位抽奖者是中奖者，B表示第二位抽奖者中奖，依全概率公式得P（A）=C/C=3/100，
P（B）=P（A）P（B/A）+P（ ）P（B/ ）= × + × = ，
因此第一位抽奖者与第二位抽奖者中奖的几率一样大。事实上，所有抽奖的人中奖的几率都相等，这说明能否中奖与抽奖次序无关，因此抽奖是公平的。
类似的利用全概率公式求解的案例有许多，比如工厂有多条流水线，求故障发生概率就是利用全概率公式求解，或者已知故障发生概率，追究不同流水线应承担的责任，利用的是全概率公式的反向――贝叶斯公式。在利用全概率公式求解实际问题中，关键是对问题的合理划分，考虑所有可能导致问题发生的情况。
3.数学期望在求解最大利润问题中的应用
如何获取最大利润不但成为商界追求的目标，同时还为越来越多的人所关注。许多数学模型也从概率角度利用期望求解最大利润问题，为问题的解决提供新的思路。下面就是一道应用期望探讨利润的问题：
设某产品每周需求量Q取1，2，3，4，5为值，是等可能的。生产每件产品的成本为C =3元，每件产品的售价为C =9元；设售出的产品以每件C =1元的费用存入仓库。问生产者每周生产多少件产品能使所期望的利润最大？
此问题的解决先是建立利润与销售量的函数，然后求利润的期望，即求关于销量P的函数的期望得到关于生产量H的函数，再求函数的导数，根据原函数和导函数的关系，以及极值与导数的性质得出结果。
此外，期望的思想用于某项活动中，可以减少工作量，保险、股票等风险投资都带有一定的随机性，运用数学期望这一随机变量的总体特征来预计收益或决策投资比较客观。
参考文献：
［1］李贤平.概率论基础［M］.高等教育出版社，1997.
［2］赵秀恒等.概率论与数理统计［M］.河北教育出版社.
［3］谢国瑞等.概率论与数理统计［M］.高等教育出版社，2003.
高三数学概率公式总结范文2
一、与数列“交汇”的概率问题
例1（11·江西八校联考）将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
A.■ B.■ C.■ D.■
分析：本题考查了排列、组合、概率以及数列等知识的综合运用。解题时关键要从“落地时向上的点数依次成等差数列”这个条件出发，针对公差的不同取值情况进行分类讨论，分别求出不同公差情形下的基本事件数。
解：连续掷三次骰子出现点数的方法总数为63种，其中公差为0的等差数列有6个；公差为1或-1的等差数列有2×4=8个；公差为2或－2的等差数列有2×2=4个；所以满足题中条件的概率为:
■=■ 答案选B。
【评注】本题把概率与数列问题有机地“交汇”在一起，不仅有新意，而且能很好地考查考生的综合能力；本题在解题时很容易漏解当d=0、d=－1、d=－2时三种情况，从而出现失误。
二、与解析几何“交汇”的概率问题
例2 （11·东北三校联考）直线x=m，y=x将圆面x2+y2≤4分成若干块，现要用5种不同的颜色将这若干块涂色，要求任意两块不同色，且共有120种不同的涂法，求实数m的取值范围。
分析：本题考查了排列组合、概率与解析几何问题的相关知识，综合性较强； 由于A45=A55=120，即直线x=m，y=x须将圆面分成4块或者5块；结合图形，知两直线的交点在圆x2+y2=4内部时，即满足要求。
解：依题意画出图形（如图所示）；当直线x=m，y=x将圆面分成4块时，涂色方法总数为A55=120；此时两直线x=m，y=x的交点应在圆x2+y2=4的内部；又两直线的交点坐标为(m,m)；m2+m2
【评注】与解析几何“交汇”的概率问题一般要先画出满足条件的几何图形，充分利用数形结合进行求解。
三、与方程、不等式、线性规划“交汇”的概率问题
例3 （11·宁夏模拟）设有关于的一元二次方程x2+2ax+b2=0。
（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率。
（Ⅱ）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率。
分析：本题考查了方程、不等式、线性规划、概率等相关知识，题型新颖独特；由于一元二次方程有实根，由根的判别式可以找出a、b之间的关系。又（Ⅰ）中a、b为自然数，易知（Ⅰ）为等可能事件的概率问题，可利用公式p=■进行计算；而（Ⅱ）中a、b分别取区间[0，3]和区间[0，2]之间的一切实数，因此（Ⅱ）则属几何概型问题，要利用数形结合，借助线性规划知识进行求解。
本题考查了方程、不等式、线性规划、概率等相关知识，题型新颖独特；由于一元二次方程有实根，由根的判别式可以找出a、b之间的关系。（Ⅰ）中a、b为自然数，易知（Ⅰ）为等可能事件的概率问题，可利用公式p=■进行计算；而（Ⅱ）中a、b分别取区间[0，3]和区间[0，2]之间的一切实数，因此（Ⅱ）则属几何概型问题，要用到线性规划知识，借助图形面积进行求解。
解：设事件M为“方程x2+2ax+b2=0有实根”。
方程x2+2ax+b2=0有实根；由根的判别式≥0得a2≥b2；因此当a≥0，b≥0时，知方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b。
（Ⅰ）基本事件共有12个：
(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数a表示的取值，第二个数表示b的取值；由a≥b可得事件A包含9个基本事件；事件A发生的概率为P(M)=■=■。
（Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)/0≤a≤3，0≤b≤2}；构成事件M的区域为{(a，b) |0≤a≤3，0≤b≤2， a≥b}。
画出平面区域（如图阴影部分），可得又S矩形OABC=6；图中阴影部分面积，S四边形OABD=■×(1+3)×2=4，所求事件M的概率为P（M）=■=■。
【评注】本题巧妙地将概率、方程、不等式、线性规划“交汇”在一起，综合考查了概率的运算，线性规划知识以及数形结合思想；第一小题为等可能事件的概率问题，正确列举出符合条件的事件数是解题的关键；而第二小题则属几何概型问题，其概率即为两图形的面积之比。
高三数学概率公式总结范文3
一、认识古典概型，`兴致盎然
先认识古典概型：（1）定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型．
（2）特点：①试验结果的有限性；②所有结果的等可能性．
（3）古典概型的解题步骤：①求出试验的总基本事件数n；②求出事件A所包含的基本事件数m；③代入公式P=mn即可解答．
（4）基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）．
例1 已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2－bx+1，设集合P={1，2，3}，Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b．（1）求函数y=f（x）有零点的概率；（2）求函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数的概率．
分析：本题是古典概型问题，要抓住求出基本事件数和基本事件总数，从而解决上述问题．
解：（a，b）共有（1，－1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），15种情况．
（1）若函数y=f（x）有零点，则需Δ=b2－4ac≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），6种情况，所以函数y=f（x）有零点的概率为615=25．
（2）若函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数，需对称轴x=b2a≤1．
有（1，－1），（1，1），（1，2），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），13种情况．所以函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数的概率为1315．
点评：利用古典概型公式求概率时，要注意学会把事件转化，如事件函数y=f（x）有零点等价于Δ≥0，即b2－4ac≥0，事件“函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数”则等价于事件“对称轴x=b2a≤1．”
二、认识几何概型，情趣盎然
认识几何概型的定义：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等，用这种方法处理随机试验，称为几何概型．
几何概型的基本特点是：（1）在每次试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无穷多个；（2）在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等即基本事件的发生是等可能的．当然，在计算几何概型的概率时，则应该注意相应问题的着眼点．
例2 设点（p，q）在|p|≤3，|q|≤3均匀分布出现，求方程x2+2px－q2+1=0的两根都是实数的概率．
分析：根据一元二次方程有实数根的充要条件找出p、q的约束条件，进而确定区域的测度．
解：由于|p|≤3，|q|≤3，所以（p，q）的点集组成了边长为6的正方形，所以面积=62=36，
由方程x2+2px－q2+1=0的两根都是实数，得到Δ=（2p）2－4（－q2+1）≥0，则p2+q2≥1，所以当点（p，q）落在如图所示的阴影部分时，方程的两根都是实数．则由图象可知道区域
d=S正方形ABCD－SO=36－π，所以原方程两根都是实数的概率P=36－π36=1－π36．
点评：对于与方程相结合的问题，则同样可以构造图形进行解决．
三、把握事件关系，正难则反
例3 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，三人中至少有一人达标的概率是_____________．
分析：若从正面考虑至少有一人达标有七种情形，三人中恰好有一人达标、三人中恰好有二人达标和三人全部达标，很繁，所以可运用正难反易思想，进行反面考虑．
解：先求三人无一人达标的概率．设甲、乙、丙分别达标为事件A、B、C，则P（A）=0.8，P（B）=0.6，
P（C）=0.5，且A、B、C相互独立，所以三人无一人达标的概率为P（）·P（）·P（）=0.2×0.4×0.5
=0.04，则所求的概率为1－0.04=0.96．
点评：有些问题当从正面求解繁琐或无法求解时，可从其反面进行思考，通过否定结论的反面来肯定结论正确，这就是正难则反的思想，运用这一数学思想解决问题，往往能收到化难为易，化繁为简的奇效．
当然，对于概率及其应用的高考命题方向：主要是二项分布、超几何分布、条件概率和相互独立事件的概率等，它们有各自显著的特点，各有对应的计算公式，要能熟练应用．
认识独立重复试验及其概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率Pn（k）=CknPk（1-P）n-k．它是［（1-P）+P］n展开式的第k+1项．
同时要特别注意二项分布问题：二项分布实际上是对n次独立重复试验从概率分布的角度作了进一步的阐述，与n次独立重复试验恰有k次发生的概率与之对应，是概率论中最重要的分布之一，我们不妨来看看二项分布之基本知识应用题．
四、走进二项分布，探究关键
例4 100件产品中有3件不合格品，每次取一件，有放回取3次，求取得不合格品的件数X的分布列．
分析：因为每次抽取的结果只有两种，即合格与不合格，且有放回地抽取三次相当于做3次独立重复试验，从而随机变量X服从二项分布．
解：X可能取的值为0，1，2，3，由于是有放回地取每次取一件，连续取三次，所以这相当于做3次独立重复试验，一次抽取到不合格品的概率p=0.03．因此X～B（3，0.03）．
P（X=0）=C03×0.030×（1－0.03）3=0.912673．
P（X=1）=C13×0.03×（1－0.03）2=0.084681．
P（X=2）=C23×0.032×（1－0.03）1=0.002619．
P（X=3）=C33×0.033×（1－0.03）0=0.000027．
则X的概率分布如下表：
点评：二项分布的模型是可以快速地写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量取每一个具体值的概率的过程．
五、思索超几何分布，发现内涵
一般地，若一个随机变量X的分布列为P（X=r）=CrMCn－rN－MChN，其中r=0，1，2，3，……，l，l=min（n，M），则称X服从超几何分布，记为X～H（n，M，N），并将P（X=r）=CrMCn－rN－MCrN记为H（r；n，M，N）．
例5 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任意取3件，求取得次品数的概率分布，并求至少取得一件次品的概率．
分析：本题是超几何分布，可利用超几何分布的概率公式求解．
解：设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，其中N=15，M=2，n=3，则ξ的可能取值为0，1，2，相应的概率依次是
P（ξ=0）=C02C313C315=2235，
P（ξ=1）=C12C213C315=1235，
P（ξ=2）=C22C113C315=135，
则ξ的概率分布表如下：
则至少取得一件次品的概率为P（ξ=1）+P（ξ=2）=1335．
点评：建立超几何分布的关键是求得P（ξ=k）的组合关系式，利用超几何分布的概率公式进行验证，然后利用公式求出取其它的值的概率，建立ξ的概率分布．
统计试题涉及的知识点主要是抽样方法、解读直方图、判定相关关系及了解独立性检验的含义和运用、回归分析等等，但其考查的形式则是填空题为主，且常常以实际问题为背景
六、走进抽样问题，分类重点
例6 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．
分析：因为机构改革关系到各种人的利益，个体差异较大，故采用分层抽样方法为妥．
解：因为10020＝5，105＝2，705＝14，205＝4，
所以从副处级以上干部人中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人，因副处以上干部与工人都人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人，对一般干部70人采用00，01，02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．
点评：分层抽样的特点是全面考察到各种层次不同代表合理比例，大大提高了样本的代表性．同时在利用分层抽样方法抽样时需注意：分层抽样要将性质相近的个体归入一层，性质差异较大的个体归入不同层；分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定．总的原则是，层内样本的差异要小，而层之间的样本差异要大，且互不重叠．
七、研究茎叶图，注意转化
例7 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高比较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173cm的同学，求身高至少为173cm的同学被抽中的概率．
分析：（1）根据茎叶图将甲、乙两组同学的身高的数据还原，结合平均数的计算公式算出10位同学的平均数，由此即可估计这两个班的平均身高；
（2）根据甲班10位同学身高的数据，结合方差计算公式算出10位同学身高的方差，即得甲班的样本方差；
（3）根据乙班10名同学身高的数据，找出身高至少为173cm的同学人数，结合随机事件的概率公式．
解：（1）由茎叶图，得甲班的10名同学的身高分别为
182 179 179 171 170 168 168 163 162 158，
得他们的平均身高为1=110（182+179+179+…+158）=170.0cm．
乙班的10名同学的身高分别为
181 170 173 176 178 179 162 165 168 159，
得他们的平均身高为2=110（181+170+173+…+159）=171.1cm
（2）甲班的样本方差为s2=110［（182－170）2+（179－170）2+…+（158－170）2］=57.2cm2
（3）乙班这10名同学中有5名同学的身高大于或等于173cm，
从这10名同学中任意取5名同学，身高至少为173cm的同学被抽中的概率为P=410=0.4．
高三数学概率公式总结范文4
高效课堂即在单位时间里高效率、高质量地完成教与学任务，促使学生获得高效的发展.高效课堂凸显教学的高效率，这种高效率既着眼于当前，更应立足于长远.
高效课堂评价主要标准是：学生思维活跃，语言表达正确、流利、有感情，课堂充满激情；学生分析问题与解决问题的能力强；课堂目标达成且正确率在95%以上.[1]让课堂真正成为“知识的超市、生命的狂欢”.[2]前提就是要看学生愿不愿学、会不会学、乐不乐学.如何打造一节高效的数学课堂？笔者总结与反思近年的教学实践，深深体会到“教学的艺术不在于传授知识，而在于激励与唤醒！”.[3]
一、善于解读新课程标准，灵动把脉教学的主线
教师要明确教学的重点工作是如何实现教与学，逐步减少外部的一些控制，增加学生自控的空间.然而，做到灵动地把握好教学的主线，则需要相应的理论（或理念）的支撑.高中数学新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式；强调本质，注意适度形式化；与时俱进地认识“双基”，注重信息技术与数学课程的整合.[4]提出“提高学生提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达与交流的能力，发展独立获取数学知识的能力[4]”的目标.
怎样才能体现新理念，实现课程目标？实践证明，问题的创设、问题的提出、问题的解决是行之有效的手段.我们教师要善于解读新课程标准，做到心中有数，应用自如.这样才能很好地呈现给学生一个全新的学习环境，激发学生的求知欲；才能使教学更有效、更高效.教师要处理好“要教什么，如何教”的关系，做到备教材、备教法、备学情有根有据.只有恰到好处地创设问题情境，才能使学生主动思考问题，积极投入到自主探索、合作交流的氛围中.教学设计时还要尽可能地创设与学习主题相关的、切合学生实际的教学情境，让数学课堂充满激情与活力.
二、创设恰到好处的问题情境，进行情到深处的知识讲解
恰到好处的问题情境可以起到事半功倍的效果.实践证明，并不是什么时候都要创设问题情境，或者说都可以创设问题情境.教师要把握时机，如一节课的开头引入、遇到难点时要创设问题情境.下面笔者就教学经验举几个例子予以说明.
【例1】（古典概型）创设问题情境：甲、乙两位同学在大课间民族体育运动的花样跳绳中都表现得十分出色，现要选派一位代表我校参加市民族体育运动花样跳绳比赛，请你为他们设计一个选派的方案.有两个学习小组分别给出了如下两个规则.
规则1：掷一枚质地均匀的硬币，正面向上就派甲去，反面向上就派乙去.
规则2：两人同时掷两个质地均匀的骰子，点数之和为6点就派甲去，点数之和为7点就派乙去.
请问哪个规则公平与合理？
情境源自于学生平时的大课间活动，对规则作出公平合理的选择，自然而然就联想到概率的问题.问题串就出来了，怎样计算？进而激发学生的求知欲，把教学内容转化为具有潜在实际意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，为学生高效的学习做好铺垫.
【例2】（回归分析）创设问题情境1：2015年6月7日下午高考考完数学，很多考生都说2015年高考数学卷普遍被认为较为容易.事实是这样吗？
本课作为选修2-3第三章的起始课，鉴于该章内容为新课改的新增内容.因此，在设计与处理教材上，尽可能地从学生的最近发展区入手，如开篇从“2015年高考数学卷普遍被认为较为容易”这一现象引入本章统计案例.要做好统计，就需要相关数学知识做理论指导.寻找易于学生理解和接受的知识点切入，让学生感到数学学习也是十分有趣的.
创设问题情境2：在日常生活中，常听人们说：“量的积累达成质的飞跃.”“计划赶不上变化.”“因为你的存在让我变得如此美丽.”“年龄大了，发福了啵.”等，这些话语都饱含着两个量之间的相互关系.在数学上，我们也学过有关两个量之间的关系，比如数学必修1的函数关系（确定性关系）和数学必修3的相关关系（非确定性关系）.
由于笔者所教的学生数学底子较薄，所以笔者尽量通过通俗易懂的话语激起学生的兴趣，让学生的思维尽快进入课堂的学习.让学生感受到数学不再枯燥，体验到其中的乐趣，将较为抽象的知识化为直观的感触.
【例3】任意角的三角函数.
[问题1]什么是任意角的三角函数？
[问题2]你打算怎样给“任意角”建立一个函数？
[问题3]锐角三角函数可以用来建立任意角的函数吗？
[问题4]能用锐角三角函数来建立任意角三角函数吗？
[问题5]它的定义域、值域是什么？
[问题6]余弦、正切函数是不是也可以用同样的方法来建立？
每?课首先要提出一个问题，并且去解决它.美国数学家哈尔莫斯说过：“问题是数学的心脏.”问题成为数学的生命，数学因问题而获得生命力.让学生学数学，能不让他们了解数学的生命吗？因此，课堂的引入也可以用问题驱动的方式引入.一些开放性的题目将会让每个学生的思维都动起来，让学生不再做默默的观众，而是做积极的参与者，渐渐体现课堂是学生的，教师扮演的是引导者.这样，学生就会在单位时间内学有所成、学有所获，为后续的学习传递正能量.
三、充分体现学生的主体地位，激起师生的双边互动
笔者提倡小组合作学习，利用导学案，举全组力量，相互帮扶.课前解决相关问题，对所上的内容有所了解，不至于上课时云里雾里.笔者截取《古典概型》部分导学案如下：
（一）活动1：读一读，想一想.中心任务：理解基本事件.
带着下面问题阅读教材第125页，2分钟后回答下列问题.
问题1：掷一枚质地均匀的硬币，正面向上和反面向上出现的概率分别是多少？为什么？
问题2：掷一个质地均匀的骰子，1～6点出现的概率分别是多少？为什么？
问题3：基本事件的特征是什么？请列举一个随机事件为基本事件的例子.
问题4：除了课本方法，计算例题1的基本事件个数的方法还有哪些？
（二）活动2：读一读，说一说.中心任务：理解古典概型特征及公式.
带着下面问题阅读教材第126页，2分钟后回答下列问题.
问题5：古典概型的基本特征是什么？请列举一个你身边的古典概型的例子.
问题6：如图1，向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？
问题7：某同学随机地向一靶心进行射击，射击的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中1环和不中环.你认为这是古典概型吗？为什么？
问题8：在推导古典概型某事件的概率公式时，用到了哪些知识和哪些方法？
问题9：尝试用多种语言描述古典概型事件A的概率计算公式.
（三）活动3：辨一辨，思一思.中心任务：应用古典概型公式，解决实际问题.
问题10：根据课本例题2，思考如下变式问题.
变式1：如果一道试题可以排除两个，还有两个选项不知道该选哪一个，则他回答对的概率是多少？
变式2：假设该题是一道多选题，这道题只有两个正确答案，如果某考生不知如何回答，就随便选.那么选对的概率是多少？并说明在做多项选择题时，没有把握猜对的概率更少.
（四）活动4：用一用，展一展：中心任务：总结计算古典概型方法、体悟合作学习意义.
问题11：同时掷两个骰子，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
问题12：回到开始问题，思考规则1和规则2的合理性.
问题的预设均根据课程标准的理念和目标进行设置，课前分发给学生，让学生有宽裕的时间交流与探讨，给学生一个“兵教兵、兵练兵”的平台.一来能给学生做“小老师”的优越感，增强学习数学的自信；二来能提高学生的语言表达能力，促使学生多提问题，合作探索，揭示数学本质；三来让学生在正式课堂中知道教师上课的主线.同时，教师也能自如地做到教学明线鲜明，暗线不虚，达成课堂的双边互动，为高效的学习带来促进的作用.
四、化抽象为直观，帮助学生高效理解知识
笔者在讲到诱导公式时，针对口诀“奇变偶不变，符号看象限”进行如下教学.
下面以图3解说“奇变偶不变，符号看象限，加也好减也好，α统统是锐角”.α看成是锐角，奇偶数是针对π2的系数而言.
通过图解将抽象化为直观，通俗的语言讲解会让学生更为容易理解，提供高效学习的途径，帮助学生有效和高效地理解知识，既做到适当的形式化，又注重强调本质，从而整体把握诱导公式的作用“负化正、正化主、主化锐”.适时地举出例子“sin（3π2+θ）=”，让学生“小试牛刀”，体验收获的喜悦感.
五、借助图表构建知识网，由浅入深地总结与反思
在课的尾声，教师不要包办课堂的小结，应以开放式的形式给小组完成.学生全面参与，为自己小伙伴的回答点赞，增强学生学习自信心.比如在《古典概型》这节课的尾声，提出如下总结与反思.
知识上的收获：古典概型及其特征、古典概型的概率计算公式；
技能上的收获：求解古典概型概率的“五步曲”；
方法上的收获：枚举法、图表法；
思想上的收获：符号化、数形结合、化归；
学法上的收获：阅读课本、归纳与概括、总结与反思.
根据学生的心理认知规律和对图文的感性认识，教师引进图表
（如图4）
帮助学生构建知识网络，让学生有满满的收获，做到把书读薄又把书读厚，既能遵循形式化原则，又能揭示知识的本质.
图4知识“鱼骨”图
学生说出了本课的收获，提出困惑，情不自禁地开启下一节课要讲的问题.哪怕是学生所提的和所总结的不是十分完善和到位，但至少印证了只要将足够的时间
留给学生，学生的小组合作探究效果就会显著，课堂上
高三数学概率公式总结范文5
正态曲线方程中含有两个参数[μ]和[σ]，其中[μ]可取任意实数，表示平均水平的特征数，[E（X）=μ]；[σ>0]表示标准差，[D（X）=σ2].一个正态曲线方程由[μ，σ]惟一确定，[π]和[e]为常数，[x]为自变量，[x∈R].
例1 已知某正态分布的概率密度曲线[f（x）=12πσe-（x-μ）22σ2]，[x∈（-∞，+∞）]的图象如下图，则函数的解析式[f（x）] .
解析 由图象关于直线[x=0]对称，
则[μ=0]，[f（0）=12πσ]=[142π]，故[σ]=4.
所以[f（x）]=[142π][e-x232].
点拨 本题与常见的正态分布概率的相关计算在形式上有所不同，但同样是考查正态曲线的特点（对称性与最值）.
例2 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为[142π].
（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；
（2）求正态总体在（-4，4]上的概率.
分析 要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数[μ，σ]的值，其中[μ]决定曲线的对称轴的位置，[σ]与曲线的形状和最大值有关.
解 （1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于[y]轴对称，即[μ=0.]
由[1σ2π]=[142π]，得[σ=4].
故该正态分布的概率密度函数的解析式是[f（x）]=[142π][e-x232]，[x∈（-∞，+∞）].
（2）[P（-4
[=P（μ-σ
点拨 求正态密度函数解析式，主要用待定系数法，一是对称轴[x=μ]，另一个是最值[1σ2π].这两点确定以后，相应参数[μ，σ]便确定了. 将[μ，σ]代入[f（x）]中便可求出相应的解析式.
考点二 借助于标准正态分布表求值
例3 设[ξ]服从[N（0，1）]，求下列各式的值：
（1）[P（ξ2.35）]；（2）[P（ξ
分析 因为[ξ]服从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值.但由于表中只列出[x00，P（ξ
解 （1）[P（ξ2.35）=1-P（ξ
[=1-0.9906=0.0094].
（2）[P（ξ
[=1-0.8925=0.1075].
（3）[P（|ξ|
[=Φ（1.54）-Φ（-1.54）][=Φ（1.54）-[1-Φ（1.54）]]
[=2Φ（1.54）-1]=0.8764.
点拨 制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便，其简捷的效果更突出了核心内容.在理解的基础上记住上面的几个公式，并学会灵活应用.
例4 设[η]服从[N（1.5，22）]试求：
（1）[P（η
分析 首先，应将一般正态分布[N（1.5，22）]转化成标准正态分布，利用结论：若[η?N（μ，σ2）]，则由[ξ=η-μσ?N（0，1）]知，[P（η
解 （1）[P（η
（2）[P（η
[=1-Φ（-2.75）=0.0030.]
（3）[P（η2）.=1-P（η
[=1-Φ（0.25）=0.4013.]
点拨 这里，一般正态分布[ξ?N（μ，σ2）]，总体小于[x]的概率值[F（x）]与[P（ξ
考点三 利用正态分布的对称性求概率
[X?N（μ，σ2）]关于[x=μ]对称.随机变量[X]的取值区间在[（a，b]]上的概率等于正态曲线与直线[x=a]，[x=b]以及[x]轴围成的封闭图形的面积.
例5 设[X～N（1，22）]，试求：
（1）[P（-1
分析 首先确定[μ=1，σ=2]，然后根据三个特殊区间上的概率值及正态曲线的特点求解.
解 因为[X～N（1，22）]，所以[μ=1，σ=2].
（1）[P（-1
[=P（μ-σ
（2）因为[P（3
所以[P（3
[=12[P（-3
[=12[P（1-4
[=12[P（μ-2σ
[=12]（0.9544-0.6826）=0.1359.
点拨 （1）充分利用正态曲线的对称性和曲线与[x]轴之间面积为1；（2）正态曲线关于直线[x=μ]对称，从而在关于[x=μ]对称的区间上概率相等.
考点四 正态分布的实际应用
正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布，如长度测量的误差，正常生产条件下各种产品的质量指标等，由此可确定一些决策性的指标.
例6 公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的，如果某地成年男子的身高[ξ?N（175，36）]（单位：cm），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？
分析 求的是门的最低高度，可设为[x]cm，使其总体在不低于[x]的概率值小于1%，即：[P（ξx）
解 设该地公共汽车门的高度应设计为[x]cm，则[P（ξx）
由于[ξ?N（175，36）]，
所以，[P（ξx）=1-P（ξ
即[Φ（x-1756）>0.99.]
通过查表可知：[x-1756>2.33.]
解得，[x>188.98].
即该地公共汽车门至少应设计为189cm高.
点拨 逆向思维和逆向查表，体现解决问题的灵活性，关键是理解题意和找出正确的数学表达式.
1.已知随机变量[X～N（μ，σ2）]，则[Y=aX+b]服从（ ）
A.[Y～N（aμ，σ2）] B.[Y～N（0，1]）
C.[Y～N（ua]，[σ2b）] D.[Y～N（aμ+b，a2σ2）]
2.已知随机变量[X]服从正态分布[N（2，σ2）]，[P（X
A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84
3.在某项测量中，测量结果[ξ]服从正态分布[N（1，σ2）（σ>0）]，若[ξ]在（0，1）内取值的概率为0.4，则[ξ]在（0，2）内取值的概率为 .
4.已知正态总体的数据落在区间（-3，-1）里的概率和落在区间（3，5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为 .
5.某个工厂的工人月收入服从正态分布[N（500，202）]，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？
6.一次数学考试中，某班学生的分数[X]服从正态分布，全班的平均分为[μ=110].
（1）当全班分数的标准差为10时，计算[|x-110|]≤19.6的概率；
高三数学概率公式总结范文6
旧教材在统计方面只介绍了抽样方法、用样本去估计总体以及正态分布，在概率方面介绍了基本事件的概率、分布列、期望，而新教材删除了正态分布这部分内容，在旧教材的基础上新增加了很多内容，如：茎叶图、频率分布直方图中的中位数、众数、平均数、线性回归、几何概型、条件概率。
二、近三年新课程卷中概率试题特点（以全国卷为例）
1.试题分布从近三年新课程高考试卷来看，有关概率与统计部分的试题
2.试题特点
（1）概率题中增加了统计或程序框图这部分内容，阅读量明显增大，部分题还将数形结合思想体现在这个题型中，辅以表格或图形说明。而且将频率分布直方图或茎叶图或程序框图和概率分布列结合起来考查将成为这部分内容考查的趋势。
（2）重视基础，注重对四个基本公式的考查，即对等可能性事件的概率，互斥事件的概率加法公式，独立事件的概率乘法公式，事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率的考查。
（3）密切联系教材，但又不脱离实际生活。试题通常是通过对课本原题的改编，或是基础知识的重新组合、拓展，从而成为情境新、立意高、设问巧，并赋予时代气息的题目。例如，2011年新课程全国卷的第18题：以普法知识竞赛为情境，贴近学生实际；2012年新课程全国卷的第15题：以元件连接为背景，将基础知识进行了重组，并让学生横向联系，与物理知识的串、并联相结合；而18题则以日常生活中的买卖作为背景考查基本事件的概率与分布列；2013年新课程卷的第19题：以羽毛球比赛作为时代背景考查这部分知识，赋予时代气息。
三、概率试题对
