立体几何教案范文1
【关键词】几何画板初中数学探究式学习案例分析
1、问题的提出
新课程改革注重素质教育，强调：“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习教学的重要方式”，初中教学是小学依赖性学习和高中独立自主式学习的过渡，教学模式的探究性对于学生独立思维和创新能力的培养具有不可或缺的作用。如今随着教学质量的提高，利用计算机辅助课堂教学对学生探究性培养越来越具有独特作用，而几何画板是目前国内应用于数学探究式教学的优秀软件，已有不少研究者围绕几何画板的数学课堂辅助作用做了研究，但通过本人在中国知网上检索“几何画板”“探究学习”“案例分析”等关键词，查阅了20多篇相关文章期刊发现，前人的研究角度多针对于几何画板探究式学习的理论基础，或几何画板在数学教学中的应用，还通过在万方资源库中检索查阅发现，有研究者站在高中的角度结合案例分析了几何画板对数学课堂探究式学习的作用，却尚未发现有以初中课堂案例为主，前人所选案例类型都不太全面，本文将初中数学课程中与几何画板有关的内容举例，在前人的基础上继续探索如何将几何画板的优势充分利用到初中数学教学的探究性中，通过经典案例更具体地研究几何画板如何有效地激发学生的求知欲，增强学生的创新精神和实践能力，以及在初中数学课堂中如何贯穿老师精心设计、巧妙引导，学生主动参与、动手操作、认真观察、乐于探究、相互协作、总结结论的探究式过程，充分体现新课程改革下的素质教育，相当具有可研究性值。
本文采用的研究方法为定性研究，凭借自身的参与观察，探究等手段收集整理资料，对几何画板在初中数学的探究式学习进行整体探索；
另外，结合自身实际，通过本校的课题研究，本人还采用数学行动研究，借用资料分析、类比、归纳、访谈、调查等基本手段完成问题探究――课题探究――案例分析的研究路线，增加研究的真实性、有效性和连续性。
2、几何画板简介
2.1几何画板的介绍
几何画板是一个通用的数学、物理教学环境，提供了丰富便利的创造功能使用户可以根据自己的需求编写教学课件。只要了解软件的简单的使用技巧就可以自己设计和制作，案例所体现的并不是制作者的计算机软件技术应用水平，而是教学水平与教学思想。
几何画板提供了画点、画圆、画线与旋转、平移、缩放、反射图形变换的功能，可度量长度、面积、角度、坐标、比例、半径和斜率，也可以运用于代数与常用的十余种函数的计算，可以说初中几何的尺规作图都能完成。几何画板能根据课程要求建立直角坐标系与极坐标系，为构造函数，绘制函数图像提供了便利，也可制作表格，动态演示更方便学生观察数据变化，另外几何画板自身还带有为图形添色，编辑文字字体、大小和编辑数学公式符号的功能，使得课件更加形象，制作完成后也能直接插入Word文档，Excel表格、PowerPoint幻灯片中，可以说几何画板是最出色的教学软件之一。
2.2几何画板在初中数学中的适用范围
1、在图形变换教学中的应用：如在学习轴对称图形的认识、平移与旋转、图形的相似、正方体的展开图、各种立体图形的不同视角时，都可以利用结合画板数形结合的特点把课堂生动化；
2、在初中平面几何教学中的应用：可以用几何画板验证一些定理和公理，如验证三角形的相关定理、勾股定理、圆中的相关定理；
3、在初中函数教学中的应用：有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数，结合几何画板谈论函数与图像的关系；
4、在数学实验探究活动中的应用：如今的数学教学除了要培养学生运算和推理能力，也需要培养学生参加实验、自主发现、假设验证的能力，而运用几何画板让每个学生都能在课堂中参加数学实验。
3、初中数学探究式学习
3.1初中数学探究式学习的概念
在初中数学教学中，探究式学习是一个积极的学习过程，要求从根本上变学生被动学习为主动学习，引导学生主动探究知识，提高分析问题、解决实际问题的能力，培养学生的自主意识与合作精神，促进学生的全面发展是一种，一种有利于终身学习、发展学习的方式。
3.2初中数学探究式学习的特点
《新课程标准》指出：“动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式”。其核心理念就是“以学生的发展为本”，强调学生“自主探究”，强调合作学习，培养学生创新精神和实践能力，初中数学探究式学习具有问题性、过程性、独立性与合作性的特点，强调既要由问题引入学习，将问题贯穿学习的始终，也要将学习当作是发现问题――提出问题――分析问题――解决问题的过程；所谓过程性就是只有让学生经过一系列的质疑、判断、比较、分析、推理、概括等活动，才能理解掌握和巩固结论；独立性是指引导学生独立思考并解决问题，应充分尊重学生的独立性，正确引导鼓励学生学会思考；同时，探究性学习需要学生通过合作交流和共同探索来发现问题、解决问题，使得学生既要独立思考，也要学会合作交流，发散思维，进而掌握更多解决实际问题的方式。
4.基于几何画板的初中数学（华东师大版）探究式学习案例分析
几何画板在初中函数教学中的应用
5.结语
教师在课堂上运用几何画板，将静态的图形进行动态演示，利用直观形象的图形变换辅助讲解抽象的内容，体现了数形结合的数学思想和观察实验与概括抽象的数学思想方法；也可以利用几何画板做数学实验，揭示知识之间的连续，知识发生、发展的过程，从而发现、探索、总结数学规律，体现了分类讨论、数学建模的数学思想和类比、归纳演绎的数学思想方法。
教师合理利用几何画板创设情境，设置悬念，激发了学生的学习积极性，引发学生思考，充分体现了探究式学习的问题性；课堂上，教师也可引导学生可利用几何画板自行演示，动态操作，独立思考，发现并总结规律，充分体现体现了探究式学习的过程性与独立性；当然，在运用几何画板的同时，也可分小组合作交流，讨论，分享不同的观点和意见，体现出了探究式学习的合作性。
在课堂中增添了几何画板的运用，既解决了教师作图不规范，误导学生学习的问题，也通过生动的图形变换和巧妙的数形结合帮助学生弥补了空间思维能力的薄弱，还能广泛应用与各种数学试验探究，一改传统的形式化数学教学，将课堂模式形象化，民主化，培养了学生学习数学的兴趣，可以说，几何画板是辅助初中数学教师教学的得力软件，也是帮助学生学习的好帮手。
针对几何画板在数学课堂中的应用，以及如何将几何画板的优势最大化，本人总结出以下几点建议：
1、几何画板虽然操作简单，教师也应避免班门弄斧，弄巧成拙，仍需要教师多花心思，仔细摸索，才能熟练使用，并制作成出色的课件吸引学生眼球，激发学习兴趣；
2、新课程教育强调学生的主体性，却不是由学生主宰课堂，将几何画板与数学课堂整合，主体还是数学教学，应以数学的教学目标为主线，并且几何画板动态演示效果强，教师若使用不当，容易在课堂中喧宾夺主，使教学跟不上进度或偏离重心，所以教师应在课堂中巧妙穿插几何画板的使用；
3、在探究式学习中，利用几何画板辅助数学课堂，起到桥梁的作用，教师应当合理正确地使用，找准几何画板与数学教学切入点，只有弄清楚将几何画板辅助在课堂的什么地方，如何辅助，使它真正为数学教学服务才可以培养学生学习数学的兴趣，增强自主创新、主动探索、合作交流的精神，使学生全面发展。
【参考文献】
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立体几何教案范文2
【关键词】高三数学 诊断 策略 思维导图
1 问题的提出
长期以来，对于高三数学复习，很多老师都已形成一套比较完备固定的模式，这套模式通常建立在教师的既得经验和预设基础上，挪来可用、简便易行。但这种建立在经验和预设基础上的固定模式客观上存在着固有的缺陷。每一届学生的情况是不一样的，所教的班级和学生也都是不一样的，一成不变的模式严重忽视了学生的主体性和差异性，从而丧失了复习教学的针对性和有效性，导致效率低下。高考复习非常重要的一点，就是教师必须对当前所教学生的学情进行充分的了解，对学生在学科学习中存在的共性及个性化问题作出准确的判断，然后采取有针对性的策略。如果做不到这一点，高考复习必将事倍功半。笔者从事高三教学多年，深刻体认到尊重学情的重要性，并从实践中摸索出一套基于学情分析的比较高效的高三复习教学策略。借用中医学理论的术语，这套策略可形象地称之为“把脉诊断 对症下药”，试作如下阐述。
2 借助高考真题，诊断数学学情
浙江省数学高考复习指导纲要指出：高三数学教学必须“依纲靠本，以考试规律为指导，以近年高考命题的稳定性风格为导向，以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年高考试题为基本素材”。因此，笔者在高三开学初始，先以近三年的浙江省高考试卷为蓝本，组织学生进行规范测试，然后对三份试卷的测试结果进行详细的比对分析，从中找到学生在数列、三角、概率、立几等各知识模块存在的薄弱点、模糊点、易错点等普遍性问题，以此作为一轮复习有效展开的依据。试以近年来浙江卷数列题和立几题的问题诊断为例。
案例1：近年来浙江卷数列题答题状况诊断
笔者以近年来高考浙江卷数列题为蓝本（2011年第19题，2013年第18题），组织学生进行规范检测，检测结果如表一所示：
表1 对笔者所教班级（两个班，共108人）学生两道题的检测结果统计
平均得分 0 2 4 6 8 10 12 14
百分比 9.4 10 7.2 15.29 10 21.19 4.3 22.5
检测结果表明：两道数列题，能高质量完成的只占 %。问题到底出在哪里？试以2013年高考浙江卷数列18题为例作具体分析。
在公差为 的等差数列 中，已知 ，且 成等比数列（1）求 ；（2）若 。
错误一： 这个式子得不出来，那就只能0分了。
错误二： 得不出（或则化简错误） 。只能得2分
错误三： 得到
（很多学生只能算对一个，那就只能得4分）
错误四：第2问不知道讨论，直接求 的 。
错误五： 而不是 。
错误六： .（错的类型有两种：一种是项数弄错了，另一种是最后化
简的过程发生错误。这种最可惜只能得12分）
通过比对分析，发现学生存在的普遍性问题主要有：（1）概念、公式完全不清楚；（2）分类讨论等数学思想方法欠缺；（3）化简，运算能力有所欠缺。
高考数学对学生能力的考查，主要集中在以下几个方面：空间想象能力；抽象概括能力；推理论证能力；数据处理能力；应用意识与创新能力。这些能力都是相辅相成的，这些能力的培养都要落实在我们的高考复习中。为了更全面的了解学生存在的问题，我们应该通过对近几年高考真题的使用并进行系统的统计，从中发现学生存在的问题，并引导我们如何去提高复习的效率。
案例2：近三年浙江卷立几题答题状况诊断
笔者再以三年高考浙江卷立几题为蓝本（2011～2013年20题），组织学生进行规范检测，检测结果如表二所示。
表2 对学生三年三道题的检测结果统计
平均得分 0 2 5 7 9 10 13 14
百分比 10. 10 7 7 29 16. 15. 6
检测结果表明：三年三道立几题，能高质量完成的只占 。问题到底出在哪里？试以2013年高考浙江卷立几20题为例作具体分析。
在四面体A-BCD中， ， ，AD=2.
M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=BQ
（1）证明：PQ//平面BCD；
（2）若二面角 的大小为 ，求 的大小
在满分的6人中5人是用几何法解决的。而且方法的选择上也差距较大，特别是女同学的差距更明显。以下是对学生答题方法的统计（如表三所示）。
表3 对学生答题方法的选择统计
性别 女生（50名） 男生 满分（6人）
几何法 2 15 5
向量法 48 35 1
由此可以得知，立体几何中向量法是被学生接受的方法，但从得分角度看，存在很多问题。几何法不被学生接受，或者说在平时的教学中，会因为它难而被学生甚至老师忽略。但从满分的学生看确是运用几何法的。这点在我们今后的复习中不能忽略。
3 根据诊断结果，采取相应策略
承上所述，高考真题就像一面镜子，可以非常清晰地呈现出学生在数学学习中存在的共性及个性化问题。接下来要做的事，就是“对症下药”。为了更加简明地说明问题，笔者在此依然从上述两个案例出发来作具体阐述。
案例1说明很多学生对概念、公式完全不清楚，而这正是高考考查的重点。在高三复习中，多数老师常用的模式是：知识梳理（或用基础练习来代替）--典题分析――课堂检测―小结。其中知识梳理一般都是在很短的时间内完成的，这对概念模糊、公式不清的学生是无效的。然而由于时间有限，高三的复习课又不能象高一高二上新课那样来进行，怎么办？
3.1 利用思维导图，重构知识网络
按照新课程的学习观，学习的意义不是简单复制和摄入信息，而是主动解释信息，在“顺应”与“同化”中重构知识网络。依据奥苏伯尔提出的“先行组织者”的教学策略，笔者采用的方法是：在一个单元展开复习之前，先让学生先画出本单元的知识思维导图。这种知识思维导图的建构分两步进行：知识整理在复习之前，知识拓展在复习后。试以数列单元的复习为例。
案例3：数列知识思维导图
图1 数列知识思维导图
通过这个导图，帮助学生建构起一个完整的知识链，把原先似是而非的东西都理清楚， 并且能够在头脑中像播放影片一样地清晰呈现。
3.2 基于“最近发展区”，建立个性化知识网络
不同学生的学情是不一样的，因此在解决了学生的普遍性问题之后，还应该基于不同学生的“最近发展区”，引导学生自己去提出问题、解决问题，建立起个性化知识网络。笔者的做法是，要求每位学生在案例3的导图基础上根据自身的情况对导图进行拓展与完整。比如增加每个专题的典型例题和本人在本章练习中的易错点。这种个性化思维导图的建立，又相当于学生给自己建立了错题的档案，便于温故知新，提高学习效率。同时，教师根据学生的错题档案，进行错误记录、整理、分析，得出不同学生的优势和短处，有针对性地给予指导，使复习更加具有针对性。
案例4：学生个性化思维导图
图2 学生个性化思维导图
通过案例4的导图，教师就可以从中发现学生存在的问题，以便教师给予针对性的指导。
3.3 结合个性化知识网络，给予针对性指导
从学生建立的个性化知识网络可看出不同的学生会有不同的问题，以立体几何的诊断为例。几何法的书写简洁，计算量小，学生如果会，更容易拿满分。从人数上看，大多人选择的是坐标法，特别是女生，几乎都是。说明坐标法更容易被学生接受。因此对大部分基础比较薄弱，特别是大部分女生而言，空间想象能力差，但她们比较细致，有耐心。所以选择坐标法来解决立几问题也是个不错的选择。因此我们在教学中要针对学生的个性作出针对性的复习指导。在强化个人擅长的方法之外，也要进行其它方法的补充。让学生面对立体几何问题更有自信。从案例2的分析统计中可以得出以下策略。
⑴ 利用模型表征空间关系和结构，培养学生空间想象能力
分析案例2的优秀解答可发现几何法具有相对典型的书写简洁，计算量小，正确率高等优点。展示如下：
解答：
过D作 于点F，则 ，过F作 于G点，连GD
所以 是二面角C-BM-D的平面角，即 .在直角三角形BGM中，
GD= ，在直角三角形DFG中， 设DC=x则
所以
案例2说明选择合适的方法也很重要，在立体几何的教学中更为突出。从优秀答卷中可以看出传统几何法有很大的优点，但学生掌握起比较困难。因为它对空间想象能力，和推理论证能力的要求很高。对于数学基础较好，空间想象能力比较好的男同学而言，此法还是值的推广的。相比坐标法，它更快，更准。那么，该如何培养学生的空间想象力呢？我认为主要有以下几点：
①展示几何模型，特别是长方体模型，最好每个同学都能自己动手做一个。通过模型来研究长方体中的线与线，线与面，面与面中的关系，及所成的角。并要求熟练掌握，从而培养学生的空间想象能力。
②在①的基础上引导学生利用模型表征空间关系和结构就会使原来数学形态的抽象问题呈现出一个结构鲜明的情境，使枯燥的数学问题形态变成很有价值的教育形态，更重要的是，这一数学活动情境会呈现一种学习方式和解决问题的数学思维方式。
美国心理学家西蒙认为“表征”是问题解决的一个中心环节，它说明问题在脑海里是如何呈现出来的，如何表现出来的。
案例5：在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有（ ）
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
教学实践表明，学生面对本题，出现将问题外部表征的心理障碍，要讲清楚为什么会有4个直角，总要画出图形来解释才能让学生理解，而要让学生独立的画出这样的四棱锥也不是一件容易的事，教学中，我们提出引导性的问题：你能在熟悉的正方体找到这样的四棱锥吗？经过尝试，很快就会有学生给出图3来。
图3 四棱锥
从这个案例可以看出，利用几何模型外部表征问题，是一种数学思维活动经验，是一种学习的方式，也是一种思维方式，它能提升学生的思维起点，培养学生的空间想象能力，从而解决利用几何法求解立体几何问题的难点。
③对于一些比较复杂的问题，我们还可以借助计算机中的一些画图软件，来帮助我们直观的了解问题的表征，从而找到解决问题的方法。
⑵对于缺乏空间想象能力部分群体（女生），向量坐标法仍是教学的主阵地
多数学生觉得立体几何很难学，没有兴趣。引入向量以后，学生不仅在方法的选取上有了更多的选择，也为立体几何的计算及证明开辟了一条新的思路，使许多的“形”转化为“数”，把一些复杂的逻辑推理过程转化为简单的计算，有利于学生克服空间想象能力的障碍和空间作图的困难，降低了立体几何题的难度，提高了学生运用数学解决问题的能力。这些优势在案例2中充分得以体现。因此这将成为我们立几复习的主战场。但如何让学生掌握的更好呢？分析学生错误的原因，然后寻找对策。笔者认为主要有以下几点
①空间向量的概念理解典型错误如：1.直线与平而平行的定义，平面与平面平行的判定定理理解不透彻。2.学生对向量数量积概念的发生过程不清楚，只是机械的套用公式3.对线面角，面面角的概念理解错误，导致解题时不能正确的找出所要求的角等。找到原因就要求我们在高三的复习工作中要把高二遗留的问题解决好。重视好概念教学，充分利用思维导图。
②空间向量的线性运算与坐标表示的典型错误：明确给出点坐标让其进行向量坐标的运算，学生一般没有困难，但在综合性较强，关系较复杂的题目中，学生往往容易出现错误，导致后面的解题步骤都作无用功。一方面是因为学生没有良好的解题习惯，缺乏必要的解题步骤，没写出点坐标就直接计算向量坐标。因此，在平时的教学中要多给学生一些不同背景的建系方式。加强训练点的坐标的求法。注重培养学生的运算能力。另一方面，学生在观察图形时，不能正确把握图形中各元素的位置关系，对题设感知错误，借助图形思考，分析的过程中就会受到错误信息的干扰，是缺乏空间想象能力的表现。从信息加工理论和奥苏贝尔的有意义学习理论来看，感知是信息加工的开端，接着才是短时记忆、编码、长时记忆、信息的提取。一切复杂的心理过程都源自感知，没有正确感知就不可能认识事物的本质和规律，没有正确的感知，就不可能获得任何真知 .空间想象能力的缺乏，直接导致学生对图形的感知不全面，是产生学习问题的首要原因。因此还得重视空间能力的培养。
③用向量法解决立体几何问题中还有个重要的量“法向量”尽管学生掌握了求法向量的方法，但法向量的求出，对解决直线与平面的夹角，平面与平面夹角问题有什么帮助却不太清楚。究其原因，是学生利用现有知识解决新问题时，分析处理问题的能力有所欠缺，对题目中求出的每一个量作用，没有一个清晰的脉络，只知道用向量法求线面角需要有直线的向量坐标，平面的法向量坐标，并用到夹角公式，却不清楚这些量与最终要求的结果有什么关系。归根到底还是公式的背景，推导不熟，还是缺乏空间想象能力所致。
⑶拓展思维尝试一题多解，提升数学学习兴趣和能力
坐标法和几何法是最常用的两种方法，事实上笔者认为立体几何问题还可以用非坐标形式的向量法来解决。正所谓多一种方法就多一条出路，我们平时的教学中不妨可以尝试下。而且非坐标的向量法有着诸多的可取之处。
案例6：（2009高考浙江卷理科17题）在长方形 中， ， ， 为 的中点， 为线段 （端点除外）上一动点.现将 沿 折起，使平面 平面 .在平面 内过点 作 ， 为垂足.设 ，求 的取值范围。
解：在折叠过程中的不变量AD=1，AB=2，设DF=m，由于平面ABD 平面ABC 所以 DK 平面ABC，又AK=t， ，
所以 .由数量积的几何意义知：
因此-1+tm=0， 所以得 ，
从解答过程不难看出用非坐标向量法进行的上述解答化动为静，简洁别致，令人耳目一新。
总之，在立体几何的教学中应根据学生的具体情况，给学生一个合理的建议。
在主抓一种方法时，不能忽略传统方法。只有这样才能更好的培养空间想象能力。
更好的促进向量坐标法的教学。教师在编制和选择立体几何习题时，应特别精选一些用几何法解答比较简洁的立体几何题，促进学生对几何法的认识与兴趣，让学生自愿去尝试用几何法来解决问题，而不是持首先用向量法的思维定势。另外，习题的图形不宜过于直观，过于直观会导致学生采用单一方法解题几率增高。计算量不宜过大，否则会导致学生的完成率和准确率降低。教学实践中，这些必须结合个性化知识网络，给予高三学生针对性指导。
4 策略实施的效果与思考
4.1 策略实施的效果
在高三的复习工作中笔者一直坚持运用高考真题对学生进行诊断。并在高考复习中对学生出现的概念性的及公式的理解我都是运用本文所写的策略。要求学生作出共性和个性化的导图。并针对个性问题进行相应的指导。学生在这个方面和以往相比取得了明显的进步。成绩有了很大的提升。在高三复习教学中笔者也坚持从学生的角度出发，探求学生的易错点。知识的遗漏点，从而提高高三的复习效率。如在立体几何的教学中就采用了本文的策略。大大提升了学生空间想象能力。
4.2 问题与思考
高考试卷是命题专家集体智慧的结晶，是选拔人才的标尺，有它的权威性和对今后教学工作的导向性。因此我们要使用好高考试卷，不仅在课堂的教学中，更要它来引领我们寻找正确的教学方法和复习计划。在高三的教学中教师要研究高考试卷，这也很快能被老师认可。但是否仅限高三呢？显然是否定的。很多高考试题让高一、高二的学生去做也是可以的，将有些高考试题的能力精髓早点向学生传授，对提高学生的数学素养与能力是大有好处的。高考真题的研究很重要，但也不能一味追求使用高考真题，而忽视了教材，纵观近几年的高考数学试卷发现，许多高考试题源于教材，甚至不回避教材中的原题。
因此，高中教师在平时的教学点滴中应该多去研究高考试题。把握高考试题的方向。要善于从高考卷的错误反思教学的缺失。让它成为教师寻找问题，解决问题的新领域。
参考文献
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立体几何教案范文3
【关键词】向量；教学主线；探索
在苏教版高中数学课程中，“向量”部分的内容是教学的重点，不仅是因为这部分教学内容的知识点非常重要，还因为“向量”内容的学习对于数学课程学习有一个承上启下的作用，并且在高考试卷中占有较大的比重.
一、“向量”内容教学的主线探索
“向量”部分内容的教学主要有两个方面的教学主线需要把握，一是对于向量基本概念的认识和理解，这是向量部分内容学习的基础.另外一个教学线索就是空间向量的运算和性质，这对于学生更加深入地了解向量内容和向量知识的应用也是具有重要意义的.
1.对于向量基本概念的理解
向量，是指在空间具有大小和方向的量，对于这种量，我们称之为向量.对于向量的表示，我们一般用有向线段进行，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.两个特殊的向量是零向量和单位向量.共线向量又称平行向量，要注意与线的平行、线（点）的共线的区别.在空间范围内的两个向量，可以用同一平面内的两条有向线段来表示.这是向量的存在和表达方法.在向量中，如果两个向量能够平移到同一平面内，那么这两个向量就是我们平时所说的共面向量.共面向量也是我们的向量教学中常用的一种向量表达式，在向量运用和运算中被广泛应用.除了共面向量，空间向量也是一个重要的向量内容.在进行向量的运用和计算中，空间向量也是一个重要的工具.
在向量部分的内容教学中，向量的基本概念是一个重点教学内容.向量部分内容的学习，对于高中数学学习有很大的帮助.学科不是一个孤立的体系，在课程安排中，每一部分数学知识的学习都不是一个单独孤立的体系，向量的内容更是如此.在苏教版数学课程教学中，向量的内容作为一个独立的章节出现，要求我们在教学中对于这部分内容进行开拓讲解，不仅有利于知识的讲授和学习，在另一方面，向量内容的教学也为其他部分的教学提供了帮助.所以，在“向量”部分知识的教学中，基础的概念知识要把握好.这是对于向量知识学习的基础，也是对于其他方面的知识学习的基础.
2.对于向量运算的把握
在向量知识的学习中，另一条教学主线就是向量的运算.在向量知识学习中，向量的运算也是一个重点的教学目标.在学习了向量的基本概念之后，就要对向量知识进行深一步的理解，这部分的教学内容，就是向量的运算.向量在应用中可以通过运算进行一些问题的解决，向量的运算也是有一定的公式可套用的.例如，向量可以和数字相乘，用来表示一个和它平行或者共线的向量，这种运算方法和普通的数学运算方法相同，在向量部分内容的学习中同样适用.在向量的运算中，我们也有一些运算定律可循.例如，在向量的运算中，存在数量积定律，特别需要注意的是，相互垂直的向量，它们的数量积为0.这也是向量内容学习中的重要运算定律之一.除此之外，还有平面向量基本定理，也是在向量内容运算中常见的向量运算定律.
这是在向量教学中的两条教学主线，把握这两方面的教学主线对于向量内容的教学研究有着重要的意义.在向量内容学习中，以这两个方面的内容为主体进行学习，对于这部分内容的教学是非常有意义的.
二、向量教学中要抓住教学典型，促进教学的发展
在向量内容教学中，抓典型、抓重点是主要的教学原则.向量内容教学对于数学课程中其他部分内容的学习也是非常有帮助的.向量教学中的抓教学典型，主要是抓住典型的教学案例进行内容的教学，案例在数学教学中的作用是非常大的，典型教学案例是数学教学的精华所在.向量教学关系到其他部分的数学知识的学习.例如，立体几何和平面几何方面的知识，都可以利用向量进行学习.特别是在立体几何的学习中，向量内容的辅助作用也是非常大的.立体几何在解析方面有一定的抽象性，需要把抽象的数字和具体的立体几何图形结合起来，这对于课程教学是一个重要的考验.面对这样的问题，我们可以把向量知识运用到立体几何问题的解决中来.通过构建立体坐标系，运用向量来表示立体几何的边和线，由此，在坐标系中可以构建出一个合理的数学模型，这个模型就是我们用于解决立体几何问题的重要辅助工具.立体几何知识抽象性比较强，通过向量坐标系的辅助，我们建立了相对具体的几何模型，这样就能够把抽象的问题具体化，更方便于我们解决问题.向量是带有方向的数学数据，这个数据用于解决具体的几何问题是具有很大优势的.在现代数学教学中，向量模型的构建和应用也是非常广泛的.立体几何问题的解决就是向量运用的典型案例，无论是对于立体几何问题的解决还是向量知识的应用，都具有非常好的效果.在向量部分的内容学习中，要多注意这类教学典型的把握.
结语向量内容在高中数学教学中是重点内容，对于一系列数学模型的构建和应用都有着重要意义.向量知识在教学中，要充分把握好两条教学主线，教学主线的把握是向量知识教学的重点.除此之外，在教学中还应该注意典型教学案例的收集，在教学中把握主线和典型，才能更好提升数学教学的质量，实现课堂教学的有效性.
【参考文献】
[1]张莹.向量在高中数学教学中的整合探究[J].中国校外教育，2012（8）.
立体几何教案范文4
关键词：哥特式建筑 花窗格 肋拱 几何图案
15世纪末是哥特式建筑艺术创造性发展的辉煌时期，这些建筑的形式对于官方权威的设计是一种巨大的颠覆。这个时期，极其精致和赋予想象力的哥特式建筑艺术在欧洲许多文化中心发展起来，在著名的赞助商和负有盛名的艺术家滋养下，哥特式建筑风格的兴盛一直延续到1540年左右。1520年，随着各种风格的技术处理成为可能，哥特式艺术风格和意大利艺术风格呈现出并肩发展的面貌，这在欧洲北部的很多城邦都有表现，以及著名的艺术家如荷兰的扬・戈萨尔特（Jan Gossaert）、巴黎的皮埃尔・尚毕日（Pierre Chambiges）、诺曼底的罗兰・勒洛克斯（Roland Le Roux）、阿尔萨斯的伯纳德・洛勒马彻（Bernard Nonnenmacher）、巴伐利亚的艾哈德・海登赖希（Erhard Heydenreich）和波希米亚的本尼迪克特・列特（Benedikt Ried）都同时表现出这两种风格。本文重点研究的是哥特式建筑中的几何装饰，侧重于图形的视觉符号意义，探讨窗花格图案和肋架结构可能实现的潜在功能。
一、欧洲各城邦的哥特式建筑中几何图案装饰的表现形式
对15世纪末到16世纪初的建筑师来说，丰富的想象力和创新的装饰是同等重要的因素。事实上，人们现在常常用“火焰式”来形容晚期的法国哥特式建筑风格，这个术语来源一个特别的装饰特征：1500年左右在一些法国教堂中出现像火焰一样的花窗格造型――这是装饰三角墙的典型图案，以及建于16世纪初期的圣三一教堂的玫瑰窗花和外墙面。16世纪的建筑师洛伦茨・莱歇尔把晚期哥特式风格称为Zippernwerkh，这个词也和装饰语汇有关，似乎是形容一个不规则花窗格的形状演化而来。
在许多重要教堂的装饰中，几何图案装饰成为内部结构中不可缺少的特征。与德国一样，奥地利、尤其是捷克共和国，晚期的哥特式建筑师在教堂的内部相应地雕刻出明显的几何图形。15世纪末，分散的几何图形组成的错综复杂和新颖的装饰越来越普遍地被放在突出位置：中殿和小教堂的拱顶，画廊栏杆，教堂配备设施和装饰的金属包层部分。布切曾说，这些越来越复杂的装饰，将很快成为建筑中的独立领域，许多幸存下来的建筑中的几何结构就是证明，而其他因素诸如纸的运用为其发展提供了支持，使更多的哥特式建筑草图创造得以实现。事实上，大多数哥特式建筑图纸都是从十五世纪到十六世纪创作的，有的图纸画得非常复杂，甚至于它们的样式从来就没有建造出来，它们只是作为脱离客观现实的艺术表现。当然，如果这些几何图案以雕刻的花窗格或是拱顶装饰的形式布置在教堂内部时，它们就可以读解成宗教神圣的象征了。
相对来说，一些人却很少关注装饰形式，一方面是长期以来装饰与建筑的基本属性无关，另一方面是人们存在一种偏见，认为繁复的装饰是颓废和衰败的象征。就连善解人意的晚期哥特式评论家弗朗索瓦・布赫尔也认为卢维尔斯、阿尔比和斯特拉斯堡的门廊装饰过分繁复。他还指出位于英戈尔斯塔特西部小教堂中华丽的拱顶是“那个垂死风格的最后一个坚持者，基于规则的几何网格发展成了令人难以置信的技术和复杂的火焰设计形式。”这是流行的现代主义美学代表性评论，他们认为装饰和结构是必然冲突的，与建筑的功能原理必然相对立的。然而，从伊斯兰的雕刻到20世纪的建筑，人们逐渐认可了装饰属于建筑体系中的一部分，这表明装饰能够强烈地吸引参观者的眼球，扮演着宗教表达和文化革新的有效媒介物。
二、几何图形的拱顶结构
在15世纪时期，拱顶结构的艺术发展显著，在教堂设计方面不断担任着越来越重要的地位，人们逐渐对墙部的关注越来越少，过去的柱子都是多种多样的复合式柱身，吸引人的目光慢慢的往上延伸，现在这些柱子被简单的圆柱或八角形扶壁取而代之，人们直接关注的是雄伟华丽的拱顶上肋架的装饰样式，肋拱日益从基本建筑结构的必要条件中分离出来。
这种风格的典型例子是诺德林根的圣乔治教堂，这座教堂于15世纪初开始修建，在大约1500年才加拱，是由斯蒂芬・卫雷尔和奥格斯堡的建筑师布尔克哈德・恩格尔伯格两人协作完成的。在唱诗班坐席上方，卫雷尔配置了单曲线和双曲线的肋架 ，在拱顶顶点创造出了直线和弧线交叉的复杂线汇。这些肋架形式在每一个突出结构中都形成一个独特的图案，即六边形里包含了四角星。此外，多边形的肋拱在交集处都稍微有一点突显出来，像僵硬的光点。从光学上讲，这个细节在视觉上使得它们与周围的环境相分离，并强调它们作为装饰图案的特性。装饰性的表现是至关重要的，中殿上方的拱顶设计采用了不同的布置：一个由三角形、菱形和长菱形交叉组成的网状图形。和以前一样，几何形状的图案被集中在建筑的特定区域内供人观赏。
在1500年左右时尚的拱顶设计在德国可谓是人尽皆知，它们非常受人们欢迎，就连最小的村庄里的教堂也采用这种拱顶。有时，人们在灰泥制成的廉价肋架外多余的空间表面上习惯地刻印出几何图形。SS教堂和泰洛・拉万特河的保罗教堂顶部极度平滑的木质天花板，为图纸完完本本的诠释成建筑提供了绝佳机会，1516年，教堂的顶部固定了一连串交叉的尖顶拱，在一系列交叉的对角线重叠后形成大的四方形。在奥地利的魏格斯道夫，相交正方形的灰泥装饰线，以及半圆形和四分之一的圆形附在中殿上方的框架里，虽然独特的装饰图案很容易在教堂空间里识别出来，但一些有规则秩序的完美几何图形却只能在水平面草图中才能看到。
这些晚期出现的拱顶画面，对建筑师的创作和成就来说是关键因素。图纸的设计和在立体空间内的实践之间存在一个必然的辩证关系，绘制图纸是最基本的环节，一旦把这些几何图案勾勒在画板上，它们就会被应用于各种建筑装饰之中，尽管拱顶的建造受工程的实际因素所制约，但建筑师还是不断地勇于挑战有创新的拱顶设计。许多建于1500年的德国教堂拱顶上的几何图形设计最让人印象深刻，它们如苍穹般在教堂、唱诗班坐席和中殿上方延伸开来。维也纳的一张绘图显示几何图形设计成拱顶上的网状肋架形式，在德国、法国、奥地利和捷克也发现了这样的装饰形式，而且，肋架处的链接意味着一个信号，表示到了新的聚集点，这个图纸绘制出很清楚的二维图像，但是在实际施工中会模糊这个几何图形构造的规则性。当然，某些图纸的绘制只是为了表现设计者的自我炫耀，它们的功能不是为充当未来制作阶段的辅助手段。
三、几何图案的花窗格装饰
大教堂内部经常采用含有几何图形的花窗格的栏杆与围栏来呼应拱顶的装饰，与早先的装饰不同，16世纪的装饰更加出色，设计也更复杂，倾向不完整和互相穿插的图案形式。诺德林根的圣乔治教堂就有几个是这样的花窗格，讲坛是由奥格斯堡的工匠于1499年连接到旋梯的，旋梯前是错综复杂的网状结构，这个几何结构的特点是破碎、交错的圆聚集成一个网格结构。虽然个别的元素可以识别，但整体设计的逻辑仍然是一个隐匿的不解之谜。1506年由史蒂芬・卫雷尔设计的讲坛中的栏杆与西部楼廊相结合，这也是一个由破碎的圆弧和圆组成的图案，给参观者留下深刻的印象。
这种设计的另一个突出体现就是奥格斯堡大教堂唱诗班席位的西面墙壁和关口，气势恢宏的屏障是迎接参观者进入教堂的首要入口。这个结构来自布尔克哈特・恩格尔伯格的作坊，大约1501年完工，网状的栏杆位于装饰带的上端，装饰带雕有连续的半圆图案，各种弧线都在弧的另一端结于一点，显示出三种不同的尺寸，一旦观察出这个图案的特点，就很容易发现通过逐步增加最小圆圈的半径来增加半圆的直径的规律。即使紧凑和重复的图案模糊了精确的数值关系，构图的顺序和比例还是能很容易地被察觉。
老式庄严的建筑如斯特拉斯堡大教堂和弗赖堡教堂的结构也修建了新样式的走廊，并很快蔓延到哈布斯堡帝国的各个角落。在提洛尔的奈德兰纳教堂，宽广的西部楼廊装饰有网状花窗格的栏杆，花饰是四分之三的圆形，里面填充着叶状三角形和其他的几何图形，沿着教堂中殿隐蔽的花窗格装饰带也是独特的景致。这些装饰虽然不属于建筑的功能结构，却能说明几何学的很多理论,这些花窗格从墙壁上分离出来，像笼子一样将墙壁包裹住，它们吸引参观者进行猜谜，激励人们尝试去发现这些工序在过去通常是怎样制作出几何图案来的。以这种方式，尤・尔根・尤利耶尔在晚期小型哥特式建筑中复杂的几何图形里发现了很多透视技巧和谜语，如斯特拉斯堡大教堂洗礼圣水盆，他认为这些物品的设计者表现了建筑的幽默或讽刺，故意不顺从参观者的期望。玩弄视觉的习惯也成为16世纪荷兰的哥特式设计师重要的喜好，在荷兰，许多雕刻的祭坛装饰品的复杂画面都像谜一样。例如，在罗姆比克的教堂装饰，似乎是用不规则的图形故意让人混乱，找不到头绪，这些作品，激励参观者去发现潜在的比例规则，使它的有序结构得以复原。
结束语
几何图形的拱顶和花窗格设计是为了满足宗教体验的复杂艺术现象，一旦几何图案装饰运用到宗教建筑中，它就变成一种非物质化的、精神性表现的载体。建筑不再满足于把石块仅仅作为具有某种实用目的的材料，不再只根据材料的严格特性处理它，而是寻求从石块无生命的本质中唤醒或发掘出一种先在的、与艺术意志相呼应的表现。在欣赏哥特式建筑时，参观者能够凭直觉感受到这些抽象的几何化装饰暗示或象征着上帝在人世间的存在。
参考文献：
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10.【英】乔治・扎内奇.西方中世纪艺术史【M】.陈平译. 杭州：中国美术学院出版社，2006，第268页
立体几何教案范文5
木散为器 帛裁成衣
我认为教师上课其实就是一门表演艺术，关键是要让学生能来听你的课，看你表演。首先要让学生喜欢你，然后才会喜欢你上的课，这是上好一堂课的良好开端。而且教师要调动学生的积极性，积极开展师生的双边活动，激发学生的兴趣。
老师一进教室不应该立刻侃侃而谈，不知学生在不在听，只管自己讲，也不注意学生有什么反应，所以要让学生来听你的课，一进教室在讲台上立定，目光循视全体学生一遍，确定学生都进入角色了才可以开始讲。
一、 说教材
今天我说课的内容是九年制义务教育全日制中学美术课本第二册第3课《形块的分割与构成》，本课内容分两课时完成。
a)
本课形块的分割与构成听起来比较抽象难懂，（初一学生比校难理解，通过演示创设情景把题目改为木散为器，帛裁成衣较易理解）其实也比较容易，指是将原有的形象打散成一个个美的、单一的、变象的设计元素，然后将这些元素组合成全新的形态。这两个看似独立的步骤却是现代图案设计中的一个统一的过程叫变异过程，是现代图案设计的基本原理。通过这个形块的分割与构成的练习能基本了解图案设计过程，为后面学习图案设计打下基础。
b)
前后知识联系：本课内容是在第一章"人类生活需要美的装点--基础图案"中学习图案设计的一个重点，从第一课的中国传统工艺美术欣赏，到第二课图案设计的基础点、线、面的构成，再从点、线、面的构成原理转入本课内容"形块的分割与构成"，结合后面的色彩的调配与运用原理，为最后的"写生、变化与构成"图案设计作铺垫。（形成一个简单而又完整的学习图案设计过程。）
c) 本课教学内容：主要是分割和构成的概念，分割的规律，构成的方式，先临摹，再通过分割与构成独立完成一张作品。
d)
至开本课的教学目标：①使学生了解什么是"分割与构成"，以及它在图案设计中的意义。②通过"分割与构成"练习，提高学生的形象思维能力、构成能力和创造能力。③同时培养学生对图案的装饰美的审美能力。
e) 我认为教学重、难点最能体现课题目标，抓住重点，突破难点，根据本课的教学目标将本课的教学重难点确定如下：
教学重点：掌握分割与构成的规律，为构成图案的需要而进行合理的分割。
教学难点：形块的分割与构成，分割的规律，构成的方式。
二、 说教法、学法
学生分析：初一学生心理刚开始成熟但又不成熟，思维习惯于对客观事物进行摹仿、再现。而且对图案在头脑中还没有正真形成图案设计过程的观念。为开启学生丰富的想象力，使学生实现从再造思想到创造思维的跃进，尝试着用分割与构成的创作练习，使学生体会到创造过程的甘苦。
为了使学生激起更大的兴趣与热情，由被动变为主动，既锻炼学生形象思维能力（脑），构成能力，创造能力；也可以锻炼学生的表现能力（手）；同时提高学生的审美能力（眼）。真正体现眼脑手的协调并用的原则。
根据学生情况，我采取以下教学方法：
1、 情境创设教学法：
学生总是在一种情境氛围中接受知识效果最好，通过创设与教材情感相符合的情境，使学生轻松的掌握知识。在导课的时候创设"桌面整理"的活动，看谁分块布置合理，使桌面既美观又便于使用，使学生初步了解分割与构成的观念。
2、 观察、发现法
观察、发现法有助于发展学生的智力，思维的主动性，体现学生的主体，是学生有效的学习方法，体会象科学家那样探索发现真理的滋味。让学生观察"花瓶与人头"的图案画，使学生发现从不同角度观察会有不同的画面，激发学生进行分割练习的欲望。
3、 演示、练习法
这是在美术课中最常用的方法，演示"人"的图案分割构成，教师演示只是让学生掌握其中的分割构成的方法，而不是让学生抄袭教师的想法，给学生建议，引导学生发挥自己的想象力，
学生练习，根据教师指导，对所学的知识用实际，先选定要构成什么图案，再划分为几块，概括成几个几何形或自然形，分割裁剪，最后拼合成预定的图案。可以展示学生丰富的想象力。
三、 说教学过程
本节有三个高潮一开始导入和中间讲解
（以学生自己动手练习引入）师生问好后，教师巡视学生桌面上的用品，桌面上只有书、作业本、文具盒、尺、笔、圆规等用具，让学生在再短的时间内整理好，使"桌面"上即整洁、美观，又要便于使用方便，看学生怎么布置这个桌面。（学生准备教师巡回指导讲评）这是桌面的分块与布置，再结合教室的布局，最后引申到课桌以及家具的制作方法和衣服的裁剪与缝纫。
同时板书：木散为器 帛裁成衣 （5分钟）
新课讲解
教师讲解：这就是我们今天要学习的分割与构成。
板书：--形块的分割与构成
1、请学生先自己来说说什么是分割，（学生回答，教师引导补充：分割是将一个形分成若干等分；结合事例：如田地的分割、教室内部的分割，房子的空间分割，关键是怎么分，）分为随意分割也就是--自由分割（出示范画讲解，分割成自然形、几何图形。）相对应的还有规则分割（把形按一定的规律分割，等量分割、等比分割等等），再是功能分割（就是刚才作的练习按各自的功能分割）。
2、 构成又是什么意思？学生回答：指将各分散的元素组合成一个全新的形态。
把这两个的步骤合起来就是一个完整的现代设计中的过程被称为是变异过程，它是现代设计中的一个基本原理。
板书：分割与构成指将原来的形象打散成一个个美的、单一的变象的设计元素，然后将这些元素组合成新的形态。
3、出示几个简单的构成图形，让学生用自己的语言来归纳，得出它们的构成方式：
① 衔接的构成方式，几个相同或相似的单元形左右或上下相接。
② 重叠的构成方式。
③ 减缺的构成方式。
④ 错位的构成方式。
⑤ 转换的构成方式。
⑥ 渐变的构成方式。
⑦ 分离的构成方式。
让学生能通过自己创造思维，通过自己的想象，创作出全新的一幅构成力案，采用剪裁的方法，来提高学生的动手能力，与眼、脑相协调并用。
教师以课堂直接示范：
1、先让大家来回忆一下牛的头部大致有几个部分，角、眼等。再进行简化为几个几何图形的组合，有计划的在一张方块的纸上表示 出来，教师示范在纸上画出牛头的几个部分的几何图形，然后直接剪裁，最后构成一幅完整的牛头的形象。
2、其次出示知了和狗的头部图案，教师要强调的是：先确定好你所要构面的是什么图案，再在纸上进行有规律的，合理的分割："要根据图案的需要进行有目的地分割"。
3、通过教师的演示，范画的出示：打开学生的创作天地，都事先定好了图案，鱼、树、狮子、小丑，再确定为几个体块，概括成几个图形，合理的分布到一张纸上，这有一定的难度。
4、之后教师给学生
总结分割的几种方法：
① 两等形分割，产生正负形。
② 多等形分割，产生对称群。
③ 不等形分割，组成意象形。木散为器 帛裁成衣
自由分割--自然形、几何形
1、分割 规律分割 + 功能分割
2、构成--重新组合
立体几何教案范文6
关键词：几何画板；立体几何；函数；解析几何
数字化与信息化已是现代社会的一个主流，计算机已经在各
个领域都得到了普及，我们的教学也不例外。计算机在中学各个学科中所体现的共性为：极强的控制性、极大的容量性、快速灵活性等。而在中学教学中一般运用的是PPT软件，有时运用Flas软件等。就数学学科特点，几何画板软件在教学中的辅助作用有较强的效果，能够使数学中很多抽象的问题形象化，想象的东西具体化，一般软件中粗略、估计的地方准确化，从而有效提高教学效率。本人就自己在高中数学运用几何画板辅助教学谈谈以下心得。
一、几何画板在高中立体几何教学中的作用
立体几何在实践上大致就是我们的生活空间，所以有时候研究空间中立体图形的一些定性定量的问题主要靠我们的空间想象能力和直观感知能力，这对于高中学生来说是一个难点，也是一个重点。有时候学生能够想象出具体的实体，但是如果去画一个具体的图形难度是相当大的。下面是一个具体的问题，和大家一起感受一下。
案例一：有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体的各条棱都相切，第三个球过正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比。
这是我在教学中遇到的一个具体问题，学生普遍反映比较难
想象。案例中的第一个球和第三个球，学生比较容易能够想象，但是对于第二个球，学生就较难想象了。于是，我通过运用几何画板把图形一做出来，他们就觉得问题较易解决了。如下图是我运用几何画板给学生做的图形。有了这个图形学生就容易知道第一个球的直径就是正方体的棱长，第二个球的直径是正方体的面对角线的长，第三个球的直径是正方体的体对角线，这样他们再计算这三个球的表面积就不是问题了。
二、几何画板在高中函数教学中的作用
几何画板在函数教学中的运用有利于突破难点，突出重点，因为它有极强的动感和变化功能以及准确的计算功能。
案例二:在讲三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象时，如果不用几何画板，只用粉笔和直尺的教学只能代入A、ω、φ有限个值，观察各种情况的函数图象之间的关系，这一过程我们都有体验，会显得比较麻烦且不是非常精确，花了很大力气但是学生听完后效果却不一定很好，并不能得到本质上的认识。而利用几何画板则可以拖动点去改变A、ω、φ的值，当拖动三个点时分别改变了三角函数的A、
ω、φ（如图，拖动点A时改变A值，拖动点B时改变ω的值，拖动点C时改变φ的值），同时图象就在画板中进行变化，学生会有非常直观的感受。这样教学的话既快速灵活，又能突破难点，突出重点。
三、几何画板在高中平面解析几何教学中的应用
平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科。它的基本思想和基本方法是:根据已知条件，选择适当的坐标系，借助形和数的对应关系，求出表示平面曲线的方程，把形的问题转化为数来研究；再通过方程，研究平面曲线的性质，把数的研究转化为形来讨论。而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化，导致点、线按不同的方式做运动，曲线和方程的对应关系比较抽
象，学生不易理解，显而易见，展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的。这样，几何画板又以其极强的运算功能和图形图像功能在解析几何的教与学中大显身手。如它能做出各种形式的方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行“追踪”，并显示该对象的“轨迹”；能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。
案例三：已知A为圆x2+y2=4上一顶点，P为圆上的动点，求线段AP中点的轨迹方程。
我们借助于几何画板在平面直角坐标系中画出圆x2+y2=4，在圆上任取点P（如图）然后选准点P和点A在作图下拉菜单中选择线段，紧跟着继续在作图下拉菜单中选择中点，再在显示下拉菜单中选择追踪中点，即达到了目的。这下你拖动点（当然点P只能在圆上跑动）时就会看见红色跟踪点M即所求的轨迹。即先给学生以直观和动感的印象点M的轨迹就是圆，再经过分析求解它的轨迹方程，轨迹方程为：（x-1）2+y2=1。
案例四：如图，O的半径为定长r，A是圆内一定点，P是圆上任意一点。线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
我们还是先可以在几何画板中作出这个图形，选择点Q，在显示下拉菜单中选择追踪点，然后拖动点P（当然点P只能在圆上跑动），学生就会看见如图（红色轨迹是个椭圆）所示的效果，让学生先有了直观和动感上的认识，然后再给学生做理论上的解释（因为直线l是线段AP的垂直平分线，这样很容易得到QP=QA，于是QO+QA=r>OA，符合椭圆的定义）。
