【摘要】在分析高等数学教学过程中存在的主要问题和案例式教学优点的基础上，提出了案例式教学的设计原则和设计步骤．结合个人教学实践分析，对高等数学实践式教学改革继续深入提出了一些观点．
【关键词】高等数学;案例;设计原则;教学改革
高等数学是为高等院校理工科专业本科生开设的一门数学基础公共课，其目的在于培养专业人才所必备的数学素质．
一、当前高等数学教学中存在的问题
在高等数学教学过程中，大多学生认为高等数学内容抽象难懂、对高等数学的学习兴趣低．很多学生没有意识到学习高等数学的必要性，只是为了应付考试．在数学教学过程中，不但要使学生理解数学知识，更重要的是使学生掌握知识的内涵，获得专业学习与工作中应用数学的能力．近年来的教学实践中发现，与知识点对应的应用案例对高等数学的教学有较大帮助．通过应用式案例的实施，可以提高学生对知识的理解、丰富教学内容、活跃课堂气氛，并能够有效地提高学生应用知识的能力．
二、案例式教学的设计原则与设计步骤
近年来笔者在案例式教学过程中发现，案例式教学虽然具有提高学生兴趣、加深知识理解和提高知识运用能力的优点，但也需要有针对性地设计好教学内容，否则容易产生增加学生困惑、降低知识学习兴趣、影响教学进度等负面效果．
(一)案例式教学的设计原则
在应用案例设计方面，需要依据以下原则:1．具有针对性．案例的选择要有助于抽象、难点知识的理解．案例要与知识点有较强的关联，要能够反映出知识点的本质内涵．2．简易性．案例的选择要使绝大部分学生能够比较容易地理解案例的内容，理解案例中是如何应用数学知识解决问题的．不宜选择理论性强，学生难以理解的案例．3．高效性．目前全国高校普遍存在压缩高等数学课时情况，而教学内容又不能大幅度减少，教学任务重．案例教学需要额外的课堂时间，所以应用案例的讲解不能占用较多的教学时间，否则将影响教学进度．4．趣味性．应用案例应是学生感兴趣的内容，提高学习的兴趣，激发学生的学习热情．5．有效性．通过应用案例的讲解，能够加深学生对内容的理解，提高学生知识的应用能力．
(二)案例教学的设计步骤
在案例式教学的过程中，通常设计的步骤如下:1．通过与师生交流和问卷调查，找出教学存在的问题．首先通过与一线教师和学生进行面对面的交流，研究高等数学教学中，哪些内容是学生最理解的，学生达到了什么样的理解程度和应用能力．在此基础上，设计调查问卷，对工科不同专业的学生进行问卷调查，得出教学过程中的难点、需要理解透彻的重点和学生理解模糊的知识点，为“应用式案例”教学提供基础．2．根据教学存在的问题，撰写相应的应用式案例教学内容．结合专业实际，针对教学内容，搜索应用案例．不同专业的学生背景知识不同，对内容的兴趣程度也不同，所以要针对所教学生的专业，有针对性地按照案例式教学的设计原则选择案例．3．将应用式案例应用于高等数学课堂教学中，进一步完善应用式案例教学模式．编写选定的应用案例教案和课件，并在教学过程中进行教学实践．教学实践中，从学生对知识的理解程度、兴趣程度以及数学应用能力三个方面对教学的效果进行评价．总结“应用式案例”教学的经验．对发现的问题及时地加以解决．
三、案例式教学的实践
(一)泰勒公式在图像模糊识别中的应用
通过调查发现，师生普遍认为在高等数学知识中泰勒公式是最复杂的内容，学生难以理解公式内涵．由于学生难以理解，很多教师讲授泰勒公式时常常一带而过，怕讲得越多，学生听得越糊涂．在教学过程中，笔者引入了图像模糊识别的应用案例．将人脸图像看成一个函数．一个人的脸既有与前一日或前一段时间大多相似的特征，又有小的差别．不可能采集到完全相同的图像．对两幅图像进行泰勒公式展开应用，用前些项系数描述一个人的特征，达到既能够区分不同人，又具有抵制个人小的变化的识别能力．通过这个例子，学生感受到了泰勒公式的魅力，理解到泰勒公式系数内涵与实用方法，达到了良好的效果．
(二)二重积分在“六步尺度空间”分析方面的应用
在二重积分的教学中，学生往往只注重掌握计算方法，不懂应用价值．笔者选择了社会关系网和互联网中普遍存在的有趣“六度分隔理论”应用案例．1967年，哈佛大学的心理学教授StanleyMilgram做过一次连锁信实验，实验结果显示，如果你要和一个随机的陌生人通信，你大约只需要6个相互认识的中间人传递，就可以将信息送达你要通信的陌生人．后来人们发现，六度分隔理论现象在电影演员合作关系、相互发送Email关系、甚至电线杆的连接关系等关系网中普遍存在．笔者介绍了一种使用二重积分计算六度分隔理论的方法．将一个人的背景映射为二维平面空间中，若两个的背景相似性距离为r，则两人认识的概率为e－r．然后介绍了用二重积分计算证明六度分隔理论合理性的方法．学生对这个问题很感兴趣，通过这个案例使他们懂得了二重积分不仅能解决连续多元函数问题，而且能解决非连续的实际问题．并了解到非连续性函数向连读函数的转换方法，较大程度上提高了学生应用知识的能力．
四、结束语
由于教学内容的理论化与抽象化使得高等数学的教学存在着课堂枯燥，学生学习兴趣低、应用知识能力差等问题．本文在分析产生问题的基础上，探讨了案例式教学的设计原则和设计步骤．通过案例教学的实例，展现了案例式教学的应用效果．
作者:张连宽 魏福义 夏英俊 赵峰 单位:华南农业大学数学与信息学院
