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如何培养学生数学建模范文1
[关键词]数学建模 数学实验 教育改革
数学建模教学针对传统数学教育过于抽象化，不重视数学知识和学生实际生活的联系而提出，对于培养学生的应用意识和创新精神是一个很好的途径。开展数学建模活动，使学生对数学知识与应用有整体的了解，从教学内容上扩大学生的知识范围与应用能力，其目的让学生在学校学习阶段就接触一些实际问题，树立理论联系实际的思想和具有初步的发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高整体素质。
一、数学建模对学生素质培养的意义
将数学建模思想融入大学数学课程教学中，很多学校的数学建模工作是以培训少数学生参加全国大学生数学建模竞赛为主，而在平时的数学课堂教学中却忽视了将数学建模融入数学课程教学，这就导致不能让全体学生都接受数学建模的教育。
通过一系列与数学建模有关的活动，可以培养学生以下几个方面的能力：
1.培养学生的数学能力。数学建模的研究对象是一些实际问题，要把这些实际问题用数学语言表述出来并转化成抽象的数学问题并非易事。这就要求人们在建模过程中经过分析与综合、抽象与概括、比较与类比、系统化与具体化等阶段，这些阶段中能培养学生们的分析综合能力、抽象概括能力、想象洞察能力、运用能数学工具的能力、通过实践验证数学模型的能力。
2.激发学生学习数学的兴趣。数学建模改变了以教师为中心，只注重数学概念、定理的推理和证明，而忽视了数学知识的应用性的传统的数学教学模式，打造以学生为中心的全新的数学教学模式．培养学生的创造性，激发学生学习数学的兴趣。
3.培养学生知识的综合运用能力。在建立数学模型过程中，对于不同的实际问题，常常要用到不同的数学知识，如：高等数学、常微分方程、概率论与数理统计、运筹学、差分方程、随即过程、计算方法、计算机模拟等等，在这就要求学生全面掌握并灵活运用这些数学知识。
4.锻炼学生的动手能力。由于数学建模研究的是实际问题，传统的一根笔、一张纸已不能满足现实的需要，随着计算机的发展，各种数学软件包也随之产生，学生利用这些软件包把抽象的数学模型形象化、可视化，锻炼了学生的动手操作能力，激发了学生学习数学的兴趣。
5.培养学生的自学能力。由于数学建模是对数学知识的综合应用，需要学生了解不同的数学类的知识，而高校普遍的数学课时都不能满足这种需求，这就需要教师挖掘学生的自学能力。教师在课堂上做引导，对数学知识做“串线式”的讲解，让学生在课下对这些知识在做进一步的研究、探讨，以培养学生的自学能力。
6.培养学生的创造性能力。由于数学建模的题目都来源于实际问题，解题的过程没有标准答案，这就需要教师鼓励学生提出自己的想法，大胆质疑，打破习惯的思维模式，利用自己已经学过的数学知识，展开联想，发挥个人的创造性，使问题得以解决。
二、数学建模系列活动介绍
1.举办主题讲座。题为《什么是数学建模》，介绍什么是数学建模，中国数学建模竞赛和国际数学额建模竞赛概况；题为《数学方法在数学建模中的应用》，以著名的人口模型为背景，介绍常见的数学模型及典型处理方法；题为《数学建模与计算机模拟》，主要介绍数学模型如何通过计算机实现数值计算。另外，可邀请在国内外大赛获奖的学生与学生交流经验，介绍如何从问题开始分析，如何建立合理的模型，如何计算模型等。
2.成立数学建模社团，进行主题活动。社团每周定期活动，活动形式为讨论班，活动的内容为建模竞赛的真题。社团活动借鉴研究生讨论班的模式，让学生亲历从分析问题、处理问题和解决问题全过程。学会如何利用各种资源查找全面的资料，对优秀论文报告提出自己的真知灼见。通过活动，学生们深切感受到数学建模的魅力所在，没有最好的只有更好的，激发了学生学习的主动性和创造力。学习“活”起来了！
三、全面培养学生的综合素质
以数学建模为契机，我们尝试对大学数学的教育进行改革。第一个阶段为普及教育，将计算机融入到高等数学的课程中。第二阶段是提高教育，开设数学实验课。主要以实验为基础，以学生为中心，以问题为载体，以计算机为手段，以数学软件为工具，以教师为指导，以培养能力为目标组织教学工作。第三阶段为精英教育，通过各类数学竞赛的选拔、教师推荐等途径，择优选择一批有团队精神、创新能力、知识扎实的学生参加全国大学生数学建模竞赛。
经过这三个阶段，营造了更加良好的数学学习的风气，提高了学生的综合素质，体现在以下几个方面：
1.将数学建模思想融入到大学数学教学中，促使学生“学”而后知“不足”。改革后的数学教育改善了以教为主的应试教育模式，以学为主，教学相辅，调动了学生学习的积极性。由于数学建模教学的特点，往往对一个实际问题建立一个合理的数学模型需要涉及很多领域的很多知识。数学建模内容的广泛性，使学生接触到许多不曾遇到的难题；数学建模的适应性，使学生可以在教师引导下适当增加一些必要的数学知识或某些方面的专业知识，从而攻克这些难题。在这样的学习中，学生真切地感到“书到用时方恨少”，看到了自己的不足，了解到自己应该学什么，怎样学，又能通过不断克服困难来增强自信心，扩大了知识面，逐步掌握了如何获取知识的能力。
2.将数学建模思想融入到大学数学教学中，有利于提高大学生科研能力。科学研究是探索性的工作，科研选题是科学研究的起始步骤，需要进行大量的文献调研。文献调研的目的是继承前人已有的研究成果，并在新的起点上选出研究课题。而数学建模则表现得更为直接, 即学生直接从竞赛题目入手开始文献调研, 包括搜集、整理和学习在课内从未接触过的数学知识、计算机软件技术以及有关数据资料。这一点能有效地培养学生的自学能力和资料的使用能力。而科研工作的最后一个阶段就是撰写科研报告或论文，对于学生而言，实在是一个难题。用历年来的数学建模竞赛优秀作品来熏陶学生，让他们了解完成科学论文所应持有的严谨态度，认识到好的作品在表达上的诚实与流畅，避免浮夸所带来的行文乃至逻辑上的纰漏。用数学符号提高论文的可读性，时刻注意维持符号的无歧义性和明确性，同时还要引导学生学会合理假设。因为它是删繁就简、设置变量、搭建模型的最重要的一个依据。所以合理假设是通向成功模型的桥梁。在对未知领域的科学知识和事实材料不够充分的条件下，可以凭借合理大胆的假设，提出准可行的方案，然后推动该方案不断检验，不断修正，最后形成性能良好的数学模型。
数学教育本质上是一种素质教育。要体现素质教育的要求，数学的教学不能完全和外部世界隔离开来，关起门来在数学的概念、方法和理论中打圈子，处于自我封闭状态， 以致学生在学了许多据说是非常重要、十分有用的数学知识以后，却不怎么会应用或无法应用。联合国教科文组织公布的《国际21世纪教育委员会报告综述》提出：学知、学做、学会生存和学会共处乃是教育的四大支柱，第一就是“学会认知”，即学会学习。可见教学生学会学习的重要性。
[参考文献]
[1]魏丽侠,王昕.高等学校数学建模的创新与深入[J]，教育与职业，2009（11）；
[2]段勇,傅英定.浅谈数学建模思想在大学数学教学中的应用[J],中国大学教学,2007（10）；
[3]付军,朱宏,王宪昌.在数学建模教学中培养学生创新能力的实践与思考[J],数学教育学报,2007,16（4）；
[4]王英霞.高校学生数学应用能力的培养与探索[J]，沈阳师范大学学报，2010,28（2）；
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1. 数学建模与数学建模意识
著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究”。所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构，数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念。各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型。举个简单的例子，二次函数就是一个数学模型，很多数学问题甚至实际问题都可以转化为二次函数来解决。而通过对问题数学化，模型构建，求解检验使问题获得解决的方法称之为数学模型方法。我们的数学教学说到底就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思想方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。
培养学生运用数学建模解决实际问题的能力关键是把实际问题抽象为数学问题，必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某知识系统去处理。这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力。学生的这种能力的获得不是一朝一夕的事情，需要把数学建模意识贯穿在教学的始终，也就是要不断的引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。
2. 构建数学建模意识的基本途径
（1）为了培养学生的建模意识，数学教师应首先需要提高自己的建模意识。这不仅意味着我们在教学内容和要求上的变化，更意味着教育思想和教学观念的更新。高中数学教师除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断地学习一些新的数学建模理论，并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活。
（2）数学建模教学还应与现行教材结合起来研究。教师应研究在各个教学章节中可引入哪些模型问题，如讲立体几何时可引入正方体模型或长方体模型把相关问题放入到这些模型中来解决。要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生去研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力。
（3）注意与其它相关学科的关系。由于数学是学生学习其它自然科学以至社会科学的工具而且其它学科与数学的联系是相当密切的。因此，我们在教学中应注意与其它学科的呼应，这不但可以帮助学生加深对其它学科的理解，也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径。
（4）在教学中还要结合专题讨论与建模法研究。我们可以选择适当的建模专题，如“代数法建模”、“图解法建模”、“直（曲）线拟合法建模”，通过讨论、分析和研究，熟悉并理解数学建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法。甚至可以引导学生通过对日常生活的观察，自己选择实际问题进行建模练习，从而让学生尝到数学建模成功的“甜”和难于解决的“苦”借亦拓宽视野、增长知识、积累经验。这亦符合玻利亚的“主动学习原则”，也正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。
3. 把构建数学建模意识与培养学生创造性思维过程统一起来
（1）发挥学生的想象能力，培养学生的直觉思维。
众所周知，数学史上不少的数学发现来源于直觉思维，如笛卡尔坐标系、费尔马大定理、歌德巴赫猜想、欧拉定理等。应该说，它们不是任何逻辑思维的产物，而是数学家通过观察、比较、领悟、突发灵感发现的。通过数学建模教学，使学生有独到的见解和与众不同的思考方法，如善于发现问题，沟通各类知识之间的内在联系等是培养学生创新思维的核心。
（2）构建建模意识，培养学生的转换能力。
恩格斯曾说过：“由一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏而是数学的杠杆，如果没有它，就不能走很远。”由于数学建模就是把实际问题转换成数学问题，因此，如果我们在数学教学中注重转化，用好这根有力的杠杆，对培养学生思维品质的灵活性、创造性及开发智力、培养能力、提高解题速度是十分有益的。
（3）以“构造”为载体，培养学生的创新能力。
“一个好的数学家与一个蹩脚的数学家之间的差别，就在于前者有许多具体的例子，而后者则只有抽象的理论。”我们前面讲到，“建模”就是构造模型，但模型的构造并不是一件容易的事，又需要有足够强的构造能力，而学生构造能力的提高则是学生创造性思维和创造能力的基础：创造性地使用已知条件，创造性地应用数学知识。
如：在一条笔直的大街上，有n座房子，每座房子里有一个或更多的小孩，问：他们应在什么地方会面，走的路程之和才能尽可能地少？
分析：如何表示房子的位置？构造数轴，用数轴表示笔直的大街，几座房子分别位于x1、x2 、… 、xn ，不妨设x1 < x2
从上面例子可以看出，只要我们在教学中教师仔细地观察，精心的设计，可以把一些较为抽象的问题，通过现象除去非本质的因素，从中构造出最基本的数学模型，使问题回到已知的数学知识领域，并且能培养学生的创新能力。
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【关键词】 高中数学 建模 教学
数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。现就如何加强高中数学建模教学谈几点体会。
1 在教学中传授学生初步的数学建模知识
中学数学建模的目的旨在培养学生的数学应用意识，掌握数学建模的方法，为将来的学习、工作打下坚实的基础。在教学时将数学建模中最基本的过程教给学生：利用现行的数学教材，向学生介绍一些常用的、典型的数学模型。如函数模型、不等式模型、数列模型、几何模型、三角模型、方程模型等。教师应研究在各个教学章节中可引入哪些数学基本模型问题，如储蓄问题、信用贷款问题可结合在数列教学中。教师可以通过教材中一些不大复杂的应用问题，带着学生一起来完成数学化的过程，给学生一些数学应用和数学建模的初步体验。
例如在学习了二次函数的最值问题后，通过下面的应用题让学生懂得如何用数学建模的方法来解决实际问题。例：客房的定价问题。一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到了一些数据：每间客房定价为160元时，住房率为55%，每间客房定价为140元时，住房率为65%，每间客房定价为120元时，住房率为75%，每间客房定价为100元时，住房率为85%。欲使旅馆每天收入最高，每间客房应如何定价？
【简化假设】①每间客房最高定价为160元；②设随着房价的下降，住房率呈线性增长；③设旅馆每间客房定价相等。
【建立模型】设y表示旅馆一天的总收入，与160元相比每间客房降低的房价为x元。由假设②可得，每降价1元，住房率就增加10%÷20=0.005。因此y-150×（160-x）×（0.55+0.005x），由0.55+0.005x≤1可知0≤x≤90，于是问题转化为：当0≤x≤90时，y的最大值是多少？利用二次函数求最值可得到当x=25即住房定价为135元时，y取最大值13668.75（元）。
【讨论与验证】①容易验证此收入在各种已知定价对应的收入中是最大的。如果为了便于管理，定价为140元也是可以的，因为此时它与最高收入只差18.75元。②如果定价为180元，住房率应为45%，相应的收入只有12150元，因此假设①是合理的。
2 培养学生的其他能力，完善数学建模思想
由于数学模型这一思想方法几乎贯穿于整个中小学数学学习过程之中，小学解算术运用题中学建立函数表达式及解析几何里的轨迹方程等都孕育着数学模型的思想方法，熟练掌握和运用这种方法，是培养学生运用数学分析问题、解决问题能力的关键，我认为这就要求培养学生以下几点能力，才能更好的完善数学建模思想：①理解实际问题的能力；②洞察能力，即关于抓住系统要点的能力；③抽象分析问题的能力；④“翻译”能力，即把经过一生抽象、简化的实际问题用数学的语文符号表达出来，形成数学模型的能力和对应用数学方法进行推演或计算得到注结果能自然语言表达出来的能力；⑤运用数学知识的能力；⑥通过实际加以检验的能力。只有各方面能力加强了，才能对一些知识触类旁通，举一反三，化繁为简。
3 建立数学模型的实际意义
教材的每一章都由一个有关的实际问题引入，可直接告诉学生，学了本章的教学内容及方法后，这个实际问题就能用数学模型得到解决，这样，学生就会产生创新意识，对新数学模型的渴求，实践意识，学完要在实践中试一试。如新教材“三角函数”章前提出：有一块以O点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿册，使其册边AD落在半圆的直径上，另两点BC落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A、D的位置，可以使矩形面积最大？这是培养创新意识及实践能力的好时机要注意引导，对所考察的实际问题进行抽象分析，建立相应的数学模型，并通过新旧两种思路方法，提出新知识，激发学生的知欲，如不可挫伤学生的积极性，失去“亮点”。
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关键词： 初中数学教学 新课程 应用题教学 教学方法
一直以来，应用题都是学生学习的难点，一方面是很多学生还没有学会如何运用数学思想将应用题转化为现实问题，另一方面对于应用题中一些比较复杂的数量关系，学生梳理不清。在实际教学中，一些教师忽略了这些原因，只是一味通过海量练习反复训练，结果导致学生由厌生怕，最终放弃。学生对应用题之所以会产生畏惧和抵触心理，关键在于缺乏数学建模能力，因此，培养学生建模思想，提高建模能力成为使学生成功解题的关键。本文从新课标初中数学应用题的特点出发，对数学教师如何借助“灵韵之笔”，打开学生高效解题的思路进行了探讨。
一、新课标初中数学应用题特点分析
1.范围广泛，形式多样。
初中数学新课标教材与传统教材的不同之处在于其涉及面广，不仅仅包括人口、自然、文化、经济等各个领域的内容，同时还将现实中的一些游戏、家居、建筑，甚至于运转的行星都作为应用题的不同背景，使教材内容更加丰满。而且新课程中应用题的形式也更加多样化，将图像、表格与寓言故事进行结合，使素材变得非常生动形象，更贴近学生的心理需求，使他们乐于参与其中。
2.生活化特征明显。
初中数学新课标教材中的应用题，其取材不再仅关注数学的学科特点，而是以学生的认知规律为原则，从学生的生活经验为出发点，为学生提供多与生活联系更密切，且富有一定挑战性，并与社会发展同步的素材，让学生能够体会到数学的实用价值，领悟到数学的现实意义，从而更积极地参与解题训练。
3.建模思想突出。
新课标教材中的应用题建模思想十分突出，如图形与空间，因其自身形象与直观的特点，使学生更容易从现实问题中剥离出数学理论、数学概念和数学方法。新课程数学应用题更注重让学生通过将实际问题抽象为数学模型的亲身经历，进行应用和解释，从而再现数学知识形成与应用的全过程，其实这就是教学会学生掌握解决问题的正确方法和途径，也是数学建模思想与建模能力形成和提高的过程。
二、新课标初中数学应用题教学的有效方法
1.教会学生正确的审题方法。
审题是应用题教学中的关键，学会如何审题，如何分析，可以说解题就成功了一半。教会学生正确的审题方法就是要让学生学会找到关键词句，并从词句中找到相等关系，进而用数学符号或者用语言文字进行表达。如很多应用题中出会出现“甲的速度是乙的速度的5倍”这样的句子，那就可以直接翻译为“甲的速度=2×乙的速度”。而像“乙在30分钟后，按原路追上了甲”和“A溶液和B溶液混合成C溶液”类似的词句，相等关系并不明显，但表明了“事件”发生的过程。这时教师可以引导学生从过程得结果“甲的时间=乙的时间+30”。教会学生通过正确审题发现相等的数量关系，是帮助学生将实际问题进行数学化的重要前提，也是帮助学生学会快速、高效解题的“点睛之笔”。
2.培养建模思想，提高建模能力。
建模思想与建模能力，简言之，就是学生学会对数学问题与实际问题进行相互转化的一种思想与能力。建模能力包括两个方面的涵义，一个是建模，一个是解模。建模是建立起正确的数学关系，包括方程、公式或者函数，是一种将原有问题转化为可容易解决的问题的一种方法；解模则是从求解结论和题内条件中获得启示，对重新构建的数学形式进行研究，并从中找到解题的思路，实现解题目标。培养学生的建模思想，提高学生的建模能力，教师要引导学生掌握建模流程，发现建模思想在解题过程中的作用[1]-[2]。以下是在新课程数学教材中具有代表性的应用题，以此作为案例进行详细分析。
“某超市中某种水产品，其成本是40元/kg，根据市场行情，以50元/kg销售，每月可销售500kg；销售单价每增加一元，月销售量会降低10kg。请根据销售情况，对下列问题进行解答：
①水产品价格为55元/kg时，本产品月销售量及销售利润为多少？
②超市如果想使月销售成本控制在1万元以内，利润达8000元，应该给水产品定价多少？”
该题取自于与生活有着紧密联系的市场营销问题，教师先引导学生从现实生活中将数学模型抽离出来，提醒他们在进行互相转化时要注意以下数量关系：
①利润=（单价-成本）×销售量
②最终销售量=原销售量-滞销量
③最终单价=原单价+涨价
从模型等式中，学生很快找到解题思路：假设单价为x元/kg，则利润为（x-40）元/kg；月销售量500-（x-50）×10kg；月利润（x-40）×[500-10（x-50）]元。
按照此思路，学生很快得出两个问题的答案。
从实例中我们可以得出，新课标下的初中数学应用题教学关键在于要帮助学生形成建模思想，具备建模能力，这样他们才能不再完全借助于教师的课堂讲解与引导，而是能够自发地学会如何挖掘蕴藏在实际问题中的数学模型，再将实际问题有机地转化为数学问题，而得到答案后再将题解带回现实问题中。
应用题在初中数学新课程标准教材中具有典型的数学应用性，是培养学生数学应用意识的最佳素材，也是对学生数学应用能力与意识进行检测和验证的重要途径。因此，教师要利用应用题教学这一良好契机，挥动手中的“灵韵之笔”，为学生在数学长卷上的恣意挥洒，添上一抹最亮丽的色彩。
参考文献：
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一、如何培养学生的运算能力
运算能力是数学能力的基础，各种数学能力都离不开运算能力，所以要想培养数学能力，首先要培养运算能力。培养学生的运算能力时，老师们必须有目的、有计划地选好题型、题量、题度。题型不能单一，题量不能过多，题度不能过难或过易。
例如，函数y=x3+ax2+bx +1的导数f'（x）满足f'（1）=2a，f'（2）=-b，其中常数a，b∈R。
（1） 求曲线y=f（x）在点（1， f（1）） 处的切线方程。
（2） 设g（x）=f'（x）ex ， 求函数g（x）的极值。
解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1。
故f'（x）=3x2+2ax+b。
令x=1，得f'（1）=3+2a+b，又已知f'（1）=2a。
因此3+2a+b=2a，解得b=-3。
又令x=2，得f'（2）=12+4a+b，又已知f'（2）=-b。
因此12+4a+b=-b，解得a=-。
因此f（x）=x3-x-3x+1，从而f（1）=-。
又因为f'（1）=2×- =-3，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-- =-3（x-1），即6x+2y-1=0。
（2） 由（1）知g（x）=（3x2-3x-3）e-x。
从而有g'（x）=（-3x2+9x）e-x。
令g'（x）=0，得-3x2+9x=0，解得x1=0，x2=3。
当x∈（-∞，0）时，g'（x）
当x∈（0，3）时，g'（x）>0，故g（x）在（0，3）上为增函数；
当x∈（3，+∞）时，g'（x）
从而函数g（x）在x1=0处取得极小值g（o）=-3，在x2=3处取得极大值g（3）=15e-3。
二、 如何培养学生的逻辑思维能力
在数学诸多能力中，逻辑思维能力是核心，其他能力的培养都离不开逻辑思维能力，而且它还促进着人的发散思维的形成和发展。逻辑思维能力的最大功能是开发智力、培养能力，最大特点是严密性强。所以，可用逻辑性严密题来培养学生的逻辑思维能力。
例如：已知∠AOB ：∠BOC ：∠COD ： ∠DOA = 1：2：3：4。求∠BOC的取值范围。
解：如图1：上述各角同一方向旋转时，由图知∠AOB+∠BOC+∠COD+ ∠DOA= 360°
且∠AOC ：∠BOC ：∠COD ：∠DOA= 1：2：3：4
即原式=∠AOB+2∠AOB+3∠AOB+ 4∠AOB= 360°
即∠AOB= 36°
∠BOC= 72°
如图2：上述各角不同方向旋转时，由图知：
∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA= 2∠BOC+2∠COD≤720°
（∠AOB=∠AOC，∠AOD= ∠AOC+∠COD）
即0°
0°
由图1、图2知0°
三、如何培养学生的空间想象能力
数学不仅研究客观世界的数量关系，还能研究客观世界的空间形式。空间想象能力的培养对人的立体思维的形成和发展有很大帮助，空间想象能力是日常生活中不可缺少的一种能力。如地理勘探、星体研究、建筑设计等都离不开空间想象能力，学生的空间想象能力的培养主要靠立体几何和空间解析几何教学。
例如：如图3，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为，侧棱长1，求证：A1B1BC1。
证明：异面直线所成的角等于它们的平行线相交而成的角。连接B1C，设B1C与BC1交于点E，则E是B1C与BC1 的中点（BCC1 B1是长方形），过E作 ACB1的中位线EF，则EF=AB1，EF∥ AB1。
∠FEB就是AB1与BC1所成的角。
Rt ABB1中， AB1=Rt BB1C1中，BC1=。
即 EB= EF=。
正三角形ABC中，中线BF=×=。
在 EFB中EF 2+ EB 2=FB 2，+= 。
即 ∠FEB=90°
AB1BC1。
四、 如何培养学生的分析问题和解决问题的能力
分析问题是解决问题的途径，分析问题能力又是解决问题能力的条件，解决问题能力是分析问题能力的结果。它们相辅相成，互相促进各自的存在和发展，它们在数学诸能力形成中起着关键作用，任何能力最后都体现在解决问题上。它们的最终目的是解决问题，又是实践能力和建模能力的基础。分析问题和解决问题能力是在整个数学能力中无处不在的普遍能力。所以，培养学生的此能力要选思维方式比较多的题为好。
例如：某城市在市中心广场建筑一个花坛，花坛分为6个部分（如图4），现要栽种4种不同颜色的花，每部分要种同一种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花。求共有多少种栽种方法。
分析：因为1p2p3部分相互相邻。
所以1p2p3部分栽种方法共有4×3×2种；第4部分有两种选法与第二部分相同和相异。（与1p2p3部分相同的用@代表，如与第二部分相同的用②代表，不同的用“新”代表。）
若4与2相同且5与3相同时6只选另一种（新）。若4与2相同但5选另一种（新）时6只选3。
若4与2不同选另一种（新）且5与2相同时6选3或另一种（新）。
若4选另一种（新）且5与3相同时6选另一种（新）。
解：栽种方法共有
即栽种方法共有4×3×2×（1×2+1×3）=120种。
五、 如何培养学生的实践能力和建模能力
建模问题是数学教学中的旧话题新说法，没有建模，数学与客观世界无法联系。但传统教学一直没重视培养学生的建模能力。课标教学全日制高中课本中无处不在研究建模问题，所以说建模问题是素质教育的产物。实践能力是建模能力的一个分支，且建模问题离不开应用问题，因为很多建模都在应用的基础上体现出来。应用能力和建模能力是数学诸能力的发展、概括和总结，是创新能力的基础、数学诸能力发展的极点。也是开发智力、培养能力的最佳途径。培养建模能力最好利用完全开放题，培养实践能力半开放题为佳。
例1：做一道利用二次函数的数学模型。
这是一道条件和结论都是开放的数学题，会给学生一个自由发展的空间，只有在这种环境下才能发挥学生个性和特长。让学生任选题材，让学生自己掌握题的难度和强度，在这种环境下培养出来的学生的能力总比在保守环境下培养出来的学生的能力强。所以说建模问题是素质教育的必经之路。
例2：1732年8月，《红楼梦》中人物史湘云与柳湘莲结婚后，双方都没有足够的钱去购买房院，于是他们找薛蟠借住每年相当于210元价钱的10000M2的房院。并且借据上注明，归还本房院时对方要还本付息，年利率为8，但借据上没有说明按单利计算还是复利计算，过280年后的2012年，本房院划归为世界文化遗产。双方当事人的后代到法院打官司，说是利息支付不公平，要求法官判明是非。法官很纳闷，这么清楚的事还有必要打官司吗？请你们给法官解释清楚他们为什么说利息支付不公？
分析：这是一道结论开放型的题，利息可以按单利计算，也可以按复利计算。
解：按单利计算，本金=210×280=58800元。利息=16.8×（279+278+277+……+1） =656208元。
共计：本金+利息=715008元≈71.5万元。
按复利计算，本金=210×280=58800元。
利息=16.8〔（1+0.08）278 +（1+0.08） 277+（1+0.08） 276+……+（1+0.08）+（1+0.08）0〕
=210（109.3186-1）=210（109×100.3186-1）
如何培养学生数学建模范文6
（1）学会提出问题和明确探究方向；
（2）体验数学活动的过程；
（3）培养创新精神和应用能力。
其中，创新意识与实践能力是新课标中最突出的特点之一，数学学习不仅要在数学基础知识，基本技能和思维能力，运算能力，空间想象能力等方面得到训练和提高，而且在应用数学分析和解决实际问题的能力方面同样需要得到训练和提高，而培养学生的分析和解决实际问题的能力仅仅靠课堂教学是不够的，必须要有实践、培养学生的创新意识和实践能力是数学教学的一个重要目的和一条基本原则，要使学生学会提出问题并明确探究方向，能够运用已有的知识进行交流，并将实际问题抽象为数学问题，就必须建立数学模型，从而形成比较完整的数学知识结构。
数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力，加强数学建模教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义。
数学建模活动是一种使学生在探究性活动中受到数学教育的学习方式，是应用已有的数学知识解决问题的教与学的双边活动，是学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。新的高中数学课程标准要求把数学探究、数学建模的思想以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中，突出强调建立科学探究的学习方式，让学生通过探究活动来学习数学知识和方法，增进对数学的理解，体验探究的乐趣。但是《新课标》虽然提到了“数学模型”这个概念，但在操作层面上的指导意见并不多。如何理解课标的上述理念？怎样开展高中数学建模活动？
数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分折和解决问题的全过程，提高他们分折问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力。数学建模以学生为主，教师利用一些事先设计好的问题，引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生积极开展讨论和辩论，主动探索解决之法。教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望、培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果。
一、在教学中传授学生初步的数学建模知识
中学数学建模的目的旨在培养学生的数学应用意识，掌握数学建模的方法，为将来的学习、工作打下坚实的基础。在教学时将数学建模中最基本的过程教给学生：利用现行的数学教材，向学生介绍一些常用的、典型的数学模型。如函数模型、不等式模型、数列模型、几何模型、三角模型、方程模型等。教师应研究在各个教学章节中可引入哪些数学基本模型问题，如储蓄问题、信用贷款问题可结合在数列教学中。教师可以通过教材中一些不大复杂的应用问题，带着学生一起来完成数学化的过程，给学生一些数学应用和数学建模的初步体验。
二、培养学生的数学应用意识，增强数学建模意识
在数学教学和对学生数学学习的指导中，介绍知识的来龙去脉时多与实际生活相联系。例如，日常生活中存在着“不同形式的等量关系和不等量关系”以及“变量间的函数对应关系”、“变相间的非确切的相关关系”、“事物发生的可预测性，可能性大小”等，这些正是数学中引入“方程”、“不等式”、“函数”“变量间的线性相关”、“概率”的实际背景。另外锻炼学生学会运用数学语言描述周围世界出现的数学现象。数学是一种“世界通用语言”它能够准确、清楚、间接地刻画和描述日常生活中的许多现象。应让学生养成运用数学语言进行交流的习惯。例如，当学生乘坐出租车时，他应能意识到付费与行驶时间或路程之间具有一定的函数关系。鼓励学生运用数学建模解决实际问题。首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某知识系统去处理，当然这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力。
三、在教学中注意联系相关学科加以运用
