数值分析范文1
关键词：数值分析；数值实验；数学建模
数值分析是一门与计算机使用密切结合的、实用性很强的课程。它内容丰富，涉及数学分析、代数、方程和泛函分析等诸多学科，研究方法深刻，有自身严密的科学系统。科学与工程中的数值计算已经成为各门自然科学和工程技术科学的一种重要手段，成为实验和理论并列的一个不可缺少的环节［1］。所以数值分析既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科，与其他学科的联系十分紧密。那么在平时的教学中，如何取得良好的教学效果呢？本文从以下几个方面进行探讨。
一、数值分析课程的教学特点
与其它纯数学理论课程相比，数值分析除了具备数学的高度抽象性与严密科学性的特点之外，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点。具体来说，这门课程具有以下的教学特点：
1.知识面跨度大［2］
数值分析是数学与应用数学、信息与计算科学和统计学专业的必修课程，它广泛运用多门数学学科的知识，内容包括数值逼近、数值积分、线性代数方程组的直接解法和迭代方法、非线性方程组的计算方法、矩阵特征值与特征向量的计算、常微分方程数值计算等，涉及数学分析、代数学、微分方程、泛函分析等众多数学理论。
2.有可靠的理论分析［2］
能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。
3.注重理论与应用的结合
与传统数学课程强调理论分析和逻辑推导不同，数值分析课程更注重运用这些理论构造适合计算机执行的数值方法，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法。数值分析主要研究那些在理论上有解而用手工无法计算、必需借助计算机求解的数学问题。它的许多理论与方法本身并不是数学学科的产物，而是以“计算”为目标发展起来的。
二、教学体会
针对数值分析课程的特点，笔者认为在教学中应注重以下几个方面：
1.教学方法上注重数值思想的传授
计算方法这门课程最主要阐述的思想就是“近似计算”的思想。在实际的计算过程中，有许多问题的计算量非常庞大，简单的笔算费时费力，借助计算机可以快速解决这些问题。但由于计算机本身位数的限制，以及其它误差影响，只能进行近似计算。
（1）“误差分析”思想。由于是近似计算，那么就存在一定的误差，所以在计算过程中要分析误差、控制误差和比较误差，只有控制好误差才能找到好的近似值。误差是衡量近似计算结果好坏的一个标准，例如，在求解线性方程组直接法时，通过误差分析可以确定方程组是病态的还是良态的，只有良态的方程组才能保证解的准确性。通过分析误差可以判断算法的稳定性、收敛性及收敛速度。由此可见误差分析是非常重要的。
（2）逼近和近似思想。函数逼近是数值分析方法中的主要内容之一，许多数值方法都依赖于函数逼近的思想。如，各种插值方法、数值微分和数值积分、微分方程数值解等等。函数逼近中常常采取的各种近似，利用插值函数对数值近似处理，让学生意识到数值分析课程不是在简单地做数学练习，而是在训练通过对原问题的分析，如何利用已有的数学知识和工具去逼近和近似原来问题的解。逼近和近似思想作为一种全新的思维方式，它使学生认识到：不能解析或精确求解问题并不可怕，可怕的是不会和不敢利用已学数学知识去近似、简化原来的问题，从而获得原来问题的近似解答。
（3）“离散化”思想［6］。把求连续变量问题转化为求离散变量问题，称为“离散化”。一个连续的数学问题要实现上机计算，必须先进行离散化。在工程计算中，常常需要求解连续性问题，比如求微分方程的解。一般而言，微分方程很难找到解析解，所以数值求解微分方程是计算方法中的一个重要的内容。数值求解微分方程并不是依靠计算机给出微分方程的解析形式，而是依靠它近似给出微分方程在指定点的函数值。在引人离散化思想对问题离散后，可以采用各种数值方法来求解各点函数的值。通过离散化思想，原来的连续性问题变成了一个离散问题。离散化思想是数值计算的一个基本思想，现有的数值计算，几乎完全依赖于对问题的离散化解决。离散方法一直是数值分析研究中一个很重要的方面。
（4）“迭代”思想［5］。迭代是计算机中重要的概念，也是数值分析方法中的重要的概念。在数学建模过程中，对结果可能性的猜测可以在很大程度上帮助我们在建模方向上进行选择，使我们少走许多弯路。由于迭代方法大都只有有限的收敛区间，所以如何利用已有的信息对解进行猜测是很重要的一点，这依赖于学生在实践中能够综合运用数学分析理论和各种方法的经验。许多连续问题在转化为离散问题后，利用迭代法可以求解离散问题。
2.多媒体课件与板书相结合的教学手段［3］
使用多媒体教学方法，能增大教学容量，提高教学效率，有利于解决重点和难点问题。多媒体教学可以在一定程度上突破时间和空间的限制，充实直观内容，能够较彻底地分解知识技能信息的复杂度，减少信息在大脑中从形象到抽象，再由抽象到形象的加工转换过程，充分传达教学意图，并可以通过计算机的丰富表现手段突出教学重点。如，龙格现象可以用屏幕动态的显示在哪个区间收敛，使用多媒体教学可以帮助教师在课堂上根据学生的信息反馈，进行现场分析和答疑，以人机对话方式灵活方便地进行启发式教学。同时，精彩的多媒体课件也能激发学生的兴趣，提高学生的主动性。
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关键词：地下水，渗流场，稳定性
1 引言
拟建基坑工程坑深19.5m，场地范围内地基土为软弱土，地下水丰富，水位埋深约为3m。本文基于对该基坑工程的初步设计，应用浸润线理论采用数值模拟分析的方法对基坑进行分部施工模拟，在开挖及降水的综合影响作用下计算分析基坑的应力、位移状态。
2 工程概况
基坑工程建设规模158127，拟建工程地下5层，地上42层。基坑周长315m，坑深19.5m。
3 工程地质、水文地质条件
3.1 地形地貌
拟建工程，建设场地地形平坦，相对高差不超过0.5m。归属于山前冲积平原地貌单元。
3.2 地层岩性
根据勘察钻探资料，建设场地表部为较厚的第四系覆盖层，详述如下：
3.3 水文地质条件
根据勘察资料，建设场地内地下水水位埋深2.5m～3.0m，主要为①杂填土层中的上层滞水与2、3粉质粘土层中的孔隙潜水。1杂填土层中的上层滞水水量较少，地层透水性较强，渗透性系数K=1m/d，2、3粉质粘土层中的孔隙潜水水量丰富，渗透性相对较弱，渗透性系数K=0.1m/d。
4 基坑支护结构设计
4.1 支护方案
根据建设基坑工程特征，工程场地地质条件。支护方案采用排桩+锚索，降水方案选用坑内积水明排。
4.2 计算参数的选取及设计结果
5 数值分析
数值分析中通过模型的建立及分步施工过程（开挖、降水）的模拟充分考虑基坑工程在开挖、降水综合作用下的应力与位移特征。
5.1 分步施工
将该基坑工程分解为12个分步工程：
1支护桩施工2基坑开挖至第1道锚索下0.5m，水位降至坑下0.5m3第1道锚索施工4基坑开挖至第2道锚索下0.5m，水位降至坑下0.5m5第2道锚索施工6基坑开挖至第3道锚索下0.5m，水位降至坑下0.5m7第3道锚索施工8基坑开挖至第4道锚索下0.5m，水位降至坑下0.5m9第4道锚索施工10基坑开挖至第5道锚索下0.5m，水位降至坑下0.5m11第5道锚索施工12基坑开挖至预定深度（19.5m），水位降至坑下0.5m。几何模型建立如图2。
5.2 地下水渗流分析
基坑场地范围内地层主要为粉质粘土，透水性相对较弱，基坑开挖过程中拟采用积水明排的降水方法，分步施工阶段基坑外侧的地下水不能完全的从坑壁排出，势必形成一定的水头差，在基坑及基坑外一定范围形成地下水渗流场。本文采用水位变化岸坡地下水位浸润的计算方法确定分步工程中降水后的地下水位线。然后将其赋入数值分析模型中，进行地下水渗流计算。
地下水位浸润线计算： ， 施工中降水后的坑内水位， 施工中降水前的坑内水位， 、 降水前后计算点至坑壁的距离， 降水后计算点的地下水位， 降水前计算点的地下水位。
采用浸润线理论模拟基坑开挖降水过程计算孔隙水压力。降水后的水位线改变了基坑一定范围内原有的渗流场，孔隙水压力环境也随之改变（图3―5），桩后形成三角形的孔隙水压力（图6），最大孔隙水压力约为178kN/。
5.3 基坑应力位移分析
用数值分析基坑开挖降水后，在主被动土压力及孔隙水压力的综合作用下，计算坑壁的应力及变形状态（图7―10），坑壁应力呈三角形，最大应力约为417kN/，基坑外侧2倍的基坑深度范围内土体皆有不同程度的塑性变形，最大位移量约为130mm。
6 结论与建议
（1）基坑开挖降水作用改变了初始地下水环境，形成新的渗流场，最大孔压可达178kN/；
（2）开挖完成后，基坑坑壁应力呈三角形，最大应力约为417kN/，基坑外侧2倍的基坑深度范围内土体皆有不同程度的塑性变形，最大位移量约为130mm；
（3）建议对基坑外3倍深度范围的建构筑物进行位移监测。
参考文献
（1）张力霆，土力学与地基基础，高等教育出版社，2007年7月；
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计算机教学 数值分析课程 教学改革
一、引言
“数值分析”作为计算数学的一个主要分支，是研究如何利用计算工具(如计算器、计算机等)求出数学问题的数值解(如数据、表格、图形等)的学问，是科学与工程计算的基础。“数值分析”既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的、实用性和实践性很强的数学课程。通过本课程的学习，能使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据实际问题建立数学模型，然后提出相应的数值计算方法，并能编写程序在计算机上算出结果。这既能为学生在理论学习方面以及在计算机上解决实际问题等方面打下良好的基础，同时又能培养学生的逻辑思维能力和提高解决实际问题的能力。
在我校，《数值分析》课程是信息与计算科学专业的专业基础课，是数学与应用数学、计算机科学技术等本科专业的专业必修课，是工程力学、交通运输工程、通信工程等本科专业的专业必修课或选修课，也是控制科学与工程、机械工程、信息与通信工程、矿业工程、土木工程等学科的硕士研究生的公共基础课。课程涉及面广，实用性强，为此，研究本课程的教学改革具有重要的意义。
著名数学家李大潜院士倡导“问题驱动的应用数学”，我们以此作为指导思想，进行了数值分析课程的教学改革。利用实际问题引出所要讨论的计算方法，并且对计算方法进行理论和实践两方面的研究，最后解决实际问题。
二、教学思想与教学模式的改革
我们从实际出发，以“问题驱动式”作为教学思想，实施了以“案例为主线，实验为指导，融知识传授与能力培养于一体”的教学模式。
1.积极开展以“案例为主线，实验为指导”的教学模式。将案例引入课堂教学，通过有针对性的设计实验项目及内容，使学生在学习基础理论的同时掌握先进的应用技术，并充分认识到学习数值分析这门课的实用性，有效地避免了纯粹数学理论推导的枯燥性，提高了学生学习本课程的主动性。
2.积极开展“以学生为中心，以教师为辅助”的讨论式教学，拓展学生思路。在课堂教学中注重启发式与讨论式，有计划地就某些问题开展专题讨论，将“课堂讨论式教学法”不断深化，充分调动学生的学习主动性。
3.开展与数值分析课程有关的学术讲座。通过开展教授讲座、博士论坛、青年学术沙龙等活动，定期邀请校内外专家学者进行与数值分析有关的学术讲座，使学生能够更深入了解该课程的学习内容及与实践结合的情况，开阔学生眼界，提高学生的学习兴趣。
三、教学内容的改革
设计了分层次、分专业、分模块的立体结构式教学。
1.根据不同层次、不同专业的培养目标，分别设计不同的教学目标和要求。根据各专业的不同要求以及培养不同层次学生的需要，把数值分析课程分为 4个类别，对理科类专业侧重理论知识及算法能力的培养；对工科偏理类的专业侧重算法实验，简化理论推导；对于一般工科专业的本科生及研究生，根据不同专业的特点，强调应用案例进入课堂；对尖子学生，结合科技创新活动，寻找实际问题，提取模型，指导其进行专业论文的撰写。
2.结合最新的科学发展动态，适度引入现代数值计算方法
结合教师的科研成果，将目前比较流行的数值计算方法，如支持向量机算法，神经网络算法，蚁群算法，遗传算法等引入课堂教学，介绍新方法的实际应用背景，并结合大学生数学建模竞赛，引入一些结构化的实例，使学生能够了解最新的科学发展动态，开阔视野，并学会应用相关的知识去求解实际问题，加深对所学知识的理解。
四、教学方法与教学手段的改革
1.问题驱动式教学。从教学过程中的基本矛盾出发，分析理论教学过程中存在的问题，每个章节都用普遍性较强、易懂的问题作为引例，让学生理解经典数值计算方法的应用。
2.案例式教学。结合我校“以工为主，矿业见长，工学、理学等多学科相互渗透，协调发展”的特点，根据不同专业的需求，如采矿方面、测绘方面、机械方面等等，精心设计案例，让学生充分理解数值分析的思想方法。
3.多途径、立体化教学。将传统教学手段和多媒体教学手段进行有机结合，在教学别注意合理解决“多媒体教学过程中学生反应速度与学生思路连续性之间的矛盾”。借助先进的教学手段，采用诸如启发式教学、互动式教学、研讨式教学等方式。
4.利用教学网站，扩展课堂教学。采用网上 QQ群讨论、答疑、实验指导等措施，建立课程立体资源。不断充实完善课程内容，将课堂教学与实际应用相结合，与科技创新活动、竞赛活动、企业需求相结合。实验教学和实践环节与教师的科研相结合，并以科研与学科建设为驱动，不断改进和设计创新性实验。
五、实验改革及考核手段改革
根据数值分析的特点，要实现数值分析课程教学目标，在教学中必须配有相应的实验手段。通过实验促进学生对理论、方法和概念的理解，培养学生运用实验手段进行算法设计、分析、研究的能力，提高学生灵活应用算法解决实际问题的能力，实现理论和实践的有机结合。实验教学是实现课程教学目标的重要环节。
1.实验改革
结合我校的实验平台，引进工科实验室的特殊软件，进行数值分析实验的设计。
我校具有山东省高等学校计算机实验教学示范中心，设有科学计算实验室、金融统计实验室、多媒体技术实验室和大学生创新实验室等创新平台。测绘专业有先进的遥感测绘软件、采矿专业有专业的力学计算的有限元并行软件，材料专业有基于机群的高分子模拟的专业软件，我们将这些平台有效的利用起来，针对不同的专业，布置不同的专业实验，做到有的放矢。实验类型从早期的经典算法实验到现在包含验证性、案例性、设计创新性等类型的实验，并且因材施教，提供了 MATLAB版本的实验和指导材料。自行设计的实验既锻炼了学生掌握现有软件工具的能力，又提高了学生熟练使用高级编程语言的水平，同时也锻炼了学生的动手实践能力。
2.考核手段改革
结合数值分析教学内容及教学模式的改革，克服传统教学中期末考试一卷定成绩的考核模式，采取试卷考试与实验考试相结合的考核方式，并在此基础上，适当采用课程设计加分、科研创新加分等手段，评定总成绩。
六、科研促教学，鼓励学生科技创新
1.将科研成果融入到教学中，拓宽学生的知识面，激发学生学习的积极性通过及时把参加国内外学术会议的情况介绍给学生，使学生能够了解本学科的最新发展动态，开阔视野。同时，把课堂延伸到研究所，使学生通过近距离接触先进的软件工具、设备、系统，加深对知识的理解，激发他们的好奇心和热情，促进他们学习和研究的兴趣。另一方面，通过让学生参与实验室建设，可以提高他们分析问题和解决问题的能力，并引领他们向深度发展。
在我校，科研和学科建设中的前沿课题，不仅仅是科研人员关注的焦点，也频频出现在本科生的课程设计和毕业设计之中，这是以科研促教学取得的显著成效之一。以科研促教学不仅提升了教师的教学水平，丰富了教学内容，还为学生实践能力和创新精神的培养提供了良好的平台。
2.教师积极组织、鼓励学生的科研创新活动
在教师的积极组织与鼓励下，每年都有上百人参加大学生科研与科技创新活动；在学校的大力支持下，为学生提供免费的科研与科技创新活动的场所，开放实验室，并提供强有力的指导力量，培育学生的科研能力和创新精神。有了这些方面的培养，相关老师组织的学生在国家、省级的各种竞赛中取得优异成绩，获得各种部级、省级奖项若干。
七、结束语
近年来，我们按照“厚基础、强能力、重实践、求创新”的要求，结合高等学校 21世纪人才的培养目标，根据学校不同专业的需求，对数值分析课程进行了一系列的改革，取得了良好的效果。我们以加强素质教育和能力培养为前提，坚持以“夯实基础、拓宽专业面、注重新技术，加强人文素质课程”为原则进行课程设置，通过对数值分析课程教学的改革及不断的累积，制定了切实可行的人才培养方案。通过对课程体系和教学内容以及教学环节和教学方法进行改革，提出了科研育人新理念。通过鼓励学生进行科技立项、参与教师的科研活动，进行自主的科技创新，提高了学生的科研水平与创新能力。所有这些措施的实施对学生的考研、就业及综合素质的提高都起到了良好的促进作用，学生的实际动手能力及分析解决问题的能力明显提高。
参考文献：
[1]李庆扬，王能超，易大义.数值分析(第四版)[M].北京：清华大学出版社，2001.
[2]曾金平.数值计算方法[M].长沙：湖南大学出版社，2004.
[3]黄兵.《数值分析》课程教学改革的几点思考[J].重庆教育学院学报，2005，（6）：13-15.
[4]李大潜.关于大力提倡和推动以问题驱动的应用数学研究的建议[J].中国科学基金，2006，（4）：223-226.
数值分析范文4
关键词： 数值分析 多项式插值 教学思考
数值分析不仅是信息与计算科学和应用数学专业的专业基础课，而且是很多工科专业的一门重要课程，是依据数学原理构造算法利用计算机等计算工具求解数学问题数值解的一门科学，是一门应用性非常强的课程，有利于学生实践能力和应用能力的培养。传统的教学方法是教师传授算法，学生似乎“学懂”了，但是在应用中还是不能解决实际数学问题，或者只能依瓢画葫芦，问题稍有变化便束手无策，达不到课程学习的真正目标，对学生能力培养达不到预定的效果。这不得不引起教师对课程教学方法、教学模式的思考。博士生导师万中和韩旭里[1]认为数值分析教学中要强调算法构造的基本思想，算法的创造过程，重视算法的评价和改进方法，以及算法的执行等。学生只有理解了算法的思想和创造过程才能对算法进行改进，针对具体问题才能自己设计算法。所以笔者认为，在实际教学中应该充分发挥课程的特点，充分发挥学生的主体作用，引导学生探究、发现，自己总结规律，在实践中得出结论，这样才能真正学懂这门课程。
多项式插值是数值分析中非常重要的知识点，是函数逼近的一种重要方法。主要内容包括Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段多项式插值等。内容多，理论复杂繁琐，学生在有限的教学时间内掌握有一定困难，因此教学中要合理利用知识体系间的联系，符合学生认知规律，循序渐进地开展教学。下面结合笔者的教学经历、体会和感悟，针对多项式插值教学中遇到的问题提出教学思考与同行一起探讨。
一、通过分析评价算法，激发学生进一步探究热情
学习《数值分析》这门课程必须让学生明白，任何一种新的算法有优越性的同时往往还存在一定局限性，正因为这些局限性的存在才推动算法的不断改进，推动着学科的发展。比如学习分段多项式插值这一节之前，学生已经学习了几种经典的多项式插值，如，Lagrange插值、Newton插值和Hermite插值，对插值逼近思想已有初步了解，那么分段的多项式插值与前面学习的多项式插值有什么联系？学习分段多项式插值的有何必要？为了引导学生弄明白为什么要学习分段多项式插值，我们通过一个例题让学生自己分析算法的不足：用不同次数的Lagrange插值逼近函数1≤x≤1，取等距节点，并分析误差。引导学生探究分析，让学生观察误差的变化，学生会发现：随着插值次数增加时，Lagrange插值误差不但没有减少，在区间的两端点处误差反而增加了，而且随着次数增加波动得越来越大，这与之前学习Lagrange插值时形成的一种认识“增加插值次数可以减少误差”相矛盾。因此一味增加插值次数并不能优化插值效果，由于Lagrange插值Runge现象的存在，有必要对算法进行改进。这种以实例探究，层层深入的方法激发学生进一步学习的热情。
二、利用知识结构之间的联系进行知识迁移，帮助学生理解新知
每门学科知识点之间或者存在某种联系，如果孤立地讲授某一个知识点，学生往往觉得每个知识点都很难，学起来吃力，甚至索然无味，所以教师多总结知识点之间的联系，引导学生探究彼此之间的规律，循序渐进、层层深入，自然而然达到学习目的。比如：分段线性插值其实只是将插值区间分成许多小区间，在每个小区间进行线性插值，所以在构造分段插值函数的折线函数时，类比Lagrange线性插值解析式，将Lagrange插值区间，让学生自己类比得出折线函数解析式。另外，对于分段线性插值基函数的构造，也是学生理解的难点，教学过程中我们同样采用类比的方法，让学生自己总结。我们充分利用知识之间的联系，进行知识迁移，利用类比的方法引导学生自己总结新知，这比直接教给学生效果要好得多。
三、充分利用多媒体等现代教学手段，帮助学生突破难点
多项式插值效果如何，为了让学生更直观地了解可以借助Matlab软件作出函数逼近的效果图，帮助学生理解。又如Runge现象是插值理论中一个重要的知识点，在教学过程中，通过多媒体演示：随着插值节点的增加，Lagrange插值在两端点处波动越来越大。这种直观演示，加深了学生对Runge现象的理解。当然教学过程中，要合理利用多媒体教学，不能因为利用了多媒体而忽略必要的板书，尤其像数学类课程，对于定理证明、计算过程的理解，必要的板书是不可少的。所以，在本节课教学中，我们采用PPT教学和传统板书相结合的教学方法。
四、重视实验课教学，引导学生进行探究性学习
数值分析是一门注重实践、注重学生能力培养的课程，学生学这门课不仅是掌握算法理论，更重要的是解决实际数学问题的求解，所以应该重视实验课教学，学生只有通过实验才能感受算法理论的精妙[2]，才能真正利用算法解决问题。
比如，对Runge现象的理解可以让学生自己做实验去感受；为了比较分段线性插值比高次Lagrange插值效果好，可以让学生用分段线性插值方法自己作出Runge函数，-1≤x≤1的逼近效果图与Lagrange高次插值进行对比。引导学生实验探究：如果不取等距节点而取n+1次切比雪夫多项式的零点，i=0，1，…，n作为插值节点，此时Lagrange插值还会出现Runge现象吗？学生通过自己做实验发现同样取11次的插值，切比雪夫多项式插值效果最好，分段线性插值不是克服Runge现象的唯一方法，这就是我们在后续学习中将学到的最优一致逼近[3]。
参考文献：
[1]万中，韩旭里.《数值分析》课程教学的新认识及改革实践[J].数学教育学报，2008（17）2：65-66.
[2]李光云，李娇芬.数值分析中函数插值实验的教学设计[J].教育教学论坛，2015，6：233-234.
数值分析范文5
关键词：基于问题式学习；数值分析；微课
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）46-0176-02
一、《数值分析》课程特点及教学现状[1]
《数值分析》课程是大、中专院校理、工、农、医等学科重要的专业基础课程，主要研究运用计算机解决实际问题的方法。主要包含的章节有：绪论、插值法、数值逼近、数值积分与数值微分、非线性方程求根、线性方程组的直接解法、线性方程组的迭代解法、矩阵特征值的计算、常微分方程初值问题数值解法。学好本门课程即要求学生有较好的数学基础，能够构造数值方法，并对它进行理论分析和评价，又要求学生能够熟练运用计算机编写程序、数值计算，最终得到近似解。通过本课程的学习，要求学生独立思考、综合分析、动手能力和解决问题的能力得到提高。
应用性强是该课程的主要特点。课程每个章节的内容分别是针对不同的具体问题设计的，有很强的应用背景。例如：已知物体运动的速度和加速度函数，如何得到路程函数；或已知物体运动轨迹，如何得到某点处的切线方程；如何求解一元高次方程的解；如何得到含有多个未知数线性方程组的近似解等。针对同一类数学问题，课程要求掌握多种数值求解方法，方法应用上有较强的灵活性。理论分析与动手能力并重是本门课程的另一特点。针对一个具体问题，求解的基本步骤是：首先针对具体的数学问题设计相应的数值方法，理论分析该方法的精度、稳定性、收敛性等；其次，设计出该方法对应的计算机算法，编写、调试程序；最后，将得到的数据进行分析，结合理论分析结果，对该方法做出正确评价。
理论知识与具体问题脱节是目前《数值分析》课程教学中存在的主要问题。大部分学校《数值分析》教学仍以传统教师讲授为主，多在普通的没有多媒体设备的教室进行。对新方法、新理论很少通过直观的方法进行引入，如图片、视频等；教学过程中更多地注重计算公式的推导，精度分析，收敛性、稳定性的证明，忽视了对应用背景的合理引入，以及对具体问题的求解过程及数值实验结果的正确分析。
课程结束后的预期效果是：要求学生在处理具体问题时，首先根据给定的条件对问题进行分析，找到最适合的数值方法，对数值方法进行恰当的理论分析与证明，然后开展数值实验，对数值实验数据进行正确分析，最终得出结果。而目前传统教学方法却达不到预期效果。课程结束后，针对个人不同学习情况，许多学生只是片面地掌握了部分数值方法和技术，如有的学生偏重理论证明，有的学会应用公式计算，有的掌握了一些编程技术等，很少学生能够完成一个具体问题的完整求解过程，达不到提高学生独立思考、综合分析、解决具体问题的能力的教学目的。
二、基于问题式学习[2]
基于问题式学习主要是通过引导学生合作解决教师设计的实际问题，在解决问题的过程中学习问题背后的科学知识，达到培养学生自主学习、团体合作以及解决问题能力的目的。基于问题式学习强调以解决具体问题为中心，注重学生团体间的交流与合作，教师在其中的作用是对学生进行引导和外部支持。
通过上文对《数值分析》课程特点的分析，该课程每个章节对应一类具体问题，每一类问题中根据不同的条件又有不同方法求解，且解决一个具体问题时需要进行初始数据调研、理论分析、数值实验、数据分析这四个基本步骤，适合团体协作完成。
比对《数值分析》课程及基于问题式学习模式的特点，我们发现，基于问题式学习模式非常适合使用在《数值分析》课程的教学中。鉴于此，本文以第二章插值法为例，对将问题式学习模式应用于《数值分析》课程教学进行了初步探索。[3-4]
三、基于问题式学习的《数值分析》微课方案设计
微课是教师录制成的针对某个知识点短小而相对较完整可直接播放的教学活动视频，其主要特点是“短小精悍”。在“微课”设计、制作过程中，教师要紧紧围绕学科的某个知识点，比如：重点、难点等，依照教学目标，利用多媒体及其他直观教学工具，精心设计课程、制作视频，从而达到与传统长时间教学同样甚至更好的教学效果。作为一种新型的教学资源，微课是传统课堂的有益补充和资源拓展，便于学习者随时随地地进行线上或线下学习。将微课与传统教学相结合的新型教学模式有利于提高教学质量。
下面就以《数值分析》课程第二章插值法为例，初步探讨基于问题式学习的微课设计方案。
插值法研究的是这样一类问题，通过观测、测量得到曲线上的一些离散点坐标，通过插值法得到曲线方程的近似函数和未知点近似坐标值。插值法的应用在日常生活中较常见，如空投救援物资时，根据物资运动轨迹，预测物资落地点；计算不规则形状湖泊面积；通过观测得到的流星出现位置，判断流星与其他物体相撞的可能性。[5-6]
基于问题式学习的微课设计方案：
1.分组。首先教师向学生解释完成任务的四个基本步骤：初始数据调研、理论分析、数值实验、数据分析。以30个学生的教学班为例，每5人分为一组，共6组，要求学生根据任务步骤及学生的特点进行自由组合，在教师协助下完成分组。
2.布置与分配任务。由教师设计6个具体任务，任务设置难易适当，各个任务要求各有特点，解决这些问题应尽量用到课程所介绍的各种不同方法。并由各小组抽签分配任务。
插值法任务：（1）已知铅球运动轨迹图，预测铅球落地点；（2）已知足球射门视频片段，预测是否命中；（3）空投救援物资时，根据物资运动轨迹图，预测物资落地点；（4）已知形状不规则湖泊图片，计算湖泊边界曲线方程；（5）已知沙漠绿州图片，计算绿州边界曲线方程；（6）根据流星出现位置图片，判断流星与地球相撞的可能性。
3.制定、公布任务评价细则。在完成要求的四个基本步骤后，根据完成情况分成以下四个等级：不能完成、基本完成（一次性输入3个固定点作插值）、较好完成（一次性输入3个以上固定点作插值）、优秀（可自由选择和增加插值点个数）。
4.教师制作微课视频，供学生自由在线或下载学习，视频时长不超过二十分钟。每节微课介绍一种插值方法，分别为：插值法基本原理、拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值、分段低次插值。
5.活动汇报及答辩：学生利用PPT汇报小组解决具体问题过程及结论展示，并针对教师、其他组学生的提问进行答辩。
6.总结评价与查漏补缺：由教师完成总结与评价，并对学生掌握不好的问题，章节中没有用到的方法和内容进行讲解和分析。
在以上六个任务中，首先要求学生将任务图片或视频定位在直角坐标系下，测量出若干离散点坐标，在测量的过程中，可采用等距测量的方法，也可采用不等距的方法，不同的测量方法所使用的插值法不同；第二步，要求学生学习微课内容，选择最适合的插值方法，如已知等距节点坐标可选择牛顿插值法；已知不等距节点坐标可选择拉格朗日插值法；已知不等距节点坐标值及节点处的一阶导数值（节点切线斜率）可选择埃尔米特插值法；节点个数固定可选择牛顿插值、分段低次插值、拉格朗日插值、埃尔米特插值法；能够随时增加节点可选择牛顿插值法；节点个数超过8个选择分段低次插值法。其中，各种插值方法的特点及构造原理、使用方法等均可在微课中学习到，学生选择的方法越灵活，精度越好，则得到的分值越高。第三步，编写、调试程序。要求程序首先能完成所要求的基本任务，其次程序要与用户有较好的交互性、可读性；第四步，分析实验数据，并与理论分析结果进行比较。通过理论分析，得到该插值方法的估计误差；将数值实验结果与实际问题结果比较，得到实验误差，将实验误差与理论估计误差进行比较，从而验证理论分析结果。
基于问题式学习的《数值分析》微课设计方案，通过组织学生合作解决教师设计的实际问题，在解决问题的过程中利用教师录制的微课进行灵活、自主学习，从而达到培养学生自主学习、团体合作、动力能力以及解决实际问题等综合能力的目的。
参考文献：
[1]王燕.基于学生创新能力培养的数值课程教学改革和实践[J].科教文汇：下旬刊，2011，（6）.
[2]张建伟.基于问题式学习[J].教学研究与实验，2000，（3）：55-60.
[3]胡铁生.“微课”：区域教育信息资源发展的新趋势[J].电化教育研究，2000，（3）：55-60.
[4]吴晓茜.利用微课促进信息技术教学的有效途径[J].现象透视，2013，（7）：37-40.
数值分析范文6
数值分析是用计算机求解数学问题的数值计算方法，属于数学的一个分支，主要以数值方法求解数学问题、数值理论和方法为研究对象。做为计算数学的主体部分，数值分析学科有如下特点：（1）面向计算机；（2）可靠的理论分析；（3）计算的复杂性；（4）面向具体应用；（5）需要对算法进行误差分析。
本书很好地平衡了理论和实践，面向研究生读者完美介绍了这门应用数学课程。在本书中，作者详细地介绍了数值分析的各种经典方法，讲解了计算原理、误差的产生、求解不收敛等问题。并且演示了如何将这些经典的技术结合起来，解决实际工作中的各种困难问题。本书还分析了许多实例和相关程序，以帮助读者实际运用。本书涵盖的主题包括：线性系统的各种经典方法、特征值、插值、数值积分、常微分方程求解、数据拟合、随机微分方程等。
本书分为12章：1.数值分析过程中的误差，具体包括误差的主要类型、浮点计算、算法误差、有效数字产生的误差与算法产生误差的比较等，并详细剖析了一个误差实例；2.线性系统的直接求解方法，具体包括高斯消除法、主元选择、高斯消除法产生的误差、辅助归约、乔里斯基分解以及残差矫正方法；3.特征值和特征向量，具体包括Gerschgorin算法、幂算法、快速响应算法、奇异值分解和海曼方法；4.线性系统的迭代求解方法，主要包括共轭求解法、松弛求解法、雅各比求解法、高斯赛德尔法以及多重网格法；5.多种差值方法，主要包括改进拉格朗日差值、内维尔算法、牛顿法、艾米插值和离散傅立叶变换；6.迭代方法和多项式的根，主要讲述了收敛和速率、二分法、试位法、割线法、牛顿拉夫逊法、贝尔斯托法和提高收敛速度的方法；7.多种优化方法，主要包括夹叉试射法、插值法、黄金分割法、变度量法等；8.多种拟合方法，包括最小二乘法、泰勒法、实验误差分析、非线性最小二乘法、范数拟合法以及样条函数法；9.多种积分方法，主要包括牛顿-科特斯法、外插法、高斯求积法；10.常微分方程，主要包括单步解法、多步解法、刚性方程组；11.随机常微分方程，主要包括白噪声和维纳过程、泛函Ito微积分、解的精确性、收敛性；12.多个大型积分的实例，包括薛定谔方程、高斯基本函数、角动量求解和里斯多项式等。书的附录部分介绍了数值计算的背景以及各种编程代码。
