数值积分范文1
关键词：横截面积；矿井巷道；复化梯形公式
DOI：10.16640/ki.37-1222/t.2017.13.210
煤炭工业是国民经济中的基础，它为经济生产提供原料和能源。煤炭工业生产的顺利进行，一定程度上取决于煤炭工业基本建设及开拓延伸工作能否及时、持续地提供生产煤炭的场地。为了将煤从地下采出，需从地表开始，开凿一系列的井筒、硐室及巷道以便到达煤层，这便是矿山基本建设的主体工程。其中涉及到大量的巷道断面的设计，包括巷道尺寸和横截面积的计算。设计的巷道断面直接作为井下巷道施工的依据，也是进行巷道工程概预算的依据。我国煤矿井下使用的巷道断面形状，按其构成的轮廓线可分为圆形类、拱形类、矩形类和梯形类共四大类，在此选择底板水平、两帮垂直、顶板为弧形的半圆拱断面进行数学建模并求其横截面积。
1 问题分析及模型
矿井巷道分为梯形巷道，三心拱巷道，半圆拱巷道等，本案例选择半圆拱巷道模型并求解其面积。
但实际使用这种方法往往有困y，因为大量的被积函数，找不到用初等函数表示的原函数，此时Newton-Leibniz公式不能直接运用，需要用其他有效的数值积分方法求解。在此，运用数值积分方法中的复化梯形求积公式进行求解。
2 复化梯形求积公式原理
在使用牛顿-柯特斯公式时，通过提高阶的途径并不总能取得满意的效果，为了改善求积公式的精度，一种行之有效的方法是复化求积。将积分区间分割为n等份，步长，各节点为。所谓复化求积公式，就是先用低阶的求积公式求得每个子段上的积分值，然后用作为积的近似值。在子区间上使用Newton-Cotes公式，将分割为等份，步长为，节点为记为 ，在上作的阶Newton-Cotes求积公式
3 算法的Matlab实现
3.1 实验数据
半圆拱巷道截面积求法可用数值积分中复化梯形求积公式
求得。用上述的的公式来计算半圆拱巷道截面积，（其中，矩形长，矩形宽）；同时公式（1）中的积分区间，然后将积分区间进行等分，用表示二分次数，即区间等分数，得到个小区间，，每个小区间的长度为，其中。并且按
进行计算。
3.2 Matlab程序代码
function FHQJ
k=2；
m=4；
a=0； % a，b 为区间
b=2；
epsilon=1e-3； % 精确度
fun=@（x.）sqrt（-x.^2+k*x）+m；
n =1；
h=（b-a）/2；
y0=h*（feval（fun，a）+feval（fun，b））；
yiter=y0；
while 1
step =2^（n-1）；
f=sum（feval（fun，a+（1：2：2*step-1）*h））；
y=y0/2+h*f；
if abs（y-y0）
break；
end
h=h/2；
y0=y；
yiter=[yiter，y0]；
n=n+1；
end
yiter
disp（y）；
Error=double（int（'sqrt（-x^2+2*x）+4'，'x'，0，2）-y）； %%与真值误差
disp（Error）；
4 计算结果及分析
4.1 计算结果
本案例设定误差不超过10-3，在Matlab下运行程序后的结果如下（k表示二分次数）：
当运行到k=8， 即时就能满足与真实值误差不超过10-3，此时误差为0.0011。
4.2 结果分析
复化梯形求积公式能够较准确的得到实验结果yiter=9.5696，用在较少的计算量便能够达到预定精度，得到准确值与近似值的绝对误差Error=0.0011，较好的完成了巷道面积的计算问题。
5 总 结
本文建立了矿井巷道截面积的计算模型，根据半圆拱形截面积函数，运用复化梯形求积公式进行计算，并编制基于Matlab的计算程序。根据复化梯形求积公式的原理将所求函数的积分区间分为若干个小的积分区间，先求出每个小积分区间上的积分近似值，然后再将这些近似值加起来就是我们所要求的横截面积的近似值，函数区间所分的小区间的个数越多，计算结果就越精确，其原因就是所分的区间数越多，计算时每个小区所带来的误差就越小，对其求和所带来的总的误差也就越小，所以最后的结果精度就越高。本文算例结果表明该方法具有较高精度、操作简单等优点，且便于程序化。
参考文献：
[1]孙祥，徐流美，吴清.Matlab7.0基础教程[M].北京：清华大学出版社，2005.
[2]薛毅.数值分析与实验[M].北京：北京理工大学出版社，2005.
[3]林柏泉，崔恒信.矿井瓦斯防治理论与技术[M].徐州：中国矿业大学出版社，1998.
[4]煤矿瓦斯治理与应用总体方案[Z].北京：国家安全生产监督管理总局，2005.
[5]汪卉琴，刘目楼.数值分析[M].北京：冶金工业出版社，2004.
[6]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].武汉：华中科技大学出版社，2006.
[7]肖伟，刘忠，曾新勇等.Matlab程序设计与应用[M].北京：清华大学出版社，2005.
数值积分范文2
论文关键词：转炉,炉液力矩,重心,数值积分
转炉倾动力矩是转炉系统各设备设计的基本参数，也是用以确定转炉倾动机构、炉壳、托圈等设备设计及选型的重要依据。转炉倾动力矩一般由三部分组成：空炉力矩、炉液力矩和摩擦力矩。其中，空炉力矩是由炉体质量引起的力矩，摩擦力矩是由耳轴摩擦引起的力矩。在转炉倾翻过程中，这些力矩与设备自身形状、重量、倾动角度有关，其计算较为简单，但炉液力矩的计算与倾动过程中炉液的形状、重量、重心相关，这些又都随着倾动角度变化发生变化，而且出钢后这些变化尤为明显，因而炉液力矩的计算相当复杂。其计算模型的精细程度直接关系到转炉倾动力矩的准确度。
现在一些工程技术人员采用CAD软件中的脚本程序计算炉液力矩。他们大都是利用三维软件中的布尔运算完成此种功能，即用不同平面不断递减或递增平面间距的方式对转炉内腔进行截取，通过设定收敛允差完成炉液力矩的计算。但是由于炉型中弧线与折线的连接不规则，计算中往往导致在特定位置时布尔运算失败，需手动再次调节平面递增或递减的间距，十分不方便，而且受三维软件自身运行速度的限制，整个计算速度较慢，程序也无法脱离三维软件环境独立运行，通用性不强。
1炉液力矩计算的数学模型
1.1炉液混合重心的计算
炉液由两部分组成：钢液和渣液。由于密度不同，渣液浮于钢液上方形成两层，在计算时将炉液分为两部分，一部分为全炉液体积，取渣密度进行计算，称为合液，第二部分为钢液占有的体积，密度取钢液和渣密度之差，称为分液。炉液混合重心的计算公式如下：（1）（2）
式中：x—混合渣液合成重心的x坐标；z—混合渣液合成重心的z坐标；G—全液的重量；G—分液的重量；x—全液的重心的x坐标；z—全液的重心的z坐标；x—分液的重心的x坐标；z—分液的重心的z坐标；ρ—钢渣的密度；ρ—钢水的密度；V—全液的体积；V—分液的体积；g—重力加速度。
1.2炉液体积数值积分
参考文献[5]详细给出了炉液半径及弓高等的计算公式，这里不再赘述。此处仅给出不同倾动角度下体积和重心坐标的计算公式，如下：
（3）（4）（5）
式中：V—炉液体积；r—截面半径；φ—弓形截面张角；z—炉液液面与炉内壁接触的最高点的z向坐标；z—炉液重心的z向坐标；x—炉液重心的x向坐标。
由高等数学可知：对于积分式，采用Romberg积分法计算有：
（6）
（7）
1.3计算收敛准则
在每一个倾动角度，炉液最高点z确定下来后，炉液的体积随之确定。本计算中，采用二分法来完成炉液最高点位置的确定与验算。
设目标函数：
（8）
（9）
式中：f(z)—目标函数；G—设计炉液总重量；G—每次体积积分迭代计算得到的炉液重量；G—铁水装入量；G—渣量。
给定初始最低点z和最高点z，本计算中取z为0，最高点z为炉口高度，显然有：
（10）
按照二分法的原理，依次对z二分并进行迭代，直至满足下式（11）即停止迭代：（11）
式中：ε—迭代收敛允差。
2具体计算及结果分析
2.1出钢过程的处理
在转炉倾翻过程中，炉液上方的钢渣始终浮在钢液上方。出钢时，转炉倾动至一定角度，此时液面最高位置与出钢口位置平齐，炉内钢水从出钢口倾倒出来，而钢渣通过挡渣棒一直留在炉内，直至炉内钢水全部倾倒完成后，钢渣才从炉口倒出。计算中，按式（12）来判断是否出钢。
（12）
式中：V—积分得到的炉液体积；V—初始炉液体积；ε—收敛允差。
当式（12）成立时，用二分法求解得到的液面最高位置，当式（12）不成立时，则说明发生了出钢，此时，液面最高位置始终以出钢口位置为计算基点，不再进行二分迭代。由于出钢过程中，钢液先出，钢渣体积始终保持不变。则出钢后炉内钢水体积可用式（13）表示：
(13)
式中：V—剩余炉内钢液体积；V—积分得到的炉液体积；V—炉内钢渣体积；ρ—钢渣密度。
2.2计算
以某工程设计参数作为计算参数，主要参数如下表1所示。
表1计算参数
名 称
数 值
炉口高度
8.714m
出钢口高度
6.75m
设计出钢量
180t
钢渣兑入量
150kg/t
倾动角度范围
0º-120º
计算收敛精度
0.001
钢渣密度
3000kg/m
数值积分范文3
关键词：单摆，数值积分，梯形公式，辛普森公式，MATLAB
单摆问题是一个古老的问题，在现实中应用很广，例如摆钟就是应用单摆的原理制造的. 在无阻尼的情况下，单摆动力学方程是：
(1)
其中是单摆的质量，是单摆的摆长，的初始角为(见图1).
图1
在单摆的摆角很小的情况小，我们用公式：
(2)
作为单摆的震动周期的近似计算公式.但是当单摆的摆角较大(一般认为大于)时，公式(2)就不适用了. 此时单摆的振动周期需用公式(1)的精确解[1]：
(3)
来计算.但是公式(3)涉及到椭圆积分，这个积分利用莱布尼茨公式是很难计算出来的， 这时我们可以借助数值积分方法来计算单摆的振动周期.我们利用了数值积分中的梯形公式和辛普森公式得到了两个计算单摆的震动周期近似公式.
1 近似公式的导出
数值积分中的梯形公式和辛普森公式[2]分别为:
，(3)
，(4)
其中为积分上限，为积分下线，为被积分函数.
对公式(3)用梯形公式得到计算单摆的震动周期的近似公式：
.(5)
对公式(3)用辛普森公式得到计算单摆的震动周期的近似公式：
.(6)
2 近似公式的精确程度分析
数值积分中的梯形公式和辛普森公式的误差[2]分别为:
，
.
从误差公式可以看出辛普森公式得到计算单摆的震动周期的近似公式比梯形公式要精确.
为了考察公式(5)和公式(6)的精确程度，我们用数值积分公式中自适应辛普森公式[2]近似的取代精确解，计算精度取到. 下面我们利用MATLAB软件，在区间每隔取值，计算出的90个点的值，然后画出以横坐标，以纵坐标的曲线图.
数值积分范文4
关键词：常微分方程初值问题；自适应；数值积分；Matlab
中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1671―1580（2014）02―0148―03
一、引言
对于一阶常微分方程的初值问题
二、基于自适应数值积分的常微分方程数值算法原理
根据上式，可以近似地取Tk+1-Tk作为当前步近似值Tk+1的误差。若预定精度ε满足∫bkakf（x）dx-Tk+1
三、数值算例
用基于三种自适应的积分方法求解x=1时y（1）的数值解结果和误差情况如表1所示，同用等步长h=0.01时的复化梯形公式、4阶的Runge-Kutta方法和4阶Adams显式公式所求的数值解结果进行了比较，如表1所示，相比之下可看出自适应Cotes积分公式和4阶Runge-Kutta方法结果相对最为准确，但前者用时最少。从整体上看基于自适应梯形积分公式的算法所得到的结果明显比复化梯形公式的误差小，运行时间短。相应的基于自适应Simpson积分公式和自适应Cotes积分公式的算法所得到的结果明显比4阶Runge-Kutta方法和4阶Adams显示公式误差要小，运行时间短。同时对比于梯形公式、4阶的Runge-Kutta方法和4阶Adams显式公式三种方法，可以看出计算常微分方程数值解的单步法迭代公式如果收敛阶数越小，程序运行的时间越长，并且误差相对较大。而多步法在相同条件下，4阶Adams显式公式比4阶的Runge-Kutta方法所得数值解误差大。
用基于三种自适应的积分方法求解x=9时y（9）的数值解结果和误差情况如表2所示，同用等步长h=0.01时的复化梯形公式、4阶的Runge-Kutta方法和4阶Adams显式公式所求的数值解结果和误差情况相比，如表2所示，相比之下可看出自适应Cotes积分公式结果也相对最为准确，而且用时最少。从整体上看基于自适应梯形积分公式的算法所得到的结果明显比梯形公式的误差小，运行时间短。相应的基于自适应Simpson积分公式和自适应Cotes积分公式的算法所得到的结果明显比4阶Runge-Kutta方法和4阶Adams显示公式误差要小，运行时间短。同时对比梯形公式、4阶的Runge-Kutta方法和4阶Adams显式公式三种方法，可以看出计算常微分方程数值解的单步法迭代公式如果收敛阶数越小，程序运行的时间越长，误差则相对较大。而多步法在相同条件下，4阶Adams显式公式比4阶的Runge-Kutta方法所得数值解误差大。
基于三种自适应的积分方法选用的节点如图2所示，基于自适应梯形积分公式的算法选用的节点数最多，自适应Cotes积分公式的算法选用的节点数最少。
[参考文献]
[1]李庆扬，王能超，易大义.数值分析（第5版）[M].北京：清华大学出版社，2008.
[2]胡健伟，汤怀民.微分方程数值方法（第2版）[M].北京：科学出版社，2007.
[3]任玉杰.数值分析及其MATLAB实现：MATLAB6.X，7.X版[M].北京：高等教育出版社，2007.
数值积分范文5
本文研究实数域中奇异积分的主值问题。这是基于数学分析中对广义积分的研究作的进一步深入探讨的工作。文中定义了一维奇异积分的Cauchy主值与Hadamard主值并给出了相应的公式。
关键词高阶奇异积分；Cauchy主值；Hadamard主值
中图分类号：O172.2
在复分析中有对复平面上奇异积分的主值研究，在实数域中也存在积分问题的研究，对收敛的广义积分可以求得其积分值，而发散的广义积分不存在积分值。这里便出现了值得探讨的新问题，即研究发散的广义积分的主值问题。
我们首先考察形如 （）的积分类型。一般情况下，此类积分不存在。但我们有如下定义：
定义1 设 定义于(a,b)上，当c (a,b)时， 称为Cauchy型积分，只要此积分存在。
定义2 (Hölder条件) 设 定义于(a,b)上，若存在常数A，使得对于任意的两点 (a,b)，恒有 （0< ）则称 在(a,b)上满足 阶的Hölder条件，记作(a,b)。特别地，当 =1时，称为Lipschitz条件。
定理1（一阶奇异积分的柯西主值存在的充分条件）若(a,b)，c (a,b)，则C•P•V 存在，且C•P•V =
证明：因为
＝
=
因为(a,b)，由Hölder条件： ，
，由于积分 收敛（因为 ）
可知 收敛，定理1证毕。
在研究了一阶奇异积分 （c (a,b)）的柯西主值C•P•V 后，我们继续考察高阶奇异积分 （c (a,b), ）的主值，首先考察二阶奇异积分（c (a,b)）的柯西主值是否存在，其中(a,b) （表示 与 在(a,b)上都满足Hölder条件 ）
C•P•V =
=++
=I1+I2+I3
当 时，I1=C•P•V 。I3是与 无关的常数，而
I2=
==- + +
此极限一般不存在。
由以上看出二阶奇异积分（c (a,b)）的柯西主值不一定存在，一般来说当奇点的阶数高于空间的维数时，都可能出现以上的情况，我们若删去引起柯西主值发散的项（如以上的I2）,得到的就是有以下意义Hadamard主值概念。
定义3 设(a,b) ，则二阶奇异积分 的Hadamard主值为
H•P•V =
当 时，我们称 为高阶奇异积分，这里只要将n=2 时的奇异积分 稍加推广，即只要重复使用分部积分法，而把引起积分发散的项一概删去，即可得到高阶奇异积分 （ ）的Hadamard主值。
定理2：设(a,b) （表示 与 在(a,b)上都满足Hölder条件），c (a,b)，则高阶奇异积分 的Hadamard主值为：
H•P•V
=
我们还可以将奇点位于区间内部的高阶奇异积分的Hadamard主值继续推广，讨论奇点位于区间边界处的奇异积分的Hadamard主值。这里不再赘述。
数学分析对发散的广义积分的研究以判断出其发散为终止，而问题到此并未圆满结束，主值问题的提出正是为广义积分的研究开拓了新的思路，有其不容忽视的作用。
参考文献
[1] 路见可，解析函数边值问题[M]，上海科学技术出版社，1987
[2] 李子植，函数论的边值问题[M]，河北大学出版社，2000
[3] 高红亚，二维高阶奇异积分[J]，宁夏大学学报，17 (1)(1996): 99-100
数值积分范文6
【关键词】导数；函数；方程；定积分；面积
【中图分类号】G427 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5071(2012)01-0223-02
微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段,《普通高中数学课程标准》（以下简称《课标》）对微积分教学内容进行了改革,《课标》和过去的高中数学教学大纲相比，一大特点是将一元函数微积分的部分内容拿到高中教材中，让中学生初步了解微积分的思想，为高等数学的学习打下基础。那么，微积分在高中数学中有哪些应用？本文将举例说明微积分在判定函数的单调性、极值，讨论方程的根，证明不等式和恒等式，求切线方程、作函数图象、求平面区域的面积等方面的应用。
1 导数在高中数学中的应用
《课标》中对微积分的教学内容明确提出：“导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用，要求学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，体会导数的思想及其内涵；了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础”。
1.1 导数在函数单调性问题上的应用：函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷。
例 (2009年广东卷文)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是（ ）
A. (-∞,2)； B. (0,3)； C. (1,4)；D. （2，+∞）
分析：对函数f(x)求导，求不等式f′(x)>0和f′(x)0的解为单调增区间。
解： f(x)=(x-3)ex
f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex
令f′(x)>0，得x>2，
所以f(x)的单调增区间为(2,+∞)，故选D．
1.2 导数在函数的极值问题上的应用。利用导数求极值可分为三步：
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)=0的根；
(3)检验f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右两边的符号，确定极值．
例 求函数f(x)=x ln x，x∈(0,e]的极值，最值．
解：因为f′(x)=ln x+1，令ln x+1=0， 得x=1e．
又因为
(0,1e)1e（1e，e）e
f′(x)-0+
f(x)-1ee
由表中可知，x=1e为函数f(x)的极小值点，y极小=-1e．
当0
在高考中，关于函数极值问题比较常见的题型是已知函数的极值确定字母的取值范围或值．
例 （2008四川卷理）已知x=3是函数f(x)=a ln(1+x)+x2-10x的一个极值点，求a．
解：因为f′(x)=a1+x+2x-10，所以f′(3)=a4+6-10=0，因此a=16．
1.3 导数在方程解的问题上的应用
(1)利用导数判定单调性，可研究方程根的个数问题.
例 若m>3，则方程x3-mx2+1=0在[0,2]上有多少根？
解：设f(x)=x3-mx2+1，则f′(x)=3x2-2mx，
当m>3且m∈[0,2]时，f′(x)
故f(x)在(0,2)上单调递减，而f(x)在x=0与x=2处都连续，且
f(0)=1>0，f(2)=9-4m
故f(x)在[0,2]上只有一个根．
(2)用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛顿法）．
例 求方程x ln x-1=0的近似解．
解 设f(x)=x ln x-1，f′(x)=ln x+1，可以知道方程f(x)=0的唯一根在开区间(1，2)之中，取x0＝2，牛顿法的迭代公式为
xn+1＝xn－f(xn)f′(xn)＝xn－xn ln xn-1ln nxn+1＝xn+1ln xn+1，
则
x1＝3ln 2+1＝1.77185
x2＝2.77185ln 1.77185+1＝1.76324
x3＝2.76324ln 1.76324+1＝1.76323
因此给定一个精确度，我们就可以求出该方程的近似解．
1.4 导数在曲线的切线问题上的应用:导数的几何意义：如果函数f(x)的导数存在，则的函数f(x)在x=x0处的导数即为该函数在点（x0，f(x0）)切线的斜率．利用这个我们可以求出曲线的切线方程．
例 （2009宁夏海南卷文）曲线y=xex+2x+1在点（0,1）处的切线方程为 ．
解析：因为y′=ex+xex+2，在点（0,1）处斜率斜率为k＝e0+0+2＝3，所以切线方程为y－1＝3x，即y=3x+1．
例 （2009福建卷理）若曲线f(x)=ax3+ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是.
解析：本小题考查导数的几何意义、切线的求法．由题意可知f′(x)=2ax2+1x，又因为存在垂直于y轴的切线，所以
2ax2+1x=0a=-12x3(x>0)a∈(-∞,0)．
这些题目都考查导数的几何意义，在填空题中也是一种典型题型，不容忽视．
1.5 导数在数列问题中的应用
例1 求数列1,2x,3x2,…,nxn-1的和(其中x≠0，x≠1)．
分析：这道题可以用错位相减法求和，但若用导数方法运算会使问题更加简明．
解 注意到nxn-1是xn的导数，即(xn)′=nxn-1，可先求数列{xn}的前n和．当x≠0，1时，
x+x2+…+xn=x(1-xn)1-x=x-xn+11-x，
然后等式两边同时对x求导，有
1+2x+3x2+…+nxn-1=[1-(n+1)xn](1-x)+x-xn+1(1-x）2
=nxn+1-(n+1)xn+1(1-x)2
例2 已知首项a1与公差d都是正整数的等差数列{an}满足对任意n∈N，都有aan=n+4，（1）求数列{an}的前n项的和sn；（2）求数列(n+10)2sn+5sn的最小项．
分析：这道题第2问可以把数列看成函数，求导得极小值即是所求的项．
解 （1）注意到a1，d∈N+,an=a1+(n-1)d∈N+,
aan=a1+(an-1)d=d2n+(a1-d)(1+d)=n+4对n∈N+恒成立，
d2=1(a1-d)(1+d)=4
则a1=3,d=1， sn=3n+n(n+1)2=12n(n+5)．
（2）设f(n)=(n+10)2sn+5sn=(n+10)3n,
f′(n)=3(n+10)2n-(n+10)3n2=2(n+10)2n2(n-5)，
当1≤n＜5时，f′(n)＜0，当n＞5时，f′(n)＞0，
故f(n)min=f(5)=675．
2 积分在高中数学中的应用
定积分是新课标中新加的内容，《课标》对定积分的定位如下：（1）通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础；（2）通过实例，直观了解微积分基本定理的含义；（3）了解微积分的文化价值．可见，高中课程学习定积分，重在粗浅地领略其主要思想和基本方法，从一些实例中初步认识定积分的工具作用．纵观08、09年新课改地区高考主要在定积分的求法，定积分的简单应用尤其是利用定积分求面积上作文章．
连续曲线y=f(x)， x轴二直线x=a,x=b所围成的曲边梯形的面积
A=∫ba｜f(x)｜dx．
例1．（2008海南、宁夏卷理）由直线x=12，x=2，曲线y=1x及x轴所围图形的面积是（ ）
A．154; B． 174; C． 12ln 2; D． 2ln 2
解：如图1，则此区域的面积
A=∫2121xdx=ln x｜212=ln 2-ln12=2ln 2,故选D．
如果平面区域是区间[a,b]上的两条连续曲线y=f(x)与y=g(x)（相交）及直线x=a,x=b所围成的，它的面积为
A=∫ba｜f(x)-g(x)｜dx．
例2．求由两条曲线 y=x2与y=x围成的平面区域，如图2
解：两条曲线的交点是(0,0)与(1,1)，则此区域的面积
A=∫10(x-x2)dx=
23x32-13x310=13
