函数值域范例6篇

函数值域范文1

关键词： 函数 函数值域 方法

1.观察法

对于一些简单的函数，可在定义域及函数对应关系基础上确定函数的值域，这叫观察法。

由于函数值域是对应于函数定义域的函数值集合，因此首先要考察函数结构。在此基础上，从定义域出发，逐步推断出函数的值域。

例1：求函数y=（x-3）的值域。

解：函数定义域为-1≤x＜1，又≥0，x-3＜0，y≤0，即函数值域y∈（-∞，0］。

2.反函数法

如果函数在定义域内存在反函数，而求函数值域又不易求解时，可在通过求反函数的定义域的过程中而使问题获解，叫反函数求函数值域的方法。

即由y=f（x），反解出求函数x=f（x），原函数值域包含在f（y）的定义域中。然后分析二者的关系以确定函数值域。此法的成功取决于反解成立，分析正确，并注意在反解过程中保持同解性。

例2：求函数y=+，x∈（0，1］的值域。

错解一：y=+≥2，函数值域y∈［2，+∞）。

剖析：当x=（0，+∞］时，结论x=［2，+∞）才是正确的。但当x∈（0，1），这个结论就不可靠了。

错解二：y=+?圳x-2yx+4=0，

x∈R，4y-16≥0，解得y≤-2或y≥2。

函数值域为（-∞，-2］∪［2，+∞）。

剖析：以上求出的结果，只能是x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时函数的值域，解法二同样忽略了0≤x≤1了这一限制条件，而x∈（0，1］的值域用“判别式法”是无法解决的。

正解：（反函数法）y=+?圳x-2yx+4=0，

x∈（0，1］，y≥2，y+≥2（1），方程（1）的根只能是x=y-，由0＜y-≤1，解得y≥，函数值域为［，+∞）。

3.转化法

利用已知值域的函数或所给函数的定义域，作为“媒介”，将待求值域的函数式变形。通过适当的运算，求得所给函数的值域。将所求函数值域问题转化为熟知的基本初等函数的值域问题，常能化难为易。

例3：求函数y=的值域。

解：由函数表达式得：2sinx+ycosx=3-y?圳sin（x+θ）=3-y，其中θ由sinθ和cosθ=确定。

|sin（x+θ）|≤1，（）≥（3-y）?圳y≥，即原函数值域y∈［，+∞）。

4.不等式法

运用不等式的性质，特别是含等量的不等式，分析等号成立的条件，以确定函数值域，叫不等式求函数值域的方法。

例4：已知α∈（0，π），求函数y=sinα+的值域。

错解：α∈（0，π），sinα＞0，＞0，sinα+≥2=2，函数值域为［2，+∞）。

剖析：由于忽略了“当且仅当sinα+时上式才能取等号”，但因|sinα|≤1故sinα≠，因此上式不能取等号，至少应有y≠2。

正解：α∈（0，π），sinα＞0，＞0，sinα+=sinα++≥3≥3。

当且仅当sinα=，即sinα=1时，上式能全取等号。

小结：用“不等式法”求函数值域，主要是利用“几个正数的算术平均值不小于其几何平均值”，但须注意取等号时条件是否能得到满足。

5.最值法

由于初等函数在其定义域内是连续的，所以我们可以通过求函数在定义区间内的最大值，最小值的办法，并求函数的值域。

例5：求函数y=的值域。

解：由函数定义域知，cosx∈［-1，-）∪（-，1］。

（1）当cosx∈［-1，-）时，y=x+=1-（-1），（）=-1，注意到cosx?邛（-），y?邛-∞-∞＜y≤-1。

（2）当cosx∈（-，1］时，（1+2cosx））=-1，（）=，注意到cosx?邛（-），y?邛+∞，≤y＜+∞。

故函数值域为（-∞，-1］∪［，+∞）.

一般二次函数的值域常用此法求解。有些高次整函数也可用此法。

6.判别式

根据一元二次方程ax+by+c=0有实根时，=b-4ac≥0。的性质，求函数值域的方法叫做判别式法。

例6：求函数y=2x-7x+3的值域。

解：2x-7x+3-y=0，且x∈R，=b-4ac=49-8（3-y）≥0，y≥，该函数值域为［，+∞）.

此法可用于行如：y=（A，P不同时为零，分子分母无公因式）的函数的值域。但必须强调：（1）是既约公式；（2）验证端点值是否能取到；（3）整理成行如一元二次方程的形式后，若平方项系数含字母要讨论；（4）若定义域人为受限，则判别式法失效。

7.换元法

通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数求函数值域的方法叫换元法。

例7：已知函数f（x）的值域是［，］，求y=f（x）+的值域。

解：f（x）∈［，］，≤f（x）≤，故≤≤。令t=，则t∈［，］。有f（x）=（1-t），y=g（t）=（1-t）+t=-（t-1）+1，由于g（t）在t∈［，］时单调递增

当t=，y=，当t=，y=，

y=f（x）+的值域是［，］.

8.图像法（数行结合法）

通过分析函数式的结构、定义域、单调性、奇偶性、极值等。确定若干有代表性的点，勾画出函数的大致图形，从而确定函数的值域。

例8：求函数y=|x-1|+x的值域。

解：原函数可以表达成：当x≤-1或x≥1，y=|x-1|+x=（x+2）-；当-1≤x≤1，y=|x-1|+x=-（x+）+。

作出函数图像（见图1）

由图像知函数值域为［-1，+∞）。

9.单调性法

利用函数单调性，先求出函数的单调区间，再求每个区间上函数的值域，最后取其并集即得函数值域。

例9：求y=x-的值域。

解：y=x和y=-均为单调增函数，

y=y+y=x-为增函数，由定义域x≤知y=，故y≤.

10.配方法

如果给定一个复合函数，y=f［g（x）］，若g（x）或f（x）可以视为一元二次多项式，则要用配方法求其函数值域。

例10：求y=x+的值域。

解：y=x+=1-（-1），在定义域x≤内，显然有（-1）≥0，y≤1，函数值域为（-∞，1］。

本文仅从求函数值域的十种常用方法谈起，在不同的文献中可能会有与本文有出入的其它不同的方法，但解法大致相同，如构造法、极限法、解析法、复数换元法、三角代换法、恒等变换法、有理化法等。当然，本论文求函数值域的方法不是一成不变的，应在多次解题过程中综合并灵活应用这几种方法。

参考文献：

［1］董艳梅，吴武琴.求函数值域的常用方法［J］.昆明冶金高等专科学校学报，1999，15，（2）：19-23.

［2］王英.求函数值域的技巧方法探讨［J］.南都学坛（自然科学报），2001，21，（3）：115-117.

［3］侯剑方.求函数值域的几种方法［J］.中学数学，2002，（3）：28-30.

［4］谭廷经.求函数值域的几种初等方法与常见错误剖析［J］.中学数学教学，1995，（3）：28-30.

［5］张秦.求函数值域的方法与技巧［J］.榆林高等专科学校学报，1997，7，（4）：46-49.

［6］林如恺，江杰.求函数值域的几种方法［J］.乐山师范高等师范专科学校学报，1999，（3）：100-103.

［7］王慧贤，张莉.求函数值域的几种方法［J］.白城师范高等师范专科学校，2001，15，（4）：40-42.

［8］纯刚.求函数值域的方法与技巧［J］.安顺师专学报（自然科学报），1996，（4）：53-60.

［9］赵振威.中学数学方法指导［M］.北京：科学出版社，1999：71-75.

函数值域范文2

关键词：函数值域解题技巧解题方法

函数是数学学习中的一个重要内容，它与日常生活有着密切的联系。而值域在函数的应用中具有重要地位，它贯穿于整个高中数学的始终。求函数值域的方法比较灵活，它所涉及的知识面较广，用到的数学思想方法较多，是数学考查的基本内容。研究函数值域，必须仔细观察函数解析式的结构特征，采取相应的解法，灵活机动地“变通”。以下通过几个例子说明常见函数值域的几种常规求法。

一、配方法

点评：单调性在此类问题中的比重较大，也比较灵活，可以和其他函数性质综合来考察，因此此类型需要重点关注

总结上面介绍了求函数值域的几种方法，可以让人更清晰明了地了解各种方法.但是了解方法与掌握方法是不同层次的要求。要掌握一种方法，一定要熟悉这一方法运用的全过程。要掌握求函数值域的方法，就要反复地练习、使用，学会如何避免使用一些方法时可能产生的错误。并且要多动脑，多思考钻研，擅于从解题中总结经验.其次，要熟悉一些关于初等函数值域的结论，因为它是求复杂函数的基础。必要时，可以将较复杂的函数分解、转化为基本初等函数来求值域。总之，求函数值域的方法多样，很多题目解题方法不唯一。关键是要正确选用合适的求值域的方法，根据函数的结构，特点以及类型等选择合适的方法。这就要求我们要灵活变通，才能找到简便巧妙的方法。而且，函数值域跟定义域和对应法则相关，不仅要重视对应法则的作用而且要特别注意定义域的约束作用，以免错解。这样，做到了对求函数值域的各种方法有一定的透切的了解，并且能够清楚每个需要注意的问题之后，我们就会“心中有数”。

参考文献：

[1]求函数值域的方法简介-中国基础教育研究 - 赵建新 2007年1月第1期

函数值域范文3

函数是中学数学的重要内容，函数的值域是函数概念的三要素之一。一般地，求函数值域的问题可以转化为解不等式、求反函数的定义域、求最值、判断函数的单调区间、一元二次方程有实根的判别式0的应用、用新变量代换函数式中的某些量、函数的有界性、画函数的图像等等，在数学思想方法上是融会贯通的。

一.反函数法

利用反函数的定义域求原来函数的值域。互为反函数的两个函数，原函数的定义域是它的反函数的值域，原函数的值域是它的反函数的定义域，因此只要求出反函数的定义域，就求出了原函数的值域，这样求函数的值域的问题便得以解决。

例1.求y=函数的值域.

分析：函数y=的反函数为y=log，且其定义域为.

函数的值域为.

二.不等式法

根据完全平方数、算术平方根为非负数等特点，先由函数的定义域，列出满足条件的不等式或不等式组，而后解不等式或不等式组，判断函数的值域，有的题目也可以直接由函数的自变量取值范围观察确定函数的值域。还有些题目可以直接由均值不等式求出函数的值域。

例2求函数的值域.

解 ：

，

故值域为.

三.用求函数最值的方法求函数的值域

函数的最大值与最小值是中学数学的知识点，最值问题涉及中学数学的各个分支，融会了众多数学思想和解题方法，构成了中学数学中重要的横向知识体系，它对于求一部分函数的值域有很重要的作用。

例3.求函数y=

的值域.

解 y=，

当x=2时，=3；

当x=0时，=.

函数的值域为[].

四.单调性法

函数的单调性是函数的重要性质，利用函数在给定区间的单调性来求值域是常用的方法，只要知道函数在给定的区间的增减性，就可以首先确定函数的最大值或最小值或最大值与最小值，然后确定函数的值域.

例4.求函数的值域，

解 设，

，

易知它是定义域内为增函数，从而，.

在上也为增函数，而且，故函数的值域为.

五.判别式法

把已知函数看做是以x为未知数，以y为参数的方程，进行恒等变形，得到关于x的一元二次方程，再利用一元二次方程有实根的判别式，列出关于的不等式，解不等式求函数的值域.

例5.求函数的值域.

解：整理得

.

当时，，得 ；

当时，x=-.

又当y=1时，x=0；y=时，x=-1，0与-1在定义域内.

值域为.

六.换元求函数值域的方法

以新变量代换函数式中的某些量，使函数转为以新变量为自变量的形式。

在新变量代换某些量的过程中，必须由某些量在函数解析式中的意义，确定新变量的取值范围。写出新变量代换某些量的表达式，然后整理转化为原自变量为函数，新变量为自变量的函数表达式，再代入原函数解析式中，得到原函数与新自变量关系的函数解析式，这样函数将变为新自变量的二次函数，下面通过配方求出函数的最大值或最小值，进而求出值域。

例6.求函数的值域.

解：设，

则 .

于是

，

函数的值域为.

七.有界法.

把待求值域的函数式，通过恒等变形变为值域已知的函数式，再利用变形后的函数式的值域，求出原来函数的值域.

例7.求函数的值域.

解 ，

，又

，.

解得，，因此

函数值域为.

八.图像法

数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，因而数形结合的思想是研究数学的基本思想之一。"数缺形时少直观，形缺数时难入微"。就是说，在解题时要经常思考，有些数量关系可以借助图形，使抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化，找到研究对象的"几何意义"来形象、直观地揭示数量关系，启示解题思路。

画出函数图像，增强直观形象性，从图像上直观的得出函数值域.

例8.求函数的值域.

解：

可以看做是单位圆外的一点到点与圆上的点的所连线段的斜率的2倍，由下图知，，

设过的直线方程为：

，即

，，

整理得，

，

解得，

值域为.

例9.已知函数， 求函数的值域.

解：分子分母同除以，得

令则

当时，.当时，. 所以，

其图像如下图所示：

，函数有最大值

.

，函数有最小值

，故函数值域为

九.导函数法

导函数法求函数的值域就是利用导数和函数的连续性求出各个极值点，再与连续函数端点值进行比较，从而求得最大值和最小值，故求出值域.其中过程中有重要的几点⑴求导，准确无误求得函数的导函数.⑵确定零点，求出导函数的零点.⑶确定函数的单调性，由导函数的符号确定函数在每个区间的单调性.⑷求最值，通过比较极值和端点值的大小，求得最大值和最小值，故求得值域.

例10.已知，且 函数

当时，求函数值域.

若曲线不经过第4象限，求实数的取值范围.

解 当时，

令，则.

由题意得，，

当时，

当时，，单调递增

，

无最大值

函数的值域为

根据题意可知，当

即

在时恒成立.

令，则

当，有，故在上单调递减.

故的值域为，因此满足

函数值域范文4

我们知道，单调性是函数的重要性质，只要了解了一个函数的单调性，就可求出其值域. 同样，了解了一个函数的单调性，即可作出函数的大致图象，由图象法求其值域. 因此，这两种方法均可作为求函数值域的通法. 只是对于单调函数来说，作图已经没有必要，直接由单调性法求值域更为轻松；而对于非单调函数来说，虽然也可由单调性法解决，但图象法往往更为简单. 因此，笔者认为，可将判断函数的单调性作为思维的起点，将作出函数的图象作为思维的终点，而将换元法和导数法作为沟通起点或终点之间的“使者”，以此来构建函数值域问题的思维路线. 具体步骤为：首先判断函数y=f（x）（x∈D）在D（可以是函数的定义域，也可以是定义域的某个子区间）上是否单调，若是，则用函数单调性法求解；若不是，对于基本初等函数或通过换元可转化为基本初等函数的复合函数，用图象法解决，而对于无法通过换元转化为基本初等函数的复合函数，则先用导数判断单调性，然后再由图象法求解. 下面笔者先介绍有关方法，然后举例佐证.

1. 函数单调性法求值域的依据

（1）若函数y=f（x）在区间D=[a，b]（a

（2）若函数y=f（x）在区间D=[a，b]=[a，c]∪[c，b]（a

函数值域范文5

1.含有二次根式的二次型

[分析]观察其中自变量x出现的位置及其指数的情况,可以发现加号前面的有理项中的x的次数是加号后面无理项中的 x 的次数的2倍(前面的 x 是一次的,后面的 x 是二分之一次的),这两项构成了事实上的二次项和一次项的关系,因此可以使用换元法转化成二次函数的值域问题.

说明:使用换元法的时候,无论在什么情况下,都要保证新的变元与换掉的代数结构的取值范围相一致,这围,以防出错.

2.含有指数式的二次型

例2:求函数 y =4 x + 2 x+1 +3的值域.

[分析]根据指数式的运算法则,4 x =(22)x= (2 x)2,2 x+1 = 2 x・2 1 = 2・2 x,因此可考虑把原函数看成是关于 2 x 的二次函数来解决问题.

解: y =(2 x)2 + 2・2 x+3,令2 x=t,则 t >0,且

y = t2 +2 t +3=( t +1)2+2,( t >0).

t >0,y>(0+1)2+2=3.

函数 y = 4 x+2 x+1 +3 的值域为( 3,+∞).

3.含有对数式的二次型

例3:求函数 y =( log 2 x )2+log 2 x2+2 的值域.

[分析]根据对数的运算法则,log 2 x2=2 log 2 x,因此可以把原函数看成是关于 log 2 x 的二次函数.

解:y=( log 2 x )2 +2 log 2 x+2,令log 2 x = t,则 t∈R,且 y = t 2+2 t+2=( t+1 )2+1,( t∈R ).

函数y=(log 2 x)2 + log 2 x2+2 的值域为 [1,+∞).

4.含有特殊三角函数式的二次型

例4:求函数 y = cos2x+4sinx 的值域.

[分析]原函数是由两个不同名也不同角的三角函数相加而成,因此先要根据二倍角公式 cos2 x=1-2sin2 x,将它们化成同角同名的三角函数.这样就可以把原函数看成是关于 sin x 的二次函数了.

解:cos2x=1-2sin2x ,y=1-2sin2x+4sinx.

令sinx= t,则-1≤ t ≤1,

并且 y =-2 t2+4 t+1=-2(t-1)2+3.

-1≤t≤1,

-2(-1-1)2+3≤y≤-2(1-1)2+3,即-5≤y≤3.

函数值域范文6

【关键词】换元法；无理函数；分式无理函数；求值域的应用

换元法是一种变量代换，其实质是用一种变量形式去取代另一种变量形式，从而把一个函数变为简单函数.所换新元的范围由原函数的定义域及所换元的表达式来确定.本文对用代数换元法和三角换元法求三类无理函数的值域作些探讨.

一、形如“y=mx+n±ax+b”的函数

点拨 函数为根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令t=ax+b，将原函数转化为t的二次函数.通过换元将问题转化为求二次函数值域，但是换元后要注意新元的范围.

例1 求函数f（x）=x-3+2x+1的值域.解 函数的定义域为x|x≥-12.设t=2x+1，（t≥0），

则x=t2-12，于是y=t2-12-3+t，当t=0时，

即x=-12，ymin=-72.

当t+∞时，y+∞.

所以，原函数的值域为yy≥-72.

二、形如“y=mx+n±ax2+bx+c（a0）”的函数

点拨 函数根号内外自变量x的次数不同，又a0，函数的定义域为闭区间[x1，x2]，一般采用三角换元法求函数的值域.可令x=x2-x12sinα+x2+x12且α∈-π2，π2，即原函数可化为y=Asin（α+φ）+k型函数，可得出函数的值域.至于a>0且Δ>0及其他类型，可自己分析一下.

例2 求函数f（x）=2x-4-x2的值域.

解 令x=2cosα，（0≤α≤π），

则f（x）=4cosα-4-4cos2α=4cosα-2sinα=25sin（φ-α），

其中sinφ=25，cosφ=25.因为0≤α≤π，所以φ-π≤φ-α≤φ.

所以-1≤sin（φ-α）≤sinφ，而sinφ=25.

所以函数f（x）=2x-4-x2的值域为f（x）∈[-25，4].

三、形如“y=max+b±ncx+d，（ac

点拨 函数的两根号内自变量都是一次或都是二次，且ac

例3 已知函数f（x）=1-x+x+3的值域.

解 因为函数定义域为x∈[-3，1]，故1-x∈[0，2]，

所以可设1-x=2cosθ，x+3=2sinθ，θ∈0，π2.

所以y=2cosθ+2sinθ=22sinθ+π4.因为θ∈0，π2，θ+π4∈π4，3π4.

sinθ+π4∈22，1.所以2≤y≤22.故ymax=22，ymin=2.

函数y=1-x+x+3的值域f（x）∈[2，22].

四、无理分式函数f（x）=p（x）q（x）求值域

点拨 根据函数表达式的结构特征选择适当的方法转化为求一个简单函数的值域.其基本思想方法是通过适当的换元，将其转化为我们熟知的函数后求值域.

例4 求函数y=x3（1+x2）3的值域.

解 x∈R，令x=tanα，α∈-π2，π2，

则y=tan3α（1+tan2α）3=tan3αsec6α=tan3αsec3α=sin3α.

因为α∈-π2，π2，所以-1

总之，采用换元法求函数的值域，其目的有两个，一是化简运算过程，避繁求简；二是转化函数的形式，化生为熟.

【参考文献】