函数思想范文1
函数是一门应用非常广泛的数学工具，因此它也是中学数学中的一个重要内容。其重要性不仅仅体现在自然科学、体现在工程技术上，也逐渐广泛地体现在人文社会科学上：世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同的函数作为它们的数学模型。纵观整个中学教学内容,函数的思想便如一根红线把中学教学的各个分支紧紧地连在了一起,构成有机的知识网络。它几乎贯串于整个中学数学, 无论是不等式，还是数列，无论是三角函数，还是集合，都可以看到它的影子。一些看来与函数风马牛不相及的问题,我们若用函数的思想去思考,往往可以简化解题过程，突破思维死角，进而解决问题.下试举几例，供有意者飨之。
一、函数思想在集合相关问题中的应用
例1：①已知集合，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N= 。
析：此题主要考察集合N中元素为y，即二次函数y=3x2+1的值域为 [1，+∞]，可知答案为{x|x＞1}。
②已知全集为I=R,A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|x2-2ax+a≤0，a∈R}，且 ，求a取值范围。
析：此题主要考察二次函数y=x2-2ax+a≤0解集的情况。
解：当＜0即0＜a＜1时，满足条件。
当=0时，a=0或a=1。
若a=0，则x=0，不满足题意。
若a=1，则x=1，满足题意。
当＞0时，两个解必须在[1，2]内，即有：
综上所述，0＜a≤1
在集合相关问题中，一元二次不等式、一元二次方程的题目随处可见，它们相互转化，许多时候都需求出一元二次不等式解集的情况，难度虽不高，但往往会因考虑问题不全面而失分，应引起重视。
二、函数思想在证明不等式中的应用
例2：设a，b∈R，求证：
析：直接采用不等式变换去证明还是比较不容易的。然而观察题目特点，可以把不等式两边看成函数的两个值，因此可否构造函数，而后应用该函数的单调性求解呢？
令，由易知：f（x）在区间（-1，+∞）上是增函数，
因为0≤|a+b|≤|a|+|b|，所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|）
即
巧妙极了！直接绕开了繁琐的变形与计算，整个解题过程显得非常简洁。不但使学生拓宽了眼界，提高了能力；而且带来了一种心情上的惊奇与精神上的震撼，使他们深深的体会到数学的奇妙，提高了学习数学的兴趣。
例3：[1993年全国高考理（29）] 已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β。证明:如果|α|＜2，|β|＜2，那么2|a|＜4+b
析：作一次函数 α+β
=-a，αβ=b， ，取x1=2（α+
β）-（4+αβ）=-（2-α）（2-β）＜0，x2=2（α+β）+（4+αβ）=（2+α）（2+β）＞0，则有f（x1）=-1，f（x2）=1。由f（x）的单调性知-1=f（x1）＜f（0）＜f（x2）=1，即
又|b|=|α||β|＜4，4+b＞0，2|a|＜4+b。
函数的思想在历年的高考题中，一直是必须考察的重点之一。而考虑到不等式与函数的特殊关系，我们必须对这种题型加以足够的重视。本题通过构造一次函数，巧妙的将不等式问题化为函数问题来解决，整个问题得以轻松解决。
三、函数思想在数列相关问题中的体现与应用
例4：设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12，S12>0，S13
（1）求公差d的取值范围；
（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由。
【分析】题（1）根据题设条件列出关于公差d的不等式组求出d的取值范围；题（2）求等差数列的前n项和的最大值，其求法比较多，总的思路有如下2种：一是通项研究法，即当d＜0时，求出使得an>0且an+1
解不等式组得：－
（2）解法一：由da2>a3>…>a12>a13。因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+10，S13
=13a7－a7>0，a7
解法二：
当－
解法三：由da2>a3>…>a12>a13。因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+1
故S6最大。
【评注】 本题考查等差数列、不等式等知识，利用解不等式及二次函数的图像与性质求Sn的最大值，这是函数思想在数列中的一大表现。
四、函数思想在三角函数相关问题中的应用。
例5：已知函数f（x）=-sin2x+sinx+a，当f（x）=0有实数解时，求a的取值范围。
析：由f（x）=0得-sin2x+sinx+a=0，那么根据该等式如何求a的取值范围呢？当然可以换元，设t=sinx，将问题转化为一元二次方程-t2+t+a=0在[-1，1]上的根的分布问题。但是，总是觉得太麻烦了，经深思后，觉得可以先作如下变形：
分离a得：
如果把a看成是x的函数，问题转化为求函数的值域。
因为sinx∈[-1，1]，所以
函数思想范文2
例1：已知0＜a＜1，x≠x且x、x∈（，∞），试比较+与的大小，并说明你的理由。
分析：若本题用作差的方法来比较大小，则通分后分子、分母的结构都非常复杂，并且分子分母的取值符号不易确定。细心观察式子：、与=2•，显然它们都与函数f（x）=相关，因此问题转化为比较f（x）+f（x）与2f（）的大小，联想函数图像就可解决。
解：设f（x）=，对y=变形得y=•即y-=，令x′=x-，y′=y-，则y′=（反比例函数）（如图），由于y=f（x）在x∈（，∞）上的图像是向下凸的，所以对于x≠x且x、x∈（，∞），函数图像上两点A（x，f（x））、B（x，f（x））连结弦AB的中点M（，），若过M作x轴的垂线交曲线弧于点N（，f（）），则N总在M的下方，所以＞f（），即f（x）+f（x）＞2•f（），当0＜a＜1，x≠x且x、x∈（，∞）时必有+＞。
例2：已知椭圆C：+=1，P（a，0）是X轴上的动点，求点P到椭圆C上动点Q的最近距离g（a），并就g（a）=4时求a的值。
分析：动点P（a，0）到椭圆C：+=1上的动点Q（x，y）的距离是关于x、y的二元函数，欲求二元函数的最值，须将多元函数一元化，因此可以用椭圆的参数方程解之。
解：设Q（5cosθ，3sinθ）是椭圆C：+=1上的动点，则 |PQ|=（5cosθ-a）+（3sinθ）=16cosθ-10acosθ+（a+9）。若令t=cosθ，f（t）=16t-10at+（a+9），t∈［-1，1］，则问题转化为求二次型函数f（t）=16t-10at+（a+9），t∈［-1，1］的最小值。数形结合易得：当a＜-1，即a＜-时，y=f（-1）=（a+5）；当-1≤a≤1时，即-≤a≤时，y=f（a）=（16-a）；当a＞1，即a＞时，y=f（1）=（a-5）。
注意到|PQ|=，得g（a）=|a+5|（a＜-）（-≤a≤）|a-5|（a＞），即为所求。
若g（a）=4，则易得a=±9。
例3：已知实系数一元二次方程ax+bx+c=0，若ax+bx+c+t（x-k）=0对于一切实数t都有实数根，试求实数k与方程ax+bx+c=0的根的关系。
解：联想到函数f（x）=ax+bx+c，由条件f（x）+t（x-k）=0对于一切实数t都有实数根，当然对t=0该方程也有实数根，即方程ax+bx+c=0有实数根x≤x。而ax+bx+c+t（x-k）=0，即ax+bx+c=-t（x-k），由条件f（x）+t（x-k）=0对于一切实数t都有实数根，即两曲线y=ax+bx+c与y=-t（x-k）对于t为任何实数都有交点。数形结合（如图）便知x≤k≤x为所求。
另解：对于一切实数t，方程ax+bx+c+t（x-k）=0都有实数根，=（b+t）-4a（c-kt）≥0对于一切t∈R都成立，从而得到t+（2b+4ak）t+（b-4ac）≥0的解是R，=（2b+4ak）-4（b-4ac）≤0，即a（ak+bk+c）≤0。
例4：当a为何值时不等式log（x-2x+a）+3＞0存在正数解？
解：log（x-2x+a）+3＞0?圳0＜x-2x+a＜8?圳-x+2x＜a＜-x+2x+8，联想到函数f（x）=-x+2x、φ（x）=-x+2x+8、ψ（x）=a，则原题题意即：存在x＞0，使f（x）＜ψ（x）＜φ（x），数形结合便得a∈（-∞，9）。
的方程；（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a＜b＜f（a）。
解（1）：f′（x）=3x-1，曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线的方程为y-（t-t）=（3t-1）（x-t），即y=（3t-1）x-2t为所求。
证明（2）：过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，存在实数a、b使关于t的方程2t-3at+（a+b）=0有三个不相等的实数根。
令g（t）=2t-3at+（a+b），则g′（t）=6t（t-a）（注意到条件a＞0）。
当t∈（-∞，0）或t∈（a，+∞）时g′（t）＞0，当t∈（0，a）时g′（t）＜0，
函数g（t）在t∈（-∞，0）是增函数，在t∈（0，a）是减函数，在t∈（a，+∞）上是增函数，函数g（t）在t=0处取得极大值g（0）=（a+b），在t=a处取得极小值g（a）=b-（a-a）=b-f（a）。
2t-3at+（a+b）=0有三个不相等的实数根，
必须极大值（a+b）＞0且极小值b-f（a）＜0，即-a＜b＜f（a）。
例题6：（2008理科卷Ⅱ22题）设函数f（x）=，（1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果对于任何x≥0，都有f（x）≤ax，求实数a的取值范围。
解（1）：f′（x）==，显然f′（x）=0，得cos=-，即x=2kπ+，k∈Z或x=2kπ+，k∈Z，
当f′（x）＜0时，x∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，
当f′（x）＞0时，x∈（2kπ-，2kπ+），k∈Z，
函数f（x）的单调递减区间是x∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，
函数f（x）的单调递增区间是x∈（2kπ-，2kπ+），k∈Z。
解（2）：若令g（x）=ax-f（x）=ax-，则g′（x）=a-=a-=-+a=3（-）+a-。
显然当a≥时g′（x）≥0，即g（x）在x∈［0，+∞）是增函数，得g（x）≥g（0）=0，
所以当a∈[，+∞)时对于一切x≥0都有f（x）≤ax。
当0＜a＜时，令φ（x）=sinx-3ax，则φ′（x）=cosx-3a。当x∈［0，arccos3a）时得φ′（x）＞0，因此φ（x）在x∈［0，arccos3a）上单调递增，有φ（x）＞φ（0）=0，这时ax＜，而当x∈［0，arccos3a）时f（x）=＞＞ax，不合题设。
当a＜0时存在x=使f（）=＞•a，即a＜0时存在x=使f（x）＞ax不合题设。
综上所述，a∈[，+∞)即为所求。
例题7：（2008全国卷Ⅰ理科19题）已知函数f（x）=x+ax+x+1，a∈R，（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）设函数f（x）在区间（-，-）内是减函数，求a的取值范围。
解（1）：f′（x）=3x+2ax+1，令=4a-12=4（a+）（a-），
显然，当-≤a≤时≤0，此时f′（x）≥0对于一切实数x成立，
当a∈［-，］时f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数。
当a∈（-∞，-）∪（，+∞）时＞0，这时f′（x）=0有两个不等实数根：
x=--，x=-+，
因此，f′（x）＞0得x∈（-∞，-），x∈（-，+∞）时f（x）单调递增，
f′（x）＜0得x∈（-，-）时f（x）单调递减。
解（2）：若函数f（x）在区间（-，-）内是减函数，
则（-，-）?哿（-，-），
-≥-，并且-≤-，
即2-a≤，并且≥a-1，解之得a∈［2，+∞）。
函数思想范文3
关键词：函数与方程思想，中学数学，应用
一、前言
在中学数学的学习过程中，函数与方程思想是其中的重要组成部分，而且是非常复杂难学的部分。但是，对函数与方程思想的学习对学生在实际学习中是非常重要的，它不仅有助于培养和提离学生分析问题的能力，还能提高学生的综合能力和想象力。
二、函数与方程思想的概述
1.函数思想
把某个变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；
2.应用函数思想解题
确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：
2.1根据题意建立变量之间的函数关系式。把问题转化为相应的函数问题；
2.2根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；
2.3方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求。确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们。这就是方程思想。
3.函数思想
所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。
函数思想的运用指的是运用建立变量之间的联系的方法来思考问题和解决问题。函数思想是数学从常量数学转到变量数学的枢纽，它能使数学有效地揭示事物运动变化的规律，反映事物之间的联系。它具有凝聚数学概念和命题、原则和方法的能力，使教学内容达到更高层次的和谐与统一，是高中数学教学的主线、重点和难点，也是高考中的热点问题。
三、函数与方程思想在中学数学中应用
1.函数思想在方程、不等式知识当中的应用
事实上，代数式可以看作带有变量的函数表达式。求代数式的值就是求特定的函数值；方程实际上就是求已知函数满足一定条件的变数值，使在该变数值上已知函数有某个预先指定的值，特别是函数值为零时的自变量的值：不等式可以视为求函数的误差估计；如此―来，就把方程和不等式都统一到函数的范畴中，体现了数学的统一性。一元二次方程，一元二次不等式均可看作是研究二次函数和二次三项式的特殊情况。下面的例题更加说明了函数知识在解算式、不等式以及方程时的重要作用。
解析： 这是一道通过构造函数来求算式的值的问题，如何通过对题中所给的式子的形式的研究，巧妙地构造函数，从而使看似复杂的问题得到解决，是本题的关键。
不等式问题是中学数学中的一个难点，有些不等式采用常规的方法难以解决，若能够根据不等式的结构特征，唤起联想，巧妙地构造函数，将不等式问题转化成为函数的问题，借助函数的有关性质，常能使问题获得简捷明了的解决。
2.函数思想在数列知识当中的应用
数列的通项公式和前项和公式都可以看成 n的函数，也可以看成方程或方程组，比如等差数列的通项公式，可以看一次函数，而其求和公式可看成是二次函数，因此，许多数列问题可以用函数与方程的思想进行分析，加以解决。
3.函数思想在三角知识当中的应用
三角函数是高中教学的重要内容，是解决数学问题的重要工具，是联系代数与几何的纽带和桥梁，且与高等数学密切相关。三角函数是函数部分的延伸和深化，它既有一般函数的特征（定义域、值域、对应关系、奇偶性、单调性等），同时又兼顾自身的鲜明的特点（如周期性等），尤其在处理三角问题时“变”的因素始终贯穿前后。用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系是它的一大特色。变中求胜是解决三角问题的一条原则。
4.函数思想在解析几何中的应用
从广义的角度看，曲线可以看作是由点组成的集合：一个二元方程的解可以做点的坐标，因此二次方程的解集也描述了一个点集。方程与曲线之间的对应关系的确立，进一步把“曲线”与“方程”之间的数行关系辩证的统一起来，从而为我们用坐标法去研究几何图形问题奠定了重要的理论基础。
在解析几何中常遇到动态型的问题。在变化过程中，存在两个变量，我们常常把某一个看做自变量，另一个看做自变量的函数，通过明确函数的解析式，利用函数思想来研究和处理问题。
解析： 解析几何的选择题和填空题可优先选用数形结合的方法来解，但也不是万能的方法。用数形结合法解本题时，画出图像后会发现，当a0时，圆与抛物线的关系由于画的是草图，则不易直观判断，还是应代数的方法来解决。本题解法所体现的函数（方程）思想是从设动点坐标，列方程和不等式开始的。通过消参得到不等式，对这个不等式解集范围的研究转化为二次函数对称轴的位置，最后求得a的取值范围。
5.运用函数、方程思想解决相关的应用问题
函数与方程思想作为中学数学中的一种重要的数学思想，是高考所要考察的热点之一。从近几年高考应用题来看，对于此类问题，一般从以下几方面考虑：
5.1阅读理解材料，这一步要达到的目标是：读懂题目所叙述的实际问题 的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时定义，理顺题目中的量与量的位置关系、数量关系，对照平时掌握的数学模型，把实际问题抽象为数学问题。
5.2建立函数关系：根据5.1的分析，把实际问题“用字母、运算符号、关系符号”表达出来，建立起函数或方程关系。
5.3讨论变量的性质：根据5.2所建立的函数关系，即函数模型，结合题目要求，讨论模型的有关性质，获得目标明确、有针对性的理论参数值。
5.4作出问题的结论：根据35.所获得的理论参数值，结合题目要求作出合乎题意的相应的结论。
四、结语
在中学数学中，函数与方程是其中的核心知识，函数和方程概念是中学数学中的一个非常重要的部分，对数学的学习有着非常重要的作用。因此，在数学的教学中，要强调函数和方程思想的重要性，提高学生的综合能力，从而达到素质教育的根本要求。
参考文献
[1]陈婷，刘玉胜，李曼生 函数与方程思想在中学数学中的运用[J] 《数学教学研究》 -2011年12期-
[2]胡慧芳 谈新课标下函数思想在中学数学中的应用[J] 《成才之路》 -2011年9期-
函数思想范文4
一、 方程思想
通过列方程（组）求解数学问题的一种解题策略，我们称之为方程思想. 在本章中许多问题都可以通过列、解方程（组）解决，其中方程思想体现最多的是利用待定系数法求二次函数解析式.
例1 已知二次函数的图象顶点是（1，-4），且经过点（3，0），求这个二次函数的解析式.
【分析】为了拓宽同学们的视野，我们分别采用一般式、顶点式及交点式三种方法求二次函数解析式.
【解法1】设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，根据题意，a+b+c=-4，9a+3b+c=0，-■=1.
解得a=1，b=-2，c=-3.
所以二次函数解析式为：y=x2-2x-3.
【解法2】因为抛物线的顶点为（1，-4），所以设二次函数的解析式为：y=a（x-1）2-4，把（3，0）代入上式，得a（3-1）2-4=0，解得a=1，则二次函数解析式为：y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3.
【解法3】因为抛物线的顶点为（1，-4），且经过点（3，0），可知抛物线经过点（-1，0），所以设二次函数的解析式为：y=a（x-3）·（x+1），把（1，-4）代入解析式，解得a=1，则二次函数解析式为：y=（x-3）（x+1），即y=x2-2x-3.
【点评】方程思想体现了已知与未知的对立统一关系，解法1是设一般式求解，即利用顶点坐标公式和点的坐标满足解析式来列方程组；解法2是利用顶点式求解；解法3利用抛物线与x轴的两个交点，得到交点式解析式，然后把点（1，-4）代入所设的解析式，从而得解. 显然解法2是本题的最佳解法.
二、 数形结合思想
“数无形时少直观，形少数时难入微 ”，数形结合思想就是充分利用数量关系和图形的结合，寻求解题思路，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，从而达到以形助数、以数解形的效果.
例2 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图1所示，有下列5个结论：①abc>0；②a-b+c>0；③4a+2b+c
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
【分析】观察抛物线的位置走向、关键点的位置坐标以及解析式中各系数与图象的对应关系，从而作出判断.
解：观察图象可知，抛物线开口向下，得a0，因为抛物线与y轴的交点在y轴的上方，可得c>0，则abc
【点评】二次函数的图象与二次函数中的字母系数有着密切关系，利用二次函数的图象信息，将数与形有效地结合与转化，根据图象信息转化为方程或不等式再求解，从而较好地实现以形助数、以数解形的效果，这也是近几年中考的热点.
三、 函数模型思想
函数模型思想意在把错综复杂的实际问题简化、抽象为数量间关系，即用数学语言描述实际现象. 生活中的许多问题，如最大利润、最小成本、方案最优化等，常常需要建立函数模型解决.
例3 某宾馆客房部有60个房间供游客居住.当每个房间的收费定为每天200元时，房间可以住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.对游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x元，求：
（1） 房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数解析式；
（2） 该宾馆每天的利润W（元）关于x（元）的函数解析式；当每个房间的定价为每天多少元时，W取得最大值.
【分析】每天的入住量=总房间数-每天的定价增加量÷10，每天的房间收费=每间定价×每天入住量，每天的利润=每天的房间收费-各种费用总和.
解：（1） y=60-■x；
（2） W=（200+x）60-■-20×60-■，即W=-■x2+42x+10 800=-■（x-210）2+15 210. 当x=210时，W有最大值15 210，此时，x+200=410，即当每个房间的定价为每天410元时，W有最大值是15 210元.
【点评】二次函数是能够刻画现实生活中某些情境的数学模型. 一般先根据题意把实际问题中的条件转为数学条件，再确定函数解析式，利用函数解析式去解决实际问题. 求解过程中关键要求出自变量的取值范围，再运用二次函数的性质求解.
四、 转化思想
转化思想是将未知问题或难以解决的问题，通过观察、分析、类比等途径，转化为我们已解决或易于解决的问题.简单地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，通过转化，使复杂问题变得简单.
例4 利用函数图象判断方程2x2-x-1=0有没有实数解，若有，求出它的解（精确到十分位）.
【分析】求一元二次方程的近似解可以转化为用函数图象解方程，这里介绍两种方法：一是看函数y=2x2-x-1与x轴交点的横坐标；二是看二次函数与一次函数图象交点的横坐标，如看函数y=2x2与y=x+1的图象的交点的横坐标.
【解法1】设y=2x2-x-1，则方程2x2-x-1=0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标. 同学们不妨在平面直角坐标中画出函数y=2x2-x-1的图象，设其与x轴交点为A、B，则点A、B的横坐标x1、x2就是方程的解.由图象可知x1≈-0.5，x2≈1.0.
【解法2】在平面直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=x+1的图象，得到两函数图象的两个交点A、B，且A、B两点的横坐标x1、x2就是方程的解.由图象可知x1≈-0.5，x2≈1.0.
【点评】转化思想就是换一种方式去思考，使问题朝着有利于解决的方向去发展.本例把求一元二次方程的近似解转化为利用函数图象解方程，从而达到化抽象为具体、化复杂为简单的效果. 转化思想在本章中有很多的应用，如通过平移二次函数图象把复杂的二次函数转化为简单的二次函数，如通过观察二次函数的图象巧妙地求解一元二次不等式问题以及一元二次方程的有无实数解问题，如把实际问题中的求最值问题转化为二次函数的求最值问题等等.学好用好转化思想，有如顺水推舟，能大幅提升解题能力.
五、 分类思想
当问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别求解，这种方法称之为分类讨论思想. 分类必须遵循以下两条原则：（1） 每一次分类要按照同一种标准进行；（2） 不重复，不遗漏.
例5 如图2所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方），若OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4），求S关于t的函数关系式.
【分析】当0≤t≤4时，随着直线l的平移，点N在线段OC上，点M可能在线段OA上，也有可能在线段AB上，因此计算OMN的面积时要进行分类讨论.
解：当0≤t≤2时，点M在线段OA上，ON=t，MN=■t，S=■ON·MN=■t2；
当2≤t≤4时，点M在线段AB上，ON=t，MN=2■，S=■ON·MN=■t.
例6 若函数y=（a-1）x2-2ax+a与x轴总有交点，求a的取值范围.
【分析】由于题设中未说明函数的次数，也未说明图象与x轴的交点个数，因此题设中的函数可能是二次函数也可能是一次函数.
函数思想范文5
关键词：函数模型法；微分思想；数学模型
中图分类号：G632.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）33-0077-02
构造函数模型是一种富有创造性的方法，它很好地体现了数学中发散、类比、化归的思想，也渗透着猜想、试验、探索、概括、特殊化的思想。在近年高考中有不少精彩的题目，而且有些是压轴题中经常考查的，是高考考查的重要思想方法之一。而导数方法与构造函数模型思想一旦结合起来，问题的设计便更加广阔，解决问题的方法就更为简便。本文期望利用构造函数模型的思想，以导数为工具探讨中学数学解题的方法技巧，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
一、导数工具有助于学生把握函数性质
在高中阶段，学生主要通过学习函数的定义域、值域等性质，来理解函数.函数的这些性质都可通过图像表示，因而，通过函数的图像，函数的性态也容易掌握了。但是，对于非初等函数，不易作出图像，学生就可以利用函数的导数判定单调区间、极值点、最值点，再结合描点法，就能大概作出函数的图像.在直观上提高学生对函数性质的掌握。
二、微分方法与函数模型法相结合的作用
通过数学模型建立函数关系，然后用导数作为工具，可以解决数学上用初等数学方法不能解决的许多问题，充分发挥微分思想在中学数学解题中的作用，从而提高解决问题的能力.以导数作为工具，结合函数模型法思想，在不等式的证明、数列的求和问题，以及实际问题等方面有非常重要的作用。
1.利用结合思想可以证明不等式。在新课程的高考中，与不等式的证明等相关的问题，包含的信息量较大.利用微分思想来证明，可以先构造一个辅助函数，使函数和不等式建立联系.然后对函数求导，得到单调性，使所解决问题转化为比较函数值大小的问题。
例1.证明：若x>0，则有ln（1+x）>x-■x2.
证明：构造函数f（x）=ln（1+x）-（x-■x2），可求得其定义域为（-1，+∞），可以计算得f'（x）≥0，即f（x）在（-1，+∞）上是单调递增。所以当x>0时，f（x）>f（0）=0，故不等式成立。
2.利用结合思想可以求实常量的取值范围。求实常量的取值范围是数学中的一个重要内容，求实常量取值范围的很多问题依靠常规的方法很难处理，利用结合思想，处理起来非常方便，下面通过例子来具体说明。
例2.若对？坌x∈R，不等式x4-4x3>2-m恒成立，求出实数m的取值范围。
分析：将含参数的不等式问题转化为函数问题，利用导数求得函数最小值，方可确定出参数的范围。
解：构造辅助函数f（x）=x4-4x3，再设f'（x）=0，可求得x=0或x=3.
当x
注：构造多项式函数是解决本题的关键。
3.利用结合思想可以解决数列问题。通过数学模型建立函数关系，然后用导数作为工具，可以解决学生难以掌握的、有时技巧性很高或者计算十分烦琐的数列的和的问题。
例3.求和：S■=C■■+2C■■+3C■■+…nC■■（n∈N*）.
解：因（1+x）n=C■■+C■■x+C■■x2+…+C■■xn，则该式两边都是关于x的函数，两边都对x求导得：n（1+x）n-1=C■■+2C■■x+3C■■x2+…+nC■■xn-1，令x=1，即得Sn=n・2n-1
4.利用结合思想可以研究方程根的情况。通过数学模型建立函数关系，然后用微分思想可以很容易确定方程根的问题，具体方法为：观察函数的图形变化，得出函数的图像与x轴的交点个数，最后得出所求范围内方程解的个数。
例5.若a>3，则方程x3-ax2+1=0在[0，2]上有多少个根？
解：设f（x）=x3-ax2+1，求导可得：当a>0，x∈（0，2）时，f（x）在（0，2）上单调递减，且f（0）・f（2）
5.利用结合思想近似计算。由导数的定义知，当Δx充分小时，f（x0+Δx）≈f（x0）+f'（x0）・Δx.
例6.不查表，求sin46°的值。
解：令y=sinx，取x0=45°，x=45°+1°，代入上式即可得结论。
6.利用结合思想是学好理科其他课程的前提。微分学发展初始，就与物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等学科密不可分。只要涉及到变化问题，就可以利用导数讨论该过程的变化情况。所以，无论物理还是化学问题都可以通过微积分的思想来解决了。
7.利用结合思想解决立体几何中的问题。
例7.设A，B是球面上的两点，弧AmB是过A、B两点的大圆的劣弧，弧AnB是过A、B两点的任意小圆的弧。设小圆的半径为r，圆心为o'；大圆的半径为R，圆心为o，大圆面与小圆面交于A、B。求证：弧AmB
证明：记∠AOB=α，∠AO'B=β，则有AB=2Rsin■及AB=2rsin■.
因为R>r，由题意sin■
现在只要证明Rα
故只需证明■
为此构造函数f（x）=■，x∈（0，π）.
因为f'（x）
8.建立微分模型是解决实际问题的关键。“学以致用”，只有懂得数学如何去应用，才是提高学生对数学感兴趣的关键。万事万物都在变化，大多数实际问题都可通过建立微分模型来解决。具体为：翻译实际问题，建立微分模型，通过求导运算，得到问题的解决。新课程实行以来，逐渐加大了对实际问题的考查力度，比如优化问题、路线问题等，通过建立微分模型来解决非常方便。
例8.用PVC材料制作一个立方体容器，其长为12m，要求容器的底面长、宽差1m，当高为多少时，容积最大？并求出Vmax.
解：设容器长为xm，则宽为（x+1）m，高为（2-2x）m.
设容器的容积为Vm3，则有V=-2x3+2x2，（0
因此，当x=■时，Vmax=■，这时高为■，故高为■m时容器的容积最大，最大容积为■m3.
参考文献：
[1]北京师范大学数力系.数学分析（上册）[M].第三版.北京：高等教育出版社，1998.
函数思想范文6
关键词：高中数学;化归思想;运用路径
针对现阶段高中教学情况，发现学习的内容并不局限于理论知识，更多的是关注我们自身能力的提升，以此提高我们思维的缜密性。化归思想可以帮助我们及时的将复杂的难题变得简单化，这样更加贴切我们的思考方式，让我们的解题难度又能降低。函数本身就是我们学习中的难点，如何合理的运用化归思想成为一个非常关键的问题。
1化归思想的基本概述
当我们面对任何问题的时候，都希望寻找合理的解决对策及时处理。在高中数学中，学习函数对于我们来说困难重重，为了更好的使我们掌握简便的解题技巧，老师们也开始积极的探索多种解题思路。化归思想就是结合着具体的题干，将函数复杂的内容简单化，这样我们便可以利用自有的知识量，选择合适的方式解决。在实际的解题过程中，我们一般认为化归思想也是一种有难度的解题方法，但是如果是缺少实际的解题思路，我们还是可以利用这样的方式。
2高中数学函数学习中化归思想的运用路径
函数的概念与很多题型的概念联系密切，通过简单内容的凸显，能够揭示出更多繁琐的内容。化归思想主要是适当的将题型内在的联系转化，然后让复杂的问题变得简单，解题的难度也可适当的降低。高中函数中存有的诸多题目都可以利用图像展示出来，这样在数形结合的基础上，保证利用化归思想的效果发挥出来，通过数字表达转变为图像展示，可以更加清晰的表达变量之间存有的关系。在实际解题的过程中，我们更习惯利用数字之间的联系运算，但是内在的联系还是无法了解到，通过图像的展示作用，我们可以明确数字的内在联系，以保证解题思路更加准确。
2.1将未知问题转变为已知问题
在解答数学题的时候，我们可以清楚地明白涉及到的知识点，但是实际运用的时候，却发现条件不足。函数本身的变量不足，若是出现了未知条件，我们将无法更好的解决函数问题。伴随着化归思想的应用，我们可以根据题干内容，把未知的问题转变为已知的问题，从而依照具体的解题思路，对相关问题逐一解答，这样便可以提升我们的解题能力，使得解题的步骤更具条理化。例如，我们在解答三角函数的相关问题时，可以把这类问题转变为常见的简单函数问题，例如二次函数等，由此可以使我们更好的通过变量构图，寻找出函数的特征，这样就能降低函数解题的难度。
2.2合理运用反向思维
在我们学习函数问题的时候，最常遇见的就是通过自己的计算得出问题的答案，但是还是不能按照详细的步骤完成对问题的解答，很多解答题型重视详细的解题思路，若是没有细致的解题过程，将会对得分产生限制。面对这样的问题，可以利用化归思想解决，通过将题干的答案视为已知条件，能够帮助我们树立正确的反向思维，然后及时的将正面问题反面化，我们就能实现反向的运算。例如在解答f（x）=4x2—ax+1这个题型的时候，需要只有一个区间（0，1），由此求出a的范围。明确一般的解题思路，学生们一般都是会利用变量的设定，合理的分析区间问题，这样的过程通过反面的角度分析，可以把区间视为已知，依照区间对变量及时的设定。通过这样的过程，使得我们更容易接受，也符合我们的逻辑思维，避免出现一些逻辑上的误区。在很多较为复杂的数学问题中，逻辑误区较多的时候，我们也会被误区所引导，由此会降低我们本身的解题能力。
2.3将函数图像化
在学习函数知识的时候，多数题目都需要利用图形来形象化的解决，我们也习惯利用表达式对函数的属性加以了解，从而更好的做出草图。通过正确的运用草图，我们便能通过对变量的合理设定完成作图，保证让相对复杂的函数图像更加形象。化归思想可以让我们在解题的时候，适当的将图形和方程相互结合到一起，保证更好的理解题目的内涵，在实际解题的时候，依照图像搭配相关的条件正确分析，由此降低原本的解题难度。
3结语
现阶段的高中数学学习中，一味的听从老师讲课，我们的解题能力将不会提升，还是需要我们树立正确的解题思维。函数对于我们来说一直是一个难点问题，为了更好的解决相关的难题，降低相应的难度，需要采取合理的解题方式。化归思想可以更好的引导我们的思维，将复杂的问题简单化，这样便能拓宽我们的解题思路，为我们更好的了解函数解答过程提供有利条件。
参考文献：
［1］史林可.化归思想在高中数学函数学习中的运用［J］.科技风，2017（03）：205.
［2］常佳.化归思想在高中数学函数学习中的运用［J］.科学大众（科学教育），2017（01）：20.
［3］马学静.高中函数学习中化归思想的应用［J］.华夏教师，2016（03）：44.
