二次函数范文1
一、从定义的角度认识二次函数
二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0），其中a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。从定义中我们可以看出二次函数的右边应该是关于x的二次整式，a为不等于0的实数，b、c可以等于任意实数。在关于二次函数定义的考题中学生的易错点是：把点的坐标带入表达式时漏带一个x的值，如把点（2，3）带入二次函数表达式时，学生会错写成3=a・22+bx+c，原因是只把其中的一个x替换成了2，这是数学成绩中下的学生刚开始接触到二次函数时常犯的错误。这部分学生可能是由于思维定式所造成的，因为前面所学习的一次函数和反比例函数表达式中只有一项含有x。我们教师教学时应加强函数定义的教学，让学生找清楚二次函数中的自变量，强调点的横坐标和自变量x是一一对应的关系。
二、从解析式的角度分析二次函数
二次函数的解析式分为三种：一般式y=ax2+bx+c（a≠0）；交点式y=a（x-x1）（x-x2）；顶点式y=（a-h）2+k》在求二次函数的解析式时，我们应该和同学们一起总结如何选择解析式的设法才会对我们的解题起到事半功倍的效果。
当题设中已知三个点的坐标时，我们可以把表达式设为一般式，构造出一个关于a、b、c的三元一次方程组，然后解出待定系数a、b、c即可。在求解这个三元一次方程组时，很多同学看到三个未知数就会产生惧怕的心理，这时我们老师应该及时帮助孩子消除恐惧，让学生利用消元思想把三元转化成二元，从而把陌生转化成熟悉。
当题设中已知顶点和一个普通点的坐标时，我们可以把表达式设为顶点式。这时我们应该让学生理解顶点式y=（a-h）2+k中h和k的含义，知道h是顶点的横坐标，k是顶点的纵坐标，并注意括号中的符号是减号。
当题设中已知与x轴的两个交点坐标时我们可以把表达式设成交点式，在这个表达式中x1、x2分别是图像与x轴交点的横坐标。学生在用这种方式求函数的解析式时，很容易把普通点的横坐标当做x1、x2。帮孩子走出这个误区时，我采用的是这样一种方法：先举一个利用分解因式解一元二次方程的题目，如（x-2）（x-3）=0，它的解为x1=2，x2=3。试想一下还有哪些方程的根为2和3呢？同学们思考一下会发现方程a（x-2）（x-3）=0的根也是2和3。再利用函数与方程的关系，联系函数y=a（x-2）（x-3）的图像可以发现x=2、x=3其实是二次函数与x轴交点的横坐标，从而学生就可以理解交点式、解析式的真正含义了。
三、从图像的角度去剖析二次函数的本质
在认识一个函数的时候，除了要理解函数的定义和解析式，函数的图像也是研究的重点内容之一，函数的一些特性在图像中可以很清楚地被发现、理解和应用。
首先，我们要让学生知道二次函数y=ax2+bx+c的图像是对称轴平行于y轴（包括重合）的一条抛物线。
其次，要认识抛物线的三要素：开口方向、对称轴和顶点。
再次，要理解抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用：
1.决定开口方向及开口大小。
2.b和a共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=- ，故：
（1）b=0对称轴为y轴。
（2） >0 （即a、b同号）对称轴在y轴左侧。
（3）
3.c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置。
因为当x=0时y=c，所以抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点（0，c），从而有：
（1）c=0抛物线经过原点。
（2）c>0抛物线与y轴交于正半轴。
（3）c
以上三点中，当结论和条件互换时，仍然成立。如：当抛物线的对称轴在y轴右侧，则
最后我们应该利用图像让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系：二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程y=ax2+bx+c的两个实数根。从而还发现抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
1.有两个交点>0抛物线与x轴相交。
2.有一个交点（顶点在x轴上）=0抛物线与x轴相切。
3.没有交点
二次函数范文2
关键词:一次函数;二次函数;建模
中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)02-0139-01
一次函数、二次函数是两种常见的描述客观世界的基本数学模型,根据实际应用问题提供的两人变量的数量关系是否确定可把要构建的函数模型分为两类:一类是确定的函数模型,即两个变量的关系是确定的;另一类就是近似函数模型,这类应用题提供的变量关系是不确定的,只是给出了两个变量的几组对应值(是搜集或实验得到的),这时需结合已知数据作出散点图选择合适的函数模型来解答;
作为解答应用题其一般步骤为:①审题――认真读题,确切理解题意,明确问题的实际背景,寻找各量之间的内存联系;②建模――通过抽象概括,将实际问题转化为相应的数学问题,别忘了注上符合实际意义的定义域;③解模――求解所得的数学问题;④回归――将所解得的数学结果,回归到实际问题中去。下面通过例题具体说明一次函数和二次函数在这方面的应用。
例1、某市一家报摊从报社买进《晚报》的价格是每价0.12元,卖出的价格是每价0.20元,卖不掉的以每价0.04元退回报社,在一个月(30天)里,有20天每天可售400份,其余10天仅售250份。但每天从报社买进的份数必须相同,他应每天从报社购多少份,才能使每月所获利润最大?最大利润是多少?
思维展示:通过审题明确通过利润等于“售报收入”减去“退报亏损”构造函数模型,在这里明确自变量的取值范围即函数的定义域是解题的关键,一般情况下函数的定义域是由已知条件和实际意义二者结合决定的,在解答实际应用题忽视函数的定义域是常见的思维误区。
解析:设每天从报社购进x份(250≤x≤400),则每月售出(20x+250×100)份,退回10×(x-250)份。故据题意可知此人每月获利f(x)=0.08×(20x+250×100)-(0.12-0.04)×10×(x-250)=0.8x+400(250≤x≤400),因为函数y=f(x)在区间[250,400]上是增函数,所以当x=400时,f(x)max=720元。
答:应每天从报社购400份,才能使每月获利润最大。最大利润是720元。
例2、一地区95年年底沙漠面积为95万公顷,为了了解此地区沙漠面积的变化情况,进行了连续5年的观测,并将每年年底的观测结果记录于如下表中:
试根据上述信息进行预测:
(1)如果不采取任何措施,那么到2010年底,该地区的沙漠面积大约变为多少万公顷?
(2)如果从2000年底开始,采取植树造林等措施,每年改造0.6万公顷沙漠,那么到哪一年底该地区沙漠的面积能减少到90万公顷?
思维展示:本题需根据函数图象或对已知数据特点的分析,找出模拟函数的类型,再利用已知条件去求解和验证,解答此类问题的一般步骤是:提出问题――收集数据――描述数据――分析数据――建立模拟函数――求出函数――检验――解释问题、预测变化趋势等。
解析:(1)记1996―2000年分别为第1,2,3,4,5年,则由表可得沙漠面积年增加数y与年份之间的近似关系如图所示:
观察得y与年份的函数关系的图像近似为一直线,故设y=kx+b,则由0.2=k+b0.4=2k+b解得k=0.2b=0,故y=0.2x,因原有沙漠面积为95万公顷,则到2010年底沙漠面积将大约为万公顷。
(2)设从2000年底算起,第年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷,由题意可得:95+0.2(5+x)-0.6x=90解得x=15即到2015年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷。
例3、为降低人员成本,提高经济效益,有一家公司准备裁减人员,已知这家公司现有职工m(m>9)人,每人每年可创利n万元,据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年可创利0.2n万元,但公司需付下岗职员每人每年0.8n万元的生活费,试问为取得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?
思维展示:解决本题应做到如下两点:一是将公司获得的经济效益与公司裁员人数建立关系――即建立函数模型;二是问题转化为求解函数最值后,要注意对题目中的含有的字母进行必要的讨论才能顺利解答本题。
解析:设裁员人数x人,可获得的经济效益为y万元,则y=(m-x)(n+0.2nx)-0.8nx,整理得y=-■[x2-(m-9)x]+mn,故要使公司取得最大的经济效益即确定函数在定义域上的最大值,由于-■
答:当m为奇数时裁员■人公司效益最大,当m为偶数时裁员■时公司效益最大。
二次函数范文3
关键词：二次函数对称轴单调性最值
中图分类号：TH133.2文献标识码： A 文章编号：
通过多年的教学，感悟到有很多数学问题都与二次函数的对称轴相关，弄清对称轴是把握二次函数的关键所在，下面从几方面的知识入手就可渡过这个难关。
一、对称轴划分单调性。
二次函数 的单调性是这样划分的：
（1） （2）
（1）当a>0 二次函数在(－,－]上单调递减，在(－,＋)上单调递增；
(2)当a
例1、已知函数f(x)=x[－5,5] ,求f(x)在[－5,5]上是单调函数的a的取值范围。
解：对称轴x＝﹣a，要使f(x)在[－5,5]上单调，必须满足条件﹣a≤﹣5，－a≥5
a≥5，a≤－5
例2、已知函数f(x)＝在(－,－1)上为减函数。
求f(2)的取值范围。
解：二次函数的对称轴为x=2a－1,
a≥0
函数f(x)在(－,2a－1)上为减函数，
－1≤2a－1,a≥0
而f(2)=
=－8a+14
a≥0
f(2)=14－8a≤14.
例3、函数y=存在反函数吗？如果存在，请给出x的一个取值范围，使它存在反函数。
解：要使函数具有单调性，必须要在对称轴的左右两側的区间上。
对称轴x=4
当x(－,4][4,＋)时就存在反函数。
二、二次函数的最值离不开它的对称轴
例4、已知函数y=在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a的取值。
[解析]本题是二次函数在给定区间上的最值问题，要用分类讨论的思想解决问题。
,对称轴x=
当0 1，即0 a2时，
由，得
a=2或a=－2,与0 a2矛盾，不合要求。
当
，由
(3)>1 即a>2,时函数在 [0,1]上单调增，
由
综上，得a=-6或a=。
本题属于“轴变区间定”的二次函数最值问题，要讨论对称轴与定义域的相对位置，要注意开口方向及端点情况。
例5、已知若
写出的表达式。
解，对称轴，如图：
(1)当
即
(2)当 即时
当，
综上可得：
本题属于“轴定区间动”的二次函数在给定区间上的最值问题，主要看区间落在二次函数的哪个单调区间上，从而借助单调性求最值。
三、二次方程根的分布有时要考虑二次函数的对称轴
二次函数，一元二次方程和不等式是一个有机的整体，对于二次方程实根的分布问题有时要考虑对称轴的位置。
例6、（2007.湖北文）设二次函数的两根求实数a的范围；
分析：利用二次函数的图像，函数在区间(0,1)上有两个零点，实施方程，函数，不等式的转化。
设
由题意，得，
,故所求a的取值范围是
例7、若关于x的方程在[-1,1]上有解，则实数m的取值范围是
分析：的解在[-1,1]，就是二次函数与x轴的交点在[-1,1]上，只需满足条件：
二次函数范文4
一、二次函数在给定范围上的最值
例1 求二次函数y=x2-2x-5在0≤x≤3上的最值.
解：在函数中顶点坐标（1，-6）.注意函数顶点处于自变量的范围.函数在顶点与端点处的函数值作比较，当x=1时y的值是-6，当x=0时，y的值是-5，当x=3时，y的值是-2.得到y=x2-2x-5在0≤x≤3中最小值与最大值分别是-6和-2.
二次函数在实数范围内是连续的，在任意的闭区间上，它都是存在最大值和最小值，其注意点就是首先确定二次函数的顶点存在的范围.如果在顶点的一侧是给定的范围（包括两个端点），则最值就是端点处的函数值.如y=x2-2x-5在2≤x≤5内，x=2时存在最小值y=-5，x=5时存在最大值y=10，这时2≤x≤5处于顶点的右面，函数在2≤x≤5上面则为单调递增.
二、有字母系数的二次函数的最值
如果在二次函数中y=ax2+bx+c （a≠0）的系数a，b，c中至少有一个变动的系数，称之为含字母系数的二次函数.这时，y不仅仅是自变量x的函数，与此同时跟着变系数的取值不同而发生变化.含字母系数二次函数所表达的曲线是一条抛物线，解答这种二次函数的最值问题，一般基本的步骤都是先将字母系数作为一个普通的常数看待，用以求出顶点坐标的表达公式，接下来根据顶点处于自变量中的不同地方，进行分类解答.
例2
求y=-x（x-a）在-1≤x≤1在下面三种情形的最大值.（1）a2.
在本题中，给出了带有字母系数a的二次函数，题目条件已经明确设定了它不同的取值范围.由此，当求解最大值时，可以针对a的限制范围来分别求得端点与顶点处函数值的大小.当然，为了使直观性增强，可以画图，凭借图形进行讨论.
解：二次函数的顶点坐标为（a/2，a2/4）.
（1）a
（2）-2≤a≤2.这时-1≤a/2≤1，即顶点的范围在-1≤x≤1中，所以，y的最大值在顶点处.所以x=a/2时，y得到最大值a2/4.
（3）a2.这时a/2>1，所以给定了范围（-1≤x≤1）的位置在抛物线的顶点左面，y=-x（x-a）在-1≤x≤1上面是单调递增的.所以，当x=1时，y得到最大值a-1.
由上面的例子的解答方法可以得知，一个有最大值的二次函数当其中含有字母时，顶点不在给定范围中（包括两侧的端点），最大值是两端点中的一个数；顶点处于给定范围中，顶点处于的位置，就是取得的最大值.
三、函数最值的应用
实际生活中，多多少少会遇到一些如怎样使用材料最省，怎样花销最小，怎样利润最高等等问题.这种问题，归纳与二次函数的最值问题，在中考，运用二次函数的方法解决实际问题是重点考点，此类试题经常结合于实际将社会热点问题为背景，考查是否能够灵活运用所学知识解决现实生活问题.
例3
客房部将60个房间供应游客居住，每个房间为每天200元的定价时，房间将被住满.每个间房间的定价每提高10元时，将会空闲出一间房，宾馆要对每个房间支出各种费用设施20元，每个房间的定价提高x元，求解：
（1）房间每天的入住量y（间）与x（元）的函数关系式；
（2）每天房间的收费z（元）与x（元）的函数关系式；
（3）客房部利润w（元）与x（元）的函数关系式；当w有最大的值，每个房间的定价是多少？最大值为多少？
这种问题解决关键就是得到定价提高，该宾馆每天的入住量，此类型试题都能转化为二次函数的最值问题，二次函数画图、性质便于这种问题快速解决.
解：（1）y=60-x/10.
（2）z=（200+x）（60-x/10）=（-1/10）x2+40x=12000.
（3）w=（200+x-20）（60-x/10）=（-1/10）x2+42x+10800=（-1/10）（x-210）2+15210；当x=210时，w存在最大值.这时x+210=410，w要有最大值15210，每个房间定价410元.
二次函数范文5
一、进一步深入理解二次函数的概念
二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）。这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
1.已知f（x）=x2+x+2，求f（x+1）。
这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
2.设f（x+1）=x2－4x+1，求f（x）。
这个问题可以理解为，已知对应法则f和定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：
（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。
f（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2－6x+6。
（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令t=x+1，则x=t-1f（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6从而f（x）=x2－6x+6。
二、二次函数的单调性、最值与图象
在高中阶段函数单调性是重点，高考占很大比例，学习单调性时，二次函数是基础，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，从函数观点用定义研究对称轴，并给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学次函数有关的一些函数单调性，培养学生的数形结合思想。比如：
1.画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
（1）y=x2－1
（2）=x2+2x－1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系，掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
2.设f（x）=x2－2x－1在区间［t，t+1］上的最小值是g（t）。
求：g（t）并画出y=g（t）的图象。
解：f（x）=x2－2x－1=（x－1）2－2，在x=1时取最小值－2。
当1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=－2
当t＞1时，g（t）=f（t）=t2－2t－1
当t＜0时，g（t）=f（t+1）=t2－2
（函数图象略）
首先要使学生弄清楚题意，一般的，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域，以求培养学生的分类讨论思想。
三、二次函数的知识可以准确反映学生的数学思维
二次函数范文6
学习函数知识，概念是最基础的，首先要理解一个函数的定义和概念，才能够从根本上深入了解二次函数就是只含有一个未知量，并且这个未知量的最高次幂是2．通常学生会认为，二次函数的表达式为“y=ax2+bx+c”．这样的表达式，真的能够完全代表二次函数吗?教师可以让学生根据二次函数的概念进行深入的分析和讨论，要重点强调“二次函数”这一特征，让学生能够和学过的知识有所区分，根据对公式的理解和观察，学生能够举出反例，当表达式中的系数a等于0的时候，那么函数表达式就变成了“y=bx+c”，这并不符合二次函数的概念．所以说，对于上面的公式还要加上约束条件才能够成立．y=ax2+bx+c，当其中的a≠0的时候，才能够满足二次函数的定义．通过对概念的分析和理解，学生能够更加清楚地了解二次函数．当学生出现理解错误的时候，教师要及时进行正确的指导，帮助学生改正错误，要让学生对未知量的系数以及未知量的存在有更加清楚的认识，考虑问题的时候更加全面和细致，这对学生的学习和发展也是有帮助的．
二、采用数形结合法，帮助学生理解
数形结合法是数学教学中比较常用的一种教学方法，其目的就是帮助学生理解数学知识，将抽象的数学概念转化成可见的图形形式．图象和数学分析运算结合在一起来解决问题，给学生建立一个更加清晰的数学模型．在二次函数的学习过程中，对于图象的认识和学习也是非常关键的．图象能够清晰地反映出函数的基本性质以及特点，教师不能忽视图象对于学生学习的重要性，在教学过程中通过绘制图形的形式帮助学生理解和学次函数知识．在观察图形的过程中，学生能够了解到函数的具体性质．采用数形结合的思想，能够帮助学生仔细地研究和分析，从图形的变化中发现函数的性质规律．例如，在已知条件中给出二次函数抛物线的表达式y=x2+bx+c的对称轴是x=2，A、B两点都在抛物线上，并且这两点连成的线与x轴是平行的，其中A点的坐标是(0，3)，那么B点的坐标是什么?对这道题目而言，如果只是单从xyx=2ABO题目本身来看，学生很难计算出B点的坐标．这道题目就是典型的应用数形结合思想的．首先应该根据题目的要求绘制出二次函数的图形，如图，根据图形上显示的信息，学生可以判断出A、B两点的纵坐标应该是相同的，现在已知的是A点的坐标，根据图象的显示，B点在第一象限内，所以说B点的横坐标应该是位于x轴的正半轴上．由于点A在抛物线上，根据A点的坐标(0，3)可以知道，C=3，根据对称轴是x=2，可以求出b=－4，所以x=0或x=4两个结果，x=0的时候就与点A重合了，所以说不可能，那么正确的答案就是x=4，所以说B点的坐标就应该是(4，3)．
三、提出问题，让学生进行讨论探究
数学具有探究性以及实践性．在学习过程中，教师要培养学生的探究意识，在二次函数知识学习的过程中也是一样．教师可以根据生活中的实际现象向学生提出问题，让学生探究讨论．学生通过讨论分析解决问题后，会对这部分的知识印象特别深刻．要想让学生掌握函数知识，就需要将这些知识点进行展开探究，才能够深入挖掘其中的内涵．在课堂开始的阶段，教师可以采取提出问题的方式吸引学生的注意力．例如，教师可以在课堂的开始阶段，提问:在生活中有没有看见过拱桥?这样贴近生活的话题，会引发学生的共鸣．当学生回想拱桥的形状之后，教师可以接着提问:现在有一座拱桥要跨过一条宽8m的河流，河中央支撑桥体的柱子为4m高，现在想要在距离河岸各2m的地方分别支撑一根柱子，那么这根柱子的高度因该是多少?这是一个涉及到实际生活的问题，学生可以根据教师的描述在脑海中形成画面，然后积极探讨和研究解决问题的方法．教师可以适当地将学生向二次函数的方向来引导．通过分析研究，学生发现可以将拱桥看成是二次函数，将河中央的柱子看成是对称轴，以河为x轴，柱子为y轴建立直角坐标系，那么可以首先求出二次函数的表达式，然后根据要求的柱子的横坐标求出柱子的高度．
四、总结
