参数估计范文1
利用宽带监测接收机截获数字信号后，通过频谱图可以直观地获得中心频率、带宽、频谱形态等信息，然后将这些信号的外部参数与无线电频率监管部门已注册信号数据库或频率指配表的参数进行比较。频率指配表是重要的参考依据，如表1所示，在表中可以直接找到相关频段内已获准使用的无线电业务和操作参数，通过与截获信号外部特征进行比对，可以得出初步的判断结果。如果比对结果完全吻合，则可以直接作出判断，无须进行后续分析即可完成信号的正确识别。除了与频率指配表比对外，还可以采用表2提供的分析方法，利用信号分析软件直接估计信号的外部特征。如果通过外部参数估计仍不能准确判断，还必须通过更多的信息才能作出正确识别，则需要进行信号内部参数估计。
2信号内部参数估计
数字信号的内部参数估计主要是利用信号分析软件获取信号的调制方式和波特率，即信号的时域特征。下面举例说明具体的判断过程。如图2所示，在信号分析软件中打开.WAV或I/Q数据文件，显示为F1B调制方式（即FSK），中心频率为1755.1Hz，波特率约为100Bd，频率间隔为398.1Hz，可信度为74%，下面根据预判做进一步分析。直接打开FSK分析功能，如图3所示，可以明显看到FSK的频谱特征，而且各参数测量结果与预判一致，我们有把握断定该信号的波特率为100Baud、调制方式为FSK。如果没有得到理想的结果，则需要借助表3所示的分析方法来进行人工信号识别。表3给出了信号分析软件无法准确识别目标信号时，基于数学运算估计信号内部参数的方法。上述方法必须经过各种数学运算后，根据信号的数学表达式，估计信号的内部特征参数。
3解码
一方面可以通过解码来验证信号内外部参数估计的正确性，另一方面可以获取信噪比高、符合常规编码规则的数字信号传递的信息。根据信号内外部参数估计情况，设置信号解码软件，如果参数估计正确，并且满足常规编码要求，则可以直接解码，得到目标信号所传递的信息，如图4所示。由于复杂的通信体制和电波传播环境影响，以及相对有限的信号解码手段，很多数字信号无法解出其具体传递的信息，但是如果信号内外部信号参数估计正确，可以解出信号的基本编码，如图5所示。
4结束语
参数估计范文2
（宁夏大学 数学计算机学院，宁夏 银川 750021）
摘 要：本文构造了有限混合Bernoulli分布模型.由于有限混合Bernoulli分布模型依赖于参数的取值，我们必须求解未知参数的极大似然估计，基于常规方法求解对数似然函数的最大值点很困难，所以本文基于EM算法研究了有限混合Bernoulli分布模型的参数估计，并利用R软件进行了随机模拟.
关键词 ：混合Bernoulli分布；EM算法；随机模拟
中图分类号：O212.1文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）04-0006-03
成败型随机试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）.很多实际问题都可以归结为伯努利试验.比如在医学领域考察对病人治疗结果的有效与无效、某种化验结果的阳性与阴性、接触某传染源的感染与未感染等；在系统可靠性理论中元件工作正常与失效；决定人类的某一特别属性（比如是否为左撇子）的一对基因的显性表现与隐性表现；某陪审团的陪审员对被告人的投票结果为有罪和无罪等等.伯努利试验必须满足两个基本条件：每次试验的结果独立且只有“成功”与“失败”，每次试验中“成功”的概率保持不变.
伯努利试验的一种推广是假设每次试验相互独立，但其成功概率允许不尽相同.这样的情形可以用一个混合Bernoulli分布来描述：
效或无效），则该模型非常适用，因为我们很难保证同种药物对不同患者的疗效完全相同.也就是说，我们预期对于众多患者的疗效可以分成l个不同的类别.
现在设y=（y1，y2，…，yn）来自于混合Bernoulli分布（1.1）的样本，我们的目的是求未知参数的极大似然估计.为此先考查其对数似然函数：
不难看出，直接求（1.2）式的最大值点是很困难的，我们下面将推导该问题的EM算法.
EM算法是一种迭代计算，其每次迭代由两步组成：E步（求条件期望）和M步（极大化），这正是该算法名称的由来.该算法最初由Dempster，Laird和Rubin提出[1]，主要用来求后验分布的众数（极大似然估计），广泛应用于删失数据，截尾数据，成群数据等.其基本思想是在给出缺失数据初值的条件下，估计出模型参数的值；然后再根据参数值估计出缺失数据的值.根据估计出的缺失数据的值再对参数值进行更新，如此反复迭代，直至收敛，迭代结束.
EM算法提出之后，很快引起国内外众多学者的关注，文献[2]很好地总结了EM算法及其推广算法的很多成果.文献[3]详细介绍了有限混合模型及其应用.文献[4]介绍了有限混合模型及其应用的研究进展.本文基于EM算法研究了有限混合Bernoulli分布模型的参数估计，并利用R软件进行了数值模拟.
1 EM算法简介
一般而言，形式上[1]我们有两个样本空间X，Y，以及X到Y的一个多对一映射x a y（x）.其中X中x=（x1，x2，…，xn）不能直接观测到，只能通过y间接的观测到，x被称为“完全数据”.Y里的y=（y1，y2，…，yn）是能够观测到的数据，即“不完全数据”.
其中X（y）={x：y（x）=y}
2 有限混合Bernoulli分布模型参数估计的EM算法
参数估计结果见表3.
从表1和表2可以明显看出，随着初值逐渐接近真值时，估计值亦趋于真值.当估计值变化不大时，说明估计值收敛到稳定点.由表3可以看出，随着样本容量的增加，参数的估计值逐渐接近于真值.同样，当估计值变化不大时，说明估计值收敛到稳定点.
参考文献：
（1）Dempster A P，Laird N. Maximum Likelihood from Incomplete Data via EM Algorithm[J]. J. Royal Statistical Society，Series B，1977，39： 1-38.
（2）Gelffrey J. McLachlan. The EM Algorithm and Extensions（Second Edition）[M]. New York： Wiley & Sons，Inc，2008.
（3）McLachlan G，Peel D.Finite Mixture Models[M]. New York： Wiley & Sons，Inc，2000.
参数估计范文3
【关键词】 遗传算法；，，药物动力学模型；，，参数估计，，，
摘要： 目的：将遗传算法(GA)用于药物动力学(PK)模型参数估计。方法：用MATLAB70所带遗传算法与直接搜索工具箱(GADS)或免费遗传算法最优化工具箱GAOT求得PK参数估计值。结果：GA与常用PK软件包(传统算法)计算比较，结果基本一致，各有优点与不足之处。
关键词： 遗传算法； 药物动力学模型； 参数估计
遗传算法(Genetic Algorithm， GA)［1，2］是以自然选择和遗传理论为基础，将生物进化过程中适者生存规则与群体内部染色体的随机信息交换机制相结合的高效全局寻优搜索算法。GA摒弃了传统的搜索方式，模拟自然界生物进化过程，采用人工进化的方式对目标空间进行随机优化搜索。它将问题域中的可能解看作是群体的一个个体或染色体，并将每一个个体编码成符号串形式，模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程，对群体反复进行基于遗传学的操作(遗传、交叉和变异)。根据预定的目标适应度函数对每个个体进行评价，依据适者生存、优胜劣汰的进化规则，不断得到更优的群体，同时，以全局并行搜索方式来搜索优化群体中的最优个体，以求得满足要求的最优解。
GA的基本思想是：从一个代表最优化解的一组初值开始进行搜索，这组解称为一个种群，种群由一定数量、通过基因编码的个体组成，其中每一个个体称为染色体，不同个体通过染色体的复制、交叉或变异又生成新的个体，依照适者生存的规则，个体也在一代接一代地进化，通过若干代的进化，最终得出条件最优的个体。
GA通过交叉算子和变异算子的协同作用确保状态空间各点的概率遍历性，通过选择算子的作用保证算法迭代进程的方向性。选择，交叉和变异是GA的3个主要操作算子，它们构成了遗传操作，使GA具有了其它传统方法没有的特点。但GA在国内医学研究领域中的应用较少［3］。
药物动力学(PK)专用计算机程序包，如PCNONLIN、3P87(3P97)、PKBPN1、MCPKP等，以(加权)非线性最小二乘(LS)法为基本原理，采用GaussNewton迭代法、Hartley法、莱文贝格马夸特法、单纯形法进行PK模型曲线拟合，得到PK参数估计值。本研究将GA用于PK参数估计，并与4个知名PK软件计算的结果进行比较。
1 基本GA的一般步骤
① 选择N个个体构成初始种群P0，并求出种群内各个个体的函数值；
② 设置代数i=1；
③ 计算选择函数的值；
④ 通过染色体个体基因的复制、交叉、变异等创造新的个体，构成新的种群Pi+1；
⑤ 令i=i+1，若不满足终止准则，则转移到步骤③继续进化处理。直到符合终止条件，则以进化过程中所得到的具有最大适应度的个体作为最优解输出，终止运算。
2 方法
21 方法1
MATLAB 70带有遗传算法与直接搜索工具箱(GADS)，在MATLAB命令窗口中进行gatool，将打开遗传算法GUI界面，用可视方式设置GA的各类参数。适应度函数即目标函数为：
Q=ΣWiεi2
(i=1，2，3，…，n)(1)
式(1)中，Wi为权重(一般为1，1/C或1/C2)，εi为残差即药物浓度测定值与相应药动学模型(参数θj，j=1，2，3，…，m，m为独立参数个数)计算值之差，εi独立同分布，εi的期望即均值为零，各点的εi方差相等(此时不需加权或权数为1)或不相等(此时需加权处理)，n为药(c)时(t)实验数据点对个数。
运用GA，使Qmin，则得到欲求PK参数θ的估计值。
22 方法2
应用美国Carolinna州立大学开发的免费遗传算法最优化工具箱(GAOT)，参阅GAOT工具箱手册电子版。同样可得PK参数θ的估计值。
本研究以方法1为主，辅以方法2。
3 计算实例
31 实例1
一次静脉注射氯氮平后ct数据见文献［4］，GA与PCNONLIN软件计算结果见表1。
表1 GA与PCNONLIN软件计算3房室模型PK参数估计值结果（略）
32 实例2
单剂量静脉注射盐酸川芎嗪后ct数据见文献［5］，GA与3P87(3P97)软件计算结果见表2。
表2 GA与3P87(3P97)软件计算2房室模型PK参数估计值结果（略）
33 实例3
一次静脉注射凝血胺后ct数据见文献［6］，GA与PKBPN1软件计算结果见表3。
表3 GA与PKBPN1软件计算3房室模型PK参数估计值结果（略）
34 实例4
一次静脉注射Spectinomycin后ct数据见文献［7］，GA与MCPKP软件计算结果见表4。
表4 GA与MCPKP软件计算(以1/C为权重)一次静脉注射2房室模型PK参数估计值（略）
4 讨论
由表1~4可见，GA与4个知名PK软件计算所得参数估计值基本相同。因GA中有随机性因素，故每次得出的结果不完全相同。
PK模型拟合时，经典算法需先提供较好参数初始值(为一或数个点)，否测，特别是对非线性很强的模型，可能会局部收敛或根本不收敛［1］。有的PK软件应用剩余法原理可自动计算出初始值。GA初始值为一范围。本研究用MATLAB 70遗传算法与直接搜索工具箱计算PK参数估计值时，一般用默认初始种群的向量范围即［0；1］，效果基本令人满意。因为初始范围仅仅限制在初始种群中的点的范围，后续各代包含的点可以不在初始种群的范围之内。如果了解PK参数初始值的大概范围，计算时就可以指定包含问题解的初始范围。但是，假设种群具有足够的多样性，GA可找到不在初始范围的解［1］。GA能以很大概率找到全局最优解。
参考文献
1 雷英杰，等MATLAB遗传算法工具箱及应用第1版西安：西安电子科技大学出版社，2005，146~207
2 薛定宇，陈阳泉高等应用数学问题的MATLAB求解第1版北京：清华大学出版社，2004，357~369
3 仇丽霞，等二次响应面回归模型用遗传算法探索最优试验条件中国卫生统计，2004，21(4)：184.
4 宋振玉药物代谢研究―意义，方法，应用第1版北京：人民卫生出版社，1990，159~165
5 黄志力，等盐酸川芎嗪静脉注射的药物动力学研究中国药理学通报，1989，5(4)：240.
6 杨友春，陈刚，袁力计算药代动力学的一种非线性算法和程序中国药理学报，1983，4(4)：217
7 夏文江，成章瑞MCPKP药物动力学分析的一种微机程序中国药理学报，1988，9(2)：188
参数估计范文4
关键词 越流 粒子群优化算法 抽水试验 含水层参数
中图分类号：TV211.1 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2015.10.021
Application of Particle Swarm Optimization to
Determination of Aquifer Parameters
YUAN Fan
（College of Science， Changan University， Xi'an， Shaanxi 710064）
Abstract Based on the analytical solutions to well flow problems of unsteady flows in the first type leakage system，the particle Swarm algorithm was employed to analyze the data of pumping tests to determine aquifer parameters.Numerical results show that the Particle Swarm algorithm can be effectively applied to analyzing the data of pumping test for estimation of aquifer parameters， this method has fast speed and high accuracy.
Key words leakage system; particle swarm algorithm; pumping tests; aquifer parameters
遗传算法是对粒子进行选择、交叉和变异处理，而粒子群优化算法（PSO）是将操作中的每一个个体视为N维搜索空间中的一个没有体积和质量的微粒，每一个微粒代表一个被优化问题的解。在N维搜索空间中，粒子个数为，第个粒子的位置和速度分别为 = [，，…，]， = [，，…，]，则在第 + 1次迭代计算时，粒子根据以下规则来更新自己的速度和位置：
式中：（），（ ）为粒子在第次迭代时第维的位置和速度;为粒子达到目前最佳位置时第维的位置坐标;为种群目前达到最佳位置时第维的位置坐标;为惯性权重系数，一般从0.9线性递减到0.4;、为加速因子;是[0，1]之间的随机数。为了防止微粒远离搜索空间，限制微粒飞行的最大速度被定义，其值通常取决策变量的上下界之差。
1 粒子群优化算法的构造
标准PSO算法步骤为：
Step1：随机初始化粒子的位置和速度，将每个粒子的当前位置设为pbest，并计算出当前的个体极值和全局极值，并记录全局极值的粒子序号，将其位置设为gbest;
Step2：初始化迭代次数和，若
Step3：用粒子群优化算法更新每一粒子的速度和位置，评估粒子的适应度值，更新局部最优pbest和全局最优gbest;
Step4：迭代 = + 1并返回Step2，直到精度达到要求时输出结果。
2 汗土什公式
在含水层为均质、各向同性和无线延伸的理想条件下，以定流量进行抽水，在抽水开始后时刻，含水层中距抽水主井距离为点处的水位降深可以表示为：
式中：表示水头降深值（m）;表示抽水流量（m3/s）;T表示含水层的导水系数（m2/s）;为距抽水主井的距离（m）;为越流补给因子（m-1）;为越流井函数;表示含水层的储水系数，为无量纲时间。其表达式为
在应用PSO算法时要求（5）式所要求的目标函数达到最小，即
式中：为在抽水开始后第时刻观测到的实际水位降深值（m）;为利用（3）式计算得到的第时刻的水位降深值（m）;为待估参数向量，在第一类越流系统中有3个待估的含水层参数，分别是导水系数、储水系数和越流补给因子1/B，分别视为，，。
3 数值试验
3.1 算例
本文引用文献[6]中给出的越流条件下实际抽水试验数据进行数值试验。表1中给出的是在抽水开始后距抽水主井距离为 = 12.19m处观测孔中观测到的实际水头降深数据，试验中的抽水流量为 = 17.0m3/min，持续抽水时间为420min。在应用PSO算法进行计算的过程中，只采用表1中的部分数据（本文中采用序号为奇数的观测数据进行计算，序号为偶数的观测值作为检验数）。
3.2 试验结果的可靠性分析
根据多次的试算取粒子个数为50，学习因子 = = 2，迭代次数为200，含水层参数的取值范围为0.9m2/min≤≤ 3.8m3/min，0.002≤≤0.005，0.001m-1≤1/B≤0.004m-1; 收敛标准取目标函数小于3e-04。计算结果见表2。表2也给出了其他算法的计算结果。
根据表2的数据可以看出粒子群优化算法计算的数据和其他算法计算出的结果比较接近，较可靠，且目标函数值达到0.00047，计算精度明显高于其他算法。且在50次试验中的平均迭代次数为72，平均迭代时间为6.84s，说明粒子群优化算法迭代速度较快。
为了检验PSO算法反演含水层参数的可靠性，将表2中所求得的参数、、1/B代入公式（3），分别求出表1中未参与含水层参数反演运算的各时刻水头降深值，并与实际观测值进行比较，从表3中可以看出，用所求得的参数反演各个时刻水头值与实际观测值得误差很小，绝对误差最大不超过5%，相对误差最大不超过1.5%，观测值与实际值拟合良好，这说明PSO算法的计算结果是可靠的。
4 结语
粒子群优化算法具有全局寻优能力强的特点，利用解的适定性将反问题化为一系列的正问题进行求解，克服了实际测量数据的不稳定性对反问题解的精确性的影响。数值试验表明：粒子群优化算法反演含水层参数具有比较好的精度，是一种值得在实际中推广的反演含水层参数的方法。
参考文献
[1] 李敏强，寇纪淞.遗传算法的基本理论与应用[M].北京：科学出版社，2002.3.
[2] Kennedy J，Eberhart RC.Particle swarm optimization[C].In：IEEE International Conference on Neural Networks， Perth， Australia，1995：1942-1948.
[3] Eberhart R，Kennedy J.A new optimizer using particle swarm theory[C].In：Proc of the sixth international symposium on Machine and Human Science，Nagoya，Japan，1995：39-43.
[4] 范娜，云庆夏.粒子群优化算法及其应用[J].信息技术，2006（1）：53-56.
[5] 陈崇希，林敏.地下水动力学[M].武汉：中国地质大学出版社，1999：70-120.
参数估计范文5
关键词：核估计；窗宽；结果分析；拟合度
中图分类号：O212 文献标识码：A
0. 引言
数理统计技术，是先进质量管理的重要课题。目前在电线电缆行业中应用较多的数理统计技术是传统的参数统计方法，其基本步骤是：
第一，收集数据；
第二，拟合参数模型；
第三，估计参数模型；
第四，指出拟合效果。
其核心思想是先假设确定的参数模型。这种方法对数据的分析通常有较好的精确度，比如假设正态分布模型，用矩估计、最大似然估计和最小二乘法求参数等等。但是这些方法的缺陷就是模型的假设对不同的样本不具有普适性。本文探索利用非参数密度估计对电缆导体单丝的电阻率进行分析，以寻求一种更为精确的统计方法。
1. 观察数据
本文首先给出标准直径为2.52mm的模具拉出的铜单丝直径的样本数据见表1（样本容量为100，分16组，组距为0.000022mm），图1为散点图，图2为直方图，了解其所属总体的基本性质：由上面的图形，尤其是直方图，我们能对这组样本数据的分布有一个初步的了解。可以初步估计，该样本数据所属总体是很不对称的，并且左端有较长的尾端，从左向右整体有上升的趋势，在最右端出现一个小的尾端。
2. 密度核估计理论
2.1 核估计定义：设K（x）为R上的一个概率密度函数，h>0是一个与n有关的常数，则
称fn为总体未知密度f（x）的一个核估计，其中函数K（x）称为核，h为窗宽。
2.2 K（x）的确定
研究表明，窗宽h确定时，不同核函数的作用是等价的。实际工作中，一般先选定核函数K（x），然后再寻求最优窗宽h。K（x）对fn的影响很小，因此满足以下基本条件的核函数都合适：
①∫K（x）dx=1；
②函数连续且光滑；
③一阶矩为零，方差有限。
常用的有均匀核，高斯核等。本文以高斯核为核函数。得到函数的核估计：
2.3 窗宽的确定
窗宽h越小，核估计密度对原数据的拟合度越大，但核估计的方差越大。反之，窗宽h越大，核估计的方差越小。通常选用LSCV法确定最佳窗宽，LSCV法是从现有的数据直接得到合理的窗宽，是计算最佳窗宽的经典方法之一。其主要思想是由样本作缺值估计来求最佳窗宽：
将已知的各个样本点值代入表达式，即可求得用核估计的窗宽h为0.105时，ICE最小为-5177。
3. 应用结果分析
本文利用以高斯核为核函数的核估计对样本数据进行分析，这样就可以得到函数的核估计形式：
在统计方法中，不知道总体服从什么类型的分布，通常可以用皮尔逊χ2拟合度检验来实现确定模型显著性是否可接受，以确定一批数据是否真正来自假定的分布模型。对于连续型数据，需先将样本数据划分成若干区间（即分组），要求分组后每组内包含的样本数不少于5个，若某些组内数据的频数小于5，则应将该组与相邻的组做适当合并，然后再进行检验。用fn估计总体密度f（x），所以检验问题等价于：
H0：f（x）=fn（x）；H1：f（x）≠ fn（x） （7）
作为假设检验H0的统计量，在H0为真时近似有：
fi为第i组的样本频数，npi是按照核估计密度函数计算得到的理论频数，k为在H0下X可能取值的子集数，r为总体分布中需要估计的参数个数。该统计量近似服从自由度为k-r-1的χ2分布，可知假设检验的拒绝域为：
χ2≥χ2α（k-r-1） （9）
α为显著性水平，检验的临界值为χ2（1-α，k-r-1），当目标函数值大于临界值时拒绝原假设，认为密度函数不是核估计方法得到的密度函数；否则就不能拒绝原假设。
前文已经提到，在样本量很大的情况下，如果原假设成立，该统计量近似服从自由度为k-r-1的χ2分布，在此k=9，r=1因此分布的自由度为7。参考任何带有统计附表的书籍，均可以查阅到各个显著性水平下自由度为7的χ2分布临界值，在此我们查阅参考文献[5]，查到α=0.05时，临界值χ20 .95=14.067，而h=0.105时。14.067，检验统计量实现值12.815小于该临界值，这就说明，在显著性水平为0.05时，不能拒绝原假设，即可以认为通过非参数核估计方法得到密度函数的表达形式符合实际的总体分布形式。因此，我们可以进一步相信上文选择的窗宽值是“最优”的，且在该窗宽取值下估计的总体密度函数是理想的。
结论
鉴于参数模型的缺陷，本文基于核估计理论提出了非参数随机模型。该模型避免了模型结构（线性或非线性）选择和参数不确定性问题，可以通过最终的拟合优度检验。由LSCV法计算最佳窗宽保证了核密度估计的计算精度，是计算窗宽的一种实用且安全的方法。进一步完善非参数密度估计方法在电线线缆质量控制中的应用，或许能为电线线缆质量的提高提供一种精确度较高的分析方法。
参考文献
[1]陈希儒，柴根象.非参数统计教材[M].上海：华东师范大学出版社，1993.
[2] Epanechnikov V A. Nonparametrie estimation of a multidimensional probability density [J]. Teory of probability and Application， 1969.
[3] Larry Wasserman.现代非参数统计[M].吴喜之译.北京：科学出版社，2008.
参数估计范文6
关键词 非参数回归；异方差；局部多项式拟合；局部极大似然估计；渐近正态性
中图分类号 O212.7； F224.0 文献标识码 A
Local Polynomial Estimations for Nonparametric
Heteroscedastic Regression Model
―― An Empirical Analysis of Rural Households’ Consumption and Income
ZHANG Dongyun
（Business School， Henan Normal University， XinXiang， Henan 453007，China）
Abstract This paper studied local polynomial estimations for nonparametric heteroscedastic regression models. Firstly， the local maximum likelihood estimation of regression mean function was gained by using local linear fitting. Secondly， considering the positive of regression variance function， its local polynomial estimation was proposed by using local logpolynomial fitting， which guaranteed positive of the local estimation. Furthermore， we verified asymptotic normality of the local estimation. Finally， with the real data studies of Chinese rural residents’ consumption and income， it shows that the local polynomial method for nonparametric regression models performs better than the least squares method， and has higher accuracy.
Key words nonparametric regression； heteroscedastic； local polynomial fitting； local maximum likelihood estimation； asymptotic normality
1 引 言
由于非参数回归模型统计推断问题不依赖于总体的分布类型，因此其有着非常广泛的应用.有关非参数回归模型的研究可以参见文献[1-5，]等.近年来，非参数异方差回归模型得到飞速的发展，其中回归模型的异方差性，是指对于不同的解释变量的观测值，随机误差项的方差是不同的.比如，横截面数据通常都具有异方差性.何其祥等[6]研究了线性模型的异方差的局部多项式估计.
本文中，考虑非参数异方差回归模型中均值函数和方差函数的局部多项式估计问题，这里，采用的技巧是局部多项式拟合（参见文献[7]）.注意到方差函数是非负的，对方差函数的对数进行局部多项式拟合，保证了回归方差函数的估计的非负性.此外，利用非参数异方差回归模型的局部多项式估计方法，对我国农村居民人均消费支出与人均纯收入之间的关系进行了实证分析，结果表明，非参数异方差回归模型的局部多项式方法比最小二乘的方法有更好地拟合效果和更高的预测精度.这是由于改革的逐渐深入，居民的经济生活中的不确定因素日渐增多，人们很难对未来的收入做出比较理性的预期，所以居民的消费行为是一个时变的过程，并且在不同的时期存在着显著的差异性，而传统的经济计量模型很难解释居民生活消费行为的这种时变特征，而本文的非参数异方差回归模型能更好地捕捉居民生活消费行为这种时变的特征.
2 模型的局部多项式估计
考虑非参数异方差回归模型：
参考文献
[1] C J STONE. Consistent nonparametric regression[J]. The Annals of Statistics， 1977， 5（4）：595-645.
[2] 李丹宁，穆铮，石军，马明洋.基于非参数估计方法的沪铜期货价格研究[J]. 经济数学，2012，29（3）： 32-35.
[3] H G MULLER，U STADTMULLER. Estimation of heteroscedasticity in regression analysis[J]. The Annals of Statistics， 1987， 15 （2）： 610-625.
[4] K YU， M C JONES. Likelihoodbased local linear estimation of the conditional variance function[J]. J Amer. Statist. Assoc.， 2004，99 （1）： 139-144.
[5] 王景乐，郑明.非参数回归中方差变点的小波检测[J]. 应用概率统计，2012，28（4）：413-438.
