参数方程范文1
关键词：直线参数方程;应用
前言：
直线参数方程在圆锥曲线的切线方程、解与线段长有关的问题、解与线段的中点有关的问题、证明某些几何命题、解决有关极值的一些问题等方面发挥重要的作用。文章主要分析在直线参数方程中参数t的几何意义以及其常用的性质，并重点研究直线参数方程在数学学科中的实际应用。
1.参数t的几何意义及常用性质
设过定点M0（x0，y0），且倾斜角为α的直线l参数方程为x=x0+tcosα
y=y0+tsinα（t为参数）。其中，参数方程中的参数t具有四个常用的性质：
第一，若t>0，点M位于M0的上方，相反，位于M0的下方，而当t=0的时候，点M和M0是重合的[1]。
第二，直线参数方程中的参数t可以代表直线l上M0到任意点M（x，y）有向线段M0M的数量，用公式表示为t=M0M。
第三，若直线l上的M1点与M2点对应的参数为t1与t2，那么，M1M2=t1-t2，并且满足M0M1M0M2=t1t2的关系。如果M0点在M1与M2之间，则满足t1t2<0的关系，如果M0点在M1与M2之外，则t1t2>0。
第四，若点M为M1M2中点，而点M对应的参数为t，那么t=t1+t22。
2.直线参数方程的应用
2.1求圆锥曲线的切线方程
直线参数方程在圆锥曲线切线方程中的实际应用中，最重要的就是将切线的方程转化成直线参数方程，然后将其代入到原有的圆锥曲线方程中，进而获得有关参数t的二次方程。若存在已知的切线上点的坐标，就可以通过判别式，即=0来求解tanα，也就是圆锥曲线切线的斜率[2]。求解出切线斜率以后可以利用点斜式求解目标其切线方程。而如果切线斜率已知，也可以利用判别式，即=0求解出切线上某点的具体坐标关系，即x0与y0的关系，并将其转换成x与y，进而获得目标切线方程。以过定点的切线为例，求解椭圆的切线方程，具体方法如下：
题目内容为，椭圆方程为9x2+y2=25，求过定点（-1，4）的切线方程。
解题思路如下，因为定点在椭圆之上，所以，可以将椭圆方程转换成含有t的切线方程，即x=-1+tcosα
y=4+tsinα（t为参数），然后将其带入到9x2+y2=25公式中，进而获取方程为9（-1+tcosα）+（4+tsinα）2=25，经过相应的整理可以得出方程，即（9cos2+sin2α）t2-（18cosα-8sinα）t=0，同时，目标直线与椭圆的位置关系是相切，所以可以形成关系式，即=（18cosα-8sinα）2=0，所以得出tanα=94，因此，y-4=94×（x+1），经整理可得出切线的方程，即9x-4y+25=0。
2.2解与线段长有关的问题
在求解与线段长相关的数学问题时，同样可以应用直线参数方程，这种方法不仅可以有效地避免求解交点的坐标，而且还无需应用两点之间的距离公式，一定程度上规避了繁琐的数学运算，可以有效地简化数学运算。下面以具体数学例题为例进行分析：
已知抛物线的方程为y2=4x，其焦点坐标F为（1，0），求解过此焦点且倾斜角是3π4的直线AB长。首先可以将抛物线方程转换成参数方程，为x=1+tcos3π4
y=tsin3π4（t为参数），经整理可得，x=1-22t
y=22t（t为参数），然后将所得公式代入到抛物线方程y2=4x中，可得t2+42t-8=0，再通过根和系数之间的关系可以得出方程t1+t2=-42t，t1t2=-8，进而得出直线AB的长度为8。
2.3解与线段的中点有关的问题
在求解线段中点的相关问题中可以引进直线的参数方程，若线段MN的中点为M1，并且具体的坐标是（x0，y0），将M，N的参数分别假定为t1与t2，那么t1+t2=0。通过运用上述关系式，可以求解线段所在直线的斜率，或者是始终变化中点（x0，y0）坐标间的具体关系[3]。
以双曲线的数学运算为例进行分析，双曲线的方程为x24-y23=1，其中存在一弦AB是由定点（4，1）平分，求解直线AB的方程。
可以将直线AB的方程转换成参数方程，即x=4+tcosα
y=1=tsinα（t为参数）然后将参数方程代入到原有的双曲线方程中，获得方程，3（4+tcosα）2-4（1+tsinα）2=12，经整理可以得出（3cos2α-tsin2α）t2-8（sinα-3cosα）t+32=0。同时，AB弦被（4，1）点平分，所以可以得出t1+t2=0，也就是sinα-3cosα=0，得出tanα=3。因此，直线AB方程可以表示成y-1=3（x-4），经整理得出3x-y-11=0。
2.4解决有关极值的一些问题
在数学问题中有关极值的问题也可以使用直线参数方程来解决，因为题目中的条件比较隐蔽，所以，需要引进参数的几何意义，以及与一元二次方程相关的根与系数之间的关系来解决此类问题。
下面以具体例题为例进行分析，已知直线经过定点P，其坐标为（1，1），并且其倾斜角为α，同时直线与椭圆相交与M、N两点，椭圆的方程为x24+y2=1，则当α为何值时，可以使|MP|・|NP|取得最值，并求解最值。
具体的解题过程如下，可以将直线方程转换成参数方程，因为直线过定点（1，1），并且倾斜角为α，则直线的参数方程为{x=1+tcosα
y=1+tsinα（t为参数），并将参数方程代入到椭圆方程中，进而得到方程（1+tcosα）24+（1+tsinα）2=1，经整理可得（1+3sin2α）t2+（2cosα+8sinα）t+1=0。所以可以得出t1t2=11+3sin2α，所以，|MP|・|NP|=|t1||t2|=11+3sin2α。因此，在α=0的情况下，|MP|・|NP|可以取得最大值，为1。而当α=π2的时候，|MP|・|NP|可以取得最小值，为14。
结束语：
综上所述，在数学学科的问题解决过程中，适当地使用参数方程可以使数学求解过程更简便。在学习直线参数方程的过程中，最重要的就是正确理解参数t的几何意义以及常用的性质，并且在实际的数学运算过程中，通过正确地使用参数t来解决文章所阐述的数学问题。高中阶段的数学学习，其中参数方程的学习与应用占据重要地位，主要包括在直线、圆与椭圆数学问题中的应用，文章针对上述三点都进行了详细地分析，所以，在实际的学习与应用的过程中，应仔细品味参数实际意义，并在数学相关问题的解决中发挥其真正的作用。（作者单位：云南师范大学）
参考文献：
[1]苗学良.直线参数方程中参数的几何意义及应用[J].聊城大学学报（自然科学版），2013，26（1）：86-89.
参数方程范文2
一、已知分式方程无解求参数的值
类型一分式方程化为整式方程后未知数的系数不含参数
点评：对于含有参数的分式方程无解问题，首先应将分式方程化为整式方程.对于化去分母的整式方程，如果未知数的系数不含参数，可先求出整式方程的解，接着再令分式方程的最简公分母等于零，求出原分式方程的增根，然后令整式方程的解等于原分式方程的增根，这样会得到一个关于参数的一元一次方程，最后解这个一元一次方程，即可求出参数的值.
类型二分式方程化为整式方程后未知数的系数含有参数
a的值是1或2.
点评：对于含有参数的分式方程无解问题，将分式方程化成最简整式方程ax=b后，如果未知数的系数a含有参数，在求这个整式方程的解时，需要对这个整式方程的系数进行讨论.当a=0，b≠0时，最简整式方程ax=b无解，此时原分式方程也无解；当a≠0时，可先求出最简整式方程的解，然后再仿照未知数的系数不含参数的情形求解.
从上面也可以看出，分式方程无解一般有两种情况：（1）原方程化去分母后的整式方程无解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解.
参数方程范文3
【关键词】参数方程;极坐标;直角坐标;互化;面积;最值;弦长;轨迹方程
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5071(2012)04-0181-02
“参数方程与极坐标”主要内容是参数方程和普通方程的互化，极坐标系与普通坐标系的互化，参数方程和极坐标的简单应用三块，下面针对这三块内容进行透析：
1 参数方程与普通方程的互化
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)（或y=g(t)，再代入普通方程F(x,y)=0，求得另一关系y=g(t)（或x=f(t)）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）。
1 参数方程化为普通方程
例1、方程x=2t-2-t
y=2t+2-t(t为参数)表示的曲线是（）
A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.
解析：注意到2t与2-t互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t的项，x2-y2=(2t-2-t)2-(2t+2-t)2=-4,即有y2-x=4，又注意到2t>,2t+2-t22t・2-t=2，即y2,可见与以上参数方程等价的普通方程为y2-x2=4(y2).显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.
点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性.
例2、与参数方程为x=t
y=21-t（t为参数）等价的普通方程为（）
A．x2+y24=1B．x2+y24=1(0x1)
C．x2+y24=1(0y2) D．x2+y24=1(0x1,0y2)
解析：注意到t范围0
例3、分别在下列两种情况下，把参数方程X=12(et+e-t)cosθ
y=12(et-e-t)sinθ化为普通方程：
（1）θ为参数，t为常数；（2）t为参数，θ为常数；
解析：（1）当t=0时，y=0,x=cosθ，即｜x｜1,且y=0；
当t≠0时，cosθ=x12(et+e-t) ,sinθ=y12(et-e-t) ,
而x2+y2=1，即x214(et+e-t)+y214(et-e-t) =1
（2）当θ=kπ,k∈Z 时，y=0，x=±12(et+e-t)，即｜x｜1,且y=0；
当θ=kπ+π2,k∈Z时，x=0，y=±12(et-e-t)，即 x=0；
当θ≠kπ2,k∈z时，得et+e-t=2xcosθ
et-e-t=2ysinθ，即2et=2xcosθ+2ysinθ
2e-t=2xcosθ-2ysinθ
得2et・2e-t=(2xcosθ+2ysinθ)(2xcosθ-2ysinθ)
即x2cos2θ-y2sin2θ=1。
1.2 普通方程化为参数方程
例4、与普通方程x2+y-1=0等价的参数方程是（）（t为能数）
A.x=sint
y=cos2t B.x=tgt
y=1-tg2t C.x=1-t
y=t D.x=cost
y=sin2t
解析：所谓与方程x2+y-1=0等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且x,y的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.
对于A化为普通方程为x2+y-1=0；x∈[-1,1],y∈[0,1];
对于B化为普通方程为x2+y-1=0；x∈R,y∈(-∞,1];
对于C化为普通方程为x2+y-1=0；x∈[0,+∞],y∈(-∞,1];
对于D化为普通方程为x2+y-1=0；x∈[-1,1],y∈[0,1].
而已知方程为x2+y-1=0,x∈R,y∈(-∞,1],显然与之等价的为B.
例5、直线y=2x+1的参数方程是（）
A.x=t2
y=2t2+1（t为参数）B.x=2t-1
y=4t+1 （t为参数）
C.x=t-1
y=2t-1（t为参数） D.x=sinθ
y=2sinθ+1（t为参数）
解析：注意到把普通方程化为参数方程后不但形式一致而且x,y的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.选C
2 极坐标与直角坐标的互化
利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是:（1）极点与原点重合；（2）极轴与 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度,设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(ρ,θ)，则x=ρcosθ
y=ρsinθ或ρ2=x2+y2
tgθ=yx；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.
例6、点M的直角坐标是(-1,3)，则点M的极坐标为（）
A．(2,π3) B．(2,-π3) C．(2,2π3) D．(2,2kπ+π3),(k∈Z)
解析：注意到M是第二象限的点，所以M的极坐标是(2,2kπ+2π3)(k∈Z)，因此选C.
例7、设点P对应的复数为-3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（）
A.(32，34π) B.(-32，54π) C.(3，54π) D.(-3，34π)
解析：因为P的直角坐标为（-3，3）所以选A.
3 参数方程与极坐标的简单应用
参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、研究某些函数的最值、求弦长或曲线的轨迹方程问题.
例8、已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A(5,π6),B(5,π2),C(-43,π3),判断三角形ABC的三角形的形状，并计算其面积.
分析：判断ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.
解析：如图，对于∠AOB=π3，∠BOC=5π6，∠AOC=5π6，又｜OA｜=｜OB｜=5,｜OC｜=43，由余弦定理得：｜AC｜2=｜OA｜2+｜OC｜2｜-2｜OA｜・｜OC｜・cos∠AOC=52+(432-2×5×43・cos5π6=133，｜AC｜=133,同理，｜BC｜=133，｜AC｜=｜BC｜，ABC为等腰三角形，又｜AB｜=｜OA｜=｜OB｜=5所以AB边上的高h=(AC)2-(12(AB))2=1332, SABC=12×1332×5=6534
例9、在椭圆x216+y212=1上找一点，使这一点到直线x-2y-12=0的距离的最小值。
解析：设椭圆的参数方程为x=4cosθ
y=23sinθ，d=｜4cosθ-43sinθ-12｜5=455｜cosθ3sinθ-3｜=455｜2cos(θ+θ3)-3｜
当cos(θ+π3)=1时，dmin=455，此时所求点为（2，--3）。
例10、已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是x=-35t+2
y=45t（为参数）．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求MN的最大值.
解析：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ
又x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ ,
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0
（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得y=-43(x-2)
令y=0,得x=2,即M点的坐标为(2,0).
又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径r=1，则｜MC｜=5
所以｜MN｜≤｜MC｜+r=5+1
例11、求椭圆x29+y24=1上一点P与定点(1,0)之间距离的最小值.
解析：先设出点P的坐标，建立有关距离的函数关系
设P(3cosθ,2sinθ),则P到定点(1,0)的距离为
d(θ)=(3cosθ-1)2+（2sinθ-0)2=5cos2θ-6cosθ+5
=5(cosθ-35)2+165
当cosθ=35时，d(θ)取最小值455
例12、求直线x=2+t
y=3t（t为参数）被双曲线x2-y2=1上截得的弦长。
解析：把直线参数方程化为标准参数方程x=2+12t
y=32t(t为参数)
代入x2-y2=1,得:(2+12t)2-(32t)2=1
整理，得：t2-4t-6=0 设其二根为t1,t2,则
t1+t2=4，t1・t2=-6
从而弦长为｜AB｜=｜t1-t2｜=(t1+t2)2-4t1t2=42-4(-6)=40=210
例13、设椭圆4x2+y2=1的平行弦的斜率为2，求这组平行弦中点的轨迹．
解析：取平行弦中的一条弦AB在y轴上的截距m为参数，并设A(x1，y1)、B（x2,y2)，则由y=2x+m
4x2+y2=1消去y得8x2+4mx+m2-1=0.
x1+x2=-m2,
且由Δ=16m2-4×8(m2-1)>0得-2
设弦AB的中点为M(x，y)，则
x=x1+x22=-m4,
y=2x+m.
消去m，得中点M的轨迹方程y=-2x；又由-2
故平行弦中点的轨迹是除去端点的线段y=-2x(-24
参考文献
参数方程范文4
关键词：高考；极坐标；参数方程
2009年高考是辽宁省进行新课改后迎来的第一个高考，至今已经历时四年。由于新课程改革，教材增加了部分新内容，所以高考题型也增加了22（平面几何初步），23（极坐标与参数方程），24（不等式选讲）三道选做题，考生要从中三选一。因此，部分高中选择主讲《4-4极坐标与参数方程》。坐标系是解析几何的基础，为了便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。极坐标系就是与直角坐标系不同的坐标系，对于有些几何图形，选用极坐标系可以使建立的方程更加简单。参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表现形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更灵活。参数方程可以帮助学生用更灵活的办法解决问题。那么，近几年高考中有关“极坐标与参数方程”的问题都考查了那些知识点？以那些形式出现的呢？
一、极坐标系与直角坐标系的互化
在求解有关极坐标问题时，可以转化为相对熟悉的直角坐标方程进行求解。若最终结果要用极坐标表示，可以将直角坐标再次化为极坐标。例1：（2009年辽宁省高考理科23题）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ-π3=1，点M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.（1）写出C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；（2）设MN的中点为点P，求直线OP的极坐标方程.解：（1）由ρcosθ-π3=1得ρ（12cosθ+32sinθ）=1。从而C的直角坐标方程为12x+32y=1，即x+3y=2。θ=0时，ρ=2，所以M坐标为（2，0），θ=π2时，ρ=233，所以N坐标为（0，233）。（2）M的直角坐标为（2，0），N的直角坐标为（0，233），所以中点P的直角坐标为（1，33），则点P的极坐标为（233，π6）所以直线OP的极坐标方程θ=π6，ρ∈（-∞，+∞）。点评：本题考查点是极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.例2：在极坐标系中，已知点O（0，0），P（32，π4），求以OP为直径的圆的极坐标方程。解： 设点Q（ρ，θ）为以OP为直径的圆上任意一点， 在RtΔOQP中，ρ=32cos（θ-π4）， 故所求圆的极坐标方程为ρ=32cos（θ-π4）。可以看到，利用极坐标系解决本题非常简洁。可是，我校学生的学习基础和理解程度，大部分学生不能想到或是理解这种方法。那么，我们看看下面的这种解法。解法二：点O的直角坐标是（0，0），点P的直角坐标是（3，3），所以线段OP的中点C的直角坐标是（32，32），线段OC=（32）2+（32）2=322。故以OP为直径的圆的直角坐标方程是（x-32）2+（y-32）2=（322）2，即x2+y2-3x-3y=0，化为极坐标方程是ρ=3cosθ+3sinθ，即所求圆的极坐标方程为ρ=32cos（θ-π4）。通过解法的对比，学生可以比较出两种解题方法哪个更为优化，哪个更好理解，从而选择适当的方法进行解题。
二、参数方程与普通方程的互化及简单应用
将参数方程中的参数消去后可以得到普通方程。消去参数常用的方法有代入法，有时也利用代数或三角函数中的恒等式消去参数。需要注意的是，在消去参数的过程的等价性，即坐标的变化范围不能扩大或缩小。例3：（2010年辽宁省高考理科23题）已知P为半圆C：x=cosθy=sinθ ， （θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为π3（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程.解：（1）由已知，点M的极角为π3，且M的极径为π3，故点M的极坐标（π3，π3）。（2）点M的直角坐标为（π6，3π6）， A（1，0）故直线AM的参数方程为x=1+（π6-1）ty=3π6t （t为参数）点评：本题考查点是极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。例4：（2011年辽宁省高考理科23题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=cosφy=sinφ （φ为参数），曲线C2的参数方程为x=acosφy=bsinφ （a>b>0，φ为参数）。在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1、C2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=π2时，这两个交点重合.（1）分别说明C1、C2是什么曲线，并求出a与b的值；（2）设当α=π4时，l与C1、C2的交点分别为A1、B1；当α=-π4时，l与C1、C2的交点分别为A2、B2，求四边形A1A2B2B1的面积.解：（1）曲线C1的普通方程为x2+y2=1，故曲线C1是圆心在原点，半径为1的圆；曲线C2的普通方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），故曲线C2是焦点在x轴的椭圆；由题意知a=3，b=1。（2）当α=π4时，A1（22，22）、B1（255，255）；同理，当α=-π4时，A2（22，-22）、B2（255，-255）；故等腰梯形A1A2B2B1的面积为310。点评：本题考查点是参数方程和普通方程的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。例5：（2012年辽宁省高考理科23题）在直角坐标系xOy中，圆C1： x2+y2=4，圆C2：（x-2）2+y2=4（1）在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1、C2的极坐标方程，并求出圆C1、C2的交点坐标（用极坐标表示）；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程.点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，及学生的计算能力。
三、利用参数方程（或者极坐标）解决直线与圆（椭圆、双曲线）的位置关系问题
（一）对于圆、椭圆及双曲线，它们的参数方程与三角函数有关，通常用来研究对应曲线上与点有关的最值问题。这也是参数方程的主要应用之一。例6：（2011年福建高考21题（2））在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为x=3cosαy=sinα （α为参数）.（1）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，π2），判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.解：（1）把极坐标系下的点P（4，π2）化为直角坐标，得P（0，4）。因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程x-y+4=0，所以点P在直线l上。（2）因为点Q在曲线C上，故可以设点Q的坐标为（3cosα，sinα）， 从而点Q到直线l的距离为 d=3cosα-sinα+42=2cos（α+π6）+42=2cos（α+π6）+22 因此，当cos（α+π6）=-1时，d取最小值，最小值为2。点评：本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化，椭圆的参数方程等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化的思想。（二）直线参数方程t的几何意义例8：（2010年福建高考21题（2））在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=3-22ty=5+22t （t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=25sinθ。（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B。若点P的坐标为（3，5），求|PA|+|PB|。解：（1）由ρ=25sinθ得x2+y2-25y=0，即x2+（y-5）2=5.（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3-22t）2+（22t）2=5，即t2-32t+4=0，由于Δ=（32）2-4×4=2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1+t2=32t1t2=4 ，又直线l过点P（3，5），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=32。点评：本小题主要考查直线的参数方程及参数t的几何意义（极大化简了计算过程）、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。本题也可以化为直线的普通方程，然后求出点A、B，继而求出|PA|+|PB|，但计算量较大。四、在高考中经常涉及的考点
考点1：理解参数方程是以参变题量为中介表示曲线上的点的坐标的方程是同一曲线在同一坐标系下的又一种表现形式，掌握参数方程和普通的互化。考点2：理解极坐标方程是以极径、极角为变题量的方程，掌握极点在原点，极轴在x轴正半轴上时，极坐标方程和直角坐标方程可以互化。考点3：掌握根据所给曲线的参数方程、极坐标方程分别化为普通方程和直角坐标方程，从而判断曲线类型的方法.考点4：掌握根据曲线的参数方程设曲线上任意一点的坐标的方法.考点5：掌握过定点M0（x0，y0），倾斜角为α的直线参数方程x=x0+tcosαy=y0+tsinα （t为参数），此时t有几何意义，即t=MM0.虽然在选做题的三道题中，极坐标与参数方程相对简单，但随着选择此题的考生逐渐增多，此考题难度也逐年增加。但是只要明确考纲，理解并掌握以上知识点，就可以以不变应万变，成功地求解该题。
参考文献：
[1]2009年各省高考数学理科试题
[2]2010年各省高考数学理科试题
参数方程范文5
关键词：参数方程；数学；解决问题；优越性
因为参数方程与普通方程具有一定的互换关系，所以学生理解参数方程的内容时，并不是很难接受；但是在实际应用过程中，往往会受到数学思维等多方面的影响，使其参数方程不能很好地建立和应用；对此学生应不断注重解题思维的培养，首先要从最基础的转化、分析、归纳以及建立等基础的思维锻炼抓起，然后再逐渐意识到参数方程解题的益处和价值，从而更好地意识到参数方程对于解题的优越性。
一、参数方程解决距离长度问题的优越性
很多学生对于求距离长度的问题，会有一定的难度，很多学生会利用距离公式或是使其转化为直线间距的方式进行求解，但是都没有利用椭圆参数方程，在此说明参数方程在解决距离长度问题时的优越性。
例如，“在椭圆■+■=1，求出椭圆上的点M到直线x+2y-10=0的距离最小值d”；通过题意设点M坐标为（4cosα，3sinα），此时确定该题中的唯一参数为α，并且α∈[0，2π），此时得知d=■，整理得■2■cos（α-α0）-10，并且当α=α0时d为最小值，所以此时可得出4cosα与3sinα的值，再将值带入直线方程中，就可以求出d的值为■；对此通过参数的确定并进而简化，从而更好地解决距离长度的数学习题。
二、参数方程解决周长面积问题的优越性
例如，“求证圆的内接矩形中，正方形的面积最大”此时列出宽为2Rsinx，与长为2Rcosx的参数方程，可以确定出面积与长宽之间的关系，对此面积S=4R2sinxcosx整理得2R2sin2x，此时当2x为90°时，则x=45°，S是最大值；当用另一种方式，即设圆的半径为r，内接矩形对角线的夹角为A，此时矩形的面积为S=2r2sinA所以只有当sinA为1时，矩形面积最大，所以只有A为90°时，才能满足条件，并验证正方形面积最大；这两种都准确，但是第二种方法更加需要数学思维和逻辑，给学生增加难度，对此利用参数方程不仅可以减少时间，也能轻松地解决周长面积等题型。
三、参数方程解决点轨迹方程的优越性
参数方程是解决轨迹方程的关键途径，其主要的原则，在于参数的准确选择和引进；同时参数的选择，还要坚持一定的原则，即动点的变化随着参数的改变而改变；对此参数在题目中，能够准确地反映出质点的变化规律，并且与题中给出的变量有一定的联系；所以证明出此方程是参数的轨迹方程，就可以得知参数方程对于点轨迹方程的优越性。
例如，一架飞机在距地面500 m高处以100 m/s的速度沿水平作直线飞行，为了保证物资准确地落在地面上，飞行员应当如何投放，如图所示：
利用普通方程很难用满足于实数对于（x，y）之间的对应关系，以及不能明确物资的运动规律；对此利用参数方程来解决，首先建立x=100 t与y=500-1/2 gt2的参数方程，其中t为参数；可以知道某一时刻物资所在的位置，而且可以进一步知道物资飞行的时间，即当y=0时，t=500/ 2g，又由于m点的坐标x，y由t决定，所以可知当t在连续运动时，x，y也在连续变化，对此明确出物资的运动规律；并且此题明显利用参数方程，比较简单且明确参数与给出量之间的关系；对此说明参数方程对于点轨迹方程有一定的优越性。
综上所述，通过对参数方程在解决数学问题时的优越性的分析，发现参数方程与普通方程存在某种必然的联系，可以相互进行转换，但是参数方程比普通方程更加简易和明了，因为参数方程和普通方程都是由于参数与变量x，y有指定的函数关系，对此比较容易列出函数关系式。而参数方程转化为普通方程时，只要将方程中的参数去掉就可以了，同时题中提到的变数范围还是固定不变的。
参数方程范文6
+y2b2=1 (a>b>0)的参数方程为：
x=acosθ,
y=bsinθ.
其中θ是参数，θ∈［0,2π),故椭圆上的任一点都可以写成P(acosθ,bsinθ),
θ∈
［0,2π)的形式，现就其在解题中的应用例释如下，供同学们参考.
一、求解范围问题
例1 已知椭圆E：x24+
y23=1和直线l:x-2y+c=0有公共点，试求实数c的取值范围.
简析：
设M（2cosθ,3sinθ),θ∈［0,2π)
是E和l的公共点，则有C=23
sinθ-2cosθ=4sin(θ-π6
)∈［-4,4］.
例2 椭圆x2a2
+y2b2
=1(a>b>0)的右顶点为A（a,0)，O是椭圆的中心，若椭圆在第一象限存在一点P使得∠OPA=
π2,则椭圆离心率e的取值范围是()
(A) （0，2-1） (B) （22，1）
(C) （0，22）(D) （2-1，1）
简析：设点P（acosθ,bsinθ),θ∈(0,π2),依题意应有（acosθ-a2)2+(bsinθ)2
=(a2)2,即a2cos2θ-a2cosθ+b2sin2θ=0,整理得e2=
11+cosθ.因为θ∈(0,π2),所以e2∈
(12,1),所以e∈(22,1),故选(B).
二、求解最值问题
例3 求直线y=kx+1被椭圆x24+y2=1所截得弦长的最大值.
简析：
（0，1）为直线与椭圆的一个交点，设另一个交点为（2cosθ,sinθ),则弦长
L=
4cos2θ+(sinθ-1)2
=
-3(sinθ+13)2+163
≤43
3,即所求最大值为433.
例4 已知椭圆C1：
x216
+y2=1和圆C2：x2+y2=16,点A是圆在第一象限上的点，过A作AM垂直x轴于点M，交椭圆于点B，求∠AOB的最大值.
简析：如图1，设A、B两点的坐标分别为（4cosθ,4sinθ),
(4cosθ,sinθ),θ∈(0,π2).令∠BOM=φ,则tan
φ=14tanθ.又tan
∠AOB=tan(θφ)=
tanθ-tanφ1+tanθtanφ
=3tanθ+4tanθ
≤34,当且仅当tanθ=4tanθ,即
θ=arctan2时等号成立，故∠AOB的最大值是arctan34.
三、求解定值问题
例5 已知P（1,32)是椭圆C：
x24+
y23
=1上的点，点M、N是C上的另外两点，且直线PM与直线PN的倾斜角互补，求证：直线MN的斜率为定值.
简析：P的坐标为（2cosπ3，
3sinπ3），设M（2cosα,3
sinα),N(2cosβ,3sinβ),其中α,β∈［0,2π),则kPM
=3(sinα-sinπ3)
2(cosα-cosπ3)
=
-32cot(α2
+π6).同理kPN=
-32cot(β2
+π6).因为PM与PN的倾斜角互补，所以kPM
=-kPN,即cot(α2
+π6)=-
cot(β2
+π6).又因为α,β∈
［0,2π),
所以α2+π6
=π-(β2+π6)①
或 α2
+π6=2π-(β2+π6)②
由①得α+β2
=2π3,由②得
α+β2=5π3.所以kMN
=3(sinα-sinβ)2(cosα-cosβ)=-
32
cotα+β2
=12(定值）.
四、求解三角形的面积问题
例6 已知直线l:x2+1
+y2=1与椭圆C：x23+22
+y24=1相交于A、B两点，在椭圆上使得PAB的面积等于1的点P共有()个.
(A) 1 (B) 2
(C) 3(D) 4
简析：
如图2，设P（(2+1)cosθ,2sinθ),
θ∈(0,
π2)是椭圆在第一象限的任一点，则SPAB
=SPOA+SPOB-SAOB
=(2+1)・(sinθ+cosθ-1)=(2+1)［
2sin(θ+π4)-1］
≤(2+1)(2-1)=1,当θ=π4
时等号成立.易知椭圆在直线AB的下方也有两点使PAB的面积为1，故选(C).
五、求解探索性问题
例7 是否存在同时满足下列条件的椭圆，若存在，求出椭圆的方程；若不存在，请说明理由.①中心在原点，焦点在y轴上，长轴长是短轴长的3倍；②点P（0，2）到椭圆上点距离的最小值是
22.
简析：
假设存在满足条件的椭圆，并设椭圆的短半轴长为b(b>0),M(bcosθ,3bsinθ),θ∈
［0,2π)是椭圆上的任一点，则|PM|2=（bcosθ-0)2+(3bsinθ-2)2=8b2
(sinθ-34b)2+b2-12.
若0
34,则当sinθ34b时，|PM|min
=b2-12=22
,解得b=1∈［34,+∞),此时椭圆的方程为x2+y29
=1.
若34b
>1,即0
=|3b-2|
=22
.解得b=1b
(4-2)∈(0,34)或b=16
(4+2)(0,34)(舍去），此时椭圆的方程为
18x29-42
+2y29-42=1.
