一、逆向思维的涵义、特点和表现
当面临一个问题时,人们习惯的沿着事物发展的正方向去思考解决问题,殊不知,对于某些问题,尤其是一些特殊问题,让思维向对立面的方向发展,从问题的相反面进行深入的探索和研究,往往可以使问题变得简单,出奇制胜,这就是逆向思维所蕴含的魅力,尤其是在数学解题中更是得到了淋漓尽致的展示。逆向思维在数学中的表现有以下几点:
1、表现逆向思维的数学知识——逆定理。定理是数学知识的重要组成部分,但是光掌握定理的成立条件与内容对于职业学校的学生来说是还是不够的,如何去获取新知识呢？可以说,获取新知识最简单的方法莫过于学习逆定理。而这逆定理的“逆”与逆向思维的“逆”在这里就不谋而合了。
2、表现逆向思维的数学方法——反证法和排除法。对于证明题而言,很多时候在特定的场合找不到直接的证明来源,这时可以先提出与结论相反的假设,然后从这个假设出发,合乎逻辑地推出一个矛盾结果,由此断定与结论相反的命题不成立,从而肯定原命题的正确性,这种证明方法就是反证法。而排除法顾名思义就是通过排除不符合题目的假设,从而顺利解决问题。这两种方法都不同程度的表现了逆向思维的内涵。
3、表现逆向思维的数学策略——正难则反。在数学学习过程中,学生常会遇到各种各样的难题。的确,有些数学题目用正向思维去解决,不仅比较困难、工作量大,而且容易出错,这时候就需要从问题的相反方向入手,运用逆向思维去重新认识这个题目。这种“正难则反”的解题策略往往会产生出其不意的效果。例1:从8名男同学4名女同学中选3人参加朗诵比赛,至少有1名女生的选法有多少种？分析:这个题目如果从正面来考虑,至少有1名女生参加可分三类考虑,第一类恰有1名女生,第二类是恰有2名女生,第三类是有3名女生,讨论起来复杂,这时候就需要用逆向思维解决这道题,至少有1名女生的对立面就是没有1名是女生而全是男生,这时候问题就变得简单多了。解:2205616438312cc==
二、如何在职业学校数学教学中培养学生逆向思维的能力
传统的数学教育是以教师灌输知识技能为主,往往缺乏对学生进行逆向思维的训练。因此,学生解决问题习惯于正向思维,但新课程背景下更注重发展学生的创新思维,培养创新精神,形成全方位、多角度思考问题的额体系,因此如何在数学教学中培养学生的逆向思维能力就被置于一个更加重要的位置。
1、创设问题情境,促进智力探索形成氛围
《新课程标准》中指出:数学教学必须要注意从学生的生活经验和感兴趣的事物出发,为他们提供参与的机会,从而对数学产生亲切感,尤其是面对低年级学生,我们更要创设一些有趣的问题情境,激发学生的学习兴趣,从而引发学生的逆向思考。例如:在教学《二项式定理》这一节内容时,教师一开始就写出2(a+b),这时候学生们都会写出它的展开式,然后教师提出n(a+b)中这个n不管是多少我都可以知道它的展开式多少项,分别是多少。这个时候学生就会提出疑问:为什么老师这么快就可以算出来呢,是不是有什么秘诀？这样很自然的就引入了课题。
2、注重教学概念、定义的逆向性
定义是对一个名词进行说明,从而使得数学概念和语言紧密联系起来,揭示出事物的本质特征,而概念是反映对象特有属性的思维模式,是构成判断、推理的要素。因此,在教学中除了学生理解概念本身及常规应用以外,还要善于引导启发学生从相反方向思考问题,从而加深对概念的理解和拓展,最终形成推理能力和计算的技能技巧。例如:在教学《奇函数定义及图像》时,首先讲解奇函数的定义:对于函数f(x)的定义域中任意一个x,都有f(x)=f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。针对这个定义要求学生们理解:如果函数满足f(x)=f(x),则函数为奇函数,且函数图像关于x轴对称,而另一方面,如果一个函数的图像时关于x轴对称,则可说明这个函数是奇函数f(x)=f(x)这就是从定义、概念的反方向思考问题。
3、注重教学公式、运算法则的逆向性
数学中的公式及运算法则是数学知识体系的最基本的部分,是解决其它数学问题的桥梁。因此,在讲授公式及运算法则的时候,教师要注意训练学生逆用公式、运算法则的基本动。讲完后,要通过一些公式逆用的例子,以此加深学生们对公式、运算法则的理解,给学生一个更为深刻的印象。例如:在教学《三角函数的倍角公式》这一节内容时候,教师除了要讲解cos2a=aaaa2222cossin=2cos1=12sin之后,必须从逆方向继续讲解这个公式,从而得到21cos2sin21cos2cos22aaaa=+=而,这两个公式有着更为广泛的运用,在很多考察三角函数的题目中,常常利用它们作为桥梁,通过降幂的方法来解答三角函数的题目。
4、注重教学中定理的逆向性
定理是数学知识的重要组成部分,是判断是非、逻辑推理的依据,是进一步解决数学问题的锐利武器,只有熟练掌握定理的成立条件与内容,才能产生正确的思考方法和形成简洁的解题技巧。要想熟练掌握定理,就必须从正反两个方向去理解定理,虽然每个定理都有逆命题,但并不是每个逆定理都是成立的,经过证明是成立的逆命题就成为逆定理。重视逆定理的运用,不仅可以开拓学生的思维,还可以培养他们严谨的数学思想品质。例如:对于《勾股定理》大家都很熟悉定理内容:如果直角三角形的两个直角边分别为a,b斜边为c,则这个三角形的三条边的边长满足222a+b=c。这个定理的逆命题是,已知三角形的三条边的边长满足222a+b=c,则这个三角形就是直角三角形。通过证明我们发现这个命题是成立的,那么这个命题就是勾股定理的逆定理。
三、结语
培养学生逆向思维可以让学生的思维更加敏捷、灵活及深刻,使学生在遇到难题时积极主动地去寻求新的解决途径。这不仅能提高他们的实际解题能力,更重要的是能够改善职业学校学生学习数学的思维方式,有助于他们形成良好的思维习惯,逐步形成创新思维,最终使得整个素质得到很大程度的提高。
作者：徐冰 单位：淮安生物工程高等职业学校
