摘要:针对线性代数课程特点和学生的实际情况，从重视课程的入门教学、融入数形结合思想、培养学生的探究能力、运用案例提高学生学习兴趣四个方面，提出了一些有效提高课堂教学效率的具体策略。
关键词:线性代数;教学改革;数形结合
线性代数是高等院校理工类和经济管理类等专业学生的一门重要的数学基础课程之一，是学生学习后续课程的工具，同时在培养学生的计算和抽象思维能力方面有独特的作用。但是，由于这门课程概念繁多、内容抽象，逻辑性强、计算繁琐，大多数学生感觉晦涩难懂，普遍感到比微积分的学习要困难得多。加之学时偏少，教师经常要赶进度，整堂课讲得口干舌燥，但收效甚微。如何在课堂教学中有效提高教学效率，帮助学生适应线性代数课程的教学进程呢?为此我们从以下几个方面来谈谈提高线性代数课程教学效率的策略。
一、重视线性代数绪论教学
教学论的理论与实践告诉我们，为了达到预期的教学目的和要求，必须组织好教学过程，充分注意到教育对象的特点、课程的特点以及各个教学阶段的特点。而教学阶段又可大致分为入门教学阶段、继续教学阶段和复习阶段。线性代数这门课程的内容大致包括:行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型等。线性代数这门课程本质上就是围绕如何解线性方程组展开的相关内容的研究。在课程教学的第一次课，我们可以通过绪论的形式将本课程的主要内容向学生展现出来。例如，可以通过学生熟悉的中学平面解析几何引入线性方程组的求解问题，具体来讲就是，在建立了平面直角坐标系后，平面上的一条直线l就与二元一次方程ax+by+c=0建立了一一对应关系，从而两条直线位置关系的几何问题就转化为一个二元一次方程组解的问题，即两直线平行等价于对应的线性方程组无解;两直线相交等价于对应的线性方程组有唯一解;两直线重合等价于对应的线性方程组有无穷多解。类似地，空间解析几何中，一个平面和一个三元一次方程是一一对应的，从而也有相应三平面位置关系的几何问题就转化为一个三元一次方程组解的问题，即三平面平行等价于对应的线性方程组无解;三平面相交于一点等价于对应的线性方程组有唯一解;三平面相交于一直线等价于对应的线性方程组有无穷多解;三平面重合等价于对应的线性方程组有无穷多解。针对后面这两种情况，提出问题:都是对应的三元一次线性方程组有无穷多解，那么它们的解的形式有什么不同?对于更多个未知量的线性方程组，其解的情形又是怎样的呢?换个角度说，比如:3x+4y=10x+2y=10{，3x+4y=13x+4y=2{，3x+4y=16x+8y=2{，3x+4y=12x+4y+z=5{这几个方程组，不解它们，能直接判定解的个数吗?从而说明方程组未知量个数与方程组解的个数之间有关系，这是本课程要去研究的一个重要内容之一，这样就激起了学生的学习欲望，为以后的学习打好伏笔。通过解析几何中平面和空间的概念我们向学生说明，在线性代数课程中可以将它们推广到n维向量空间，那么在n维向量空间中如何建立坐标系呢?这就需要有所谓的向量的线性无关的概念，从而说明向量的线性相关性也是线性代数课程的又一个重要内容。接下来还是从解析几何中的基本问题:给定一个二元二次方程，如何判定它表示哪类二次曲线?给定一个三元二次方程，如何判定它表示哪类二次曲面?向学生介绍线性代数还有一个重要内容就是二次型。这样，通过绪论课，我们向学生介绍了线性代数的主要内容，让学生对这个课程所要研究的内容有了一个整体的了解，激发了他们学习的兴趣，提高了学习积极性，为后面高效率的学习打下基础。
二、融入数形结合思想
线性代数课程的一大特点就是定义繁多、内容抽象，很多内容学生难以理解。然而，线性代数中很多的概念和理论都来源于几何，所以，我们在教学过程中可以借助几何语言来阐释线性代数中的概念和性质，从而化解线代数抽象、难学难教的状况．例如，在行列式这个概念的教学中，我们可以将行列式看作是有向面积或体积的概念在一般欧几里得空间中的推广。再例如，向量组的线性相关的几何原型就是两个2维向量共线，而线性无关的几何原型就是两个2维向量不共线。方阵的特征值和特征向量是线性代数教学中的一个重点和难点，大多数教材都是直接给出定义，没有提供具有相关直观几何背景知识的内容，这样不利于学生对此概念的理解和掌握。事实上，我们可以借助几何直观来引入方阵的特征值和特征向量的定义。在讲矩阵的概念时，我们就向学生阐明了:线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系。接下来学习了矩阵的运算后，学生知道了线性变换y=Ax把列向量x变成列向量y，相当于用矩阵A去左乘x得到y。在给出方阵的特征值和特征向量的一般定义之前，我们先给出一个方阵A=1002()，将起点在原点，终点在单位圆上的任一向量记为p=xy()，当p从10()开始运动时，相应的Ap也随之运动。我们提出问题:p运动一周的过程中，Ap是否存在与p共线的情形?如果有，它们之间的比例数是多少?通过动画演示，学生发现线性变换A将单位圆整体的拉伸为椭圆，当p分别运动到10()，－10()，01()，0－1()时，Ap与之共线，即有A10()=110()，A－10()=1－10()，A01()=201()，A0－1()=20－1()，表明这4个向量p对线性变换或方阵A来说是很特殊的，Ap只是对p进行了伸缩变换，我们就把伸缩系数1或2称为A的特征值，而这4个向量分别称为对应于特征值1或2的特征向量。接下来我们就自然的给出方阵的特征值和特征向量的一般性定义:设A是一个n阶方阵，如果存在数λ和非零向量p，使得Ap=λp，那么λ称为A的一个特征值，p称为A的对应于特征值λ的特征向量。通过直观形象的实例引出特征值和特征向量的定义，让学生感到此定义并不是凭空产生的，而是有着强烈的几何背景，从而更好的理解和掌握它。
三、培养学生的探究能力
李大潜院士说:“数学教育本质上是素质教育。”学习数学，不仅要学到许多数学概念、方法和结论，更要领会到数学的精神实质和思想方法。如果将数学教学仅仅看成数学知识的传授(特别是那种照本宣科式的传授)，那么即使包罗了再多的定理和公式，可能仍免不了沦为一堆僵死的教条，难以发挥作用，而掌握了数学的思想方法和精神实质，就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力。线性代数在培养学生思维能力和分析问题解决问题的能力方面可以发挥重要作用。在学完矩阵的秩这部分内容后，我们给学生准备了一道填空题:设A是5阶方阵，A的秩R(A)=3，则A的伴随矩阵的秩R(A*)=。学生通过矩阵秩的定义和伴随矩阵的定义，很快得到答案为0。接着我引导学生对这个问题进行探究，将A的阶数与秩作改变，相应的A*的秩又是多少呢?如题目改为:设A是4阶方阵，R(A)=3，则R(A*)=。这时实际上已经变成一个综合题了，它的难度就比刚才的提高不少，其中会涉及到多个知识点，如:矩阵秩的定义;方阵的秩与行列式的关系;若两个矩阵的乘积为零，则它们秩的和要满足什么不等式等等。通过分析引导，学生得到答案为1。利用这个问题，帮助学生复习了已学的知识点。最后我再提出:设A是n阶方阵，对于R(A*)，同学们能不能给出一般性的结论呢?经过一番思考，有不少学生给出了结论，即当R(A)=n时，R(A*)=n;当R(A)=n－1时，R(A*)=1;当R(A)!n－2时，R(A*)=0。通过这个问题的教学，拓展了学生的思维，培养了学生提出问题，分析问题和解决问题的能力。
四、充分运用案例，提高学生的学习兴趣
线性代数的概念和理论都很抽象，在教学中，可以适时的引入和学生专业相关或生活相关的例子，既可以激发学生的学习兴趣，又能将所学的线性代数知识与专业知识结合起来。例如在学习了矩阵的相似与对角化后，我们给出了如下捕食者与食饵系统问题。在某森林中，捕食者种群U和食饵种群V的数量是随时间而变化的，满足如下公式:Un+1=0．4Un+0．6VnVn+1=－kUn+1．2Vn{其中Un和Vn分别是捕食者种群U和食饵种群V在n月底时的数量，k是种群U吃掉种群V的速度。我们提出如下问题:(1)该系统怎样用矩阵形式来表示?(2)设现在两个种群的数量分别为U0，V0，当k=0．2时，该系统如何演化?(3)当k=0．2时，捕食者种群U和食饵种群V的数量随时间的变化趋势是什么?问题分析:(1)设xn=UnVn()，则系统可表示为:xn+1=Axn，其中A=0．40．6－k1．2()。(2)由xn+1=Axn，可得xn=Anx0，其中x0=U0V0()。为了计算An，就需要利用矩阵的相似对角化。当k=0．2时，A=0．40．6－0．21．2()的特征值为λ1=1，λ2=0．6，对应的特征向量为p1=11()，p2=31()。不妨设x0=U0V0()=c1p1+c2p2，令P=1311()，则有P－1AP=1000．6()，从而A=P1000．6()P－1，An=P1000．6()nP－1=P1000．6n()P－1，于是，xn=Anx0=1311()1000．6n()1311()－1x0=c111()+c20．6n31()。(3)设c1＞0，则当n充分大时，xn趋于c111()，即当时间足够长时，两种群的数量之比为1∶1。教学过程中适当运用案例吸引学生的注意力，增强他们的好奇心和探索欲望，培养他们利用所学知识解决实际问题的能力，从而提高了教学效果。
作者:唐秋林 单位:南通大学理学院