等比数列教案范文1
笔者从事高中数学教学已有30多年，经历了多种高中数学教材版本，觉得真正把生活与数学融为一体的还是新教材。数学的许多概念和结论源与生活，只要我们细心观察、仔细研究就不难发现，教材中的所有概念都能在实际中找到原型。
【案例情境】 北京时间2013年4月20日8时02分四川省雅安市芦山县（北纬30.3,东经103.0）发生7.0级地震。震源深度13公里。震中距成都约100公里。成都重庆等地均有较强震感。2008年5月12日，四川省汶川发生了8.0级强烈地震。试问：这两次地震的破坏程度有多大的区别？
【案例分析】早在20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测振仪衡量能量的等级，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为
这说明8级地震与7级地震虽然仅差1级，但8级地震的最大振幅却是7级地震的最大地震的10倍。
【案例评价】“对数与对数的运算性质”是高中数学教材中一个非常重要的概念，对数知识在日常生活中的应用很广泛，几乎无处不在。如银行复利的计算，生产效益的估计，职工奖金的发放，商品价格的变化，古董价值的确定等。地震等级的测定，是对数知识最典型的应用。
案例2 穷人向富人借钱
【根植教材】（1）一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差。（人教版《数学5》第37页）
(2)一般地，如果一个非零数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。（人教版《数学5》第49页）
【案例情境】从前，一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。请你思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
【案例分析】这里涉及到两个不同的数列，富人给穷人借钱的数目构成以1为首项，1为公差的等差数列（单位：万元），穷人给富人还钱的数目构成以1为首项，2为公比的等比数列（单位：分）。30天后，富人共借给穷人：
【案例评价】“等差数列与等比数列”是中学数学教材中非常重要的知识点，它们是函数知识的延续。在旧社会，广大劳苦人民饱受剥削阶级的压迫，一些有钱人仗着自己有钱读书而欺负穷人没有读书识字，用欺诈的手段麻痹穷人。通过这个案例，我们既可以教育学生发奋学习，激发学习兴趣，又可以很自然地引入等差、等比数列的有关概念。
案例4水污染治理方案比较
【根植教材】一般地，如果一个非零数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。（人教版《数学5》第49页）
【案例情境】一活水湖上游河道有固定流量的水流入,同时下游有河道流出,湖水的体积保持在200万立方米左右由于受到上游水流的污染,湖水中某种不能分解的污染物浓度已达到0.2克/立方米,目前上游污染已经得到治理,流入湖中的水已不含污染物,在污染终止一天后,测得水中的该污染物的浓度下降为0.199克/立方米,环保机构希望湖水中该污染物的浓度不超过0.05克/立方米,若不采取其他治理措施,湖水需要多少时间才能达标?
【案例分析】现在有两种方案来降低水库中水的污染程度：
方案1：水库先不放进上游的水，而是先放掉水库中体积为Q1m3的水，再引入上游的水Q1m3;
方案2：水库先不放出水，而是先从上游引入水库体积为Q2m3的水，然后再从下游河道排放的水Q2m3。
等比数列教案范文2
关键词：合情推理；数列；归纳类比
美国著名的数学家数学教育家G·波利亚说过：“创造的过程是一个艰苦曲折的过程，数学家创造性的工作是论证推理即证明，但这个证明是通过合情推理而发现的．” 不少省市进行新课改已经多年了，无论是在教材还是教法上和以前传统的教育教学有了很大的改变．从教材的角度来看，新教材在去掉旧教材诸多繁冗的知识点之外，又引入了一些新的章节，如算法、导数、推理证明等等． 对这种在教材内容上的重大改革，开始之初非议之声不绝于耳． 很多反对之声不乏著名的数学教育者及教师，尤其是谈到推理与证明这一章时不少人认为这一章是没有必要的，认为我们平时在做题、讲题时不就在用它吗，感觉这一章的引入是多此一举． 笔者认为不然，想想远古人类第一次用火做饭烤肉时，有多少人能够明白生火的原理所在呢？笔者恰恰认为这是新课改在教材改革上的重大飞跃之一，从知识传授转而向方法上的传授． 在数学的教育教学中应当灌输方法论的教育． 笔者在进行数列习题教学中，在这一方面作了一些探讨，下面就以用两个案例来展示笔者在习题教学上的一些实际操作．
案例1：已知数列｛an｝的前n项和Sn满足Sn=n2+bn（b为常数），且对于任意的k∈N*，ak，a2k，a4k成等比数列，数列的前n项和为Tn（n∈N*）．
（1）求数列｛an｝的通项公式．
（2）求使不等式Tn
（3）试求出所有的正整数m，n（2
教学分析：笔者通过教学设计了一段师生之间理想式的谈话．
学生：第1问比较简单，已知数列的前n项和Sn求数列通项公式an只需用递推式an=S1，n=1，Sn－Sn-1，n≥2 推出an=2n+b－1；然后根据恒等式?坌k∈N*，a=ak·a4k得b=1，则有an=2n；至于第1问那就更为熟悉了，因为数列｛an｝是等差数列，所以对于数列的前n项和用裂项相消法即可，推算出Tn=；
教师：第一问和第二问处理起来相对容易些，因为所涉及的知识点相对熟悉些，我们在平时的复习中也进行过类似的训练，那么对于第3问我们应当如何处理？这样的问题我们熟悉吗？
学生：这个问题平时我们在数列学习中不太熟悉，但是根据题目的条件T2，Tm，Tn成等比数列，能列出相应的等式T=T2·Tn；即有2=，稍微处理一下得=；下面该如何处理就不得而知了？
教师：不可否认从知识点的角度来看我们已经尽力了，不能够继续进行的缘故是相应方法或者知识点的缺失． 我们对于这种类型的推理题该如何处理？其解决手段在选修课本中做了一些介绍，如合情推理与演绎推理，对于这两种形式的推理方式相应的作用就不必多说了，简单地来说合情推理是发散的思维模式，有助于我们发现解决问题的方法；演绎推理是收敛的思维模式，能够帮助我们得出正确的结论！
学生：对于这样一道推理题我们应当用什么样的合情推理来发现这一问题的解决呢？是归纳还是类比呢？
教师：问得很好！我想我们不妨两个角度都试一下，不过我突然想起现实生活中的有趣的事例，不妨试着去类比看看． （囚徒论）说有一位警察抓住了两个犯罪嫌疑人，想通过对他们的审讯交代自己所犯的罪行，如果你是那位警察该从怎样的空间、怎样的人物开始下手呢？
学生：我想应该先把两个犯罪嫌疑人分开即将其开关在不同的房间里，然后从他们中关系最简单、相对单纯的犯罪嫌疑人开始下手．
教师：（全班一阵欢笑）将他们分开关闭使他们信息分隔，有利于从心理将其一一击破，从最简单开始先审讯相对单纯的犯罪嫌疑人也似乎是合情合理的． 现在看看我们这道题的第3问所得的等式吧：=；如果我们将m，n看成是我们抓住的两个犯罪嫌疑人，从等式的角度来看m，n已经被关在不同的房间了． 现在我们要开始“逼供”了，请问先审m还是n呢？让谁先交代？
学生：当然是n啦．因为n看起来简单多了，可以先对n下手逼着它先交代m是谁？（全班又是一阵大笑）
教师：通过怎样的方式怎么让n交代呢？
学生：先将等式右边常数24移到左边去，即得到=；然后从等式的右边开始对n进行这样处理=
从上述案例中可知这道题解决的灵感来源于我们现实生活中的有趣的案例，事实上我们社会生活中有很多科技产品发明不少都是从其他自然界类比而产生的． 下面给出的数列习题的案例从另一种角度发现解题的思路，即从归纳推理的角度给出思路．
案例2：设｛an｝是公差不为零的等差数列，Sn为其前项和，满足a+a=a+a，S7=7．
（1）求数列｛an｝的通项公式及前n项和Sn；
（2）试求所有的正整数m，使得为数列｛an｝中的项．
教学分析：同样笔者通过教学设计了一段师生之间理想式的谈话．
学生：第1问相对较简单，只是涉及数列基本量计算，设首项为a1，公差为d代入所给的两个等式a+a=a+a，S7=7中去就可以了．
教师：直接这样做对于第一个等式可能麻烦一些，不妨将其转化成a－a=a－a，即有（a2+a5）（a2－a5）=（a4+a3）（a4－a3）． 由性质得－3d（a4+a3）=d（a4+a3），因为d≠0，所以a4+a3=0，即2a1+5d=0．
学生：这样做法确实不错，运算上简化了，又由S7=7得7a1+d=7，这样算出a1=－5，d=2，所以数列｛an｝的通项公式为an=2n－7，前n项和Sn=n2－6n．
教师：现在我们可以将精力放在对第2问的思考上，怎么办？对于式子打算怎么办？
学生：我们可以先将式子等价转化为，判断此数是否为数列｛an｝中的项，只要看式子能否写成2n－7的形式，即寻求满足条件的正整数m，n使等式=2n－7成立．
教师：对上述等式能否像上一案例那样去寻求解题的思路呢？
学生：（学生思考）好像不行，对n处理不能将其等式放缩，无法将其等式转化为不等式．
教师：我们要明白有关此类数列的推理题，思维不能只局限在一个小圈圈内，如果实在想不出具体的方案那就先猜猜吧！从简单的开始比方说m=1，2，3，4，5，6…试试吧？
学生：认真计算发现m=1，2，3，4，5，6时相应项的值分别为－15，3，－，，，；经过仔细判断六个数中只有m=2时符合要求，即m=2时等式为3，算出此数为数列｛an｝中的第五项．
教师：除此之外，难道我们就没有别的收获了吗？要明白此等式为数列｛an｝中的项首要条件必须是整数才行．
学生：哦！明白些了，我发现从m=3，4，5，6也许往后的数都是分数吧！好像我们应该来说明这一点才对．不错！应该是这样的！
教师：很好！这确实是一个不错的点子．该如何说明这一点呢？等式要成为整数该满足怎样的条件？
等比数列教案范文3
笔者在本文就数列中的函数思想、特殊化与一般化思想、类比思想、分类讨论思想、化归思想和模型思想，进行简单介绍与说明，帮助学生更好的理解数列中的数学思想.
一、函数思想
高中数学数列教学以函数思想为指导思想，让学生认识函数和数列之间的关系，强调数列项的排序为函数自变量.从苏教版教材中对数列概念、等差数列与等比数列运算等介绍均体现了函数思想，如数列是正整数集，以一系列离散点为图像，数列通项公式为对应函数解析式.等差数列为一次函数，等差数列前n项和为关于n的二次函数（常数项=0）；等比数列为指数函数.数列具有函数一般性质.
二、特殊化与一般化思想
数列章节中关于数列、等差数列、等比数列概念的引出，先给出教学特例，引导学生从特殊中归纳总结一般，得出概念，然后在概念的基础上，应用概念解决问题.另外，等差数列通项公式和求和公式、等比数列通项公式和求和公式的推导，也是从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想.
三、类比思想
数列章节中等差数列和等比数列的相关内容都是函数类比得出的，如等差数列、等比数列是数列项类比于实数的加法、乘法.等差数列概念、通项公式、前n项和、性质等，类比后得出等比数列特征.数列、等差数列、等比数列等相关问题，可以类比函数概念、表示方法、性质得出.笔者梳理等差数列和等比数列的类比，如表2所示：
四、分类讨论思想
在等差数列和等比数列中均有分类讨论思想的体现，如等差数列中，结合公差d的正负情况分为不同数列；在等比数列中，结合公比q和首项a1范围进行数列分类；等比数列前n项求和Sn，可以结合公比q进行分类讨论，具体如表3所示：
五、化归思想
因为学过等差数列和等比数列前n项和，因此对于一般数列求和，应尽可能将其化归为等差数列或等比数列，然后再求和，体现了数列中的化归思想.
六、模型思想
等比数列教案范文4
关键词：高中数学；反思能力；教师；学生
新《普通高中数学课程标准》将“反思”这一教学理念提到了一定的高度。反思是纠错的重要手段，当代科学家波普尔说：“错误往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素。”反思错误，弄清哪些地方易犯错误，分析出错原因，提出改进措施，总结正确的解题思路和方法，这是培养学生批判性思维的重要途径。学生在解题中出现的错误有知识缺陷造成的，有能力缺陷造成的，也有逻辑策略造成的，更有非智力因素造成的，在解完一个题目后就有必要对解题的正误作进一步的思考，及时总结。纠错反思可以改善学生的思维能力和学习习惯，提高解题能力，因此要求学生初步形成反思的意识，教师要提供必要的机会，使学生能从事反思性学习活动，培养和提高学生反思性学习能力。本文针对反思能力的培养作相关的论述。
1.培养反思能力的重要性
对班级学生进行的调查结果表明，绝大多数学生没有经常反思回顾的习惯，大多数学生只会在作业过程中偶尔回顾当天所学的知识，20%的学生从不回顾学习。解题过程中，65%以上的学生没有作小结的习惯，只有极个别的学生有做完题目后进行归纳总结的习惯。
学生的学习存在着两个很大弊端：一是只管做题，应付作业，只注重做题的结果而不注重解题的过程和解题后的反思；二是遗忘快，学生的学习只停留在片面的知识点而忽略知识整体，没有系统性，数学学习及解题单纯依靠记忆。因此，教师应鼓励学生在解题时自我探索，发现规律，引导学生对所学知识、所讲题目尤其是对出错的知识点回顾反思，加深印象，避免重蹈覆辙，提高解题效率。教师要让学生明白数学反思的必要性，要让学生明白只有经过多次的反思才能更好地进行深入研究及自我调整，要引导学生坚持反思学习。学生缺乏自我学习的反思能力，那么他们在以后的数学学习过程中遇到的失误就很难快速地溶解消化掉。荷兰著名数学教育家费赖登塔尔教授指出“通过反思才能使现实世界数学化”，因此在高中数学的学习中不能忽视反思这一环节。
2.培养反思能力的方法
（1） 正误对比，反思纠错。在教学过程中，对于某些题型，可以设置一些陷阱，采用正误对比方法，引导学生参与，让学生自己发现问题所在，引导学生去反思错误的根源，寻找解决问题的方法，从而加深学生的印象。
案例1：已知x>0，y>0，若x+2y=1，求 的最小值。
某学生给出的解法：由于x>0，y>0，故1=x+2y≥2√x・2y ，得xy≤ ， ≥8，又 ≥2√ ≥
2・√8=4√2，所以（ ）min=
学生的回答并没有引起太大的争议，表现比较平静。此时，教师可以引导学生反思一下他的解法，该生利用了基本不等式中已知和（积）为定值求积（和）的最值，我们在解决这类问题时要注意的是什么？这时，很多学生都知道，解这类问题时要特别注意“一正、二定、三等号”这三个缺一不可的条件。很快就发现本题中忽略了等号条件，导致错误，两个等号不能同时取得，用此方法只能得到 >4√2 ，无法求出最值。
继续引导，思考本题的解法，构造基本不等式积为定值的形式，且只使用一次基本不等式。教师提示学生对条件中“1”进行反代，不难得出本题的结果：
=3+2√2。
本题解答完成了，还可以继续反思解法，这类已知两个变量的关系求最值时，还能将所求的二元用一个变量表示，构造自变量x的函数。
（2） 看清实质，反思发现。在教学中，要引导学生反思发现很多结论的实质，通过挖掘结论的实质来解决新的问题。
案例2：设数列{an}是等差数列，
且a10=0，则a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n
（n≤18，n∈N*），类比此结论，可得在等比数列{bn}中，若b10=1，则b1b2…bn=b1b2…b19-n（n≤18，n∈N*）。
学生很容易得出本题的结果，若教师点评到此为止，则失去了本题的很多内涵。引导学生反思：等差数列和与项的关系S2k-1=（2k-1）ak，S2k=k（ak+ak+1），k∈N*，由此解决与等差数列和有关的问题。在等比数列中利用等差数列和的方法类比解决等比数列积的问题。
改编：等比数列{an}中，公比q>1，a10=1，则使a1+a2+…+an>
恒成立的正整数n的取值范围是 。
（3） 常规问题，反思本质。教学中，对例题作业等应引导学生深入探究，让学生从一道题中明白一类题，抓住一串题，达到举一反三的目的。
案例3： 正项数列{an}中，前n项和为Sn，且a1=2，an=2√2sn-1 +2（n≥2），求数列{an}的通项公式。
学生要得出答案不困难，可以构造 {√Sn}是一个首项和公差都是√2的等差数列，或证明{an}是一个首项为2公差为4的等差数列。但是仅得出答案学生的能力就没有得到提高。讲解本题时引导学生反思：怎样的数列能满足 {√Sn}和 {an}同时为等差数列，不难发现，等差数列的通项和前n项和分别满足形式an=kn+b，Sn=An2+Bn，只有当B=0即a1= 时，才有上述结论成立。
类题：（2010江苏19）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知 2a2=a1+a3，数列{√Sn}是公差为d的等差数列。
（1）求数列{an}的通项公式（用 n，d表示）；
（2）设c为实数，对满足m+n=3k 且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立。求证：c的最大值为 。
利用此结论，本题的第一问可以很容易解答。
（4） 一题多变，反思归纳。解题教学中，应注重变式教学，使学生开阔眼界，让学生参与，让学生抓住知识的联系与区别，促使学生进行归纳、思考、总结、激发学生的学习兴趣。
案例4：直线l经过P（2，1）并且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求AOB的面积的最小值。
学生给出两种常用方法：直线方程设为点斜式的函数最值法或设截距式的基本不等式法。解完本题后，可以反思：直线l与坐标轴围成的三角形可以在哪些象限？每个象限的三角形面积的取值范围怎样？
我们会遇到这样一类问题：经过 P（2，1）的直线与坐标轴围成的三角形面积为4，则这样的直线存在 条。
同时，反思：当例4中的AOB面积取得最小值时，点P处于怎样的位置？
（5） 一题多解，反思方法。在教学中，要倡导一题多解、一题多变、多题一解的训练，多层次、多方位、多角度启发学生探索，诱导学生反思，使学生养成多角度分析问题的习惯。
案例5：当x=1时，二次函数f（x）有最小值1，若把f（x）的图象向下平移3个单位，此时所得函数图象与x轴相交，并截x轴上的线段长度为4个单位，求f（x）的解析式。
二次函数问题，引导学生从二次函数三种解析式形式入手，选择三种方法求解，寻找f（x）所满足的三个条件即可求解。在解题训练时，要鼓励学生不能仅满足于一种解法，要多思考不同的解法，教会学生反思，培养学生思维的广阔性，让学生善于从不同的角度去思考问题。
等比数列教案范文5
关键词：高中数学；数学思想；应用意识；开放性试题
数学是一门非常重要的学科，尤其是在应试教育环境下，数学成绩在高考分数中起着举足轻重的作用。我们都知道2008年全国数学试卷难度比较大，有多少学生在考完数学之后流下了眼泪，在这里我们不必追究是什么原因导致学生的失利，除此之外，我们看到的就是学生对数学的重视，但为什么数学课堂效率还是不高呢？细细反思，学生找不到学习数学的兴趣，没有掌握学习数学的方法，这就要求教师在教学过程中，要选择合适的教学方法，充分发挥数学的魅力，让数学课堂45分钟实现效益最大化。
一、在教学过程中渗透数学思想
数学思想是数学学习的精髓，基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想。通过数学思想的培养，学生学习数学的能力也会有一个大幅度的提高。我们要借助数学思想在数学课堂的渗透提高学生的解题能力，为实现高效数学课堂打下坚实的基础。
在学习“数列”时，为了让学生能够熟练地掌握有关的知识点、能够顺利解决有关数列的知识，我认为向学生渗透一定的分类与整合思想和转化思想是非常必要的。如：已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立，①求数列{an}的通项公式；②设a1>0，λ=100，当n为何值时，数列{lg1/an}的前n项和最大。（解答过程略）本题考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；考查了学生的思维、运算、分析问题和解决问题的能力；而且还将数学方程、分类与整合、化归与转化等数学思想渗透在解题的过程当中，随着数学思想的不断深化，学生的解题技巧也会随之提高，学生的学习效率也会得到大幅度的提高。
二、结合生活实际，培养应用意识
数学的价值就是让学生学会应用，学习数学不仅是为了要在考试过程中取得高分，考上一个理想的学校，教与学最重要的目的是让学生学会应用，学会如何利用数学知识解决我们日常生活中的问题，让学生感受到数学与我们的生活密切联系，提高学生的应用意识，调动学生的探究精神，使学生得到良好的发展。
学习“函数模型及其应用”时，我们就可给学生设立一个生活情境，让学生在解决的过程中，找到学习数学的兴趣点，让学生学有所用。如：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问：你会选择哪种投资方案？
看似简单的一道试题，其中包含了函数的基本知识点，也让学生体会到数学在实际问题中的应用价值，促使学生产生学习兴趣，让学生得到全面发展。
三、进行开放性试题练习，提高学生的思维能力
数学作为一门科学性学科，需要创新，需要学生的探究能力，但是一成不变的教学模式、教师对课堂的主宰都限定了学生个性的发展，学生没有主动探究、主动发展的空间，导致了学生的学习积极性较差，所以，教师可以通过开放性试题的练习，提高学生的思维能力，给学生一定的发展空间，使学生得到良好的发展。
教师要引导学生对一些试题进行一题多解，让学生在这个过程中，找到适合自己的解题思路，促使学生得到全面而有个性的发展。如：设数列{an}{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5的值？
解法一：因为数列{an}{bn}都是等差数列，所以，数列{an+bn}也是等差数列，故由等差中项的性质得，（a5+b5）+（a1+b1）=2（a3+b3），即（a5+b5）+7=2×21解得：a5+b5=35。
解法二：设数列{an}{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3+b3=（a1+2d1）+（b1+2d2）=（a1+b1）+2（d1+d2）=7+2（d1+d2）=21；所以，d1+d2=7，因此，a5+b5=（a3+b3）+2（d1+d2）=35。
两种不同的解法彰显了学生不同的个性，教师不要去否定学生的想法，要积极地引导学生去探寻新的解题思路，进而提高学生的学习效率。
在数学教学中，教师要建立合理、科学的评价体系，帮助学生树立自信，让学生以积极的心态面对学习过程中的困难，最终让学生在短短的45分钟内获得更多的知识，实现效率最大化。
参考文献：
［1］李娟.浅谈数学教学中渗透数学思想方法的重要性［J］.学周刊，2012（23）.
等比数列教案范文6
关键词：高等数学；课堂教学；寓教于理
一、概率论中的案例
对概率论中“小概率事件实际不发生原理”，学生一般理解起来模模糊糊的，老师可以这样打比方：你驾驶技术很好，又行驶在一段很直而没有其他车的高速公路上，这样你出车祸的概率为小概率事件。如果因为你自己的原因出了车祸，你还能说你的驾驶技术好吗？通过形象化的举例让学生很快理解这个原理。并可以给学生讲这个原理在破案中的运用案例：有一个人因为利益冲突谋杀了另一个人，企图通过车祸假象来掩盖事实真相。他驾车行驶途中抛尸并制造车祸假象，当警察调查过他的车龄和当时的路况后，以嫌疑犯拘捕了他。他感到非常疑惑，警察告诉他：“你开车熟练，当时路上没有其他车，这段路又比较直，也没有事故记录，这些情况说明出车祸的情况为小概率事件，而你竟出了车祸造成命案，说明不是一起简单的交通事故。”疑犯一听，当场泄气，并告诉学生不要存在侥幸心理去干一些违法乱纪的事情，很多案件的发生具有统计规律性，再隐蔽的作案手段，运用数理推理，也会发现蛛丝马迹。这样形象地给学生讲解，既寓教于理，还让深奥的数学原理变得浅显易懂。
二、泛函分析中的案例
在泛函分析中讲解完备空间时，也有寓教于理的案例。学生和老师一般认为泛函分析这门课程相当深奥，如果只是一味地讲解数学原理，学生会感到枯燥无味，晦涩而难以理解。泛函分析的内容关键是在空间中定义距离，在定义的距离下研究空间的特性。我们知道，在初中学坐标时，就学了距离公式，这个是欧式距离，是实数域内两点之间的距离公式。而泛函分析不只是研究实数域点的问题，还拓展到研究函数空间的问题，即空间内的点可以是函数，函数与函数之间的距离，就不能用欧式距离公式求，要定义新的距离，这就是泛函分析研究函数空间要定义距离的原因。
空间中的柯西点列，形象地说，就是在该空间所定义的距离下，越往后面，点与点之间的距离越来越近，甚至趋近于零。泛函分析中有一个重要的概念，就是完备的距离空间，就是在定义距离下柯西点列都收敛的距离空间为完备的距离空间。但柯西点列在特定距离下不一定都收敛。例如自然数点列，在欧式距离下既不是柯西点列，当然也不收敛。但是，如果给自然数定义新的距离，比如用反正切差的绝对值表示的距离，可以证明，自然数点列在这个距离下为柯西点列，即自然数在这个距离下越往后面，数与数之间距离越来越近，这在欧式距离下简直是不可能的事情，但这个新的距离不能让自然数列收敛，而本来自然数列也不收敛。这里可以插入一个人与人相处的哲理，好像新的距离造成了一种假象，让本来不能靠近的点列靠得越来越近，但没有改变点列的本质。就好像日常生活中，你认为与某同事或同学的关系很近，但这个同事或同学却在背后说你坏话，你感到很伤心。是不是要公开与别人决裂？想想数学的道理，本来不相近的点在新的距离下竟然相近了，但没有改变本来不相近的本质。你认为与别人关系近，其实是你在心中搭建了与这人的一种亲近距离，但没有改变他或她对你不友善的本质。单纯的数学尚且如此，更何况纷繁复杂的人际关系？你想到这个道理，就不会为错觉叫屈，也不会找别人理论，这不正是在数学中学到人生的道理吗？
三、结语
本文只是起到抛砖引玉的作用，寓教于理的案例在高等教学中还很多，需要老师去挖掘，并在恰当的时候讲给学生听，这样大学生的思想教育不只是辅导员的说教，在课堂教学中仍然可以讲人生或生活的哲理，这不仅可以使抽象的数学原理变得简单易懂，使学生产生浓厚的兴趣，而且可以启发学生的人生观，使学生知道学好数学，不仅可以培养解决实际问题的能力，而且可以学到人生的哲理。
参考文献：