集合概念教学反思范文1
应用一：主要表现为一个概念是另一个概念的一般化，或此概念是彼概念的特殊情形。
用集合的包含关系建立概念系统，可以培养学生善于将概念推广的研究精神，并能帮助学生对数学定理、法则、公式等的认识进一步系统化，从而提高学习质量。
如：{正方体}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}{棱柱}；数列与函数两概念；互斥事件与对立事件两概念等。
例1：给出四个命题：（1）各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱，（2）对角面是全等矩形的六面体一定是长方体，（3）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，（4）长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是：
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：借助集合间的关系，明确各概念的联系和区别。此题选A。
例2：数列{an}是等差数列，a1=50,d=-0.6，求此数列的前n项和的最大值。
分析：数列的定义域是正整数集（或它的有限子集{1、2、3、4、……n}），因此可把数列作为特殊函数理解。
思路1：表示等差数列的孤立的点在直线上，因此可应用单调性。
由a1=50,d=-0.6,得an=-0.6n+50.6,令an≤0,有n≥84.3。又n∈N+,则n≥85,即从第85项起以后各项均小于0。所以(Sn)max=S84=2108.4
思路2：等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数,可用二次函数的方法处理。
Sn=50n+n(n-1)2×(-0.6)=-0.3n2+50.3n,当n取接近于5036的自然数，即n=4时，Sn达到最大值S84=2108.4
例3：若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标，求点P在圆x2+y2=16内的概率。（人教B版必修3，118页第3题）
分析：记点P在圆x2+y2=16内为事件A，则A是基本事件空间Ω的子集。基本事件总数是6×6=36,A包含的基本事件有（1，1）（2，2）（1，3）（1，2）（2，3）（3，1）（3，2）（2，1）共8个，P(A)=836=29.
应用二：有许多数学问题，它的解是由几个条件决定的，每一个条件都可以确定某种元素的一个集合，它们的交集的元素就是问题的解，对这样一类数学问题，我们常可以运用求交集的思想来试错与筛选。
例4：求函数y=4-x(x+1)(x-1)的定义域。（人教B版必修1，86页第4题）
分析：函数的定义域是指使式子有意义的集合，由多个式子经过代数运算而成的函数，求其定义域需取多个式子有意义的交集。
由4-x≥0(x+1)(x-1)≠0得x≤4x≠±1
所以函数的定义域是（-∞,-1）∪(-1,1)∪(1,4)。
例5：已知函数y=log12(3x2-ax+5)在［-1,+∞］上是减函数，求a的取值范围。
分析：本题含着两层意思：3x2-ax+5>0在［-1,+∞］上恒成立，t=3x2-ax+5在［-1,+∞］上是增函数，实数a的范围是两者的交集。
由题意得：a6≤-1，且满足x=-1时3x2-ax+5>0,综上得-8
而有些需要分类讨论的问题，解题过程往往过于繁杂，此时运用补集的思想(即“正难则反”思想)去解答，常常可以简化讨论。
例6：掷3枚硬币，至少出现一个正面向上的概率是（人教B版必修3，131页第2（3）题）
分析：“至少出现一个正面向上”的事件含有1个向上，2个向上，3个向上3类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“一次也不出现正面向上”即“全是反面”的概率。
P=1-18=78。
例7：如果一元二次方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根，确定这个结论成立的充要条件。（人教B版选修2―1，31页第6题）
分析：“方程至少有一个负的实数根”有一个负根，两个负根两类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“方程没有负的实数根”。
由Δ=4-4A≥0有，a≤1。
又-2a>01a>0a无解。
集合概念教学反思范文2
一、什么是数学概念
概念，思维的基本形式之一，反映客观事物的一般的、本质的特征。人类在认识过程中，把所感觉到的事物的共同特点抽出来，加以概括，就成为概念。因此，概念从逻辑结构上看，就是反映某种事物及其特有的本质特性的思维形式。具体到数学教科书来说，数学概念指的就是书本中那些名词术语的释义。它们中，一类是占量较多而给一定义的，如有理数、无理数、方程、平行、垂直、相似形、轴对称图形、函数、数列、数列的极限等等，另一类是占量较少而不给定义的，如点、直线、平面、集合、对应、同侧、异侧等等，对它们只做些简单描述性的说明。
每一个概念都有它自身的内涵和外延。内涵是指这一概念所包括的对象的一切基本属性的总和，外延是指适合于每一概念的一切对象。概念的内涵和外延之间，还存在着反比例的关系，即概念内涵扩大，外延就缩小；内涵缩小，外延就扩大。概念有种（概念）、类（概念）之分，平行四边形和菱形的关系正好说明这一点。
二、数学概念在数学教学中的作用
正确理解数学概念是掌握数学规律的前提。数学概念是数学的一般知识，它包括定义、定理、公式、性质、法则。数学概念是数学中进行逻辑推理的基础。如果概念不清或错误，那么由概念构成的判断、推理就会产生错误的论证和运算，更谈不上得出正确的结果。例如初中数学中算术根的教学，近几年使用的教材是这样描述的：正数正的方根叫算术根。显然这是定义，而下定义的概念（正数正的方根）的外延（所有正数的方根）容易被下定义概念的外延（所有正数正方根，所有零的方根）。这违反了下定义的外延相等的规定，于是就成了一个过窄的定义，在这种过窄的定义的指导下，学生在理解时经常出现错误。例如:
1.当x为何值时 =- 。
解：当X＜-1时等式成立。
2.求函数Y= 的定义域。
解：X＞-3的一切允许值是该函数的定义域。
上述二例忽略了X=-1和X=-3时的可能性，使题解失去了完整性。因此，正确的算术根的定义应该是：非负数的非负平方根的叫算术根。
三、在数学教学中如何利用数学概念
1.寻求形成根源，理解概念。
数学概念教学的第一步是引入概念，它是理解和应用概念的前提，如何引入呢？我觉得应从寻求其形成的根源入手。
几乎每一个数学概念的引入都伴随着一个动人的故事，如引入无理数时，可向学生介绍无理数发现的背景；又如讲解析几何时可向学生介绍笛卡尔，讲二项式定理时可向学生介绍杨辉三角。了解一个概念的发生、发展过程，有利于学生对某一概念的形成，同时，数学史也是对学生进行思想教育的极好教材。
2.用直观的对比方法引入概念。
新数学课程标准别指出：抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景和形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。一个概念在学生思想上的形成是有一定过程的，教师在教学中应从具体到抽象、从现象到本质，引导学生逐步形成概念，运用直观对比的方法引入概念，就可以达到新课标提出的要求。它往往比单纯孤立地讲授概念效果要好。它可以将抽象思维转化为形象思维，这样既可避免学生听起来感到枯燥无味，又可减轻他们记忆的负担。在中学数学里，不少内容是可以通过直观对比方法来引入的，如：立体几何里讲异面直线概念时，可以先让学生观察教室里或生活中的各种实例，再看异面直线的模型，抽出本质特征，概括出异面直线的定义，并画出直观图，即沿着实例――模型――图形――想象的顺序逐步抽象形成正确的概念。现行的各种版本的新教材中，在每章的前面，都设计了“章头图”，这些图形都是学生们非常熟悉的事物，以此加强学生对数学概念的认识。有些内容，若“数”、“形”能够结合的一定要尽量结合起来讲，不能怕麻烦，如在实数集合、指数函数、对数函数等内容的教学中，都可以用数形结合的方法来组织教学。
3.利用联系对比，巩固概念。
在中学数学中，有许多概念既有本质不同的面，又有内在联系的一面，教学中，如果只注意某一概念的本身，忽视不同概念之间的联系，那么就会使学生对概念的掌握停留在肤浅的表面上。因此，我们应采用联系对比的教学方法使学生区别异同，防止概念的混淆，起到深化巩固概念的作用。
如：函数，结合中学阶段所讲的函数概念，指出函数就是从定义域到值域的一类特殊映射，所以映射中的集合A、B必须是非空的数的集合；其次，作为函数其对应关系与映射也不尽相同，请看下列从集合A、到集合B的映射（AB中元素为实数）。
（1）在图（a）中，B中每一个元素在A中都有唯一的原象；
（2）在图（b）中，B中每一个元素在A中都有原象（但不唯一）；
（3）在图（c）中，B中部分元素A中无原象（b3）。
那么图(a)(b)相应的映射无谓函数，而图(c)则不是函数。映射作为函数，必须满足以下两条：集体A，B是非空的数的集合；集合B中每一个元素在A中都有原象。
4.用发展、变化的观点，深化概念。
每个概念都有它的确定意义，但随着事物的发展和知识的不断丰富，有些概念也在不断地发生变化。因此，在教学中就要求我们通过对概念的限制和概括去揭示概念的内涵和外延，使学生认识到概念的确切定义往往是相对的，在一定条件下的定义并非永远不变。例如：函数定义中，自变量和因变量这两个概念，是在某事物的特定条件下，形成一定的函数关系后，才确定的。比方说：每册书定价A元，（1）买X册这样的书要付书费多少元（Y元）；（2）现有Y元钱能买多少册书（X册）。这里（1）中从函数关系Y=ax可以见到应付书费Y是函数，买书册数是变数。而（2）中从函数关系可以见到X又是Y的函数了。至于这里每册书的定价a这个常量也是在特定的空间、时间等条件下才保持不变的。其次，随着教学的不断深入，学生年级的升高，某些数学概念的本来含义也在发生着变化。如：角的概念从平面180度以内的锐角、直角、钝角，开始认识到平角、周角、任意角，直到规定了方向后的正角、负角，以及空间生成的二直线的夹角，直线和平面、平面和平面的夹角等，这说明角的概念发展以后，更加抽象和一般化了。像这样，发展了的概念包括了原始概念，原始概念成为发展后概念的特殊情况，原始概念可以统一在发展以后的概念里。但也有的概念得到发展后，与原始概念有着完全不同的含义。
集合概念教学反思范文3
“有教无类”与“因材施教”的教育目标，是所有教学者所欲追求的终极目标。只是每个学生的发展，都有其内在潜能的差异，而我国现阶段的教育现况却无法以全然适异的教学方式帮助学生成长，使得每个教师每天所面临的重大挑战之一，就是努力适应每一个学生的个别差异，同时还必须具有敏锐的观察力和有冲劲的行动力，帮助所有学生达到潜在水平的学习成就。惟现实的教学现场，反而以齐一的教材、统一的进度、单一的评分标准考量教师的教学效率、学生的学习成效，期望以相同质量的学习内容，让学生重复练习以达精熟。这样的教学方式不但无法照顾到每一个学生，也严重忽略学生的自与个别差异，实有违背教育的本质。而强调适异的区分性教学正好提供教师“有教无类”且“因材施教”最好的办法。
区分性教学理论强调“学习本位”的教育理念，“区分”的意思并不是强制要求学生分组，也不是完全把学生隔离，而是指教师评估每一个学生不同的起点行为，“区分”出每个学生的学习特质，弹性的使用不同的教学策略，期望让每个不同特质的学生，都能够参与学习，这种概念就是适性化教育理念的基础（高博铨，2006）。因此，不管在普通班或面临具有特殊需求学生的学习环境中，教师的教学方法更需要弹性且多元，以满足每个学生独特的个别需求。而教师的教学弹性，则来自于教师对于教学方式的重新省思、组合、灵活运用不同的教学策略及各种教学资源。因此，具有区分性教学理念的教师可以运用不同学习资源，也可以使用单一作业，但允许某些学生快速完成或安排不同程度的工作任务，在学生了解任务的基本前提下，可以自己决定学习速度。教师则视需要，随时调整课程以符合学生的需求，同时也要照顾到不同特质的学生（Tomlinson，2001）。
Lannie Kanevsky深知区分性教学的重要性，便于2003年尝试将文氏图和区分性教学做一结合，她认为文氏图能提供学生认知理解概念的方法，也提供不同层次信息处理的方式。在教师比较熟悉的区分性教学策略中，使用文氏图作为媒介来进行学习，可能更容易掌握（Lannie Kanevsky， 2003）。如同文氏图这种工作符号表现了分析事物关系的价值，也提供学生高层次思考的机会，虽然文氏图的历史至今才一百多，但许多教育领域以外的人也开始将文氏图应用在他们熟悉的领域中。文氏图对于资优教育过程和内容的区分上应是一个很棒的媒介工具，本文延续Lannie Kanevsky的研究，以文氏图这种多元的学习方式，发展为区分性教学活动的策略之一，期以吸引学生学习动机，帮助学生持续思考、开展潜能，对学生学习能力的帮助上应有一定的助益。
有鉴于此，本文拟从文氏图的理论观点探讨区分性教学，以彰显文氏图的应用对区分性教学的意义。首先介绍文氏图的定义；进而说明文氏图与区分性教学的关系以及说明以文氏图进行区分性教学的意义。
二、文氏图（Venn Diagrams）定义
英国人John Venn（1834-1923）在1881年出版了《Sym-bolic Logic》（逻辑符号）一书，以数学和逻辑的关系，发明了一种图解架构的工作符号，称作文氏图。文氏图（Venn Diagrams），又称为温氏图、范氏图、维恩图。William Dunham认为在数学领域中，文氏图用来表示集合、分类概念的一种图示方式。亦即用来表示理解推论或不同事物的群组（集合或类别）间大致的逻辑关系，同时也是高层次思考表现的结果，以引导阅读者理解关系的图解（蔡承志译，2009）。美国数学家菱克沙恩替文氏图下了一个定义：“文氏图是一个集合符号的表示，用平面图形的某个内部区域来表示某个事物，再用某条封闭的线段内的点或空间来表示其他事物交集关系的概念。”（许志农，2004）
简单地说，最初的文氏图只是两个相互交织的圈圈，两个圆如果没有相交，呈现相离或相切的关系，在文氏图中，并不具任何意义，有可能出现如欧拉图（Euler Diagrams）的形式，如图1-1。虽然Leonhard Euler比Venn John还要早发明欧拉图，但两者却大不相同，欧拉图要表示的是特定集合之间的关联，图1-1的例子中，一个集合完全在另一个集合中。我们可以假定集合A是小孩，集合B则是所有的人，而集合C则是所有的宠物。从这个图中，你可以看出所有的小孩都是人，但不是所有的人都是小孩。进一步说，集合C（比如说所有的宠物）与集合B 没有共同的元素（集合的成员），从此我们可以在逻辑上下断言没有一个小孩是宠物（或者反过来说，没有一只宠物是小孩）。（在这里不讨论那种把小孩当宠物养的家庭，那样的父母本身就不是人了！）
而文氏图则包含所有概念可能的交集。如果有讨论的大前提范围，则再在两个圆圈外加上一个矩形框来表示讨论主题的大前提范围（维基百科，2014）。例如图1-2的矩形框所表示的论域为生物圈，而左边的圆圈A可以代表四条腿的动物，右边的圆圈B可以代表会游泳的动物，两圆相交叠（∩表示交集）的区域，就包含了在生物圈中会游泳且有四条腿的动物，如：青蛙、小狗。
图1-1 欧拉图（也称尤拉图、欧氏图）
图1-2 文氏图（一个集合）
文氏图的变化非常多样，当然文氏图也有复杂的样貌，使它所呈现的集合可以扩展到更多，甚至还有文氏图专门网介绍各种文氏图的变化运用。http：///contact图如1-3为具有三个集合的文氏图；Venn甚至融入椭圆和不规则的形状达到具有六个集合的文氏图，如图1-4；或甚至挑战变化文氏图形组织，创造一朵漂亮的文氏图花，如图1-5。
图1-3 三个集合的文氏图
图1-4 六个集合的文氏图
图1-5 文氏图花
三、以文氏图进行区分性教学
（一）适用时机
通常教师在课堂中进行集合概念、概率问题、包含互斥或组合排列等观念原则的教学时，学生往往对于单一且分开的学习题材较无困难，但一旦遇到统整、应用的问题时，便显得束手无策。文氏图正是一种包含组合、集合和机率等观念的思考产物，很适合拿来当作课前的预览、课中的思索与课后的统整活动。
文氏图最大的优点在于它适用所有程度的学生，当教师对学生学习程度的掌握越清楚、越了解时（可透过各种策略了解学生的起点行为、学习准备度和学习风格，当然也包括简易的文氏图；不管学生的能力水平如何，在教学活动开始前，利用文氏图来做区分，也是一种很好的开始。）教师越能因为学生的背景知识不同、思维能力和方式的不同，而以文氏图做适异上的区分性教学，对于只能做低层次思考的学生，文氏图可以用来做理解所学知识的关系比较；但能进行复杂思考的资优生，则可以进行分析讨论。不管是哪种程度的学生，文氏图对他们概念的建构而言，都有一定的价值。
在区分性教学的班级内，文氏图是一个很有用的图形组织。学生学习一个新的主题时，文氏图可作为一个集思广益、整理概念、记录讯息的工具，有系统的组织、分析使用每一个圆形所代表的意义。文氏图也可以做灵活变化的运用，将个别独立完成的圆形概念，两两合并，建立一个有着两圆交织的文氏图，也可以进阶到结合四个学生为一组的图形组织，学生不但能够独立工作也可以相互讨论、合作学习，互相搭对方的鹰架提升思考水平。
在课堂中练习文氏图后，教师可预留时间引导学生进行文氏图主要概念的班级讨论，这也是必要的，当每个学生被分配到或他所选择的主题概念相同，教师即可从文氏图看出学生程度的差异，再适度给予其能力水平的任务，这就是区分性教学的意义所在。不过，当教师引导学生运用文氏图来表示概念关系的过程中，因为教室空间很有限，所以可能造成很某种程度的混乱或复杂情况，此外，图形成果的展现若未经原作者解释，也很难独立阅读，这算是以文氏图进行区分性教学美中不足之处。
总而言之，根据Roberts & Inman的研究（2009）和香港教育局资优教育组（2008）所编写的“抽离式校本数学资优培训课程系列”建议，文氏图适用的时机大约可以归纳如下（Roberts & Inman， 2009a；香港教育局资优教育组，2008）：
1.文氏图可用在区分性教学的过程中，帮助学生研究同一概念，但不同复杂程度的学习内容；
2.文氏图用在前测，可评估学生的学习准备度，确定学生的需求、兴趣或能力；
3.当教师欲介绍一个新的学习主题时，可利用文氏图帮助学生记录笔记、澄清观念，有组织、有系统地分析图形的意义；
4.学生要统整某些观念时，可利用图像思考工具（Graphic Organizers），亦即文氏图进行组织，无论学生的能力水平或思考的复杂程度，在学习活动前利用文氏图进行分层，会是一个很好的开始；
5.学生进行独立学习或小组活动时，可鼓励学生单独运用文氏图形思考，再与合作伙伴结合彼此的文氏图，建立一个具有多个集合的思维成果，以相互帮助彼此在更高的鹰架水平上达成任务；
6.文氏图也可以用来复习或评估学生的学习成效。虽然所有的学生都在练习使用相同的主题概念学习，只是每一个学生所表现的思考水平可能不尽相同。有的学生可以利用最少的圆形在适当的位置，描绘出准确而完整的概念特征；有的学生只能尝试利用部分圆形，适当地完成有些许迷思概念的文氏图。当教师确保学生的学习兴趣维持在中高程度且任务持续进行中，可适度地容许学生的文氏图有些许不完整的信息；
7.课程结束后，教师可将文氏图作为学生的回家作业，让学生的思考练习，能有更充裕的时间可以延续发挥。
（二）进行方式
在区分性教学的过程中，以文氏图为工具进行学习，教师可设定基本任务门槛，鼓励学生达到最低标准，同时以各种奖励制度（如：加分）或社会性赞赏（如：公开展示、表扬）建议学生设定一种有挑战性的目标期望，尝试一个新的思考、方式，帮助学生列出更多学习概念的关系图。最关键的问题除了营造鼓励且支持的学习氛围之外，教师需允许学生有不同的想法，还需要适度的放手，给学生一些弹性空间。在这里并不需要强迫学生完成一大堆圈圈交集的文氏图，而在于给予挑战性任务，找到概念相似和相异的地方，完成与他人「不同的文氏图，以刺激思考提升思维能力，并得到学习上的进步和成长。整个文氏图的呈现，重点落在学生要能以不同的复杂程度，处理一样的元素概念。
Roberts & Inman（2009a）指出以文氏图来进行区分性教学时，增加很多个圈圈或椭圆形的复杂度和内容是必要的。学生的文氏图作品中，圆的数量越多，可能意味着他的思考可能趋于精致，但完成数个圈圈交集的文氏图后，却未能将概念准确而完整地放置在适当的位置，甚至放错位置，导致概念上的迷思或混淆，还不如挑战少而美的创作，但能提供的信息却最恰当而精准的集合概念。对学生来说，一个圆形的呈现，表示一个单一的概念，适当地加上另一个圆形概念，可以比较或对照两个圆形概念之间的关系。当两个圆形重叠部分，则表示两个分属不同概念的圆形之间有一些共同点，但未重叠的部分则为相异处。对一些天资聪颖的特殊学生来说，两圆的概念可能略显简单，且无法清楚地解释或表现出他们内在复杂的思考历程。那么，对不同程度的资优生来说，他们能够进行快速联结和做抽象的思考者，则可以进阶至多圆相互重叠的关系来做分析，设法引导学生将内在思维的过程，进行联结、比较、分类和归纳。
Silver， Strong， 和Perini（2001， p.150）认为教师以文氏图为工具帮助学生整理信息，最主要的目的，也只是想引起学生的学习动机，促进思考罢了。可见，文氏图形表达方式，并不一定只限于以圆形呈现，圆只是比较大众美而已，我们也可以椭圆形、X字形、Y字形或不规则的形状等其他的图形来表示。重要的是，学生能达到基本标准，亦即准确地将概念放在正确的区域（准确性）且每个圈圈都涵盖了每一个概念，没有遗漏（完整性）。
总之，以文氏图进行区分性教学最重要的是，教师必须再三确认学习的焦点概念，一旦决定学习的主题后，便要考量以哪些方式帮助学生认知、理解学习的概念，除了学习内容的斟酌外，也必须评估不同学习风格学生的适合度，适度对不同思考阶层的学生给予弹性，学习在任务中为自己的学习负责。如果我们希望我们的教学，可以帮助所有的学生不断的成长，那么我们需要鼓励学生激发不一样的思考，支持学生自己设定或教师帮助他设定一些稍具挑战性的期望水平，让学生尝试不同阶层的学习冒险。
（三）奖励标准
以文氏图进行区分性教学时，教师必须在活动进行前，将活动规则描述清楚，确保每一个学生都清楚教师的期望，同时教师也必须仔细考虑文氏图设计的奖励标准和鼓励办法。Kanevsky（2003）指出，奖励和鼓励的目的在于让学生获得立即的反馈，包含实质的奖励、知识上的反馈和改进学习盲点的建议。至少在文氏图当中，图形绘制的准确性和完整性是最重要的。准确性指的是文氏图中的资料放置位置是正确的，且资料也是正确无误的；完整性指的是，在每个集合中，用最少的图形，却能包含最多的概念。而奖励的项目包含：
1.文氏图的质量：能反映出具有准确、完整、有深度推理的集合概念。
2.文氏图的数量：用最少的集合重叠，表达一个完整的概念。
3.有利的支持证据：学生的文氏图集合类包含，可以提出相当的证据提供支持。
4.不偏离主题：即便是每个学生都在任务工作中，教师也必须确认大家都在分析指定的概念。
四、结语
区分性教学的目的并不是刻意在区分学生能力的高中低，而在于正视学生本身的优弱势能力、特殊需求，给予其“需要”的资源，而非“想要”的光环，区分性教学才可能在关键上达到区分的意义。本文透过文氏图希望以此区分性教学策略，帮助学生学习熟练运用图像符号、集合语言，描述不同的具体问题集合中的元素，感受集合语言的意义和作用。文氏图的集合概念可以帮助学生更理解领域知识中的集合语言，帮助学生逻辑分类，并学会用集合语言表达问题概念，运用集合观点去研究和解决问题。借着这种图解的方法，能使抽象的意识一目了然，快速推进逻辑思考，达到分类的目的。
本文若能提供现职教师区分性相对应的教学资源，例如：引发教师某种程度上的教学省思，发展具挑战性且符合学生能力的教材，培养学生的推理技能，发展学生的思维能力，相信不仅能提供更多激发学生思考的机会，也能从不同学生的优势面来欣赏其学习成果。
【参考文献】
[1]高博铨. 适性教学的理念与实施策略[J]. 教育资料与研究双月刊，2006：69，p.261-274.
[2]教育局资优教育组. 资优教育“抽离式校本数学资优培训课程系列”中学篇系列空间与图像[J].香港教育局资优教育组，2008：11-18.
[3]维基百科. 文氏图. http：///zh-tw/%E6%96%87%E6%B0%8F%E5%9B%BE，2014-1-23.
[4]蔡承志译（2009）.数学教室A to Z[M]台北：商周.
[5]Kanevsky， L. Tiering with Venn diagrams. Gifted Education Communicator，2003：34，2，42-44.
[6]Kanevsky， L. Tiering with Venn diagrams. KAGE Update： Newsletter of the Kentucky Association for the Gifted， 2005：1， 9-10.
集合概念教学反思范文4
关键词：概念图 协作学习 评价
近年来，随着建构主义的观点不断盛行，无论是概念图这种知识建构的学习工具，还是协作学习这种培养学生自主探究能力的学习策略，都越来越受到广大教育和科研者的重视和热爱。在协作学习中应用概念图，即协作建构概念图不仅是一种新的协作学习方式，同时也是一种新的概念图建构方式，而且无论是对概念图评价功能的发挥，还是对协作学习效率的提高都起到了巨大的促进作用。根据概念图的强大评价功能，笔者设计出了如图1的协作学习流程图：在协作学习各个环节中应用概念图来评价学生各个方面的能力。
一、明确目标，制定计划―引出概念图
教师在提出学习目标后，学生要具体分析所制定的目标，并且根据自身的实际情况确定小组所应达到的目标，同时，为了达到既定的目标还应该制定出详细的学习计划。小组成员在综合分析了各方面的因素之后，可用概念图将学习的具体过程呈现出来，清楚明了，让大家都能清晰地看到整个计划，这个时候绘制的概念图仅仅是呈现出一个学习过程，引出概念图的学习。所表示的是“多媒体作品制作”这节课所要进行的整个学习过程，这样，学生可以很清楚地看到自己应该完成的工作和任务。相比传统目录式的计划，概念图的形式更能刺激学生的感官，引导他们清晰地记住整个过程。
在这个过程中，主要是通过学生绘制协作学习过程概念图的逻辑性、紧密性以及可行性，来评价学生的逻辑思维能力和规划组织能力。
二、搜集资源，归纳整理―设计概念图
学生根据协作学习的任务，首先简单地设计出大纲概念图，然后通过各种途径来搜集相关的资料，以便为以后概念图的建构做好准备。在搜集的过程中，学生会搜集大量的信息，这就涉及到一个信息整理的问题，而这在传统的学习方法中是个老大难的问题，尤其是评价学生整理信息的能力更是难上加难。但是利用概念图就可以很好地解决这个问题，学生在不断搜集信息的过程中，可以随时将搜集到的资源进行归类概括，然后作为大纲各级目录的的下位概念，以分支的形式罗列在其下方。例如采用图3中的归类形式，将自己所搜集的丰富资料进行整理和归纳。在这个过程中，主要评价学生把握总体目标的水平和资源搜集的能力，具体是观察学生设计的大纲概念图的内容是否全面和丰富。这个过程相比传统方式来说更多的是评价学生的信息选择和归类能力。
三、协作建构，小组讨论―创造概念图
学生根据搜集到的资源信息、原有的认知结构和自己的理解深刻分析主题的核心内容和要素，并随时用概念图工具将各个重要概念和要素按照一定的层级结构用相应的连线和恰当的连接词表示出来。在制作概念图的过程中，绘制者要将制作的过程进行公开，使所有的本小组成员都可看见建构过程，并且在制作的过程中不仅要向大家阐述绘制的过程，还要对其中涉及的联系和使用的连接词进行必要的说明和阐释。学习者阐述自己绘制概念图的过程也是把自己的思想和观点转化为语言的过程，这样不仅有助于解释形成概念图的依据，而且还能帮助学习者加深对知识的记忆。因此，这种形式很大程度上评价了学生知识结构和学习思路的清晰程度。在这个过程中，主要评价学生的知识建构能力和创造性思维水平，整个绘制概念图的过程就是一个知识建构和发挥想象、发挥创新思维的过程；还能评价学生的分析能力和协作学习能力，通过观察绘制进程分析制作过程中遇到的问题，并通过相互讨论和交流解决问题，在协作交流的过程中也能推断出学生的同化知识和接受知识的能力。
四、共享成果，修改完善―修改概念图
每个小组完成任务之后将作品上传进行共享，并且每个小组要派代表对其作品进行陈述和说明，重点对概念图中的关键节点及其连接的选择进行说明，将各个联系和连接词语选择的依据进行详细阐述。如果其他的本小组成员有需要补充的地方，可在同伴汇报结束后进行相应补充，同时，其余小组要做好听讲的笔记记录，便于之后提出问题、发表意见。
在这个过程中，主要评价学习者的观点陈述，发散思维和论证信息的能力，在修改概念图的时候还可以判断学生产生新知的能力。
五、评价和反思―评价概念图
在前面的各环节中一直都有形成性评价的进行，在评价中不断修改和完善。经过前面的一系列环节之后，每个小组基本上已经确定了最终的概念图，而这个环节主要是对学生做总结性评价，其中最主要的一个方面就是对学生绘制的概念图做详细评价，在此，我们可以采用Novak博士提出的评价标准。Novak 从概念图的4个方面进行计分：对每个有效连接记1分，对每个有效的等级水平记5分，对每个既有效又重要的横向连接记10分，对有效但没有体现系列相关概念或者命题之间综合联系的横向连接记2分；对每个例子记1分。概念图很明显多了一个既有效又重要的横向连接，评价的时候应该在这个方面多加10分，以反映学生对知识掌握的全面性。在这个过程中主要评价学生的综合评价、全面思维的能力，学生要根据评分体系对每个小组所呈现的概念图进行合理而客观的评价。结束之后教师和学生通过写反思日志，来分别记录整个过程中自己的表现和行为是否朝着大家共同努力的方向，是否促进了大家的共同发展，便于以后作出正确的改善，这对培养学生的反思能力是非常重要的环节。
总之，概念图在教学中不仅是一种教学策略和教学工具，同时也是评价学生思维、信息处理和评价反思等各种能力的有效工具。 而在协作学习中应用概念图评价学生的学习效果，既有利于概念图功能的发挥，又很好地促进了协作学习效率的提高。
参考文献
[1]蔡铁权，叶梓.促进合作学习的概念图建构[J].中国电化教育，2011（4）.
集合概念教学反思范文5
数学概念有什么特点呢？一是抽象地反映某一类事物内在的本质的属性；二是表现形式准确、简明、清晰；三是具体性与抽象性统一；四是具有较强的系统性。
明确了数学概念的特点，在教学中就要根据不同概念所呈现出的不同特点，采取不同的教学方法，从思维的基本单位开始，逐步开拓学生的思维发展领域。
一、抓住概念的本质属性，突破抽象关
概念有内涵和外延。内涵揭示概念的本质属性，外延则指概念所包含的对象范围，就是指具有这种本质属性的那些对象的集合。如果用p（x）表示某一共同本质属性，用集合A表示某一概念的外延，则可以表示成：A＝｛x∶p（x）｝。 例如方程这一概念的外延用文字写成集合的形式则有：
方程＝｛含有未知数的等式∶P（含有未知数的等式）｝
抓住了方程概念的本质属性，对概念的理解就比较容易了，例如给出5＋4＝9是不是方程呢？学生就能准确地给出答案。
二、从运动变化的观点掌握概念
数学概念由于数学知识的逐渐复杂与深化，原有的数学概念就引起了其含意的变化发展。例如整除的概念在数的范围内与代数式的范围内就有所变化；又如角的概念，在初中只接触正角而范围有限，到高中之后，对角又重新定义；不仅扩大了范围，而且又有负角，同时将锐角三角函数扩充到任意角三角函数。
因式分解的概念随着代数的内容逐渐深化而变化，关于一元二次方程的根的概念，按着数的概念的扩充而发生变化。而幂的运算法则，其定义则开始在正整数范围内，随着负整数、指数和根式的引入，幂指数便扩大到任意实数，其运算法则灵活自如。这样，在运算当中，掌握好概念，便增强了解题的灵活性。
三、明确概念间的对立统一关系
正数与负数，正角与负角，旋转的逆时针与顺时针，平面几何中定义的角与三角函数中的任意角等概念，都具有相互矛盾对立统一的性质。如：ax2＋bx＋c＝0（a≠0），在b2－4ac≥0时才有意义；随着知识的完备性和科学发展的需要，不得不将实数集扩大到复数集。
这就是实数与虚数的对立双方转化统一于复数集。又如函数和反函数、指数函数与对数函数、微分与积分等概念，都体现了对立统一和相互转化的关系。
四、具体性与抽象性相统一
在概念教学中，首先应使学生明确感性认识与理性认识的依赖关系，不能认为由感性认识得出的观念就认为是概念。心理学认为，直观是反映于人脑中的映象，这种映象可以物化的形式再现出来，并被人们所感知。作为数学概念，一般不同于其他概念，由具体直观的形象通过抽象的思维活动总结出来的概念，应尽可以通过直观教学，使整个思维变得容易掌握。
例如棱柱概念的掌握，先让学生观察实物，在具体直观认识的基础上，观察其主要特征，抽象概括出：“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。这些面所围成的几何体叫做棱柱。”这就是在具体性基础上抽象出来的概念。把抽象的概念具体化，学生感到直观形象，记忆牢固，掌握准确，应用起来也比较方便。
五、巩固和运用概念
1．将文字定义的概念用数学符号重新表达。几何概念的学习，用文字定义的概念用数学符号表达的过程，是进一步理解和巩固概念的过程。
例如：图1，用“ ”来表述“点C是线段AB的中点”又如：图2：用：“ 于点O，AO=OB”来表述“CD是AB的垂直平分线”。
这些在几何概念的教学中是不可缺少的，这样做可以让学生加深对概念的理解。
2．重视概念的抽象化与具体化的有机结合。教学中教会学生应用概念进行推理、判断或分析具体事物，解决实际问题，防止学生对概念认识上思维的“断层”，出现“闻而不会，会而不全”的现象。
集合概念教学反思范文6
职业高级中学数学教学是中小学教育的一个重要的组成部分，探求一种有效的数学课堂教学方法与模式是我们数学教育工作者的长期任务。本文就职业高级中学数学教学中一些典型教学方法进行了探讨，给了我们数学教育者一定的借鉴。
Abstract：
Thehighschoolmathematicsteachingisanimportantconstituentintheelementaryandmiddleschoolseducation,seekingoneeffectivemathematicsclassroominstructionmethodandthepatternisourmathematicseducator''''slong-rangemission.Thisarticlehascarriedonthediscussiononsometypicalteachingmethodsinthehighschoolmathematicsteaching,forourmathematicseducationcertainmodel.
Keywords：
HighschoolmathematicsTeachingmethodMathematicsthought
作为一名职业高级中学数学教师，笔者对他长期以来的数学教学进行了小结。总结出了以下几点教学方法，希望能给广大数学教师朋友一定的帮助。
一、在数学教学中渗透数学思想方法
数学思想方法总是蕴含在具体的数学基本知识里，处于潜形态。作为教师，应该将深层知识揭示出来，将这些深层知识由潜形态转变为显形态，由对数学思想方法的朦胧感受转变为明晰的理解。在课堂教学过程中，表层知识的发生过程实际上也是思想方法的发生过程。像概念的形成过程，新旧知识的对比过程，结论的推导过程，规律的被揭示过程，解题思路的思考过程等，都是向学生渗透数学思想方法、训练思维的极好机会。此时提高学习效果，往往会起到事半功倍的作用。
如讲到人教版职业高级中学数学第一册（上）第60页“反函数”这一节内容时，学生思维往往容易出现“混乱”，搞不清为什么有的函数有反函数，有的函数没有反函数。这时需要教师积极引导学生的思维，让他们知道映射是函数（课本第50页），反函数作为一种函数，也必须符合函数的定义，从而推导出在定义域和值域间只有一一映射的函数才有反函数。于是在第64页习题2。4中求y=x2（x≤0）反函数时能否把条件x≤0去掉，结论当然是不能，如果去掉，则给一个y值时，就不是一个x值与其对应，不是一一映射，就没有反函数。
在具体的解题过程中我们也能渗透数学思想方法，下面的例子就说明了这个问题。
例如：在铁路的同侧有两个工厂A、B，要在路边建一个货场C，使A、B两地到货场C的距离之和最小，问货场C应在什么位置?要解决这个问题首先要把它数学化，即用到建模的思想，然后利用RMI原理，即关系(relationship)、映射(mapping)、反演(inversion)0思想来进一步求解。
所以在整个解题过程中始终渗透着数学思想方法的应用。
二、加强教学过程中对学生创新思维能力的培养
实施创新教育是时展的需要，研究数学课堂教学中如何培养学生的创新思维和创造能力，塑造创造性人格，是数学教学中人们所关心的热点问题。
我们用以下的一个例题来说明在教学过程中学生创新思维能力的培养。
例：设A1、A2是一个圆的一条直径的两个端点，P1P2是与AlA2垂直的弦，求直线A1P1与A2P2的交点的轨迹方程。这个习题是以A1A2为x轴，线段A1A2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设出圆的方程，建系设点后，分别求出A1P1、A2P2直线的方程，然后解方程组得二直线交点的坐标、再消去x1、y1，得轨迹方程。
从这个习题的特征出发，对其作适当引申、推广、探索、创新，寻求一般规律。对这个习题作如下的变换、创新：
研究性题目1：将习题中的“圆”换为“椭圆(a>b>0)，A1A2为长轴的两个端点，则直线A1P1与A2P2交点轨迹是什么?
研究性题目2：将习题中的“圆”换为“双曲线”(a>0，b>0)，A1、A2是双曲线的两个顶点，则直线A1P1与A2P2交点轨迹是什么?
研究性题目3:已知F是抛物线(p>0)的焦点,A为准线与x轴的交点,抛物线弦P1P2x轴,则P1F与P2A的交点位置如何?
经过学生的讨论,推导,研究性题目1的交点轨迹是:双曲线;研究性题目2的交点轨迹是:椭圆;研究性题目3的交点就在抛物线上。通过以上题目的研究,让学生在复习圆锥曲线时找到求交轨一类问题的一般模型,以及求解中的方法、规律。通过上述研究题目训练,激发学生的创新思维.只有培养这种创新数学思维,才能保证学生具有分析问题、顺利解决问题的能力。而这种能力将提高学生的素质。作为数学教师,我们必须转变教育思想、理念,与时俱进,把培养创新人才作为我们的教育目标,将创新教育落实到课堂中去,让我们的学生不仅会继承,更能发展、创新。
三、在数学教学中运用研究性教学
在数学教学中运用研究性教学主要是通过开放题来实现的，数学开放题具有促使学生掌握科学的思维方式以及优良的思维品质和正确的数学观，提高数学表达能力等多种教育功能。由于在开放题的教学中，学生是以知识的主动发现者、探索者和研究者的身份出现，因此，学生不再是“装”数学，而是“搞”数学，这就可以使他们在一定程度上去体验数学家进行数学研究的活动过程(尽管两者完全不同)，深切领会数学的实质，因此，数学开放题用于学生的研究性学习是十分有意义的。比如，有两个二面角，它们的面对应平行，仔细观察你能得到哪些结论?试说明或证明之。策略：隐去结论，让学生猜测，并检验。
例：直线y=2x+m与抛物线相交于A、B两点，求直线AB的方程。(要求补充恰当的条件，使直线方程得以确定)
此题一出，学生的思维就活跃起来，学生们补充的条件可能有：已知|AB|=m；若O为原点，∠AOB=90；AB中点的纵坐标为6；AB过抛物线的焦点为F，等等。
所涉及到的知识有韦达定理，弦长公式，中点公式，抛物线焦点坐标，两直线相互垂直的充要条件等。
通过开放题的形式进行的研究性学习，激发了学生的探究热情，培养了学生的探索精神和应变能力，培养了学生不怕困难!坚忍不拔的意志品质。
四、在职业高级中学数学教学过程中运用信息技术[4]
职业高级中学数学与信息技术的相互促进与紧密结合，深刻改变了职业高级中学数学的教学方式，也极大地增加了学生通过数学思维建构数学概念、解决数学问题的可能性。
由于呈现方式的限制，传统教学中“映射”这一概念多数是通过有限集来建立的，即使用到一些无限集的例子，也是离散的整数集或其子集，对于区间这样的数集之间的映射尽量回避。然而“映射”概念的给出，主要是为了导出函数的概念。在多数情况下，函数是区间到区间的映射，这就是说，学生认识映射的
过程与理解函数的概念过程是脱节的。
在教学中，如果我们向学生提出问题“一条线段MN上的点组成集合A(无限集)，以这一线段为直径的半圆上的点组成集合B(无限集)，集合A与集合B哪个集合的元素多”，估计多数学生会说集合B的元素比集合A的元素多。如果你否定这一结论，估计学生会跟你“理论”。学生之所以会这样，是因为他们没有比较两个无限集元素多少的方法，自然只有将比较两个有限集元素多少的方法用到这里来。
用传统的教学手段来解决此问题比较困难。为帮助学生理解这一问题，我们利用信息技术创设如下的学生活动情境：让学生利用图形计算器或计算机画出图一，图中PRMN，拖动线段PR，保持垂直关系不变，观察半圆上的点P与R的对应关系。
通过这一活动，学生可以认识到，这里的对应法则是线段MN上的点所组成的(无限)集合A到半圆上的点所组成的(无限)集合B的映射。这就回答了刚才的问题：不能用判定两个有限集的元素多少的方法来判定两个无限集元素的多少。
在图二中移动线段PR，通过观察，可以发现这里的对应法则是点R的横坐标的集合A(区间[0，3])到点P的纵坐标的集合B(区间[0，2])的一一映射。它说明“无限集可以跟它的一个真子集建立一一映射”，而对于有限集这是不可能的，这是无限集与有限集最根本的区别。
五、更新观念，变主动为被动
以往教师的教学工作，是按照教学大纲的具体要求，以教科书为准绳，进行一系列的教学活动，而对“课程论”研究甚少。因此，教师的教和学生的学都比较被动，为了改变这种状况，教师应积极引导学生主动钻研，鼓励学生自己去思考和解决问题。
如“反正弦函数”概念的教学，按传统的教法，学生只停留于死记概念，至于为什么要在区间上研究这一概念，很少有学生主动去思考，学生的学习完全处于被动状态。为此，笔者在教学中通过提出一系列与“反正弦函数”概念内容相关的问题，启发学生去思考。学生通过看书和讨论，找到这些问题的答案，理解了反三角函数的概念。实践证明，采用这种先提出问题，再引导学生通过自己思考和探索去理解概念来龙去脉的教学方法，不仅加深学生对概念的理解，而且还调动了学生的学习主动性，使教学达到了良好的效果。
参考文献：
[1]吴兰珍职业高级中学数学教学渗透数学思想广西教育学院学报2004年5期
[2]程基石例说职业高级中学数学教学中的创新教育数学教学通讯2004年2月
[3]靳玉乐探究教学论成都：西南师范大学出版社2001
