双曲线范文1
我单手托着下巴，笔端在桌面上发出清脆的敲击声，老师一遍一遍地强调：“双曲线只能无限靠近坐标轴，但永远达不到坐标轴。”
“永远”，“无限接近”，
敲击声戛然而止，笔芯在薄纸上重重地划开一道痕。
当我提起这个反比例定义的时候，你出人意料地沉默着。我推推你也没有反应。一如我笑话你的名字很中性时，你也是顿了很久之后抛下一句：“清风徐来，水波不兴”，你一直都很自豪自己的名字出自这样一个名句吧。
我突然想起了，我们经常一起看动漫电影，其中最让人深有感触那个影片我已经不记得片名了，但片中那个名叫远山的男孩寂寞而疲惫的眼神，还有那个被唤作明里的美好女孩淡然的微笑让我感觉心里某个角落里的楼梯被轻轻踩踏，发出尖锐的嘎吱声。
叫做明里的女孩总是那么温柔而又固执，无论是春季时在东京最美的街道拐角处，对小猫咪打招呼时的天真表现，还是候车厅里不会抱怨，被炉火打亮的?C弱身影，抑或在电车的座位上，不顾时不时的晃动而专心写信的陶醉表情。以至于有关于女孩的点点滴滴，那些珍贵的信件都成了男孩温暖的回忆，也羁绊了男孩一段无望而沉重的思念。
时间并没有改写那些过去，真正累了的是男孩的心，他们彼此的生命里再也没有童话般美好的交集，男孩停了下来，开始麻木地审视自己不停重复如同机械一般的生活，像是回到十三岁那年，并未远去的那些美好，开始一幕幕地回放……
记得最后影片放完的时候我们都还在沉默，回味着这种无奈而苦涩的感觉。突然觉得好心酸，就像突然才明白人生终有悲欢离合，并不都是努力去做了，就什么都可以拥有，挽留，那一种无望的失落感。
这种失落感并不是只存在对影片的看法里，对于梦想这种模糊的东西，你说我对待它的态度总是也一样失落。
我当然不像你，口口声声嚷着要当外交官，那种自信满满，舍我其谁的神情真的很让人佩服，那种不依不饶抓住话题就口水唾沫一起飞的样子让人哭笑不得之余，还夹杂了一份羡慕。
你可能从来都不知道吧，我多希望象你一样，谈到自己的梦想时也有那种不退却的勇气，可是有时候我感觉无阻而迷茫，那些刻意显露着讽刺语气的声音，抑或是我自己对自己的怀疑，让我在闭上眼睛说：“这是我的梦想”时，已经少了坚定的语气。
我无法形容我对梦想所持的态度如同我对那部电影的结局无言以对，用单一的语言无法形容那种渐行渐远的迷茫。但我对他们感觉惋惜的时候，也清楚地明白那种，即将得到却无法触及时慌张的悲凉。
“嘿，你又发什么呆啊，你看练习都丢下去啦。”你无奈地看着我终于转过头，伸手下去拾起练习，上面还工工整整地印着“反比例练习”几个大字。课堂上老师说的话一遍一遍回放着，直到充满了我的心头。
“双曲线只能无限靠近坐标轴，但永远达不到坐标轴……”
我释然地笑笑，自言自语着：“就像双曲线一样啊”
你摸不着头脑，转过头询问似地望着我：“啊？”
“你不觉得吗，远山和明里就像是一个在双曲线上，一个在XY轴上，他们只能无限靠近，却被时间冲淡了结果，但这样的结局也没什么不好，起码他们拥有彼此最完整清晰的印象，最刻苦铭心的约定，这个世界不是仙女的魔杖，于是就有了不尽人意的一面，但那双曲线的踪迹，是他们最美好的的想念。”
“是啊，每个人都一样，都有自己无法触及的东西，但只要努力走过，就会留下和双曲线一样最刻苦的踪迹。”
双曲线范文2
双曲线：你是谁呀，走路不长眼！把我撞疼了。
椭圆：哦，对不起！怎么你长得这么古怪，简直是怪物！我们椭圆可不是你这幅怪模样！
双曲线：我可不是怪物，我叫双曲线！我觉得你才是怪物呢！大热的天把自己包得密不透风的。
椭圆：这可是我们椭圆的特别之处！我们家族的成员都是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。
双曲线：我们双曲线的定义是平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。记住了，以后别再班门弄斧了！
椭圆：我有标准方程x2a2+y2b2=1或y2a2+x2b2=1，其中a>b>0，你有吗？
双曲线：谁稀罕你那破方程，我又不是没有，x2a2-y2b2=1或y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）就是我的标准方程！ 我还有焦距，实轴、虚轴呢！方程中的a就表示实半轴，b表示虚半轴，半焦距用c表示并且c2=a2+b2。你有吗？
椭圆：哟，肚子里没货了就拿虚轴来充数呀！没有就是没有，干嘛还取那么好的一个名字，还“虚轴”呢，真是糟踏字！张大耳朵听着吧！我不但有焦距，还有长轴、短轴呢！标准方程中的a表示长半轴，b表示短半轴，半焦距也用c来表示，但是它们三者之间的关系是a2=b2+c2。这些轴可都是实实在在的轴！我还有离心率e呢！e=ca，并且e∈（0，1）。虚伪的家伙，你有吗？
双曲线：唉哟，你的离心率才那么点范围呀？我可比你大方多了，我的离心率e可属于（1，+∞）！
椭圆：我还有准线呢！焦点在x轴上的椭圆的准线方程为x=±a2c，焦点在y轴上的椭圆的准线方程为y=±a2c.
双曲线：老兄，那不值得你骄傲！我也有准线，并且和你的一模一样！
椭圆：我有四个顶点，你有吗？我看你那样子也弄不出四个顶点来.
双曲线：要那么多顶点把自己框得死死的干嘛！你瞧我，只有两个顶点，而我的范围却是x≤-a或x≥a，多轻松。再瞧瞧你，啧啧，我真同情你，到死了你上面的点也只能在x=±a与y=±b围成的矩形内活动。我差点忘了十分重要的一点，我还有两条渐近线，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=±bax，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=±abx。渐近线的特点是它十分靠近双曲线却又永远不与双曲线相交，它们就像我们双曲线的保镖。你有吗？
椭圆：哦，老弟，我不跟你比了，我总觉得咱俩有好多地方相似甚至相同，你家住何处？
双曲线范文3
对于双曲线，a为原点到与x轴交点，c为原点到与焦点的距离，a^2+b^2=c^2，渐近线与x轴还有过双曲线与x轴交点并垂直于x轴的直线组成的一个直角三角形的条边分别对应a、b、c。
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数，常数为2a，小于|F1F2|的轨迹称为双曲线，平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线，即：│|PF1|-|PF2│|=2a。
（来源：文章屋网 ）
双曲线范文4
定理 已知a，b都是不为0的实数，且x2a2-y2b2=1，则有不等式
a2-b2≤（x-y）2 ①
当且仅当xa2=yb2时等号成立.
证明 由已知x2a2-y2b2=1，得
a2-b2=（a2-b2）（x2a2-y2b2）=x2+y2-（b2x2a2+a2y2b2），
而b2x2a2+a2y2b2=（bxa）2+（ayb）2≥2xy，
因此a2-b2≤x2+y2-2xy=（x-y）2，
即a2-b2≤（x-y）2.
当且仅当b2x2a2=a2y2b2即xa2=yb2时等号成立.
由于不等式①满足的条件是：a，b都是不为0的实数，因此在平面直角坐标系xoy中，x2a2-y2b2=1表示双曲线方程，从而我们称不等式①为双曲线不等式.
由不等式①我们很容易获得下面两个有趣的推论：
推论1 设a，b，x，y∈R且满足x2a2-y2b2=λ（λ∈R），则
λ（a2-b2）≤（x-y）2 ②
推论2 设a，b，x，y∈R且满足x2a2-y2b2≥λ（λ∈R），a2-b2≥0，则
λ（a2-b2）≤（x-y）2 ③
证明 令x2a2-y2b2=λ0（λ0≥λ），由推论1，得
λ0（a2-b2）≤（x-y）2，
又因为a2-b2≥0，λ0≥λ，
所以λ（a2-b2）≤（x-y）2.
上述3个不等式的应用非常广泛，特别是用来求二元函数最值或值域问题时，显得更加简洁和方便.
一、求满足整式方程的未知数的代数式的最值或范围
例1 已知x，y满足x2-y2-2x-4y=0，求x-2y的范围.
解 x2-y2-2x-4y=0（x-1）23-（2y+4）212=-1，由推论1得：
[（x-1）-（2y+4）]2≥-1×（3-12），即（x-2y-5）2≥9，解得x-2y≤2，或x-2y≥8.
所以，x-2y的取值范围为（-∞，2]∪[8，+∞）.
例2 已知a，b∈R，且2a+b-2=0，求（a-2）2-（b-3）2的最大值.
解 令（a-2）2-（b-3）2=λ，则（2a-4）24λ-（-b+3）2λ=1，由推论1得：
[（2a-4）-（-b+3）]2≥1×（4λ-λ）=3λ，即λ≤253，当且仅当2a-44λ=-b+3λ且2a+b-2=0时，即
a=-43，b=143时，λmax=253，从而（a-2）2+（b-3）2的最大值为253.
二、求满足三元一次方程及三元二次方程的未知数的最值
例3 已知实数x1，x2，x3满足方程x1-12x2+13x3=1及x21 -12x22 -13x23 = 3，求x3的最值.
解 x1-12x2+13x3=1x1-12x2=1-13x3，x21 -12x22 -13x23 = 3
x21 3 + 13x23 -（12x2 ）212（3 + 13x23 ） = 1，
由推论1得：[（3 + 13x23 ）-12（3 + 13x23 ）]≤（1-13x3 ）2x23 + 12x3 + 9≤0（x3+6）2≤27
-6-33≤x3≤-6+33，从而x3的最小值为-6-33，最大值为-6+33.
三、求满足整式方程的未知数的分式的最值或范围
例4 如果实数x，y满足等式（x+1）2-y2=3，求yx的最大值.
解 令yx=k，则y=kx，由已知等式（x+2）2-y2=3可得（k+kx）23k2-y23=1，
由推论1得：（3k2-3）≤[（k+kx）-y）]2=k2，即k2≤32，-62≤k≤62，从而yx的最大值为62.
例5 若实数x，y适合方程x2-y2-2x+4y-7=0，那么代数式yx-1的取值范围是 .
解 令yx-1=t，则tx-y-t=0，由已知方程得（x-1）2-（y-2）2=4，变形得：（tx-t）24t2-（y-2）24=1，由推论1得：4t2-4≤（tx-y+2-t）2=4，解之得：
-2≤t≤2，代数式yx-1的取值范围是[-2，2].
例6 如果实数x，y满足等式x2-5（y-1）2=5，求y-1x-2的取值范围.
解 令y-1x-2=t，则tx-y=2t-1，由已知等式x2-5（y-1）2=5可得（tx）25t2-（y-1）21=1，
由推论1得：5t2-1≤（tx-y+1）2=4t2，解之得：-1≤t≤1，代数式y-1x-2的取值范围是[-1，1].
四、求满足不等式的未知数的最值
例7如果实数x，y满足不等式（x+1）2-y2≥3，求2x-y的取值范围.
解 由已知不等式（x+1）2-y2≥3可得（2x+2）212-y23≥1，
由推论2得：（12-3）≤[（2x+2）-y）]2=（2x-y+2）2，即9≤（2x-y+2）2，-5≤2x-y≤1，从而2x-y的最大值为1，最小值为-5.
五、求无理函数的值域
例8 求函数y=2x-3-x-2的值域.
解 由2x-3≥0且x-2≥0得x≥2.
又由（2x-3）-（x-2）=x-1≥1，得2x-3>x-2，从而y=2x-3-x-2>0.
又因为2x-32-x-21=12，
由推论1得：12（2-1）≤（2x-3-x-2）2，即12≤y2，y≤-22（舍去）或y≥22，
所以，y=2x-3-x-2的值域为[22，+∞）.
当且仅当 1・x-32=2・x-2，即x=52时，等号成立.
六、求满足分式方程的未知数的代数式的最值
例9设x，y，a，b∈R+，且ax-by=1，则x-y的最大值为 .
双曲线范文5
注意到椭圆与双曲线在定义与标准方程的差别仅在“和”与“差”上，因此表现在性质的差异上可能就是矛盾的两个方面。抓住这一点，可以先研究椭圆的几何性质，然后再类比到双曲线上。为便于讨论，只以焦点在x轴上的圆锥曲线的标准方程进行讨论。
一、内外之分
1.设椭圆 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为椭圆上除顶点外的任一点，过椭圆的一个焦点作∠F1QF2的一个外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹是圆的一部分。
证明：如图1，QP为∠F1QF2的一个外角平分线，过F2作QP的垂线，垂足为P。延长F2P与F1Q的延长线交于点N，则QP为F2N的垂直平分线，|QF2|=|QN|，又|QF1|+|QF2|=2a，|F1N|=2a，又OP为F1F2N的中位线,所以OP∥F1N且OP=a，所以P在以O为圆心，半径为a的圆上。
上述性质类比到双曲线上，即可得到：
设双曲线 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过双曲线的一个焦点作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹是圆的一部分。
本题结论本身也许并不重要，但解题依据却是最基本的定义，题目条件中的外角平分线与内角平分线的差别恰好就是椭圆与双曲线在定义上区别的体现。
二、正余有别
1.设椭圆a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上
除顶点外的任一点，∠F1QF2=θ，则三角形F1QF2的面积 证明：如图2，由椭圆定义得：|QF1|+|QF2|=2a （1）QF1F2中，由余弦定理可得：|QF1|2+|QF2|2-2|QF1|・|QF2|
cosθ=4c2 （2）
（1）式平方-（2）式得2|QF1|・|QF2|（1+cosθ）=4a2-4c2，
上述性质类比到双曲线上，即可得到：
设双曲线 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，∠F1QF2=θ，则三角形F1QF2的面积
本题结论中，两个面积公式的不同之处仅在正切与余切的区别上，这种形式的类似既是曲线性质规律性的反映，也是运用类比方法的典型案例。
三、对立统一
1.直线y=kx+b与椭圆（a，b＞0）交于A，B两点（图3），设AB中点为M，O为坐标原点，则有
（其中e为离心率）。
证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0），则有：
整理得， ，所以有上述性质类比到双曲线上，即可得到：直线y=kx+b与双曲线
交于A，B两点，设AB中点为M，O为坐标原点，则有（其中e为离心率）。
双曲线范文6
一、一个教学实验
对教材第106页例2的教学，笔者在所任教的两个班做了这样一个实验：在甲班按教材上的解法向学生讲解，不到10分时间完成该题的讲解；在乙班提前两天布置了这样一道作业题：
解方程组
学生对此方程组的解法有下列6种：
解法1：
由①×＋②，得a2＝16。
把a2＝16代入①，得b2＝9（下略）。
解法2：
由①－②，得－＝0，
即a2＝。
把a2＝代入①，得b2＝9，把b2＝9代入a2＝，得a2＝16（下略）。
解法3：
由①，得32b2－9a2＝a2b2。 ③
由②，得400b2－81a2＝16a2b2。④
由③×16－④，得16b2－9a2＝0，即a2＝（下略）。
解法4：
由①，得＝。
把＝代入②，得－＝1，即a2＝16（下略）。
解法5：令m＝a2，n＝b2，
则原方程组化为
（下略）。
解法6：令x＝，y＝，则原方程组化为
解这个方程组，得
即a2＝16，b2＝9（下略）。
当讲到教材第106页例2时，与学生一起列出方程组
学生看到这个方程组后，联想到两天前所做的作业，他们议论纷纷，有的学生的解法与教材一致，有的学生的解法与教材不一致。 笔者用投影仪显示作业中6种不同的解法，学生认真分析6种不同的解法。──通过一个简单的问题调动了他们学习数学的积极性。笔者没有就此罢休，及时提出对例题解法有没有值得改进的地方，教室一下子就安静下来了，大家都在积极思考着这个问题。过了一会儿，有的学生就抬起头看着老师，这说明他们已经找到了答案。学生受教材中方程组的启发，认为此题可以直接设所求双曲线方程为my2－nx2＝1（m＞0，n＞0），这样设计计算量较小。其实当椭圆或双曲线中心在原点且对称轴为坐标轴时，设为Ax2＋by2＝1的形式计算量更小。在乙班完成这一例题的讲解用的时间是甲班的2倍，而乙班课堂气氛和学习效果是甲班所不能比的。
在甲班的教学基本上照本宣科，仅用了待定系数法和换元法；而在乙班，除了用待定系数法和换元法，还用了整体代换思想、加减消元法、消常数法等数学思想方法，更可贵的是，学生受教材解题过程的启示，认为直接设my2－nx2＝1（m＞0，n＞0）可使计算量减小。
通过这一实验，可以得到一些有益的启示：1． 可不时将后学内容置前。将学生还没有学到但可以解决的局部问题置前，让他们自己解决，这样做可以充分调动学生的学习积极性，避免教材和教师的局限性，还可以培养学生的创造性思维能力，学生对某些问题的解决，往往可以超出教师的想象。2． 要充分重视教材中例题的教学。当前高中数学教学有一种不良倾向，认为教材中的例习题太容易，而高考题目太难，于是在上新课时，对教材例题讲解不够重视，而是草草了事，然后补充大量较难例题占用课堂时间。其实这样做不可取，教材例题是教材编者精心挑选的，是数学题目的精品，如果不好好利用它们，实在是巨大浪费。对教材例题不深入钻研就不知道它的价值。3． 学生自己能够解决的问题要坚决让学生自己解决。由于学生解决问题的途径多而且有些十分巧妙，如果教师代替学生来解决问题，往往会淹没学生很多好的解法。一定要相信学生是聪明的。
二、双曲线渐近方程的证明改进
对于双曲线渐近方程的证明，教材采用的是间接法，也可以直接证明。
先取双曲线在第一象限内的部分，这一部分的方程可写为
y＝（x＞a）。
设M（m＞a）是它上面的点，由点到直线距离公式，可得M到直线y＝x的距离
d＝
＝。
当x逐渐增大时，m逐渐增大，m＋逐渐增大，当m无限增大，m＋无限增大，d接近于0，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON。
在其他象限内，也可以证明类似的情况。我们把两条直线y＝±x叫做双曲线的渐近线。
三、一个例题教学设计的改进
例 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图1），它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m，选择适当的坐标，求出此双曲线的方程（精确到1 m）（教材第111页例2）。
解：如图2建立直角坐标系xOy，使小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合。这时，上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且｜CC′｜＝13×2，｜BB′｜＝25×2。
设双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），令点C的坐标为（13，y1），点B的坐标为（25，y2），因为点B、C在双曲线上，所以－＝1，－＝1。
又y1＞0，y2＜0，所以y1＝b，y2＝b。
而y1－y2＝55，所以b＝55，
即b＝≈25。
从而所求双曲线方程为－＝1。