双曲线的定义范文1
【关键词】新课改；双曲线；焦点弦；第二定义
新的数学课程标准是在以学生发展为本的理念下，要求学生转变学习方式，教师积极探索，转变教与学观念，加深对课本内容的拓展理解和应用。所以，在数学教学中，教师应善于引领学生对课本的一些重要问题进行进一步的探索与研究，以提高学生的数学素质与应试能力。双曲线的定义和焦点弦是圆锥曲线中非常重要的几何概念，同时也是各类考试的重点和热点，角度常变，常考不衰。但在普通高中课程标准实验教科书中，仅仅介绍了双曲线的第一定义及其直接的、简单的应用，对于双曲线的焦点弦问题，几乎未作出任何探讨，教师在教学过程中，也往往局限于新课程标准的教学目标和要求，没有对这些知识做出进一步的拓展补充。因此，学生往往不能对该类知识点做到透彻理解，巧妙应用。为此，针对双曲线的两个定义及焦点弦问题，结合具体事例，做一些简单探讨。
1 双曲线的两个定义
定义1：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
定义2：平面上与一个定点（焦点F）的距离和一条定直线（准线l）的距离的比等于常数e的点的轨迹，当0
例1 (2008湖南）若双曲线(a>0,b>0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）
A．(1，)；B．(，+∞)；
C．(1，)；D．(，+∞)
分析：本题是圆锥曲线中的计算问题，设双曲线的右支上一点为P(x1,y1)，x1≥a，则点P到左准线的距离为，到右准线的距离为，由双曲线的第二定义得点P到右焦点的距离为，所以=，解得，由x1≥a，得≥a，整理得c2-2ac-a2≤0，即e2-2e-1≤0(e>1)，解得1
2 焦点弦问题
2.1 焦点弦的一个性质
设双曲线方程为，离心率为e，直线l经过双曲线焦点F且与该双曲线交于A，B两点， 倾斜角为α，则有
当直线l与双曲线的两个交点A，B在双曲线的同支上时，|cosα|
当直线l与双曲线的两个交点A，B在双曲线的异支上时， |cosα|>1-e （2）
当直线l与双曲线只有一个交点时，|cosα|=1-e （3）
证明：由对称性，不妨设F为有焦点(c,0)
（1）由渐近线与弦AB斜率的关系知
⇒1+tan2α>e2⇒sec2α>e2
⇒|cosα|>1-e 。
（2）首先A，B在双曲异支上时，由渐近线与弦AB斜率的关系知
，
，
⇒1+tan2α
（3）由于直线l与双曲线有且只有一个交点，依题意则直线l与该双曲线的渐近线平行，即 ，
，
。
2.2 弦长公式
设双曲线离心率为e，直线l经过双曲线焦点F且与该双曲线交于A，B两点， 倾斜角为θ，焦点F到相应准线的距离为d，则有
当双曲线方程为，弦AB的长。
当双曲线方程为，弦AB的长。
证明：当焦点在X轴上时，设双曲线方程为，焦点F(c,0)到相应准线的距离为，离心率为。
先推导弦AB所在直线的参数方程，首先AB所在直线的一般方程为y=tanθ(x-c)，此直线方程可看做是直线y=tanθ・x按向量(c,0)平移得到的，而对直线y=tanθ・x，设x=tcosθ，则y=tsinθ，即可得上述直线的参数方程为
x=tcosθ+c
{y=tsinθ（t为参数），
事实上，令
=|t1-t2|。
可发现参数t的几何意义为直线AB上的某段弦长。
将弦AB所在直线的参数方程与双曲线方程联立，并整理得
(b2cos2θ-a2sin2θ)t2+2b2ccosθt+b4=0，
于是，由上述t的几何意义，
。
如果直线l斜率为k， 。
2.3 应用举例
例2已知双曲线的左焦点是F，过F且倾斜角为45°的直线与椭圆的两个焦点在y轴的不同侧，求椭圆离心率e的取值范围。
解：由题意及上述性质1(1)得|cosα|=1-e ，所以，即。
参考文献：
[1]数学课程标准解读（实验）[M].北京师范大学出版社，2002
[2]普通高中课程标准实验教科书（选修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2004
双曲线的定义范文2
一、鼓励学生一题多解，活跃思维
数学的学习对于大多数高中生来说，是一门比较枯燥、乏味、困难的学科.但是由于高中数学在高考中占有很大的比例，学生也只能硬着头皮拼命地做题，通过做题量提高做题巧妙性和灵活性.这样往往会使学生越做越烦、越反感.我认为，学生可以对一道题扩展思维，思考多种解题方法，通过一道题对比钻研学会解答一类题型，锻炼学生的思考能力，培养学习数学的兴趣爱好.
在高中数学教学中，教师可以在课堂上或课堂结束后出一个题目，空一段时间让学生思考解答，要求学生用多种方法解答.思考解答完后，由一个学生回答自己所想出的解答方法或者直接写在黑板上，教师再鼓励有其他解法的学生说自己的解法，这样可以充分发挥学生的积极性，同时可以与全班学生交流解题方法和思维.
在考场紧张状态下，常规方法可以提高准确度.这道题的解法有许多种，可让学生试试用更多的方法解答.
二、利用启发式教学，引导学生形成发散思维
数学基本概念、公式的学习对后续数学习题解答具有重要作用，基本概念、公式、定理的的学习是保证顺利解答数学习题的基础.传统的教育常常是教师灌输概念，按照课本给出的概念进行讲解然后让学生背会，学生对其来龙去脉一知半解.目前高中教学不注重基本概念的教学，认为概念会用能做题就行，不需要弄懂，导致多数教师对习题方法的解答重视，这样不利于数学思维的培养.为了改善这种情况，教师如果把概念、定理、公式等内容的教学设计成探究性教学模式就可以让学生自己去发现问题，检验、论证、推广结论，更有利于学生对数学知识的构建.
例如，在讲“双曲线的定义”时，把第一定义与第二定义进行结合、探讨学习.①双曲线的第一定义：把平面内与两个定点F1，F2 的距离的差的绝对值为常数，并且这个常数小于│ F1F2 │，即小于这两个定点的距离，这些点形成的轨迹就叫做双曲线.定点是双曲线的焦点，焦点间的距离叫做双曲线的焦距.②双曲线的第二定义：平面内到定点F（c，0）的距离与到定直线l的点的轨迹叫双曲线.定点 F为双曲线的焦点，定直线l叫做相应焦点的准线.通过把双曲线的第一、第二定义放在一块对比教学，既然这两个定义是等价的，接下来教师就引导学生向学生提出问题，双曲线的第一定义怎样推出第二定义，两种表达形式又是怎样互推的？教师的这种提问引导促使学生思考，学生通过思考进行发散思维，为什么能用双曲线的第一定义也就是基本定义推导出第二定义，教师引导学生从双曲线的定义本质入手，双曲线的第二定义是说双曲线上的点到定点的距离是到定直线的距离的e倍，e就是双曲线的离心率，双曲线有两条准线，两条准线间距离的e倍也就是定值，它等于到两定点的距离差，也就是第一定义，通过简单的说明，双曲线的定义就会变得简单明了.
三、在教师讲、学生听的模式中，加入师生互动交流模式
双曲线的定义范文3
穆棱市第一中学 高二学年 数学 靳春明
一.教材分析
1.地位与作用
《双曲线及其标准方程》是全日制普通高级中学教科书（人教版）第二册（上）第八章第三节内容，双曲线是平面解析几何的又一重要曲线，本节课既是对解析几何学习方法的巩固，又是对运动，变化和对立统一的进一步认识，从整体上进一步认识解析几何，建立解析几何的数学思想。
2.教材处理
a.教材的定义并不全面，应该是“平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数
（大于0,小于）的点的轨迹叫做双曲线”
b.教材中只是给了双曲线的定义，而对距离之差2a=0，距离之差2a=2c时没有研究，为了使学生对双曲线轨迹形成有更深的体会，应该加以说明。
二.学情分析
知识结构：双曲线是圆坠曲线中第二学习的曲线，再此之前学生已经学习了椭圆曲线，对学习曲线方程已经有了一定基础和方法，运用类比的学习方法得到双曲线的标准方程并不困难，但在求方程的过程中还有许多需要注意的地方，这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。
心理特征：高二学生已经形成了是非观，具备了一定的类比转化及分析问题的能力，在心里上也具备了承受和辨证地接受别人的意见和建议，但对于复杂问题的处理还不够灵活，因此在课堂上要注意发挥学生的主体作用，体现教师的点拨引领效果。
三. 教学目标确定及依据
双曲线是继椭圆后的有一个曲线，两者在研究方法与研究内容上类似，但是性质上差别很大这就养成学生在学习时必须辨证的考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识用于探索精神，学生亲自体会双曲线标准方程的获得过程，这样学生的动手实践能力得到了提高，有体会到了学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：
1.知识与技能：掌握双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其推导方法，理解怎样的双曲线其方程为标准方程，双曲线的标准方程所表示的曲线，其图形有什么特征，并能根据双曲线的标准方程确定焦点的位置。
2.过程与方法：类比推理，探索知识
3.情感态度与价值观：使学生认识到比较法是认识事物，掌握其实质的一种有效的方法；发现数学美体验成功后的喜悦。
4.重点与难点
重点：双曲线中a,b,c 之间的关系。
依据：研究双曲线的性质离不开a,b,c之间的的关系
难点：双曲线的标准方程
依据：如何分清双曲线标准方程的两种形式是难点
手段：多媒体辅助教学，指导学生自学法
四.教学理念及流程设计
（一）教学理念
本着以人为本的教学理念及发挥学生主动性，使学生成为课堂的教学原则，遵循事物的发生，发展成熟过程及学生的认知规律，通过学生的自主探索，求出双曲线的标准方程，在此过程中体现生生，师生之间的团结合作，互相帮助的精神，学生的内在潜能得以发挥，通过双曲线方程判断焦点的位置的过程中提高学生分析问题及严密推理能力得以提高，学生体会到学习数学的乐趣。
（二）流程设计
1.复习：椭圆的定义及怎样求得椭圆的曲线
2.新课导入：与两定点的距离之差是常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？
3.新知探究：在什么条件下能得到双曲线，怎样求双曲线的方程？怎样通过双曲线方程判断焦点位置？求曲线方程时同桌分别求焦点在X，Y 轴的曲线方程。
4.习题分析：107页练习第二题 目的：对双曲线的焦点位置的判断
双曲线的定义范文4
注意到椭圆与双曲线在定义与标准方程的差别仅在“和”与“差”上，因此表现在性质的差异上可能就是矛盾的两个方面。抓住这一点，可以先研究椭圆的几何性质，然后再类比到双曲线上。为便于讨论，只以焦点在x轴上的圆锥曲线的标准方程进行讨论。
一、内外之分
1.设椭圆 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为椭圆上除顶点外的任一点，过椭圆的一个焦点作∠F1QF2的一个外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹是圆的一部分。
证明：如图1，QP为∠F1QF2的一个外角平分线，过F2作QP的垂线，垂足为P。延长F2P与F1Q的延长线交于点N，则QP为F2N的垂直平分线，|QF2|=|QN|，又|QF1|+|QF2|=2a，|F1N|=2a，又OP为F1F2N的中位线,所以OP∥F1N且OP=a，所以P在以O为圆心，半径为a的圆上。
上述性质类比到双曲线上，即可得到：
设双曲线 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过双曲线的一个焦点作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹是圆的一部分。
本题结论本身也许并不重要，但解题依据却是最基本的定义，题目条件中的外角平分线与内角平分线的差别恰好就是椭圆与双曲线在定义上区别的体现。
二、正余有别
1.设椭圆a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上
除顶点外的任一点，∠F1QF2=θ，则三角形F1QF2的面积 证明：如图2，由椭圆定义得：|QF1|+|QF2|=2a （1）QF1F2中，由余弦定理可得：|QF1|2+|QF2|2-2|QF1|・|QF2|
cosθ=4c2 （2）
（1）式平方-（2）式得2|QF1|・|QF2|（1+cosθ）=4a2-4c2，
上述性质类比到双曲线上，即可得到：
设双曲线 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，∠F1QF2=θ，则三角形F1QF2的面积
本题结论中，两个面积公式的不同之处仅在正切与余切的区别上，这种形式的类似既是曲线性质规律性的反映，也是运用类比方法的典型案例。
三、对立统一
1.直线y=kx+b与椭圆（a，b＞0）交于A，B两点（图3），设AB中点为M，O为坐标原点，则有
（其中e为离心率）。
证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0），则有：
整理得， ，所以有上述性质类比到双曲线上，即可得到：直线y=kx+b与双曲线
交于A，B两点，设AB中点为M，O为坐标原点，则有（其中e为离心率）。
双曲线的定义范文5
例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两个观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上.）
解析 如图，以接报中心为原点[O]，正东、正北方向为[x]轴、[y]轴正向，建立直角坐标系.设[A，B，C]分别是西、东、北观测点，则[A（-1020，0）]，[B（1020，0）]，[C（0，1020）.]
设[P（x，y）]为巨响发生点，由[A，C]同时听到巨响声，得[|PA|=|PC|]，故[P]在[AC]的垂直平分线[PO]上，[PO]的方程为[y=-x]，因为[B]点比[A]点晚4s听到爆炸声，故[|PB|-|PA|=340×4=1360.]
由双曲线定义知[P]点在以[A，B]为焦点的双曲线[x2a2-y2b2=1]上，依题意得[a=680， c=1020]，
[ b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.]
故双曲线方程为[x26802-y25×3402=1.]
将[y=-x]代入上式，得[x=±6805].
[|PB|>|PA|]，
[x=-6805， y=6805，]即[P（-6805，6805），]故[PO=68010.]
答：巨响发生在接报中心的西偏北[45°]距中心[68010m]处.
点拨 时间差即为距离差，到两定点的距离之差为定值的点的轨迹是双曲线.
题型二 求双曲线的标准方程
例2 已知双曲线[C]与双曲线[x216-y24=1]有公共焦点，且过点[（32，2）].求双曲线[C]的方程.
解析 设双曲线方程为[x2a2-y2b2=1]，则[c=25].
又双曲线过点[（32，2）]，[（32）2a2-22b2=1.]
又[a2+b2=（25）2]，[a2=12， b2=8].
故所求双曲线的方程为[x212-y28=1].
点拨 求双曲线的方程，关键是求[a，b]. 在解题过程中应熟悉各元素（[a，b，c，e]及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.
题型三 求离心率或离心率的范围
例3 已知双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦点分别为[F1，F2]，点[P]在双曲线的右支上，且[|PF1|=4|PF2|]，则此双曲线的离心率[e]的最大值.
解析 由定义知[|PF1|-|PF2|=2a]，又已知[|PF1|=4|PF2|]，解得[|PF1|=83a]，[|PF2|=23a]，在[PF1F2]中，由余弦定理得，
[cos∠F1PF2=649a2+49a2-4c22?83a?23a=178-98e2]，要求[e]的最大值，即求[cos∠F1PF2]的最小值，当[cos∠F1PF2=-1]时，解得[e=53]，即[e]的最大值为[53.]
点拨 这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决.
题型四 与渐近线有关的问题
例4 若已知双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）
A. [2] B. [3] C. [5] D. 2
解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，
故[b=2a]，[e2=c2a2=1+b2a2=5]，所以[e=5.]
点拨 双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过[a，b，c]的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程.
题型五 直线与双曲线的位置关系
例5 （1）过点[P（7，5）]与双曲线[x27-y225=1]有且只有一个公共点的直线有几条，求出它们的方程；
（2）直线[y=kx+1]与双曲线[3x2-y2=1]相交于[A，B]两点，当[a]为何值时，[A，B]在双曲线的同一支上？当[a]为何值时，[A，B]分别在双曲线的两支上？
解析 （1）若直线的斜率不存在时，则[x=7]，此时仅有一个交点[（7，0）]，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为[y-5=k（x-7）]，即[y=kx+5-k7].
代入得，[x27-（kx+5-k7）225=1]，
[25x2-7（kx+5-k7）2=7×25].
即[（25-7k2）x2-14kx（5-k7）+7（5-k7）2-175][=0].
当[k=577]时，方程无解，不满足条件；
当[k=-577]时，[2×57x×10=75]方程有惟一解，满足条件；
当[k2≠257]时，令
[Δ=[14k（5-k7）]2-4（25-7k2）[（5-k7）2-165]=0，]
化简得：[k]无解，不满足条件.
所以满足条件的直线有两条，[x=7]和[y=-577x+10].
（2）把[y=kx+1]代入[3x2-y2=1]整理得，
[（3-a2）x2-2ax-2=0].
当[a≠±3]时，[Δ=24-4a2].
由[Δ>0]得[-6
若[A，B]在双曲线的同一支，须[x1x2=2a2-3]>0 ，所以[a3].
故当[-6
点拨 与双曲线只有一个公共点的直线有两种.一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线，另一种是与双曲线相切的直线也有两条.
题型六 求轨迹方程
例6 双曲线[x29-y2=1]有动点[P]，[F1，F2]是曲线的两个焦点，求[ΔPF1F2]的重心[M]的轨迹方程.
解析 设[P，M]点坐标各为[P（x1，y1），M（x，y）]，
在已知双曲线方程中[a=3，b=1]，
[c=9+1=10].
双曲线的两焦点为[F1（-10，0），F2（10，0）]，
[ΔPF1F2]存在，[y1≠0].
由三角形重心的坐标公式有，
[x=x1+（-10）+103，y=y1+0+03，]即[x1=3x，y1=3y.]
[y1≠0]，[y≠0].
已知点[P]在双曲线上，将上面的结果代入已知曲线方程，有[（3x）29-（3y）2=1（y≠0）].
双曲线的定义范文6
【关键词】圆锥曲线；离心率；椭圆；双曲线；焦点；取值范围；曲线类型；类比方法；齐次不等式；抛物线；定义；正弦定理；余弦定理；高考题
求离心率的值或取值范围，是解析几何中的重点、难点，离心率也是历年来是圆锥曲线客观题的考点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中档次的题型.一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率、或离心率的取值范围只需要由条件得到一个关于基本量a，b，c，e的一个方程，或不等式，就可以从中求出离心率或其范围.许多题目源于课本，由若干基础知识经串并联、类比、改造而成，正所谓“问渠哪得清如许，为有源头活水来”.用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！笔者根据20多年的高中数学教学经验，小结如下方法供同学们借鉴.
一、直接求出a、c，求解离心率e
已知圆锥曲线的标准方程或a，c易求时，可利用率心率公式e=ca来解决.