平行线分线段成比例定理范文1
本文以《平行线分线段成比例定理》为例，谈一谈如何说课。
平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的拓展，即由“特殊”（对应线段的比值K=1）拓展到“一般”（对应线段的比值K为任意正实数）。这里涉及到无理数、极限等知识，教材只是设置了一个探究栏目，引导学生度量相关的线段长度，发现规律，然后直接给出定理。我准备渗透极限思想，培养学生严谨的科学态度。因此定理的生成是本节课教学的重点，也是难点。
那么如何实施教学目标呢？我制定了四个学习步骤：
1.师生共同运用“转化”的思想方法，探讨由“一组等距平行线分线段成比例（比值K=1）”到“一组不等距平行线分线段也成比例（比值K为任意正实数）的原理，生成平行线分线段成比例定理。2.引导学生观察、分析定理中的直线之间的位置关系，运用分类的思想，将图形变式，提高几何直观能力。3.引导学生将定理应用于三角形和梯形之中，生成“平行线分线段成比例定理”的推论。4.建构平行线分线段成比例定理的知识结构，感受数学知识的内在联系和逻辑关系。
本节课重点难点的教学过程：
1. 引导学生自主建构平行线等分线段定理
（1）提出问题：让学生在自己的作业本上任意画一条直线，那么这条直线被平行线组所截得的线段是否相等？（2）在学生通过度量得到结论后，再上升到理性认识，构造全等三角形或运用“面积法”证明结论成立，从而自主建构“平行线等分线段定理”，即：
2. 拓展研究：建构平行线分线段成比例定理。若换成一组不等距平行线，结论是否成立？（1）将作业本中某条平行线隐去（如图1所示）
学生添加原平行线 ，即在AC上截取CD长，正好可以截两次，得到截点B，过B点作平行线，马上得出结论
（2）进一步，将平行线向下平移，结论成立吗？（如图2所示）
开展小组讨论交流。如果学生无法完成，可适时点拨：解决问题的关键就是如何将“不等距”转化为“等距”？学生想到可在l1、l3、之间添加平行线，转化为“等距”。讨论：
截得尽转化为“等距”
截不尽有剩余，怎么办？
学生继续用 CD长去截，按照这样的办法无限添加下去，最后一条添加的平行线一定无限逼近于l1，它们之间的距离可以忽略不计，从而仍有结论 = 成立。此时学生确认了定理，即：l1∥l2∥l3？
（3）剖析题设、结论，运用比例定理变式，并进一步概括：三条平行线截两条直线，所截得的六条线段对应成比例
（4）图形变式：
平行线分线段成比例定理范文2
一、概念和定理的学习
在平面几何里要接触大量的概念和定理，这些概念和定理是学习几何的基础，是进行推理论证的依据。
1、概念要注重理解它们的含义，会画其图形，并能用几何语言表达。例如：将一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点。不能满足于记住，而要进一步结合图形用几何语言表达概念的含义。如点A、B、C在同一直线上， AC=BC C是线段AB的中点。反过来，如果C是线段AB的中点，则AC=BC，或者AC=BC= AB，AB=2AC=2BC。由此可得对于线段AC、BC、AB三条线段任知道一条线段，根据上述关系式可得其他线段。
2、定理不能死记硬背，更不能以为自己背过了就会应用。必须分清其条件和结论以及适用的图形，否则会使理由说的不充分，证得的结论不可信。例如：对角线相等的平行四边形是矩形。条件有二；（1）对角线相等（2）平行四边形（即对角线互相平分）这样才能得到矩形结论，两个条件缺一不可。若分不清就会造成“顺次连结某四边形各边中点得到的四边形是菱形，则原四边形是矩形”的错误。应是对角线相等的四边形，包括矩形，但不一定是矩形。
二、例题和练习题的学习
通过例题和练习题的学习，不仅能加深对概念、定义、定理、公式和法则等基础知识的理解，加强解题技巧的培养，而且在提高分析问题、解决问题的能力，开发智力等方面能发挥独特的效应。有些同学“课堂上听得懂，一做作业就头疼”的毛病，就是对例题和练习题处理不当，每一个数学题目就像一个完整的机器，有许多个小零件组成，哪一个部位有问题都很难达到目的。例题起了个导航的作用。在教师讲例题前，我们应充分思考自己动脑动手，自己寻找突破口，然后听教师讲解，进行对比比较，概括归纳，在此基础上总结出归律。对于练习题，我们不能满足于会做某个题，而应达到一题多解，举一反三，触类旁通的程度。
三、证题方法的学习
我们跟老师学习的是方法，而不是学会某个题，几何证题关键是分析。不会分析就不会证题，几何证题的分析思路可分两条。
一条是分析法。即根据已知或题设推到结论，不过几何题目一步就能推出的很少，由条件引发联想，有时会有几个中间结果。
已知中的条件不只一个时，常从其中一个条件联想，对每一个中间结果随时联想，直到结论，把这个过程写出来就是证明。
另一条是综合法。从结论入手，寻找结论成立须具备的条件，已知中已有时，这样的题不多，也简单。若没有把这些条件作为结论，继续倒着推上去，最后与已知条件一致时即可。不过注意有些题目需要两头凑。
四、学习后的总结
数学题目浩如烟海，千变万化，要想把所有的数学题目学完这是不现实的。这就要求我们在学习中要由例及类，由此及彼，由点及面。要做到这一点最好的办法就是归纳总结。
1、常见辅助线的总结：平面几何难学其中难点之一就是辅助线的添加。辅助线是沟通命题中已知和求证结论的桥梁，因此添加辅助线是几何证明的重要手段。困难在于千变万化，方法千差万别，但也有一定的规律可循。正确添加的大致条件有二，一要充分审题，搞透题意。二要熟练掌握基本定理几基本图形的性质。如圆中一些常见辅助线。
① 见弦作弦心距，应用垂径定理。
② 见直径连圆周角得直角。
③ 见切点连圆心得垂直。
④ 见切线作过切点的弦得弦切角。
⑤ 两圆相切作公切线或连心线。
⑥ 两圆相交连公共弦或连心线。
2、基本图形的总结：所为基本图形，是指反映概念和定理的图形，在做题中它有两个作用。一是可帮助我们很快地找到解题途径。二是帮助我们很快找到要添加的辅助线。如相似三角形中常见的图形有（1）“8”字型（包括平行型和非平行型）（2）“A”字型（包括平行型和非平行型）（3）“子母型”。 再如直角三角形斜边上的高的基本图形中需要记住的结论很多。除直角相等外还有两组相等的角，还有互余的角，任意两个直角三角形都相似，射影定理，两直角边的积等于斜边和斜边上的高的积等等。我们在做题时要善于从复杂的图形中分解出基本图形，抓住本质，排除赶扰。
平行线分线段成比例定理范文3
我们在初中数学教学中经常会碰到一些条件比较分散的几何综合题，这时候我们就应该采取一些方法把这些条件集中起来，常用的方法就是图形变换，即平移、旋转、对称、相似变换、等积变形等，添加辅助线是图形变换的具体表现。下面我们通过一些例子，重点谈谈平移法、旋转法、对称法这几种变换方法在几何证明题中的具体运用。
一、平移法
平移法就是把某个图形沿着一定的方向从一个位置平移到另一个位置的方法。平移法的依据是利用“平行四边形的性质”和“中位线定理”，平移法在梯形的有关计算和证明中表现得较为充分，如过一点作腰的平行线、构造平行四边形和三角形、把腰平移到同一个三角形中、把两底平移到同一条直线上等。
例l 如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，E、F分别是AD、BC的中点。求证：EF=1/2（BC-AD）。
探求：由结论中的BC-AD是两底的差，想办法把AD移到BC上，考虑到E是AD的中点，故过E分别作EM∥AB，EN∥DC，交BC分别于M、N，则MN=BC-AD。再结合平行线的性质和直角三角形的性质，问题得证。
二、旋转法
旋转法就是把某个图形绕着一定的点进行旋转，从一个位置旋转到另一个位置。在正方形中，旋转法使用较多，圆中的四点共圆也可以把一个角旋转到所需要的位置上。
例2 如图2，已知点P是正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数。
探求：已知条件非常简单，学生如果没有学习旋转法或对旋转法比较生疏的话，一下子很难求解。我们要想办法把已知条件集中起来，如正方形是旋转图形、三条线段的比以及直角三角形的性质（勾股定理）等。具体方法：把BAP绕B点按顺时针旋转900，转到BCE处，故有∠APB=∠CEB、BP=BE、AP=CE，同时设PA=x、PB=2x、PC=3x，可求出PE=2，最后利用勾股定理的逆定理可以得到答案。
例3 如图3，以RtABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形CE和正方形BF，且CDAB于D，求证：（AF+AD）2=EF2-
CD2 。
探求：从结论上看，AF、AD接成一条线段，又都是平方的形式，由此想到勾股定理，故延长FA至D'，使AD'=AD，再证AED'≌ACD，从而得证。实际上也可以看做是把ACD绕点A按顺时针旋转900到ACD处。
三、对称法
对称法就是把某个图形以定直线为轴对折到对称的位置上的方法，常常以角平分线、线段的中垂线为轴。
例4 如图4，已知AD是ABC
的角平分线，
且AC
求证：CD
探求：在AB上取AE=AC，连结DE，显然有ACD≌AED。也就是把ACD翻折到AED位置上，可得∠BED=∠FCD>∠B，获证。
四、截长补短法
截长补短法是初中数学几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系。具体说就是把a=b+c转化为b=a-c或反过来使用，寻求问题的解决方法。截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。
五、加倍折半法
加倍折半法具体地说就是把a=2b转化为b=1/2 a或反过来运用。在证明角的2倍或1/2以及线段的2倍或1/2中运用较多所作的辅助线一般是角的平分线或取线段的中点。
六、截取、延长法
截取法、延长法就是在证明线段或角不等关系时，在长线段上取一段等于短线段或把短线段延长等于长线段，构成全等三角形，将要比较的量转化到可以比较的同一个三角形中。前面讲的例4也可以采用这种方法，即延长AC至F，使AF=AB，连结DF，再证明ABD≌AFD，所以BD=DF，在DFC中进行比较，可以得证。
七、相似变换法
就是利用相似比改变图形的大小而不改变其形状的方法。利用相似三角形的性质可以解决有关平行、比例和面积等问题。另外还有等积变形法，就是不改变图形的面积只改变图形的形状的方法，利用“同底等高的三角形面积不变”的定理解决问题。在此不再举例。
平行线分线段成比例定理范文4
1.
作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；
2.作一腰上的高；
3过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。
梯形
1.垂直于平行边
2.垂直于下底，延长上底作一腰的平行线
3.平行于两条斜边
4.作两条垂直于下底的垂线
5.延长两条斜边做成一个三角形
菱形
1.
连接两对角
2.
做高
平行四边形
1.垂直于平行边
2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意
矩形
1.
对角线
2.作垂线
很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线?
①见中点引中位线，见中线延长一倍.
在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中，常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有
1、过上底的两端点向下底作垂线
2、过上底的一个端点作一腰的平行线
3、过上底的一个端点作一对角线的平行线
4、过一腰的中点作另一腰的平行线
5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交
6、作梯形的中位线
7、延长两腰使之相交
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线
一．
添辅助线有二种情况：
1按定义添辅助线：
如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：
每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：
（1）平行线是个基本图形：
当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线
（2）等腰三角形是个简单的基本图形：
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形
出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形
几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：
全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线
（8）特殊角直角三角形
当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明
二．
基本图形的辅助线的画法
1.三角形问题添加辅助线方法
方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
（1）连对角线或平移对角线：
（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等. 3.梯形中常用辅助线的添法
梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高 （6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线 当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。
作辅助线的方法
一：中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”
托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）
九：面积找底高，多边变三边。
如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。
如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。
另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。
初中几何辅助线
一 初中几何常见辅助线口诀
人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线.
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为和。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
二 由角平分线想到的辅助线
口诀：
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
三 由线段和差想到的辅助线
口诀：
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，
四 由中点想到的辅助线
口诀：
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
（一）
、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形
（二）
、由中点应想到利用三角形的中位线
（三）
、由中线应想到延长中线
（四）
、直角三角形斜边中线的性质
（五）
、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线
（六）中线延长
口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。
题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。
五 全等三角形辅助线
找全等三角形的方法：
（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：
①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
六 梯形的辅助线
口诀：
平行线分线段成比例定理范文5
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（） A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 没有实数根 D． 无法确定是否有实数根 2．在RtABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（） A． B． C． D． 3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（） A． 长方体 B． 正方体 C． 圆柱 D． 圆锥 4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（） A． B． C． D． 5．如图，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（） A． 1 B． 2 C． 4 D． 8 6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（） A． y1＜0＜y2 B． y2＜0＜y1 C． y1＜y2＜0 D． y2＜y1＜0 7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODAC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EFAB于F．若AC=2，则OF的长为（） A． B． C． 1 D． 2 8．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EFBD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（） A． 线段EF B． 线段DE C． 线段CE D． 线段BE二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为cm2．（结果保留π） 10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m． 11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为． 12．对于正整数n，定义F（n）= ，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．（1）求：F2（4）=，F2015（4）=；（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是．三、解答题（共13小题，满分72分）13．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（ ）﹣1． 14．如图，ABC中，AB=AC，D是BC中点，BEAC于E，求证：ACD∽BCE． 15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值． 16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，ACx轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足OPC与ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 18．如图，ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值． 19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＜0，且 ＞﹣1，求整数m的值． 20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）； 质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50 单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的值． 21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在O上，AD与O相切，射线AO交BC于点E，交O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．（1）求证：直线PC是O的切线；（2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长． 22．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CDAB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AECD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=； 解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=． 23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；（3）若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围． 24．如图1，在ABC中，BC=4，以线段AB为边作ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）． 25．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则S=mn为图形W的测度面积．例如，若图形W是半径为1的O，当P，Q分别是O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2；当P，Q分别是O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；②如图4，当ABx轴时，它的测度面积S=；（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的值为；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（） A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 没有实数根 D． 无法确定是否有实数根考点： 根的判别式． 分析： 求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可．解答： 解：x2﹣3x﹣5=0，=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）=29＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选A．点评： 本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根． 2．在RtABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（） A． B． C． D． 考点： 锐角三角函数的定义． 分析： 直接根据三角函数的定义求解即可．解答： 解：RtABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，sinA= = ．故选A． 点评： 此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边：斜边=a：c． 3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（） A． 长方体 B． 正方体 C． 圆柱 D． 圆锥考点： 由三视图判断几何体． 分析： 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解答： 解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选：D．点评： 本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定． 4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（） A． B． C． D． 考点： 概率公式． 分析： 由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答： 解：六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，抽到的座位号是偶数的概率是： = ．故选C．点评： 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 5．如图，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（） A． 1 B． 2 C． 4 D． 8考点： 位似变换． 专题： 计算题．分析： 根据位似变换的性质得到 = ，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到 = ，所以 = ，然后把OC1= OC，AB=4代入计算即可．解答： 解：C1为OC的中点，OC1= OC，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形， = ，B1C1∥BC， = ， = ，即 = A1B1=2．故选B．点评： 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（） A． y1＜0＜y2 B． y2＜0＜y1 C． y1＜y2＜0 D． y2＜y1＜0考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 专题： 计算题．分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣ ，y2=﹣ ，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小．解答： 解：A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，y1=﹣ ，y2=﹣ ，x1＜0＜x2，y2＜0＜y1．故选B．点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODAC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EFAB于F．若AC=2，则OF的长为（） A． B． C． 1 D． 2考点： 垂径定理；全等三角形的判定与性质． 分析： 根据垂径定理求出AD，证ADO≌OFE，推出OF=AD，即可求出答案．解答： 解：ODAC，AC=2，AD=CD=1，ODAC，EFAB，∠ADO=∠OFE=90°，OE∥AC，∠DOE=∠ADO=90°，∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，∠DAO=∠EOF，在ADO和OFE中， ，ADO≌OFE（AAS），OF=AD=1，故选C．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出ADO≌OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EFBD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（） A． 线段EF B． 线段DE C． 线段CE D． 线段BE考点： 动点问题的函数图象． 分析： 作BNAC，垂足为N，FMAC，垂足为M，DGAC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论．解答： 解：作BNAC，垂足为N，FMAC，垂足为M，DGAC，垂足为G． 由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE＜ 时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误；由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd＞ 时，DE有最小值，故B正确；CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误；由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜ 时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误；故选：B．点评： 本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为 3π cm2．（结果保留π） 考点： 扇形面积的计算． 专题： 压轴题．分析： 知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出．解答： 解：由S= 知S= × π×32=3πcm2．点评： 本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S= ． 10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为 24 m．考点： 相似三角形的应用． 分析： 根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．解答： 解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得， = ，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．点评： 本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键． 11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为 x1=﹣2，x2=1 ． 考点： 二次函数的性质． 专题： 数形结合．分析： 根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 的解为 ， ，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．解答： 解：抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），方程组 的解为 ， ，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．故答案为x1=﹣2，x2=1．点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x=﹣ ．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题． 12．对于正整数n，定义F（n）= ，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．（1）求：F2（4）= 37 ，F2015（4）= 26 ；（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是 6 ．考点： 规律型：数字的变化类． 专题： 新定义．分析： 通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可．解答： 解：（1）F2（4）=F（F1（4））=F（16）=12+62=37；F1（4）=F（4）=16，F2（4）=37，F3（4）=58，F4（4）=89，F5（4）=145，F6（4）=26，F7（4）=40，F8（4）=16，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2015是7的287倍余6，因此F2015（4）=26；（2）由（1）知，这些数字7个一个循环，F4（4）=89=F18（4），因此3m=18，所以m=6．故答案为：（1）37，26；（2）6．点评： 本题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键． 三、解答题（共13小题，满分72分）13．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（ ）﹣1．考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．分析： 原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可．解答： 解：原式=﹣1+ ﹣1+2= ．点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．如图，ABC中，AB=AC，D是BC中点，BEAC于E，求证：ACD∽BCE． 考点： 相似三角形的判定． 专题： 证明题．分析： 根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到ADBC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．解答： 证明：AB=AC，D是BC中点，ADBC，∠ADC=90°，BEAC，∠BEC=90°，∠ADC=∠BEC，而∠ACD=∠BCE，ACD∽BCE．点评： 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质． 15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值．考点： 一元二次方程的解． 专题： 计算题．分析： 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值．解答： 解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，则原式= = =3．点评： 此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式．考点： 二次函数图象与几何变换． 专题： 计算题．分析： 由于抛物线平移前后二次项系数不变，则可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式．解答： 解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，把点A（0，3），B（2，3）分别代入得 ，解得 ，所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3．点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，ACx轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足OPC与ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 分析： （1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；（2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得ABC的面积，再结合OPC与ABC的面积相等求得P点坐标．解答： 解：（1）把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，点A坐标为（2，4），点A在反比例函数y= 的图象上，k=2×4=8，反比例函数的解析式为y= ；（2）ACOC，OC=2，A、B关于原点对称，B点坐标为（﹣2，﹣4），B到OC的距离为4，SABC=2SACO=2× ×2×4=8，SOPC=8，设P点坐标为（x， ），则P到OC的距离为| |， ×| |×2=8，解得x=1或﹣1，P点坐标为（1，8）或（﹣1，﹣8）．点评： 本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标、在（2）中求得P点到OC的距离是解题的关键． 18．如图，ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值． 考点： 解直角三角形；勾股定理． 专题： 计算题．分析： （1）在ABC中根据正弦的定义得到sinA= = ，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD= AB=5；（2）在RtABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到SBDC=SADC，则SBDC= SABC，即 CD•BE= • AC•BC，于是可计算出BE= ，然后在RtBDE中利用余弦的定义求解．解答： 解：（1）在ABC中，∠ACB=90°，sinA= = ，而BC=8，AB=10，D是AB中点，CD= AB=5；（2）在RtABC中，AB=10，BC=8，AC= =6，D是AB中点，BD=5，SBDC=SADC，SBDC= SABC，即 CD•BE= • AC•BC，BE= = ，在RtBDE中，cos∠DBE= = = ，即cos∠ABE的值为 ．点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式． 19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＜0，且 ＞﹣1，求整数m的值．考点： 根的判别式；根与系数的关系． 专题： 计算题．分析： （1）由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；（2）利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可．解答： 解：（1）由已知得：m≠0且=（m+2）2﹣8m=（m﹣2）2＞0，则m的范围为m≠0且m≠2；（2）方程解得：x= ，即x=1或x= ，x2＜0，x2= ＜0，即m＜0， ＞﹣1， ＞﹣1，即m＞﹣2，m≠0且m≠2，﹣2＜m＜0，m为整数，m=﹣1．点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0． 20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）； 质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50 单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的值．考点： 二次函数的应用． 分析： （1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．解答： 解：（1）由题意，得y=（100﹣5x）（2x+4），y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；（2）y=﹣10x2+180x+400，y=﹣10（x﹣9）2+1210．1≤x≤10的整数，x=9时，y=1210．答：工厂为获得利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的值为1210万元．点评： 本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在O上，AD与O相切，射线AO交BC于点E，交O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．（1）求证：直线PC是O的切线；（2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长． 考点： 切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）首先连接OC，由AD与O相切，可得FAAD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是 的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是O的切线；（2）首先由勾股定理可求得AE的长，然后设O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r，则可求得半径长，易得OCE∽CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长．解答： （1）证明：连接OC．AD与O相切于点A，FAAD．四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，FABC．FA经过圆心O，F是 的中点，BE=CE，∠OEC=90°，∠COF=2∠BAF．∠PCB=2∠BAF，∠PCB=∠COF．∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，∠OCE+∠PCB=90°．OCPC．点C在O上，直线PC是O的切线．（2）解：四边形ABCD是平行四边形，BC=AD=2．BE=CE=1．在RtABE中，∠AEB=90°，AB= ， ．设O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r．在RtOCE中，∠OEC=90°，OC2=OE2+CE2．r2=（3﹣r）2+1．解得 ，∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．OCE∽CPE， ． ． ． 点评： 此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 22．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CDAB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AECD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC= ；tan∠AOD= 5 ； 解决问题：如图3，计算：tan∠AOD= ．考点： 相似形综合题． 分析： （1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；（2）连接AC、DB、AD、DE．由ACO∽DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在RtAFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；（3）如图，连接AE、BF，则AF= ，AB= ，由AOE∽BOF，可以求出AO= ，在RtAOF中，可以求出OF= ，故可求得tan∠AOD．解答： 解：（1）如图所示： 线段CD即为所求．（2）如图2所示连接AC、DB、AD． AD=DE=2，AE=2 ．CDAE，DF=AF= ．AC∥BD，ACO∽DBO．CO：DO=2：3．CO= ．DO= ．OF= ．tan∠AOD= ．（3）如图3所示： 根据图形可知：BF=2，AE=5．由勾股定理可知：AF= = ，AB= = ．FB∥AE，AOE∽BOF．AO：OB=AE：FB=5：2．AO= ．在RtAOF中，OF= = ．tan∠AOD= ．点评： 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键． 23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；（3）若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．考点： 反比例函数综合题；代数式求值；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质． 专题： 综合题；数形结合；分类讨论．分析： （1）只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；（2）将点B的坐标代入y=（x﹣1）2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题；（3）可先求出直线y=x与反比例函数y= 交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题．解答： 解：（1）反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n），k=mn=1×4=4，即代数式mn的值为4；（2）二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，n=（m﹣1）2=m2﹣2m+1，m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n=mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n=4n+2×4﹣4n=8，即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；（3）设直线y=x与反比例函数y= 交点分别为C、D，解 ，得： 或 ，点C（﹣2，﹣2），点D（2，2）．①若a＞0，如图1， 当抛物线y=a（x﹣1）2经过点D时，有a（2﹣1）2=2，解得：a=2．|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；②若a＜0，如图2， 当抛物线y=a（x﹣1）2经过点C时，有a（﹣2﹣1）2=﹣2，解得：a=﹣ ．|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣ ．综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣ ．点评： 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第（2）小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键． 24．如图1，在ABC中，BC=4，以线段AB为边作ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．考点： 几何变换综合题． 分析： （1）根据等腰直角三角形的性质得出即可；（2）①设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，根据SAS推出ADE≌BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD．求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；②过E作EMAF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME= ，AM=FM，解直角三角形求出FM即可．解答： 解：（1）AD+DE=4，理由是：如图1， ∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，AD+DE=BC=4；（2）①补全图形，如图2， 设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∠ADB=∠CDE=90°，∠ADE=∠BDC，在ADE与BDC中， ，ADE≌BDC，AE=BC，∠AED=∠BCD．DE与BC相交于点H，∠GHE=∠DHC，∠EGH=∠EDC=90°，线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，EF=CB=4，EF∥CB，AE=EF，CB∥EF，∠AEF=∠EGH=90°，AE=EF，∠AEF=90°，∠AFE=45°，AF= =4 ；②如图2，过E作EMAF于M，由①知：AE=EF=BC，∠AEM=∠FME= ，AM=FM，AF=2FM=EF×sin =8sin ．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大． 25．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则S=mn为图形W的测度面积．例如，若图形W是半径为1的O，当P，Q分别是O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2；当P，Q分别是O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= 1 ；②如图4，当ABx轴时，它的测度面积S= 1 ；（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的值为 2 ；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围． 考点： 圆的综合题． 分析： （1）由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可；②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可；（2）先确定正方形有测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解．（3）分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可．解答： 解：（1）①如图3， OA=OB=1，点A，B在坐标轴上，它的测度面积S=|OA|•|OB|=1，故答案为：1．②如图4， ABx轴，OA=OB=1．AB= ，OC= ，它的测度面积S=|AB|•|OC|= × =1，故答案为：1．（2）如图5，图形的测度面积S的值， 四边形ABCD是边长为1的正方形．它的测度面积S=|AC|•|BD|= × =2，故答案为：2．（3）设矩形ABCD的边AB=4，BC=3，由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上，当A，B或B，C都在x轴上时，如图6，图7， 矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=12．当顶点A，C都不在x轴上时，如图8，过点A作直线AHx轴于点E，过C点作CFx轴于点F，过点D作直线GH∥x轴，分别交AE，CF于点H，G，则可得四边形EFGH是矩形， 当点P，Q与点A，C重合时，|x1﹣x2|的值为m=EF，|y1﹣y2|的值为n=GF．图形W的测度面积S=EF•GF，∠ABC+∠CBF=90°，∠ABC+∠BAE=90°，∠CBF=∠BAE，∠AEB=∠BFC=90°，AEB∽BFC， = = = ，设AE=4a，EB=4b，（a＞0，b＞0），则BF=3a，FC=3b，在RTAEB中，AE2+BE2=AB2，16a2+16b2=16，即a2+b2=1，b＞0，b= ，在ABE和CDG中， ABE≌CDG（AAS）CG=AE=4a，EF=EB+BF=4b+3a，GF=FC+CG=3b+4a，图形W的测度面积S=EF•GF=（4b+3a）（3b+4a）=12a2+12b2+25a =12+25 =12+25 ，当a2= 时，即a= 时，测度面积S取得值12+25× = ，a＞0，b＞0， ＞0，S＞12，综上所述：测度面积S的取值范围为12≤S≤ ．点评： 本题主要考查了阅读材料题，涉及新定义，三角形相似，三角形全等的判定与性质，勾股定理及矩形，正方形等知识，解题的关键是正确的确定矩形|x1﹣x2|的值，|y1﹣y2|的值．
平行线分线段成比例定理范文6
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（） A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 没有实数根 D． 无法确定是否有实数根 2．在RtABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（） A． B． C． D． 3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（） A． 长方体 B． 正方体 C． 圆柱 D． 圆锥 4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（） A． B． C． D． 5．如图，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（） A． 1 B． 2 C． 4 D． 8 6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（） A． y1＜0＜y2 B． y2＜0＜y1 C． y1＜y2＜0 D． y2＜y1＜0 7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODAC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EFAB于F．若AC=2，则OF的长为（） A． B． C． 1 D． 2 8．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EFBD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（） A． 线段EF B． 线段DE C． 线段CE D． 线段BE二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为cm2．（结果保留π） 10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m． 11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为． 12．对于正整数n，定义F（n）= ，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．（1）求：F2（4）=，F2015（4）=；（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是．三、解答题（共13小题，满分72分）13．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（ ）﹣1． 14．如图，ABC中，AB=AC，D是BC中点，BEAC于E，求证：ACD∽BCE． 15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值． 16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，ACx轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足OPC与ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 18．如图，ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值． 19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＜0，且 ＞﹣1，求整数m的值． 20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）； 质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50 单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的值． 21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在O上，AD与O相切，射线AO交BC于点E，交O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．（1）求证：直线PC是O的切线；（2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长． 22．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CDAB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AECD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=； 解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=． 23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；（3）若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围． 24．如图1，在ABC中，BC=4，以线段AB为边作ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）． 25．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则S=mn为图形W的测度面积．例如，若图形W是半径为1的O，当P，Q分别是O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2；当P，Q分别是O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；②如图4，当ABx轴时，它的测度面积S=；（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的值为；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（） A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 没有实数根 D． 无法确定是否有实数根考点： 根的判别式． 分析： 求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可．解答： 解：x2﹣3x﹣5=0，=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）=29＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选A．点评： 本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根． 2．在RtABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（） A． B． C． D． 考点： 锐角三角函数的定义． 分析： 直接根据三角函数的定义求解即可．解答： 解：RtABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，sinA= = ．故选A． 点评： 此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边：斜边=a：c． 3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（） A． 长方体 B． 正方体 C． 圆柱 D． 圆锥考点： 由三视图判断几何体． 分析： 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解答： 解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选：D．点评： 本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定． 4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（） A． B． C． D． 考点： 概率公式． 分析： 由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答： 解：六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，抽到的座位号是偶数的概率是： = ．故选C．点评： 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 5．如图，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（） A． 1 B． 2 C． 4 D． 8考点： 位似变换． 专题： 计算题．分析： 根据位似变换的性质得到 = ，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到 = ，所以 = ，然后把OC1= OC，AB=4代入计算即可．解答： 解：C1为OC的中点，OC1= OC，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形， = ，B1C1∥BC， = ， = ，即 = A1B1=2．故选B．点评： 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（） A． y1＜0＜y2 B． y2＜0＜y1 C． y1＜y2＜0 D． y2＜y1＜0考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 专题： 计算题．分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣ ，y2=﹣ ，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小．解答： 解：A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，y1=﹣ ，y2=﹣ ，x1＜0＜x2，y2＜0＜y1．故选B．点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODAC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EFAB于F．若AC=2，则OF的长为（） A． B． C． 1 D． 2考点： 垂径定理；全等三角形的判定与性质． 分析： 根据垂径定理求出AD，证ADO≌OFE，推出OF=AD，即可求出答案．解答： 解：ODAC，AC=2，AD=CD=1，ODAC，EFAB，∠ADO=∠OFE=90°，OE∥AC，∠DOE=∠ADO=90°，∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，∠DAO=∠EOF，在ADO和OFE中， ，ADO≌OFE（AAS），OF=AD=1，故选C．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出ADO≌OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EFBD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（） A． 线段EF B． 线段DE C． 线段CE D． 线段BE考点： 动点问题的函数图象． 分析： 作BNAC，垂足为N，FMAC，垂足为M，DGAC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论．解答： 解：作BNAC，垂足为N，FMAC，垂足为M，DGAC，垂足为G． 由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE＜ 时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误；由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd＞ 时，DE有最小值，故B正确；CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误；由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜ 时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误；故选：B．点评： 本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为 3π cm2．（结果保留π） 考点： 扇形面积的计算． 专题： 压轴题．分析： 知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出．解答： 解：由S= 知S= × π×32=3πcm2．点评： 本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S= ． 10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为 24 m．考点： 相似三角形的应用． 分析： 根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．解答： 解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得， = ，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．点评： 本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键． 11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为 x1=﹣2，x2=1 ． 考点： 二次函数的性质． 专题： 数形结合．分析： 根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 的解为 ， ，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．解答： 解：抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），方程组 的解为 ， ，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．故答案为x1=﹣2，x2=1．点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x=﹣ ．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题． 12．对于正整数n，定义F（n）= ，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．（1）求：F2（4）= 37 ，F2015（4）= 26 ；（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是 6 ．考点： 规律型：数字的变化类． 专题： 新定义．分析： 通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可．解答： 解：（1）F2（4）=F（F1（4））=F（16）=12+62=37；F1（4）=F（4）=16，F2（4）=37，F3（4）=58，F4（4）=89，F5（4）=145，F6（4）=26，F7（4）=40，F8（4）=16，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2015是7的287倍余6，因此F2015（4）=26；（2）由（1）知，这些数字7个一个循环，F4（4）=89=F18（4），因此3m=18，所以m=6．故答案为：（1）37，26；（2）6．点评： 本题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键． 三、解答题（共13小题，满分72分）13．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（ ）﹣1．考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．分析： 原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可．解答： 解：原式=﹣1+ ﹣1+2= ．点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．如图，ABC中，AB=AC，D是BC中点，BEAC于E，求证：ACD∽BCE． 考点： 相似三角形的判定． 专题： 证明题．分析： 根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到ADBC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．解答： 证明：AB=AC，D是BC中点，ADBC，∠ADC=90°，BEAC，∠BEC=90°，∠ADC=∠BEC，而∠ACD=∠BCE，ACD∽BCE．点评： 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质． 15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值．考点： 一元二次方程的解． 专题： 计算题．分析： 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值．解答： 解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，则原式= = =3．点评： 此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式．考点： 二次函数图象与几何变换． 专题： 计算题．分析： 由于抛物线平移前后二次项系数不变，则可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式．解答： 解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，把点A（0，3），B（2，3）分别代入得 ，解得 ，所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3．点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，ACx轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足OPC与ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 分析： （1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；（2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得ABC的面积，再结合OPC与ABC的面积相等求得P点坐标．解答： 解：（1）把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，点A坐标为（2，4），点A在反比例函数y= 的图象上，k=2×4=8，反比例函数的解析式为y= ；（2）ACOC，OC=2，A、B关于原点对称，B点坐标为（﹣2，﹣4），B到OC的距离为4，SABC=2SACO=2× ×2×4=8，SOPC=8，设P点坐标为（x， ），则P到OC的距离为| |， ×| |×2=8，解得x=1或﹣1，P点坐标为（1，8）或（﹣1，﹣8）．点评： 本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标、在（2）中求得P点到OC的距离是解题的关键． 18．如图，ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值． 考点： 解直角三角形；勾股定理． 专题： 计算题．分析： （1）在ABC中根据正弦的定义得到sinA= = ，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD= AB=5；（2）在RtABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到SBDC=SADC，则SBDC= SABC，即 CD•BE= • AC•BC，于是可计算出BE= ，然后在RtBDE中利用余弦的定义求解．解答： 解：（1）在ABC中，∠ACB=90°，sinA= = ，而BC=8，AB=10，D是AB中点，CD= AB=5；（2）在RtABC中，AB=10，BC=8，AC= =6，D是AB中点，BD=5，SBDC=SADC，SBDC= SABC，即 CD•BE= • AC•BC，BE= = ，在RtBDE中，cos∠DBE= = = ，即cos∠ABE的值为 ．点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式． 19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＜0，且 ＞﹣1，求整数m的值．考点： 根的判别式；根与系数的关系． 专题： 计算题．分析： （1）由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；（2）利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可．解答： 解：（1）由已知得：m≠0且=（m+2）2﹣8m=（m﹣2）2＞0，则m的范围为m≠0且m≠2；（2）方程解得：x= ，即x=1或x= ，x2＜0，x2= ＜0，即m＜0， ＞﹣1， ＞﹣1，即m＞﹣2，m≠0且m≠2，﹣2＜m＜0，m为整数，m=﹣1．点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0． 20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）； 质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50 单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的值．考点： 二次函数的应用． 分析： （1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．解答： 解：（1）由题意，得y=（100﹣5x）（2x+4），y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；（2）y=﹣10x2+180x+400，y=﹣10（x﹣9）2+1210．1≤x≤10的整数，x=9时，y=1210．答：工厂为获得利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的值为1210万元．点评： 本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在O上，AD与O相切，射线AO交BC于点E，交O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．（1）求证：直线PC是O的切线；（2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长． 考点： 切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）首先连接OC，由AD与O相切，可得FAAD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是 的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是O的切线；（2）首先由勾股定理可求得AE的长，然后设O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r，则可求得半径长，易得OCE∽CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长．解答： （1）证明：连接OC．AD与O相切于点A，FAAD．四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，FABC．FA经过圆心O，F是 的中点，BE=CE，∠OEC=90°，∠COF=2∠BAF．∠PCB=2∠BAF，∠PCB=∠COF．∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，∠OCE+∠PCB=90°．OCPC．点C在O上，直线PC是O的切线．（2）解：四边形ABCD是平行四边形，BC=AD=2．BE=CE=1．在RtABE中，∠AEB=90°，AB= ， ．设O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r．在RtOCE中，∠OEC=90°，OC2=OE2+CE2．r2=（3﹣r）2+1．解得 ，∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．OCE∽CPE， ． ． ． 点评： 此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 22．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CDAB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AECD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC= ；tan∠AOD= 5 ； 解决问题：如图3，计算：tan∠AOD= ．考点： 相似形综合题． 分析： （1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；（2）连接AC、DB、AD、DE．由ACO∽DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在RtAFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；（3）如图，连接AE、BF，则AF= ，AB= ，由AOE∽BOF，可以求出AO= ，在RtAOF中，可以求出OF= ，故可求得tan∠AOD．解答： 解：（1）如图所示： 线段CD即为所求．（2）如图2所示连接AC、DB、AD． AD=DE=2，AE=2 ．CDAE，DF=AF= ．AC∥BD，ACO∽DBO．CO：DO=2：3．CO= ．DO= ．OF= ．tan∠AOD= ．（3）如图3所示： 根据图形可知：BF=2，AE=5．由勾股定理可知：AF= = ，AB= = ．FB∥AE，AOE∽BOF．AO：OB=AE：FB=5：2．AO= ．在RtAOF中，OF= = ．tan∠AOD= ．点评： 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键． 23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；（3）若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．考点： 反比例函数综合题；代数式求值；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质． 专题： 综合题；数形结合；分类讨论．分析： （1）只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；（2）将点B的坐标代入y=（x﹣1）2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题；（3）可先求出直线y=x与反比例函数y= 交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题．解答： 解：（1）反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n），k=mn=1×4=4，即代数式mn的值为4；（2）二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，n=（m﹣1）2=m2﹣2m+1，m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n=mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n=4n+2×4﹣4n=8，即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；（3）设直线y=x与反比例函数y= 交点分别为C、D，解 ，得： 或 ，点C（﹣2，﹣2），点D（2，2）．①若a＞0，如图1， 当抛物线y=a（x﹣1）2经过点D时，有a（2﹣1）2=2，解得：a=2．|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；②若a＜0，如图2， 当抛物线y=a（x﹣1）2经过点C时，有a（﹣2﹣1）2=﹣2，解得：a=﹣ ．|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣ ．综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣ ．点评： 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第（2）小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键． 24．如图1，在ABC中，BC=4，以线段AB为边作ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．考点： 几何变换综合题． 分析： （1）根据等腰直角三角形的性质得出即可；（2）①设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，根据SAS推出ADE≌BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD．求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；②过E作EMAF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME= ，AM=FM，解直角三角形求出FM即可．解答： 解：（1）AD+DE=4，理由是：如图1， ∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，AD+DE=BC=4；（2）①补全图形，如图2， 设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∠ADB=∠CDE=90°，∠ADE=∠BDC，在ADE与BDC中， ，ADE≌BDC，AE=BC，∠AED=∠BCD．DE与BC相交于点H，∠GHE=∠DHC，∠EGH=∠EDC=90°，线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，EF=CB=4，EF∥CB，AE=EF，CB∥EF，∠AEF=∠EGH=90°，AE=EF，∠AEF=90°，∠AFE=45°，AF= =4 ；②如图2，过E作EMAF于M，由①知：AE=EF=BC，∠AEM=∠FME= ，AM=FM，AF=2FM=EF×sin =8sin ．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大． 25．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则S=mn为图形W的测度面积．例如，若图形W是半径为1的O，当P，Q分别是O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2；当P，Q分别是O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= 1 ；②如图4，当ABx轴时，它的测度面积S= 1 ；（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的值为 2 ；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围． 考点： 圆的综合题． 分析： （1）由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可；②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可；（2）先确定正方形有测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解．（3）分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可．解答： 解：（1）①如图3， OA=OB=1，点A，B在坐标轴上，它的测度面积S=|OA|•|OB|=1，故答案为：1．②如图4， ABx轴，OA=OB=1．AB= ，OC= ，它的测度面积S=|AB|•|OC|= × =1，故答案为：1．（2）如图5，图形的测度面积S的值， 四边形ABCD是边长为1的正方形．它的测度面积S=|AC|•|BD|= × =2，故答案为：2．（3）设矩形ABCD的边AB=4，BC=3，由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上，当A，B或B，C都在x轴上时，如图6，图7， 矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=12．当顶点A，C都不在x轴上时，如图8，过点A作直线AHx轴于点E，过C点作CFx轴于点F，过点D作直线GH∥x轴，分别交AE，CF于点H，G，则可得四边形EFGH是矩形， 当点P，Q与点A，C重合时，|x1﹣x2|的值为m=EF，|y1﹣y2|的值为n=GF．图形W的测度面积S=EF•GF，∠ABC+∠CBF=90°，∠ABC+∠BAE=90°，∠CBF=∠BAE，∠AEB=∠BFC=90°，AEB∽BFC， = = = ，设AE=4a，EB=4b，（a＞0，b＞0），则BF=3a，FC=3b，在RTAEB中，AE2+BE2=AB2，16a2+16b2=16，即a2+b2=1，b＞0，b= ，在ABE和CDG中， ABE≌CDG（AAS）CG=AE=4a，EF=EB+BF=4b+3a，GF=FC+CG=3b+4a，图形W的测度面积S=EF•GF=（4b+3a）（3b+4a）=12a2+12b2+25a =12+25 =12+25 ，当a2= 时，即a= 时，测度面积S取得值12+25× = ，a＞0，b＞0， ＞0，S＞12，综上所述：测度面积S的取值范围为12≤S≤ ．点评： 本题主要考查了阅读材料题，涉及新定义，三角形相似，三角形全等的判定与性质，勾股定理及矩形，正方形等知识，解题的关键是正确的确定矩形|x1﹣x2|的值，|y1﹣y2|的值．
